Calculo_Vectorial-16

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Sustituyendo en , obtenemos
La pendiente de esta recta está dada por . Luego calculamos 
. Esto da . Ten en cuenta que 
. Esto no es una coincidencia, como se describe en el
siguiente teorema.
TEOREMA 1.1
Derivada de las Ecuaciones Paramétricas
Considera la curva plana definida por las ecuaciones
paramétricas . Supongamos que 
 existen, y supongamos que $x'(t) &\ne; 0$.
Entonces la derivada viene dada por
Demostración
Este teorema puede ser probado usando la Regla de la Cadena.
y(t)
y(t)
y
y
y
= 3t− 4
= 3 − 4(
2
x− 3)
= − − 4
2
3x
2
9
= −
2
3x
2
17
=
dx
dy
2
3
x (t) e y (t)′ ′ x (t) =′ 2 e y (t) =′ 3 =
dx
dy
=
dx/dt
dy/dt
2
3
x = x(t) e y = y(t)
x (t) e y (t)′ ′
dx
dy
=
dx
dy
=
dx/dt
dy/dt
x (t)′
y (t)′
(1.1)
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/
En particular, supón que el parámetro puede eliminarse, dando
como resultado una función diferenciable . Entonces 
. Diferenciando ambos lados de esta ecuación usando
los resultados de la regla de la cadena
entonces
Pero , lo que prueba el teorema.
La ecuación se puede utilizar para calcular derivadas de curvas
planas, así como puntos críticos. Recuerda que un punto crítico de
una función diferenciable es cualquier punto tal
que o no existe. La ecuación da una fórmula para la
pendiente de una recta tangente a una curva definida
paramétricamente, independiente de si la curva se puede describir
mediante una función o no.
Encontrando la derivada de una curva
paramétrica
Calcula la derivada para cada una de las siguientes curvas
planas definidas paramétricamente y ubica los puntos críticos
en sus gráficos respectivos.
a. 
t
y = F (x)
y(t) = F (x(t))
y (t) =′ F (x(t))x (t)′ ′
F (x(t)) =′
x (t)′
y (t)′
F (x(t)) =′
dx
dy
y = f(x) x = x0
f (x ) =′ 0 0 f (x )′ 0
y = f(x)
dx
dy
x(t) = t −3, y(t) =2 2t−1, −3 ≤ t ≤ 4
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/
c. 
Calcula la derivada para la curva plana definida por las
ecuaciones
y ubicar los puntos críticos en su gráfica.
Sugerencia
Calcula e y usa la ecuación.
Encuentra una recta tangente
Encuentra la ecuación de la recta tangente a la curva definida
por las ecuaciones
b. x(t) = 2t+ 1, y(t) = t −3t+3 4, −2 ≤ t ≤ 2
x(t) = 5cost, y(t) = 5sent, 0 ≤ t ≤ 2π
dy/dx
x(t) = t −4t, y(t) =2 2t −6t, −2 ≤3 t ≤ 3
x (t)′ y (t)′
x(t) = t −3, y(t) =2 2t−1, −3 ≤ t ≤ 4, cuando t = 2
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