guia10conjuntos

Vista previa del material en texto

1 
Semana 8 Clase 10, Conjuntos parte 1 
Definición: 
Es una colección de objetos que puede estar determinada por comprensión y extensión. 
a) Comprensión: Indica la condición que debe cumplir un elemento para pertenecer a un 
conjunto dado. 
Por ejemplo 
Sea {𝑥 ∈ 𝑁 𝑥⁄ 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 50} 
Sea = { x / x = día de la semana } 
 
b) Extensión: Indica una lista explícita de elementos que pertenecen al conjunto 
Por ejemplo 
A={1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47} 
D = { lunes; martes; miércoles; jueves; viernes; sábado; domingo } 
Diagrama de Venn 
Sirve para representar conjuntos de manera gráfica mediante dibujos ó diagramas que pueden ser 
círculos, rectángulos, triángulos o cualquier curva cerrada. 
 
Conjunto vacío (∅, { }) 
Es un conjunto que no tiene elementos 
Ejemplo: 
B = {𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 5 𝑦 7} 
M = { números mayores que 9 y menores que 5 } 
Es un conjunto vacío, B y M = ∅ 
Pertenencia: (∈) 
Considere una relación definida entre un elemento “a” y un conjunto 
“A”. Se dice que “a” pertenece a “A” si y solo si (↔)“a” es un 
elemento de A. 
Se denota 
𝑎 ∈ 𝐴 
Si “a” no pertenece a “A”, entonces 
𝑎 ∉ 𝐴 
1 
3 
2 
 
 
Cardinalidad # ) 
Es el número de elementos de un conjunto 
 
 
Conjunto Universal (U) 
Es un conjunto referencial que contiene a todos los elementos de una situación particular, 
generalmente se le representa por la letra U 
Por ejemplo 
U={−10,
−5
2
, −0,25,0,1, 𝜋, √11, 20} 
 
Clasificación del conjunto Universal 
a) Números naturales ℕ={1,20} 
b) Números reales ℝ = 𝑇𝑜𝑑𝑜𝑠 
c) Racionales ℚ = (−10,
−5
2
, −0,25,0,1,20) 
d) Irracionales 𝐼 = {𝜋, √11} 
e) Enteros ℤ = {−10, 0, 1, 20} 
 
 
Conjunto unitario 
Conjunto formado por un solo elemento 
C={𝑎} 
 
Subconjunto (⊆ ) 
Considere dos conjuntos, A y B. Se dice que el conjunto A es un subconjunto de B ↔
𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖é𝑛 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑏, 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑡𝑎 𝐴 ⊆ 𝐵 
Es Decir 
(∀𝑥)(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (∃𝑥)(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) 
3 
Si el conjunto A no es un subconjunto de B, entonces 𝐴 𝑁𝑜 ⊆ 𝑏 es decir: 
(∀𝑥)(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∉ 𝐵) ↔ (∃𝑥)(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵) 
Nota: 
Si A⊆ 𝐵, 𝑦 𝐵 ⊆ 𝐶 → 𝐴 ⊆ 𝐶 
Gráficamente 
 
 
 
 
 
 
 
Igualdad de conjuntos = 
Considere dos conjuntos , A y B, el conjunto A es igual al conjunto B ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵𝑦 𝐵 ⊆ 𝐴 
 
 
 
 
 
 
 
Conjuntos disjuntos 
Considere dos conjuntos P y Q. Los conjuntos P y Q son disjuntos ↔
𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑛 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑚ú𝑛. 
 
 
 
 
Se escribe también 
P ∩ 𝑄 = ∅ 
Conjuntos potencia o por partes 
Es el conjunto formado por todos los subconjuntos de un conjunto dado 
Ejemplo 
B= {𝑎, 𝑙, 𝑡} 
U C B A 
U 
A,B 
U P Q 
4 
El conjunto potencia de U es igual a 
P (B)={∅, {𝑎}, {𝑙}, {𝑡}, {𝑎𝑙}, {𝑎𝑡}, {𝑙𝑡}, {𝑎𝑙𝑡}} 
La cardinalidad # de este conjunto sería 8 #P(B)=8 
Existen 2𝑛𝑠𝑢𝑏𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑛 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠. 
Por ejemplo 
Dado el conjunto B ={x / x es un número par y 5< x <15 }. Determinar el cardinal de P(B). 
Respuesta: Si 5<x<15 y es un número par entonces B= {6;8;10;12;14} 
Card P(B)=n P(B)=25=32 
Nota: 
Si 𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝑃(𝐴) ⊆ 𝑃(𝐵) 
Propiedades de los Conjuntos 
 Unión Intersección 
Asociativa А U (B U C) = (А U B) U C А ∩ (B ∩ C) = (А ∩ B) ∩ C 
Conmutativa А U B = B U А А ∩ B = B ∩ А 
Idempotente А U A = A А ∩ А = А 
Distributiva A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C) A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C) 
Neutralidad А U ∅ = A А ∩ ∅ = ∅ 
 А U 𝑈 = U А ∩ U = A 
Complementación А U AC = U А ∩ АC = ∅ 
Ley de Morgan (A U B) C = A C ∩ B C (A ∩ B) C = A C U B C 
 
Además se cumple 
(A C) C = A 
𝐴 − 𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐵𝐶 
A - (B U C) = (A - B) ∩ (A - C) 
 Diagrama de Venn – Euler 
Muchos de los conceptos relacionados con los conjuntos se pueden expresar mediante ciertos 
diagramas. En ellos se dibuja un rectángulo que representa el conjunto universal y dentro de él, los 
conjuntos como figuras planas (círculos, elipses, rectángulos, etc.). Estos diagramas se llaman 
diagrama de Venn Euler. 
5 
 
 
Union 
 
Intersección 
 
 
6 
Complemento 
 
 
 
 
 
Diferencia 
 
Diferencia Simétrica 
 
7 
 
 
 
 
 
 
Guía de ejercicios clase 10 
 
1.- Con los siguientes conjuntos: 
 
U = (1,2,3,4,.......,12) (Conjunto Universo) 
A = (1,4,7,8) 
B = (2,3,4,8,9,10) 
C = (3,4,5,6,7,10) 
Determinar: 
 
a) A  (B  C ) . 
 
 
b) ( A  B)
C 
c) ( A − B) . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
2.- Dados los conjuntos: 
 
U = (1,2,3,.....,14) (Conjunto Universo) 
A = (1,2,4,5,6,7,10,11) 
B = (4,7,9,10,11,12) 
C = (3,4,6,7,9,11,13) 
 
a) Determine por extensión: 
 
i) A − (B − C 
C 
)
C 
 
ii)( A − B )
 
− (B − C 
C
) 
iii) ( A − B)  (B  C)
C 
 
b) Determine la o las operaciones a realizar con 2 o 3 de los conjuntos obtener: 
 
i) 3,9,12,13. ii) 4,7,11. 
iii) 1,2,5. 
 
 
9 
 
3.- Dados los conjuntos: 
 
U )= (1,2,3,....,15) (Conjunto Universo) 
A = (1,2,5,4,6,7,9,10,12) 
B = (4,7,9,12,3,11,10,8) 
C = (4,7,9,12,3,6,11,13) 
 
a) Determine las operaciones necesarias de realizar entre ellos (2 o 3) para 
que resulten los conjuntos: 
 
i) 12,9,4,7. 
 
ii) 11,1,2,3,5,6,8. 
 
iii) 6,8,13,10,4,9,12,7,3,11. 
 
 
 
b) Determine por extensión: 
 
i) A − (B  C )
C 
. 
 
 
ii) ( A  C )  (B − C ) . 
 
 
iii) ( A − (B − U 
C 
)  C ) − B . 
 
10 
 
4.- Dado el conjunto universal: U = (1,2,3,..........,12) y los conjuntos: 
A = 1,6,7,8,9 ; 
B = 4,5,6,8,10 ; C = 1,3,4,8,11 
Determine por extensión: 
 
 
i) B − ( A  C ) . 
 
 
ii) ( A
C 
 B)
C 
− C . 
 
iii) U − (C C  B)C  AC . 
 
 
 
b) Qué operaciones debe realizar con los conjuntos i) 
(1,3,11). 
ii) (6,9,8,4,1,7). 
 A, B y/o C para que resulte: 
 
5.- Determine por extensión los conjuntos U , A y B que satisfacen, 
simultaneamente las siguientes condiciones: 
 
i) 3  A y 3  B 
 
ii) ( A
c 
 B
c 
) = 1,2,3,4,7 
 
iii) ( A  B) = 1,3,4,6,7,8 
 
iv) ( A  B
c 
) = 1,3 
 
6.- Determine por extensión los conjuntos A y B que satisfacen, 
simultaneamente, las siguientes condiciones: 
 
a) 7  A y 7  B 
 
b) 1,2,3 B =  
 
c) 4  ( A  B) 
 
d) ( A  B) = 1,2,3...,7 
 
e) (B − A) = 6 
f) (A-B) = (5,1,2,3)
11 
 
 
7.- Usando el álgebra de conjuntos: 
 
 
 
a) Simplifique: 
 
i) BC  ( A − B)C  B. 
 
ii) B − ( A − B)− (B − A)  ( A  B)C . 
iii) ( A − BC )  (B − A)− A − ( A − B) . 
iv) ( A − BC )C − ( AC  B) A . 
v) A  ( A  B)C  (BC  A)C. 
 
vi) BC  ( A  BC )CAC. 
 
 
vii) A
C 
 ( A − B)  ( A  BC ) C . 
 
viii) A − (B − AC ) C  AC . 
 
ix) AC − ( AC − BC ) ( A − C )  B− A. 
Demuestre que: 
 
i) ( A  B)  ( A  BC )  ( AC  B) U  = A  B . 
ii) AC  ( A  B)− AC − ( A − B)=  . 
 
iii) ( A − B)  (C C − A)C  C C  ( A − B)C  C =(BCA) 
iv) B  ( A  B)C  (B  AC )C C = U . 
v) ( AC  B) − ( A  B)C  BC = U . 
 
vi) (B  C ) − ( A  B)  (C  A) =  . 
 
vii)  A − (B − C ) −  (B − C ) − A −( A − C ) = A  C 
 
12 
Ejercicios de encuestas 
1) En una encuesta aplicada a 1.000 empleados de un centro comercial sobre el tipo 
de transporte que utilizan para ir de sus casas al trabajo se obtuvo la siguiente 
información: 
431 empleados utilizan metro. 396 empleados utilizan autobús. 101 empleados 
utilizan metro y colectivo pero no autobús. 341 utilizan colectivos. 27 utilizan 
colectivo y autobús pero no metro. 201 utilizan sólo metro. 37 utilizan los tres 
medios de transporte 
Responda: 
a) ¿Cuántos empleados utilizan metro o colectivo pero no autobús? 
b) ¿Cuántos empleados utilizan sólo uno de los tres medios de transporte 
mencionados? 
c) ¿Cuántos empleados utilizan sólo colectivo?d) ¿Cuántos empleados utilizan colectivo y autobús? 
e) ¿Cuantos empleados no utilizan ningún medio de transporte? 
Respuesta: 
a) 478 b) 617 c) 176 d) 64 e) 126 
 
2) En una cierta empresa hay trabajadores pertenecientes a tres Instituciones 
financieras: Banco de Chile, Santander y Estado. Sabiendo que 70 son del Banco de 
Chile, 350 del Santander y que se entrevistó a 640 trabajadores, además de que 30 
trabajadores tienen cuenta en los tres Bancos 
50 trabajadores tienen cuenta en el Banco de Chile y Estado 
160 trabajadores tienen cuenta en el Banco Santander y Estado 
40 trabajadores tienen cuenta en el Banco de Chile y Santander 
Responda: 
a) Número de clientes con cuenta solo en el Banco Estado 
b) Número de clientes con cuenta solo en el Banco de Chile 
c) Número de clientes con cuenta solo en el Banco Santander 
d) Número de clientes con cuenta en el Banco de Chile y Santander 
e) Número de clientes con cuenta en el Banco de Chile o Estado y no en el 
Santander 
Respuesta: 
a) 260 b) 10 c) 180 d) 40 e) 290 
 
13 
3) Un grupo de jóvenes fue entrevistado acerca de sus preferencias por ciertos 
medios de transporte (bicicleta, motocicleta y automóvil). Los datos de la encuesta 
fueron los siguientes: 
-Motocicleta solamente: 5 
-Motocicleta: 38 
-No gustan del automóvil: 9 
-Motocicleta y bicicleta, pero no automóvil:3 
-Motocicleta y automóvil pero no bicicleta: 20 
-No gustan de la bicicleta: 72 
-Ninguna de las tres cosas: 1 
-No gustan de la motocicleta: 61 
 
Responda: 
a. ¿Cuál fue el número de personas entrevistadas? 
b. ¿A cuántos le gustaba la bicicleta solamente? 
c. ¿A cuántos le gustaba el automóvil solamente? 
d. ¿A cuántos le gustaban las tres cosas? 
e. ¿A cuántos le gustaba la bicicleta y el automóvil pero no la motocicleta? 
 
Respuesta: 
a) A 99 personas. 
b) A 0 
c) A 46 personas. 
d) A 10 personas. 
e) a 14 personas. 
 
4) En una encuesta a 174 estudiantes se encontró que 85 de ellos practican futbol, 62 
voleibol y 28 tenis. Además 38 practican fútbol y voleibol, 14 voleibol y tenis, 6 futbol y 
tenis y 2 los tres deportes. 
a. ¿Cuántos estudiantes practican solo fútbol? 
b. ¿Cuántos practican voleibol, pero no tenis? 
c. ¿Cuántos encuestados no practican estos deportes?