problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (590)

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14.29 Signatura en un espacio eucĺıdeo
⇒ ‖x‖ =
√
1
2
∫ 1
−1
x2dx =
1√
3
⇒ e2 =
√
3x,
u3− < u3, e2 > e2 − 〈u3, e1〉e1 = x2 −
(√
3
2
∫ 1
−1
x3dx
)
·
√
3x−
(
1
2
∫ 1
−1
x2dx
)
· 1 = x2 − 1
3
⇒
∥∥∥∥x2 − 13
∥∥∥∥ =
√
1
2
∫ 1
−1
(
x2 − 1
3
)2
dx
=
2
3
√
5
⇒ e3 = (3
√
5/2)(x2 − 1/3).
La base pedida es por tanto B′ = {1,
√
3x, (3
√
5/2)(x2 − 1/3)}.
3. Una base del subespacio M es {1, x}, y de los cálculos efectuados en el
apartado anterior deducimos que una base ortonormal de M es {1,
√
3x}.
Por un conocido teorema, la proyección de ortogonal de x2 sobre M es
p = 〈x2, 1〉1+ < x2,
√
3x >
√
3x =
(
1
2
∫ 1
−1
x2dx
)
· 1
−
(√
3
2
∫ 1
−1
x3dx
)
√
3x =
1
3
.
4. La mı́nima distancia de un vector a un subespacio sabemos que es la
distancia del vector a su proyección ortogonal sobre el subespacio. Es decir
d(x2,M) = d
(
x2,
1
3
)
=
∥∥∥∥x2 − 13
∥∥∥∥ =
√
1
2
∫ 1
−1
(x2 − 1/3)2dx = 2
3
√
5
=
2
√
5
15
.
14.29. Signatura en un espacio eucĺıdeo
Sea E un espacio vectorial real eucĺıdeo de dimensión n y sea u ∈ E un
vector de norma 1 (‖u‖ = 1). Para cada número real a se define en E la
forma cuadrática
Qa : E → R , Qa(x) = (〈x, u〉)2 + a ‖x‖2 .
(〈 , 〉 representa el producto escalar en E). Se pide:
(a) Determinar razonadamente la signatura de Qa (́ındice de positividad,
ı́ndice de negatividad, ı́ndice de nulidad), según los valores de a, si −1 <
a < 0.
(b) La misma pregunta si a ≥ 0 o bien a ≤ −1.
	 Producto escalar
	 Signatura en un espacio euclídeo