Calculo_Vectorial-37

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216. en el intervalo 
217. en el intervalo (Solución)
 Para los siguientes ejercicios, encuentre la longitud de la curva
en el intervalo dado.
218. en el intervalo 
219. en el intervalo (Solución)
220. en el intervalo 
221. en el intervalo (Solución)
222. en el intervalo 
 Para los siguientes ejercicios, usa las capacidades de integración
de una calculadora para aproximar la longitud de la curva (o, también,
la escena interactiva anterior).
223. [T] en el intervalo (Solución)
224. [T] en el intervalo 
225. [T] en el intervalo (Solución)
226. [T] en el intervalo 
227. [T] en el intervalo (Solución)
 Para los siguientes ejercicios, usa la fórmula familiar de la
geometría para encontrar el área de la región descrita y luego
confirma usando la integral definida.
228. en el intervalo 
r = 2secθ 0 ≤ θ ≤ π/3
r = eθ 0 ≤ θ ≤ 1
r = 6 0 ≤ θ ≤ π/2
r =e3θ 0 ≤ θ ≤ 2
r = 6cosθ 0 ≤ θ ≤ π/2
r = 8 + 8cosθ 0 ≤ θ ≤ π
r = 1−senθ 0 ≤ θ ≤ 2π
r = 3θ π ≤ θ ≤ π/2
r =
θ
2 π ≤ θ ≤ 2π
r = sen ( )2 2
θ 0 ≤ θ ≤ π
r = 2θ2 0 ≤ θ ≤ π
r = sen(3cosθ) 0 ≤ θ ≤ π
r = 3senθ 0 ≤ θ ≤ π
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229. en el intervalo (Solución)
230. en el intervalo 
 Para los siguientes ejercicios, usa la fórmula familiar de la
geometría para encontrar la longitud de la curva y luego confirme con
la integral definida.
231. en el intervalo (Solución)
232. en el intervalo 
233. en el intervalo (Solución)
234. Verifica que si entonces
.
 Para los siguientes ejercicios, encuentra la pendiente de una
recta tangente a una curva polar . Toma 
 e , por lo que la ecuación polar 
 ahora se escribe en forma paramétrica.
235. Usa la definición de la derivada y la regla del
producto para deducir la derivada de una ecuación polar. (Solución)
236. 
237. (Solución)
238. 
239. (Solución)
240. 
241. ; puntas de las hojas. (Solución)
242. ; puntas de las hojas
r = senθ + cosθ 0 ≤ θ ≤ π
r = 6senθ + 8cosθ 0 ≤ θ ≤ π
r = 3senθ 0 ≤ θ ≤ π
r = senθ + cosθ 0 ≤ θ ≤ π
r = 6senθ + 8cosθ 0 ≤ θ ≤ π
y = rsenθ = f(θ)senθ
=
dθ
dy f (θ)senθ +′ f(θ)cosθ
r = f(θ) x = rcosθ =
f(θ)cosθ y = rsenθ = f(θ)senθ
r = f(θ)
=
dx
dy
dx/dθ
dy/dθ
r = 1−senθ; ( , )2
1
6
π
r = 4cosθ; (2, )3
π
r = 8senθ; (4, )6
5π
r = 4 + senθ; (3, )2
3π
r = 6 + 3cosθ; (3,π)
r = 4cos(2θ)
r = 2sen(3θ)
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243. (Solución)
244. Encuentra los puntos en el intervalo en el que el
cardioide tiene una recta tangente vertical u horizontal.
245. Para el cardioide , encuentra la pendiente de la
recta tangente cuando . (Solución)
 Para los siguientes ejercicios, encuentra la pendiente de la recta
tangente a la curva polar dada en el punto dado por el valor de .
246. 
247. (Solución)
248. 
249. [T] Usa tecnología: (Solución)
 Para los siguientes ejercicios, encuentra los puntos en los que las
siguientes curvas polares tienen una recta tangente horizontal o
vertical.
250. 
251. (Solución)
252. 
253. El cardioide (Solución)
254. 254. Demuestra que la curva (llamada cissoide
de Diocles) tiene la recta como asíntota vertical.
r = 2θ; ( , )2
π
4
π
−π ≤ θ ≤ π
r = 1−cosθ
r = 1 + senθ
θ = 3
π
θ
r = 3cosθ, θ = 3
π
r = θ, θ = 2
π
r = lnθ, θ = e
r = 2 + 4cosθenθ = 6
π
r = 4cosθ
r =2 4cos(2θ)
r = 2sen(2θ)
r = 1 + senθ
r = senθtanθ
x = 1
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