Algebra moderna   Róbinson Castro Puche FREELIBROS.ORG
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Algebra moderna Róbinson Castro Puche FREELIBROS.ORG

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Róbinson Castro Puche

moderna
Álgebra
e introducción al
álgebra geométrica

ECOE EDICIONES

Róbinson Castro Puche.
Licenciado en Matemáticas,
Universidad Nacional de
Colombia, Bogotá.

Master of Arts Mathematics
Education, Ball State University,
Muncie, Indiana, USA. Profesor
titular de la Universidad de
Córdoba, Montería, donde
además ejerció las funciones de
Secretario Académico de la
Facultad de Ciencias, Director del
departamento de Matemáticas y
Director de la oficina de Registro
y Admisiones. Es además,
docente adscrito a la Universidad
Nacional de Colombia, 1993 a
1994.

A´LGEBRA MODERNA
e introduccio´n al a´lgebra

geome´trica

RO´BINSON CASTRO PUCHE

A´lgebra moderna
e introduccio´n al a´lgebra geome´trica

Copyright c© Ro´binson Castro Puche. Es propiedad intelectual del autor.
Todos los derechos reservados. Prohibida la reproduccio´n total o parcial, por
cualquier medio o con cualquier propo´sito, sin autorizacio´n escrita del autor.
Monter´ıa – Colombia
robinson castro p@hotmail.com

ISBN: 978-958-648-850-1

Primera edicio´n: 2013
Diagramacio´n: En LATEX realizada por Ro´binson Castro Puche
Disen˜o de Cara´tula: Wilson Marulanda
Impreso por Ecoe Ediciones Ltda., Bogota´

E-mail: correo@ecoeedicioes.com
www.ecoeedicioes.com
Carrera 19 No 63C-32, Pbx: 2481449, fax. 346 1741
Coordinacio´n editorial: Andrea del Pilar Sierra
Impreso en Colombia
Depo´sito legal: Hecho.

Catalogación en la publicación – Biblioteca Nacional de Colombia

Castro Puche, Róbinson
Álgebra moderna e introducción al álgebra geométrica / Róbinson

Castro Puche – 1ª. ed. – Bogotá : Ecoe Ediciones, 2013
 ��� p. – (Ciencias exactas. Matemáticas)

ISBN 978-958-648-850-1

 1. Aritmética 2. Álgebra 3. Geometría algebraica I. Título II. Serie

CDD: 512 ed. 20� CO-BoBN– a834338

A Olga, la esposa; Milton, Tania, Jaime y Glenna, los hijos;
Alejandro, Andrea, Paula, Valery, Daniel y Sara, los nietos.

I´ndice general

EL AUTOR V

PRESENTACIO´N VII

PREFACIO IX

1. TEORI´A DE LA ARITME´TICA 3
Introduccio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1. Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2. El m.c.d y el m.c.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3. Congruencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4. Criterios de divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.5. Sistemas de numeracio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.5.1. Cambio de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.5.2. Operaciones en base cualquiera . . . . . . . . . . . . . 45

2. GRUPOS 53
2.1. Leyes de composicio´n internas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.2. Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.3. Grupos finitos y construccio´n de tablas . . . . . . . . . . . . . 61
2.4. Notacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.5. Grupos de permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.6. Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.7. Grupos C´ıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.8. Aplicaciones geome´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

3. SUBGRUPOS NORMALES–ISOMORFISMOS 101
3.1. Grupos con operadores externos . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

i

ii I´NDICE GENERAL

3.2. Producto de las partes de G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.3. Δ–Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.4. Clases laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.5. Subgrupos normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.6. Homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.7. Isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

4. ANILLOS 141
4.1. Definicio´n y Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.2. El Anillo Zn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.3. El anillo de los Endomorfismos de A . . . . . . . . . . . . . . 147
4.4. Divisores de Cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.5. Dominios–Semicampos–Campos . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

4.5.1. Subdominios–Subcampos . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
4.6. Ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.7. Homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
4.8. Otras clases de ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
4.9. Dominios Euclidianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
4.10. Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
4.11. Dominios de factorizacio´n u´nica . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
4.12. El campo de cocientes de un dominio . . . . . . . . . . . . . . 185
4.13. Caracter´ısticas de Dominios y Campos . . . . . . . . . . . . . 192

5. ANILLOS DE POLINOMIOS 199
5.1. Construccio´n del anillo F [ x ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
5.2. Polinomios Irreducibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
5.3. Extensiones de Campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
5.4. Los ceros de Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
5.5. El Dominio de Factorizacion Unica D[ x ] . . . . . . . . . . . . 230

6. A´LGEBRA GEOME´TRICA 239
6.1. A´lgebras de Clifford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

6.1.1. Bases y dimensio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
6.1.2. El producto exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
6.1.3. El producto de Clifford . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

6.2. A´lgebras del plano y el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
6.2.1. El a´lgebra tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
6.2.2. Trivectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

I´NDICE GENERAL iii

6.3. El a´lgebra Cln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
6.3.1. Bases algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

6.4. La transformacio´n dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
6.4.1. Propiedades generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
6.4.2. Involuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

6.5. Los productos interno y externo . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
6.6. Multivectores de grado k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
6.7. La norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

6.7.1. El inverso de A〈k〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
6.8. Representacio´n matricial del producto . . . . . . . . . . . . . . 288
6.9. El inverso de un multivector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

6.9.1. El producto geome´trico en Cl3 . . . . . . . . . . . . . . 294
6.10. Versores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
6.11. El plano euclidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

6.11.1. Interpretacio´n geome´trica de los bivectores en el plano
euclidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

6.11.2. El i-plano espinor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

EL AUTOR

RO´BINSON CASTRO PUCHE
Licenciado en Matema´ticas, Universidad Nacional de Colombia, Bogota´.
Master of Arts Mathematics Education, Ball State University, Muncie, In-
diana, USA.
En la Universidad de Co´rdoba, en Monter´ıa, ejercio´ las funciones de secreta-
rio acade´mico de la Facultad de Ciencias, director de la Oficina de Registro
y Admisiones, director del Departamento de Matema´ticas y profesor titular.
Tambie´n fue rector del Colegio El Carmen de Cotorra, Co´rdoba y entre di-
ciembre de 1993 y noviembre de 1994, fue docente adscrito a la Universidad
Nacional de Colombia.

v

PRESENTACIO´N

A´lgebra moderna e introduccio´n al a´lgebra