Teoría de Conjuntos

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TEORÍA DE CONJUNTOS 
Comenzaremos este capítulo introduciendo algunas nociones básicas de teoría de conjuntos y su 
notación matemática. Para ello debemos tener en cuenta la simbología utilizada y el significado 
que se detalla a continuación: 
SÍMBOLO NOMBRE LECTURA INFORMAL 
∧ Conjunción “y” 
∨ Disyunción “o” 
⟹ Condicional “Si… entonces…” 
⟺ Bicondicional “Si y solo sí” 
~ Negación “no” 
∀ Cuantificados universal “para todo” 
∃ Cuantificador existencial “existe” 
≈ Identidad “es (idéntico a)” 
 
La palabra CONJUNTO nos remite intuitivamente a una agrupación o colección de objetos, que 
reciben el nombre de elementos y cumplen con cierta propiedad. Para que un conjunto esté bien 
definido debe ser posible diferenciar si un elemento arbitrario está o no en él. 
Los conjuntos se designan con letras imprenta mayúsculas: 𝐴, 𝐵, 𝐶, … y los elementos con letras 
imprenta minúsculas: 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 …. 
Los conjuntos se pueden definir de dos maneras: 
● Extensión, expresando todos los elementos de los que consta entre llaves. Por ejemplo: 
𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5} 
¿Cómo se lee? “𝐴 es el conjunto formado por los elementos 1 , 2 , 3 , 4 𝑦 5” 
● Comprensión, dando una o más características que determinen si un elemento dado estás 
o no en el conjunto. Por ejemplo: 
𝐴 = {𝑛: 𝑛 ∈ ℕ ∧ 1 ≤ 𝑛 ≤ 5} 
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¿Cómo se lee? “𝐴 es el conjunto formado por los elementos 𝑛 tales que 𝑛 pertenece al 
conjunto de los números naturales y 𝑛 es mayor o igual que 1 y menor o igual que 5” 
EJEMPLOS 
Por extensión Por comprensión 
𝐴 = {𝑎, 𝑒, 𝑖, 𝑜, 𝑢} 𝐴 = {𝑥 ∶ 𝑥 𝑠𝑒𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑣𝑜𝑐𝑎𝑙} 
𝛣 = {𝑙𝑢𝑛𝑒𝑠, 𝑚𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠, 𝑚𝑖é𝑟𝑐𝑜𝑙𝑒𝑠, 𝑗𝑢𝑒𝑣𝑒𝑠, 
𝑣𝑖𝑒𝑟𝑛𝑒𝑠, 𝑠á𝑏𝑎𝑑𝑜, 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑔𝑜} 
𝛣 = {𝑥: 𝑥 𝑒𝑠 𝑑í𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎} 
 
Dado un conjunto 𝐴, decimos que el elemento 𝑎 pertenece a 𝐴, y lo denotamos 𝑎 ∈ 𝐴, si 𝑎 es un 
elemento del conjunto 𝐴. En caso contrario, si 𝑎 no pertenece a 𝐴 se simboliza 𝑎 ∉ 𝐴. 
EJEMPLO 
Si 𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5} entonces 1 ∈ 𝐴, pero 6 ∉ 𝐴. 
 
¿CUÁNDO PODEMOS DECIR QUE DOS CONJUNTOS SON IGUALES? 
Dos conjuntos 𝐴 y 𝐵 son iguales 𝐴 = 𝐵 cuando poseen los mismos elementos, es decir: 
𝑥 ∈ 𝐴 ⇔ 𝑥 ∈ 𝐵 
Deducimos que dos conjuntos 𝐴 y 𝐵 son distintos 𝐴 ≠ 𝐵 si bien existe 𝑥 ∈ 𝐴 tal que 𝑥 ∉ 𝐵 o 
bien existe 𝑥 ∈ 𝐵 tal que 𝑥 ∉ 𝐴. 
En notación matemática: 𝐴 ≠ 𝐵 ⇔ (∃𝑥 ∈ 𝐴: 𝑥 ∉ 𝐵) ∨ (∃𝑥 ∈ 𝐵: 𝑥 ∉ 𝐴). 
CONJUNTOS NOTABLES 
● Conjunto Vacío: se simboliza con ∅ y es aquel conjunto que no posee elementos. 
EJEMPLO 
𝐴 = {𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 5 𝑦 7} = ∅ 
Pues, no existe ningún número impar entre los números 5 y 7. 
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● Conjunto Universal: se simboliza con 𝑈 y es aquel conjunto que contiene todos los elementos 
del tema en estudio; por lo tanto, no es fijo y se debe establecer de antemano. 
Nota: Si un conjunto tiene 𝑛 elementos, se dice que es finito, caso contrario el conjunto es infinito. 
SUBCONJUNTOS 
Dados dos conjuntos 𝐴 y 𝐵 , decimos que 𝐴 está contenido o incluido en 𝐵 o que 𝐴 es un 
subconjunto de 𝐵, y lo denotamos 𝐴 ⊂ 𝐵, si todo elemento de 𝐴 pertenece a 𝐵, es decir: 
 𝑥 ∈ 𝐴 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐵 
NOTA: También se puede denotar 𝐴 ⊂ 𝐵 como 𝐴 ⊆ 𝐵. Hay que tener cuidado con la negación 
de estos dos símbolos. Tanto 𝐴 ⊄ 𝐵 como 𝐴 ⊈ 𝐵 significan que 𝐴 no está contenido en 𝐵, o no 
es un subconjunto de 𝐵. Sin embargo, 𝐴 ⊊ 𝐵 sólo niega la igualdad, por lo que significa que 𝐴 es 
un subconjunto de 𝐵 pero que 𝐴 no es igual a 𝐵, es decir, la contención es estricta. 
EJEMPLOS 
a. {2, 3, 5} ⊊ {1, 2, 3, 4, 5} 
b. ℕ ⊆ ℤ ⊆ ℚ ⊆ ℝ 
c. {2,4,6} ⊆ {2,4,6,8} 
d. {1,3,6,7} ⊈ {1,3,6,9} 
e. 𝑈 = {𝑥: 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ≤ 7} 
 
Observación: Para cualquier conjunto 𝐴 se verifica que: 
∅ ⊆ 𝐴 ; 𝐴 ⊆ 𝐴 ; 𝐴 ⊆ 𝑈 
 
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE CONJUNTOS DIAGRAMAS DE VENN 
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Los conjuntos pueden representarse gráficamente mediante diagramas de Venn, en honor al 
matemático John Venn. 
El conjunto universal 𝑼 se representa con un rectángulo, y el diagrama para un conjunto 𝐴 
cualquiera es una curva cerrada en cuyo interior se colocan puntos que representan a los 
elementos del conjunto 𝐴. 
EJEMPLOS 
El conjunto universal por extensión es 
𝑼 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔} 
o por comprensión: 
𝑼 = {𝒙: 𝒙 𝒓𝒆𝒑𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒂 𝒍𝒂 𝒄𝒂𝒓𝒂 𝒅𝒆 𝒖𝒏 𝒅𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝒔𝒆𝒊𝒔 𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔} 
El conjunto 𝐴, es un subconjunto de 𝑈 y en símbolos se denota 𝐴 ⊂ 𝑈. 
El subconjunto se define como 𝐴 = {2,4,6} o 𝐴 = {𝑥: 𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟} 
 
 
Nota: El diagrama de Venn más general para representar dos conjuntos cualesquiera es: 
 
 
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PARA PRACTICAR 
1. Representar, en un mismo diagrama de Venn, los siguientes conjuntos: 
𝑼 = {𝒙: 𝒙 𝒆𝒔 𝒅í𝒈𝒊𝒕𝒐} 
 𝑨 = {𝟎, 𝟐, 𝟒, 𝟔, 𝟖} 
𝑩 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔} 
𝑪 = {𝒙: 𝒙 𝒆𝒔 𝒅í𝒈𝒊𝒕𝒐 𝒎𝒂𝒚𝒐𝒓 𝒒𝒖𝒆 𝟑} 
2. En base a los conjuntos dados colocar ⊆ 𝑜 ⊄ según corresponda, si. 
𝑼 = {𝒙 / 𝒙 𝒆𝒔 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒏𝒂𝒕𝒖𝒓𝒂𝒍} 
𝑨 = {𝒙 / 𝒙 𝒆𝒔 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒏𝒂𝒕𝒖𝒓𝒂𝒍 𝒊𝒎𝒑𝒂𝒓} 
𝑩 = {𝒙 / 𝒙 𝒆𝒔 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒏𝒂𝒕𝒖𝒓𝒂𝒍 𝒎ú𝒍𝒕𝒊𝒑𝒍𝒐 𝒅𝒆 𝟐} 
𝑪 = {𝒙 / 𝒙 = 𝟒. 𝒏, 𝒄𝒐𝒏 𝒏 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒏𝒂𝒕𝒖𝒓𝒂𝒍} 
 
a) 𝐴 . . . . . . . . . 𝑈 
b) B . . . . . . . .. C 
c) A . . . . . . . .. B 
d) C . . . . . . . .. A 
e) C . . . . . . . .. B 
f) A . . . . . . . .. C 
g) B . . . . . . . .. A 
h) B . . . . . . . .. U 
3. Dados 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} y 𝐵 = {1, 2}, decidir si es verdadero o falso: 
 
a) {𝑎, 𝑏} ⊆ 𝐴.............. b){𝑎} ∈ 𝐴.................. c) 1 ∈ 𝐵..................... d) {1, 2} ∈ 𝐵............. 
 
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OPERACIONES CON CONJUNTOS 
UNIÓN 
Si 𝐴 y 𝐵 son dos conjuntos, se define la unión entre 𝐴 y 𝐵, que se denota 𝐴 ∪ 𝐵, al conjunto cuyos 
elementos pertenecen a 𝐴 o a 𝐵 o a ambos. Simbólicamente se expresa: 
 
𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵} 
 
 
 
 
INTERSECCIÓN 
Si 𝐴 y 𝐵 son dos conjuntos, se define la intersección entre 𝐴 y 𝐵, que se denota 𝐴 𝐵, al conjunto 
cuyos elementos pertenecen a 𝐴 y a 𝐵. Simbólicamente se expresa: 
 
 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵} 
 
 
 
 
CONJUNTOS DISJUNTOS 
Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen 
elementos comunes, cuando su intersección es 
vacía. Simbólicamente: 𝐴 y 𝐵 son disjuntos si y sólo 
si 𝐴 ∩ 𝐵 =⊘ 
 
 
 
 
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COMPLEMENTO 
Si 𝑈 es el conjunto universal que contiene al conjunto 𝐴 , se llama complemento de 𝐴 y se 
simboliza 𝐴´ o �̅�, al conjunto formado por todos los elementos del universo que no pertenecen al 
conjunto 𝐴. Simbólicamente: 
 
�̅� = 𝐴´ = {𝑥 ∈ 𝑈 / 𝑥 ∉ 𝐴} 
 
 
Sea 𝑈 = {𝑥: 𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑑í𝑔𝑖𝑡𝑜}, 𝐴 = {1, 3, 5, 7, 9} y 𝐵 = {1,4, 6 ,8}, entonces 
𝐴’ = {0, 2, 4, 6, 8} y 𝐵’ = {0, 2, 3, 5, 7, 9} 
 
DIFERENCIA 
Si 𝐴 y 𝐵 son dos conjuntos, se define la diferencia de 𝐴 y 𝐵, que se simboliza 𝐴 − 𝐵 al conjunto 
formado por los elementos que pertenecen al conjunto 𝐴 que no pertenecen al conjunto 𝐵 . 
Simbólicamente: 
 
𝐴 − 𝐵 = {𝑥 ∶ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵} 
 
Observación: 
Se verifica: 
● 𝐴 = 𝑈 – �̅� 
● 𝐴 – 𝐵 = 𝐴 ∩ �̅� 
● 𝐴 − 𝐵 ≠ 𝐵 − 𝐴 (la diferencia no es conmutativa) 
 
 
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DIFERENCIA SIMÉTRICA 
Sea 𝑈 un conjunto referencial y 𝐴 ⊂ 𝑈, 𝐵 ⊂ 𝑈 . Llamaremos diferencia simétrica de 𝐴 con 𝐵 al 
conjunto que denotaremos 𝐴 △ 𝐵 formado por los elementos de 𝐴 o de 𝐵, pero no de ambos, es 
decir: 
 
𝐴 △ 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑈: 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵} 
 
 
CONJUNTO DE LAS PARTES 
Dado un conjunto 𝐴, el conjunto de las partes de 𝐴 es 𝒫(𝐴) = {𝑠𝑢𝑏𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐴}. 
Sea 𝐴 = {1, 2, 3} entonces 𝒫(𝐴) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, 𝐴} 
 
PRODUCTO CARTESIANO 
Sean los conjuntos 𝐴 y 𝐵. El producto cartesiano de 𝐴 y 𝐵 , que se representa por 𝐴 × 𝐵, esel 
conjunto de todos los pares ordenados (𝑎, 𝑏), tales que 𝑎 ∈ 𝐴 y 𝑏 ∈ 𝐵 , en todas las formas 
posibles. Esto es: 
𝐴 × 𝐵 = {(𝑎, 𝑏): 𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵} 
 
PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS 
Las operaciones con conjuntos verifican las siguientes propiedades: 
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CARDINAL 
La cantidad de elementos que tiene un conjunto 𝐴 se llama CARDINAL DEL CONJUNTO 𝑨 y se lo 
denota #𝐴: 
EJEMPLO 
Sea el universo es 𝑈 = {1; 2; 3; 4; 5; 6} , su cardinal es #𝑈 = 6 , mientras que el subconjunto 
𝐴 = {2,4.6} tiene por cardinal #𝐴 = 3 
PARA PRACTICAR 
4. Escribe el siguiente conjunto por extensión: 
𝐵 = {𝑥 ∶ 𝑥 es un número entero positivo de dos cifras que suman 6} 
5. Dado el siguiente Diagrama de Venn, determinar el conjunto universo y los subconjuntos que 
se detallan: 
a) 𝐵 = 
b) 𝐴 = 
c) 𝐴 ∪ 𝐵 = 
d) 𝐴 ∩ 𝐵 = 
e) �̅� = 
f) �̅� ∩ 𝐵 = 
g) 𝐴 − 𝐵 = 
h) 𝐵 − 𝐴 = 
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6. En una caja se han encontrado bolillas numeradas que sobraron de un sorteo. Entre estas 
bolillas hay numeradas con números pares, con múltiplos de 3 y con múltiplos de 5. Al contarlas 
se anota que hay 11 con números pares, 12 múltiplos de 3 y 10 múltiplos de 5, es más 5 son 
pares y múltiplos de 3, 4 son pares y múltiplos de 5 y 4 son múltiplos de 3 y de 5. También hay 
sólo 2 numeradas con valores que son múltiplos de 2, de 3 y de 5. 
a) ¿Cuántas bolillas hay en total? 
b) ¿Cuántas bolillas están numeradas con múltiplos de 3 solamente? 
c) ¿Cuántas bolillas están numeradas con múltiplos de 3 y también de 5 pero no de 2? 
7. Sean: 
𝑈 = {𝑥 ∶ 𝑥 ∈ 𝛮0 ∧ 0 ≤ 𝑥 ≤ 9 } 
𝐴 = {1, 2, 3, 4} 
𝐵 = {𝑥 ∶ 𝑥 ∈ 𝛮0 ∧ : 5 ≤ 𝑥 ≤ 8 } 
𝐶 = {3, 4, 5, 6} 
𝐷 = {3, 4} 
Calcular por extensión y hacer el diagrama de Venn correspondiente 
a) 𝐴 ∪ 𝐵 = 
b) 𝐴 ∩ 𝐶 = 
c) 𝐷 ∩ 𝐵 = 
d) 𝐴´ = 
e) 𝐴 – 𝐵 = 
f) 𝐷 – 𝐶 = 
g) 𝐶 ∪ 𝐷 = 
h) (𝐴 ∩ 𝐵)´ = 
 
8. De un total de 65 alumnos de un instituto de idiomas: 15 estudian solamente ruso, 11 estudian 
ruso e inglés, 12 estudian sólo alemán; 8 estudian ruso y alemán; 10 estudian sólo inglés; 5 
estudian inglés y alemán; y 3 los tres idiomas. Determinar: 
a) ¿Cuántos no estudian ningún idioma? 
b) ¿Cuántos estudian alemán? 
c) ¿Cuántos estudian sólo alemán e inglés? 
d) ¿Cuántos estudian ruso? 
 
9. Se llevó a cabo una investigación con 1000 personas, para determinar que medio utilizan para 
conocer las noticias del día. Se encontró que 400 personas escuchan las noticias en forma 
regular por TV, 300 personas escuchan las noticias por la Radio y 275 se enteran de las noticias 
por ambos medios. 
a) ¿Cuántas de las personas investigadas se enteran de las noticias solo por la TV? 
b) ¿Cuántas de las personas investigadas se enteran de las noticias solo por Radio? 
c) ¿Cuántas de las personas investigadas no escuchan ni ven las noticias?