MAMD1_U1_A3_JOPS

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Universidad Abierta y a Distancia de México
Algebra Moderna 1
Unidad 1
Actividad 3. Subgrupos.
Alumno: Josué Samuel Priego Sanabria
Doceavo Semestre
1. Sea H un subconjunto del grupo G. Pruebe que H es subgrupo de G si y solo si H ≠ ∅ y para cualesquiera , entonces .
Para demostrar que un subconjunto H de un grupo G es un subgrupo de G, debemos verificar dos condiciones: que H no sea vacío y que para cualquier par de elementos g_1 y g_2 de H, también pertenezca a H.
Primero, supongamos que H es un subgrupo de G. Entonces, por definición, H no puede ser vacío, ya que debe contener al elemento neutro de G. Si H fuera vacío, entonces H no podría ser un subgrupo de G.
Además, si y son elementos de H, entonces también pertenece a H, ya que H es cerrado bajo la operación de multiplicación y la inversión de elementos. En particular, como el elemento neutro de G está en H, entonces (el elemento neutro) está en H para cualquier elemento de H.
Por otro lado, supongamos que H no es vacío y que para cualquier par de elementos y de H, también pertenece a H. Debemos demostrar que H es un subgrupo de G.
Primero, como H no es vacío, podemos elegir un elemento h en H. Como y también pertenecen a H, entonces está en H. Ahora, como h y están en H, entonces está en H. Por lo tanto, H es cerrado bajo la operación de multiplicación y la inversión de elementos.
Además, para cualquier elemento g en H, está en H, ya que e y están en H. Por lo tanto, H es cerrado bajo la inversión de elementos.
Si H fuera vacío, entonces no habría ningún elemento en H que pudiera servir como elemento neutro del subgrupo, lo cual violaría una de las condiciones necesarias para que un subconjunto sea un subgrupo de un grupo. Por lo tanto, si H fuera vacío, no sería un subgrupo de G.
Por lo tanto, hemos demostrado que H es un subgrupo de G si y solo si H no es vacío y para cualquier par de elementos y de H, también pertenece a H.
2. Sea y sea
Muestre que H es subgrupo de G verificando las tres condiciones de subgrupo.
a. Cerradura: Si y están en H, entonces 
 
también debe estar en H. Debemos demostrar que la suma de dos números complejos de módulo 1 también tiene módulo 1:
Pero por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, sabemos que 
, por lo que , y por lo tanto, la suma de dos números complejos de módulo 1 también tiene módulo 1. Por lo tanto, H es cerrado bajo la adición.
b. Inversos: Si está en H, entonces su inverso aditivo también debe estar en H. Debemos demostrar que si tiene módulo 1, entonces su inverso aditivo también tiene módulo 1:
Por lo tanto, es el inverso aditivo de , y como está en H, también lo está su inverso aditivo.
c. Elemento neutro: En este caso, no podemos tomar el elemento neutro como , ya que este número no está en G. Podemos encontrar un elemento neutro en H de la siguiente manera:
Sea un número complejo de módulo 1. Entonces, , por lo que está en H. Además, para cualquier número complejo en H, tenemos:
que también tiene módulo 1, por lo que es un elemento neutro válido para H.
3. Sea G un grupo finito y H ⊆ G tales que para cualesquiera se cumple que . Pruebe que H es subgrupo de G.
a. Cerradura: Si y están en H, entonces también debe estar en H. Debemos demostrar que H es cerrado bajo la operación de grupo:
Para ello, consideramos la lista de todos los elementos de H: . Entonces, para cualquier par de elementos en H, también tenemos en H, ya que también está en H según la hipótesis. Por lo tanto, todos los productos de elementos en H están en H, y H es cerrado bajo la operación de grupo.
b. Inversos: Si está en H, entonces su inverso también debe estar en H. Debemos demostrar que H contiene los inversos de todos sus elementos:
Para ello, consideramos la lista de todos los elementos de H: . Si alguno de los elementos de H es la identidad del grupo, entonces ya contiene su propio inverso. En caso contrario, como G es finito, no puede haber más de n-1 elementos distintos de . Por lo tanto, hay algún elemento en la lista que es el inverso de otro elemento en la lista. Como y están en H, su producto es también un elemento de H y es igual a la identidad del grupo. Por lo tanto, es el inverso de , y H contiene los inversos de todos sus elementos.
c. Identidad: La identidad del grupo está en H, ya que la identidad es un elemento del grupo y H es un subconjunto de G.
Como H cumple las tres condiciones de subgrupo, concluimos que H es un subgrupo de G.
4. Sea G grupo Abeliano y sea
Muestre que H es subgrupo de G verificando las tres condiciones de subgrupo. ¿El resultado se sigue cumpliendo si G no es Abeliano?
a. Cerradura: Si y están en H, entonces y . Debemos demostrar que también está en H, es decir, que . Tenemos:
Por lo tanto, también está en H, y H es cerrado bajo la operación del grupo.
b. Inversos: Si x está en H, entonces su inverso también debe estar en H. Debemos demostrar que . Tenemos:
Por lo tanto, también está en H, y H contiene los inversos de todos sus elementos.
c. Identidad: La identidad del grupo es e, que está en H, ya que .
Como H cumple las tres condiciones de subgrupo, concluimos que H es un subgrupo de G.
Este resultado se sigue cumpliendo incluso si G no es Abeliano, ya que las demostraciones de las tres condiciones de subgrupo no dependen de la propiedad conmutativa de G.
Referencias
Gallian, J. (2017). Contemporary Abstract Algebra (Novena ed.). Stamford: Cengage Learning.
Lang, S. (2002). Algebra (Tercera ed.). Berlin: Springer.
UnADM. (s.f.). Algebra Moderna 1. Recuperado el 27 de Septiembre de 2022, de Unidad 1. Grupos y Subgrupos: https://campus.unadmexico.mx/contenidos/DCEIT/BLOQUE2/MT/07/MAMD1/U1/descargables/MAMD1_U1_contenido.pdf
Zaldivar, F. (2006). Introduccion a la teoria de grupos. DF: Sociedad matematica mexicana y reverté ediciones, SA de CV.