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Ca´lculo II
Elaine Machtyngier
14 de abril de 2016
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Integral Definida
∫ b
a
f (x)dx = lim
n→∞
n∑
i=1
f (ci )(xi − xi−1).
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Partic¸a˜o do Retaˆngulo R
R = [a, b]× [c , d ] = {(x , y) ∈ IR2 | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}
Rij = [xi−1, xi ]×[yj−1, yj ] =
{
(x , y) ∈ IR2 | xi−1 ≤ x ≤ xi, yi−1 ≤ y ≤ yi
}
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Soma de Riemann de f sobre R
f : R = [a, b]× [c , d ]→ IR
(x∗ij , y
∗
ij ) ∈ Rij e ∆A = ∆x∆y
Smn =
m∑
j=1
n∑
i=1
f (x∗ij , y
∗
ij )∆A
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Soma de Riemann de f sobre R
f : R = [a, b]× [c , d ]→ IR
(x∗ij , y
∗
ij ) ∈ Rij e ∆A = ∆x∆y Smn =
m∑
j=1
n∑
i=1
f (x∗ij , y
∗
ij )∆A
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Integral dupla de f sobre R
A integral dupla de f sobre o retaˆngulo R e´
∫∫
R
f (x , y) dA = lim
m,n→∞
m∑
j=1
n∑
i=1
f (x∗ij , y
∗
ij )∆A
se o limite existir.
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Significado geome´trico da Integral dupla de f sobre R
Se f e´ cont´ınua e f (x , y) ≥ 0 para todo (x , y) no retaˆngulo R
Volume = lim
m,n→∞
m∑
j=1
n∑
i=1
f (x∗ij , y
∗
ij )∆A =
∫∫
R
f (x , y) dA
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Exemplo1
Estime o volume do so´lido que esta´ acima do quadrado
R = [0, 2]× [0, 2] e abaixo do parabolo´ide z = 16− x2 − 2y2
V ≈
2∑
j=1
2∑
i=1
f (xi , yj)∆A =
= f (1, 1)∆A+f (1, 2)∆A+f (2, 1)∆A+f (2, 2)∆A =
= 13(1)+7(1)+10(1)+4(1) = 34
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Exemplo1
Estime o volume do so´lido que esta´ acima do quadrado
R = [0, 2]× [0, 2] e abaixo do parabolo´ide z = 16− x2 − 2y2
V ≈
2∑
j=1
2∑
i=1
f (xi , yj)∆A =
= f (1, 1)∆A+f (1, 2)∆A+f (2, 1)∆A+f (2, 2)∆A =
= 13(1)+7(1)+10(1)+4(1) = 34
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Exemplo1
Estime o volume do so´lido que esta´ acima do quadrado
R = [0, 2]× [0, 2] e abaixo do parabolo´ide z = 16− x2 − 2y2
V ≈
2∑
j=1
2∑
i=1
f (xi , yj)∆A =
= f (1, 1)∆A+f (1, 2)∆A+f (2, 1)∆A+f (2, 2)∆A =
= 13(1)+7(1)+10(1)+4(1) = 34
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Melhores aproximac¸o˜es para o Exemplo1
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Melhores aproximac¸o˜es para o Exemplo1
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Valor Me´dio
Ca´lculo I: Valor me´dio de f : [a, b]→ IR e´
fme´d =
1
b − a
∫ b
a
f (x) dx
Analogamente: Valor me´dio de f : R ⊂ IR2 → IR e´
fme´d =
1
A(R)
∫∫
R
f (x , y) dA
onde A(R) e´ a a´rea de R.
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Propriedades
1 Se f e g sa˜o func¸o˜es integra´veis sobre R enta˜o
∀a, b ∈ IR, af + bg tambe´m e´ integra´vel sobre R , e:∫∫
R
a f (x , y)+ b g(x , y) dA = a
∫∫
R
f (x , y) dA+ b
∫∫
R
g(x , y) dA
2 Se f e g sa˜o integra´veis sobre R e g(x , y) ≤ f (x , y), para
todo (x , y) ∈ R , enta˜o:∫∫
R
g(x , y) dA ≤
∫∫
R
f (x , y) dA
3 Se R e´ subdividido em k retaˆngulos e f e´ integra´vel sobre
cada Ri , i = 1, ..., k enta˜o f e´ integra´vel sobre R e,∫∫
R
f (x , y) dA =
k∑
i=1
∫∫
Ri
f (x , y) dA
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Propriedades
1 Se f e g sa˜o func¸o˜es integra´veis sobre R enta˜o
∀a, b ∈ IR, af + bg tambe´m e´ integra´vel sobre R , e:∫∫
R
a f (x , y)+ b g(x , y) dA = a
∫∫
R
f (x , y) dA+ b
∫∫
R
g(x , y) dA
2 Se f e g sa˜o integra´veis sobre R e g(x , y) ≤ f (x , y), para
todo (x , y) ∈ R , enta˜o:∫∫
R
g(x , y) dA ≤
∫∫
R
f (x , y) dA
3 Se R e´ subdividido em k retaˆngulos e f e´ integra´vel sobre
cada Ri , i = 1, ..., k enta˜o f e´ integra´vel sobre R e,∫∫
R
f (x , y) dA =
k∑
i=1
∫∫
Ri
f (x , y) dA
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Propriedades
1 Se f e g sa˜o func¸o˜es integra´veis sobre R enta˜o
∀a, b ∈ IR, af + bg tambe´m e´ integra´vel sobre R , e:∫∫
R
a f (x , y)+ b g(x , y) dA = a
∫∫
R
f (x , y) dA+ b
∫∫
R
g(x , y) dA
2 Se f e g sa˜o integra´veis sobre R e g(x , y) ≤ f (x , y), para
todo (x , y) ∈ R , enta˜o:∫∫
R
g(x , y) dA ≤
∫∫
R
f (x , y) dA
3 Se R e´ subdividido em k retaˆngulos e f e´ integra´vel sobre
cada Ri , i = 1, ..., k enta˜o f e´ integra´vel sobre R e,∫∫
R
f (x , y) dA =
k∑
i=1
∫∫
Ri
f (x , y) dA
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Propriedades
1 Se f e g sa˜o func¸o˜es integra´veis sobre R enta˜o
∀a, b ∈ IR, af + bg tambe´m e´ integra´vel sobre R , e:∫∫
R
a f (x , y)+ b g(x , y) dA = a
∫∫
R
f (x , y) dA+ b
∫∫
R
g(x , y) dA
2 Se f e g sa˜o integra´veis sobre R e g(x , y) ≤ f (x , y), para
todo (x , y) ∈ R , enta˜o:∫∫
R
g(x , y) dA ≤
∫∫
R
f (x , y) dA
3 Se R e´ subdividido em k retaˆngulos e f e´ integra´vel sobre
cada Ri , i = 1, ..., k enta˜o f e´ integra´vel sobre R e,∫∫
R
f (x , y) dA =
k∑
i=1
∫∫
Ri
f (x , y) dA
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Exerc´ıcios pa´gina 913 do Stewart
12- .
Calcule:∫∫
R
(5− x) dA
R =
{
(x , y) ∈ IR2 | 0 ≤ x ≤ 5, 0 ≤ y ≤ 3}
14- A integral
∫∫
R
√
9− y2 dA , onde R = [0, 4]× [0, 2],
representa o volume de um so´lido. Esboce o so´lido.
17- Se f e´ uma func¸a˜o constante, f (x , y) = k , e
R = [a, b]× [c , d ], mostre que
∫∫
R
k dA = k(b − a)(d − c).
18- Use o resultado do exerc´ıcio17 para mostrar que
0 ≤
∫∫
R
sen(pix) cos(piy)dA ≤ 1
32
, R = [0,
1
4
]× [1
4
,
1
2
]
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Integrais Iteradas
Uma integral iterada de f sobre R e´ uma integral do tipo:∫ d
c
[∫ b
a
f (x , y) dx
]
dy .
Para calcula´-la fixamos y e calculamos a integral∫ b
a
f (x , y) dx
como integral de uma varia´vel em x ; o resultado e´ uma func¸a˜o de y
que e´ novamente integrada em y , com limites de integrac¸a˜o c e d .
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Integrais Iteradas
A integral ∫ b
a
[∫ d
c
f (x , y) dy
]
dx .
e´ calculada de forma ana´loga.
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Exemplos
1
∫ 2
0
[∫ 3
1
x2y dy
]
dx =
32
3
2
∫ pi
0
[∫ pi
0
cos(x + y) dx
]
dy = −4
3
∫ 1
−1
[∫ 1
−2
(x2 + y2) dx
]
dy = 8
4
∫ pi/3
pi/6
[∫ 4
0
ρ2eρ
3
sen(φ) dρ
]
dφ =
(e64 − 1)(√3− 1)
6
5
∫ 1
0
[∫ √1−y2
0
√
1− y2 dx
]
dy =
2
3
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Teorema de Fubini
Se f for cont´ınua no retaˆngulo
R =
{
(x , y) ∈ IR2 | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}, enta˜o
∫∫
R
f (x , y) dA =
∫ b
a
∫ d
c
f (x , y) dy dx =
∫ d
c
∫ b
a
f (x , y) dx dy .
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Teorema de Fubini
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Teorema de Fubini
Se f (x , y) ≥ 0
V =
∫ b
a
A(x)dx =
∫ b
a
∫ d
c
f (x , y) dy dx
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Teorema de Fubini
Se f (x , y) ≥ 0
V =
∫ b
a
A(x)dx =
∫ b
a
∫ d
c
f (x , y) dy dx
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Teorema de Fubini
Se f (x , y) ≥ 0
V =
∫ d
c
∫ b
a
f (x , y) dx dy
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Exerc´ıcios pg 917 Stewart
16-
∫∫
R
cos(x + 2y) dA
R =
{
(x , y) ∈ IR2 | 0 ≤ x ≤ pi, 0 ≤ y ≤ pi/2}
18-
∫∫
R
1 + x2
1 + y2
dA
R =
{
(x , y) ∈ IR2 | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}
22-
∫∫
R
x
x2 + y2
dA, R = [1, 2]× [0, 1]
30- Encontre o volume do so´lido no primeiro octante limitado pelo
cilindro z = 16− x2 e pelo plano y = 5.
36- Determine o valor me´dio de f (x , y) = ey
√
x + ey sobre o
retaˆngulo R = [0, 4]× [0, 1].
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