Descarga la aplicación para disfrutar aún más
Lea materiales sin conexión, sin usar Internet. Además de muchas otras características!
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA_apuntes
garridodulce16
Compartir
Vista previa del material en texto
07.09.22
EJERCICIO 2.2
68 84 75 82 68 90 62 88 76 93
73 79 88 73 60 93 71 59 85 75
61 65 75 87 74 62 95 78 63 72
66 78 82 75 94 77 69 74 68 60
96 78 89 61 75 95 60 79 83 71
79 62 67 97 78 85 76 65 71 75
65 80 73 57 88 78 62 76 53 74
86 67 73 81 72 63 76 75 85 77
a) La calificación más alta: 97 =MAX()
b)La calificación más baja: 53 =MIN()
c) Rango: 44 =MAX-MIN
d) Las calificaciones de los cinco mejores estudiantes: 94 =K.ESIMO.MAYOR(DATOS, 5/4/3/2/1)
95
95
96
97
e) Las calificaciones de los cinco peores estudiantes: 60 =K.ESIMO.MENOR(DATOS, 5/4/3/2/1)
60
59
57
53
f) La calificación del alummno que tiene el décimo lugar entre las mejores calificaciones: 88 =K.ESIMO.MAYOR(DATOS, 10)
g) El número de estudiantes que obtuvieron 75 o más: 44 =CONTAR.SI(DATOS,">=75")
h) El número de estudiantes que obtuvieron 85 o menos: 66 =CONTAR.SI(DATOS,"<=85")
i) El porcentaje de los estudiantes que obtuvieron calificaciones mayores a 65 pero no mayores a 85: 61.25% =(CONTAR.SI(DATOS,"<=85")-CONTAR.SI(DATOS,"<=65"))/80
j) Las calificaciones que no aparecen en la lista: 0-52,54,55,56,58,64,70,80,84,91,92,98,99,100
53 54 55 56
57 58
59
60
60
60
61
61
62
62
62
63
63 64
65
65
66
67
68
68
68
69 70
71
71
71
72
72
73
73
73
73
74
74
74
75
75
75
75
75
75
75
76
76
76
76
77
77
78
78
78
79
79 80
81
82
82
83 84
85
85
85
86
87
88
88
88
89
90 91 92
93
93
94
95
95
96
97 98 99 100
07.09.22
EJERCICIO 2
P
La tabla 2.5 muestra una distribución de frecuencias de los salarios semanales de 65 empleados de la empresa P&R. A
Con los datos de esta tabla, determinar: S
O
Salarios Número de empleados S
$250.00 - $259.99 8
$260.00 - $269.99 10
$270.00 - $279.99 16
$280.00 - $289.99 14
$290.00 - $299.99 10
$300.00 - $309.99 5
$310.00 - $319.99 2
TOTAL 65
a) Límite inferior de la sexta clase: $ 300.00
b) El límite superior de la cuarta clase: $ 289.99
c) La marca de clase (o punto medio de la clase) de la tercera clase: $ 274.995 =(270+279.99)/2
d) Las fronteras de clase de la quinta clase: $ 289.995 $ 299.995 =(289.99+290)/2 INF =(299.99+300)/2 SUP
e) La amplitud del intervalo de la quinta clase: $ 9.99
f) La frecuencia de la tercera clase: 16
g) La frecuencia relativa de la tercera clase: 24.6154% =C9/C14 16/TOTAL (65)
h) El intervalo de clase de mayor frecuencia. $270.00 - $279.99
A este intervalo se le suele llamar intervalo de clase modal y su frecuencia se le conoce como frecuencia de la clase modal
EMPLEADOS Y SALARIOS
$250.00 - $259.99 $260.00 - $269.99 $270.00 - $279.99 $280.00 - $289.99 $290.00 - $299.99 $300.00 - $309.99 $310.00 - $319.99 8 10 16 14 10 5 2
09.09.22
PROBLEMA 1
Si las marcas de clase en una distribución de frecuencias de pesos de estudiantes
son 128, 137, 146, 155, 164, 173 y 182 libras, encuentre:
a) la amplitud del intervalo de clase 9 =137-128
b) las fronteras de clase 123.5 132.5 141.5 150.5 159.5 168.5 177.5 186.5
c) los limites de clase 124-132 133-141 142-150 151-159 160-168 169-177 178-186
suponiendo que los pesos se hayan redondeado a la libra más cercana
Límites de clase Amplitud Frontera Inf Frontera Sup Límte Inf Límite Sup
128 9 123.5 132.5 124 132
137 9 132.5 141.5 133 141
146 9 141.5 150.5 142 150
155 9 150.5 159.5 151 159
164 9 159.5 168.5 160 168
173 9 168.5 177.5 169 177
182 9 177.5 186.5 178 186
09.09.022
PROBLEMA 2
En la siguiente tabla se presentan pesos, dados en libra más cercana, de
40 estudiantes de una universidad. Elaborar una distribución de frecuencias
y graficar
138 164 150 132 144 125 149 157 Máximo Mínimo Rango Intervalos Amplitud
146 158 140 147 136 148 152 144 176 119 57 6.3245553203 9.5 10
168 153 138 176 163 119 154 165 LimInf LimSup Frecuencia
146 176 142 147 135 153 140 135 119 129 3
161 145 135 142 150 156 145 128 130 140 9
141 151 14
152 162 8
163 173 4
174 184 2
40
No de intervalos = raíz de n n es el número de datos
=raíz de 40
6.3245553
FRECUENCIAS
3 9 14 8 4 2
12-13.09.22
PROBLEMA 3
Se lanzan 5 monedas 1000 veces y en cada lanzamiento se anotan el número de caras que se obtienen.
En la tabla siguiente se muestran las cantidades 0, 1, 2, 3, 4 y 5 de caras que se obtuvieron
CANTIDAD DE CARAS (Variable aleatoria) CANTIDAD DE LANZAMIENTOS (Frecuencias observadas <FO>)
0 38
1 144
2 342
3 287
4 164
5 25
1000
COMBINACIÓN Y PERMUTACIÓN (tarea)
P(X=0)(5)(1)^0(1)^5
*Lanzar las monedas= FnF9 P(X=0)(0)(2)^0(2)^5
MONEDA 1 MONEDA 2 MONEDA 3 MONEDA 4 MONEDA 5 NÚMERO DE CARAS VARIABLE ALEATORIA FRECUENCIA OBSERVADA FRECUENCIA ESPERADA VARIABLE ALEATORIA FE (AJUSTADA)
1 1 1 0 0 2 3 0 37 3.13% 31.25 0 31 0.03125 =COMBINAT(5,0)*((1/2)^0)*((1/2)^5)
0 0 0 1 1 3 2 1 145 15.63% 156.25 1 156 0.15625 =COMBINAT(5,1)*((1/2)^1)*((1/2)^4)
1 1 0 1 1 1 4 2 323 31.25% 312.5 2 313 0.31250 =COMBINAT(5,2)*((1/2)^2)*((1/2)^3)
0 0 1 0 0 4 1 3 313 31.25% 312.5 3 313 0.31250 =COMBINAT(5,3)*((1/2)^3)*((1/2)^2)
0 0 1 1 1 2 3 4 157 15.63% 156.25 4 156 0.15625 =COMBINAT(5,4)*((1/2)^4)*((1/2)^1)
1 1 0 0 1 2 3 5 25 3.13% 31.25 5 31 0.03125 =COMBINAT(5,5)*((1/2)^5)*((1/2)^0)
0 0 0 1 0 4 1 1000 100% 1000 1000 1
0 1 0 1 0 3 2 VA X
1 1 1 0 0 2 3
0 1 1 1 0 2 3
0 0 1 1 0 3 2 CARAS FE MEDIA
0 1 1 1 1 1 4 0 31 2.5 =((31*0)+(156*1)+(313*2)+(313*3)+(156*4)+(31*5))/1000
1 1 0 1 0 2 3 FRECUENCIA ESPERADA (ajustada) FRECUENCIA OBSERVADA 1 156 MEDIANA
0 1 1 0 1 2 3 2 312 2.5 =(L32+L33)/2=(2+3)/2 (mitad)
1 1 0 1 1 1 4 3 312 MODA
1 1 1 1 1 0 5 4 156 2, 3 Bimodal
0 1 1 0 1 2 3 5 31
1 0 0 1 0 3 2
1 0 1 0 1 2 3
0 0 1 0 0 4 1
1 0 0 1 1 2 3 CARAS FO MEDIA
0 1 0 1 1 2 3 0 37 2.471 2.483
0 0 0 1 1 3 2 1 150 MEDIANA
1 0 1 1 0 2 3 Es una Distribución normal 2 330 2.5
0 0 1 1 1 2 3 3 293 MODA
1 1 1 1 1 0 5 4 168 2, 3
1 0 0 0 1 3 2 5 22
0 0 0 0 1 4 1 1000
1 1 0 1 0 2 3
0 0 1 1 0 3 2
1 1 1 1 1 0 5 *Para que la media y la mediana sean medidas representativas de los datos, la muestra (conjunto de datos) debe provenir de una distribución normal.
0 0 1 0 1 3 2
0 0 0 1 0 4 1
1 1 1 1 1 0 5
1 1 0 1 1 1 4
0 0 0 0 0 5 0
0 0 0 1 1 3 2
0 1 0 1 1 2 3
1 0 1 1 0 2 3
0 0 1 1 0 3 2
0 1 1 1 0 2 3
1 1 0 0 1 2 3
1 0 1 1 0 2 3
1 1 1 0 0 2 3
0 1 0 1 0 3 2
0 0 1 1 0 3 2
1 0 0 1 1 2 3
1 0 0 0 0 4 1
1 0 0 0 1 3 2
0 0 1 0 1 3 2
1 0 1 1 1 1 4
0 1 1 1 0 2 3
1 1 1 1 0 1 4
1 0 1 0 1 2 3
1 1 1 0 1 1 4
1 0 1 1 0 2 3
1 0 0 0 1 3 2
1 1 0 0 1 2 3
0 1 1 1 1 1 4
0 1 1 0 1 2 3
0 0 1 0 1 3 2
1 1 1 0 1 1 4
1 0 0 0 0 4 1
0 1 1 0 1 2 3
1 0 0 1 1 2 3
1 0 0 1 0 3 2
0 0 0 0 1 4 1
0 0 0 1 1 3 2
0 1 1 0 1 2 3
0 1 1 0 0 3 2
0 0 1 0 1 3 2
0 1 1 0 0 3 2
1 0 1 1 1 1 4
0 1 0 0 0 4 1
1 1 1 1 1 0 5
0 0 0 1 1 3 2
1 0 1 0 0 3 2
1 0 1 0 0 3 2
1 0 0 0 0 4 1
0 1 0 0 0 4 1
1 0 1 0 1 2 3
1 0 0 0 1 3 2
0 1 1 1 1 1 4
1 1 1 1 0 1 4
1 0 1 0 1 2 3
0 1 1 0 1 2 3
0 0 0 0 0 5 0
0 0 1 0 0 4 1
1 0 0 0 0 4 1
0 1 0 0 1 3 2
0 0 0 1 0 4 1
1 0 1 0 0 3 2
1 0 1 0 1 2 3
0 1 0 1 0 3 2
1 1 1 1 1 0 5
1 1 0 1 0 2 3
1 1 0 0 0 3 2
0 0 1 0 0 4 1
0 0 1 1 0 3 2
0 1 0 0 1 3 2
1 1 1 0 1 1 4
0 1 1 1 1 1 4
0 1 0 0 1 3 2
0 1 0 0 0 4 1
1 0 1 1 0 2 3
1 0 0 0 1 3 2
1 0 0 1 0 3 2
0 1 0 1 0 3 2
1 0 0 1 1 2 3
0 0 0 1 0 4 1
0 0 0 1 1 3 2
1 0 0 1 1 2 3
0 0 0 0 0 5 0
0 1 0 0 0 4 1
1 1 1 1 0 1 4
0 1 0 0 1 3 2
0 1 1 0 1 2 3
1 0 0 0 0 4 1
1 0 0 1 1 2 3
1 1 0 1 1 1 4
1 0 0 0 1 3 2
1 1 0 1 0 2 3
1 1 1 0 1 1 4
0 0 0 1 1 3 2
1 0 0 1 0 3 2
0 1 1 0 0 3 2
0 1 1 0 1 2 3
0 1 1 0 1 2 3
1 1 0 0 1 2 3
1 1 1 0 0 2 3
11 0 0 1 2 3
0 1 1 1 0 2 3
0 0 0 0 1 4 1
1 1 0 0 0 3 2
0 0 1 0 0 4 1
0 0 0 0 1 4 1
0 1 0 0 1 3 2
1 1 0 0 1 2 3
1 1 0 1 1 1 4
1 0 1 0 0 3 2
0 0 1 1 1 2 3
0 1 0 0 1 3 2
1 1 1 0 0 2 3
1 1 0 0 1 2 3
1 1 0 0 0 3 2
0 0 1 1 0 3 2
1 0 1 0 1 2 3
0 1 0 1 0 3 2
1 0 1 1 1 1 4
1 1 1 0 0 2 3
0 1 0 0 1 3 2
0 1 1 1 0 2 3
0 1 0 1 1 2 3
1 0 1 1 1 1 4
1 1 0 1 1 1 4
0 1 1 1 0 2 3
1 0 0 0 0 4 1
0 1 0 0 1 3 2
0 1 1 0 1 2 3
1 0 1 1 0 2 3
0 0 0 0 1 4 1
0 1 0 0 0 4 1
1 1 1 0 0 2 3
1 0 1 0 1 2 3
1 1 1 1 1 0 5
0 1 0 1 1 2 3
1 1 1 1 0 1 4
1 0 1 0 0 3 2
1 0 0 1 1 2 3
1 0 1 1 0 2 3
0 0 0 1 1 3 2
1 0 1 1 0 2 3
1 0 1 0 1 2 3
0 1 1 0 0 3 2
1 1 0 1 0 2 3
1 1 1 0 1 1 4
1 1 1 1 0 1 4
1 1 1 0 0 2 3
0 1 0 0 0 4 1
1 1 0 1 1 1 4
1 1 0 1 1 1 4
0 0 0 0 1 4 1
1 0 1 0 0 3 2
1 1 0 1 0 2 3
1 1 1 0 1 1 4
0 1 0 1 0 3 2
0 1 0 1 0 3 2
1 0 0 0 1 3 2
0 0 0 0 0 5 0
0 0 1 0 0 4 1
1 1 0 1 1 1 4
1 0 1 0 1 2 3
1 1 0 0 0 3 2
1 1 1 1 0 1 4
1 0 0 0 1 3 2
1 0 0 1 0 3 2
1 0 0 1 1 2 3
1 0 1 1 1 1 4
0 0 1 1 1 2 3
0 0 1 0 0 4 1
1 1 0 1 1 1 4
0 1 1 1 0 2 3
1 1 0 0 0 3 2
1 1 1 1 0 1 4
1 0 1 1 0 2 3
0 1 0 0 0 4 1
1 0 0 1 1 2 3
1 0 0 0 0 4 1
1 0 1 1 1 1 4
0 0 0 1 1 3 2
0 0 0 0 0 5 0
0 0 0 1 1 3 2
0 1 0 0 0 4 1
1 0 0 0 0 4 1
1 0 0 1 0 3 2
1 0 1 0 0 3 2
1 1 1 0 0 2 3
1 0 1 0 0 3 2
0 1 1 1 0 2 3
1 1 1 1 1 0 5
1 1 1 0 0 2 3
1 1 1 1 0 1 4
0 0 1 1 1 2 3
1 1 1 1 1 0 5
0 0 1 1 0 3 2
0 1 1 1 0 2 3
0 0 0 0 1 4 1
0 1 0 1 1 2 3
0 0 0 1 1 3 2
1 0 1 0 1 2 3
1 0 0 1 0 3 2
0 1 1 1 1 1 4
1 1 1 0 1 1 4
0 1 0 0 1 3 2
1 1 0 1 1 1 4
0 1 1 1 0 2 3
1 0 0 0 1 3 2
0 0 0 1 1 3 2
1 1 0 0 0 3 2
0 1 1 0 1 2 3
1 0 0 0 0 4 1
0 0 0 0 0 5 0
1 0 0 0 0 4 1
1 0 0 0 1 3 2
0 0 1 0 1 3 2
0 0 0 1 1 3 2
0 0 0 1 1 3 2
0 0 0 0 0 5 0
1 1 1 0 0 2 3
0 0 0 1 0 4 1
1 0 1 0 1 2 3
1 0 1 0 1 2 3
0 0 0 0 0 5 0
0 1 1 0 0 3 2
1 0 1 0 0 3 2
0 1 1 1 1 1 4
0 1 1 0 1 2 3
1 1 0 1 0 2 3
1 0 1 1 0 2 3
1 1 1 0 1 1 4
1 0 0 1 1 2 3
1 0 0 0 1 3 2
0 0 1 1 1 2 3
1 1 1 0 0 2 3
0 1 0 0 0 4 1
1 0 1 0 0 3 2
1 1 0 0 0 3 2
0 0 0 1 1 3 2
0 1 1 1 1 1 4
0 0 0 0 0 5 0
0 1 1 1 0 2 3
1 1 0 0 1 2 3
0 0 1 1 0 3 2
1 0 0 1 1 2 3
1 1 0 0 0 3 2
1 1 1 1 1 0 5
0 0 0 1 1 3 2
1 1 1 1 0 1 4
1 0 1 0 1 2 3
1 0 1 1 1 1 4
0 1 0 1 0 3 2
0 0 0 0 1 4 1
0 1 0 0 1 3 2
1 0 0 1 0 3 2
1 0 1 1 1 1 4
1 1 1 0 1 1 4
1 1 0 0 0 3 2
0 1 1 1 1 1 4
1 0 0 0 0 4 1
1 1 1 1 1 0 5
0 0 0 1 1 3 2
1 0 0 1 0 3 2
1 1 1 0 0 2 3
0 1 0 0 0 4 1
0 1 1 0 0 3 2
0 0 1 1 1 2 3
0 1 1 0 0 3 2
1 1 1 1 0 1 4
0 1 1 0 1 2 3
0 1 0 0 1 3 2
1 1 0 1 0 2 3
0 1 1 1 0 2 3
1 1 0 1 0 2 3
0 1 0 0 0 4 1
0 1 0 0 1 3 2
0 0 1 1 1 2 3
0 0 1 1 0 3 2
0 1 1 0 1 2 3
1 1 0 1 1 1 4
1 0 0 0 0 4 1
0 0 0 1 1 3 2
0 1 0 0 1 3 2
0 1 1 1 1 1 4
0 1 1 1 0 2 3
1 1 1 1 0 1 4
1 0 1 0 0 3 2
1 0 1 1 0 2 3
1 1 1 0 0 2 3
0 1 0 0 0 4 1
0 1 0 1 0 3 2
0 0 0 1 1 3 2
1 1 0 1 1 1 4
1 1 1 0 0 2 3
1 0 1 1 0 2 3
0 1 0 0 1 3 2
1 1 0 1 1 1 4
0 0 1 0 0 4 1
1 0 1 0 0 3 2
1 1 1 1 0 1 4
1 1 1 1 0 1 4
0 1 1 1 1 1 4
1 1 1 0 0 2 3
0 0 1 0 1 3 2
0 0 1 0 0 4 1
0 1 0 0 0 4 1
0 0 0 0 0 5 0
0 1 1 1 0 2 3
1 1 0 0 1 2 3
1 1 1 0 0 2 3
1 0 0 0 0 4 1
0 1 1 0 0 3 2
1 1 0 1 1 1 4
0 1 1 0 0 3 2
0 1 0 1 0 3 2
1 1 0 0 1 2 3
1 1 0 0 1 2 3
0 1 1 0 1 2 3
0 1 0 0 0 4 1
1 1 0 0 1 2 3
1 1 0 0 1 2 3
0 0 1 0 0 4 1
0 0 1 0 0 4 1
1 0 0 1 1 2 3
1 1 0 1 1 1 4
1 0 0 0 0 4 1
1 1 0 0 1 2 3
0 1 0 0 1 3 2
0 0 0 0 0 5 0
0 1 1 1 1 1 4
0 0 0 0 1 4 1
1 0 0 0 1 3 2
0 1 1 1 1 1 4
1 1 1 1 1 0 5
0 1 1 1 1 1 4
1 1 1 0 0 2 3
0 0 1 1 0 3 2
1 1 1 1 1 0 5
0 1 1 1 0 2 3
1 0 1 0 0 3 2
0 1 1 1 1 1 4
1 1 0 0 1 2 3
0 0 1 0 1 3 2
1 1 1 1 1 0 5
1 0 1 0 1 2 3
0 1 0 0 1 3 2
0 1 0 0 1 3 2
1 1 1 0 1 1 4
0 1 1 0 1 2 3
0 0 1 1 1 2 3
0 1 0 1 1 2 3
0 1 0 0 0 4 1
0 1 1 0 0 3 2
1 0 1 0 1 2 3
0 1 1 0 1 2 3
1 1 1 1 1 0 5
1 0 0 1 0 3 2
1 1 1 1 1 0 5
0 0 1 0 0 4 1
0 0 1 0 0 4 1
1 1 1 1 1 0 5
1 0 0 0 1 3 2
0 1 0 1 0 3 2
0 1 0 1 1 2 3
0 1 0 1 0 3 2
0 0 0 0 1 4 1
0 1 1 1 1 1 4
0 0 0 0 1 4 1
1 1 0 1 1 1 4
1 1 1 0 0 2 3
0 0 1 0 1 3 2
0 0 0 0 0 5 0
0 1 1 0 1 2 3
1 0 0 0 0 4 1
1 0 0 0 0 4 1
0 1 1 0 0 3 2
1 0 1 0 0 3 2
1 0 1 0 0 3 2
0 1 1 0 0 3 2
0 1 0 1 0 3 2
1 1 0 1 1 1 4
0 0 1 1 0 3 2
0 1 0 1 1 2 3
1 0 0 0 0 4 1
0 1 1 1 0 2 3
1 0 0 1 1 2 3
0 1 0 0 0 4 1
1 0 0 1 0 3 2
1 0 1 0 0 3 2
1 1 0 0 0 3 2
0 1 0 0 1 3 2
0 1 0 0 0 4 1
0 1 1 0 1 2 3
0 1 1 1 1 1 4
0 1 1 0 1 2 3
1 0 1 1 0 2 3
0 0 1 1 1 2 3
0 0 0 1 0 4 1
1 1 0 0 0 3 2
1 1 0 0 0 3 2
0 0 0 1 0 4 1
0 1 1 0 1 2 3
1 1 0 0 0 3 2
1 0 0 1 1 2 3
1 0 1 0 1 2 3
1 1 1 0 0 2 3
0 0 0 0 1 4 1
0 1 1 1 0 2 3
0 0 1 0 1 3 2
0 1 0 1 1 2 3
0 1 1 1 1 1 4
1 0 0 1 0 3 2
0 0 0 1 1 3 2
0 1 0 0 0 4 1
1 0 1 1 0 2 3
0 0 0 1 0 4 1
0 1 0 0 0 4 1
1 0 0 1 1 2 3
1 0 0 0 0 4 1
1 1 1 0 0 2 3
0 1 0 1 0 3 2
1 1 0 0 1 2 3
1 0 0 1 1 2 3
0 0 1 1 1 2 3
0 0 0 0 0 5 0
1 1 0 0 1 2 3
1 1 1 0 0 2 3
1 1 1 1 1 0 5
1 1 0 0 0 3 2
1 1 0 0 1 2 3
0 1 0 0 1 3 2
1 0 0 0 0 4 1
0 0 1 0 0 4 1
1 0 0 1 0 3 2
1 1 0 1 1 1 4
0 1 1 1 0 2 3
0 1 0 1 1 2 3
1 0 0 1 1 2 3
1 0 0 0 0 4 1
1 0 1 0 0 3 2
0 0 1 0 1 3 2
1 1 1 1 1 0 5
1 1 0 1 1 1 4
0 0 1 1 0 3 2
0 0 1 1 1 2 3
0 0 0 0 1 4 1
1 0 0 1 0 3 2
1 0 1 1 1 1 4
0 1 0 0 1 3 2
0 0 0 0 0 5 0
0 1 1 1 0 2 3
0 0 0 0 0 5 0
0 0 1 0 0 4 1
1 1 1 0 1 1 4
0 1 0 1 0 3 2
1 0 0 0 0 4 1
0 0 0 1 1 3 2
1 1 0 0 0 3 2
1 0 1 1 1 1 4
0 0 0 0 1 4 1
0 1 1 1 1 1 4
1 1 0 0 0 3 2
1 1 1 1 1 0 5
0 0 1 1 1 2 3
0 0 0 1 1 3 2
1 0 0 0 0 4 1
1 0 0 1 1 2 3
0 0 0 1 1 3 2
0 0 0 0 1 4 1
1 0 1 0 1 2 3
1 1 1 1 1 0 5
0 1 0 1 0 3 2
1 0 0 1 0 3 2
0 0 0 0 1 4 1
1 1 1 0 0 2 3
0 1 1 1 1 1 4
1 0 0 0 0 4 1
1 0 1 0 0 3 2
1 1 0 1 0 2 3
1 0 0 0 1 3 2
1 0 0 0 1 3 2
0 1 0 0 1 3 2
0 0 1 1 1 2 3
0 1 0 1 1 2 3
0 1 1 0 0 3 2
1 1 1 1 1 0 5
0 1 0 0 1 3 2
0 0 0 0 1 4 1
0 1 1 1 1 1 4
0 1 0 1 0 3 2
1 0 1 0 1 2 3
0 0 0 1 1 3 2
1 1 1 0 1 1 4
0 0 0 0 1 4 1
1 1 0 0 0 3 2
1 0 0 0 1 3 2
1 1 1 0 1 1 4
1 0 1 1 1 1 4
1 1 1 1 1 0 5
0 1 1 1 0 2 3
0 0 0 1 1 3 2
1 1 0 0 0 3 2
0 0 1 0 1 3 2
0 0 1 1 1 2 3
0 0 1 0 0 4 1
1 0 1 1 1 1 4
0 0 1 1 1 2 3
1 1 1 1 0 1 4
0 1 1 0 1 2 3
0 0 0 1 1 3 2
0 0 0 0 1 4 1
1 1 1 1 0 1 4
1 0 1 0 1 2 3
0 0 0 1 1 3 2
0 0 0 1 0 4 1
0 1 1 1 1 1 4
1 1 1 1 1 0 5
1 0 1 0 0 3 2
0 1 1 0 0 3 2
0 0 0 1 0 4 1
0 1 0 0 0 4 1
0 0 1 0 0 4 1
1 0 0 0 1 3 2
0 1 0 0 1 3 2
0 0 1 1 1 2 3
1 1 0 0 0 3 2
0 0 1 0 1 3 2
0 1 1 1 0 2 3
1 0 0 0 1 3 2
0 0 1 1 1 2 3
1 1 0 1 0 2 3
1 0 0 1 0 3 2
1 1 0 0 0 3 2
0 1 1 1 1 1 4
0 0 1 0 1 3 2
0 1 1 0 1 2 3
1 0 1 0 1 2 3
0 0 1 1 1 2 3
1 1 0 1 1 1 4
0 1 0 1 0 3 2
1 0 0 0 1 3 2
0 1 1 0 0 3 2
1 1 0 1 1 1 4
0 0 1 1 1 2 3
1 1 0 1 0 2 3
0 1 1 1 1 1 4
0 0 0 1 0 4 1
1 1 0 1 0 2 3
1 1 0 1 0 2 3
0 1 1 0 1 2 3
1 0 0 1 0 3 2
1 0 1 0 0 3 2
1 0 1 1 0 2 3
1 0 1 0 0 3 2
0 0 0 1 0 4 1
1 0 0 0 1 3 2
0 0 1 1 1 2 3
0 0 0 1 1 3 2
1 1 0 0 0 3 2
1 0 0 1 1 2 3
1 1 1 0 0 2 3
1 1 0 1 0 2 3
1 0 0 1 0 3 2
1 0 1 1 0 2 3
1 0 1 0 1 2 3
1 0 0 1 0 3 2
0 0 0 1 1 3 2
0 1 0 1 0 3 2
1 0 0 1 1 2 3
1 1 0 1 1 1 4
0 1 0 0 0 4 1
0 0 0 1 1 3 2
1 0 1 1 0 2 3
0 1 0 0 0 4 1
0 0 1 1 0 3 2
1 1 0 0 0 3 2
0 1 0 1 0 3 2
0 0 0 1 1 3 2
0 0 1 0 1 3 2
1 0 0 0 1 3 2
1 1 0 1 1 1 4
0 1 1 1 1 1 4
1 0 0 1 0 3 2
0 1 0 1 1 2 3
0 0 0 0 0 5 0
0 0 1 0 1 3 2
1 0 1 1 1 1 4
0 1 0 0 1 3 2
0 0 1 0 1 3 2
0 1 1 1 0 2 3
1 1 0 1 1 1 4
1 0 0 0 0 4 1
0 0 1 0 0 4 1
1 0 1 0 0 3 2
0 0 0 0 1 4 1
0 0 1 0 1 3 2
1 0 0 1 1 2 3
0 0 1 1 0 3 2
1 0 1 0 1 2 3
1 0 0 0 0 4 1
0 0 0 0 1 4 1
0 1 0 0 0 4 1
0 0 0 0 0 5 0
0 1 1 1 1 1 4
1 0 1 1 0 2 3
1 0 0 0 1 3 2
0 1 1 0 1 2 3
1 0 1 1 1 1 4
1 1 0 0 1 2 3
0 1 0 0 1 3 2
0 0 1 1 0 3 2
0 1 1 1 0 2 3
1 1 1 0 1 1 4
1 1 0 0 0 3 2
1 1 1 0 0 2 3
0 1 0 0 1 3 2
0 0 0 1 0 4 1
0 0 1 0 0 4 1
0 1 1 0 0 3 2
0 1 0 0 0 4 1
0 0 0 1 0 4 1
1 0 1 1 0 2 3
1 1 1 1 1 0 5
1 0 1 0 0 3 2
1 1 0 1 1 1 4
0 1 0 1 1 2 3
1 0 1 0 1 2 3
0 0 1 0 0 4 1
0 0 1 1 0 3 2
1 1 1 0 0 2 3
1 1 1 0 1 1 4
1 1 0 0 1 2 3
1 0 0 0 1 3 2
0 0 0 0 0 5 0
1 1 0 1 0 2 3
1 0 0 0 0 4 1
1 1 0 1 1 1 4
1 1 0 0 03 2
1 0 0 0 1 3 2
1 0 1 1 1 1 4
0 0 1 0 0 4 1
0 0 1 0 0 4 1
1 1 1 0 1 1 4
0 0 0 1 1 3 2
0 0 0 1 1 3 2
0 0 0 0 1 4 1
0 1 0 0 1 3 2
1 1 0 0 0 3 2
0 0 1 1 0 3 2
0 1 0 0 0 4 1
0 0 1 0 0 4 1
1 1 1 0 0 2 3
1 1 1 0 0 2 3
1 0 0 1 0 3 2
0 1 1 0 0 3 2
0 1 1 0 0 3 2
1 0 0 1 1 2 3
1 1 0 0 0 3 2
1 0 1 1 0 2 3
1 1 0 1 0 2 3
1 0 1 1 1 1 4
1 0 1 1 0 2 3
1 0 1 0 0 3 2
1 0 1 0 1 2 3
1 0 1 1 0 2 3
0 1 1 0 0 3 2
1 0 0 1 0 3 2
1 1 1 0 0 2 3
0 1 1 1 1 1 4
1 1 1 1 1 0 5
1 0 1 0 0 3 2
0 1 1 0 0 3 2
1 0 0 0 0 4 1
1 0 1 1 0 2 3
1 1 1 1 1 0 5
0 0 0 1 1 3 2
0 0 1 0 0 4 1
0 1 1 0 1 2 3
0 1 0 1 1 2 3
1 1 1 1 1 0 5
1 0 1 0 1 2 3
0 0 0 1 1 3 2
0 0 1 1 1 2 3
0 1 1 0 0 3 2
1 0 0 1 1 2 3
0 1 0 1 1 2 3
0 1 0 1 1 2 3
0 1 1 0 1 2 3
0 1 1 1 0 2 3
0 0 1 1 1 2 3
1 0 1 1 0 2 3
0 1 1 0 1 2 3
0 0 1 0 1 3 2
1 1 1 1 0 1 4
1 1 0 0 0 3 2
1 0 1 1 0 2 3
0 0 1 1 1 2 3
1 0 1 1 0 2 3
0 0 1 1 0 3 2
0 0 1 0 1 3 2
1 1 0 1 1 1 4
0 0 1 0 0 4 1
1 1 1 0 0 2 3
0 0 1 0 0 4 1
1 0 0 0 0 4 1
1 1 1 1 1 0 5
1 0 0 1 0 3 2
1 0 1 1 0 2 3
0 1 1 0 1 2 3
1 0 1 0 1 2 3
1 1 1 1 0 1 4
1 1 0 0 0 3 2
1 1 1 0 0 2 3
1 0 1 1 1 1 4
0 0 1 1 1 2 3
1 0 1 0 1 2 3
0 1 0 1 1 2 3
0 1 0 1 1 2 3
0 1 0 1 0 3 2
0 0 0 0 0 5 0
1 1 0 1 1 1 4
1 1 0 1 0 2 3
1 0 1 0 0 3 2
0 0 1 1 1 2 3
1 0 1 0 0 3 2
1 1 0 0 0 3 2
0 0 1 0 0 4 1
0 1 1 1 1 1 4
0 1 0 1 0 3 2
1 0 0 1 1 2 3
1 1 1 1 1 0 5
1 0 0 1 0 3 2
1 1 0 0 1 2 3
0 0 1 1 0 3 2
1 1 0 1 1 1 4
0 1 1 1 0 2 3
1 0 1 1 1 1 4
1 1 0 0 0 3 2
0 1 0 1 1 2 3
0 0 0 1 1 3 2
0 0 0 0 0 5 0
1 0 0 0 0 4 1
1 0 1 0 0 3 2
1 1 0 1 0 2 3
0 0 1 0 1 3 2
0 0 1 0 0 4 1
1 1 1 1 0 1 4
0 0 1 0 1 3 2
0 1 0 0 0 4 1
1 1 0 0 1 2 3
0 0 0 0 1 4 1
0 1 1 1 0 2 3
1 0 1 0 1 2 3
0 0 0 0 1 4 1
0 0 0 1 0 4 1
0 1 1 0 0 3 2
0 1 1 1 1 1 4
0 1 1 1 0 2 3
0 1 0 0 1 3 2
1 1 0 0 1 2 3
0 1 1 0 0 3 2
0 0 0 1 1 3 2
1 1 0 0 0 3 2
0 0 0 1 1 3 2
0 0 0 1 1 3 2
1 0 0 1 0 3 2
1 0 0 1 1 2 3
0 0 0 1 1 3 2
0 1 1 1 1 1 4
0 0 0 0 1 4 1
1 0 1 0 1 2 3
1 0 1 1 1 1 4
1 1 1 0 1 1 4
1 0 0 1 1 2 3
0 1 1 0 1 2 3
0 0 1 0 1 3 2
0 0 0 1 0 4 1
1 0 1 0 1 2 3
1 0 1 1 1 1 4
0 0 0 0 0 5 0
1 1 0 0 0 3 2
0 1 0 0 0 4 1
0 0 1 0 1 3 2
1 1 0 0 1 2 3
1 0 1 0 0 3 2
0 1 1 1 1 1 4
0 0 1 0 0 4 1
1 0 0 0 0 4 1
1 1 1 0 1 1 4
0 0 0 0 1 4 1
1 1 1 0 1 1 4
1 1 1 1 0 1 4
1 0 1 1 0 2 3
1 0 1 0 1 2 3
1 1 0 1 0 2 3
1 0 1 0 0 3 2
1 1 0 1 1 1 4
1 0 0 0 1 3 2
1 1 1 0 1 1 4
1 0 0 0 1 3 2
0 1 1 1 0 2 3
1 1 1 1 1 0 5
0 0 0 0 0 5 0
0 0 1 0 1 3 2
1 1 0 0 1 2 3
1 1 1 0 1 1 4
1 0 1 1 1 1 4
0 1 1 1 0 2 3
0 1 0 0 1 3 2
0 1 1 1 0 2 3
0 0 1 1 0 3 2
1 1 1 1 1 0 5
0 1 0 0 0 4 1
1 0 0 0 0 4 1
1 1 0 0 0 3 2
0 0 0 0 1 4 1
0 0 1 0 1 3 2
0 1 0 0 0 4 1
0 0 1 0 0 4 1
1 1 0 1 1 1 4
0 0 1 1 1 2 3
1 0 0 0 1 3 2
0 0 1 1 0 3 2
0 1 0 1 0 3 2
1 1 1 0 1 1 4
1 1 1 1 0 1 4
1 1 1 0 0 2 3
0 0 0 0 1 4 1
0 1 1 0 0 3 2
1 1 0 0 0 3 2
0 0 0 0 0 5 0
1 1 1 1 1 0 5
1 1 0 1 1 1 4
1 1 1 0 1 1 4
0 1 0 1 1 2 3
0 0 1 0 1 3 2
0 0 0 0 0 5 0
1 0 1 1 1 1 4
1 0 1 1 0 2 3
1 1 1 1 1 0 5
1 0 0 0 0 4 1
1 0 1 1 0 2 3
0 0 1 1 0 3 2
1 0 1 1 0 2 3
1 0 1 0 0 3 2
0 1 0 0 1 3 2
0 1 0 0 0 4 1
0 0 1 0 0 4 1
0 0 1 0 1 3 2
0 0 1 0 0 4 1
0 1 1 0 1 2 3
1 0 1 1 1 1 4
1 0 0 0 0 4 1
0 1 0 0 0 4 1
0 1 1 0 1 2 3
1 0 0 1 0 3 2
1 0 0 1 1 2 3
1 1 1 1 0 1 4
0 0 0 0 0 5 0
1 0 0 1 0 3 2
1 1 0 1 0 2 3
0 0 1 0 1 3 2
0 0 1 0 0 4 1
0 1 0 1 0 3 2
1 0 1 0 1 2 3
0 1 1 0 0 3 2
1 1 1 0 1 1 4
0 0 0 0 1 4 1
1 0 1 1 1 1 4
1 1 0 0 1 2 3
0 0 1 0 1 3 2
0 1 0 1 0 3 2
1 0 0 1 0 3 2
0 0 0 1 0 4 1
1 0 1 1 1 1 4
1 1 0 1 0 2 3
1 0 0 1 1 2 3
0 1 0 1 0 3 2
0 1 1 1 1 1 4
0 0 0 1 0 4 1
0 1 1 0 0 3 2
0 1 0 1 1 2 3
1 1 1 1 0 1 4
1 1 0 0 1 2 3
1 1 1 0 0 2 3
0 0 1 1 0 3 2
1 1 1 0 0 2 3
1 0 0 0 1 3 2
1 0 0 0 1 3 2
0 1 0 0 0 4 1
1 0 0 1 0 3 2
0 1 1 0 1 2 3
1 0 0 1 1 2 3
1 0 1 1 0 2 3
0 0 0 0 1 4 1
1 0 0 1 1 2 3
0 1 1 1 0 2 3
1 1 1 0 0 2 3
0 1 0 0 0 4 1
0 1 1 1 1 1 4
1 1 0 1 0 2 3
1 1 0 0 0 3 2
1 0 1 1 0 2 3
0 0 1 0 1 3 2
0 1 0 1 1 2 3
0 1 1 0 1 2 3
1 1 1 0 0 2 3
0 1 1 1 0 2 3
1 0 1 0 1 2 3
1 0 1 1 0 2 3
1 0 1 1 0 2 3
1 1 1 0 1 1 4
1 1 0 0 1 2 3
1 0 1 0 0 3 2
1 0 1 0 1 2 3
0 1 0 0 0 4 1
1 0 0 1 0 3 2
0 0 1 0 0 4 1
1 1 0 0 0 3 2
1 0 1 1 0 2 3
1 1 0 1 0 2 3
0 1 1 1 1 1 4
0 1 1 1 0 2 3
1 1 0 1 0 2 3
0 0 0 1 0 4 1
0 1 0 0 0 4 1
0 0 0 1 0 4 1
1 1 1 0 1 1 4
1 1 1 1 1 0 5
1 0 0 1 0 3 2
0 1 1 1 0 2 3
0 1 0 1 0 3 2
1 1 1 1 1 0 5
1 0 1 1 0 2 3
0 0 0 1 0 4 1
0 1 0 0 1 3 2
0 1 0 1 1 2 3
0 1 1 1 0 2 3
0 0 0 0 1 4 1
1 0 1 1 1 1 4
0 0 0 1 0 4 1
1 1 0 0 1 2 3
0 0 1 0 0 4 1
0 1 0 1 0 3 2
0 0 1 1 1 2 3
0 1 1 1 0 2 3
1 1 1 0 1 1 4
1 1 1 0 0 2 3
0 0 1 0 1 3 2
1 1 0 1 1 1 4
0 1 1 0 1 2 3
1 0 1 0 0 3 2
1 1 0 0 1 2 3
1 0 1 0 1 2 3
1 0 1 1 1 1 4
1 0 0 0 1 3 2
0 1 0 0 1 3 2
0 1 1 1 1 1 4
1 1 0 0 1 2 3
1 0 0 1 0 3 2
1 1 0 0 1 2 3
1 1 0 0 1 2 3
1 1 0 1 1 1 4
1 1 1 0 0 2 3
0 1 0 1 0 3 2
1 1 1 0 0 2 3
0 0 1 1 0 3 2
0 0 0 1 0 4 1
0 1 1 0 1 2 3
1 0 1 0 1 2 3
1 1 1 1 1 0 5
0 1 2 3 4 5 38 144 342 287 164 25
0 1 2 3 4 5 31 156 313 313 156 31 0 1 2 3 4 5 37 145 323 313 157 25
Normal
19.09.22
EJERCICIO
Para los siguientes datos determina:
a) Media, mediana, moda
b) Construir un histograma con 7 intervalos
Estado Ingreso per cápita Estado Ingreso per cápita
Wyoming 36778 Pennsylvania 34897 MEDIA ARITMÉTICA O PROMEDIO MEDIANA MODA
Montana 29387 Wisconsin 33565 Mediana es el número qque divide a los datos en dos partes iguales, Es el valor que más veces se repite.
North Dakota 31395 Massachusetts 44289 _ es necesario que los datos estén ordenados. Si el resultado en Excel es #N/D no hay moda
New Mexico 27664 Missouri 31899 X= x1+x2+x3+…+xn ESTADÍSTICO DE JARQUE BERE
West Virgina 27215 Idaho 28158 n Datos ordenados: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7 para determinar si los datos
Rhode Island 36153 Kentucky 28513 Mediana provienen de una distribución normal
Virginia 38390 Minnesota 37373
South Dakota 31614 Florida 33219 JB= 5.537528719 IB=(N/6)*((sesgo^2)+((curtosis^2)/4))
Alabama 29136 South Carolina 28352 SUMA: 1672104 MEDIANA: 32657 MODA: ERROR:#VALUE!
Arkansas 26874 New York 40507 MEDIA: 33442.08 No existe PRUEBA CHI DEL ESTADÍSTICO JB
Maryland 41760 Indiaana 31276 0.0627394803 =DISTR.CHICUAD.CD(JarqueBere,2)
Iowa 32315 Connecticut 47819 SESGO 0.74167641 COEFICIENTE DE ASIMETRÍA
Nebraska 33616 Ohio 32478 CURTOSIS 0.6765191832 CURTOSIS NORMAL: 3 PLANA O PUNTIAGUDA INTERVALOS
Hawaii 34539 New Hampshire 38408 LIM INF LIM SUP FRECUENCIA FO
Mississippi 25318 Texas 32462 24800 28086 6 6
Vermont 33327 Oregon 32103 NÚM. DE INTERVALOS: 7 28087 31373 12 12
Maine 31252 New Jersey 43771 MÁXIMO: 47819 31374 34660 14 14
Oklahoma 29330 California 37036 MÍNIMO: 24820 34661 37947 11 11
Delaware 37065 Colorado 37946 RANGO: 22999 MAX-MIN 37948 41234 3 3
Alaska 35612 North Carolina 30553 AMPLITUD: 3285.5714285714 3286 RANGO/NO. DE INTERVALOS 41235 44521 3 3
Tennessee 31107 Illinois 36120 44522 47808 0 0
Kansas 32836 Michigan 33116 47809 51095 1 1
Arizona 30267 Washington 35409 50 50
Nevada 35883 Georgia 31121
Utah 28061 Luisiana 24820
INTERVALOS
36778 24800 28086 6
29387 28087 31373 12
31395 31374 34660 14
27664 34661 37947 11
27215 37948 41234 3
36153 41235 44521 3
38390 44522 47808 0
31614 47809 51095 1
29136 50
26874
41760
32315
33616
34539
25318
33327
31252
29330
37065
35612
31107
32836
30267
35883
28061
34897
33565
44289
31899
28158
28513
37373
33219
28352
40507
31276
47819
32478
38408
32462
32103
43771
37036
37946
30553
36120
33116
35409
31121
24820
28086 31373 34660 37947 41234 44521 47808 51095 24800 28087 31374 34661 37948 41235 44522 47809 6 12 14 11 3 3 0 1
21.09.22
10 MEDIA21.7333333333 10 MEDIA 27.8
8 MEDIANA 11 8 MEDIANA 12
11 11
10 SESGO 1.10271302 10 SESGO 1.63339835
12 CURTOSIS -0.3833673131 12 CURTOSIS 2.6375501461
9 JARQUE BERE 3.131796550 100 JARQUE BERE 11.017894697
8.5 CHI 0.2089002789 8.5 CHI 0.0040503688
9.5 9.5
13 CUARTIL 1 CUARTIL 2 CUARTIL 3 13 CUARTIL 1 CUARTIL 2 CUARTIL 3
10 9.75 11 37.5 10 10 12 45
60 60
45 45
45 45
45 45
30 30
21.09.22.2
SUMA DE DOS DADOS POSIBLES COMBINACIONES RESULTADOS MEDIA MEDIANA SESGO CURTOSIS JB PRUEBA CHI PARA JB
2 1 2 7 7 -1.07477E-16 -0.5449198 0.44540636 0.8003523747
3 2 3
4 3 3
5 4 4
6 5 4
7 6 4 CONCLUSIÓN PARA EL ESTADÍSTICO JARQUE BERE Y PRUEBA DE CHI CUADRADA
8 5 5 Si la prueba de chi cuadrada es mayor a 0.05, se puede concluir que los datos
9 4 5 provienen de una distribución normal, y que la media y mediana son medidas
10 3 5 representativas de la muestra.
11 2 5
12 1 6
6
6
6
6
7
7
7
7
7
7
8
8
8
8
8
9
9
9
9
10
10
10
11
11
12
21.09.22.3
88 45 53 86 33 86 85 30 89 53 41 96 56 38 62
71 51 86 68 29 28 47 33 37 25 36 33 94 73 46
42 34 79 72 88 99 82 62 57 42 28 55 67 62 60
96 61 57 75 93 34 75 53 32 28 73 51 69 91 35
MEDIA MEDIANA SESGO CURTOSIS JB PRUEBA CHI PARA JB
59.1666666667 57 0.16717458 -1.2441345 4.14915013 0.1256097924
ALFA AL 0.05
DATOS NORMALES
28.09.22
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
a) En una empresa se hace una encuesta; la pregunta es: ¿cuántos e-mails recibe una persona a la semana?
Las respuestas dadas por los 75 empleados se muestran en las celdas A6:E20 de la hoja de cálculo de EXCEL.
32 113 70 60 84 MEDIA 65.6533333333 NO. INTERVALOS 8.6603 9
114 31 58 86 102 MEDIANA 61 AMPLITUD 11.2222 11
113 79 86 24 40 MODA 77
44 42 54 71 25 MÁXIMO 125
42 116 68 30 63 MÍNIMO 24 LÍMITE INFERIOR LÍMITE SUPERIOR FRECUENCIA
121 74 77 77 100 RANGO 101 24 35 15 24-35
51 31 61 28 26 SESGO 0.3998854782 36 47 10 36-47
47 54 74 57 35 CURTOSIS -0.9019498868 48 59 10 48-59
77 80 125 105 61 DESVIACIÓN ESTÁNDAR 29.2563198686 M=MUESTRA O P=POBLACIÓN (raíz cuadrada de varianza) 60 71 11 60-71
102 45 115 36 52 VARIANZA 855.9322522523 72 83 9 72-83
58 24 24 39 40 RANGO MEDIO 50.5 =RANGO/2 O =(MAX-MIN)/2 84 95 5 84-95
95 99 54 35 31 COEFICIENTE DE VARIACIÓN 0.4456181946 =DESVIACIÓN.ESTANDAR/MEDIA 96 107 6 96-107
77 29 69 58 32 JARQUE BERE 4.5410849409 108 119 6 108-119
49 118 44 95 65 PRUEBA CHI CUADRADA 0.1032561515 PRUEBA CHI > 0.05 DATOS NORMALES 120 131 3 120-131
71 65 74 122 99 LOS DATOS PROVIENEN DE UNA DISTRIBUCIÓN NORMAL 75
24-35 36-47 48-59 60-71 72-83 84-95 96-107 108-119 120-131 15 10 10 11 9 5 6 6 3
CONCLUSIÓN
Los datos de los 75 empleados, de acuerdo a la prueba de normalidad de Jarque Bere, se puede decir que provienen de una distribución normal, por lo tanto, la media y la mediana son medidas centrales que representan a los datos.
La distribución de frecuencias en 9 intervalos indican un pequeño sesgo a la derecha y una variabilidad de los datos de 29.25631987.
30.09.22
NORMAL SESGADA A LA DERECHA SESGADA A LA IZQUIERDA UNIFORME
67 69 31 40 102 87 12.1 11.6
70 62 43 24 55 104 12.1 11.6
63 67 30 29 70 75 12.4 12.0
65 59 30 24 95 80 12.1 11.6
68 66 38 27 73 66 12.1 11.6
60 65 26 35 79 93 12.2 11.7
70 63 29 33 60 90 12.2 12.3
64 65 55 75 73 84 12.2 11.7
69 60 46 38 89 73 11.9 11.7
61 67 26 34 85 98 12.2 11.7
66 64 29 85 72 79 12.3 11.8
65 68 57 29 92 35 12.3 12.5
71 61 34 40 76 71 11.7 11.8
62 69 34 41 93 90 12.3 11.8
66 65 36 35 76 71 12.3 11.8
68 62 40 26 97 63 12.4 11.9
64 67 28 34 10 58 12.4 11.9
67 70 26 19 70 82 12.1 11.9
62 64 66 23 85 72 12.4 12.2
66 63 63 28 25 93 12.4 11.9
65 68 30 26 83 44 12.5 12.0
63 64 33 31 58 65 11.8 11.9
66 65 24 25 10 77 12.5 12.0
65 61 35 22 92 81 12.5 12.0
63 66 34 28 82 77 12.5 12.0
MEDIA 65.12 MEDIA 35.48 MEDIA 74.2 MEDIA 12.056
MEDIANA 65 MEDIANA 32 MEDIANA 77 MEDIANA 12.05
DESVIACIÓN ESTÁNDAR 2.8359323118 DESVIACIÓN ESTÁNDAR 13.9166601579 DESVIACIÓN ESTÁNDAR 20.4056921111 DESVIACIÓN ESTÁNDAR 0.2792329037
SESGO -0.0203231804 SESGO 1.9774236639 SESGO -1.4986144713 SESGO 0.015608784
CURTOSIS -0.6083436996 CURTOSIS 4.0984606764 CURTOSIS 2.6368044738 CURTOSIS -1.1889600151
MAXIMO 71 MAXIMO 85 MAXIMO 104 MAXIMO 12.5
MINIMO 59 MINIMO 19 MINIMO 10 MINIMO 11.6
RANGO 12 RANGO 66 RANGO 94 RANGO 0.9
NO. INTERVALOS 7.0710678119 7 NO. INTERVALOS 7.0710678119 7 NO. INTERVALOS 7.0710678119 7 NO. INTERVALOS 7.0710678119 7
AMPLITUD 1.7142857143 2 AMPLITUD 9.4285714286 10 AMPLITUD 13.4285714286 14 AMPLITUD 0.1285714286 1
LIM INF LIM SUP FRECUENCIA LIM INF LIM SUP FRECUENCIA LIM INF LIM SUP FRECUENCIA LIM INF LIM SUP FRECUENCIA
56 58 0 56 66 34 56 70 49 56 57 0
59 61 5 67 77 11 71 85 0 58 59 1
62 64 10 78 88 0 86 100 0 60 61 3
65 67 11 89 99 0 101 115 0 62 63 5
68 70 6 100 110 0 116 130 0 64 65 8
71 73 1 111 121 0 131 145 0 66 67 11
33 45 49 28
03.10.22
TEORÍA ELEMENTAL DE LA PROBABILIDAD 1 UNO DOS TRES CUATRO CINDO SEIS
2 20 17 15 9 19 20 100
DEFINICIONES DE PROBABILIDAD 2 0.2 0.17 0.15 0.09 0.19 0.2 1
Definición clásica 4
Suponga que un evento E puede ocurrir en h de n maneras igualmente posibles. Entonces la probabilidad de que ocurra el evento (a la que se le llama éxito) se denota como: 1
p = Pr { E } = h/n 4 UNO DOS TRES CUATRO CINDO SEIS
La probabilidad de que no ocurra el evento (a la que se llama fracaso) se denota como: 6 1648 1669 1748 1687 1634 1614 10000
q=Pr {no E}= (n-h)/n=1-(h/n)=1-p=1-Pr{E} 5 0.1648 0.1669 0.1748 0.1687 0.1634 0.1614 1
q=1-p 6
1
Por lo tanto, p + q = 1 o bien Pr{E} + Pr{no E} = 1. El evento "no E" suele denotarse E o bien -E. 5
6
EJEMPLO 5
Experimento para obtener la probabilidad de obtener 1,2,3,4,5 o 6 al lanzar un dado. 5
3
4
FRECUENCIA RELATIVA 2
La probabilidad estimada o probabilidad empírica de un evento es la frecuencia relativa de ocurrencia del evento cuando la cantidad de observaciones es muy grande. 6
5
6
6
TAREA: 4
Simular el ejemplo 2 4
1
2
4
6
2
5
2
6
2
2
3
1
3
2
1
1
2
5
2
3
1
6
2
6
6
5
3
3
3
1
6
5
4
1
3
3
1
5
5
6
3
5
3
6
1
1
3
5
1
3
6
6
1
1
2
6
5
6
2
1
3
3
5
6
2
5
1
2
5
5
4
1
4
1
6
2
5
2
2
4
4
6
1
1
3
1
3
2
6
3
2
3
2
5
2
3
3
2
3
5
1
6
3
5
4
3
3
3
4
6
5
4
4
6
4
5
4
1
3
5
5
5
1
3
3
5
6
6
4
2
5
6
4
1
5
3
6
2
4
2
1
2
2
1
3
6
3
2
4
2
6
5
5
5
4
6
5
3
3
1
3
3
2
5
6
1
5
2
3
1
1
6
3
6
3
1
2
6
6
5
2
4
1
3
5
3
4
2
6
2
6
3
4
6
3
6
2
2
3
1
1
1
6
3
1
1
1
3
1
4
4
1
1
1
4
3
2
2
4
2
3
2
2
4
2
3
3
1
3
6
2
6
6
3
6
3
6
2
1
4
6
6
6
3
6
3
4
5
4
6
4
2
6
3
6
2
3
1
2
5
1
5
3
3
1
1
4
3
1
3
2
2
1
2
4
5
4
2
4
1
5
3
2
6
3
4
3
6
1
3
2
5
3
4
6
3
2
1
4
6
4
3
2
6
5
1
6
5
4
6
5
5
1
3
1
1
3
3
5
2
3
1
2
2
1
4
4
3
1
4
2
5
2
6
6
1
2
5
3
2
5
6
2
4
2
3
4
5
5
2
4
1
3
1
1
2
1
3
3
2
4
2
6
5
2
6
1
3
2
3
3
4
2
6
3
2
1
3
4
4
1
6
1
3
3
1
3
6
4
4
2
2
3
6
3
5
3
4
5
6
3
5
2
1
2
2
6
6
5
5
6
4
1
3
6
3
3
2
5
1
4
1
5
5
4
2
1
5
3
4
1
6
4
2
6
4
5
2
1
4
1
1
4
1
2
1
5
3
1
1
5
3
42
4
1
5
4
6
6
5
1
2
6
2
1
4
5
1
3
5
1
6
6
6
2
4
2
2
3
4
5
3
5
5
1
3
4
3
6
2
6
2
6
6
5
3
1
2
3
3
4
1
6
5
1
3
2
5
6
1
6
2
6
2
6
1
2
6
5
5
2
2
1
4
5
1
3
4
1
6
2
1
3
3
5
3
1
1
3
2
2
6
4
5
6
6
5
2
4
3
5
1
5
2
1
1
2
1
5
5
4
4
2
2
4
2
3
2
2
3
5
5
2
1
3
3
6
3
2
2
1
2
1
2
2
6
3
1
4
5
4
2
5
6
4
3
4
1
1
4
2
6
5
6
3
1
3
6
3
1
4
6
2
3
3
4
5
2
5
6
5
3
4
1
4
4
2
6
6
6
1
4
5
2
4
6
6
6
1
2
3
3
1
2
2
5
6
4
2
3
3
6
1
2
2
6
4
5
3
6
6
1
4
5
5
6
5
4
3
1
4
5
6
2
3
5
4
5
3
1
5
2
6
4
6
6
3
4
2
6
5
2
1
3
6
3
6
3
4
2
2
5
2
3
1
1
2
3
6
1
4
3
2
6
1
1
2
6
3
5
1
3
2
1
4
6
5
5
2
3
2
4
2
5
2
3
6
5
3
2
5
3
6
3
6
1
1
2
5
3
2
6
5
1
3
6
4
5
4
4
1
6
4
4
3
1
1
6
6
5
5
3
5
5
3
1
6
2
1
3
5
2
1
2
2
1
5
3
3
1
2
2
3
4
3
1
4
3
2
2
6
4
3
3
5
3
5
6
2
4
5
5
3
3
2
6
2
4
4
3
4
3
4
1
1
1
5
3
2
5
2
1
6
2
1
2
3
5
6
2
4
6
6
6
2
2
6
3
3
6
6
1
4
6
4
5
5
1
4
3
1
4
4
3
5
6
3
2
2
6
3
5
3
4
6
6
6
6
6
5
4
4
2
6
3
4
3
6
6
2
6
3
5
1
2
2
4
2
1
4
2
5
4
1
4
1
2
6
6
4
4
3
4
5
1
5
6
4
6
4
2
3
2
6
4
3
4
2
3
2
3
6
4
3
3
1
2
1
2
2
6
5
4
5
1
2
5
4
2
5
2
6
5
3
3
4
2
1
2
1
1
1
3
2
4
6
3
5
6
6
4
4
6
6
6
4
2
1
4
1
5
3
3
6
3
5
4
3
3
1
2
2
2
6
1
4
3
1
1
6
6
4
4
5
3
6
5
1
2
2
6
6
6
2
5
1
5
3
2
6
4
4
6
2
2
2
1
2
6
6
4
3
2
3
3
4
5
3
2
5
4
1
5
1
5
6
6
1
2
5
1
2
4
1
2
1
6
3
3
3
2
1
1
5
1
6
4
1
6
2
2
1
1
3
3
6
3
3
1
5
3
3
3
4
6
1
5
2
4
5
6
5
1
6
2
3
4
3
3
1
4
6
3
1
2
1
6
3
2
5
3
5
2
2
6
3
6
2
4
2
3
1
6
5
3
4
2
3
1
2
4
6
2
2
2
2
1
6
3
6
3
2
5
4
6
4
5
5
5
5
3
4
3
3
6
2
4
4
5
3
3
3
2
2
2
5
5
1
2
1
6
1
4
4
3
1
4
4
3
2
3
1
6
3
3
3
1
6
2
2
2
1
6
6
2
6
3
4
6
4
3
4
2
6
4
4
6
6
6
3
2
5
4
1
4
6
6
1
1
6
3
2
6
1
1
4
1
4
1
6
1
3
2
6
5
5
1
1
4
6
4
2
3
6
2
2
4
2
6
2
6
5
4
6
1
2
2
3
2
3
6
6
3
1
4
2
4
4
3
3
2
5
1
4
1
5
3
5
6
1
2
2
2
4
5
4
2
5
6
6
3
5
4
5
6
4
4
4
4
2
1
3
3
4
1
1
1
6
1
5
4
3
3
5
5
3
6
2
4
2
5
3
5
5
1
6
4
6
6
3
2
5
2
3
5
5
3
3
1
2
3
2
2
5
6
6
2
3
2
5
5
6
6
4
4
3
2
6
5
4
1
3
4
4
1
6
5
2
2
5
6
1
5
3
1
3
6
4
4
3
2
5
3
1
1
6
5
3
5
6
4
3
2
4
4
6
2
4
6
5
6
5
5
4
1
4
1
6
6
6
5
3
6
2
1
5
6
3
3
1
6
1
1
2
6
1
5
3
6
3
4
5
5
2
3
2
1
3
3
5
2
4
6
4
3
4
5
3
2
2
2
3
1
6
6
6
5
4
5
3
5
1
1
3
5
6
2
5
2
2
3
1
6
2
2
1
4
2
2
5
6
6
2
6
6
3
5
3
4
5
2
2
1
5
5
4
6
2
4
3
1
5
1
4
2
2
6
5
3
6
1
4
2
5
5
6
2
3
4
2
1
4
5
5
1
3
5
2
5
3
6
1
1
4
4
2
1
6
2
5
5
2
2
5
6
6
3
3
2
1
1
1
1
1
1
2
4
4
6
4
6
6
3
6
4
3
2
2
2
2
5
2
4
5
4
1
4
5
5
1
5
4
4
4
1
6
2
5
4
2
3
1
5
3
2
2
5
4
4
4
5
1
6
6
2
5
6
3
3
5
1
1
4
5
4
4
5
2
6
6
5
2
5
1
4
3
3
3
1
5
2
6
1
5
3
5
3
5
1
3
4
1
3
1
2
6
6
6
3
1
6
6
2
3
5
2
2
3
5
4
1
3
3
1
1
2
3
5
1
6
6
5
4
3
3
4
6
1
5
2
5
1
2
3
6
3
1
5
1
4
1
5
3
2
4
2
5
2
2
6
6
1
4
2
4
6
2
5
2
2
4
3
2
1
2
6
2
6
1
6
3
1
5
1
3
6
5
1
1
3
2
1
1
3
4
2
1
4
4
2
2
5
3
3
4
6
6
3
1
3
1
5
5
2
5
4
1
5
1
5
1
4
2
4
2
6
5
2
5
6
5
3
5
5
5
4
3
5
5
1
5
2
4
2
2
5
5
5
5
2
3
5
1
2
1
3
3
1
1
5
5
5
4
3
1
6
4
4
2
2
4
5
1
4
3
5
2
5
3
4
3
4
2
2
2
5
4
2
4
1
4
1
1
2
6
5
6
3
6
6
4
4
5
6
4
2
4
6
1
1
1
2
1
3
6
2
2
1
4
3
2
6
5
1
3
6
3
3
2
4
6
4
5
1
3
4
1
5
5
3
1
5
2
1
6
4
5
5
1
2
1
4
5
1
3
2
4
5
2
5
6
5
1
4
1
4
2
5
5
5
2
3
1
5
2
3
5
4
5
5
6
5
1
4
5
5
2
1
6
2
6
3
2
5
5
4
2
1
3
3
2
2
1
3
2
5
4
4
2
2
4
4
4
1
2
5
1
1
1
3
4
1
1
3
2
5
3
2
1
1
5
5
2
3
5
5
3
1
5
6
5
6
5
1
5
5
1
3
4
3
3
6
5
2
1
3
3
2
4
4
5
6
2
2
4
6
1
4
5
1
4
1
4
5
4
4
4
2
4
4
2
1
6
5
2
2
4
6
3
4
5
3
5
3
5
3
4
4
3
1
2
5
6
4
5
1
6
1
2
4
6
3
1
6
5
6
3
4
1
2
5
3
3
4
3
1
5
5
5
1
5
3
2
1
4
5
3
6
1
4
1
2
5
4
4
4
5
2
6
1
6
6
4
5
6
1
4
2
5
2
4
3
4
6
4
6
2
5
2
6
2
3
4
5
2
6
1
2
3
6
4
4
5
3
4
3
5
4
6
5
5
3
1
6
4
6
2
2
6
1
5
1
1
6
2
4
4
5
3
5
6
2
5
2
5
4
1
2
2
4
3
4
5
2
2
5
5
6
5
4
6
3
5
3
1
2
2
5
2
5
6
4
6
6
2
1
2
1
1
3
3
5
5
4
1
2
1
1
5
6
2
2
1
6
6
1
5
4
3
3
6
1
6
4
5
6
4
1
3
2
6
5
2
4
3
5
4
1
4
4
4
6
1
6
2
2
1
1
5
2
6
3
1
4
6
6
6
5
1
4
5
3
4
3
4
3
3
6
4
4
5
1
5
1
4
4
1
4
3
6
5
1
6
5
6
4
2
3
6
1
6
4
1
3
5
5
6
3
4
5
1
1
5
1
4
6
2
3
1
4
2
6
6
2
4
1
3
6
6
4
1
2
4
2
4
5
4
1
6
2
6
1
5
6
1
1
4
5
4
4
1
6
1
1
3
4
5
1
5
5
5
2
6
1
4
1
2
6
3
6
5
3
6
2
6
1
1
4
3
3
3
3
2
1
5
6
6
4
4
6
4
4
4
6
6
4
6
3
4
4
3
6
6
2
1
1
5
2
5
5
5
1
4
5
2
2
1
6
3
3
1
4
6
6
5
6
2
2
2
2
2
1
3
2
4
1
3
3
1
6
6
4
1
6
4
3
6
5
3
6
5
2
4
6
3
3
4
2
2
4
5
1
4
2
2
4
6
6
4
4
4
3
6
4
2
1
6
5
6
5
6
3
1
24
6
6
3
6
6
3
2
5
5
6
4
2
2
5
2
3
4
1
1
4
3
5
6
4
2
3
4
1
2
2
6
3
2
2
3
2
4
3
1
4
5
5
5
1
5
1
3
4
6
4
4
1
4
3
4
2
5
5
3
3
2
2
2
6
5
1
4
5
5
4
4
6
5
2
4
5
3
5
3
5
2
3
5
4
3
3
3
4
3
6
1
4
1
2
5
6
6
2
5
5
3
3
2
6
3
2
5
4
2
1
5
4
5
5
2
3
5
1
5
4
1
3
1
1
6
6
3
1
2
3
3
2
5
4
6
2
4
2
6
2
6
1
4
5
4
5
1
3
3
5
6
1
3
1
6
6
4
1
6
3
4
5
4
4
6
4
4
3
5
3
3
3
1
2
5
3
2
1
6
3
4
1
6
4
2
1
1
4
4
3
1
2
2
5
3
3
1
1
6
4
4
6
2
3
4
3
5
6
6
6
3
3
2
2
2
1
6
5
5
1
3
4
1
1
1
1
6
3
3
4
4
5
2
6
6
6
2
4
6
2
2
6
5
6
1
3
2
4
4
4
1
2
6
5
2
6
4
6
6
6
3
3
4
3
4
4
5
6
2
2
4
1
1
4
1
3
5
6
3
5
6
5
6
6
2
3
3
5
1
2
5
6
5
2
2
6
3
6
3
6
1
4
1
3
2
4
2
3
2
3
5
2
5
3
3
1
4
2
5
6
2
3
1
1
3
4
3
4
1
4
1
4
4
6
5
6
6
3
6
6
3
2
1
4
1
4
2
5
5
5
6
1
1
2
5
5
2
2
3
5
6
3
2
3
2
3
5
3
2
6
5
6
1
5
6
5
4
4
1
2
3
6
5
4
4
5
4
4
4
5
3
4
4
3
3
4
4
5
5
1
5
6
4
4
3
3
4
5
5
3
1
6
6
2
2
5
3
6
4
3
3
2
5
1
4
5
6
2
2
1
6
6
6
4
1
5
4
1
6
1
3
4
6
6
4
4
6
3
5
4
5
5
4
3
6
5
3
4
5
1
5
4
2
3
2
1
4
1
5
4
2
2
4
3
6
1
6
2
6
5
1
5
1
3
1
5
3
3
1
6
4
5
6
1
5
3
3
3
1
3
6
4
3
4
1
4
4
3
3
2
2
6
2
3
2
5
2
4
4
6
1
1
5
1
3
5
4
3
3
5
2
3
1
5
5
5
6
6
4
5
1
6
3
6
3
3
6
3
4
3
4
3
4
2
5
3
4
5
2
3
3
2
4
2
6
6
2
6
6
1
2
2
1
1
4
5
6
3
1
4
5
3
2
1
2
6
2
6
3
2
5
6
3
3
5
3
2
3
4
3
2
1
4
3
1
6
3
2
5
5
3
3
6
3
6
1
2
4
1
6
2
2
2
5
2
5
3
6
3
6
1
3
3
2
2
2
4
3
1
3
4
4
3
6
5
6
5
4
3
5
6
4
1
1
1
1
1
6
4
6
1
3
1
1
2
3
3
4
6
1
6
5
5
5
4
2
4
6
6
2
6
5
2
1
1
1
1
6
3
4
6
5
1
1
6
3
2
6
4
6
1
2
3
5
1
5
4
6
4
4
2
3
3
1
1
5
3
6
3
3
2
4
6
4
5
5
5
2
1
2
6
1
6
5
1
6
3
1
1
2
5
2
2
1
3
1
2
2
2
4
2
5
3
6
2
3
3
4
5
5
2
5
5
5
6
5
5
5
1
6
6
6
4
3
2
2
5
3
1
1
1
5
4
5
4
3
1
1
4
2
3
5
4
6
5
6
2
2
4
2
2
2
5
6
6
1
5
1
3
5
1
2
2
1
6
4
2
2
3
5
5
4
3
4
4
6
6
5
1
1
2
1
1
4
2
5
2
5
5
6
2
6
5
5
2
1
2
5
2
3
2
4
4
4
5
1
4
5
4
2
6
2
6
2
4
1
1
5
5
2
1
3
3
4
2
1
1
6
4
6
6
2
2
2
3
1
1
5
4
2
3
4
5
3
4
5
1
5
2
4
3
5
5
3
3
6
3
1
6
3
1
6
1
4
2
6
1
2
1
1
3
4
2
5
3
6
1
6
3
4
5
5
1
4
5
6
5
5
1
3
4
2
1
6
4
2
5
3
1
2
3
5
1
1
4
3
5
1
2
3
1
1
3
5
5
1
5
3
2
6
4
2
6
6
6
5
3
4
2
1
2
2
3
4
2
5
3
1
2
3
2
4
3
3
6
6
3
1
3
1
5
6
4
3
3
6
2
2
2
4
4
1
6
4
4
5
4
2
5
4
2
5
1
6
5
6
6
6
5
3
4
4
2
6
3
1
2
1
4
6
4
4
5
2
3
3
4
6
1
4
2
5
3
2
1
3
2
5
1
1
5
3
2
5
5
4
3
4
3
3
1
6
1
2
1
3
3
3
3
5
5
1
2
4
1
3
3
1
4
6
3
5
2
2
3
5
3
3
5
6
4
4
4
5
6
1
3
1
2
2
5
2
4
2
1
6
2
4
4
2
6
2
3
5
2
3
3
4
4
5
5
3
3
2
1
5
2
1
5
4
5
2
5
1
5
4
6
2
6
4
5
1
2
4
5
3
3
1
4
1
5
4
2
1
1
1
2
5
3
1
5
5
6
2
1
1
2
4
6
5
1
5
1
3
1
3
5
6
5
2
2
5
2
2
1
5
2
2
5
3
1
2
6
1
2
2
2
5
1
1
4
2
3
4
2
2
1
5
2
4
6
5
6
5
5
3
6
4
4
5
3
5
5
5
2
1
3
5
5
2
4
3
4
6
3
5
3
5
5
2
2
6
6
6
3
3
6
1
4
4
6
5
1
6
6
2
4
2
6
3
6
2
2
4
5
1
2
5
5
6
6
6
3
6
5
5
3
4
4
5
3
3
5
2
6
5
3
4
5
4
1
1
1
1
5
2
4
2
4
4
1
6
4
5
1
2
2
2
6
5
4
3
2
1
4
5
6
5
6
6
5
6
6
2
5
5
6
3
1
6
3
4
6
2
6
6
4
3
6
4
6
4
4
2
5
5
6
2
1
1
4
3
1
4
4
4
6
6
6
6
1
2
3
6
3
6
6
3
2
2
5
5
6
4
1
4
5
2
1
4
1
2
5
6
3
2
5
5
6
1
4
3
2
6
4
3
4
1
4
4
3
6
5
5
2
2
5
1
1
4
3
1
6
6
2
5
3
1
6
2
5
2
3
2
5
2
1
3
5
5
5
3
6
5
6
3
2
2
3
2
3
3
6
6
5
3
3
3
2
6
3
5
3
6
4
2
2
4
6
6
4
3
4
6
4
2
2
5
2
3
5
4
2
4
3
1
4
5
3
3
1
4
4
3
6
2
6
2
2
4
1
6
4
3
5
2
6
3
4
4
2
2
4
3
1
6
4
1
5
4
4
6
6
1
6
3
1
6
4
3
3
6
4
4
2
4
1
2
1
5
3
4
3
2
1
3
1
1
5
3
4
4
4
1
4
3
4
6
1
4
1
3
4
3
3
6
3
3
6
3
1
2
5
3
1
6
2
5
3
4
1
1
1
4
5
6
6
5
2
3
5
6
5
6
6
3
4
3
5
3
4
2
6
3
4
3
4
2
4
4
2
3
2
2
6
2
3
2
6
1
3
4
6
6
6
2
2
2
4
6
3
3
3
4
2
3
2
3
4
3
3
4
6
3
2
2
4
4
1
4
3
1
3
4
5
1
4
5
1
1
4
6
6
2
1
1
6
4
6
5
6
4
6
4
3
6
3
2
4
4
1
1
2
4
5
4
3
3
4
3
1
6
1
6
3
3
4
1
4
6
2
6
6
2
4
3
4
4
4
2
5
5
6
6
6
4
4
1
6
2
5
5
3
3
1
1
6
1
3
6
6
2
2
6
3
3
4
1
1
3
2
5
3
6
4
6
3
4
6
1
1
3
4
1
4
4
3
4
5
1
5
3
4
4
4
5
4
1
2
1
4
6
5
6
4
5
1
6
5
5
1
3
6
4
4
3
2
5
2
2
3
1
1
4
1
4
4
5
4
6
1
3
3
1
1
2
2
5
2
6
6
5
1
6
5
5
1
6
1
5
6
3
2
6
6
2
1
2
2
2
6
5
2
4
5
5
6
6
5
5
1
3
1
3
5
3
3
3
1
5
4
6
1
4
3
1
5
5
6
1
2
4
5
3
3
4
1
4
1
2
6
5
3
6
5
6
5
3
2
5
4
6
4
3
5
3
1
1
1
2
3
1
1
5
3
2
5
3
2
3
4
6
2
1
5
2
1
1
3
6
6
6
2
6
1
4
5
1
2
3
1
4
5
2
5
5
3
3
3
1
2
6
2
2
4
4
5
3
5
3
3
3
6
5
6
1
3
6
2
3
3
4
6
2
1
5
6
6
1
6
2
1
4
1
4
3
5
6
4
4
1
2
1
4
5
5
3
2
2
3
3
3
6
2
4
3
1
5
5
3
1
1
2
1
3
1
1
1
6
6
5
6
1
1
1
1
4
3
5
4
31
2
2
4
3
4
1
1
1
3
3
1
6
4
5
6
3
2
4
3
4
6
3
5
4
2
1
4
1
1
3
6
3
5
4
1
1
5
4
5
6
4
3
4
2
1
4
6
2
4
3
2
6
5
3
5
6
5
2
4
3
6
1
5
4
6
2
4
5
5
4
3
1
6
6
5
2
1
6
5
4
1
1
5
5
4
3
6
1
6
6
3
1
6
3
2
1
4
6
5
4
1
5
3
6
4
1
5
4
3
3
2
3
6
4
3
6
5
1
6
4
6
3
3
1
6
1
2
6
4
1
5
3
6
2
4
2
1
5
3
6
5
4
2
2
4
3
4
2
1
2
3
4
3
5
2
2
3
6
2
2
5
2
4
5
1
4
1
1
5
6
6
1
1
6
3
2
3
2
3
4
3
3
1
2
6
5
6
3
1
6
6
2
6
2
4
1
5
3
6
5
6
3
6
5
4
2
2
5
1
2
2
4
4
3
5
4
3
3
2
4
3
2
5
3
3
3
6
4
2
3
2
3
3
3
1
3
6
2
1
3
6
2
1
6
3
6
3
2
6
6
3
3
4
2
6
1
1
2
6
6
5
5
3
6
6
1
1
2
2
3
2
6
1
4
4
6
6
5
6
3
3
1
6
4
1
4
4
3
5
4
5
6
1
4
6
2
6
3
1
2
3
6
1
4
1
6
2
1
6
6
4
2
2
1
1
4
3
3
1
6
5
5
5
6
4
4
4
1
2
1
5
3
1
5
3
1
3
6
5
1
1
6
1
1
3
1
2
6
4
6
4
1
5
2
6
5
6
2
4
2
1
2
3
5
2
4
5
5
3
5
4
3
1
4
1
6
6
2
1
6
5
5
6
5
5
3
3
3
6
2
6
3
2
2
1
1
3
5
1
1
3
1
2
5
5
6
3
3
4
4
2
6
6
5
4
1
2
2
5
6
6
1
1
5
4
1
3
4
5
1
3
5
3
1
6
1
2
5
5
6
4
5
6
3
4
3
5
3
6
4
3
4
1
2
2
6
6
6
4
3
5
1
5
2
5
2
5
3
5
4
6
6
6
5
6
3
6
4
3
5
3
3
2
6
1
3
2
1
2
1
5
6
6
1
6
4
6
1
1
5
4
1
3
3
1
6
5
1
2
4
6
3
1
1
4
2
5
2
4
3
1
5
3
2
6
6
5
4
1
6
6
3
5
5
3
3
1
3
5
2
3
3
1
4
1
3
2
3
2
5
3
6
2
6
6
4
2
1
5
2
4
4
3
6
2
2
4
3
3
5
2
1
6
6
5
1
6
6
3
4
1
3
1
3
1
4
1
6
6
3
1
3
4
4
2
3
5
4
1
6
6
2
3
1
5
2
1
1
5
6
2
2
1
5
2
5
2
5
6
6
1
6
2
2
6
5
1
1
3
3
5
1
6
2
3
6
1
2
3
4
2
5
3
6
3
5
2
3
4
2
2
2
5
4
1
1
4
5
3
2
5
5
3
2
4
5
1
4
3
3
3
6
6
5
6
6
2
1
1
4
4
4
5
2
4
2
1
6
6
2
4
1
4
2
2
5
4
4
4
2
5
1
5
2
4
1
6
4
2
2
5
4
4
4
3
4
1
4
1
5
5
4
3
3
3
2
6
1
2
6
3
5
3
1
5
6
1
4
4
2
2
5
6
4
2
4
4
1
2
3
4
4
5
3
3
3
5
3
3
1
3
4
1
6
1
4
5
4
6
5
1
6
2
6
5
6
2
2
5
5
4
4
5
5
5
2
6
5
5
4
4
3
1
2
6
3
1
3
4
2
6
3
6
4
3
2
6
5
5
3
5
1
4
6
4
6
2
5
1
3
1
1
5
4
6
1
3
6
3
5
1
6
2
1
4
2
6
5
2
2
6
1
5
2
4
2
5
3
5
1
5
4
5
1
5
2
2
4
4
3
3
5
1
6
6
3
1
2
4
1
2
5
4
6
2
5
4
5
5
5
2
6
3
6
1
1
6
4
1
3
3
1
3
2
5
1
6
2
3
2
2
3
2
6
1
4
5
3
6
4
1
4
2
4
1
6
3
1
3
5
3
3
4
3
3
3
3
6
3
6
1
1
6
6
2
5
3
3
3
4
6
3
5
1
4
4
3
1
3
4
3
4
1
5
4
2
6
4
2
3
4
5
3
4
6
1
5
1
3
3
3
4
1
6
1
5
5
1
5
1
1
6
1
4
5
5
4
4
6
3
2
3
4
5
4
2
3
1
3
6
4
1
1
4
4
1
1
5
3
1
4
3
5
1
2
5
5
3
4
5
3
4
1
1
3
3
3
4
5
4
2
3
1
5
6
6
1
1
1
3
1
4
3
4
3
6
2
5
1
6
1
3
4
4
5
4
6
1
4
2
5
2
5
6
3
3
2
3
4
4
4
4
5
3
3
2
1
5
4
2
6
4
1
2
3
6
1
6
1
2
5
2
3
2
2
3
6
2
1
1
3
5
5
4
5
2
3
6
3
2
1
5
1
3
1
4
6
6
5
4
2
1
2
1
6
4
4
1
5
2
6
1
2
6
6
6
5
3
5
1
3
2
6
4
1
4
5
6
4
6
3
4
2
5
6
5
4
4
1
3
5
3
4
5
2
1
5
4
1
4
5
1
1
2
4
6
2
1
5
6
2
2
2
1
3
2
4
6
4
6
6
1
6
1
4
3
2
3
3
3
1
6
2
6
6
4
4
2
1
3
4
2
6
5
5
3
4
1
1
4
1
6
6
2
1
5
2
6
4
5
6
2
5
1
1
2
4
4
6
3
2
2
4
5
5
3
5
4
6
1
6
3
4
6
5
3
1
4
2
5
4
3
5
3
6
6
3
5
3
5
2
4
6
4
2
3
5
5
2
3
2
6
1
6
2
4
3
3
2
4
2
3
2
3
6
4
3
1
3
2
6
6
5
4
5
5
1
5
2
1
2
3
3
6
3
5
5
1
2
3
6
6
1
5
3
6
4
1
4
2
5
6
4
4
5
4
2
1
4
3
5
1
6
6
1
2
3
2
3
5
1
6
5
4
2
4
5
6
6
5
2
4
4
5
4
1
2
2
5
4
6
2
3
1
4
4
1
2
3
5
1
3
2
6
6
5
1
4
5
1
6
4
2
3
3
4
2
5
3
4
6
3
2
5
4
4
3
5
2
3
3
6
4
2
4
3
4
4
5
3
4
3
3
3
2
3
6
1
2
3
6
4
1
4
3
2
5
3
3
2
4
5
3
5
5
4
2
6
1
2
3
5
6
3
5
2
4
3
2
5
1
1
1
3
6
6
1
3
6
2
3
3
4
4
2
6
6
2
6
1
5
5
3
1
1
6
3
4
5
3
4
6
4
5
5
6
3
3
5
6
5
2
6
2
1
5
4
2
5
5
4
3
6
3
5
1
2
6
3
2
1
4
3
6
1
2
4
5
6
1
5
4
2
5
4
5
4
6
3
2
2
4
1
4
6
6
6
4
5
2
3
1
1
2
3
5
6
6
4
3
5
5
5
2
3
2
3
1
3
4
4
4
4
6
2
3
4
5
4
5
6
5
2
5
2
5
4
5
4
1
1
3
3
4
5
4
5
1
2
2
1
5
5
3
6
2
3
4
3
6
6
1
6
4
3
1
5
4
1
6
2
6
4
3
4
4
5
1
1
3
1
4
1
4
5
2
2
4
3
6
4
4
1
2
6
2
3
3
2
4
3
6
2
2
1
3
2
6
4
3
1
6
2
2
5
1
5
4
5
6
5
4
5
6
2
1
6
5
4
1
1
5
5
1
1
5
5
3
3
2
3
1
1
6
2
2
3
2
5
3
5
6
5
5
6
5
3
1
4
2
1
2
6
3
5
3
2
1
3
5
6
4
6
5
1
6
4
4
6
2
6
3
5
6
1
4
5
1
5
5
4
1
2
1
2
5
4
5
3
1
6
3
5
2
1
1
5
2
6
1
3
3
2
3
2
1
2
3
2
6
3
1
1
6
1
5
1
6
2
5
5
3
1
6
3
4
4
5
1
4
5
3
3
3
2
4
4
2
2
4
6
4
5
5
1
3
1
4
3
4
2
4
4
4
2
5
6
3
5
5
1
6
4
1
5
1
1
2
6
3
5
5
6
1
2
2
3
5
1
1
2
2
6
3
4
4
6
3
6
3
5
4
5
2
6
5
5
3
1
4
5
6
3
1
3
4
6
5
3
3
3
5
1
6
4
2
3
1
4
4
4
2
4
3
3
3
4
6
1
1
6
1
2
2
5
4
3
3
5
2
3
5
4
5
4
4
2
5
5
4
2
2
1
3
2
4
5
4
1
4
1
4
6
3
1
4
6
4
5
1
3
2
4
3
5
6
2
3
4
3
6
2
3
4
4
6
1
1
6
6
2
2
6
4
1
3
3
1
4
1
5
2
3
3
1
2
5
5
5
4
1
1
3
4
5
3
3
2
1
2
3
3
6
5
5
1
3
6
4
5
2
6
5
4
2
4
4
3
6
2
3
2
2
2
2
2
2
6
2
3
32
6
6
4
3
4
5
5
4
2
3
4
4
1
3
5
1
2
1
2
6
2
4
2
5
5
5
4
2
5
2
3
2
5
2
2
2
2
1
6
3
1
5
3
5
1
1
2
3
1
6
6
5
1
6
4
3
4
1
2
5
6
4
3
3
6
5
4
6
1
2
3
3
5
4
1
2
6
2
5
6
5
3
4
2
2
1
4
2
2
5
6
5
3
4
5
1
2
3
6
4
3
2
2
3
2
3
3
5
4
5
5
6
4
3
1
3
5
4
4
1
6
1
2
5
4
3
3
1
1
2
2
3
5
4
2
3
2
4
3
2
1
6
5
3
3
3
3
1
5
6
1
2
4
5
4
3
2
1
6
6
1
5
4
2
5
1
5
6
2
2
4
4
6
1
5
2
6
4
5
1
4
6
3
5
3
1
6
1
5
1
5
6
6
3
2
3
6
3
5
4
6
3
4
1
3
4
4
6
3
6
2
1
4
6
5
2
1
6
5
2
1
4
6
3
3
5
4
1
3
2
5
4
5
4
6
2
3
4
1
4
6
6
5
6
6
2
3
5
5
4
3
3
4
1
6
2
5
4
3
6
3
3
6
2
2
6
6
6
3
3
1
6
3
2
2
4
6
3
2
5
2
5
1
3
5
4
4
6
1
5
5
2
3
2
2
6
3
2
3
1
3
3
3
2
1
5
4
1
4
6
5
1
3
1
1
2
4
3
5
1
5
4
3
4
4
5
2
4
3
3
4
3
4
6
1
3
6
2
5
3
6
5
2
3
3
1
3
1
6
4
2
1
6
1
5
1
3
1
5
5
2
6
4
2
6
6
3
6
5
5
2
1
6
3
3
6
4
5
4
5
3
5
5
4
1
1
2
3
6
3
2
6
6
3
3
4
2
4
3
6
3
6
3
6
5
3
1
1
5
4
2
2
6
1
6
6
3
6
2
5
3
4
2
1
5
4
4
1
2
6
3
6
1
1
3
6
2
3
6
5
4
3
1
4
6
4
5
6
4
3
4
4
6
5
6
1
6
5
2
4
4
3
2
1
1
6
1
4
4
1
4
6
1
2
6
3
4
4
1
3
1
2
2
1
4
3
3
6
1
1
1
2
3
4
6
1
6
2
4
4
3
1
3
2
6
3
5
4
6
6
3
6
4
2
6
5
3
3
1
3
5
6
2
2
4
4
6
2
4
1
6
3
1
5
6
4
4
5
4
2
2
1
3
1
6
5
5
6
3
2
5
6
5
5
2
2
2
6
6
5
3
2
5
1
1
3
3
4
2
4
3
3
4
4
1
1
2
6
5
6
4
6
5
1
5
4
3
3
4
3
6
4
1
2
1
2
1
2
4
3
1
6
5
6
3
1
1
6
4
3
4
4
5
5
6
2
5
6
6
3
5
6
4
5
3
2
4
3
2
2
3
4
4
5
4
3
1
5
6
4
6
6
3
4
2
5
1
5
3
4
3
6
4
1
4
1
3
4
5
3
5
1
2
5
3
6
3
5
1
6
1
2
4
2
6
1
2
2
4
1
2
4
3
2
6
3
6
2
1
5
2
4
5
2
1
1
1
4
2
5
2
2
1
4
3
4
6
2
5
6
2
4
3
1
4
3
1
6
3
2
1
2
5
2
4
6
6
4
5
5
3
1
6
4
2
4
2
3
2
2
2
2
1
4
2
1
3
2
3
5
1
3
1
3
3
2
2
4
1
1
1
4
4
2
2
3
2
3
2
4
3
4
2
1
1
4
1
1
6
5
2
3
4
5
2
1
4
3
4
5
1
2
4
3
5
2
2
2
4
3
4
4
5
2
3
1
3
6
4
6
5
6
3
3
3
4
4
5
5
6
6
4
1
1
2
3
4
2
6
3
3
3
2
2
5
3
1
6
4
5
4
4
5
3
5
5
4
2
1
2
4
5
3
5
5
3
3
4
4
3
3
5
3
5
4
1
4
2
3
6
6
3
5
5
1
4
1
6
4
3
5
1
1
5
5
3
4
3
5
1
5
1
1
2
5
3
1
1
3
5
4
3
1
5
2
1
5
3
2
3
2
3
5
5
6
5
2
1
3
4
5
3
3
4
3
5
5
1
5
4
4
1
3
4
5
2
5
6
3
1
3
2
6
1
6
2
1
6
4
4
2
3
4
6
2
3
3
3
3
3
2
2
5
5
1
2
1
6
5
3
6
3
2
4
6
3
3
3
2
1
4
4
1
6
2
2
2
5
4
1
5
1
5
3
2
1
5
3
5
6
2
4
4
2
6
5
1
4
6
4
5
4
4
6
4
4
4
4
4
5
1
5
2
4
4
6
6
2
1
6
3
2
2
1
5
3
2
1
5
2
1
2
5
2
2
3
5
4
4
5
6
4
1
5
3
3
1
3
3
3
1
2
5
5
5
2
2
6
3
4
6
2
3
4
1
6
3
4
1
1
1
4
6
2
5
6
3
6
3
5
4
4
2
3
2
5
5
3
6
2
1
2
3
2
5
2
3
5
3
1
1
1
5
1
2
5
6
2
4
4
5
3
1
6
5
1
6
6
2
5
3
5
5
3
2
1
5
3
3
6
3
6
2
1
2
4
3
2
6
6
4
3
3
5
2
4
6
3
4
2
1
1
3
4
3
2
3
5
4
6
5
1
5
2
6
2
5
5
2
4
1
4
1
1
4
2
2
6
2
5
5
3
3
6
2
2
6
2
6
5
4
2
6
6
2
2
2
1
5
1
5
2
1
3
4
5
3
2
2
4
1
1
3
3
2
1
6
1
5
4
1
1
6
6
4
5
1
3
5
3
3
6
2
1
3
1
6
1
5
6
1
3
4
3
2
2
3
3
3
5
5
3
1
5
5
4
2
4
4
4
2
5
6
2
1
3
1
3
5
1
1
3
3
1
3
4
4
5
1
6
6
2
4
5
5
6
6
1
3
4
1
1
3
4
6
6
4
6
5
5
3
6
2
3
4
4
6
4
2
2
1
4
3
1
2
1
3
2
4
6
1
5
5
4
4
4
6
3
1
4
3
5
4
4
2
4
1
5
6
1
1
1
4
2
6
4
4
5
1
4
2
3
2
1
6
5
1
4
3
1
4
3
3
3
4
2
1
6
3
5
5
6
6
6
2
6
4
5
6
4
6
2
5
4
2
6
4
5
6
6
6
5
4
4
6
1
6
1
6
1
4
6
6
3
4
1
3
6
4
5
2
6
1
5
2
2
2
6
1
1
4
4
6
4
4
6
3
5
5
6
5
5
3
1
2
1
5
3
4
3
6
4
6
5
6
6
6
3
3
2
2
3
2
3
4
3
1
1
5
6
4
4
1
2
2
6
6
2
1
5
4
5
2
5
3
2
2
6
2
1
4
5
5
3
1
4
1
1
3
4
4
4
4
1
3
5
6
1
3
2
5
3
3
1
6
1
2
4
6
4
2
1
4
3
2
4
6
6
4
3
3
6
2
2
1
6
4
3
6
5
1
2
6
1
2
2
4
2
4
2
5
5
3
2
6
4
3
3
2
3
6
5
6
4
1
6
3
6
5
6
1
5
2
2
5
3
3
2
6
6
5
4
1
5
6
3
5
5
4
6
1
2
2
6
4
5
2
5
6
1
6
4
5
1
3
5
6
4
6
6
6
4
4
3
3
2
5
4
5
3
5
6
6
2
1
2
3
1
6
3
4
6
6
6
4
2
2
5
3
1
4
4
3
5
5
5
1
1
6
1
4
5
1
1
3
3
4
1
5
6
5
4
5
4
6
6
4
1
2
3
2
3
4
3
6
6
6
5
6
2
5
5
5
2
1
1
3
4
1
3
5
1
5
5
4
6
3
2
4
4
5
5
2
5
2
3
2
6
5
2
4
6
4
4
4
1
3
2
1
6
4
6
1
6
1
5
4
1
3
4
2
3
1
3
6
1
2
1
5
3
1
4
5
2
2
4
2
4
3
6
6
3
3
5
6
6
4
3
5
3
3
3
1
3
3
2
5
4
5
4
3
2
1
6
6
5
4
3
1
5
6
5
2
1
2
2
6
2
6
1
2
3
4
5
1
4
1
4
6
1
2
4
5
3
2
4
5
2
2
5
2
2
6
2
3
1
4
5
4
2
5
4
1
3
1
1
6
6
4
2
5
1
6
2
2
5
3
5
4
6
1
1
2
1
4
1
4
2
1
2
1
2
3
2
4
1
2
2
5
4
4
4
3
5
2
4
4
6
2
5
2
1
2
5
3
2
5
3
1
2
2
5
5
3
5
3
6
4
4
5
5
5
1
4
2
6
1
2
3
3
6
2
2
1
5
2
6
3
5
3
6
6
6
6
2
6
4
1
2
4
3
1
5
6
3
4
5
1
2
5
4
2
1
3
2
4
3
3
4
6
1
2
5
5
5
4
4
1
5
1
3
3
6
4
6
3
4
2
3
5
6
6
6
2
3
3
5
1
3
5
5
6
1
5
1
4
2
2
3
5
1
6
4
4
3
3
2
5
6
2
6
4
2
5
4
2
5
4
1
3
6
1
2
4
5
6
1
3
4
3
13
6
4
3
2
4
2
5
3
2
3
6
3
4
4
2
4
6
1
1
6
4
4
2
2
2
6
1
4
1
1
2
3
3
1
5
1
1
5
1
2
3
6
4
2
1
6
4
6
4
5
4
4
5
3
3
4
4
5
3
4
5
5
2
3
1
1
2
2
6
2
5
5
2
2
6
1
6
5
1
2
2
2
1
1
6
2
6
1
3
3
6
6
6
6
5
1
2
1
1
4
4
1
1
1
2
4
2
5
4
5
5
4
6
1
3
1
3
1
3
2
4
5
1
6
6
6
5
2
5
6
1
2
3
5
5
1
3
2
6
2
3
3
1
6
1
6
2
1
1
3
2
4
1
4
6
6
2
6
3
3
4
4
1
6
1
2
3
4
4
6
3
1
5
5
2
4
2
2
4
6
6
2
5
2
6
3
2
1
4
6
5
4
1
6
3
2
3
1
3
5
1
6
3
5
4
5
2
6
6
1
5
2
3
6
6
5
2
4
2
2
5
5
3
2
6
2
3
6
4
5
5
4
5
1
1
1
5
1
1
3
5
2
2
1
1
4
2
6
4
4
6
1
1
5
4
1
2
1
6
6
6
5
1
5
5
3
3
3
1
3
4
2
1
5
6
5
1
4
3
4
6
3
5
1
4
4
2
6
6
6
4
2
1
3
6
1
6
2
5
3
5
2
6
1
5
4
6
4
5
4
4
4
2
3
1
5
2
4
1
1
6
6
6
5
4
4
5
3
4
2
3
2
4
3
6
5
3
3
4
1
5
5
4
4
1
4
5
3
1
1
1
1
6
3
6
3
4
6
3
3
2
4
3
1
2
4
1
3
3
1
6
1
3
5
1
2
1
3
3
1
6
3
5
5
5
4
4
4
4
4
4
5
1
6
2
4
4
5
2
6
2
4
3
5
3
6
2
1
3
4
6
6
1
5
4
3
6
5
6
1
6
1
3
6
5
2
6
1
6
3
2
1
3
4
2
6
1
1
6
6
2
4
2
3
3
3
5
6
3
1
4
1
5
4
4
1
4
5
3
3
3
3
2
1
5
2
2
2
3
1
1
6
4
4
2
1
3
5
3
5
5
5
3
3
4
3
2
6
6
2
6
5
1
2
5
5
4
5
6
6
2
3
1
3
1
5
5
1
4
5
2
6
2
1
1
2
6
6
3
2
2
2
4
5
6
4
4
2
5
2
4
1
2
6
4
6
4
4
4
5
4
1
1
2
3
6
5
5
1
5
3
4
2
1
2
1
4
1
5
3
6
2
3
6
3
6
2
1
6
2
1
3
4
1
2
5
2
6
1
2
4
2
4
3
4
2
4
3
1
5
5
1
3
2
4
5
1
4
6
1
2
2
5
5
1
2
4
4
2
1
3
1
2
6
4
5
5
3
5
3
3
3
6
2
2
1
2
6
1
5
2
1
5
3
2
2
2
2
6
3
5
3
2
6
4
3
1
4
1
1
5
4
1
2
3
2
6
4
5
1
3
1
5
4
5
5
3
2
2
3
6
2
1
4
6
6
3
1
2
3
5
4
5
6
6
3
4
3
4
1
6
2
6
1
1
4
2
6
1
5
2
1
2
4
1
2
3
3
6
4
5
5
4
6
5
1
5
4
1
4
3
3
2
2
5
4
1
1
3
6
3
5
3
4
5
6
4
2
5
3
2
5
2
3
6
4
6
6
3
4
1
4
5
6
1
6
4
2
2
1
6
1
3
6
4
5
3
6
6
5
1
1
2
3
6
6
1
5
5
6
4
2
5
2
1
1
6
5
1
1
2
6
6
4
1
4
1
1
2
5
2
4
5
4
2
1
5
6
1
2
3
2
1
1
2
4
6
2
3
5
1
2
6
5
6
4
3
5
4
3
1
1
6
6
6
2
1
5
4
2
4
6
6
3
5
6
5
2
3
4
5
1
2
4
5
6
1
6
1
4
3
5
4
6
5
5
3
2
1
5
3
2
1
1
2
3
6
3
3
1
6
4
3
6
1
6
3
4
1
4
1
6
5
3
1
5
6
4
5
3
3
5
3
2
4
5
6
1
1
3
3
2
4
5
1
1
4
3
1
1
5
2
2
3
3
5
4
2
2
3
3
2
2
3
4
4
1
5
3
2
5
4
4
1
1
5
3
1
3
4
5
1
4
3
4
1
4
4
4
3
2
3
1
5
5
6
1
5
5
6
5
6
2
3
3
1
4
4
6
3
1
4
1
5
4
1
1
2
3
2
5
2
6
4
5
1
4
5
3
5
6
5
2
2
1
4
2
2
3
4
1
2
3
5
4
6
6
2
1
5
5
1
1
3
5
6
1
2
3
1
3
5
2
4
6
1
4
1
5
2
5
6
2
4
1
5
4
2
4
4
5
6
5
6
4
6
3
5
4
3
1
4
4
4
5
6
6
4
4
4
4
4
4
1
3
1
6
6
4
1
4
1
4
4
4
5
6
3
3
3
6
6
4
6
6
6
2
2
4
5
3
4
5
2
2
6
3
1
5
6
5
1
6
2
1
6
2
3
3
2
1
1
6
2
5
4
3
5
5
3
1
2
6
6
6
3
4
1
4
4
5
1
1
4
4
6
5
6
6
5
1
2
3
6
1
3
4
5
4
4
6
6
5
5
1
5
6
3
3
3
1
6
5
4
4
1
1
5
3
5
3
4
5
6
1
3
1
3
4
6
1
4
6
1
2
1
4
3
4
3
4
5
5
5
3
5
6
3
5
5
5
2
1
4
5
5
4
5
1
1
2
3
1
6
1
2
3
2
4
1
5
4
3
1
6
1
1
3
4
3
3
3
1
6
3
2
2
6
1
3
1
3
2
5
6
6
5
6
2
2
1
4
4
1
1
5
6
4
3
1
3
2
2
3
6
6
5
3
5
4
1
4
1
4
6
4
5
5
4
4
5
2
2
5
1
4
5
4
1
3
3
3
6
4
4
3
4
2
3
3
4
3
2
5
2
3
6
6
2
5
4
1
6
2
4
6
6
6
3
1
4
2
1
4
4
1
5
4
5
4
6
1
6
5
2
5
3
1
5
4
6
5
5
5
2
6
6
4
1
5
2
5
4
4
6
1
3
4
1
2
3
5
3
2
5
4
1
5
6
3
2
3
5
3
5
2
4
6
4
1
5
6
1
1
1
5
4
4
2
4
2
1
2
6
6
5
2
3
1
5
3
5
2
1
6
3
1
2
5
2
1
4
2
3
2
1
6
3
3
1
6
2
6
4
2
5
3
6
2
2
1
2
5
4
4
6
2
6
5
6
2
5
5
3
3
4
1
4
3
2
5
4
2
3
3
3
1
5
2
2
3
1
6
4
3
10.10.22
EVENTOS INDEPENDIENTES Y DEPENDIENTES
Pr (E1 E2)=Pr (E1) Pr (E2) independiente
Pr (E1 E2) = Pr (E1) Pr (E2 | E1) dependiente
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES
Pr (E1 + E2) = Pr (E1) + Pr (E2) - Pr (E1 E2)
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
1) Discreta
Si una variable x toma un conjunto discreto de valores (x1,x2,x3,…,xk) con probabilidades respectivas (p1,p2,p3,…,pk) donde p1+p2+p3+…+pk=1
Experimento: Lanzar dos dados
Evento: Suma de los dados
X P(xk)
x1= 2 (1,1) P(x1)= P(x=2)=1/36
x2= 3 (1,2)(2,1) P(x2)= P(x=3)=2/36
x3= 4 (1,3)(2,2)(3,1)
. 5 (1,4)(2,3)(3,2)(4,1)
. 6 (1,5)(2,4)(3,3)(4,2)(5,1)
. 7 (1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1)
. 8 (2,6)(3,5)(4,4)(5,3)(6,2)
. 9 (3,6)(4,5)(5,4)(6,3)
. 10 (4,6)(5,5)(6,4)
. 11 (5,6)(6,5)
x11= 12 (6,6)
36 Suma=36/36=1
Espacio muestral
2) Continua
Para el caso de distribuciones continuas, se utiliza la función de densidad que se convierte en el límite de una población en una curva continua.
(Integrales)
ESPERANZA MATEMÁTICA
Si P es la probabilidad de que una persona reciba una cantidad de dinero "s", entonces P•s se define como la esperanza matemática
2 (1/36) 2(1/36) 0.0555555556
3 (2/36) 3(2/36) 0.1666666667
4 (3/36) 4(3/36) 0.3333333333
5 (4/36) 5(4/36) 0.5555555556
6 (5/36) 6(5/36) 0.8333333333
7 (6/36) 7(6/36) 1.1666666667
8 (5/36) 6(5/36) 0.8333333333
9 (4/36) 5(4/36) 0.5555555556
10 (3/36) 4(3/36) 0.3333333333
11 (2/36) 3(2/36) 0.1666666667
12 (1/36) 2(1/36) 0.0555555556
Suma=7 5.0555555556
ANÁLISIS COMBINATORIO
Continuar navegando
Contenido elegido para ti
Compartir