Trabajo del cálculo integral (Métodos de Integración)

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DEMOSTRACIÓN DE LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
Regla del trapecio
La regla del trapecio es un método de integración numérica, se utiliza con el fin de hallar el valor aproximado de una integral definida. Consiste en dividir la región debajo de la curva en n trapecios como se observa en la siguiente gráfica, teniendo en cuenta el intervalo donde se calculará el área que en este caso es de a hasta b [a, b], encontrando posteriormente el área de cada trapecio para realizar la respectiva sumatoria. 
Figura 1. Regla del trapecio.
Figura 2. Trapecio. 
Como se puede apreciar en la figura 2, la altura del trapecio vendría siendo equivalente al valor de cada subintervalo del intervalo [a, b] en el eje x. 
Y el valor de los puntos en el eje x serian: 
 
Por lo que las áreas de cada trapecio quedarían de la siguiente manera:
· Trapecio 1
· Trapecio 2
· Trapecio 3
Y la fórmula general de la regla del trapecio, vendría siendo la sumatoria del área de los trapecios: 
Ejemplo
Calcular la aproximación del área debajo de la gráfica de la función en el intervalo [2, 10].
Con el propósito de tener una mayor claridad, hacemos una gráfica con el primer trapecio, sabiendo a qué equivale sus bases y la altura.
El área de cada trapecio quedaría de la siguiente manera:
· Trapecio 1
· Trapecio 2
· Trapecio 3
· Trapecio 4
Correspondiendo la aproximación del área total de la región bajo la gráfica a: 
Ahora, mediante el teorema fundamental , encontraremos el valor de la integral definida y, por ende, el área de la región pedida en el enunciado. 
Integración por partes 
Multiplicamos el dos por el resultado de la integral anterior y hacemos la respectiva evaluación en los límites: 
 
Regla de Simpson
La regla del Simpson es otro método de integración numérica tal como la del trapecio, se utiliza con el propósito de hallar el valor aproximado de una integral definida. Se basa en la utilización de parábolas; se divide cierta área debajo de la gráfica o curva [a, b] en n intervalos – donde n debe ser un número par – y se toman la parábola de 3 puntos en 3. 
Gráfica 1. Regla de Simpson. 
Se considera en primera instancia el caso donde , y . Tal cual se muestra en la siguiente gráfica: 
Gráfica 2. Caso base de la regla de Simpson. 
Se sabe que la ecuación de la parábola es y, por consiguiente, el área bajo la parábola que se muestra en la gráfica anterior de a es:
Ahora, como la parábola cruza por los puntos , , se tiene que:
Se suman (1) y (3):
 
Sustituimos en (4) a (2) y despejamos A: 
Ahora reemplazamos a C y A en el área de la parábola:
Dado a lo anterior, se puede decir que: 
Permitiéndonos reescribir el área de la parábola como:
El área bajo la parábola que se ve en la primera gráfica que pasa por los puntos , , de a es:
Si se hallan de esta manera todas las áreas bajo la curva de las parábolas y se suman, se obtiene que:
Entonces, de forma general se establece la regla de Simpson como:
Donde 
Ejemplo 
Calcular la aproximación del área debajo de la gráfica de la función en el intervalo [0, 8].
Ahora por el teorema fundamental , hallamos el área debajo de la función:
Maximización de utilidades con respecto al tiempo
Se conoce en economía al término de maximización de utilidades, como un proceso en el cual las empresas pueden utilizar distintos métodos para determinar los niveles de producción que la conducen a una mayor utilidad. Como indica su nombre, se genera una mayor ganancia para la empresa, determinando los precios y las entradas.
En una empresa es importante la utilidad total, puesto que esta nos determina el nivel de satisfacción que tiene el consumidor con respecto al producto en cuestión. Y, en otras palabras, son las ganancias que genera una empresa respecto a su producto restando los ingresos obtenidos por la venta y el costo de producción del mismo, está dada matemáticamente por la fórmula: 
Donde 
· I(t) es el ingreso total
· C(t) al costo total 
· U(t) la utilidad total
Y la utilidad máxima se alcanzaría cuando o , debido a que es lo mínimo que requiere una empresa para no generar pérdidas.
A través de esta relación determinamos que la utilidad máxima se calcula como:
Donde es el tiempo máximo de operación.
Ejemplo 1
Una operación minera tiene una tasa de ingresos y costos representadas en las siguientes funciones:
Donde:
· R’(t) es tasa de ingresos
· C’(t) son los costos 
· t es el tiempo en años.
Ahora, se halla la utilidad total. Para esto se tiene que calcular primero el tiempo máximo de operación:
Conociendo el tiempo máximo de operación se puede hallar la utilidad máxima:
Ejemplo 2 
Si las funciones de ingreso y costo marginales de una empresa y , respectivamente, y si la empresa conoce que la cantidad que maximiza la utilidad es x = 20, determinemos la utilidad máxima.
 
Bibliografía
Ernest F. Haeussler, J., & Richard, S. P. (2003). Matemáticas para administración y economía. México: PEARSON EDUCACIÓN.
Stewart, J. (2008). Cálculo de una variable: Trascendentes tempranas (Sexta edición). Cengage Learning Editores.