Actividad de Derivadas

Vista previa del material en texto

PAMELA YADIRA VEGA AGRAZ 
ACTIVIDAD 10 
1. 𝑓(𝑥) = −10 
 𝑓′ = 0 
 
2. 𝑓(𝑥) = 𝑎2 
𝑓′ = 2𝑎 
 
3. 𝑦 = 6x 
𝑦′ = 6 
 
4. 𝑦 =
3
4
𝑥 
𝑦′ =
3
4
 
 
5. 𝑓(𝑡) = 𝑏2 t 
𝑓′ = 𝑏2 
 
6. 𝑓(𝑥) = 5𝑥√2 
𝑓′ = 5√2 
 
7. 𝑠(𝑡) = 
1
5
𝑡4 
𝑠′ =
4
5
𝑡3 
 
8. 𝑦 = 𝑥
9
2 
𝑦′ =
9
2
𝑥
7
2 
 
9. 𝑦 = 6𝑥
3
2 
𝑦′ = 9𝑥
1
2 
 
10. 𝑠(𝑡) = √𝑡
4 
𝑠′ = 𝑡
1
4 =
1
4
𝑡−
3
4 =
1
4𝑡
3
4
 
𝑠′ =
1
4𝑡
3
4
 
 
11. 𝑓(𝑥) = 5√𝑥
5 
𝑓′ = 5𝑥
1
5 = 1𝑥−
4
5 = 𝑥−
4
5 =
1
𝑥
4
5
 
𝑓′ =
1
𝑥
4
5
 
 
12. 𝑓(𝑥) =
𝑥4
9
 
𝑓′ =
4𝑥3
9
 
 
13. 𝑓(𝑥) =
2
𝑥6
 
𝑓′ = 2𝑥−6 = −12𝑥−7 = −
12
𝑥7
 
𝑓′ = −
12
𝑥7
 
 
14. 𝑠(𝑡) =
√𝑡
3
5
 
𝑠′ =
𝑡
1
3
5
=
𝑡−
2
3
15
=
1
15𝑡
2
3
 
𝑠′ =
1
15𝑡
2
3
 
 
15. 𝑠(𝑡) =
5
√𝑡
4 
𝑠′ =
5
𝑡
1
4
= 5𝑡−
1
4 = −
5𝑡−
5
4
4
= −
5
4𝑡
5
4
 
𝑠′ = −
5
4𝑡
5
4
 
 
16. 𝑓(𝑥) = 7𝑥3 − 3𝑥2 + 3𝑥 − 12 
𝑓′ = 21𝑥2 − 6𝑥 + 3 
 
17. 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 5𝑥3 + 8𝑥2 − 𝑥 − 6 
𝑓′ = 4𝑥3 − 15𝑥2 + 16𝑥 − 1 
 
18. 𝑓(𝑥) = 5𝑥2 + 4𝑥 + 4𝑎𝑏 − 2 
𝑓′ = 10𝑥 + 4 
 
19. 𝑓(𝑥) = 3𝑎𝑥4 − 4𝑎𝑥3 − 5𝑏𝑥2 + 7𝑐𝑥 
𝑓′ = 12𝑎𝑥3 − 12𝑎𝑥2 − 10𝑏𝑥 + 7𝑐 
 
20. 𝑓(𝑥) =
𝑥3
6
−
3𝑥2
5
−
4𝑥
9
−
𝑑
5
 
𝑓′ =
3𝑥2
6
−
6𝑥
5
−
4
9
 
𝑓′ =
𝑥2
2
−
6𝑥
5
−
4
9
 
 
21. 𝑠(𝑡) =
𝑡5
6
−
𝑡4
5
+
𝑡3
4
−
𝑡2
7
+
𝑡
9
−
2
3
 
𝑠′ =
5𝑡4
6
−
4𝑡3
5
+
3𝑡2
4
−
2𝑡
7
+
1
9
 
 
22. 𝑓(𝑥) =
𝑥2
√𝑎2+𝑏2
−
𝑥
𝑎
+
𝑐
𝑏
 
𝑓′ =
2𝑥
√𝑎2 + 𝑏2
−
1
𝑎
 
 
23. 𝑦 =
5
𝑥4
−
6
𝑥3
−
7
𝑥2
−
3
𝑥
+
1
5
 
𝑦′ = 5𝑥−4 − 6𝑥−3 − 7𝑥−2 − 3𝑥−1 +
1
5
 
𝑦′ = −20𝑥−5 + 18𝑥−4 + 14𝑥−3 + 3𝑥−2 
𝑦′ = −
20
𝑥5
+
18
𝑥4
+
14
𝑥3
+
3
𝑥2
 
 
24. 𝑦 =
𝑥4−3𝑥3−6𝑥2−3𝑥+2
𝑥
 
𝑦′ =
(4𝑥3 − 9𝑥2 − 12𝑥 − 3)(𝑥) − (𝑥4 − 3𝑥3 − 6𝑥2 − 3𝑥 + 2)(1)
𝑥2
 
𝑦´ =
4𝑥4 − 9𝑥3 − 12𝑥2 − 3𝑥 − 𝑥4 + 3𝑥3 + 6𝑥2 + 3𝑥 − 2
𝑥2
 
𝑦´ =
3𝑥4 − 6𝑥3 − 6𝑥2 − 2
𝑥2
 
 
25. 𝑓(𝑥) = 8√𝑥 + 9√𝑥2
3
+ 4√𝑥3 = 8𝑥
1
2⁄ + 9𝑥2∕3 + 4𝑥
3
2 
𝑓´ =4𝑥−
1
2 + 6𝑥−
1
3 + 6𝑥
1
2 
𝑓´ = 6𝑥
1
2 +
4
𝑥
1
2
+
6
𝑥
1
3
 
 
26. 𝑓(𝑥) =
2
√𝑥5
4 −
1
√𝑥
+
3
𝑥−1
 
𝑓´ =
2
𝑥
5
4
−
1
𝑥
1
2
+
3
𝑥−1
= −2
𝑥
5
4
(𝑥
5
4)2
−
𝑥
1
2
(𝑥
1
2)2
− 3
𝑥−1
(𝑥−1)2
= −2
5
4 𝑥
1
4
(𝑥
5
4)2
−
1
2𝑥
1
2
(𝑥
1
2)2
− 3
−1𝑥−2
(𝑥−1)2
= −
5
2𝑥2(𝑥
1
4)
+
1
2𝑥(𝑥
1
2)
+ 3 
𝑓´ = −
5
2𝑥2 √𝑥
4 +
1
2𝑥√𝑥
+ 3 
 
27. 𝑠(𝑥) =
3𝑥2+5𝑥+8
√𝑥
3 
28. 𝑦 = (4𝑥
3
2 − 2𝑥
1
2)
3
 
𝑦′ = 3 (4𝑥
3
2 − 2𝑥
1
2)
2
(6𝑥
1
2 − 𝑥−
1
2) = (12𝑥
3
2 − 6𝑥
1
2)
2
(6𝑥
1
2 − 𝑥−
1
2) 
= (144𝑥3 − 144𝑥2 + 36𝑥) (6𝑥
1
2 − 𝑥−
1
2) =
864𝑥
7
2 − 1008𝑥
5
2 + 360𝑥
3
2 − 36𝑥
1
2
3
 
𝑦′ = 288𝑥
7
2 − 336𝑥
5
2 + 120𝑥
3
2 − 12𝑥
1
2 
 
29. 𝑦 = √𝑥3 + 2
3
= (𝑥3 + 2)
1
3 
𝑦′ = (
𝑥3 + 2
3
)
−
2
3
(3𝑥2) 
𝑦´ =
𝑥2
(𝑥3 + 2)
2
3⁄
 
 
30. 𝑦 = (𝑥 +
1
𝑥
)
−1
 
𝑦′ = − (𝑥 +
1
𝑥
)
−2
(1 − 𝑥−2) 
 
31. 𝑓(𝑥) = (
𝑥
3
+ 6√𝑥)
3
= (
𝑥
3
+ 6(𝑥)
1
2)
3
 
𝑓′ = 3 (
𝑥
3
+ 6𝑥
1
2)
2
(
1
3
+ 3𝑥−
1
2) = (𝑥 + 18𝑥
1
2)
2
(
1
3
+ 3𝑥−
1
2) 
= (𝑥2 + 324𝑥 + 36𝑥3 2⁄ ) (
1
3
+ 3𝑥−
1
2) =
𝑥2
3 + 216𝑥 + 972𝑥
1
2 + 15𝑥
3
2
3
 
𝑓´ =
𝑥2
9
+ 5𝑥
3
2 + 72𝑥 + 324𝑥
1
2 
 
32. 𝑓(𝑥) = (4𝑥2 −
1
2
𝑥) (9𝑥 + 8) 
𝑓′ = (4𝑥2 −
1
2
𝑥) (9) + (8𝑥 −
1
2
) (9𝑥 + 8) = 36𝑥2 −
9
2
𝑥 + 72𝑥2 + 64𝑥 −
9
2
𝑥 − 4 
𝑓´ = 108𝑥2 + 55𝑥 − 4 
 
33. 𝑓(𝑥) = (3𝑥2 − 5)4(2𝑥2 + 1)3 
𝑓′ = (3𝑥2 − 5)4(3(2𝑥2 + 1)2(4𝑥)) + (4(3𝑥2 − 5)3(6𝑥))(2𝑥2 + 1)3 
𝑓´ = 12𝑥(3𝑥2 − 5)3(2𝑥2 + 1)2(3𝑥2 − 5 + 2(2𝑥2 + 1)) 
 
34. 𝑠(𝑡) = 𝑡3 (
2
𝑡
−
3
𝑡3
)
2
 
𝑠´ = 3𝑡2 (2 (
2
𝑡
−
3
𝑡3
) (
𝑡 − 1(2)
𝑡2
−
𝑡3 − 3𝑡2(3)
(𝑡3)2
)) 
= 3𝑡2 ((
4
𝑡
−
6
𝑡3
) (
𝑡 − 2
𝑡2
−
𝑡3 − 9𝑡2
𝑡6
)) = 3𝑡2 ((
4
𝑡
−
6
𝑡3
) (
−2
𝑡
−
−9
𝑡
))
= 3𝑡2 ((
2(2𝑡2 − 3)
𝑡3
) (
7
𝑡
)) = 3𝑡2 (
14(2𝑡2 − 3)
𝑡4
) = 3𝑡2 (
28𝑡2 − 42
𝑡4
) = 
35. 𝑆(𝑡) =
𝑏
𝑎
√𝑎2 − 𝑡2 
36. 𝑓(𝑥) =
𝑎𝑥+𝑏
𝑎𝑥−𝑏
 
 
37. 𝑓(𝑥) = √
1−2𝑡
1+2𝑡
= (
1−2𝑡
1+2𝑡
)
1
2 
𝑓´ =
1
2
(
1−2𝑡
1+2𝑡
)−
1
2 (
(−2)(1+2𝑡)−(1−2𝑡)(2)
(1+2𝑡)2
) =
1
2
(
1−2𝑡
1+2𝑡
)−
1
2 (
−2−4𝑡−2+4𝑡
(1+2𝑡)2
) = 
1
2
(
1−2𝑡
1+2𝑡
)−
1
2 (
−4
(1+2𝑡)2
) =
1
2
(
(1+2𝑡)
1
2−4
(1−2𝑡)
1
2(1+2𝑡)2
) =
(1+2𝑡)
1
2(−4)
2(1−2𝑡)
1
2(1+2𝑡)2
=
−4
2(1−2𝑡)
1
2(1+2𝑡)
3
2
 
𝑓´ = −
2
√(1 − 2𝑡)(1 + 2𝑡)3
 
 
38. 𝑓(𝑥) =
5𝑥2
2√𝑏2+𝑥2
=
5𝑥2
2(𝑏2+𝑥2)
1
2
 
𝑓´ =
(10𝑥) (2(𝑏2 + 𝑥2)
1
2) − (5𝑥2)(𝑏2 + 𝑥2(𝑏2 + 2𝑥))
(2(𝑏2 + 𝑥2)
1
2)2
= 
39. 𝑓(𝑥) =
(9𝑡−6)3
(27−3𝑡)2
 
40. 𝑓(𝑥) =
𝑥3
√𝑥2+3
3 =
𝑥3
(𝑥2+3)
1
3
 
𝑓′ =
(3𝑥2)(𝑥2 + 3)
1
3⁄ − (𝑥3) (
1
3
(𝑥2 + 3)−
2
3(2𝑥))
(𝑥2 + 3)
2
3
 
𝑓´ =
(3𝑥2)(𝑥2 + 3)
1
3⁄ − (𝑥3) (
(𝑥2 + 3)−
2
3
3
(2𝑥))
(𝑥2 + 3)
2
3
 
=
(3𝑥2)(𝑥2 + 3)
1
3⁄ − (𝑥3)(2𝑥)
3(𝑥2 + 3)
4
3
=
(3𝑥2)(𝑥2 + 3)
1
3⁄ − (2𝑥4)
3(𝑥2 + 3)
4
3
= 
 
41. 𝑓(𝑥) =
𝑥√𝑥+1
𝑥+1
 
𝑓´ = (
𝑥(𝑥 + 1)
1
2
𝑥 + 1
) =
(
(𝑥 + 1)−
1
2
2
(1)) (𝑥 + 1) − (𝑥(𝑥 + 1)
1
2)(1)
(𝑥 + 1)2
 
=
(
(𝑥 + 1)−
1
2
2
) (𝑥 + 1) − (𝑥(𝑥 + 1)
1
2)
(𝑥 + 1)2
= −
(𝑥 + 1)
1
2
2 − 𝑥(𝑥 + 1)
1
2
(𝑥 + 1)2
=
(𝑥 + 1)
1
2(1 − 2𝑥)
2
(𝑥 + 1)2
 
𝑓´ =
𝑥 + 2
2(𝑥 + 1)
3
2
 
 
42. 𝑓(𝑥) = √
𝑥3+1
𝑥3−1
3
= (
𝑥3+1
𝑥3−1
)
1
3
 
𝑓´ =
1
3
(
𝑥3 + 1
𝑥3 − 1
)
−
2
3
(
(3𝑥2)(𝑥3 − 1) − (𝑥3 + 1)(3𝑥2)
(𝑥3 − 1)2
) 
=
1
3
(
𝑥3 + 1
𝑥3 − 1
)
−
2
3
(
3𝑥5 − 3𝑥2 − 3𝑥5 − 3𝑥2
(𝑥3 − 1)2
) =
1
3
(
𝑥3 + 1
𝑥3 − 1
)
−
2
3
(−
6𝑥2
(𝑥3 − 1)2
) 
=
1
3
(
(𝑥3 − 1)2 3⁄ − 6𝑥2
(𝑥3 + 1)
2
3⁄ (𝑥3 − 1)2
) =
(𝑥3 − 1)2 3⁄ (−6𝑥2)
3(𝑥3 + 1)
2
3⁄ (𝑥3 − 1)2
=
−6𝑥2
3(𝑥3 + 1)
2
3⁄ (𝑥3 − 1)
4
3
 
𝑓´ =
−2𝑥2
(𝑥3 + 1)
2
3⁄ (𝑥3 − 1)
4
3
 
 
43. 𝑓(𝑥) = sin 𝑥2 
𝑓´ = 2𝑥𝑠𝑖𝑛(𝑥2) = 2𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥2) 
𝑓´ = 2𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥2) 
 
44. 𝑓(𝑥) = cos(2𝑥 + 𝐶) 
𝑓´ = 2 cos(2𝑥 + 𝑐) = −2 sin(2𝑥 + 𝑐) 
𝑓´ = −2sin (2𝑥 + 𝑐) 
LÍMITES 
1. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−2𝑎
(2𝑎 − 3𝑥) = 2𝑎 − 3(−2𝑎) = 2𝑎 + 6𝑎 = 8𝑎 
2. 𝑙𝑖𝑚
𝛽→
𝜋
3
𝑠𝑖𝑛 𝛽−𝑐𝑜𝑠 𝛽
𝑡𝑎𝑛 𝛽+√3
=
𝑠𝑖𝑛(
𝜋
3
)−𝑐𝑜𝑠(
𝜋
3
)
𝑡𝑎𝑛(
𝜋
3
)+√3
=
√3
2
−
1
2
√3+√3
=
√3−1
2
2√3
=
√3−1
4√3
 
3. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
√𝑥
3
− √2
3
𝑥−2
=
0
0
 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
√𝑥
3
− √2
3
𝑥 − 2
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
(
1
𝑥 − 2
) (√𝑥
3
− √2
3
) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
(
1
𝑥 − 2
) (
𝑥 − 2
𝑥2 3⁄ + 𝑥
1
3⁄ ⋅ 2
1
3⁄ + 2
2
3⁄
) 
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
(
1
𝑥2 3⁄ + 𝑥
1
3⁄ ⋅ 2
1
3⁄ + 2
2
3⁄
) = (
1
(2)2 3⁄ + (2)
1
3⁄ ⋅ 2
1
3⁄ + 2
2
3⁄
) =
1
3 ∙ 2
2
3
=
1
3√4
3 
4. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
√𝑥+6
3
−2
√𝑥−1
3
−1
=
0
0
 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
√𝑥 + 6
3
− 2
√𝑥 − 1
3
− 1
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
√𝑥 + 6
3
− 2
√𝑥 − 1
3
− 1
∙
(√𝑥 − 1
3
+ 1)
(√𝑥 − 1
3
+ 1)
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
√𝑥 + 6
3
− 2(√𝑥 − 1
3
+ 1)
√𝑥 − 1
3
− 1(√𝑥 − 1
3
+ 1)
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
√𝑥 + 6
3
− 2(√𝑥 − 1
3
+ 1)
√𝑥 − 1
3
 2 − 12
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
 
 
5. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−1
√2𝑥+3
5
−1
𝑥5+1
=
0
0
 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→−1
√2𝑥 + 3
5
− 1
𝑥5 + 1
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−1
(2𝑥 + 3)
1
5 − 1
𝑥5 + 1
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−1
(2𝑥 + 3)−
4
5(2)
5 − 0
𝑥5 + 1
 
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−1
2
5√(2𝑥 + 3)4
2
5𝑥4
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−1
2
25𝑥4 √(2𝑥 + 3)4
5
=
2
25(−1)4 √(2(−1) + 3)4
5
=
2
25
 
 
 
6. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
(3𝑥−2)(3𝑥+1)
(2𝑥+7)(𝑥−2)
=
∞
∞
 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
(3𝑥 − 2)(3𝑥 + 1)
(2𝑥 + 7)(𝑥 − 2)
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
9𝑥2 + 3𝑥 − 6𝑥 − 2
2𝑥2 − 4𝑥 + 7𝑥 − 14
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
9𝑥2 − 3𝑥 − 2
2𝑥2 + 3𝑥 − 14
 
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
(
9𝑥2 − 3𝑥 − 2
𝑥2
)
∞ (
2𝑥2 + 3𝑥 − 14
𝑥2
)
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
(9 −
3
𝑥 −
2
𝑥2
)
(2 +
3
𝑥
−
14
𝑥2
)
=
(9 −
3
(−∞)
−
2
(−∞)2
)
(2 +
3
(−∞)
−
14
(−∞)2
)
 
=
9 − 0 − 0
2 + 0 − 0
=
9
2
 
 
7. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
𝑥2−5𝑥+3
√𝑥4−2𝑥2−1
=
∞
∞
 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
𝑥2 − 5𝑥 + 3
√𝑥4 − 2𝑥2 − 1
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
𝑥2 − 5𝑥 + 3
𝑥2
√𝑥
4 − 2𝑥2 − 1
𝑥4
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
1 −
5
𝑥 +
3
𝑥2
√1 −
2
𝑥2
−
1
𝑥4
=
1 −
5
∞ +
3
∞2
√1 −
2
∞2
−
1
∞4
 
=
1 − 0 + 0
√1 − 0 − 0
=
1
√1
= 1 
 
8. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
√𝑎𝑥𝑛+1
𝑛
𝑥
=
∞
∞
 
 
9. Si 𝑓(𝑥)= {
𝑥2−3𝑥−10
𝑥+2
, 𝑠𝑖 𝑥 ≤ −2
3−2𝑥
𝑥2−5
, 𝑠𝑖 𝑥 > −2
 ; obtener 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−2
𝑓(𝑥) 
Por la izquierda 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→−2−
𝑓 (
3 − 2𝑥
𝑥2 − 5
 ) =
3 − 2(−2)
(−2)2 − 5
=
7
−1
= −7 
Por la derecha 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→−2+
𝑓 (
𝑥2 − 3𝑥 − 10
𝑥 + 2
 ) =
(−2)2 − 3(−2) − 10
(−2) + 2
=
4 + 6 − 10
0
=
0
0
 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→−2+
𝑓 (
𝑥2 − 3𝑥 − 10
𝑥 + 2
 ) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−2+
(𝑥 − 5)(𝑥 + 2)
𝑥 + 2
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−2+
𝑥 − 5 = (−2) − 5 = 10 
NO EXISTE