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Asqui_8076
Boris Asqui
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Ecuación diferencial Lineal 𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛. 𝐷: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑓(𝑥); 𝑦′ + 2𝑥𝑦 = 1 𝑃(𝑥) = 2𝑥 𝑓(𝑥) = 1 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 𝑒∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒− ∫ 2𝑥𝑑𝑥 = 𝑒−𝑥 2 𝑦𝑐 = 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝐻𝑜𝑚𝑜𝑔𝑒𝑛𝑒𝑎 𝑦𝑐 = 𝐶𝑒 − ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 𝑦𝑐 = 𝐶𝑒 − ∫ 2𝑥𝑑𝑥 𝑦𝑐 = 𝐶𝑒 𝑥2 𝑦𝑝 = 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑃𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑦𝑝 = 1 𝑒∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 ∫ 𝑒∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑦𝑝 = 1 𝑒∫ 2𝑥 𝑑𝑥 ∫ 𝑒∫ 2𝑥 𝑑𝑥 (1)𝑑𝑥 𝑦𝑝 = 1 𝑒−𝑥 2 ∫ 𝑒 −𝑥2 (1)𝑑𝑥 𝑦𝑝 = 𝑒 𝑥2 ∫ 𝑒−𝑥 2 𝑑𝑥 ∫ 𝑒−𝑥 2 𝑑𝑥 ∞ 0 = ∫ 𝑒−𝑡 2 𝑑𝑡 𝑥 0 + ∫ 𝑒−𝑡 2 𝑑𝑡 ∞ 𝑥 = √𝜋 2 erf(𝑥) + erfc(𝑥) = 1 erf(𝑥) = 2 √𝜋 ∫ 𝑒−𝑡 2 𝑑𝑡 𝑥 0 erfc(𝑥) = 2 √𝜋 ∫ 𝑒−𝑡 2 𝑑𝑡 ∞ 𝑥 2 √𝜋 ∫ 𝑒−𝑡 2 𝑑𝑡 𝑥 0 + 2 √𝜋 ∫ 𝑒−𝑡 2 𝑑𝑡 ∞ 𝑥 = 1 ∫ 𝑒−𝑡 2 𝑑𝑡 𝑥 0 = ∫ 𝑒−𝑥 2 𝑑𝑥 𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝 𝑦 = 𝐶𝑒𝑥 2 + 𝑒𝑥 2 ∫ 𝑒−𝑥 2 𝑑𝑥 𝑦 = 𝐶𝑒𝑥 2 + 𝑒𝑥 2 ∫ 𝑒−𝑡 2 𝑑𝑡 𝑥 0 𝑦 = 𝑒𝑥 2 + 𝑒𝑥 2 ∫ 𝑒−𝑡 2 𝑑𝑡 𝑥 0
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