logaritmos_resueltos

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MATEMÁTICAS TIMONMATE 
EJERCICIOS RESUELTOS DE LOGARITMOS Juan Jesús Pascual 
 
 
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LOGARITMOS 
 
A. Introducción Teoría 
A.1. Definición de logaritmo. 
A.2. Logaritmos naturales. 
A.3. Cambio de base. 
A.4. Propiedades. 
 
B. Ejercicios resueltos 
 
B.1. Dado un logaritmo, hallar su valor. 
B.2. Dada una expresión logarítmica, hallar su valor. 
B.3. Hallar el término desconocido. 
B.4. Desarrollar expresiones logarítmicas 
B.5. Escribir como un solo logaritmo. 
 
 
A. INTRODUCCIÓN TEÓRICA 
 
A.1 Definición de logaritmo: 
 
Sea x un número. El logaritmo de ese número es el exponente al que hay 
que elevar cierta base b para obtener x: 
 
y
 x b y log x 
b
= ⇔ = 
 
Ejemplo: 
 
� El logaritmo de 16 en base 2 es el exponente al que hay que elevar la 
base 2 para obtener 16, es decir, cuatro: 
 
2log 16 4= , ya que 2
y
 16 2 y log 16 4= ⇔ = = 
 
 
 
Logaritmos resueltos TIMONMATE 
 
 
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A.2 Logaritmos naturales: 
Los logaritmos que tienen como base al número e, son llamados 
“logaritmos naturales”. Se simbolizan con la abreviatura ln. 
eln x log x= 
 
A.3 Cambio de base en los logaritmos: 
Si queremos expresar alog x mediante blog x sólo tenemos que tener en 
cuenta que: 
a
b
a
log M
log M
log b
= 
 
A.4 Propiedades: 
 
I. a a alog MN log M log N= + 
II. pa alog M p log M= ⋅ 
III. a a a
M
log log M log N
N
= − 
IV. alog 1 0= 
V. alog a 1= 
VI. alog ba b= 
 
 
 
B. EJERCICOS RESUELTOS 
 
B.1. Dado un logaritmo, halla su valor: 
 
1. 62 22 log 2 6 log 2 6 14 6log 6 = ⋅ = ⋅ == 
2. 
1
2
2 22
1 1 1
log 2 log 2 1
2 2
l g
2
o 2 = ⋅ = ⋅ == 
3. ( )
11
2
1 1 1 1
2 2
1
22 2
1 1 1 1 1 1
log 2 log 2 log 1 log
2 2 2 2
l
2
2
2
og
−
     = ⋅ = ⋅ = ⋅ − =−       
= 
4. ( )
141
4 45 55
1
5
1 1 1 1 1
3 3 3 3 33
4 4 1
log 3 log 3 log 3 log 3 log
5
lo 81
5 3
g
−
 = = = ⋅ = ⋅ =  
= 
( ) 1
3
4 1 4 4
1 log 1
5 3 5 5
 = − ⋅ =− ⋅ =−  
 
 
TIMONMATE Logaritmos resueltos 
 
 
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5. ( ) ( ) ( )
2
10 10
2
10 10 10 102 log 5log 100 2 log 5ll oog 5log 10 g0 10== = 
( )10 10 102 log 5 2 log 10 2 log 10 2= ⋅ = = 
 
6. 1 1 1
2 2 2
101 1
5 2 2
2 2 2
2
log 32 log 2 log 2 10 log 2 10
      = = ⋅ =        
= 
7. ( )1 1 3 3
1
2 2 2 2
8 2
3 8 31 5 31
3 5 5 25
9 3
3 3
5
3 3 3
log 3 27 log 3 3 log 3 log 3 log 3
+
⋅
+
⋅
  ⋅ = = = =   
⋅ = 
3
2
3
2
3
16 16
log 3
15 15
  = =   
 
 
B.2. Dada una expresión logarítmica, hallar su valo r. 
 
8. 
1
3 25
2 2
5
2 2 22 log 2 log
1
log 2 log 8 l 2 o
4
g 2og l −+ ++ = + = 
2 2 2
1 1 6
log 2 3log 2 2 log 2 3 2
5 5 5
= + − = + − = 
 
9. 3 3
1
ln 1 ln e ln e ln e ln
e
+ + + + =
1
130 1 3ln e ln e ln e−= + + + + = 
 
10. 5
1
log 810 log 0,03 log , si log 3 0,477
9
+ + ≈ 
( ) ( )
1
4 2 55
1 3
log 810 log 0,03 log log 3 10 log log 3
9 100
−+ + = ⋅ + + = 
2 2 24 log 3 log 10 log 3 log 10 log 3 4 log 3 1 log 3 2 log 3
5 5
= + + − − = + + − − =
23
log 3 1 2,1942 1 1,1942
5
= − = − = 
 
 
11. 5 3
0,25 1,6
log 0,04 log log , si log 2 0,301
8 5
+ + ≈ 
5 3
0,25 1,6
log 0,04 log log
8 5
+ + =
1 1
2 43 2
1
2 5
3
5 2
2 100 10log log log
100 2 5
               = + + =                  
 
Logaritmos resueltos TIMONMATE 
 
 
 4/8 
2 4
2
3
5 2
1 2 1 1100 10log log log
5 100 3 2 2 5
               = + + =                  
 
( )
2 4
2 2 31 1 5 1 2log 2 log 10 log log 2 log log 5
5 3 100 2 10
           = − + − + − =              
 
( )
1 1 10 1 10
2 log 2 2 log 10 2 log 2 log 10 3log 2 4 log 2 log 10 log
5 3 2 2 2
   
= − + − − + − − =   
      
( ) ( ) ( )
1 1 1
2 log 2 2 2 1 log 2 2 3log 2 4 log 2 1 1 log 2
5 3 2
   = − + − − − + − − − =    
2 2 2 2 2 1 1 1 7 7
log 2 log 2 log 2 2 log 2 log 2 log 2
5 5 3 3 3 2 2 2 5 30
= − + − − − + − − − =− + =
7 7
log 2 1,33
5 30
=− + =− 
 
12. 
1
1 62
6
5 56
1 1a a3
3
5
1a
a a a
a 1
log a a log log a
a
log log
a a
a a log
a
 ⋅+ + = + = 
=

6 1 41
5 6 30
= + = 
 
 
13. 3 aa b a b
b
1 b
log log log a b
a b a
− ++ + + =
−
( ) ( )
11 1
3 2
aa b a b
b
a
log a b log log a b
b
−
− +
 = − + + + =  
( ) ( )aa b a b
b
1 a 1 1 1 1
log a b log log a b 1
3 b 2 3 2 6
− +
 = − − + + = − + =−  
 
 
 
14. ( ) ( ) ( ) 33 2 253a b a blog a a log b : b log ab −⋅⋅ − + = 
( )
1 10 8
3 853 3 5
a b a b
10 8 29
log a a log b 3 log a log b 3 3
3 5 15
−
−
           = ⋅ − − = − − = + − =               
 
 
TIMONMATE Logaritmos resueltos 
 
 
 5/8 
15. 
aa b
b
a b
1 b
log log
a b a
log a b
−
+
+
−
=
+
( )
( )
11
2
aa b
b
1
2
a b
a
log a b log
b
log a b
−
−
−
+
 − +   
=
+
( )
( )
aa b
b
a b
1 a 1log a b log 12 b 2 3
1 1
log a b
2 2
−
+
 − − −  − −  
= = =−
+
 
 
 
16. 
5
2 2 2
2 2
1
log 8 log 16 log
8
 2 log 4 3log 2 
+ +
=
−
( )
1
3 4 35
2 2 2
2 3
2 2
log 2 log 2 log 2
 log 4 log 2 
−+ +
=
−
3
5
2 2 2
2 2
log 2 4 log 2 3log 2
 4 log 2 3log 2 
+ −
= =
−
3
4 3
85
 4 3 5
+ −
=
−
 
 
 
17. 
2 2 2 2
2 2 2 2
2 1 25
log 8 log log log
25 5 8
log 40 log 10 log 2 log 4
+ −
− =
− +
 
( )
( ) ( )
( )3 2 1 2 32 2 2 2 2 2
23
2 22 2 2 2
log 2 log 2 log 5 log 5 log 5 log 2
log 2 log 2log 5 log 2 log 5 log 2
−+ − − −
= − =
++ − +
 
( )
( ) ( )
( )2 2 2
2 2
3 1 2 log 5 log 5 2 log 5 3
log 5 3 log 5 1 1 2
+ − − − −
= − =
+ − + +
2 2
2 2
4 2 log 5 3log 5 3
2 log 5 1 log 5 1
2 3
− − +
= − = − − + = 
 
18. 
3 2
b 4
7,2 0,006
log
25 3,2
− ⋅    ⋅ 
. Datos: 
b
b
b
log 2 4
log 3 2
log 5 3
 = =
 =−
 
 
( ) ( )
3 2
3 2 4
b b b4
7,2 0,006
log log 7,2 0,006 log 25 3,2
25 3, 2
−
−
 ⋅  = ⋅ − ⋅ =  ⋅ 
 
( )
3 422 2 4
2
b b b b2 3
2 3 3 2
log log log 5 log
5 2 5 5
−      ⋅    = + − + =        ⋅     
 
[ ] [ ]b b b b b b3 2 log 2 2 log 3 log 5 2 log 3 2 log 2 3log 5= + − − − − − 
Logaritmos resueltos TIMONMATE 
 
 
 6/8 
( )b b b2 log 5 4 4 log 2 log 5 − + − =  
( ) ( ) ( ) ( ){ }3 2 4 2 2 3 2 2 2 4 3 3 2 3 4 4 4 3     = ⋅ + ⋅ − − − − ⋅ − − − − + ⋅ − − =      
[ ] [ ] [ ]{ }3 8 4 3 2 2 8 9 6 4 16 3 31= + + − − + − − + + =− 
 
B.3 Hallar el término desconocido. 
 
 
19. 3 3 3a a 1l 25 a 5 ao 5g 125 3 = ⇒ = ⇒⇒ == 
 
20. 5 5 5a a 2l 43 a 3 ao 3g 243 5 = ⇒ = ⇒⇒ == 
 
21. 62
4 2x
5
x 125 5 5 4x 2log 25 x 625 x
2
= ⇒ = ⇒ = ⇒ == ⇒ 
 
22. x 5x32
5x 21 232 0,25 2 2 2 5x 2 x
4
log 0,25 x
5
−= ⇒ = ⇒ = −= = ⇒ =−⇒ ⇒ 
23. 
511 5
5 55 5
x
5x 2 x 2 x 2
1
log 22 x 3
5
  = ⇒ = ⇒ = ⇒ =   
= ⇒ 
 
B.4. Desarrollar expresiones logarítmicas: 
 
24. a a aa a alog x y log z log x lo
x y
l g y logg
z
zo
⋅
⋅ + −= − = 
25. ( )
2
a aa a
x
2 log
x
2 lol g x log y
y
og
y
   =  = − 
 
26. a a aa a alog x y log z log x lo
x y
l g y logg
z
zo
⋅
⋅ + −= − = 
27. 
3 1
3 3 2
a a a a aa log x y log
x y
log z log x log g
z
y lo z− = + −= = 
a a a
1
3log x log y log z
2
= + − 
 
 
 
 
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B.5. Escribir como un solo logaritmo: 
 
28. ( ) ( )
2 3
2
2
xy yx
log xy log log
x
log x log
x
y 2 log
y y x
y
            − = =              
  − =   
 
 
29. ( ) ( ) ( ) ( )( )2 22 ln a2 ln a b ln a b b ln a b a b − −− − −= +− =
( ) ( )( )
( )
2
2 a b
ln a b ln a b a b ln
−
 = − − + − =  ( ) ( )a b a b+ −
a b
ln
a b
 − =   +
 
 
 
30. 
4
2 2
1
4 4 2
2 2
a b a b
log log
a a
a b 1 a b
4 log log
a 2 a
    − −   − =        
 − − − = 


( )
( )
( )
( )
( )
2
2 22 24
2 2 2 22 24 4
2
a b
a b a a ba b alog log log log
a a a b a a b
a
 −     − −−    = − = = =     − −   
  
( )22 22
1
log log a
a
−  =  
 
 
31. ( ) ( ) ( ) ( )5 5 5
1
2 log x log b x 2 log 7
3
− + +
1
2 x 23
5 5 5log x log b log 7
+= − + = 
2 2 x 2 2 x 2
x 2
5 5 5 51 1 3
3 3
x x 7 x 7
log log 7 log log
b
b b
+ +
+ ⋅ ⋅= + = = 
 
32. 
aya b ayca b
log log
b
c
log log log log
b c d xd c d xd
         + + − =   
   /       
⋅ ⋅ − =     /   
 
a a
aya xcd cdlog log log log log
ay aycd xd cy
xd xd
                    = − = = =                        
 
 
Logaritmos resueltos TIMONMATE 
 
 
 8/8 
33. ( )
2
2 2 22
x yx 1
log xy log log
y 2 2
      − + =       
 
2 2 2 4
3
2 2 2 2
2
xy x y x y x y
log log log y log
x 2 2 2
y
                     = + = =                        
 
 
 
 
 
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• Ecuaciones logarítmicas. 
• Ecuaciones exponenciales. 
 
 
 
***