Epigrafe2 movimiento plano

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Asignatura: Mecánica 
Capítulo I: Cinemática y dinámica de la partícula. 
Epígrafe I.2: Movimiento plano. 
 
Objetivos: 
 Definir las magnitudes asociadas al movimiento de las partículas en un plano 
incluyendo su expresión en coordenadas polares. 
 Definir la aceleración centrípeta y tangencial. 
 Describir el movimiento de los proyectiles. Definir los parámetros y encontrar 
las fórmulas que caracterizan a este tipo de movimiento. 
 Definir las condiciones del movimiento circular uniforme y las fórmulas que 
describen el movimiento. 
 Describir las transformaciones de Galileo y encontrar la fórmula para la 
determinación de la velocidad relativa. 
 
Sumario: 
 Introducción. 
 Movimientos planos. Aceleración centrípeta y tangencial. Coordenadas 
polares. 
 Proyectiles. 
 Movimiento circular uniforme. 
 Movimiento relativo. Transformaciones de Galileo de espacio y tiempo. 
 Conclusiones. 
Bibliografía. 
1. R. Resnick, D. Halliday, K. Krane, Física, Tomo I cuarta edición, pag. 17 - 86. 
2. J. D. Garrido, Notas para las clases. 
3. Moyses Nussenzveig, Curso de Física Básica, Tomo 1, Mecânica, pag. 23-39. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 
 Introducción 
 
 En el epígrafe anterior encontramos las magnitudes físicas que describen el 
movimiento de traslación de una partícula o punto material: desplazamiento, velocidad y 
aceleración considerando coordenadas cartesianas. Igualmente aplicamos esas magnitudes 
al estudio del movimiento rectilíneo, tanto cuando la partícula tiene velocidad constante, 
como para el caso cuando la aceleración es constante. En el presente epígrafe estudiaremos 
el movimiento bidimensional, es decir, el que se produce de manera que la trayectoria se 
mantiene contenida en un plano. Algunos aspectos de la descripción de este movimiento 
fueron expuestos en el epígrafe anterior, ahora completaremos el estudio y lo aplicaremos 
al estudio de dos tipos de movimientos importantes: el movimiento de proyectiles y el 
movimiento circular uniforme. Ambos tipos de movimiento son muy comunes y todos 
nosotros hemos tenido contacto con ellos en la vida cotidiana. Vemos un partido de 
balompié y comprobamos que la pelota tiene un movimiento bidimensional parabólico cada 
vez que es golpeada por un jugador. Leemos algo sobre el movimiento de la Luna alrededor 
de la Tierra y vemos que ese satélite de nuestro planeta describe una trayectoria circular 
con una velocidad aproximadamente uniforme. 
 Algo similar ocurre con el movimiento relativo, que estudiaremos hoy. Cruzamos 
diariamente calles con tránsito y, constantemente, calculamos si un auto nos puede 
atropellar o no. Dirigimos un auto y cotidianamente evaluamos si podemos cruzar antes que 
otro auto choque con nosotros o no. En este epígrafe, simplemente, le daremos una 
estructura teórica a todas esas habilidades y acciones que cotidianamente nosotros usamos. 
 
 Movimientos planos. Aceleración centrípeta y tangencial. Coordenadas 
polares. 
 
 En el epígrafe anterior vimos que el diferencial de desplazamiento se describe por la 
expresión 
 
 
 
Figura 1 
 
 
kdzjdyidxtrrrd
tt



)]([lim 0
0
. (I.2.1) 
 
 Si el movimiento es plano (Figura 2) entonces se requieren de dos coordenadas para 
describirlo de modo que la posición de la partícula en cualquier instante de tiempo 
 
 
 
necesitaría de dos coordenadas (por ejemplo las coordenadas 
Figura 2 (latitud y longitud)
posición vendría dado por la expresión
 
 
y el módulo del diferencial de desplazamiento vendría dado por 
 
 
 
de modo que la longitud de la trayectoria seguida 
tomados a lo largo de la trayectoria, lo que equivale a decir, la integral del diferencial de
abscisa curvilínea 
 
 

C
s
 
 
 También vimos que
derivando respecto al tiempo la expresión (I.
 
 
 
y la expresión (I.2.5) nos dar
coordenadas cartesianas. Observe que la expresión (I.
problema inverso, es decir, encontrar el camino recorrido, siempre que se conozca la 
3 
 
Figura 2 
 
de dos coordenadas (por ejemplo las coordenadas x e y) como apare
(latitud y longitud) para el movimiento de un huracán, de modo que el vector de 
posición vendría dado por la expresión 
 
jtyitxtr

)()()(  ,
 
diferencial de desplazamiento vendría dado por 
 22 dydxdsrd 

, 
la longitud de la trayectoria seguida sería la suma de todos los diferenciales 
tomados a lo largo de la trayectoria, lo que equivale a decir, la integral del diferencial de
 






x
x
r
r
dx
dx
dy
dydxds
00
2
22 1

 
También vimos que la velocidad de la partícula, para este caso,
derivando respecto al tiempo la expresión (I.2.2) de modo que 
 
jViVj
dt
tdy
i
dt
tdx
dt
trd
V yx


)()()(
,
) nos daría la velocidad de la partícula en un movimiento plano en 
coordenadas cartesianas. Observe que la expresión (I.2.5) nos permitiría resolver el 
problema inverso, es decir, encontrar el camino recorrido, siempre que se conozca la 
 
) como aparece en la 
, de modo que el vector de 
 
 (I.2.2) 
 (I.2.3) 
la suma de todos los diferenciales 
tomados a lo largo de la trayectoria, lo que equivale a decir, la integral del diferencial de la 
 
 (I.2.4) 
, para este caso, se obtendría 
,
 
 (I.2.5) 
velocidad de la partícula en un movimiento plano en 
) nos permitiría resolver el 
problema inverso, es decir, encontrar el camino recorrido, siempre que se conozca la 
 4 
dependencia de la velocidad con el tiempo, en efecto, integrando (I.2.5) en el tiempo 
obtendríamos 
 
 
  jyixjdyidxjdtVidtVrdttV
y
y
x
x
t
t
y
t
t
x
t
t

















 
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
,
 
 (I.2.6) 
 
con una interpretación geométrica simple: el desplazamiento que tiene la partícula resulta 
ser igual al área de la gráfica de  tV

 contra el tiempo. 
 Cómo sería la expresión de la velocidad si la posición de la partícula fuera definida 
utilizando coordenadas polares? Es decir, 
 
 
  ur
ˆ
 ,
 
 (I.2.7) 
donde  uˆ

 sería el vector unitario en el sentido de crecimiento de la variable ρ (radial) 
como aparece en la Figura 3. De la Figura 3 se desprende que la representación de los 
vectores unitarios  uˆ

 y  uˆ

 (vector unitario en la dirección de crecimiento del ángulo 
θ cuando nos movemos en sentido anti horario), en términos de los vectores unitarios iˆ

 e jˆ

 
tendría la forma 
 
 
 
 
Figura 3 
 
jiu ˆcosˆsinˆ

  , (I.2.8) 
 
 
jiu ˆsinˆcosˆ

  , (I.2.9) 
 
donde se tuvo en cuenta que el módulo de los vectores unitarios es igual a la unidad 
(recuerde que 1sincos 22   ). Derivando respecto al ángulo θ las expresiones (I.2.8) - 
(I.2.9) se llega con facilidad a las igualdades: 
 
 
a Figura 4 ayuda a entender estos resultados
 
 
Las expresiones (I.2.10) - (I.
mueve siguiendo una trayectoria plana derivando la expresión (I.
aplicando la regla de la cadena 
 
 
 

u
dt
d
dt
rd
V
ˆ


 
donde V sería la velocidad radial y 
dirección radial en el sentido de crecimiento del ángulo
es decir, la rapidez con la cual crece o decrece el ángulo 
posición con el eje de las x)
radial V es nula y la velocidad en la dirección de crecimiento del ángulo 
tangente a la trayectoria. 
 De acuerdo con la expresión (I.
velocidad a lo largo de los ejes 
ellas en la dirección del radio vector de posición y la otraclaro que usar las componentes de 
componentes de velocidad en coordenadas polares depende de la geometría del 
movimiento. Si se tiene un movimiento rectilíneo lo 
5 

 

uji
d
ud ˆˆsinˆcos
ˆ 

 , 
 

 

uji
d
ud ˆˆcosˆsin
ˆ 

 , 
 
ayuda a entender estos resultados 
 
 
Figura 4 
 
(I.2.11) permiten encontrar la velocidad de una partícula que se 
mueve siguiendo una trayectoria plana derivando la expresión (I.2.7) respecto al tiempo 
aplicando la regla de la cadena como hacemos abajo 



 


 uVuuV
dt
d
d
ud
uV
dt
ud ˆˆˆ
ˆ
ˆ
ˆ 




ería la velocidad radial y  V sería la velocidad 
dirección radial en el sentido de crecimiento del ángulo (
dt
d
  es la velocidad angular, 
es decir, la rapidez con la cual crece o decrece el ángulo θ que forma el radio vector de 
). Observe que en el caso de una trayectoria circular la velocidad 
es nula y la velocidad en la dirección de crecimiento del ángulo 
De acuerdo con la expresión (I.2.12) podemos sustituir las 
velocidad a lo largo de los ejes x e y por dos componentes de velocidad dirigidas una de 
ellas en la dirección del radio vector de posición y la otra perpendicular a esa dirección.
componentes de velocidad respecto a los ejes cartesianos 
velocidad en coordenadas polares depende de la geometría del 
movimiento. Si se tiene un movimiento rectilíneo lo conveniente es usar las velocidades en 
 (I.2.10) 
 (I.2.11) 
encontrar la velocidad de una partícula que se 
) respecto al tiempo y 
 uVu
ˆˆ   ,
 
 (I.2.12) 
sería la velocidad perpendicular a la 
es la velocidad angular, 
que forma el radio vector de 
Observe que en el caso de una trayectoria circular la velocidad 
es nula y la velocidad en la dirección de crecimiento del ángulo V sería 
) podemos sustituir las componentes de la 
velocidad dirigidas una de 
perpendicular a esa dirección. Es 
velocidad respecto a los ejes cartesianos x e y, o usar las 
velocidad en coordenadas polares depende de la geometría del 
conveniente es usar las velocidades en 
 6 
coordenadas cartesianas, pero si se tiene un movimiento circular entonces resulta mejor 
utilizar las coordenadas polares. 
 
 
Aceleración de la partícula en coordenadas polares. 
 
 Cómo se puede describir la aceleración de la partícula usando coordenadas polares? 
Ya que la aceleración es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo resulta lógico 
derivar la expresión de la velocidad en coordenadas polares (1.2.12) para determinar la 
aceleración de la partícula en ese tipo de coordenadas. Utilicemos ese procedimiento 
 
   u
dt
d
u
dt
d
dt
d
dt
ud
dt
d
u
dt
d
dt
d
dt
rd
dt
Vd
A ˆˆ
ˆ
ˆ
2
2 





















 
 




 



uuuVuA
dt
ud
u
dt
d
u
dt
d
dt
ud
dt
d
u
dt
d ˆˆˆ2ˆ
ˆ
ˆˆ
ˆ
ˆ 2
2
2 





, 
 
donde fue considerado que: 
 

 




u
dt
d
ji
dt
d
d
ud
dt
ud ˆˆsinˆcos
ˆˆ 





 
 
 
 
       uVuAuuuVuAA ˆ2ˆˆˆˆ2ˆ 22

 . (I.2.13) 
 
 En la expresión (I.2.13) A y V representan la aceleración y la velocidad radiales, 
es decir, según la dirección radial,  representa la velocidad angular, 
dt
d
  es la 
aceleración angular. La aceleración quedaría dividida en una aceleración radial dada por el 
paréntesis 2 A y una aceleración perpendicular a la dirección radial dada por el 
paréntesis  V2 . El término 
2 se conoce como aceleración centrípeta, tiene la 
dirección radial y apunta al origen del sistema de referencia siendo una aceleración debido 
a la inercia de la partícula (como veremos más adelante). El otro factor que conforma la 
aceleración radial se debe al movimiento acelerado según el radio. El término  sería 
una aceleración perpendicular a la dirección radial producida por la aceleración angular y, 
por último, el término V2 se conoce como aceleración de Coriolis, es también una 
aceleración producida por la combinación del movimiento angular y radial de la partícula 
(que volveremos a estudiar en el capítulo de dinámica). Comenzaremos a aplicar estos 
resultados para realizar el estudio de movimientos particulares que se producen en un 
plano. 
 
Proyectiles. 
 7 
 En la vida cotidiana son muchos los ejemplos de proyectiles. El nombre se debe a 
aquellos instrumentos que sirven en las guerras (Figura 5), 
 
 
 
 
 
Figura 5 
 
pero, en general, cualquier partícula que se mueva en las inmediaciones de la Tierra se 
constituye en un proyectil (Figura 6) 
 
 
 
 
Figura 6 
 
 Como se ve de los ejemplos citados, el movimiento del proyectil está contenido en 
un plano y, en general, la trayectoria de su movimiento resulta ser parabólica. Vamos a 
describir analíticamente este movimiento utilizando la teoría que hemos desarrollado. En 
nuestro estudio no consideraremos las interacciones del aire con el proyectil, es decir, para 
nosotros será como si el proyectil se moviera en el vacío. Claro está, esto lleva a 
limitaciones para los resultados que alcancemos pero nos dará un cuadro bien próximo a la 
realidad. 
 Se sabe que el movimiento de los cuerpos en las inmediaciones de la Tierra se 
caracteriza por el hecho de que los mismos se mueven con aceleración constante, la 
aceleración de la gravedad. El módulo de esta aceleración se acostumbra a representar con 
la letra g y, aunque su valor concreto depende del punto de la Tierra donde se determine, en 
general se acostumbra usar el valor 28.9 smg  como su valor característico. La dirección 
de este vector también es constante y siempre apunta al centro de la Tierra. Para un punto 
sobre la superficie de la Tierra constituye una buena aproximación considerar que esta es 
un plano y, por tanto, colocando el eje y perpendicular a esa superficie tendríamos que 
 
 8 
la aceleración que afecta al proyectil resulta ser jgA

 (estamos considerando que el eje se 
orienta positivo hacia arriba). Vimos en la clase anterior que si el cuerpo se mueve bajo la 
acción de una aceleración la velocidad que adquiere después de un tiempo t vendría dada 
por 
 
 
  jViVjdtAidtAVdttA yx
t
t
y
t
t
x
t
t



















 
2
1
2
1
2
1
.
 
 (I.2.14) 
de manera que, para el caso del movimiento en las inmediaciones de la Tierra tendríamos 
 
 
jVVjVjttgjgdtVdtjg y
t
t
t
t

)()( 1212
2
1
2
1









  .
 
 (I.2.15) 
 
 Si tomamos como límite inferior el tiempo inicial nulo, nos quedaría la habitual 
relación para la velocidad en la caída libre 
 
 
gtVV yyf  0 . (I.2.16) 
 La expresión encontrada nos indica que en el eje y, como era de esperar, el 
movimiento es rectilíneo uniformemente variado, y que pasa en los ejes x e z? En estos ejes 
no hay aceleración y, por tanto, la velocidad es constante. La suma de esas dos 
componentes de velocidad daría un vector velocidad constante en el plano (x , z). Podemos 
entonces rotar ese plano alrededor del eje y hasta hacer coincidir el eje x con la dirección de 
la velocidad de la partícula en el plano (x , z) de manera que ya no exista componente en el 
eje z. Con el procedimiento realizado la velocidad y la aceleración en el eje z serían nulas yno podrá haber movimiento en ese eje, todo el movimiento transcurrirá en los ejes x e y y la 
trayectoria de la partícula estaría contenida en ese plano. En el eje x la velocidad inicial no 
cambiará, ya que no hay aceleración, por tanto, para todo tiempo la velocidad en ese eje 
será igual a la velocidad inicial xV0 . Uniendo este resultado a la expresión (I.2.16) 
obtendríamos la velocidad de la partícula 
 
 
jgtViVV yx

)( 00  . (I.2.17) 
 
 
 
 
 La fórmula (I.2.17) nos lleva a interpretar el movimiento del proyectil como 
resultado de la combinación de un movimiento rectilíneo uniforme en el eje x con un 
 9 
movimiento rectilíneo uniformemente variado en el eje y. Cuál es el resultado de esta 
combinación de movimientos? Para encontrar esto tendremos que encontrar la manera que 
cambian las coordenadas que describen la posición de la partícula para todo instante de 
tiempo, es decir, tenemos que encontrar el vector de posición )(tr

(ver Figura 6) del 
proyectil, para eso resulta necesario integrar la expresión (I.2.17) 
 
 
  jyixjtdtgVitdVrtdtV
t
y
t
x
t 
















 
0
0
0
0
0
)( ,
 
 (I.2.18) 
donde hemos considerado que en el instante inicial la partícula está en el origen de 
coordenadas. De (I.2.18) obtenemos 
 
 
jyixjgttVitV yx







 200
2
1
,
 
 (I.2.19) 
 
 
Figura 7 
 Si la velocidad inicial de la partícula es 0V

, y este vector forma un ángulo φ con el 
eje x, como se muestra en la Figura 7, se obtiene para las componentes del vector los 
valores 
 
 
 senVVVV yx 0000 ;cos  ,
 
 (I.2.20) 
 
y (I.2.19) toma la forma 
 
 
jyixjgttsenVitV







 200
2
1
cos  ,
 
 (I.2.21) 
es decir, que las componentes del vector de posición dependen del tiempo según las 
fórmulas 
 
 
tVx cos0 ,
 
 (I.2.22) 
 10 
 
2
0
2
1
gttsenVy   ,
 
 (I.2.23) 
que son las funciones paramétricas para las coordenadas de la partícula. 
 Resulta fácil ahora encontrar la forma de la trayectoria, en efecto, para conseguir 
esto tenemos, simplemente, que eliminar el tiempo entre (I.2.22) y (I.2.23) de manera que 
se obtenga la función y = f(x) que describe la ecuación de la trayectoria. Despejando el 
tiempo en (I.2.22) y sustituyendo en (I.2.23) se obtiene 
 
 
2
22
0
2
00
0
cos2
tan
cos2
1
cos
x
V
g
x
V
x
g
V
x
senVy



 





 ,
 
 (I.2.24) 
 
que resulta ser la ecuación de una parábola como se ve en la Figura 6. Al ángulo φ se le 
acostumbra llamar ángulo de tiro. Si el ángulo de tiro es cero tendríamos un tiro horizontal 
con una trayectoria dada por la expresión (Figura 8) 
 
2
2
02
x
V
g
y  ,
 
 (I.2.25) 
donde el origen de coordenadas está en el punto del disparo. 
 
 
 
Figura 8 
 
 De la expresión (I.2.24) salen un grupo de parámetros interesantes: alcance del 
proyectil, altura máxima que alcanza el proyectil en su movimiento, el ángulo para el cual 
se llega al mayor de los alcances posibles o alcance máximo y el tiempo de vuelo (ver 
Figura 9). 
 El alcance es el valor que tiene la coordenada x cuando se llega nuevamente al 
valor y = 0, o de forma más general, el valor de la coordenada x cuando se llega al mismo 
valor inicial de y. Teniendo en cuenta (I.2.24) podemos encontrar el alcance haciendo y = 0 
 
 
 11 
 
 
 Figura 9 
 
 
0
cos2
tan
22
0






 x
V
g
x

 ,
 
 (I.2.26) 
ecuación que aporta dos soluciones x = 0, solución trivial del origen de coordenadas, y la 
otra solución que sale de igualar a cero el corchete en (I.2.26) 
 
 
g
senV
g
senV
g
V
xalcance
 2cos2tancos2 20
2
0
22
0 
 
 (I.2.27) 
 
 
 
 
Figura 10 
 La solución (1.2.27) indica que el alcance depende del ángulo de tiro, lo que se 
muestra en la Figura 10. Cabe entonces la pregunta: existe algún ángulo para el cual se 
llegue a un valor máximo del alcance? La respuesta aparece fácilmente viendo que la 
dependencia con el ángulo en (I.2.27) está dada por el seno del ángulo duplo y el seno es 
creciente en el intervalo [0, π/2] de modo que el valor máximo del alcance, para una 
velocidad inicial dada, se alcanza para un ángulo de tiro dado por φ = π/4. Esta situación 
está reflejada en la Figura 10 (recuerde que sen(π/2)=1, el mayor valor de la función seno) . 
 12 
 El tiempo de vuelo es el tiempo que demora el proyectil en llegar hasta su alcance, 
dadas unas condiciones iniciales para el lanzamiento. Para encontrar el valor de este 
parámetro basta con encontrar las raíces de la ecuación (I.2.23) , es decir, los valores del 
tiempo que anulan la ecuación. 
 
 




 gtsenVt
2
1
0 0  ,
 
 (I.2.28) 
estos valores serían el instante inicial, valor que no nos interesa, y el valor del tiempo que 
anula el corchete 
 
 g
senV
tv
02 ,
 
 (I.2.29) 
que nos daría el tiempo de vuelo. 
 Analicemos ahora el parámetro altura máxima. El proyectil alcanza su altura 
máxima cuando su velocidad en el eje y se anula (después de ese instante comienza a 
descender por la acción de la gravedad). El tiempo que demora el proyectil en alcanzar esta 
situación, llamado tiempo de ascenso, se puede calcular haciendo cero la componente y de 
la velocidad en (I.2.16) 
 
 g
senV
g
V
t
y
a
00  . (I.2.30) 
 
 Observe que el tiempo de ascenso es igual a la mitad del tiempo de vuelo lo que es 
congruente con el carácter simétrico que tiene la trayectoria del proyectil. Sustituyendo este 
tiempo en (I.2.23) se obtiene la altura máxima 
 
 
g
senV
g
Vosen
g
g
Vosen
senVym
22
1 220
2
0

 





 (I.2.31) 
 
 
Movimiento circular uniforme. 
 
 El movimiento circular uniforme es también un movimiento común en la práctica. 
Puede obtenerse un movimiento circular uniforme haciendo girar con velocidad angular 
constante un cuerpo amarrado a una cuerda sobre nuestra cabeza. Así mismo, el 
movimiento de la Tierra alrededor del Sol puede aproximarse a un movimiento circular 
uniforme (ver Figura 11) 
 Cuando la partícula tiene un movimiento circular uniforme su trayectoria es una 
circunferencia, por tanto, su distancia al origen es constante y la velocidad y aceleración 
radiales se anulan. Por otro lado si el movimiento es uniforme la aceleración angular debe 
 
 13 
 
 
 
Figura 11 
 
ser nula también. Las condiciones apuntadas hacen que para una partícula animada de este 
tipo de movimiento se obtenga de las expresiones (I.2.12) y (I.2.13) 
 
 
 
 uVuRV T
ˆˆ 

 ,
 
 (I.2.32) 
  uRA
ˆ2 

 . (I.2.33) 
donde la velocidad es la velocidad tangencial, la aceleración es la centrípeta y R es el radio, 
como se observa en la Figura 12. Las tres magnitudes son constantes en el movimiento 
circular uniforme. 
 
 
 
 
 
 
 Figura 12 
 
 Movimiento relativo. Transformaciones de Galileo de espacio y tiempo. 
 
 En la vida cotidiana muchas veces resulta de extrema importancia conocer no solo 
la velocidad de un cuerpo respecto a un sistema de referencia fijo sino también la velocidad 
 14 
de un cuerpo respecto a otro que está en movimiento como se demuestra en la Figura 13 
que mostramos abajo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 13 
 
 Como pueden caracterizarse las situaciones de movimiento relativo que tenemos 
arriba? Supongamosque tenemos un punto material en movimiento y que este punto es 
observado desde dos sistemas de referencia con orígenes O y O´. Sea r

 el vector de 
posición de la partícula en el sistema O fijo y sea r 

 el vector de posición en el sistema O´ 
móvil. Llamemos R

 al vector que une los orígenes O y O´ de los dos sistemas de 
referencia, 
 
 15 
 
 
 Figura 14 
entonces, como se ve en la Figura 14, podemos escribir la suma vectorial 
 
rRr 

.
 
 (I.2.34) 
Sea U

 la velocidad constante del sistema O´ respecto al sistema de referencia O. Entonces 
la expresión (I.2.34) puede escribirse como 
 
 
rtUr 

.
 
 (I.2.35) 
 La ecuación (I.2.35) es vectorial y nos permitiría encontrar las coordenadas de la 
partícula en el sistema O dadas esas coordenadas en el sistema O´. Esta expresión es la 
ecuación de transformación de coordenadas de Galileo. Estas ecuaciones de transformación 
 
 
 
 
 Figura 15 
 
de coordenadas se unen a la transformación de tiempos de Galileo tt  , que indica la 
independencia de los intervalos temporales respecto al estado de movimiento del sistema de 
referencia, para formar el sistema de ecuaciones de transformación de coordenadas y 
tiempo de Galileo. Este sistema permite derivar (I.2.35) para encontrar la ley de suma de 
velocidades de Galileo 
 16 
 
VUV 

.
 
 (I.2.36) 
que permite calcular la velocidad de la partícula en el sistema O si se conoce su velocidad 
en O´ y la velocidad relativa entre los dos sistemas. 
 Veamos ejemplos simples de aplicación de estos resultados. Supongamos que 
tenemos un bote que se mueve con una velocidad v respecto al agua (saeta azul en la 
Figura 16). Cuando él navega en un lago con aguas sin movimiento esa también será su 
velocidad respecto a tierra. El bote se coloca para navegar en un rio cuyas aguas se mueven 
con una velocidad U respecto a la tierra (vea en la Figura 16 la saeta roja) hacia la derecha. 
Antes que sea accionado el mecanismo propulsor del bote (sean remos o un motor) este 
tendrá la misma velocidad de las aguas del rio respecto a tierra, pues el agua lo arrastra. 
 
 
Figura 16 
Si ahora se acciona el mecanismo propulsor del bote y este se mueve en el mismo sentido 
del movimiento de las aguas del rio su velocidad respecto a tierra, de acuerdo con (I.2.36) 
sería (saeta verde en la Figura 16) 
 
vUv  , 
es decir, aumenta su velocidad respecto a tierra y si se mueve en sentido contrario al 
movimiento del agua su velocidad respecto a tierra sería menor del agua 
 
vUv  . 
Qué ocurre si el bote pretende atravesar el rio pasando de una orilla a la otra? 
 
 
 
 
 
Figura 17 
 
Como se ve en la Figura 17 la velocidad de la lancha respecto al agua del rio es LRV

 
mientras que la velocidad del agua del rio respecto a tierra es RTV

 entonces la velocidad de 
la lancha respecto a tierra LTV

, siguiendo (I.2.36) será 
 17 
 
 
RTLRLT VVV

 , 
por tanto, la lancha llegará a un punto de la orilla opuesta diferente al esperado para una 
navegación en aguas inmóviles.
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 18 
 
La aplicación de (I.2.36) permite explicar porque la persona que no se mojaba cuando 
permanecía detenida bajo la lluvia, se moja cuando corre bajo ella. Puede explicar el 
asunto? (ver Figura 18) 
 
 Conclusiones. 
 
 A lo largo de los dos epígrafes estudiados hemos discutido las magnitudes que 
describen al movimiento de las partículas: posición, velocidad, aceleración, en coordenadas 
cartesianas y polares y las hemos aplicado al estudio de movimientos particulares 
unidimensionales y bidimensionales. También encontramos la manera de estudiar el 
movimiento de una partícula observándola desde dos sistemas de referencia diferentes que 
tienen una velocidad relativa. Con esas herramientas estudiadas estamos en condiciones de 
describir el movimiento, pero no hemos aprendido como es que se produce el movimiento. 
De donde sale la aceleración de la partícula? 
 Para el caso de los proyectiles indicamos que en las inmediaciones de la Tierra la 
partícula se mueve con la aceleración de la gravedad, pero, de donde salió la gravedad? 
Esas preguntas serán discutidas en el próximo epígrafe. 
Autor: Juan de Dios Garrido Arrate Foz do Iguaçu, 15/03/2014 
Primera revisión 02/03/2015 
Segunda revisión 09/08/2016