Derivada parcial parte2 - ANETTE RACHEL PINACHO MATIAS

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Derivadas Parciales (parte 2)
Ejercicio:
 Si donde y . Determinar 
Solución:
 
 
 
 
 
 
 
 Consideraremos ahora la situación en la que , pero cada una de las
variables e es función de dos variables y . En este caso tiene sentido el problema
de determinar 
TEOREMA (Regla de la Cadena ) Sean funciones que
admiten primeras derivadas parciales en y sea
 diferenciable en . Entonces
 tiene primeras derivadas parciales dadas
por :
 i) 
 ii) 
 
EJEMPLO Si , en donde determinar
 y 
Usando la Regla de la Cadena , se tiene :
41
 
z
s s s
 
 
 
 
 
Análogamente :
 
 
 
 
OBSERVACION diagrama del Para recordar la Regla de la cadena se puede usar el 
árbol
Ejercicio
 Demuestre que 
( ) + (
 z
 r
2 1 z
r2
 si con e
Solución
 
 
Entonces ¡ Justifique !
La Regla de la Cadena puede aplicarse a funciones compuestas de cualquier número de
variables y es posible construir diagramas de árbol como ayuda para formular la derivada
parcial solicitada. El siguiente Teorema garantiza la validez de la generalización.
TEOREMA (Regla de la Cadena Caso General) Supóngase que
es una función diferenciable y que cada una
de las variables , ... , es una función de variables ,
......, de tal manera que todas las derivadas parciales 
existen ( , ,.... y . Entonces es función
de , ,..... y para
cada
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EJEMPLO Escribir la regla de la cadena para el caso en que y
Usaremos el diagrama de árbol, que en lo sucesivo no contendrá en las ramas la
correspondiente derivada parcial. En este caso
 
 
Entonces 
 
 
EJEMPLO Escribir la regla de la cadena para el caso en que y
)
En este caso el diagrama de árbol está dado por
 
 
 
 
 
La regla de la cadena adquiere importancia cuando se necesita calcular la derivada
parcial de una función diferenciable definida en términos generales solamente a través de
un argumento. Por ejemplo :
Sea probar que 
43
Aquí el diagrama de árbol corresponde a :
 
 
 
Lo importante de distinguir aquí es que puede ser cualquier función
diferenciable : etc Se probará que
independiente de la selección de , se mantiene el resultado En efecto :
 2 
 
Por lo tanto : 
El ejemplo anterior muestra que la regla de la cadena es una valiosa herramienta
matemática que permite plantear enunciados generales acerca de las derivadas parciales
de un número infinito de funciones formadas de la misma manera . Esta situación tiene
aplicaciones en el campo de las soluciones de ecuaciones que contienen derivadas
parciales.
EJEMPLO 4.8 Si demostrar que
Antes que cualquier cosa el alumno debe distinguir que es una función de tres variables
y que puede ser cualquier función diferenciable que no se necesita conocer
explícitamente. Al introducir las variables de se conforma un esquema de sustitución,
esto es :
, donde , , 
Por consiguiente el diagrama de árbol que queda
 
44
 
Entonces :
 
 
Análogamente :
 
 
 
 ( 1) 
 
Finalmente :
EJEMPLO La ecuación diferencial parcial
constante
es una clásica ecuación para matemáticos, físicos e ingenieros y aparece en los estudios
de la luz o el sonido. En este caso es una función diferenciable de y . Demostrar que
cualquier función diferenciable de la forma satisface la ecuación de la
onda.
Usando la estrategia del ejemplo anterior hacemos de modo que el
diagrama de árbol queda
 
 
45
Entonces :
 
 
En general la determinación de las segundas derivadas parciales para funciones
compuestas no es una cosa directa, pero en este caso particular se ve facilitado
Recordemos que 
pero , tomándose como una función de y .
Entonces :
En este caso el diagrama de árbol queda :
 
 
Entonces
 
Notar que en este caso el resultado obtenido puede alcanzarse más directamente
reemplazando por en la expresión obtenida anteriormente. En
efecto
Luego :
 
Para calcular recurrimos a esta última técnica, esto es, reemplazar por en la 
expresión Entonces
46
 
 
Comparando las segundas derivadas parciales, se tiene que
2 
Se propone al alumno verificar que también es solución de la ecuación
de la onda , de modo que sigue siendo solución
DERIVACION IMPLICITA
 Aunque en la II Unidad de Cálculo I se introdujo la técnica para derivar funciones
( ) definidas implícitamente por la ecuación , ahora es posible describir
más completamente tal procedimiento mediante la regla de la cadena. En efecto,
definamos la función compuesta por
con 
entonces
De la definición de función implícita, se tiene que para todo
 de modo que . Además como entonces 
Por lo tanto :
Si entonces
Este análisis se puede resumir en
TEOREMA Si una ecuación define implícitamente a una
función derivable ( ) tal que , entonces
 
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EJEMPLO Encontrar suponiendo que satisface la ecuación
Supongamos , entonces
 
 
Aplicando el Teorema se tiene :
En el contexto de funciones de dos o más variables, debemos considerar una ecuación de
la forma que define implícitamente a una función, por ejemplo,
. Esto significa que para todo ( ) . Si es
diferenciable y las derivadas parciales y existen entonces es posible usar la regla
de la cadena para determinar las derivadas parciales y , sin que sea necesario
despejar de la ecuación . El siguiente teorema garantiza tal situación :
TEOREMA Si una ecuación define implícitamente a una
función diferenciable tal que en el dominio
de entonces :
 
EJEMPLO Encontrar y suponiendo que satisface la ecuación
Supongamos , entonces
 
 
 
Aplicando el Teorema se tiene :
y 
 DERIVADA DIRECCIONAL
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 Recuérdese que si entonces las derivadas parciales y , se definen
como :
lim
lim
y representan las razones de cambio de en direcciones paralelas a los ejes coordenados
 e , es decir, en las direcciones de los vectores unitarios y . Interesa ahorai j
estudiar la razón de cambio de en cualquier dirección, esto debe conducir al concepto
de derivada direccional que está íntimamente relacionado con el concepto de gradiente.
 Usando la notación y algebra de vectores se pueden escribir lasp
derivadas parciales anteriores del siguiente modo
p lim
p i p 
p lim
p j p 
Notar que para conseguir nuestro propósito, bastará reemplazar los vectores y por uni j
vector unitario arbitrario de dirección arbitraria . Se tiene entonces.u 
DEFINICION 6.1 Sea una función y u un vector unitario
arbitrario contenido en . Se llama DERIVADA
DIRECCIONAL de en p en la dirección de u , que
se denota por p , al límite u
 p lim
p u p
 si es que este límite existe
En la Figura se presenta la interpretación geométrica de p p
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Notar que el vector determina una recta en el plano que pasa por ( , ). Elu
plano que contiene a y es perpendicular al plano intersecta a la
superficie en una curva . Entonces la pendiente de la tangente a en el
punto ( coincide con .
OBSERVACION p pi) Se confirma facilmente que y que i
j p p
 ii La definición se puede generalizar en forma directa para una
función de 3 o más variables.
El siguiente Teorema permite caracterizar el concepto de derivada direccional mediante
el concepto de gradiente y se entregará en su expresión más general.
TEOREMA Sea una función con derivadas parciales continuas en una vecindad
de p . Entonces tiene una derivada direccional en p en la
dirección de un vector unitario u dada por
 p p u
El resultado anterior se puede particularizar para el caso de funciones de 2 o 3 variables.
En efecto
a) Si entonces mientras que si la dirección de estáp u
dada por una recta que forma un angulo con la parte positiva del eje (Ver Figura
6.2) entonces es un vector unitario en la dirección de (también esu
posible obtener el vector unitario dividiendo por lacorrespondiente norma) Por lou
tanto
50
EJEMPLO Dado hallar la derivada direccional de
en ¿Cuál es el valor de esta derivada en el punto (2, 1)?
Calculamos primero
Enseguida calculamos el vector unitario
 u 
Por lo tanto
 u u
 
En particular si ( ) (2, ) , se tiene :
u
EJEMPLO Encontrar la derivada direccional de en el punto ( , )
en la dirección del vector a i j
En este caso :
, entonces 
Además el vector unitario en la dirección de está dado por , esto es :u a u
a
a
u
i j
Por lo tanto :
1,4 , u
b) Si entonces mientras que si la dirección de p u
está dada por la de una recta cuyos ángulos directores son y entonces el
vector unitario en la dirección de está dado por u u
analogamente al caso se puede obtener el vector unitario dividiendo por lau
correspondiente norma) Por lo tanto
u
EJEMPLO Dada la función hallar la derivada
direccional en el punto (1,0,2), en la dirección que va a (5,3,3)
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En este caso , como
 
 
 
se tiene que , 
Entonces
Por otra parte la dirección está dada por luegoa
u
a
a
Por lo tanto :
 u
 (1
 
En muchas aplicaciones es importante encontrar la dirección en que la función 
aumenta más rapidamente y también calcular la razón de cambio máxima. El siguiente
Teorema proporciona esta información :
TEOREMA Sea una función diferenciable en un punto p entonces
 i) El valor máximo de la derivada direccional en p es
 p el valor mínimo es p 
 
 ii) La razón de cambio máxima de en p se alcanza en la
dirección de p ( la tasa mínima en p 
 
EJEMPLO Suponga que la temperatura en un punto ( ) del espacio
tridimensional está dada por en donde se mide
en °C y en metros ¿En qué dirección aumenta más rapidamente la temperatura en
el punto (1,1, 2)? ¿Cuál es el valor de la máxima razón de aumento?
Como , 
entonces
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Por lo tanto, la temperatura aumenta más rapidamente en la dirección del vector
gradiente (1,1, 2) , lo que equivale a la dirección del vector
( .
Por otra parte, la máxima razón de aumento de la temperatura está dada por :
 
 
 MAXIMOS Y MÍNIMOS
TEOREMA (CRITERIO DE LAS SEGUNDAS DERIVADAS
PARCIALES) Supóngase que ( ) tiene segundas
derivadas parciales continuas en una vecindad de ( , ) y que
( )
 Sea 
 i) Si > y ( , ) < ( , ) es un valor máximo
relativo
 ii) Si > y ( , ) > ( , ) es un valor mínimo
relativo
 iii) Si < ( , ) es un punto de silla de 
 iv) Si el criterio no proporciona información
EJEMPLO Determinar los valores extremos relativos de la función
( )
Primero se localizan los puntos críticos estacionarios. En efecto
 ( ) ( ) 
 
O sea :
 
 ( 
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De la segunda ecuación o Reemplazando en la primera se tiene :
 ( ) o 
 + o
Por lo tanto los puntos críticos estacionarios son :
( ), ( , ( ) y ( )
Enseguida se calculan las segundas derivadas parciales de y ( ). En efecto :
 , , 
 , 
Luego :
 
Por lo tanto :
Para ( ) : ( ) > , ( ) < ( ) es un valor máximo
relativo
Para ( ) : ( ) > , ( ) > ( ) es un valor mínimo
relativo.
Para ( ) : ( ) < ( ) es un punto de silla
Para ( ) : ( ) < ( ) es un punto de silla
METODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
 En el ejemplo anterior se resolvió el problema de maximizar la función de distancia
 desde el plano al origen. En los problemas de
aplicación de máximos y mínimos para funciones de una variable también aparecieron
situaciones similares, esto es, optimizar una función (función objetivo) sujeta a una
condición (ecuación de restricción ).
En lo sucesivo centraremos nuestra atención en la resolución de problemas de valores
extremos restringidos, esto es, determinar el valor extremo de una función sujeta a cierta
restricción . Es conveniente considerar que este tipo de problemas fue manejado
anteriormente despejando la variable adecuada de la ecuación de restricción y
reemplazándola en la función a optimizar , esta situación es aplicable para funciones de
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una o dos variables , sin embargo, existe un método más práctico, conocido como el
método de los , cuya fortaleza radica en el hecho que seMultiplicadores de Lagrange
puede aplicar a funciones de dos, tres o más variables sujetas a una o más condiciones
restrictivas .
Mostraremos solamente el fundamento geométrico del método de los Multiplicadores de
Lagrange, para el caso de funciones de dos variables, en este caso el problema a resolver
es :
Determinar los valores extremos de la función ( ) sujeto a la condición
( )
El método de los Multiplicadores de Lagrange proporciona un procedimiento algebraico
para determinar los puntos ( , ) y ( , ). En efecto como en estos
puntos la curva de nivel de y la curva de restricción son tangentes, esto es, tienen una
recta tangente común, entonces las curvas también tienen una recta normal común. Pero
( ) es siempre perpendicular a la curva de nivel de que pasa por . Por otra parte
( ) es siempre normal a . (Debiera ser claro que este análisis también es válido
para .)
Por lo tanto, los vectores y son paralelos en y , esto es :
( ) ( ) y ( ) ( ) para algún 
Aunque es posible desarrollar una demostración formal solamente entregaremos el
enfoque intuitivo anterior como fundamento de este método.
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TEOREMA (Método de los multiplicadores de Lagrange) Para maximizar o
minimizar (p) sujeta a la restricción (p) debe resolver el
sistema de ecuaciones
 (p) (p)
 (p
 Cada punto p es un punto crítico estacionario del problema de
valor extremo restringido y el correspondiente se llama
Multiplicador de Lagrange.
EJEMPLO Encontrar los valores extremos de la función ( )
restringidos a la circunferencia 
En este caso la ecuación de restricción es ( )
Calculamos entonces ( ) y ( ) , siendo ( ) el punto crítico a precisar. Enp
efecto :
 ( ) ( , )p
 ( ) ( , )p
Formamos el sistema de ecuaciones contemplado en el Teorema
 ( ) ( ) ( , ) ( , )p p
 ( p)
Se obtiene entonces
 
i) 
ii) 
iii) 
De i) ( ) entonces o 
Si entonces de
 iii) resulta +
Si entonces de
 ii) resulta 1/2
y reemplazando este valor en iii) se obtiene +
Por lo tanto los puntos críticos son ( ) , ( ) , y
(
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Evaluando en estos cuatro puntos se tiene :
( ) , ( ) , ( ) 5/4 , ) 5/4
Por lo tanto el valor máximo de en los puntos de la circunferencia es
( ) 5/4 y el valor mínimo es ( )