MAMD1_U1_EA_JOPS

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Universidad Abierta y a Distancia de México 
 
 
Algebra Moderna 1 
 
 
Unidad 1 
 
 
Evidencia de aprendizaje 
 
 
Alumno: Josué Samuel Priego Sanabria 
 
Doceavo Semestre 
 
 
1. Considere el conjunto 𝑀 = {𝑥 + 𝑦 √7|𝑥, 𝑦 ∈ ℚ} y ∗ como la multiplicación usual. ¿Qué 
axiomas de grupo cumple M?, ¿es grupo Abeliano? 
El conjunto 𝑀 = {𝑥 + 𝑦√7|𝑥, 𝑦 ∈ 𝑄} bajo la multiplicación usual de números 
complejos no forma un grupo, ya que no cumple con la propiedad de clausura. Por 
ejemplo, si consideramos los elementos 2 + 3√7 𝑦 3 − 2√7 en M, su producto es: 
(2 + 3√7) ∗ (3 − 2√7) = 6 + √7 − 4√7 − 6 = 0 − √7 
El resultado -√7 no pertenece a M, por lo que M no es cerrado bajo la multiplicación 
usual de números complejos. 
Sin embargo, si consideramos el conjunto 𝑀′ = {𝑥 + 𝑦√7|𝑥, 𝑦 ∈ 𝑄, 𝑥2 − 7𝑦2 ≠ 0} y 
definimos la multiplicación de la siguiente manera: 
(𝑎 + 𝑏√7) ∗ (𝑐 + 𝑑√7) = (𝑎𝑐 + 7𝑏𝑑) + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)√7 
donde a, b, c, d son números racionales, entonces M' sí forma un grupo abeliano bajo 
esta operación de multiplicación. 
Para demostrar que M' es un grupo, debemos verificar que cumple con los axiomas de 
grupo: 
Propiedad asociativa: Esta propiedad se cumple automáticamente porque la 
multiplicación usual de números complejos es asociativa. 
 
 
Elemento neutro: El elemento neutro es 1 + 0√7, ya que (𝑎 + 𝑏√7) ∗ (1 + 0√7) =
(𝑎 + 𝑏√7) para cualquier a, b en Q. 
Inversos: Para cada elemento 𝑎 + 𝑏√7 en M', su inverso será 
𝑎−𝑏√7
𝑎2−7𝑏2
, siempre y 
cuando 𝑎2 − 7𝑏2 ≠ 0. 
Propiedad conmutativa: La multiplicación usual de números complejos es conmutativa, 
por lo que esta propiedad también se cumple en M'. 
En cuanto a la pregunta de si M' es un grupo abeliano, la respuesta es sí, ya que la 
propiedad conmutativa se cumple, como se mencionó anteriormente. 
2. Sea G grupo Abeliano y 𝑔1, 𝑔2 ∈ G elementos de orden finito con (◦ (𝑔1),◦ (𝑔2)) = 1. 
Demuestre que ◦ (𝑔1 · 𝑔2) =◦ (𝑔1) ◦◦ (𝑔2). 
Como G es un grupo Abeliano, la propiedad distributiva de la multiplicación se 
cumple. Entonces, para cualquier entero positivo n y m, se tiene: 
(𝑔1 · 𝑔2)
𝑛·𝑚 = (𝑔1 · 𝑔2)
𝑛 · (𝑔1 · 𝑔2)
𝑚 
Expandiendo esto, tenemos: 
(𝑔1 · 𝑔2)
𝑛·𝑚 = (𝑔1
𝑛 · 𝑔2
𝑛) · (𝑔1
𝑚 · 𝑔2
𝑚) 
Ahora, como (◦ (𝑔1),◦ (𝑔2)) = 1, se tiene que los órdenes de 𝑔1 y 𝑔2 son primos 
relativos. Por lo tanto, existe un entero positivo k tal que 𝑘 ·◦ (𝑔1) =◦ (𝑔2) y 𝑘 ·◦
(𝑔2) =◦ (𝑔1). 
 
 
Entonces, para cualquier entero positivo n, se tiene: 
(𝑔1 · 𝑔2)
𝑘·𝑛·◦(𝑔1) = (𝑔1
𝑘·𝑛·◦(𝑔2) · 𝑔2
𝑘·𝑛·◦(𝑔1)) 
Pero como 𝑘 ·◦ (𝑔1) =◦ (𝑔2), podemos reemplazar 𝑘 · 𝑛 ·◦ (𝑔1) por ◦ (𝑔_2) · 𝑛 en 
el lado izquierdo de la ecuación, y obtener: 
(𝑔1 · 𝑔2)
𝑛·◦(𝑔2) = (𝑔1
𝑘·𝑛·◦(𝑔2) · 𝑔2
𝑘·𝑛·◦(𝑔1)) 
De manera similar, como 𝑘 ·◦ (𝑔2) =◦ (𝑔1), podemos reemplazar 𝑘 · 𝑛 ·◦ (𝑔2) por 
◦ (𝑔1) · 𝑛 en el lado derecho de la ecuación, y obtener: 
(𝑔1 · 𝑔2)
𝑛·◦(𝑔2) = (𝑔1
𝑛·◦(𝑔1) · 𝑔2
𝑛·◦(𝑔2)) 
Ahora, si consideramos n como el mínimo común múltiplo de ◦ (𝑔1) y ◦ (𝑔2), 
entonces n es un múltiplo tanto de ◦ (𝑔1) como de ◦ (𝑔2). Por lo tanto, podemos 
simplificar la ecuación anterior como: 
(𝑔1 · 𝑔2)
𝑛 = (𝑔1
𝑛 · 𝑔2
𝑛) 
Esto implica que ◦ (𝑔1 · 𝑔2) divide a n, ya que el orden de un elemento en un grupo es 
el mínimo entero positivo n tal que 𝑎𝑛 = 𝑒 (donde e es el elemento neutro del grupo). 
Además, se cumple que ◦ (𝑔1 · 𝑔2) divide a ◦ (𝑔1) y a ◦ (𝑔2), ya que ambos son 
órdenes de elementos en el grupo. 
Ahora, supongamos que ◦ (𝑔1 · 𝑔2) es menor que ◦ (𝑔1) ·◦ (𝑔2). Entonces, ◦
(𝑔1 · 𝑔2) debe ser un múltiplo propio de ◦ (𝑔1) y ◦ (𝑔2). Pero esto contradice el hecho 
 
 
de que el mínimo común múltiplo de dos números es divisible por sus factores primos 
comunes elevados a la mayor potencia. Por lo tanto, ◦ (𝑔1 · 𝑔2) debe ser igual a ◦ (𝑔1) ·
◦ (𝑔2). 
Por lo tanto, hemos demostrado que ◦ (𝑔1 · 𝑔2) =◦ (𝑔1) ·◦ (𝑔2) cuando 𝑔1 y 𝑔2 son 
elementos de orden finito con (◦ (𝑔1),◦ (𝑔2)) = 1 en un grupo Abeliano G. 
3. Sea 
𝑀 = {(
cos 𝜃 − sin 𝜃
sin 𝜃 cos 𝜃
) |𝜃 ∈ ℝ} 
Pruebe que M es subgrupo de (𝑆𝐿𝑀2(ℝ),·). 
La identidad de M, que es la matriz [1 0; 0 1], debe estar en M. 
Si A y B son dos matrices en M, entonces su producto A·B también debe estar en M. 
Si A es una matriz en M, entonces su inversa A^(-1) también debe estar en M. 
Verificación de la condición 1: 
La matriz identidad (
1 0
0 1
) pertenece a M, ya que si tomamos θ = 0, entonces la 
matriz en M se convierte en: 
(
cos 0 − sin 0
sin 0 cos 0
) = (
1 0
0 1
) 
Por lo tanto, la identidad de (𝑆𝐿𝑀2(ℝ),·) está en M. 
Verificación de la condición 2: 
 
 
Si A y B son dos matrices en M, entonces: 
𝐴 = (
cos 𝜃1 − sin 𝜃1
sin 𝜃1 cos 𝜃1
) , 𝐵 = (
cos 𝜃2 − sin 𝜃2
sin 𝜃2 cos 𝜃2
) 
Entonces, el producto A·B es: 
𝐴 · 𝐵 = (
𝑐𝑜𝑠 𝜃1 + 𝜃2 − 𝑠𝑖𝑛 𝜃1 + 𝜃2
sin 𝜃1 + 𝜃2 𝑐𝑜𝑠 𝜃1 + 𝜃2
) 
Por lo tanto, A·B también pertenece a M. 
Verificación de la condición 3: 
Sea A una matriz en M. Entonces, su inversa 𝐴−1 está dada por: 
𝐴−1 = (
cos 𝜃1 − sin 𝜃1
sin 𝜃1 cos 𝜃1
)
−1
 
Para hallar la inversa, podemos utilizar la fórmula de la matriz inversa: 
𝐴−1 =
1
det 𝐴
∙ (
cos 𝜃 − sin 𝜃
sin 𝜃 cos 𝜃
) 
Donde 𝑑𝑒𝑡(𝐴) = cos2 𝜃 + sin2 𝜃 = 1. 
Por lo tanto, 𝐴−1 está en M. 
Dado que se han verificado las tres condiciones, podemos concluir que M es un subgrupo 
de (𝑆𝐿𝑀2(ℝ),·). 
4. Sea G un grupo y 𝑔1, 𝑔2 ∈ 𝐺, tales que 𝑔1
2 = 𝑒 y 𝑔1𝑔2
4𝑔1 = 𝑔2
7. Muestre que 𝑔2
33 = 𝑒. 
Comenzamos manipulando la segunda ecuación dada: 
 
 
𝑔1𝑔2
4𝑔1 = 𝑔2
7 
Multiplicando por 𝑔2 a ambos lados, obtenemos: 
𝑔1𝑔2
5𝑔1 = 𝑔2
8 
Luego, elevando al cuadrado ambos lados, utilizando que 𝑔1
2 = 𝑒 y reemplazando 
𝑔1𝑔2
4𝑔1 por 𝑔2
7 según la ecuación dada, obtenemos: 
𝑔2
10 = 𝑔2
16 
Lo que implica que: 
𝑔2
6 = 𝑒 
Entonces, podemos expresar 𝑔2
33 como: 
𝑔2
33 = (𝑔2
6)5 · 𝑔2
3 = 𝑒5 · 𝑔2
3 = 𝑔2
3 
Ahora, utilizamos la segunda ecuación dada para reemplazar 𝑔1𝑔2
4𝑔1 por 𝑔2
7: 
𝑔1𝑔2
4𝑔1 = 𝑔2
7 
𝑔1𝑔2
4 = 𝑔2
7𝑔1
−1 
𝑔2
4 = 𝑔1𝑔2
7𝑔1
−1 
Entonces, podemos expresar 𝑔2
33 como: 
𝑔2
33 = 𝑔2
4 · 𝑔2
29 
Reemplazando 𝑔2
4 por 𝑔1𝑔2
7𝑔1
−1, según la ecuación anterior, obtenemos: 
 
 
𝑔2
33 = 𝑔1𝑔2
7𝑔1
−1 · 𝑔2
29 
Multiplicando por 𝑔1 a izquierda y a derecha, tenemos: 
𝑔1𝑔2
33𝑔1 = 𝑔1𝑔1𝑔2
7𝑔1
−1 · 𝑔2
29 · 𝑔1 
𝑔2
33 = 𝑔2
29 
Luego, podemos seguir reemplazando 𝑔2
29 por 𝑔2
4 · 𝑔2
25, 𝑔2
25 por 𝑔2
4 · 𝑔2
21, y así 
sucesivamente, hasta llegar a: 
𝑔2
33 = 𝑔2
4 · 𝑔2
4 · 𝑔2
4 · 𝑔2
6 = 𝑔2
6 = 𝑒 
 
 
 
Referencias 
Gallian, J. (2017). Contemporary Abstract Algebra (Novena ed.). Stamford: Cengage Learning. 
Lang, S. (2002). Algebra (Tercera ed.). Berlin: Springer. 
UnADM. (s.f.). Algebra Moderna 1. Recuperado el 27 de Septiembre de 2022, de Unidad 1. Grupos y 
Subgrupos: 
https://campus.unadmexico.mx/contenidos/DCEIT/BLOQUE2/MT/07/MAMD1/U1/descargables
/MAMD1_U1_contenido.pdf 
Zaldivar, F. (2006). Introduccion a la teoria de grupos. DF: Sociedad matematica mexicana y reverté 
ediciones, SA de CV.