Algebra moderna Róbinson Castro Puche FREELIBROS.ORG

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Róbinson Castro Puche
moderna
Álgebra
e introducción al
álgebra geométrica
ECOE EDICIONES
Róbinson Castro Puche. 
Licenciado en Matemáticas, 
Universidad Nacional de 
Colombia, Bogotá. 
Master of Arts Mathematics 
Education, Ball State University, 
Muncie, Indiana, USA. Profesor 
titular de la Universidad de 
Córdoba, Montería, donde 
además ejerció las funciones de 
Secretario Académico de la 
Facultad de Ciencias, Director del 
departamento de Matemáticas y 
Director de la oficina de Registro 
y Admisiones. Es además, 
docente adscrito a la Universidad 
Nacional de Colombia, 1993 a 
1994.
A´LGEBRA MODERNA
e introduccio´n al a´lgebra
geome´trica
RO´BINSON CASTRO PUCHE
A´lgebra moderna
e introduccio´n al a´lgebra geome´trica
Copyright c© Ro´binson Castro Puche. Es propiedad intelectual del autor.
Todos los derechos reservados. Prohibida la reproduccio´n total o parcial, por
cualquier medio o con cualquier propo´sito, sin autorizacio´n escrita del autor.
Monter´ıa – Colombia
robinson castro p@hotmail.com
ISBN: 978-958-648-850-1
Primera edicio´n: 2013
Diagramacio´n: En LATEX realizada por Ro´binson Castro Puche
Disen˜o de Cara´tula: Wilson Marulanda
Impreso por Ecoe Ediciones Ltda., Bogota´
E-mail: correo@ecoeedicioes.com
www.ecoeedicioes.com
Carrera 19 No 63C-32, Pbx: 2481449, fax. 346 1741
Coordinacio´n editorial: Andrea del Pilar Sierra
Impreso en Colombia
Depo´sito legal: Hecho.
Catalogación en la publicación – Biblioteca Nacional de Colombia
Castro Puche, Róbinson
Álgebra moderna e introducción al álgebra geométrica / Róbinson 
Castro Puche – 1ª. ed. – Bogotá : Ecoe Ediciones, 2013
 ��� p. – (Ciencias exactas. Matemáticas)
ISBN 978-958-648-850-1
 1. Aritmética 2. Álgebra 3. Geometría algebraica I. Título II. Serie
CDD: 512 ed. 20� CO-BoBN– a834338
A Olga, la esposa; Milton, Tania, Jaime y Glenna, los hijos;
Alejandro, Andrea, Paula, Valery, Daniel y Sara, los nietos.
I´ndice general
EL AUTOR V
PRESENTACIO´N VII
PREFACIO IX
1. TEORI´A DE LA ARITME´TICA 3
Introduccio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1. Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. El m.c.d y el m.c.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3. Congruencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4. Criterios de divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.5. Sistemas de numeracio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.5.1. Cambio de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.5.2. Operaciones en base cualquiera . . . . . . . . . . . . . 45
2. GRUPOS 53
2.1. Leyes de composicio´n internas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2. Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.3. Grupos finitos y construccio´n de tablas . . . . . . . . . . . . . 61
2.4. Notacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.5. Grupos de permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.6. Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.7. Grupos C´ıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.8. Aplicaciones geome´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3. SUBGRUPOS NORMALES–ISOMORFISMOS 101
3.1. Grupos con operadores externos . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
i
ii I´NDICE GENERAL
3.2. Producto de las partes de G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.3. Δ–Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.4. Clases laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.5. Subgrupos normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.6. Homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.7. Isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4. ANILLOS 141
4.1. Definicio´n y Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.2. El Anillo Zn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.3. El anillo de los Endomorfismos de A . . . . . . . . . . . . . . 147
4.4. Divisores de Cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.5. Dominios–Semicampos–Campos . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.5.1. Subdominios–Subcampos . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
4.6. Ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.7. Homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
4.8. Otras clases de ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
4.9. Dominios Euclidianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
4.10. Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
4.11. Dominios de factorizacio´n u´nica . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
4.12. El campo de cocientes de un dominio . . . . . . . . . . . . . . 185
4.13. Caracter´ısticas de Dominios y Campos . . . . . . . . . . . . . 192
5. ANILLOS DE POLINOMIOS 199
5.1. Construccio´n del anillo F [ x ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
5.2. Polinomios Irreducibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
5.3. Extensiones de Campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
5.4. Los ceros de Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
5.5. El Dominio de Factorizacion Unica D[ x ] . . . . . . . . . . . . 230
6. A´LGEBRA GEOME´TRICA 239
6.1. A´lgebras de Clifford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
6.1.1. Bases y dimensio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
6.1.2. El producto exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
6.1.3. El producto de Clifford . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
6.2. A´lgebras del plano y el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
6.2.1. El a´lgebra tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
6.2.2. Trivectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
I´NDICE GENERAL iii
6.3. El a´lgebra Cln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
6.3.1. Bases algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
6.4. La transformacio´n dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
6.4.1. Propiedades generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
6.4.2. Involuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
6.5. Los productos interno y externo . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
6.6. Multivectores de grado k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
6.7. La norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
6.7.1. El inverso de A〈k〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
6.8. Representacio´n matricial del producto . . . . . . . . . . . . . . 288
6.9. El inverso de un multivector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
6.9.1. El producto geome´trico en Cl3 . . . . . . . . . . . . . . 294
6.10. Versores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
6.11. El plano euclidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
6.11.1. Interpretacio´n geome´trica de los bivectores en el plano
euclidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
6.11.2. El i-plano espinor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
EL AUTOR
RO´BINSON CASTRO PUCHE
Licenciado en Matema´ticas, Universidad Nacional de Colombia, Bogota´.
Master of Arts Mathematics Education, Ball State University, Muncie, In-
diana, USA.
En la Universidad de Co´rdoba, en Monter´ıa, ejercio´ las funciones de secreta-
rio acade´mico de la Facultad de Ciencias, director de la Oficina de Registro
y Admisiones, director del Departamento de Matema´ticas y profesor titular.
Tambie´n fue rector del Colegio El Carmen de Cotorra, Co´rdoba y entre di-
ciembre de 1993 y noviembre de 1994, fue docente adscrito a la Universidad
Nacional de Colombia.
v
PRESENTACIO´N
A´lgebra moderna e introduccio´n al a´lgebrageome´trica es un texto
cuyo objetivo es promover una actitud matema´tica positiva entre los estu-
diantes de una asignatura reconocida tradicionalmente como una disciplina
abstracta, en la que se estudian entes aparentemente distantes de la realidad
concreta y de la experiencia tangible.
¿Que´ se persigue con la ensen˜anza del a´lgebra moderna en las instituciones
de educacio´n superior? Ciertamente no es hacer conocer al futuro matema´tico
una serie de teoremas y ejercicios ingeniosos relacionados con las estructuras
algebraicas, sino ensen˜arle a ordenar el pensamiento con arreglo al me´todo
axioma´tico, para desarrollar el rigor del juicio lo´gico, indispensable en la
labor del matema´tico.
En ese aspecto, el autor presenta un trabajo prolijo que sera´ de gran ayu-
da a los estudiantes que se inician en el conocimiento del a´lgebra moderna.
El texto esta´ agradablemente redactado y en algunos aspectos presenta ori-
ginalidad en la exposicio´n y concatenacio´n lo´gica de los temas, cosa dif´ıcil de
lograr con un material que hoy es completamente esta´ndar. De acuerdo con
mi criterio, esto u´ltimo representa un aspecto muy valioso del libro.
Conociendo las cualidades pedago´gicas del profesor Ro´binson Castro, veo
en la presente obra la continuacio´n de su conviccio´n de poner en pra´ctica las
teor´ıas de la ensen˜anza de las matema´ticas desarrolladas por Piaget; por esta
razo´n puedo afirmar que estamos, sin duda, frente a un material valioso para
los interesados en conocer de cerca los fundamentos del a´lgebra moderna.
RAFAEL OBREGO´N, Msc.
Los A´ngeles, California, USA. enero de 2013.
vii
PREFACIO
Si nos ubicamos en la posicio´n del maestro, de ensen˜ar la teor´ıa o en la del
epistemo´logo, que tiene que ver con la naturaleza de los entes matema´ticos;
el problema consiste en saber si las conexiones matema´ticas son engendradas
por la inteligencia o si esta las descubre como una relidad exterior.
Jean Piaget en su disertacio´n, con motivo del Coloquio de la Rochette
de Melun en 1952, refirie´ndose a las estructuras matema´ticas; expreso´: Un
grupo es un sistema operatorio; la cuestio´n estriba en saber si los elementos
de diversa naturaleza a los que se aplica la estructura existen previamente
a esta, o si, por el contrario, es la accio´n de la estructura la que confiere
a los elementos sus propiedades esenciales. El problema sicolo´gico consiste
en establecer si los entes que sirven de elementos a las estructuras son el
resultado de las operaciones que los engendran o si preexisten a aquellas
operaciones que se aplican a ellos.
Para dar respuesta al dilema, continuo´ diciendo: En vez de definir los
elementos aisladamente por convenio, la definicio´n estructural consiste en
carcterizarlos por las relaciones operatorias que mantienen entre s´ı, en fun-
cio´n del sistema. Y la definicio´n estructural de un elemento hara´ las veces
de demostracio´n de la necesidad de este elemento, en cuanto esta´ concebido
como perteneciente a un sistema cuyas partes son interdependientes.
Teniendo en cuenta el criterio de Piaget, el objetivo principal de este
trabajo es poner a la consideracio´n de la comunidad matema´tica un texto
que proporcione a los estudiantes las bases teo´ricas del a´lgebra moderna que
les permita abordar con e´xito una disciplina con un alto grado de abstraccio´n.
Dominar las ideas expuestas en el texto constituye un paso fundamental para
el estudio de teor´ıas ma´s avanzadas relacionadas con el desarrollo axioma´tico
de las matema´ticas.
En concordancia con lo anterior, el texto esta´ disen˜ado para usarlo co-
mo guia para un primer curso de a´lgebra moderna. Se encuentra dividido
ix
x PREFACIO
en seis cap´ıtulos. En el primero se estudian los aspectos ma´s relevantes de
la aritme´tica elemental, comenzando con la caracterizacio´n de los nu´meros
naturales tomando como fundamento los postulados de Peano. A partir del
concepto de divisibilidad se estudian las congruencias, concluyendo con una
presentacio´n suscinta de los sistemas de numercio´n de base diferente a la
decimal.
Los cap´ıtulos segundo y tercero esta´n dedicados al desarrollo de los gru-
pos. El material consignado es el que tradicionalmente se estudia, pero he
considerado que desde el punto de vista dida´ctico los subgrupos normales se
introduzcan a trave´s de los automorfismos internos.
Los cap´ıtulos cuarto y quinto esta´n dedicados a los anillos. El cuarto se
inicia con una descripcio´n detallado de los enteros mo´dulo n, se extiende el
estudio de la divisibilidad a los anillos en general y se desarrolla la teor´ıa
correspondiente a las estructuras algebraicas hasta la nocio´n de campo. El
quinto correponde al anillo de los polinomios.
El a´lgebra geome´trica es un to´pico que en la actualidad no cuenta con
una amplia difusio´n como herramienta matema´tica aplicada a la solucio´n de
algunos problemas de la ingenier´ıa; donde el ana´lisis vectorial esta´ndar, en
dos y tres dimensiones, y el a´lgebra matricial son las ayudas ampliamente
usadas. Pero lo cierto es que cada d´ıa aumenta el nu´mero de investigadores
convencidos de la utilidad de esta rama descubierta por Gu¨nther Grassmann.
Presentar las bases mı´nimas de esta teor´ıa, tiene como propo´sito invitar
a los interesados a profundizar en su estudio e investigar acerca de la im-
portancia de esta herrmienta en la reformulacio´n de algunos conceptos de la
f´ısica.
El autor.
Monter´ıa, enero de 2013.
A´LGEBRA MODERNA
e introduccio´n al a´lgebra
geome´trica
Cap´ıtulo 1
TEORI´A DE LA
ARITME´TICA
Introduccio´n
El punto de partida es aceptar que los enteros y sus operaciones aritme´ticas
han sido objeto de ana´lisis. El intere´s primario sera´ estudiar los fundamentos
de la aritme´tica elemental. Se supone conocido el desarrollo axioma´tico de
los naturales propuesto por G. Peano en 1889 que permite concebirlos como
la coleccio´n {0, 1, 2, . . . , n, . . . } y una operacio´n unaria, la funcio´n siguiente
o sucesor que verifica los postulados de Peano:
1. Cero es un nu´mero.
2. El sucesor de un nu´mero es u´nico.
3. Cero no es el sucesor de ningu´n nu´mero.
4. Si Sig(n) = Sig(m), entonces n = m.
5. El principio de induccio´n completa: Dado un conjunto M de nu´meros
naturales con las dos propiedades siguientes:
a) Cero pertenece a M.
b) Si n pertenece a M implica que Sig(n) tambie´n pertenece a M ;
entonces M contiene a todos los nu´meros naturales.
3
4 CAPI´TULO 1. TEORI´A DE LA ARITME´TICA
Partiendo de estos fundamentos se define la adicio´n mediante las fo´rmulas:
Sig(n) = n + 1
Sig[Sig(n)] = n + 2
y as´ı sucesivamente,
n + Sig(m) = Sig(n + m)
llamadas fo´rmulas de recurrencia.
La multiplicacio´n se expresa en te´rminos de la adicio´n por:
nm = m + m + · · ·+ m︸ ︷︷ ︸
n veces
indicando que el nu´mero m se ha sumado n veces.
Los enteros sera´n el resultado de reunir los naturales con sus respectivos
inversos aditivos, o sea:
{. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}.
Ma´s tarde se estudiara´n como ejemplos de sistemas nume´ricos espec´ıficos
objeto del a´lgebra moderna.
La representacio´n polino´mica de los enteros sera´ igualmente asumida,
da´ndose por cierto que para todo entero t > 1, cada uno de los enteros a > 0
puede representarse en forma u´nica como
a = c0 + c1t + · · ·+ cn−1tn−1 + cntn =
n∑
i=0
cit
i
donde cn es positivo y 0 ≤ ci < t, para 0 ≤ i ≤ n. Esta proposicio´n garantiza
que cada entero mayor que 1 puede servir como base para un sistema de
numeracio´n.
Las precisiones expuestas servira´n para movernos con libertad suficiente
en el desarrollo de algunos to´picos cuya construccio´n esta´ por fuera de los
objetivos planteados.
Construir tria´ngulos recta´ngulos con lados enteros fue objeto de investi-
gacio´n por parte de los babilonios 1600 an˜os antes de Cristo. No solamente
le dieron solucio´n a esteproblema sino que lo aplicaron a la trigonometr´ıa
5
construyendo tablas. Euclides en el de´cimo libro de los Elementos escribio´ un
ana´lisis detallado al plantear la solucio´n en los enteros de la ecuacio´n:
x2 + y2 = z2
conocida como ecuacio´n pitago´rica, debido a la creencia que fue Pita´goras
quien la planteo´ por primera vez en el an˜o 550 antes de Cristo. Las soluciones
ma´s simples esta´n conformadas por 3, 4, 5 y 5, 12, 13 y mu´ltiplos de estos, por
ejemplo 6, 8, 10 que es el doble de la primera y 25, 60, 65 que es cinco veces la
segunda. Tal vez se piense que no haya otras, pero efectivamente las hay. En
los tria´ngulos de lados 3, 4, 5 y 5, 12, 13 la hipotenusa es una unidad mayor
que uno de los catetos. Si a y b son los catetos y la hipotenusa es b + 1, de
acuerdo con el teorema de Pita´goras
a2 + b2 = (b + 1)2.
Realizando las operaciones pertinentes se llega a la igualdad
a2 = 2b + 1
de donde se concluye que a2 es impar y por lo tanto a tambie´n lo es. Tomando
a = 2n + 1,
reemplazando en la igualdad anterior se observa que
b = 2n2 + 2n
lo que lleva a deducir que (2n+1), (2n2+2n), (2n2+2n+1) son los lados de un
tria´ngulo recta´ngulo, donde la u´ltima expresio´n corresponde a la hipotenusa.
Pero los anteriores distan de ser todos, estos se encuentran a trave´s de la
solucio´n de la ecuacio´n
x2 + y2 = z2
ecuacio´n que tiene infinitas soluciones si x, y, z son primos relativos; y es par
positivo; x, z ambos impares positivos. Las soluciones vienen dadas por
x = u2 − v2, y = 2uv, z = u2 + v2
donde u, v son enteros que satisfacen las condiciones u > v > 0, son primos
relativos y uno de los dos es par. Si u = 2, v = 1 se tiene la solucio´n 3, 4, 5.
Si u = 3, v = 2, la solucio´n es 5, 12, 13.
6 CAPI´TULO 1. TEORI´A DE LA ARITME´TICA
La mejor contribucio´n de Euclides a la aritme´tica fue el desarrollo de las
demostraciones del algoritmo euclidiano, la existencia de un nu´mero infinito
de primos y el teorema fundamental de la aritme´tica que establece que todo
entero distinto de cero se puede expresar como el producto de un nu´mero
finito de factores primos, conceptos que tienen su fundamento en la relacio´n
de divisibilidad.
Fermat estudio´ la ecuacio´n
xn + yn = zn
para enteros n ≥ 3. Afirmo´ tener una solucio´n asegurando que, excepto para
el caso en que n = 2, no hab´ıa solucio´n diferente a 0, 0, 0. Desafortunadamente
no la dio a conocer siendo este uno de los tres problemas insolubles ma´s
famosos. Este hecho se nombra en la historia como el u´ltimo teorema de
Fermat o el teorema grande de Fermat, en contraposicio´n al conocido como
el teorema menor de Fermat, cuyo enunciado establece que si p es primo,
entonces para todo a,
ap ≡ a mod p.
Y si p no divide a a,
ap − 1 ≡ 1 mod p.
Lo de menor tal vez fue para resaltar la importancia del primero. Un caso
especial del teorema menor de Fermat establece que si p es primo, entonces
p|(2p − 2).
Los chinos creyeron por mucho tiempo que el rec´ıproco tambie´n era cierto y
lo verificaron hasta 300. Consideraron durante ma´s de 23 siglos que era una
regla infalible para decidir primalidad, pero falla para 341 = 11× 31.
Debido a que 2341− 2 consta de 103 cifras comprobarlo se pospone hasta
cuando haya la teor´ıa suficiente.
1.1. Divisibilidad
Definicio´n 1.1.1. Conside´rense los enteros a, b con a �= 0. Si existe un
entero c tal que b = ac, se dice que a divide a b y se escribe a|b. Si a no
divide a b, se escribe a � b.
1.1. DIVISIBILIDAD 7
Como 8 = 2× 3 + 2 , se deduce que 3 � 8. Otros ejemplos son:
5|15, 1|4, (−2)|6, 2|(−8), 5 � 14.
La relacio´n de divisibilidad no es una equivalencia debido a que no es sime´tri-
ca, por ejemplo 3|6, pero 6 � 3.
Es fa´cil verificar que es reflexiva y transitiva.
Para todo entero a diferente de cero, existe el entero 1, tal que a = a× 1
y de acuerdo con la definicio´n a|a indicando que es reflexiva.
Sean a, b, c tres enteros donde a y b son ambos diferentes de cero tales
que a|b y b|c entonces existen enteros d, e que satisfacen las igualdades
b = ad, c = be.
Si el valor de b en la primera igualdad lo reemplazamos en la segunda se
obtiene
c = (ad)e = a(de)
y como de es un entero se concluye que a|c, infirie´ndose que es una relacio´n
transitiva.
Las siguientes proposiciones son otras propiedades de la divisibilidad que
se pueden deducir usando la definicio´n. Como es tradicional las letras se
usara´n para representar enteros. Para evitar confusiones las cifras enteras se
escriben sin usar los puntos correspondientes a la escritura formal. El punto
y el signo × se usan para expresar producto, por ejemplo, 23 · 45 y 23× 45
significan ��23 por 45��, mientras que 2345 debe leerse ��dos mil trescientos
cuarenta y cinco��.
1. Si a|b y b|a, entonces a = b o a = −b.
2. Si a|b y a|c, entonces a|(bx ± cy) para toda pareja x, y. En particular
a|(b± c). Si a|b, entonces a|bx, para todo x.
3. Si a|b y b > 0, entonces a ≤ b.
4. Para todo a �= 0 y para todo b, a|0 y ±1|b.
5. Sean a, b, k con a �= 0, k �= 0, entonces a|b si y solo si ak|bk.
6. Si a|b y b �= 0, entonces | a | ≤ | b |.
8 CAPI´TULO 1. TEORI´A DE LA ARITME´TICA
Note que el orden en que aparecen las anteriores proposiciones no es impor-
tante, por ejemplo la proposicio´n (3) se puede considerar como una conse-
cuencia de (6) pero es posible hacer una demostracio´n directa de (3) sin usar
(6).
Definicio´n 1.1.2. Dos enteros a, b ambos diferentes de cero tales que a|b y
b|a se dice que son asociados.
De acuerdo con (1) los u´nicos asociados de un entero a son a y −a.
Para demostrar la propiedad (1) se deben tomar dos asociados y concluir
que son iguales o que solo difieren en el signo. Para el efecto to´mense los
asociados a, b. Por definicio´n existen c y d tales que
b = ac, a = bd.
Si el valor de a, en la igualdad de la derecha, lo reemplazamos en la de la
izquierda se obtiene
b = (bd)c = b(dc)
y de esta u´ltima se deduce que dc = 1, pero debido a que d y c son enteros,
u´nicamente se pueden tener dos posibilidades, d = c = 1 o d = c = −1. Si
ocurre la primera posibilidad, reemplazando a c se concluye de la primera
igualdad que b = a. Si ocurre la segunda se obtiene b = −a.
Para demostrar la propiedad (2) se supone que a|b y a|c, luego existen
enteros m,n tales que
b = am
c = an.
Multiplicando ambos miembros de la primera igualdad por x y los de la
segunda por y, sumando miembro a miembro y factorizando a, se tiene
bx + cy = a(mx + ny).
Por la seleccio´n de m, x, n, y, (mx+ny) es un entero, t lo que permite concluir
que
bx + cy = at
de donde se puede afirmar que a|(bx + cy). Haciendo x = y = 1, obtenemos
a|(b + c). Si reemplazamos a x por 1, a y por −1 entonces a|(b − c). Si se
iguala c con cero se concluye que a|bx.
1.1. DIVISIBILIDAD 9
Hay dos hechos importantes de la aritme´tica que usaremos a lo largo
del texto. El primero afirma que cualquier conjunto de enteros positivos que
contenga al menos un elemento contiene un elemento mı´nimo, y es conocido
como el principio de la buena ordenacio´n. El segundo es una consecuencia
del primero y se ha mencionado con anterioridad, es el algoritmo de Euclides
o algoritmo de la divisio´n. Se denomina algoritmo porque proporciona un
me´todo mediante el cual se pueden hallar cocientes y residuos al momento
de dividir.
Definicio´n 1.1.3. Un entero p es primo si siendo distinto de cero y de ±1
es divisible solamente por ±1 y ±p.
Definicio´n 1.1.4. Un natural n �= 1 se dice compuesto si no es primo, esto
es, si existen naturales d1 y d2 tales que 1 < d1 < n, 1 < d2 < n con n = d1d2.
Teorema 1.1.1 (El algoritmo de la divisio´n). Si a es un nu´mero natural
y b es un entero, existen enteros u´nicos q, r tales que b = aq+r, con 0 ≤ r < a.
Demostracio´n. De la igualdad b = at + r, se obtiene r = b − at. To´mese el
conjunto
S = {b− at, t ∈ Z} ⊆ Z.
Consideremos b ≥0, como t recorre el conjunto de los enteros, sea t = 0. En
este caso b− at ≥ 0.
Supongamos que b < 0 por ide´ntica razo´n hagamos t = b. En dicho caso,
b− at = b− ab = b(1− a).
Pero, 1 ≤ a entonces, b(1−a) ≥ 0 es decir, b−at ≥ 0, lo que permite afirmar
que el conjunto S posee elementos no negativos. Sea D ⊆ S formado por
los elementos no negativos de S. Por el principio de la buena ordenacio´n, D
tiene un elemento mı´nimo. Tomando r como este nu´mero y a q como el mayor
entero que satisface la condicio´n b− aq ≥ 0, se deduce que, r = b − aq ≥ 0.
Restando a a ambos miembros y factorizando,
r − a = b− aq − a = b− a(q + 1).
Pero, q + 1 > q y por la seleccio´n de q debe tenerse que
b− a(q + 1) < 0
10 CAPI´TULO 1. TEORI´A DE LA ARITME´TICA
o sea,
r − a < 0
de donde se concluye que r < a lo que permite escribir
0 ≤ r < a.
Para demostrar la unicidad supongamos que q y r no son u´nicos. Sean q1 y
r1 enteros tales que b = aq1 + r1, con 0 ≤ r1 < a. Por la propiedad transitiva
de la igualdad,
aq1 + r1 = aq + r.
Supongamos que r > r1, entonces r − r1 > 0. Trasponiendo te´rminos y
factorizando,
0 < r − r1 = a(q1 − q)
de donde se tiene que a|(r − r1).
Pero 0 ≤ r1 < a, implica que −a < −r1 ≤ 0 y como 0 ≤ r < a se pueden
sumar miembro a miembro estas desigualdades dando como resultado
−a < (r − r1) < a
o sea,
(r − r1) < a.
De acuerdo con la propiedad (3) de divisibilidad, como a|(r − r1), necesa-
riamente a < (r − r1); lo cual es una contradiccio´n. Por lo tanto, r no es
mayor que r1. Suponer que r1 es mayor que r conduce a una contradiccio´n
similar, de donde se deduce que r1 no es mayor que r, quedando como u´nica
posibilidad, r = r1.
De la expresio´n r − r1 = a(q1 − q) observamos que 0 = a(q1 − q) y como
a es diferente de cero se concluye que (q1 − q) = 0 y por lo tanto, q = q1. En
s´ıntesis la unicidad del cociente y el residuo quedan demostradas.
El quinto axioma de Peano es el principio de induccio´n, este enuncia-
do establece que dada una proposicio´n P (n). Si P (0) es verdadera y para
cualquier k, la veracidad de P (k) implica la de P (k + 1), entonces P (n) es
verdadera para todo natural n. De este principio se conocen cinco formas,
la tercera tiene relacio´n con el buen orden y es la clave para demostrar que
todo subconjunto S de los naturales que contenga a cero y contenga a n+1,
siempre que contenga a n, contiene tambie´n a todos los naturales. La quinta
forma nos permite realizar induccio´n a partir de un determinado natural k.
1.1. DIVISIBILIDAD 11
Para ilustrar el me´todo de induccio´n matema´tica realizamos el siguiente
ejercicio.
Ejemplo 1.1.1. Para todo natural s, 11|(102s+1 + 1).
Demostracio´n. Por induccio´n.
102+1 + 1 = 103 + 1
= 1001
= 11× 91.
De las igualdades se ve que la proposicio´n es va´lida para s = 1.
Supongamos que es va´lida para s, esto es,
102s+1 + 1 = 11k.
Multiplicando ambos miembros de esta igualdad por 100,
102s+3 + 100 = 100× 11k.
Descomponiendo y factorizando el exponente y transponiendo te´rminos,
102(s+1)+1 = 100× 11k − 100.
Sumando 1 a ambos miembros,
102(s+1)+1 + 1 = 100× 11k − 99
= 100× 11k − 11× 9
= 11(100k − 9).
Lo anterior permite inferir que la proposicio´n es va´lida para s+1, luego debe
serlo tambie´n para todo natural.
Con respecto a los primos surgen algunas inquietudes referentes a su
nu´mero, a la existencia de una regla para calcular su secuencia, fo´rmulas para
determinarlos y muchos otros interrogantes estudiados por los matema´ticos
de todos los tiempos entre los que se pueden mencionar, Euclides, Fermat,
Euler, Po`lya. En 1914 D. N. Lehmer calculo´ la lista de los primos desde el
primero hasta el que ocupa el 664999-e´simo lugar, este u´ltimo resulto´ ser
10006721.
El siguiente enunciado sirve para establecer primalidad en un solo sentido
12 CAPI´TULO 1. TEORI´A DE LA ARITME´TICA
Ejemplo 1.1.2. Si 2n − 1 es primo, entonces n es primo, para n ≥ 2.
Solucio´n. Para demostrarlo supongamos que n es compuesto, es decir, existen
naturales a, b tales que, 1 < a < n, 1 < b < n, con n = ab, entonces
2n − 1 = 2ab − 1
= (2a)b − 1
= cb − 1
= (c− 1)(cb−1 + cb−2 + · · ·+ c + 1)
donde c ≥ 4. En consecuencia, 2n − 1 es el producto de un entero mayor o
igual a 3, por un entero mayor o igual a 5, contradiciendo la hipo´tesis, luego
la proposicio´n se sigue.
El rec´ıproco no es cierto, ya que para 11, 211−1 = 2047 que es compuesto.
Ejemplo 1.1.3. La suma de los cuadrados de dos nu´meros impares no puede
ser un cuadrado perfecto
Solucio´n. Para un entero cualquiera k, los posibles residuos al dividir por 4
son 0, 1, 2, 3, lo que significa que k es de una de las formas 4t, 4t+ 1, 4t+ 2,
4t + 3, y por consiguiente k2 se puede escribir como 16t2, 4(4t2 + 2t) + 1,
4(4t2 +4t+ 1), 4(4t2 + 6t+ 2) + 1. Por lo visto el residuo de dividir k2 por 4
es 0 o 1.
Tomemos los impares x = 2n+ 1, y = 2m+ 1, eleva´ndolos al cuadrado y
sumando
x2 + y2 = (4n2 + 4n + 1) + (4m2 + 4m + 1)
= 4(n2 + m2 + n + m) + 2
lo que lleva a concluir que al dividir x2 + y2 por 4 el residuo es 2. En mejores
palabras x2 + y2 no es un cuadrado perfecto.
Teorema 1.1.2. El menor divisor positivo mayor que 1, de un entero n > 1
es un primo.
Demostracio´n. Sea n ∈ N− {1}, m > 1 el menor divisor positivo de n. Por
definicio´n m|n. Si n es primo, n = m luego m es primo.
Sea n compuesto y suponga que m no es primo. Como m > 1, debe ser
compuesto, esto es, existe un natural d tal que 1 < d < m y d|m, pero por
hipo´tesis m|n. Por la propiedad transitiva de la divisibilidad, d|n contradi-
ciendo la minimalidad de m. Por consiguiente m debe ser primo.
1.1. DIVISIBILIDAD 13
Teorema 1.1.3. Todo compuesto es el producto de un nu´mero finito de
factores primos.
Demostracio´n. Supongamos que existen compuestos que son el producto de
un infinito nu´mero de factores primos. Por el principio de la buena ordenacio´n
existe m el menor compuesto que puede expresarse como un nu´mero infinito
de factores primos. Por el teorema 1.1.2, existe un primo p, 1 < p < m
adema´s p|m, entonces
1
p
< 1 <
m
p
.
Multiplicando por m la primera desigualdad tenemos, m
p
< m, luego
1 <
m
p
< m.
Como m
p
es un natural, entonces
m
p
= p1p2 · · · pr
con pi un primo, para 1 ≤ i ≤ r, r es un nu´mero fijo. Dicho en otras palabras
m
p
debe ser el producto de un nu´mero finito de factores primos ya que es menor
que m y como es sabido, m es el menor compuesto que puede escribirse como
el producto de un infinito nu´mero de factores primos. Pero,
m = p(
m
p
) = p(p1p2 · · · pr)
indicando que m es el producto de un nu´mero finito de factores primos,
contradiciendo el supuesto. En conclusio´n, todo compuesto es el producto de
un nu´mero finito de factores primos.
Teorema 1.1.4 (Teorema fundamental de la aritme´tica). Todo entero
distinto de cero puede expresarse como el producto de (±1) por un nu´mero
finito de factores primos. Esta expresio´n es u´nica salvo el orden en que los
factores se consideren.
Demostracio´n. Si n es primo el teorema es inmediato. Si es compuesto basta
aplicar el teorema 1.1.3 teniendo en cuenta el signo y asunto concluido.
Unicidad. Dado n > 1 suponga que se puede escribir en dos formas
diferentes como producto de primos
n = p1p2 · · ·pr = q1q2 · · · qs
14 CAPI´TULO 1. TEORI´A DE LA ARITME´TICA
como p1 es un factor de n, p1|q1q2 · · · qs, por tanto p1|qj para 1 ≤ j ≤ s.
Ordenando nuevamente los sub´ındices de ser necesario se concluye que p1|q1.
Pero al ser primos cada uno de ellos, obligatoriamente p1 = q1. Cancelando
a ambos miembros de la igualdad se llega a
p2 · · · pr = q2 · · · qs.
Siguiendo un proceso similar se concluye que p2 = q2. Y as´ı sucesivamente,
p3 = q3, . . . , pr = qs.
Sin pe´rdida de generalidad se puede aceptar que r ≤ s. Si r < s cancelando
factores iguales en la primera igualdad se llega a
1 = qr+1· · · qs
lo que es imposible porque cada uno de los primos de la derecha es mayor
que 1, llegando a la conclusio´n que r = s y de aqu´ı a que pi = qi, para todo
i, 1 ≤ i ≤ r. Si n es negativo el primer factor sera´ (−1) seguido por factores
primos positivos.
Para responder a la inquietud relacionada con la cantidad total de primos,
supongamos que existe un nu´mero finito de ellos y escribamos la sucesio´n de
todos los primos {p1, p2, . . . , pr}. Sea p el entero definido como sigue
p = (p1p2 . . . pr) + 1, p > pi para 1 ≤ i ≤ r,
p necesariamente es compuesto y debe existir un primo pj de la coleccio´n
dada tal que pj |p y como pj |p1p2 . . . pr sigue que pj|(p − p1p2 . . . pr) pero
esta afirmacio´n equivale a decir que pj |1, contraviniendo el hecho de ser
pj �= 1. Ahora podemos asegurar formalmente que el nu´mero de primos es
infinito.
Como aplicacio´n del teorema 1.1.4 se propone el siguiente ejercicio.
Ejemplo 1.1.4. Hallar todos los primos que son una unidad menor que un
cuadrado perfecto.
Solucio´n. Para el efecto tomemos un primo p = x2− 1. El teorema de facto-
rizacio´n u´nica establece que p = (x − 1)(x + 1). Como p es primo se tienen
las dos posibilidades siguientes:
(x− 1) = 1 y (x + 1) = p o (x− 1) = p y (x + 1) = 1.
1.1. DIVISIBILIDAD 15
De estas ecuaciones se obtienen las soluciones,
x = 2 y p = 3 o x = 0 y p = −1.
La de la derecha hay que desecharla puesto que p es primo, quedando en
definitiva p = 3. Por tanto 3 es el u´nico primo que es una unidad menor que
un cuadrado perfecto.
Ejemplo 1.1.5. Si n > 1 es compuesto, existe un primo p ≤ √n tal que p|n.
Solucio´n. El teorema 1.1.2 dice que el menor divisor positivo mayor que 1
de un entero n mayor que 1 es un primo. Sea p tal primo, como p|n existe d,
1 < d < n tal que n = pd.
Por la definicio´n de p, p ≤ d y por consiguiente p2 ≤ pd, de donde se
obtiene por reemplazo p2 ≤ n, esto es, p ≤ √n.
En las igualdades
3 = 2 + 1
7 = 2× 3 + 1
31 = 2× 3× 5 + 1
se observa que 1 ma´s el producto de los primeros k primos es un primo al
menos para k = 2, 3, 5. Se puede pensar que es cierto para todo k pero un
ejemplo muestra lo contrario,
2× 3× 5× 7× 11× 13 + 1 = 30031 = 59× 509.
EJERCICIOS
1. Demostrar las propiedades 3, 4, 5, 6 de divisibilidad enunciadas ante-
riormente.
2. Demostrar que para todo natural n, 11 divide a 102n − 1.
3. Demostrar que para todo natural n, 3 divide a 10n − 1.
4. Demostrar que si 2 no divide a n y 3 no divide a n, entonces 24 divide
a n2 + 23.
16 CAPI´TULO 1. TEORI´A DE LA ARITME´TICA
5. Demostrar que para todo entero n, 3 divide a alguno de los nu´meros n,
n + 2, n + 4.
6. Demostrar que todo primo impar puede ser expresado de manera u´nica
como la diferencia de dos cuadrados. Por ejemplo, 11 = 36− 25.
7. Para todo natural n demostrar que ninguno de los siguientes n − 1
enteros consecutivos es primo: n! + 2, n! + 3, n! + 4, . . . , n! + n.
8. Usando la idea del ejercicio anterior hallar una sucesio´n de k consecu-
tivos naturales compuestos.
9. Demostrar que para n > 1, n4 + 4 es compuesto.
10. Un nu´mero n es compuesto si existe un primo p ≤ √n, tal que p|n.
Usando esta idea diga cua´les de los siguientes enteros son primos y
cua´les compuestos : 91, 103, 343, 731.
11. Hallar enteros r, s tales que 144r + 2975s = 5.
12. Demostrar: Si m|(45n + 37) y m|(9n + 4), (m > 1) entonces m = 17.
13. Demostrar que el producto de cuatro enteros consecutivos incrementado
en 1, es siempre un cuadrado perfecto.
14. Demuestrar que si p es primo y p|ab, entonces p|a o p|b.
15. Demostrar que si a, b son enteros positivos, existe un entero positivo n
tal que na > b. (Considere la diferencia b− na y aplique el axioma del
buen orden).
16. Usando el axioma del buen orden demuestrar que no hay enteros entre
cero y uno.
17. Demostrar que si p = 6k + r es un primo diferente de 2 y 3, entonces
r = 1 o r = 5.
18. Demostrar que existen infinitos primos de la forma 6k − 1.
19. Si a > 2 y s > 1. Demostrar as − 1 es compuesto.
20. Demostrar que el producto de nu´meros de la forma 6k + 1 es de la
misma forma.
1.2. EL M.C.D Y EL M.C.M 17
1.2. El ma´ximo comu´n divisor y El mı´nimo
comu´n mu´ltiplo
Si se toman dos enteros a, b puede ocurrir que ambos sean iguales a cero y
en este caso cualquier entero es un divisor comu´n de ellos. Si al menos uno es
diferente de cero, los divisores comunes son finitos; uno de los cuales siempre
es 1, deducie´ndose que existe alguno mayor que todos y debe ser positivo.
Definicio´n 1.2.1. Dados dos enteros a, b, a2 + b2 �= 0, entonces d ∈ Z−{0}
se llama un comu´n divisor de a y b si y solo si d|a y d|b.
Teorema 1.2.1. Dados dos enteros a y b, a2 + b2 �= 0, existe un entero u´nico
g, tal que
1. g > 0.
2. g|a y g|b.
3. g = min{ax + by > 0, x, y ∈ Z}.
4. Si d es cualquier entero tal que d|a y d|b, entonces d|g.
La proposicio´n (4) dice que cualquier divisor comu´n de a y b divide a g.
De la propiedad (6) de divisibilidad se deduce que g es nume´ricamente mayor
que los diferentes divisores de a y b. Por lo tanto, del conjunto de divisores
comunes de a y b, g es el ma´ximo desde dos puntos de vista y por esto se
le llama el ma´ximo comu´n divisor de a y b. En forma abreviada se escribe
g = (a, b). Note que realmente lo ��ma´ximo�� lo tomamos en el sentido de (4).
Demostracio´n. Conside´rense primero a y b positivos, a > b. Por el algoritmo
de la divisio´n existen enteros r1, q1 u´nicos tales que
a = bq1 + r1, 0 ≤ r1 < b.
Si r1 = 0, entonces b es un comu´n divisor de a y b. Podemos tomar g = b.
1. g > 0.
2. g|a y g|b.
18 CAPI´TULO 1. TEORI´A DE LA ARITME´TICA
Tomemos el conjunto
H = {ax + by > 0, x, y ∈ Z} ⊆ Z.
Si x < 0, necesariamente y > 0 entonces by > 0. Debido a que
ax + by > 0
debe tenerse
|ax| < by.
Pero cero es el mı´nimo natural que verifica esta u´ltima desigualdad, luego
x = 0, entonces el mı´nimo valor para y debe ser 1, por tanto
b = a× 0 + b× 1 > 0
es un elemento de H .
Similarmente si y ≤ 0 hallamos y = 0, x = 1 como valores mı´nimos, o sea
a = a× 1 + y × 0 > 0
pertenece tambie´n a H , pero b < a.
Si x > 0, y > 0, ax > a, by > y; entonces ax + by > a + b > b.
En s´ıntesis,
b = g = min{ax + by > 0, x, y ∈ Z}
dando por demostrado (3).
(4). Si existe d tal que d|a, d|b debe tenerse d|g puesto que g = b. Si r1 �= 0,
la aplicacio´n repetida del algoritmo de la divisio´n demuestra la existencia de
parejas u´nicas qi, ri, 2 ≤ i ≤ k + 1, 0 < ri < ri−1, tales que
a = bq1 + r1
b = r1q2 + r2
r1 = r2q3 + r3
...
rk−2 = rk−1qk + rk
rk−1 = rkqk+1 + 0.
1.2. EL M.C.D Y EL M.C.M 19
Aqu´ı confrontamos cada etapa con la posibilidad de tener cero por residuo;
pero suponemos que esto no sucede sino hasta el k-e´simo paso de la divisio´n,
o dicie´ndolo en otra forma, definimos a k como el nu´mero de la etapa en
la cual aparece cero como residuo. En esta parte el proceso debe detenerse
porque la divisio´n por cero no esta´ definida. Por otro lado, eventualmente
debe aparecer un cero como residuo puesto que b > r1 > r2 > . . . > rk es una
sucesio´n finita estrictamente decreciente de naturales; y como existen b − 1
enteros positivos menores que b, despue´s de a lo ma´s b − 1 divisiones debe
obtenerse el esperado cero como residuo.
En conclusio´n, si b no divide a a existe siempre un sistema finito de ecua-
ciones de la clase anterior y un k-e´simo residuo diferente de cero. Aseguramos
que para satisfacer las condiciones (1), (2), (3), (4) podemos tomar g = rk.
De la u´ltima ecuacio´n observamos que rk | rk−1 entonces
rk−2 = rk−1 + rk
= (rkqk+1)qk + rk
= rk(qk+1qk + 1)
o sea que rk|rk−2.
Siguiendo el proceso vemos de las dos primeras ecuaciones que rk|a y
rk|b, luego rk es un divisor comu´n a y b. Expresando los residuos sucesivos
se obtiene
r1 = a− bq1
r2 = b− r1q2
= b− (a− bq1)q2
= b− aq2 + bq1q2
= a(−q2) + b(1 +q1q2).
La forma de estas igualdades indica que rk puede obtenerse por reemplazos
sucesivos como una combinacio´n lineal de a y b con coeficientes enteros en
cuya expresio´n intervienen los qi, o sea,
rk = ax + by.
Como rk > 0, por el principio de la buena ordenacio´n existe un elemento
mı´nimo en el conjunto H . Sea h tal elemento, luego para algunos enteros x0,
y0 se establece la igualdad
h = ax0 + by0 > 0.
20 CAPI´TULO 1. TEORI´A DE LA ARITME´TICA
Supongamos que h no divide a a, entonces existen enteros u´nicos q, r tales
que
a = hq + r, 0 < r < h
luego
r = a− hq
= a− (ax0 + by0)q
= a(1− x0q) + (−y0q).
Como r < h, implicar´ıa que h no es el mı´nimo, llegando a una contradiccio´n;
por consiguiente h|a.
Similarmente h|b y de aqu´ı, h|(ax + by), o sea, h|rk.
Por la propiedad (3) de divisibilidad h ≤ rk. Pero rk|a y rk|b implica que
rk|(ax0 + by0) y en consecuencia rk = h. Por la misma propiedad rk ≤ h,
concluye´ndose que rk = h.
En s´ıntesis, rk es el mı´nimo del conjunto de los ax + by > 0.
Sea d tal que d|a y d|b, entonces d|(ax + by), es decir d|rk.
Como rk cumple las cuatro condiciones del teorema, es posible afirmar
que rk = g = (a, b).
Si a < b, intercambiamos los roles.
Si a < 0 y b < 0 determinar g correspondiente a los respectivos valores
absolutos.
Si a = 0, entonces | b | = g = (a, b).
Para demostrar la unicidad, tomemos g, g1 dos enteros que satisfacen las
condiciones del teorema, entonces g|a y g|b implica que g|g1.
Por otra parte g1|a y g1|b implica g1|g y como consecuencia g ≤ g1 y
g1 ≤ g determina´ndose que g = g1.
El teorema anterior proporciona una regla para hallar el ma´ximo comu´n
divisor de dos nu´meros por divisiones sucesivas; este es el u´ltimo residuo
diferente de cero que se obtiene al aplicar el algoritmo de Euclides.
El mismo procedimiento puede utilizarse para expresarlo como una com-
binacio´n lineal de dichos nu´meros. Veamos co´mo es posible mediante el al-
goritmo de Euclides calcular el ma´ximo comu´n divisor de dos nu´meros.
Ejemplo 1.2.1. Calcular el ma´ximo comu´n divisor de 42 y 30 y expresarlo
como una combinacio´n lineal de dichos nu´meros.
1.2. EL M.C.D Y EL M.C.M 21
Solucio´n.
42 = 30× 1 + 12
30 = 12× 2 + 6
12 = 6× 2 + 0.
La u´ltima igualdad indica que (42, 30) = 6. Ahora,
6 = 30− 12× 2
= 30− (42− 30)2
= 30− 42× 2 + 30× 2
= 30× 3− 42× 2
= 30× 3 + 42(−2).
El u´ltimo renglo´n muestra la escritura de 6 como una combinacio´n lineal de
42 y 30, donde intervienen 3 y −2.
Teorema 1.2.2. Sean a, b enteros, entonces,
1. (a, b) = (a, b + ka).
2. (a, b) = (a,−b) = (−a, b) = (−a,−b).
3. (ka, kb) = | k |(a, b) si k �= 0.
4. Si d|a, d|b, entonces (a
d
, b
d
) = 1|d|(a, b).
5. Si g = (a, b), entonces (a
g
, b
g
) = 1.
Demostracio´n. Sean
g = (a, b)
g1 = (a, b + ka).
Si g|a y g|b, entonces para cualquier entero k, g|(a, b+ka), luego g|g1 y como
g > 0, g1 > 0 necesariamente g ≤ g1.
Por otra parte, g1|a, y g1|(b+ ka), implica que g1|(b+ ka− ka), o sea g1|b
y por razones similares g1 ≤ g.
En atencio´n a las dos desigualdades se concluye que g = g1.
El resto de la demostracio´n se asigna como ejercicio.
22 CAPI´TULO 1. TEORI´A DE LA ARITME´TICA
Definicio´n 1.2.2. Sean ai, 1 ≤ i ≤ n, n enteros, si gi = (ai, ai+1), entonces,
gn−1 = (a1, a2, . . . , an). Si gn−1 = 1, los ai se dicen primos relativos o
coprimos.
Un caso particular se da cuando n es igual a 2. La definicio´n anterior
garantiza la existencia del ma´ximo comu´n divisor de ma´s de dos nu´meros, el
cual se puede considerar como el divisor comu´n positivo que es divisible por
todo comu´n divisor.
Definicio´n 1.2.3. Sean ai, 1 ≤ i ≤ n, n enteros. Si (ai, aj) = 1, para i �= j
elementos de {1, 2, . . . , n}, entonces se dice que los ai, aj son primos relativos
dos a dos.
Por ejemplo (6, 5, 10) = 1, pero ellos no son primos relativos dos a dos
porque 5 divide a 10. En cambio 10, 9, y 49 son primos relativos dos a dos.
Teorema 1.2.3. Sean a, b dos enteros, si a = bq+ r, entonces (a, b) = (b, r).
Demostracio´n. (a, b) = (bq + r, b) = (bq + r − bq, b) = (r, b) = (b, r).
Lema 1.2.1. Lema de Euclides. Si a|bc y (a, b) = 1, entonces a|c.
Demostracio´n. Si (a, b) = 1 existen enteros x, y tales que 1 = ax + by,
entonces, c = acx + bcy pero por hipo´tesis a|bc y a|a luego a|(acx + bcy), o
sea, a|c.
Esta proposicio´n se conoce mejor como la primera versio´n del lema de
Euclides.
Ejemplo 1.2.2. Si (a, 4) = 2, (b, 4) = 2, demostrar que (a + b, 4) = 4.
Solucio´n. Si (a, 4) = 2, entonces 2|a, luego existe un impar x tal que a = 2x.
Si x fuera par, entonces x = 2m, y por lo tanto a ser´ıa igual a 4m, de donde se
concluir´ıa que (a, 4) = (4m, 4) = 4. Como (b, 4) = 2, por las mismas razones,
b = 2n, para un impar n. Efectuando la suma, a+ b = 2(x+n) = 4z, puesto
que x + n es un par, de donde se concluye que (a + b, 4) = 4.
Ejemplo 1.2.3. Demostrar que si (a, b) = 1, entonces (a+ b, a− b) = 1 o 2
Solucio´n. Sean (a, b) = 1. Si g = (a+ b, a− b), entonces g| [(a+ b)± (a− b)].
Tomando los signos positivo y negativo en ese orden se deduce que g|2a, g|2b
y por consiguiente g|(2a, 2b), luego g|2(a, b), de donde se concluye que g|2
puesto que (a, b) = 1. Pero g > 1, infirie´ndose que g = 1 o g = 2.
1.2. EL M.C.D Y EL M.C.M 23
Examinando los conjuntos formados con los mu´ltiplos de 2 y de 3 es fa´cil
darse cuenta que la interseccio´n consta de todos los nu´meros de la forma
2 × 3n. De acuerdo con el principio de la buena ordenacio´n este conjunto
posee un elemento mı´nimo, el nu´mero 6, indicando que 6 es el menor de los
mu´ltiplos comunes a 2 y 3. Esta situacio´n se puede generalizar a toda pareja
de enteros con la condicio´n de ser por lo menos uno de los dos diferente de
cero, dando como resultado la existencia del mı´nimo comu´n mu´ltiplo de dos
enteros cualesquiera prevista la restriccio´n anotada. Tome el valor absoluto
del producto y divida entre el ma´ximo comu´n divisor de los nu´meros dados,
este cociente siempre es posible puesto que el divisor nunca es cero y por la
forma como esta´ concebido es un entero positivo.
Teorema 1.2.4. El entero [a, b] = | ab |
(a, b)
tiene las siguientes propiedades
1. [a, b] ≥ 0.
2. a| [a, b].
3. Si a|m y b|m, entonces [a, b]|m.
La demostracio´n se deja al estudiante. Al elemento descrito en el teorema
1.2.4 se le llama el mı´nimo comu´n mu´ltiplo de los nu´meros dados. El concepto
es fa´cilmente extensivo a ma´s de dos enteros.
EJERCICIOS
1. Demostrar los numerales restantes del teorema 1.2.2.
2. Dado (u, v) = 1; si u|n y v|n, entonces uv|n.
3. Mediante el algoritmo de la divisio´n hallar el ma´ximo comu´n divisor
de:
a) 1001 y 7655.
b) 4148 y 7684.
c) 11 y 15.
d) 144 y 24.
e) ) 75, 50 y 125.
24 CAPI´TULO 1. TEORI´A DE LA ARITME´TICA
4. Demostrar que si (a, b) = 1 y c|a, entonces (c, b) = 1.
5. Demostrar que si (a, b) = 1, entonces (a2 + b2, a + b) = 1 o 2.
6. Demostrar que el ejercicio 2 no necesariamente es cierto si (u, v) > 1.
7. Demostrar que para todo n, 5|(n5 − n).
8. Si (a, b) = 1, hallar los posibles valores de (a + 3b, a2 − b2).
9. Demostrar que si (a, b) = 1, (ac, b) = (c, b), para todo entero c.
10. Demostrar que si (b, c) = 1, entonces (a,bc) = (a, b)× (a, c).
11. Demostrar que si ax + by = n, entonces (a, b)|n.
12. Demostrar que no es posible la simplificacio´n de la fraccio´n a1+a2
b1+b2
, si
a1b2 − a2b1 = ±1.
13. Hallar el mı´nimo comu´n mu´ltiplo de,
a) 24 y 144.
b) 1001 y 765.
c) 36, 12 y 144.
14. Demostrar que si l = [a, b] y n es un mu´ltiplo comu´n de a y b, entonces
l|n. Sugerencia: Suponer que l no divide a n.
1.3. Congruencias
La solucio´n en los enteros de la ecuacio´n ax + by = c, llevo´ a Diofanto a la
comparacio´n de residuos entre algunos de sus componentes. Tomemos, por
ejemplo,
8x− 19y = 2.
Como la diferencia es 2, x puede ser par o impar, y necesariamentedebe ser
par. Por ejemplo, x = 5, y = 2; x = 24, y = 10.
Usando el algoritmo de Euclides
19 = 8× 2 + 3
1.3. CONGRUENCIAS 25
8 = 3× 2 + 2
3 = 2× 1 + 1.
Despejando y reemplazando en orden inverso y conmutando los productos,
1 = 3− 2× 1
= 3 + 3× 2− 8
= 3× 3− 8
= 3(19− 8× 2)− 8
= 19× 3− 8× 7
= 8(−7)− 19(−3)
multiplicando por 2
2 = 8(−7× 2)− 19(−3× 2).
Sumando y restando 8(19)t al segundo miembro de esta u´ltima igualdad,
despue´s de conmutar y factorizar, se tiene
2 = 8[(−7× 2) + 19t]− 19[(−3× 2) + 8t].
De esta igualdad se deduce que, si t es un entero; al dividir a 8[(−7×2)+19t]
y a 19[(−3× 2) + 8t] por 2, el residuo debe ser el mismo.
La solucio´n general esta´ dada por
x = −(7× 2) + 19t, y = −(3× 2) + 8t.
Si t = 1, x = 5, y = 2 y si t = 2, x = 24, y = 10.
Existen muchos otros problemas en los cuales debe hacerse comparacio´n
de residuos. Los nu´meros que tienen ide´ntico residuo se les denomina equirre-
siduales o congruentes y es obvio que pertenecen a una misma clase residual.
Definicio´n 1.3.1. Dados dos enteros a y b, m un natural diferente de cero,
se dice que a es congruente con b mo´dulo m si y solo si m|(a− b) y se nota
a ≡ b mod m.
Ejemplos 17 ≡ 2 mod 5, 14 ≡ −6 mod 10.
La congruencia es una relacio´n de equivalencia.
Para cualquier natural m diferente de cero y para cualquier entero a, m es
un divisor de cero y por ende de a−a; esta situacio´n conlleva a la reflexividad.
26 CAPI´TULO 1. TEORI´A DE LA ARITME´TICA
Si m es un divisor de a− b, tambie´n lo es de b− a, propiedad que implica la
simetr´ıa.
Si m es simulta´neamente divisor de a− b, y, de b− c, lo sera´ de la suma
y por tanto de a− c, verifica´ndose la transitividad.
Para una relacio´n de equivalencia definida en un conjunto S y para cada
elemento a de S, existe un conjunto formado por todos los elementos relacio-
nados con a denominado la clase de equivalencia de a, notado [ a ]. Si b es un
elemento de S que no esta´ relacionado con a tambie´n existe la clase de equiva-
lencia de b y as´ı sucesivamente. Estas clases tienen la particularidad de no ser
vac´ıas, de no tener elementos comunes, de poder incluir cada elemento de S
en alguna de ellas y la unio´n de todas debe ser todo S. Ya habra´ oportunidad
de hacer una mejor exposicio´n de este tema en otro contexto.
Teorema 1.3.1. Sean x, y enteros. Si a ≡ b mod m, c ≡ d mod m, entonces
1. (xa + yc) ≡ (xb + yd) mod m.
2. (a + c) ≡ (b + d) mod m.
3. xa ≡ xb mod m.
Demostracio´n. Por hipo´tesis m|(a − b), m|(c − d). Por la propiedad (2) de
divisibilidad m| [x(a− b)+y(c−d)], entonces m| [(xa+yc)− (xb+yd)] y por
definicio´n, (xa + yc) ≡ (xb + yd) mod m. Si x = y = 1 se tiene (2). Si y = 0
se tiene (3).
Teorema 1.3.2. Si a ≡ b mod m y c ≡ d mod m, entonces ac ≡ bd mod m.
Demostracio´n. Como m|(a− b), m|(c− d), entonces m|(ac− bc+ bc− bd) de
donde m|(ac− bd) y por definicio´n ac ≡ bd mod m.
Una regla para multiplicar un nu´mero de tres d´ıgitos por 1001 consiste
en escribirlo dos veces. Por ejemplo, 152× 1001 = 152152. Por otra parte la
descomposicio´n en factores primos de 1001 es 1001 = 7× 143. Estos hechos
permiten hallar ra´pidamente el factor desconocido del producto 143x si cono-
cemos los tres u´ltimos d´ıgitos del resultado. La clave consiste en multiplicar
estas cifras por 7 y tomar nuevamente las tres u´ltimas cifras de este nuevo
producto. Por ejemplo, si 143x = 61204 se toman las tres u´ltimas cifras, esto
es, 204 y multiplicando por 7 se obtiene 204×7 = 1428. El factor desconocido
es 428. Puede comprobarlo.
1.3. CONGRUENCIAS 27
En te´rminos de congruencias, deseamos encontrar un nu´mero x de una,
dos o tres cifras donde b es la cantidad formada con las tres u´ltimas cifras de
143x. Esto lo podemos transformar en:
143x ≡ b mod 1000.
Adema´s
7 ≡ 7 mod 1000.
Multiplicando miembro a miembro
7× 143x ≡ 7b mod 1000
en otros te´rminos
1001x ≡ 7b mod 1000
pero
1001 ≡ 1 mod 1000
y
x ≡ x mod 1000
por tanto
1001x ≡ x mod 1000
finalmente
x ≡ 7b mod 1000.
Esta congruencia indica que los tres u´ltimos d´ıgitos de x concuerdan con los
tres u´ltimos d´ıgitos de 7b. Como x tiene a lo ma´s tres d´ıgitos, los tres u´ltimos
de 7b determinan completamente a x.
Teorema 1.3.3. Si a ≡ b mod m, entonces para todo n ∈ N, an ≡ bn mod m.
Demostracio´n. Por induccio´n matema´tica.
Por hipo´tesis el teorema se verifica para 1. Supongamos que se verifica
para k, esto es,
ak ≡ bk mod m.
Usando el teorema 1.3.2,
aka ≡ bkb mod m,
pero esta expresio´n es equivalente a
ak+1 ≡ bk+1 mod m.
Es decir la proposicio´n es va´lida para todo natural n.
28 CAPI´TULO 1. TEORI´A DE LA ARITME´TICA
Teorema 1.3.4. Sea f(x) un polinomio con coeficientes enteros.
Si a ≡ b mod m, entonces f(a) ≡ f(b) mod m.
Demostracio´n. Sea f(x) =
n∑
i=0
cix
i un polinomio con coeficientes enteros,
f(a) =
n∑
i=0
cia
i
entonces
f(a) ≡
n∑
i=0
cia
i mod m.
Usando los teoremas 1.3.3 y 1.3.1 respectivamente
n∑
i=0
cia
i ≡
n∑
i=0
cib
i ≡ f(b) mod m
y por aplicacio´n de la propiedad transitiva f(a) ≡ f(b) mod m.
La demostracio´n del siguiente teorema es una de aquellas tareas fa´ciles si
se usa la induccio´n matema´tica.
Teorema 1.3.5. Si aj ≡ bj mod m, entonces
n∑
i=0
aj ≡
n∑
i=0
bj mod m para todo
n ≥ 1.
En lo que sigue se enuncian algunas propiedades importantes de las con-
gruencias, especialmente las restricciones impuestas a la ley cancelativa del
producto. El factor a cancelar puede ser parte decisiva de la divisibilidad in-
herente a la congruencia considerada. Dos de estas propiedades se establecen
de la siguiente manera y sus demostraciones se dejan al intere´s de los lectores.
1. Sea d �= 0 un natural tal que d|m. Si a ≡ b mod m, a ≡ b mod d.
2. a ≡ b mod xi, 1 ≤ i ≤ n si y solo si a ≡ b mod l, l = [x1, x2, . . . , xn].
Teorema 1.3.6. Si g = (a,m), ax ≡ ay mod m si y solo si x ≡ y mod m
g
.
1.3. CONGRUENCIAS 29
Demostracio´n. Si g = (a,m), existen m1, a1, (m1, a1) = 1, m, g,m1 enteros
positivos tales que,
a = a1g, m = m1g.
Pero
ax ≡ ay mod m, si y solamente si, m|a(x− y)
o equivalentemente, despue´s de realizar los reemplazos correspondientes y
cancelar,
m1|a1(x− y)
expresio´n equivalente, de acuerdo con el lema de Euclides, a
m1|(x− y).
La definicio´n de congruencia indica que
x ≡ y mod m1.
Pero, m1 =
m
g
. Realizando la sustitucio´n se obtiene lo pedido.
Teorema 1.3.7. Si ax ≡ ay mod m y (a,m) = 1, entonces x ≡ y mod m.
Demostracio´n. En el teorema anterior tome g = 1.
Teorema 1.3.8. La congruencia ax ≡ b mod m tiene solucio´n si y solamente
si (a,m)|b. Si g = (a,m), existen g diferentes soluciones mo´dulo m.
Demostracio´n. Conside´rese la congruencia
ax ≡ b mod m
donde a, b,m, son enteros y m > 0. Por hipo´tesis m|(ax− b).
Si el entero s es una solucio´n, m|(as− b). Por la propiedad (2) de divisi-
bilidad para cualquier entero k,
m| [a(s + km)− b]
por tanto
a(s + km) ≡ b mod m,
o sea, s + km es otra solucio´n. As´ı pues, si s es una solucio´n tambie´n lo
es cualquier otro elemento de la clase de equivalencia [ s ] mo´dulo m. En
30 CAPI´TULO 1. TEORI´A DE LA ARITME´TICA
consecuencia, si ax ≡ b mod m tiene soluciones, estas son elementos de una
o ma´s clases de equivalencia del conjunto cociente Z/m.
Suponga ahora que
(a,m) = 1 = ra + tm.
Entonces,
b = bra + btm.
Despejando,
a(br)− b = (−bt)m
esto es, m| [a(br)− b)], concluye´ndose que br es una solucio´n.
Sea s = br y supongamos que u es otra solucio´n. Como
as ≡ b mod m y au ≡ b mod m,
sigue que
as ≡ au mod m,
o sea, m|a(s− u).
Pero (a,m) = 1 entonces, por el lema de Euclides, m|(s− u) y de aqu´ı se
concluye s ≡ u mod m.
En s´ıntesis ax ≡ b mod m tiene una solucio´n s y [ s ] denominada la clase
de congruencia contiene todas las soluciones. Supongamos que
(a,m) = g = ra + tm > 1.
Como a= cg, m = dg se sigue que si s es una solucio´n, entonces
as− b = mq = dgq.
Reemplazando y transponiendo te´rminos de obtiene
b = g(cs− dq).
Ahora es obvio que g|b.
Rec´ıprocamente, supongamos que g = (a,m) divide a b y escribamos
a = cg, b = eg, entonces de acuerdo con el hecho de ser ax ≡ b mod m se
sigue que cg ≡ eg mod m.
Por el teorema 1.3.6,
1.3. CONGRUENCIAS 31
cx ≡ e mod n, n = m
g
.
Por tanto toda solucio´n de ax ≡ b mod m es solucio´n de cx ≡ e mod n
y viceversa. Ahora bien, (c, n) = 1 de modo que cx ≡ e mod n tiene una
solucio´n y por tanto ax ≡ b mod m tiene soluciones, quedando demostrada
la primera parte del teorema.
Para la segunda parte sea
S = {s, s+ n, s + 2n, . . . , s + (g − 1)n} ⊆ [ s ]
el conjunto que contiene la totalidad de las soluciones de cx ≡ e mod n. Para
demostrar que no hay dos elementos de S congruentes mo´dulo m, as´ı que
ax ≡ b mod m tiene por lo menos g soluciones incongruentes, en tanto que
cada elemento de [ s ]−S es congruente mo´dulo m con algu´n elemento de S.
Luego ax ≡ b mod m tiene a lo ma´s g soluciones incongruentes.
Sean s + kn, s + ln con k �= l dos elementos diferentes de S. Aceptemos
que son congruentes mo´dulo m, entonces m|(k− l)n, o sea, ng|(k− l)n, y por
consiguiente g|(k− l), pero (k− l) < g, implicando que k− l = 0, de donde se
concluye que k = l, contradiciendo el supuesto. De modo que los elementos
de S son incongruentes mo´dulo m.
Sea por ejemplo,
s + (qg + r)n, g > r ≥ 0, q > 0
un elemento arbitrario de [ s ] − S. Como gn = m, reordenando y reempla-
zando:
s + (gq + r)n = (s + rn) + q(gn)
= (s + rn) + qm.
Pero (s + rn) + qm ≡ (s + rn) mod m, y (s + rn) ∈ S ya que r < g.
De modo que ax ≡ b mod m tiene exactamente g soluciones incongruen-
tes, siempre y cuando (a,m) = g, g|b.
Teniendo la teor´ıa suficiente nos proponemos demostrar que a pesar de
ser compuesto, 341 divide a (2341 − 2).
Solucio´n. El teorema de Fermat establece que
210 ≡ 1 mod 11.
32 CAPI´TULO 1. TEORI´A DE LA ARITME´TICA
Por tanto
2341 ≡ 2(210)34 ≡ 2 mod 11
y en consecuencia
11|(2341 − 2).
Adema´s,
25 ≡ 32 ≡ 1 mod 31
luego
2341 ≡ 2(25)68 ≡ 2(1)68 ≡ 2 mod 31
de donde se concluye que
31|(2341 − 2).
Puesto que 11 y 31 son primos relativos, su producto divide a (2341−2). Esto
es, 341|(2341 − 2).
Los chinos se equivocaron y en honor al equ´ıvoco se dice que un compuesto
que verifica la anterior proposicio´n es un seudoprimo. 341 es un seudoprimo.
Ejemplo 1.3.1. Resolver la congruencia 14x ≡ 5 mod 45.
Solucio´n. Como (14, 45) = 1 y 1|5, existe una u´nica solucio´n. Dado que
5 ≡ 50 mod 45,
por la propiedad transitiva
14x ≡ 50 mod 45.
Pero (2, 45) = 1, luego simplificando por 2, resulta
7x ≡ 25 mod 45.
Pero
25 ≡ 70 mod 45,
por tanto
7x ≡ 70 mod 45,
adema´s (7, 45) = 1, lo que permite simplificar por 7, reducie´ndose a
x ≡ 10 mod 45,
1.3. CONGRUENCIAS 33
lo que en te´rminos de divisibilidad se traduce en
45|(x− 10)
de donde se recibe finalmente la ecuacio´n,
x = 45k + 10, 0 ≤ k ≤ 44
considerada la solucio´n general. Si k = 0 se obtiene la solucio´n particular
x = 10.
Ejemplo 1.3.2. Resolver 3x ≡ 2 mod 78.
Solucio´n. En la congruencia 3x ≡ 2 mod 78, (3, 78) = 3, pero 3 no divide a
2, por lo tanto no existe solucio´n.
Ejemplo 1.3.3. Resolver 6x ≡ 10 mod 14.
Solucio´n. (6, 14) = 2 y 2|10, entonces existen dos soluciones. Por el teorema
1.3.6, simplificando,
3x ≡ 5 mod 7.
Como 5 ≡ 12 mod 7, entonces
3x ≡ 12 mod 7
de donde
x ≡ 4 mod 7
porque (3, 7) = 1. En total se obtienen dos soluciones
x ≡ 4 mod 7
x ≡ 4 mod 14
y al final las igualdades
x = 7k + 4, 0 ≤ k ≤ 6
x = 14k + 4, 0 ≤ k ≤ 13.
Para k = 1, se obtienen las soluciones respectivas, x = 11 y x = 18. Observe
que 11 y 18 no son congruentes mo´dulo 14.
34 CAPI´TULO 1. TEORI´A DE LA ARITME´TICA
Algunas veces es de ma´s utilidad usar el algoritmo de la divisio´n para
resolver congruencias como en el caso que presentamos a continuacio´n que
por lo grande del mo´dulo y los coeficientes, los me´todos utilizados hasta ahora
no son recomendables
Ejemplo 1.3.4. Resolver 343x ≡ 15 mod 1426.
Solucio´n. Como (343, 1426) = 1, existe una u´nica solucio´n. Aplicando el
algoritmo de Euclides,
1426 = 343× 4 + 54
54 = 1426− 343× 4
343 = 54× 6 + 19
19 = 343− 54× 6
54 = 19× 2 + 16
16 = 54− 19× 2
19 = 16× 1 + 3
3 = 19− 16× 1
16 = 3× 5 + 1
1 = 16− 3× 5.
A continuacio´n procedemos a expresar a 1 como una combinacio´n lineal de
343 y 1426.
1 = 16− 3× 5
= (54− 19× 2)− (19− 16× 1)5
= 54− 19× 7 + 16× 5
= 54− 19× 7 + (54− 19× 2)5
= 54× 6− 19× 17
= 54× 6− (343− 54× 6)17
= 54× 6− 343× 17 + 54× 102
= 54× 108− 343× 17
= (1426− 343× 4)108− 343× 17
= 1426× 108− 343× 432− 343× 17
= 1426× 108− 343× 449.
1.3. CONGRUENCIAS 35
Multiplicando por 15, el primero y el u´ltimo miembros,
15 = 1426(108× 15)− 343(449× 15).
Multiplicando por (−1) esta u´ltima igualdad y transponiendo te´rminos se
transforma en,
343(−449× 15)− 15 = 1426(−108× 15),
expresio´n que traducida en te´rminos de congruencia significa
343(−449× 15) ≡ 15 mod 1426.
Comparando esta congruencia con la original, debido al parecido de las ex-
presiones se deduce que
x ≡ −449× 15 mod 1426
de donde finalmente se puede escribir como consecuencia de la definicio´n
x = −449× 15 + 1426k, 0 ≤ k ≤ 1425.
Si k = 1, entonces
x = −449× 15 + 1426
= −6735 + 1426
= −5309.
Si k = 5,
x = −6735 + 1426× 5
= −6735 + 7130
= 395,
corresponde a la primera solucio´n positiva.
EJERCICIOS
1. Demostrar el teorema 1.3.5.
36 CAPI´TULO 1. TEORI´A DE LA ARITME´TICA
2. Resolver las siguientes congruencias,
a) 3x ≡ 2 mod 5.
b) 243x + 17 ≡ 101 mod 725.
c) 5x ≡ 2 mod 7.
d) 9x ≡ 21 mod 12.
e) 6x + 3 ≡ 1 mod 10 .
3. Demostrar que si m es entero, m2 ≡ 0 o 1 mod 4.
4. Mostrar que la congruencia 6x ≡ 5 mod 78 no tiene solucio´n.
5. Usando el algoritmo de Euclides resolver las siguientes congruencias,
a) 243x + 17 ≡ 101 mod 725.
b) 3x ≡ 2 mod 5.
c) 7x ≡ 21 mod 14.
6. Demostrar que para todo x, x3 ≡ x mod 3 y x5 ≡ x mod 5.
7. Demostrar que el discriminante b2 − 4ac ≡ 0 o 1 mod 4.
1.4. Criterios de divisibilidad
Las congruencias hacen posible desarrollar los criterios de divisibilidad usados
en Aritme´tica de los cuales se demostrara´n los ma´s usados. El primero es el
Criterio de divisibilidad por 2.
Ejemplo 1.4.1. Un entero es divisible por 2 si y solo si la cifra de sus
unidades es un nu´mero par
Solucio´n. Sea n un entero divisible por 2, n se puede escribir en forma u´nica
como
n =
m∑
k=0
ak10
k
pero 10 ≡ 2 mod 2, entonces por el teorema 1.3.4
m∑
k=0
ak10
k ≡
m∑
k=0
ak2
k mod 2
1.4. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD 37
por consiguiente
n ≡
m∑
k=0
ak2
k mod 2
y como 2|n,
2
∣∣∣∣
[
n−
(
n−
m∑
k=0
ak2
k
)]
.
Iniciando la sumatoria con k = 1 y sumando a0, esta expresio´n se puede
escribir en forma equivalente como,
2
∣∣∣∣
[
m∑
k=1
ak2
k + a0
]
y su validez depende de ser a0 par, puesto que los restantes componentes son
todos divisibles por 2.
Si n es un entero terminado en cifra par se puede escribir
n = 2k +
m∑
k=1
ak10
k, 2k = a0, 0 ≤ k ≤ 4.
Por la forma de representar a n, se concluye que debe ser par.
Ejemplo 1.4.2. Un entero es divisible por 3 si y solo si la suma de sus
d´ıgitos es un mu´ltiplo de 3.
Solucio´n. Sea n un entero divisible por 3.
1k ≡ 10k mod 3
entonces
m∑
k=0
ak10
k ≡
m∑
k=0
ak1
k mod 3
sustituyendo la sumatoria por n
n ≡
m∑
k=0
ak1
k mod 3.
38 CAPI´TULO 1. TEORI´A DE LA ARITME´TICA
Por definicio´n de congruencia,
3
∣∣∣∣
[
n−
m∑
k=0
ak1
k
]
Debido a que 3|n la propiedad (2) de divisibilidad y el reemplazo de n por
la sumatoria permiten escribir,
3
∣∣∣∣
[
m∑
k=0
ak10
k −
(
m∑
k=0ak10
k −
m∑
k=0
ak
)]
lo que conduce a afirmar que
3
∣∣∣∣ m∑
k=0
ak.
Supongamos que
m∑
k=0
ak = 3c
luego
m∑
k=1
ak + a0 = 3c
despejando,
a0 = 3c−
m∑
k=1
ak
sumando,
m∑
k=1
ak10
k + a0 = 3c +
m∑
k=1
ak10
k −
m∑
k=1
ak
sustituyendo se obtiene
n = 3c +
m∑
k=1
ak
(
10k − 1)
de donde se observa que 3|n, ya que 3|(10k − 1).
1.4. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD 39
Ejemplo 1.4.3. Un entero es divisible por 7 si y solo si, separando la cifra
de las unidades, multiplica´ndola por 2, restando este producto de lo que queda
a la izquierda y as´ı sucesivamente, el resultado es cero o un mu´ltiplo de 7.
Solucio´n. Sea n un entero tal que
m∑
k=1
ak10
k−1 − 2a0 = 7c
multiplicando por 10 ambos miembros
m∑
k=1
ak10
k − 20a0 = 70c
sumando 21a0 a ambos lados,
n = 70c + 21a0
o equivalentemente, 7|n.
Realizando el proceso r veces
m∑
k=r
ak10
k−r +
r−1∑
k=0
(−1)r−k2r−kak = 7t.
Multiplicando por 10r ambos te´rminos,
m∑
k=r
ak10
k +
r−1∑
k=0
(−1)r−k2r−kak10r = 7× 10rt.
Sumando a ambos lados la expresio´n
r−1∑
k=0
[
10k − (−1)r−k2r−k10r]ak.
Reorganizando te´rminos y factorizando se llega a la igualdad
n = 7× 10rt +
r−1∑
k=0
10k
[
1± (2× 10)r−k]ak.
40 CAPI´TULO 1. TEORI´A DE LA ARITME´TICA
En la expresio´n [1± (2× 10)r−k] se toma el signo ma´s si r − k es impar y el
signo menos si r − k es par, 0 < r − k ≤ m.
Pero 7|[1 + (2× 10)r−k] si r− k es impar e igualmente 7|[1− (2× 10)r−k]
si r − k es par. Por lo visto 7|n.
Suponga que n es divisible por 7, pero que
m∑
k=1
ak10
k−1 = 7s + r, con 0 < r < 7.
Siguiendo el procedimiento de los casos anteriores n = 70s + 21a0 + 10r, lo
cual implica que 7 no divide a n, contradiciendo el supuesto. Para el caso
general proceda de la misma manera.
Ejemplo 1.4.4. Un entero es divisible por 11 si y solamente si la diferencia
entre la suma de sus d´ıgitos de lugar impar y la suma de sus d´ıgitos de lugar
par es cero o mu´ltiplo de 11.
Solucio´n. Supongamos que n tiene un nu´mero impar de d´ıgitos y verifica la
primera condicio´n
n =
2m∑
k=0
ak10
k.
Pero 10 ≡ −1 mod 11, lo que significa que
2m∑
k=0
ak10
k ≡
2m∑
k=0
ak(−1)k mod 11.
Aplicando un razonamiento similar al de las ocasiones precedentes mediante
el uso de la propiedad (2) de divisibilidad se llega a
11
∣∣∣∣ 2m∑
k=0
ak(−1)k
de esta expresio´n se concluye
2m∑
k=0
a2k −
m−1∑
k=1
a2k+1 = 11t.
Igualdad que expresa la conclusio´n deseada y sera´ el punto de partida para
demostrar la segunda parte.
1.4. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD 41
De la u´ltima igualdad, despue´s de efectuar algunas transformaciones es-
cribimos
a0 = 11t−
m∑
k=1
a2k(−1)2k +
m+1∑
k=0
a2k+1(−1)2k+1
agregando a ambos miembros de la ecuacio´n la expresio´n
2m∑
k=1
ak10
k
se llega a la igualdad
n = 11t +
2m∑
k=1
(102k − 1)a2k +
m+1∑
k=0
(102t+1 + 1)a2k+1
factorizando el miembro de la derecha se obtiene
n = 11t +
m∑
k=1
(102k − 1)a2k +
m+1∑
k=0
(102k+1 + 1)a2k+1.
Pero 11|(102k − 1) y 11|(102k+1 + 1), por lo tanto 11|n.
Si n tiene un nu´mero par de d´ıgitos se procede de semejante manera.
Es necesario hacer notar que en la demostracio´n de los criterios de divisi-
bilidad se asumio´ que n era un entero positivo a pesar de no hacer mencio´n ex-
pl´ıcita de este hecho. Las propiedades de la divisibilidad as´ı lo justifican.
EJERCICIOS
1. Demostrar: Un entero es divisible por 5 si y solo si termina en cero o
en 5.
2. Demostrar: Un entero es divisible por 13 si y solo si separando la cifra
de las unidades, multiplica´ndola por 9, restando este producto de lo
que queda a la izquierda y as´ı sucesivamente, da cero o mu´ltiplo de 13.
3. Demostrar: Un entero es divisible por 17 si y solo si separando la cifra
de las unidades, multiplica´ndola por 5, restando este producto por lo
que queda a la izquierda, y as´ı sucesivamente da cero o mu´ltiplo de 17.
4. Demostrar: Un entero es divisible por 19, si y solo si, separando la cifra
de las unidades, multiplica´ndola por 17, restando este producto de lo
que queda a la izquierda, y s´ı sucesivamente, da cero o mu´ltiplo de 19.
42 CAPI´TULO 1. TEORI´A DE LA ARITME´TICA
1.5. Sistemas de numeracio´n
La invencio´n de un sistema de numeracio´n, que ahora luce tan natural costo´ mu-
chos milenios a la humanidad. Los pueblos primitivos trajinaban con conjun-
tos muy reducidos y los valoraban o comparaban sin necesidad de conocer
los nombres de sus objetos.
El gran descubrimiento fue hallar un procedimiento para nombrar y re-
presentar todos los nu´meros con un conjunto reducido de palabras y s´ımbo-
los que es el objetivo de cualquier sistema de numeracio´n. La mayor´ıa de
los sistemas de numeracio´n tienen su fundamento en un nu´mero clave lla-
mado base del sistema, que en el sistema decimal es el 10. Los s´ımbolos,
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 se denominan d´ıgitos cuando se usan para representar
enteros. El sistema decimal se desarrollo´ en la India, pero fue introducido
en Europa por los a´rabes con motivo de la invasio´n efectuada por estos u´lti-
mos al continente, por esta razo´n se le conoce como hindu´-ara´bico, pero ma´s
popularmente como sistema ara´bico de numeracio´n.
Cada entero t mayor que 1 puede servir de base para un sistema de
numeracio´n. Escogemos s´ımbolos arbitrarios para representar los d´ıgitos, esto
es los elementos, 0, 1, 2, 3, 4, . . . , (t− 1). Y sustituimos el nu´mero
n =
m∑
k=0
akt
k
por el s´ımbolo
n = amam−1am−2 · · ·a1a0(t.
Si la base es mayor que 10 debemos buscar s´ımbolos para sustituir los d´ıgitos
mayores que 9. Por ejemplo para la base 12, hacemos 10 = α, 11 = β. As´ı las
cosas en dicha base podemos escribir nu´meros tales como 507β34, 87α35,
4129, β03, y as´ı sucesivamente.
Siempre se ha pensado que el sistema duodecimal ser´ıa muy pra´ctico
porque 12 tiene ma´s divisores primos que 10 y se puede agrupar mejor por
docenas que por decenas, pero esta inquietud se ha reducido al campo de
las especulaciones. Lo cierto es que el sistema decimal esta´ muy adherido al
desarrollo de la humanidad. El sistema binario o los de potencias de 2 han
sido popularizados por las computadoras. La tecnolog´ıa de estos artefactos
esta´ basada en los co´digos de verdadero-falso, apagado-encendido. El sistema
binario esta´ conformado por los d´ıgitos 0, 1, lo que constituye una aparente
desventaja debido a que se necesita una cantidad grande de d´ıgitos binarios
1.5. SISTEMAS DE NUMERACIO´N 43
para escribir cualquier nu´mero, por ejemplo 1325 = 10100101101. Pero la
aparente desventaja se traduce en versatilidad.
1.5.1. Cambio de bases
1. Paso de un nu´mero escrito en una base cualquiera t a la base
decimal. Sea t > 1 una base cualquiera, n un nu´mero escrito en dicha base
n =
m∑
k=0
akt
k con 0 ≤ ak ≤ (t− 1) para 0 ≤ k ≤ m
esta igualdad proporciona una regla pra´ctica para escribir el nu´mero n en
base 10.
Primero desarrollamos todas las potencias de t, desde la cero hasta la
m-e´sima, despue´s efectuamos todos los productos y por u´ltimo procedemos
a sumarlos. Si realizamos las operaciones en base 10 el resultado sera´ la
representacio´n de n en base decimal.
Ejemplo 1.5.1. Escribir en base 10 el nu´mero 2αβ12.
Las tres primeras potencias de 12 son 1, 12, 144.
2αβ12 = 2× 144 + 10× 12 + 11× 1 = 288 + 120 + 11 = 419.
2. Paso de un nu´mero escrito en base 10 a una base cualquiera. Sea
t > 1 una base cualquiera, n un nu´mero escrito en base 10 y sea
n = amam−1am−2 · · ·a1a0(t
la expresio´n de n en base t.
n =
m∑
k=0
akt
k =
m∑
k=1
akt
k + a0.
Del tercer miembro y teniendo en cuenta que los valores absolutos de los
d´ıgitos son siempre menores que la base se deduce que si dividimos n por t
44 CAPI´TULO1. TEORI´A DE LA ARITME´TICA
se obtiene un cociente q1 y a0 de residuo, es decir, el residuo corresponde al
primer d´ıgito leyendo de derecha a izquierda.
m∑
k=1
akt
k =
m∑
k=2
akt
k + a1.
De esta igualdad observamos que si dividimos por segunda vez por t ob-
tenemos nuevos cocientes y residuos q2 y a1 respectivamente, residuo que
corresponde al segundo d´ıgito leyendo en el mismo orden. Despue´s de rei-
teradas operaciones llega un momento en que se obtienen por cociente y
residuo finales am y am−1 respectivamente, nu´meros que corresponden a los
dos u´ltimos d´ıgitos de n en base t.
Las operaciones anteriores se pueden representar en un gra´fico as´ı:
. . .
. . .
n t
a0 q1 t
ta1
q2
qm−2 tam−3
am−2 qm−1 t
am−1 am
Figura 1.1
Este gra´fico nos dice que para pasar de un nu´mero escrito en base 10 a una
base cualquiera t dividimos el nu´mero dado (operando en base 10) sucesiva-
mente por t hasta que lleguemos a un cociente menor que la base y despue´s
tomamos el u´ltimo cociente y todos los residuos encontrados pero en sentido
retro´grado y estos valores sera´n las cifras del nu´mero de izquierda a derecha.
Hay que notar que si t es mayor que 10 los residuos pueden ser 10 o ma-
yores y entonces tenemos que sustituir esos residuos por los s´ımbolos que le
corresponden en ese sistema.
Ejemplo 1.5.2. Escribir en base 12 el nu´mero 15135510.
1.5. SISTEMAS DE NUMERACIO´N 45
Solucio´n. Tome 10 = α, 11 = β. Efectuando las divisiones sucesivas
151355 = 12× 12612 + 11
12612 = 12× 1051 + 0
1051 = 12× 87 + 7
87 = 12× 7+ 3.
El nu´mero escrito en base 12 es 7370β12.
Ejemplo 1.5.3. Escribir en base 5 el nu´mero 7210.
Solucio´n.
72 = 5× 14 + 2
14 = 5× 2+ 4.
La respuesta es 2425.
1.5.2. Operaciones en base cualquiera
Un procedimiento para operar nu´meros en cualquier base (pero todos en la
misma) ser´ıa pasarlos a la base 10, efectuar las operaciones y el resultado
devolverlo luego a la base original.
Para cantidades pequen˜as otro me´todo consiste en operar en la base res-
pectiva teniendo el cuidado de recordar que opera en base diferente a la
decimal con el fin de evitar equ´ıvocos. Cuando hay que realizar muchas ope-
raciones lo mejor es utilizar una tabla.
La tabla de sumar
Para construir una tabla de sumar, que puede utilizarse para restar, se escribe
en fila la sucesio´n de los nu´meros hasta donde se quiera, pero por lo menos
hasta agotar los d´ıgitos.
Debajo de esa primera fila se escriben los mismos nu´meros agregados en la
unidad, la tercera sera´ igual a la segunda ma´s la unidad y as´ı sucesivamente.
Para sumar dos nu´meros se toma uno en la primera columna y el otro en
la primera fila y la suma estara´ en la interseccio´n de la columna y fila que
encabezan los sumandos, aunque la propiedad conmutativa permite tomarlos
sin importar cua´l se toma en la fila y cua´l en la columna.
A continuacio´n se construye una tabla de sumar en base 5.
46 CAPI´TULO 1. TEORI´A DE LA ARITME´TICA
+ 1 2 3 4 10 11 12 13 14 20 21
1 2 3 4 10 11 12 13 14 20 21 22
2 3 4 10 11 12 13 14 20 21 22 23
3 4 10 11 12 13 14 20 21 22 23 24
4 10 11 12 13 14 20 21 22 23 24 30
10 11 12 13 14 20 21 22 23 24 30 31
11 12 13 14 20 21 22 23 24 30 31 32
12 13 14 20 21 22 23 24 30 31 32 33
Figura 1.2
Ejemplo 1.5.4. Sumar: 11112 + 10102 + 1102 + 111012.
Solucio´n. Tomando las primeras cifras de derecha a izquierda (unidades) y
operando en base dos,
1 + 0 + 0 + 1 = 1 + 1 = 10.
Escribo 0 en la primera posicio´n del resultado y traslado 1 a la segunda
posicio´n. Tomando las cifras de la segunda posicio´n ma´s 1 que traslado se
obtiene.
1 + (1 + 1 + 1 + 0) = 1 + (11) = 100.
Escribo 0 en la segunda posicio´n y traslado 10 a la tercera. Tomando las
cifras de la tercera posicio´n ma´s 10 se escribe,
10 + (1 + 0 + 1 + 1) = 10 + (11) = 101.
Escribo 1 en la tercera posicio´n y traslado 10 a la cuarta. Tomando las cifras
de la cuarta posicio´n ma´s 10, se tiene,
10 + (1 + 1 + 0 + 1) = 10 + 11 = 101.
Escribo 1 en la cuarta y traslado 10 a la quinta . Tomando las cifras de la
quinta posicio´n ma´s 10, se obtiene
10 + (0 + 0 + 0 + 1) = 11
cifra que corresponde al u´ltimo resultado. Finalmente, escribiendo de izquier-
da a derecha se obtiene el total: 1111002.
Escribiendo la suma en forma compacta,
1.5. SISTEMAS DE NUMERACIO´N 47
1 1 1 1
1 0 1 0
+ 1 1 0
1 1 1 0 1
1 1 1 1 0 0
Ejemplo 1.5.5. Efectuar la diferencia 220237 – 46257.
Solucio´n. Tomando el desarrollo polino´mico de 22023 en base siete
22023 = 2×74+2×73+0×72+2×7+3 = 1×74+11×73+6×72+11×7+13.
Recuerde que estamos haciendo un desarrollo en base 7. El desarrollo
polino´mico de 4625 es,
4625 = 4× 73 + 6× 72 + 2× 7 + 5.
Ahora basta con efectuar las respectivas restas as´ı,
13− 5 = 5
11− 2 = 6
6− 6 = 0
11− 4 = 4
1− 0 = 1.
Tomando los resultados en orden ascendente y escribie´ndolos de izquierda a
derecha la respuesta obtenida es, 140657. En forma compacta
2 2 0 2 3
– 4 6 2 5
1 4 0 6 5
La tabla de multiplicar
La tabla de multiplicar que tambie´n sirve para dividir se construye escribien-
do la sucesio´n de los nu´meros de la base en el sistema en referencia a partir
48 CAPI´TULO 1. TEORI´A DE LA ARITME´TICA
de 1. En la segunda fila en correspondencia con la primera se escribe el resul-
tado de sumar la primera fila consigo misma. La tercera se obtiene sumando
la segunda con la primera. La cuarta es el resultado de sumar la primera con
la tercera y as´ı sucesivamente cada nueva fila se obtiene sumando la primera
con la u´ltima obtenida. Para hallar el producto de dos nu´meros se toman los
factores se procede en forma similar a la suma. La siguiente es una tabla de
multiplicar en base cinco
× 1 2 3 4 10 11 12 13 14 20 21
1 1 2 3 4 10 11 12 13 14 20 21
2 2 4 10 13 20 22 24 31 33 40 42
3 3 11 13 22 30 33 41 44 102 110 113
4 4 13 21 31 40 44 103 112 121 130 134
10 10 20 24 40 100 110 120 130 140 200 210
11 11 22 32 44 110 121 132 143 204 220 231
12 12 24 40 103 120 131 144 211 223 240 302
Figura 1.3
Ejemplo 1.5.6. En base 4 se opera de manera semejante a la base 10, exa-
minemos el siguiente producto:
Solucio´n. Se dispone el producto de manera ordinaria.
1 0 2 1 3
× 2 2 1
1 0 2 1 3
2 1 0 3 2
2 1 0 3 2
2 3 3 0 3 3 3
El resultado es 23303334.
Finalmente se da solucio´n a la siguiente divisio´n en base cinco.
Ejemplo 1.5.7. Dividir 231245 entre 325.
Solucio´n. La operacio´n se dispone as´ı:
1.5. SISTEMAS DE NUMERACIO´N 49
2 3 1
′
2
′
4
′
3 2
−2 0 1 3 4 2
1 4 4
3 0 2
−2 3 3
−1 1 4
3 0
El algoritmo se desarrolla de la siguiente forma. Se toman las tres primeras
cifras de la izquierda del dividendo, esto es, 231. El nu´mero que multiplicado
por 32 se aproxima ma´s a 231 es 3. Se multiplica 32 por 3.
32× 3 = 201.
Se efectu´a la diferencia
231− 201 = 30.
A 30 se le agrega la cuarta cifra del dividendo, obtenie´ndose 302. El nu´mero
que multiplicado por 32 se aproxima ma´s a 302 es 4. Se multiplica 32 por 4.
32× 4 = 233.
Se realiza la diferencia
302− 233 = 14.
Tomando la u´ltima cifra del dividendo, 4 y agrega´ndola a 14 se obtiene 144.
El nu´mero que multiplicado por 32 se aproxima ma´s a 144 es 2. Multiplicando
32 por 2.
32× 2 = 114.
La diferencia
144− 114 = 30
produce el residuo 30. El cociente es 3425.
Los enteros obtenidos mediante las diferentes bases son equivalentes, por
ejemplo las igualdades
125 + 205 = 325
710 + 1010 = 1710
213 + 1013 = 1223
50 CAPI´TULO 1. TEORI´A DE LA ARITME´TICA
conducen a resultados correspondientes. Estas correspondencias se dice que
son isomorfismos y a las estructuras se les denomina isomorfas.
EJERCICIOS
1. Construir tablas de adicio´n y multiplicacio´n para las siguientes bases:
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12.
2. Usando las tablas del ejercicio anterior, evaluar:
a) 110112 + 10012 + 112+ 102 + 12 + 11000012 + 10001102.
b) 11220013 + 112200023 + 1112123 + 121211213 + 111110013.
c) 7650418 + 6755028 + 123456708 + 765432108 + 1006368.
d) 9α87654311 − 796α2511.
e) 11100010112 − 10001111002.
f ) βα985304β12 − α908548212.
g) 2α912 × β3012.
h) 1101012 × 10112.
i) 650327 × 3427.
j ) 44105 × 3145.
k) Dividir 434015 entre 3105.
l) Dividir 9αβ3412 entre 1812.
m) Hallar la ra´ız cuadrada de los siguientes nu´meros : 2112, 6912, α112,
1412, 4112.
n) Desarrollar (912 + β12)
2.
3. Expresar 1220013 en base 12.
4. Expresar 4300215 en base 7.
5. Expresar 1120013 en base 10.
6. Expresar 8753326710 en base 12.
7. Demostrar que en un sistema de base n los nu´meros n, n2, n3, . . . , esta´n
representados por 10, 100, 1000, . . .
1.5. SISTEMAS DE NUMERACIO´N 51
8. ¿En que´ sistema esta´ expresado por 333n el nu´mero 9310?
9. ¿En que´ sistema el cuadrado de 23n esta´ expresado por 613n?
10. Demostrar: Un nu´mero en base n es divisible por (n− 1) si y solo si la
suma de sus d´ıgitos es un mu´ltiplo de (n− 1).
11. Utilizando el ejercicio anterior enuncie un criterio de divisibilidad por
9.
12. Demostrar: Un nu´mero en base n, es divisible por (n + 1) si y solo si
la diferencia entre la suma de sus cifras de lugar impar y la suma de
sus cifras de lugar par, de derecha a izquierda, da cero o mu´ltiplo de
(n + 1). Compare este criterio con el de divisibilidad por 11.
13. Demostrar: Si H es un nu´mero escrito en base n, y formamos otro
nu´mero K alterando el orden de las cifras de H , la diferencia H −K o
K −H es divisible por (n− 1).
Cap´ıtulo 2
GRUPOS
2.1. Leyes de composicio´n internas
El primer contacto que el estudiante tiene con el a´lgebra se produce cuando
aprende a sumar y a multiplicar. Ba´sicamente estas operaciones son reglas
que asocian con cada par de nu´meros dados un u´nico nu´mero llamado suma
y producto respectivamente.
La importancia de una operacio´n esta´ ligada a la calidad de los resultados
obtenidos y estos a su vez dependen de las propiedades que se puedan derivar
de dicha regla. Para definir una operacio´n matema´tica basta con describir lo
que deseamos efectuar con los elementos de un determinado conjunto, pero
si los resultados no conducen a un desarrollo teo´rico de intere´s, es necesario
analizar la definicio´n propuesta debido a que las propiedades que resulten en
definitiva son inferencias lo´gicas de esta u´ltima. En el caso de las operacio-
nes antes mencionadas las propiedades ba´sicas son ampliamente conocidas y
son de tal calidad que se usaron para describir generalizaciones que susten-
taron la construccio´n de estructuras ma´s complejas estudiadas por el a´lgebra
moderna.
Los grupos por ser una estructura con una sola operacio´n sirven para dar
comienzo. Este hecho no los coloca en desventaja con relacio´n a otras ma´s
amplias, antes por el contrario, al servir de base para estudiar conclusiones
que por sus limitaciones no pod´ıan resolver, muestran la calidad reclamada
para las leyes de composicio´n internas.
Definicio´n 2.1.1. Una ley de composicio´n interna ∗ definida en un conjunto
no vac´ıo A, es una regla que asocia con cada pareja de elementos de A un
53
54 CAPI´TULO 2. GRUPOS
u´nico elemento de A. El elemento de A que es asociado con la pareja (a, b)
se nota a ∗ b. En s´ımbolos,
A× A −→ A
(a, b) −→ a ∗ b.
La suma de nu´meros naturales, el producto de reales, la suma de matrices
2 × 2 son conocidas leyes de composicio´n internas, en cambio la resta de
naturales y la divisio´n de racionales no lo son, en el primer caso para efectuar
la diferencia a−b es necesario que a sea mayor que b, en el segundo la divisio´n
por cero no esta´ definida.
Hasta el momento, sin haberlo mencionado, se ha dado por cierto que
las leyes de composicio´n se efectu´an con parejas de elementos; justificando
el nombre de operaciones binarias, pero restringir las operaciones solo con
parejas no conduce a satisfacer la expectativa planteada, por tal razo´n de-
bemos aclarar la forma de operar ma´s de dos elementos. Por otra parte no
se ha mencionado el orden de los elementos a operar, para el propo´sito se
enuncian las definiciones que siguen.
Definicio´n 2.1.2. Una ley de composicio´n interna ∗ definida en un conjunto
A, se dice asociativa si y solo si, para los elementos a, b, c de A,
(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c).
Definicio´n 2.1.3. Una ley de composicio´n interna ∗ definida en A se dice
conmutativa si y solo si, para a, b elementos de A
a ∗ b = b ∗ a.
La suma de reales satisface estas dos propiedades, pero la resta no. El pro-
ducto de matrices m×n no satisface la propiedad conmutativa, de all´ı surge
la necesidad de decidir cua´l factor colocamos a la izquierda.
Definicio´n 2.1.4. Una ley de composicio´n interna ∗ en un conjunto A, posee
un elemento de identidad o neutro, si existe e en A tal que para todo elemento
a de A,
a ∗ e = e ∗ a = a.
Definicio´n 2.1.5. Una ley de composicio´n interna ∗ con elemento de iden-
tidad e se denomina inversible con respecto a e, si para todo a de A, existe
a′ en A tal que
a ∗ a′ = a′ ∗ a = e
a′ se denomina entonces el inverso de a.
2.1. LEYES DE COMPOSICIO´N INTERNAS 55
En los reales diferentes de cero la multiplicacio´n es una ley de compo-
sicio´n interna asociativa, conmutativa, posee elemento de identidad el 1 y
es inversible con respecto al 1 (todo real diferente de cero posee un inverso
multiplicativo). En los enteros el producto no es inversible a pesar de tener
elemento de identidad.
EJERCICIOS
1. Decida cua´les de las siguientes reglas definen operaciones binarias en el
conjunto dado y cua´les no. En caso afirmativo demostrarlo y en caso
negativo dar una razo´n.
a) En el conjunto de los reales, a ∗ b = ab.
b) En el conjunto de los reales, a ∗ b = a− b.
c) En Z+, a∗b = c, donde c es el mayor entero menor que el producto
ab.
d) En el conjunto de los reales, a ∗ b = (ab) 12 .
2. En Zn = {x | 0 ≤ x < n}, a ∗ b = r donde r es el residuo de dividir
a + b por n. Demuestre que ∗ es una operacio´n binaria.
3. Sea Z∗n = Zn − {0}, a ∗ b = r, donde r es el residuo de dividir ab por
n. Demuestre que ∗ es una operacio´n binaria si n es primo. Diga por
que´ no lo es si n es compuesto.
4. En cada uno de los siguientes ejercicios ∗ es una operacio´n binaria
definida en los enteros. Diga en cada caso y demue´strelo, si la operacio´n
es asociativa, conmutativa, si posee elemento de identidad y si tiene
inverso. En caso negativo dar ejemplos.
a) a ∗ b = b.
b) a ∗ b = a + b + ab.
c) a ∗ b = a + b− 1.
d) a ∗ b = a + ab.
e) a ∗ b = 2a + 2b.
f ) a ∗ b = ab + 1.
56 CAPI´TULO 2. GRUPOS
g) a ∗ b = a− b.
5. Con relacio´n a los ejercicios 2 y 3 diga y demuestre si ∗ es una ope-
racio´n asociativa, conmutativa, si posee elemento de identidad y si es
inversible. En caso negativo dar ejemplos.
6. Dar un ejemplo de una operacio´n binaria que posea elemento de iden-
tidad y sea inversible pero no sea asociativa ni conmutativa.
2.2. Grupos
Una vez estudiadas las propiedades anteriores, veamos co´mo es posible usar-
las en la solucio´n de problemas relacionados con la operacio´n definida. Por
ejemplo una determinada situacio´n puede llevarnos a plantear igualdades de
una de las formas
a ∗ x = b o x ∗ a = b
donde a, b son elementos dados de A, x es un elemento desconocido de A.
Si no podemos dar respuesta a este sencillo problema no vale la pena
continuar, por consiguiente debemos presuponer que es posible una solucio´n.
Tomemos por ejemplo la ecuacio´n de la izquierda
a ∗ x = b.
Operando a izquierda por a′, el inverso de a
a′ ∗ (a ∗ x) = a′ ∗ b.
Usando la propiedad asociativa
(a′ ∗ a) ∗ x = a′ ∗ b.
Por la propiedad modulativa
x = a′ ∗ b.
Estrictamente hablando no se puede decir que la expresio´n de la derecha de
la u´ltima igualdad sea la solucio´n, pero se ha demostrado que es la u´nica
posibilidad. Parademostrar que efectivamente es una solucio´n, basta con
reemplazar el valor de x por a′ ∗ b. Ba´sicamente se necesito´ contar con la
existencia del elemento neutro, del inverso de a y de la propiedad asociativa.
Note la necesidad de la aplicacio´n de estas propiedades para poder resolver
el problema formulado.
2.2. GRUPOS 57
Definicio´n 2.2.1. Un grupo 〈G, ∗〉 es un conjunto G dotado de una opera-
cio´n ∗ que es
1. Asociativa.
2. Posee elemento de identidad e.
3. Es inversible con respecto a e.
Definicio´n 2.2.2. Si la operacio´n ∗ es conmutativa el grupo se dice conmu-
tativo o abeliano.
En lo que sigue notaremos los grupos usando la letra G sola, salvo en
algunos casos especiales.
Ejemplo 2.2.1. Sea X un conjunto arbitrario y T (X) el conjunto de todas
las aplicaciones biyectivas, φ : X −→ X. Entonces 〈T (X), ◦〉 es un grupo si
se considera como operacio´n la composicio´n de funciones.
Para todo x de X
x(ρ ◦ μ) = x(ρμ) = (xρ)μ.
Observe que se esta´ usando la notacio´n xφ para representar la imagen de x.
Esta forma de escribir tiene la ventaja de ejecutar las operaciones de izquierda
a derecha por ejemplo, ρ ◦ μ indica que primero debe aplicarse ρ y luego μ.
Para abreviar se omite el s´ımbolo de composicio´n en lo que sigue.
Solucio´n. Es claro que la composicio´n es una operacio´n asociativa. Para todo
x de X
x[(τρ)μ] = [x(τρ)]μ
= [(xτ)ρ]μ
= (xτ)(ρμ)
= x[τ(ρμ)].
Por lo tanto
(τρ)μ = τ(ρμ).
Tiene elemento neutro. La aplicacio´n ide´ntica i definida en X, tal que para
todo x en X
xi = x
58 CAPI´TULO 2. GRUPOS
actu´a como elemento de identidad.
Es inversible con respecto a i puesto que toda biyeccio´n posee inversa con
respecto a la ide´ntica.
T (X) se denomina el grupo de las transformaciones en X y es el ejemplo
ma´s importante que podemos citar. Posteriormente habra´ lugar para referir-
nos a e´l y veremos su trascendencia en el desarrollo de la teor´ıa.
Teorema 2.2.1. Si G es un grupo, entonces
1. Las dos leyes de cancelacio´n se verifican, esto es
a) Si a ∗ b = a ∗ c, entonces b = c.
b) Si b ∗ a = c ∗ a, entonces b = c.
2. Si a, b son dos elementos cualesquiera de G, las ecuaciones lineales
a ∗ x = b, y ∗ a = b
tienen soluciones u´nicas en G.
Demostracio´n. Como G es un grupo, para todo a de G, existe el inverso a′
en G. Supongamos que
a ∗ b = a ∗ c.
Multiplicando a izquierda ambos miembros de la anterior igualdad por a′, se
obtiene
a′ ∗ (a ∗ b) = a′ ∗ (a ∗ c).
Aplicando la propiedad asociativa
(a′ ∗ a) ∗ b = (a′ ∗ a) ∗ c.
Efectuando operaciones y usando la propiedad modulativa, se llega a
b = c.
De manera semejante se procede con la demostracio´n de (b).
2.2. GRUPOS 59
Anteriormente se comprobo´ que una posible solucio´n a la ecuacio´n lineal
a ∗ x = b es a′ ∗ b. Para demostrar que verdaderamente lo es efectuemos el
reemplazo correspondiente
a ∗ x = a ∗ (a′ ∗ b)
= (a ∗ a′) ∗ b
= e ∗ b
= b.
Se ha comprobado que a′ ∗ b es una solucio´n.
Para demostrar la unicidad supongamos que existen dos soluciones x1, x2
entonces
a ∗ x1 = b = a ∗ x2.
Por aplicacio´n de la propiedad transitiva de la igualdad y cancelativa a iz-
quierda
x1 = x2.
Indicando que la solucio´n es u´nica. La otra demostracio´n es similar, en este
caso se debe aplicar la propiedad cancelativa a derecha.
Teorema 2.2.2. En un grupo,
1. El elemento de identidad es u´nico.
2. El inverso de un elemento es u´nico.
Demostracio´n. Supongamos que existen dos elementos de identidad e1, e2
entonces
e1 ∗ a = a ∗ e1 = a
e2 ∗ a = a ∗ e2 = a.
Por la propiedad transitiva de la igualdad
e1 ∗ a = e2 ∗ a.
Por la propiedad cancelativa a derecha
e1 = e2
o sea, el elemento de identidad es u´nico.
60 CAPI´TULO 2. GRUPOS
Definicio´n 2.2.3. Un sistema 〈G, ∗〉 se dice un grupo a izquierda si
1. La operacio´n es asociativa.
2. Existe un elemento de identidad a izquierda.
3. Para todo a de G existe a′ en G inverso a izquierda.
Los grupos a izquierda y a derecha son conocidos como grupos unila´teros.
El siguiente teorema demuestra que el concepto de grupo unila´tero no es
diferente del concepto de grupo, ma´s precisamente: Todo grupo unila´tero es
un grupo y viceversa.
Teorema 2.2.3. Un sistema 〈G, ∗〉 es un grupo a izquierda (respectivamente
a derecha) si y so´lo si es un grupo.
La demostracio´n la dejamos al cuidado de los interesados.
EJERCICIOS
1. Demostrar que el conjunto G = {a + b√2 | a, b ∈ Z} es un grupo
abeliano para la adicio´n.
2. Demostrar el teorema 2.2.3.
3. Sea una operacio´n asociativa definida en un conjunto finito G tal que
las dos leyes de cancelacio´n se verifican en G. Demuestre que G es un
grupo.
4. Demuestre en cada uno de los siguientes ejercicios si el sistema descrito
es o no un grupo. En caso negativo diga cua´l o cua´les de los axiomas
no se verifican. Para los grupos hallados diga cua´les son abelianos y
demue´strelo.
a) En el conjunto de los enteros, a ∗ b = ab.
b) En el conjunto de los enteros, a ∗ b = a− b.
c) En el conjunto de los reales diferentes de cero, a ∗ b = ab.
d) En el conjunto de los complejos, a ∗ b = a + b.
2.3. GRUPOS FINITOS Y CONSTRUCCIO´N DE TABLAS 61
e) En el conjunto de los enteros, a ∗ b = a + b + 1.
f ) En el conjunto de los racionales del intervalo (0, 1] , a ∗ b = ab.
5. Sea G = {x ∈ R | x �= −1}, a ∗ b = a + b + ab.
a) Demostrar que G es un grupo abeliano.
b) Hallar la solucio´n de la ecuacio´n, 5× x× 2 = 8.
6. Demostrar que las matrices 2× 2 con elementos complejos
i =
(
1 0
0 1
)
, j =
(
i 0
0 −i
)
, k =
(
0 1
−1 0
)
, l =
(
0 i
i 0
)
y sus inversas forman un grupo con respecto al producto, llamado el
grupo de los cuaternios.
2.3. Grupos finitos y construccio´n de tablas
Para un conjunto finito es posible definir una operacio´n por medio de una
tabla. Sea G = {e, a, b} , y la operacio´n definida por,
∗ e a b
e e a b
a a b e
b b e a
Figura 2.1
La regla que define la ley de composicio´n expresada mediante una tabla es
ai ∗ aj = aij
donde ai es el i-e´simo elemento de la columna de encabezamiento, aj es el
j-e´simo elemento de la fila de encabezamiento, aij el elemento situado en la
interseccio´n de la i-e´sima columna con la j-e´sima fila de las respuestas. Para
la tabla de arriba: a ∗ b = e , b ∗ e = b.
Una operacio´n definida por medio de una tabla es conmutativa si y solo
si sus elementos son sime´tricos con respecto a la diagonal principal, o sea la
que comienza en la parte superior izquierda y termina en la parte inferior
derecha. Note que la operacio´n de la tabla anterior no es conmutativa.
62 CAPI´TULO 2. GRUPOS
Suponga que e es el elemento de identidad para un grupo 〈G, ∗〉, considere
el conjunto {e}. La igualdad e ∗ e = e es la u´nica posibilidad para operar
en este conjunto. Es sencillo demostrar que {e} forma un grupo abeliano.
∗ e
e e
Figura 2.2
Tomemos el conjunto G = {e,a}, tratemos de definir una operacio´n que lo
convierta en un grupo. Comencemos la escritura de la tabla.
Como e es el elemento de identidad,
e ∗ a = a ∗ e = a.
Igualmente
e ∗ e = e.
Adema´s a debe tener su inverso. Si el inverso de a es e,
a ∗ e = e,
contradiciendo la definicio´n de e, luego a debe ser su propio inverso, esto es,
a ∗ a = e.
La tabla se puede llenar as´ı,
∗ e a
e e a
a a e
Figura 2.3
Se debe verificar que la tabla define un grupo abeliano.
A continuacio´n encontremos las condiciones que deben ser impuestas para
que una operacio´n definida por medio de una tabla convierta un conjunto
finito G en un grupo.
Primero escribimos los elementos de G horizontalmente en un determina-
do orden, encabezados por el elemento de identidad e. A continuacio´n se es-
criben en forma vertical y en el mismo orden predeterminado, conforma´ndose
2.3. GRUPOS FINITOS Y CONSTRUCCIO´N DE TABLAS 63
lo que se denominan fila y columnaexternas y sirven para leer los elemen-
tos a operar. Por ejemplo a ∗ b indica que el primer elemento pertenece a
la columna y el segundo a la fila. Esta convencio´n la vamos a respetar a lo
largo del texto y es importante aclararlo porque en los grupos no abelianos
el orden es decisivo.
Posteriormente se elaboran las filas y columnas internas correspondientes
a la parte donde se van a leer las respuestas, estas se denominara´n primera,
segunda, tercera y as´ı sucesivamente, de arriba hacia abajo en el caso de las
filas y de izquierda a derecha para el caso de las columnas.
Debido a que para todo x en G se debe tener la igualdad
e ∗ x = x
necesariamente debemos formar la primera fila interna escribie´ndola en el
mismo orden de la fila externa.
Por otra parte, la igualdad
x ∗ e = x
nos obliga a escribir la primera columna interna en el mismo orden de la
columna externa.
El hecho que cada elemento x debe tener un inverso a derecha implica
que e debe aparecer en algu´n lugar en la fila encabezada por x. Como igual
sucede con el inverso a izquierda, e debe aparecer en algu´n lugar de la columna
encabezada por x.
En otras palabras, e debe aparecer en cada fila y en cada columna.
Por el teorema 2.2.1 las ecuaciones
a ∗ x = b, y ∗ a = b
tienen soluciones u´nicas, esto quiere decir que cada elemento de G debe
aparecer una y solamente una vez en cada fila y en cada columna.
Suponga ahora que existe una tabla para una operacio´n en un conjunto
finito donde aparece un elemento actuando como elemento de identidad y que
cumple con todas las condiciones expuestas. Se puede ver que la operacio´n
definida convierte al conjunto en un grupo si y solo si se verifica la propiedad
asociativa. Generalmente esta es laboriosa de comprobar, pero en la pra´ctica
la informacio´n acerca de la asociatividad procede con frecuencia de otras
fuentes.
64 CAPI´TULO 2. GRUPOS
Si G = {e, a, b}, mirando las restricciones impuestas,existe una u´nica
posibilidad para confeccionar una tabla que dote a G de una estructura de
grupo.
Hechas las consideraciones del caso resulta la tabla
∗ e a b
e e a b
a a b e
b b e a
Figura 2.4
G es un grupo abeliano.
Definicio´n 2.3.1. Se denomina orden de un grupo G al nu´mero de elementos
del conjunto G y se nota | G |.
Si el orden de G es finito, diremos que G es un grupo finito, en caso
contrario se denomina infinito.
Por ejemplo si G = {2, 3, 4, 5} el orden de G, esto es, | G | = 4. El orden
de los enteros es infinito.
Se puede proceder de la siguiente forma para demostrar que solo existen
dos estructuras de grupo diferentes en un conjunto de orden cuatro.
Sea G = {e, a, b, c} donde e es el elemento ide´ntico para la operacio´n
��asterisco��. Una tabla debe iniciarse de la siguiente manera
∗ e a b c
e e a b c
a a ?
b b
c c
Figura 2.5
En el espacio con la interrogacio´n puede escribirse unicamente e, b o c. Si
se escribe e, la tabla puede ser confeccionada de dos modos para obtener
grupos. Si se escribe b, puede ser completada de una u´nica forma. Otro tanto
sucede si se escribe c. Siguiendo el proceso explicado las tablas quedan as´ı,
2.3. GRUPOS FINITOS Y CONSTRUCCIO´N DE TABLAS 65
TABLA I TABLA II
∗ e a b c ∗ e a b c
e e a b c e e a b c
a a e c b a a e c b
b b c a e b b c e a
c c b e a c c b a e
Figura 2.6 Figura 2.7
TABLA III TABLA IV
∗ e a b c ∗ e a b c
e e a b c e e a b c
a a b c e a a c e b
b b c e a b b e c a
c c e a b c c b a e
Figura 2.8 Figura 2.9
Dando por cierto que la propiedad asociativa se verifica en cada uno de los
cuatro casos, hemos obtenido cuatro grupos aparentemente diferentes; pero
la realidad es que las tablas I, III, IV son estructuralmente ide´nticos. Tome
la biyeccio´n φ definida de la siguiente manera
eφ = e
aφ = b
bφ = a
cφ = c
y vuelva a escribir la tabla I en el orden eφ, aφ, bφ, cφ
TABLA I
∗ eφ aφ bφ cφ
eφ eφ aφ bφ cφ
aφ aφ bφ cφ eφ
bφ bφ cφ eφ aφ
cφ cφ eφ aφ bφ
Figura 2.10
66 CAPI´TULO 2. GRUPOS
Esta u´ltima tabla se elaboro´ a partir de la I usando la biyeccio´n φ, por
ejemplo, dado que aφ = b, bφ = a, la operacio´n (aφ)(bφ) se calculo´ mediante
las igualdades
(aφ)(bφ) = ba = c = cφ.
Note que la tabla I vuelta a escribir es ide´ntica con la III, salvo el uso del
s´ımbolo de la funcio´n. Tome hora la biyeccio´n ψ definida en la forma
eψ = e
aψ = a
bψ = c
cψ = b
y escriba la tabla IV en el orden eψ, aψ, bψ, cψ
TABLA IV
∗ eψ aψ bψ cψ
eψ eψ aψ bψ cψ
aψ aψ bψ cψ eψ
bψ bψ cψ eψ aψ
cψ cψ eψ aψ bψ
Figura 2.11
La tabla IV tambie´n es ide´ntica a la III, salvo el uso del s´ımbolo de la funcio´n.
En conclusio´n, las tablas I, III, IV son estructuralmente ide´nticas. Posterior-
mente se dira´ que son grupos isomorfos.
Miremos el grupo constituido por el conjunto G = {0, 1, 2, 3} con la ope-
racio´n + definida mediante la tabla
+ 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2
Figura 2.12
2.3. GRUPOS FINITOS Y CONSTRUCCIO´N DE TABLAS 67
Finalmente vamos a estudiar la biyeccio´n ρ dada por
eρ = 0
aρ = 1
bρ = 2
cρ = 3.
Escribiendo la tabla de 〈G,+〉 en el orden eρ, aρ, bρ, cρ obtenemos
+ eρ aρ bρ cρ
eρ eρ aρ bρ cρ
aρ aρ bρ cρ eρ
bρ bρ cρ eρ aρ
cρ cρ eρ aρ bρ
Figura 2.13
Con el resultado obtenido hemos agregado un elemento ma´s a la lista, pu-
diendo afirmar que las tablas I, III, IV y 〈G,+〉 constituyen el mismo grupo.
La tabla II es el grupo cuaternario de Klein, en honor del matema´tico alema´n
Felik Klein, mientras que 〈G,+〉 corresponde al grupo 〈Z4,+〉 de los enteros
mo´dulo 4, conocido tambie´n como el grupo c´ıclico de orden 4. Ambos grupos
son abelianos
EJERCICIOS
1. En Zn = {x | 0 ≤ x < n}, a ∗ b = r donde r es el residuo de dividir
a + b por n. Demuestre que Zn es un grupo abeliano.
2. De acuerdo con el ejercicio anterior,construya las tablas para Z1, Z3,
Z4, Z5, Z6, Z13.
3. Sea Z∗p = Zp −{0}, a ∗ b = r, donde r es el residuo de dividir ab por n.
Demuestre que Z∗p es un grupo abeliano si p es primo.
4. De acuerdo con el ejercicio anterior construya las tablas para Z∗2, Z
∗
3,
Z∗5, Z
∗
7, Z
∗
13.
5. Sea n �= 0 un entero, Wn = {x ∈ Z∗ | x es primo relativo con n}. Defi-
na ∗ como en el ejercicio 3 y demuestre que Wn es un grupo abeliano.
68 CAPI´TULO 2. GRUPOS
2.4. Notacio´n
Con el propo´sito de simplificar la escritura, los algebristas generalmente usan
los conocidos s´ımbolos de adicio´n y multiplicacio´n para designar la ley de
composicio´n interna definida en un grupo. Se usa el s´ımbolo + para los grupos
abelianos, reservando la notacio´n de producto para cuando se hace referencia
a grupos que pueden o no ser abelianos. Si se usa notacio´n aditiva, en lugar
de escribir a ∗ b se escribe a+ b y en este caso el inverso de a se nota −a. En
general, expresiones como
a ∗ a ∗ a ∗ · · · ∗ a︸ ︷︷ ︸
n veces
se pueden escribir
a + a + a + · · ·+ a︸ ︷︷ ︸
n veces
= na.
El te´rmino na no tiene el significado que se le asigna en la multiplicacio´n
usual, en este caso lo que se quiere significar es que el elemento a se ha
operado por s´ı mismo n veces, por ejemplo en 〈Z4,+〉
2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 5× 2
= (2 + 2) + (2 + 2) + 2
= 0 + 0 + 2
= 2.
Si se usa notacio´n de producto, se escribe ab omitiendo el punto y en este
caso el inverso de a se escribe a−1. El producto generalizado se representa
aaaaa · · ·a︸ ︷︷ ︸
n veces
= an,
sirve para indicar que el elemento a se ha operado por s´ı mismo n veces
y no tiene el significado que se le asigna a la potenciacio´n usual. Haciendo
referencia al grupo de Klein
bbbbb = b5
= (bb)(bb)b
= eeb
= b.
2.4. NOTACIO´N 69
Si usamos notacio´n multiplicativa convenimos en enunciar las definiciones
recursivas.
Definicio´n 2.4.1. a0 = e, donde e es el elemento de identidad.
Definicio´n 2.4.2. a1 = a.
Definicio´n 2.4.3. an = (an−1)a, n > 1, n en N.
Definicio´n 2.4.4. a−n = (a−1)n = (an)−1n > 1, n en N.
Se puede demostrar que algunas de las leyes de los exponentes se verifican,
por ejemplo
1. aras = ar+s.
2. (ar)s = ars.
3. En general (ab)r �= arbr.
Si se usa notacio´n aditiva las definiciones anteriores se traducen en
Definicio´n 2.4.5. 0a = e.
Definicio´n 2.4.6. 1a = a.
Definicio´n 2.4.7. na = (n− 1)a + a, n > 1, n en N.
Definicio´n 2.4.8. n(−a) = (−n)a = −na, n > 1, n en N.
Tambie´n se verifican las siguientes propiedades
1. (mn)a = m(na).
2. (m + n)a = ma + na.
3. m(a + b) = ma + mb.
Los grupos finitos presentan propiedades importantes que merecen ser estu-
diadas con el propo´sito de tener mejor conocimiento del comportamiento de
tales estructuras, analicemos el
Ejemplo 2.4.1. Demostrar que Si G es un grupo finito con un nu´mero par
de elementos ( |G| es un par) entonces existe a ∈ G, a �= e, tal que a2 = e.
70 CAPI´TULO 2. GRUPOS
Solucio´n. Sea G = {e, a1, a2, . . . , a2n+1} un grupo finito. Si la operacio´n es
tal que para todo elemento a de G a2 = e, el problema esta´ resuelto.
Supongamos que para todo aj en G, aj �= a−1j . Dada la unicidad de los
inversos, es posible reorganizar los elementos de G de tal manera que cada
elemento quede colocado junto a su inverso, esto es, que a2n−1 sea el inverso
de a2n, para n ≥ 1. Pero a2n+1 no tiene pareja dentro de este nuevo orden
y como adema´s a2n+1 �= e, la u´nica posibilidad es que sea su propio inverso
y por tanto (a2n+1)
2 = e. Pero la anterior afirmacio´n contradice el supuesto,
por lo tanto debe existir al menos un elemento ak �= e tal que a2k = e,
1 ≤ k ≤ 2n + 1.
Por otra parte, tambie´n se puede demostrar que el enunciado siguiente es
va´lido
Ejemplo 2.4.2. Si G es un grupo finito, existe un entero positivo N tal que
aN = e, para cualquier a de G.
Demostracio´n. Dado G finito, la coleccio´n infinita {a, a2, a3, . . . , at, . . . } debe
estar contenida en G, pero en algu´n momento debe haber repeticiones, dada
la finitud de G, entonces para algunos enteros r, s, con r > s > 0,
ar = as.
Por la propiedad cancelativa
ar−s = e.
Sea (r − s) = n, entonces
an = e.
En igual forma para todo ai de G, existe ni tal que
(ai)
ni = e.
Sea N el mı´nimo comu´n mu´ltiplo de los ni, entonces
aN = e
para todo a ∈ G.
2.4. NOTACIO´N 71
EJERCICIOS
1. Si ∗ es una operacio´n en un conjunto S, un elemento x de S se dice
idempotente para ∗ si x ∗ x = x. Demuestre que en un grupo existe un
u´nico elemento idempotente.
2. Demuestre que en todo grupo se verifican las siguientes propiedades
a) aras = ar+s.
b) (ar)s = ars.
3. Dar un ejemplo de un grupo donde (ab)r �= arbr.
4. Demostrar que en todo grupo aditivo se verifican las propiedades,
a) (mn)a = m(na).
b) (m + n)a = ma + na.
c) m(a + b) = ma + mb.
5. Demostrar que si G es un grupo tal que x2 = e, para todo elemento x
de G, entonces es abeliano.
6. Demostrar que todo grupo de orden dos, tres, cuatro o cinco es abeliano.
7. Sea G = {x0, x1, x2, x3, x4, x5, x6}. En G se ha definido una operacio´n
mediante la fo´rmula
xixj = xi+j cuando i + j < 7
xixj = xi+j−7 cuando i + j ≥ 7.
Demuestre si G es un grupo, en caso contrario demuestre cua´les pro-
piedades no se verifican.
8. Demostrar que si G es un grupo abeliano, para todo a, b de G, para
todo entero n
(ab)n = anbn.
9. Demuestre que en todo grupo G,
a) (a−1)−1 = a.
72 CAPI´TULO 2. GRUPOS
b) (ab)−1 = b−1a−1.
10. Sea G un grupo, si para cada a, b de G, (ab)−1 = a−1b−1, entonces G
es abeliano.
11. Sea G un grupo, si para cada a, b de G, (ab)2 = a2b2, entonces es
abeliano.
12. Si G es un grupo para el cual (ab)i = aibi, para tres enteros consecutivos
i, i + 1, i + 2, y para cada a, b de G, entonces G es abeliano.
13. Demostrar que en todo grupo G siempre se verifica, para cada a, x de
G, para todo entero n,
(axa−1)n = axna−1.
14. Sea G = {x = a+ bi | a, b ∈ R, |x| = 1}. Demostrar que G es un grupo
para el producto de nu´meros complejos.
15. Sea G el conjunto de parejas ordenadas de nu´meros reales (a, b) con
a �= 0. En G se ha definido una operacio´n mediante la fo´rmula,
(a, b)(c, d) = (ac, bc + d).
Demostrar que G es un grupo no abeliano.
2.5. Grupos de permutaciones
Iniciamos el estudio de las permutaciones con el ana´lisis de las simetr´ıas y en
particular con las del tria´ngulo equila´tero. Desde el a´ngulo de la geometr´ıa,
dos figuras son congruentes si al ser superpuestas coinciden en cuanto a forma
y taman˜o. Las congruencias permiten la posibilidad de hacer coincidir una
figura consigo misma a trave´s de algunos movimientos que la dejan invariante.
Un caso especial es el de las simetr´ıas.
Para los tria´ngulos, se da la definicio´n que sigue
Definicio´n 2.5.1. Sean los tria´ngulos �ABC, �DEF y una corresponden-
cia biun´ıvoca
ABC ←→ DEF
2.5. GRUPOS DE PERMUTACIONES 73
entre sus ve´rtices. Si cada par de lados correspondientes son congruentes y
cada par de a´ngulos correspondientes son congruentes, entonces la correspon-
dencia es una congruencia.
En un tria´ngulo equila´tero de ve´rtices 1̂, 2̂, 3̂ se pueden establecer seis
biyecciones, congruencias o simetr´ıas as´ı,
ρ0 : 123←→ 123
ρ1 : 123←→ 231
ρ2 : 123←→ 312
μ1 : 123←→ 132
μ2 : 123←→ 321
μ3 : 123←→ 213.
Las anteriores expresiones son posibles porque los a´ngulos interiores miden
todos 60o y los lados son congruentes entre s´ı.
Dibujando un tria´ngulo equila´tero de modo que el ortocentro coincida
con el origen de coordenadas, se pueden analizar las congruencias anterio-
res suponiendo que los ejes permanecen esta´ticos y es posible rotar o re-
flejar el tria´ngulo alrededor de algunas l´ıneas llamadas ejes de simetr´ıa.
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
��
��
��
��
��
�
��
��
��
��
�
1 2
3
Figura 2.14
Aceptando que todos los giros se efectuara´n siguiendo el sentido de las ma-
necillas del reloj, la primera congruencia se puede considerar una rotacio´n de
360o.
74 CAPI´TULO 2. GRUPOS
Como deja fijos todos los ve´rtices se le denomina la ide´ntica y se representa
por ρ0
ρ0 =
(
1 2 3
1 2 3
)
.
Para que el ve´rtice 1 pase a ocupar la posicio´n del 3, el 2 ocupe la del 1 y
el 3 la del 2, se necesita realizar un giro de 120o. Este giro corresponde a la
biyeccio´n ρ1
ρ1 =
(
1 2 3
2 3 1
)
.
Un giro de 240o hace que el ve´rtice 1 pase a la posicio´n del 2, el 2 a la del 3
y el 3 a la del 1, giro correspondiente a la congruencia ρ2, cuya escritura es
ρ2 =
(
1 2 3
3 1 2
)
.
El tria´ngulo equila´tero se puede reflejar en su plano alrededor de cada una
de las bisectrices de sus a´ngulos interiores. Estas reflexiones dejan invariante
el ve´rtice correspondiente e intercambian los otros dos. Se representan de la
siguiente manera:
La reflexio´n μ1 deja invariante el ve´rtice 1̂
μ1 =
(
1 2 3
1 3 2
)
.
La reflexio´n μ2 deja invariante el ve´rtice 2̂
μ2 =
(
1 2 3
3 2 1
)
.
La reflexio´n μ3 deja invariante el ve´rtice 3̂
μ3 =
(
1 2 3
2 1 3
)
.
Las simetr´ıas del tria´ngulo equila´tero son un caso especial del grupo de las
transformaciones T (X) cuando X = {1, 2, 3} y la operacio´n es la composicio´n
de funciones; por tal razo´n se pueden operar sin riesgo de equ´ıvocos, por
2.5. GRUPOS DE PERMUTACIONES 75
ejemplo
ρ2μ1 =
(
1 2 3
3 1 2
)(
1 2 3
1 3 2
)
=
(
1 2 3
2 1 3
)
= μ3.
Sea D3 = {ρ0, ρ1, ρ2, μ1, μ2, μ3}. Aprovechando la licencia que nos permite
este enfoque podemos confeccionar la tabla del grupo de las transformaciones
del tria´ngulo equila´tero. El s´ımbolo proviene del ingle´s third dihedral group.
∗ ρ0 ρ1 ρ2 μ1 μ2 μ3
ρ0 ρ0 ρ1 ρ2 μ1 μ2 μ3
ρ1 ρ1 ρ2 ρ0 μ2 μ3 μ1
ρ2 ρ2 ρ0 ρ1 μ3 μ1 μ2
μ1 μ1 μ3 μ2 ρ0 ρ2 ρ1
μ2 μ2 μ1 μ3 ρ1 ρ0 ρ2
μ3 μ3 μ2 μ1 ρ2 ρ1 ρ0
Figura 2.15
D3 es un grupo no abeliano y es el grupo no abeliano de menor orden, pues
comose sabe, los de orden menor o igual a 5 son todos conmutativos. Otro
ejemplo importante es el grupo de las simetr´ıas del cuadrado, o grupo o´ctico
D4, a trave´s de ellos se puede ilustrar la mayor parte de los conceptos de la
teor´ıa de grupos. La divisio´n en cuatro regiones se explicara´ mas adelante.
Definicio´n 2.5.2. Una permutacio´n es una transformacio´n biun´ıvoca de un
conjunto finito A en s´ı mismo.
Por brevedad se le llama una permutacio´n en A. Al ser funciones biyecti-
vas, las transformaciones se asimilan al grupo T (A) y su producto obviamente
es la composicio´n de funciones. Si ρ y μ son dos permutaciones, el producto
ρμ viene dado por la igualdad,
ρμ = ρ ◦ μ
siguiendo la notacio´n, podemos escribir, para todo x de A
x(ρμ) = (xρ)μ.
76 CAPI´TULO 2. GRUPOS
Ejemplo 2.5.1. Si A = {1, 2, 3, 4, 5}
ρ =
(
1 2 3 4 5
3 1 4 2 5
)
, μ =
(
1 2 3 4 5
4 5 1 3 2
)
,
efectuar el producto ρμ.
Solucio´n.
ρμ =
(
1 2 3 4 5
3 1 4 2 5
)(
1 2 3 4 5
4 5 1 3 2
)
=
(
1 2 3 4 5
1 4 3 5 2
)
.
Teorema 2.5.1. Sea A = {1, 2, 3, . . . , n} y sea Sn el conjunto de todas las
permutaciones en A, entonces Sn es un grupo para el producto de permuta-
ciones y Sn tiene n! elementos.
Demostracio´n. La primera parte ya se demostro´.
En la construccio´n de una permutacio´n la imagen i1 de 1 puede elegirse
de n formas, la de 2 puede tomarse dentro de los (n−1) elementos diferentes
de i1 y as´ı sucesivamente. En total resultan n(n− 1)× · · · × 3× 2× 1 = n!
permutaciones, de manera que Sn tiene orden n!
Definicio´n 2.5.3. El grupo Sn se denomina el grupo sime´trico de grado n.
Si consideramos el pol´ıgono regular de n lados, el conjunto formado por
todas las congruencias del pol´ıgono consigo mismo corresponde a las rota-
ciones y reflexiones alrededor de sus ve´rtices y estas a la luz de la definicio´n
anterior nos llevan al grupo diedro de orden n (nth dihedral group) Dn.
Tomando A = {1, 2, 3, 4, 5} y la permutacio´n,
τ =
(
1 2 3 4 5
2 3 4 5 1
)
.
Observe que
1τ = 2
2τ = 3
3τ = 4
4τ = 5
5τ = 1
de manera que se conserva una ordenacio´n circular como en la figura
2.5. GRUPOS DE PERMUTACIONES 77
�
�
�
�
�
1
2
34
5
Figura 2.16
Definicio´n 2.5.4. Sea A un conjunto finito y sea S = {a1, a2, . . . , ak} un
subconjunto de A (k ≥ 1). La permutacio´n φ en A tal que
a1φ = a2, a2φ = a3, . . . , akφ = a1,
y para todo x de A que no pertenezca a S, xφ = x se dice un ciclo de longitud
k y se nota usando la igualdad
φ = (a1 a2 a3 . . . ak−1 ak).
Se debe advertir que los elementos de un ciclo no necesariamente deben ser
escritos en orden ascendente. Para el ciclo τ del ejemplo anterior pueden
establecerse las siguientes identidades:
τ = (1 2 3 4 5)
= (2 3 4 5 1)
= (3 4 5 1 2)
= (4 5 1 2 3)
= (5 1 2 3 4).
Obviamente los ciclos se pueden multiplicar, pero el producto no necesaria-
mente es un ciclo. Por ejemplo,
(1 3)(2 4) =
(
1 2 3 4 5
3 4 1 2 5
)
.
Teorema 2.5.2. Toda permutacio´n puede escribirse como el producto de
ciclos sin elementos comunes.
78 CAPI´TULO 2. GRUPOS
Demostracio´n. No se pierde generalidad al suponer que A = {1, 2, 3, . . . , n}.
Conside´rese el ciclo φ y el conjunto {1, 1φ, 1φ2, 1φ3, 1φ4, . . . }. Como A es
finito la secuencia anterior no puede ser infinita, por tanto en un momento
dado debe haber repeticiones.
Sea 1φr el primer elemento que se repite ( r un natural), entonces 1φr = 1.
Si existiera s, 0 < s < r tal que 1φr = 1φs se tendr´ıa 1φr−s = 1, con (r−s) < r
contradiciendo la eleccio´n de r, por lo tanto la sucesio´n se reduce a,
{1, 1φ, 1φ2, 1φ3, . . . , 1φr−1}.
Sea
φ1 = (1 1φ 1φ
2 1φ3 · · · 1φr−1).
De acuerdo con la forma en que hemos obtenido φ1 se tiene que xφ = xφ1,
para todo x de la sucesio´n anterior.
Sea i el primer elemento de A que no aparece en el ciclo φ1. Repitiendo
el proceso se obtiene la secuencia
{i, iφ, iφ2, iφ3, . . . , iφs, . . .}
y a partir de ella el ciclo φ2.
Los ciclos encontrados deben ser disyuntos, si tuvieran un elemento j en
comu´n necesariamente φ1 = φ2 ya que cada uno de ellos podr´ıa ser construido
por repetidas aplicaciones de φ iniciando el proceso con j.
Continuando el proceso, se toma el primer elemento de A que no aparezca
ni en φ1 ni en φ2 y se construye el ciclo φ3 el cual debe ser disyunto con cada
uno de los dos anteriores. Como A es finito se debe terminar en un ciclo φm
disyunto con todos sus predecesores. El producto φ1φ2φ3 · · ·φm debe tener el
mismo efecto que φ para todos los elementos de A. Concluyendo,
φ = φ1φ2φ3 · · ·φm.
Se deja al estudiante verificar que este producto es u´nico, salvo el orden de
los factores.
Definicio´n 2.5.5. Un ciclo de longitud dos se dice una transposicio´n.
Sea (a1 a2 a3 · · ·ak) un ciclo de longitud k, se sugiere demostrar que,
(a1 a2 a3 · · · ak) = (a1 a2)(a1 a3)(a1 a4) · · · (a1 ak).
O sea, que todo ciclo es el producto de transposiciones.
De esta proposicio´n podemos derivar el siguiente,
2.5. GRUPOS DE PERMUTACIONES 79
Corolario. Cualquier permutacio´n de un conjunto finito de al menos dos
elementos es el producto de transposiciones.
Definicio´n 2.5.6. Sea A un conjunto finito y sea ρ una permutacio´n en A.
ρ se dice par si se puede expresar como el producto de un nu´mero par de
transposiciones. En caso contrario se dice impar.
Ejemplo 2.5.2. (
1 2 3 4 5
2 3 1 4 5
)
= (1 2)(1 3)
es un permutacio´n par porque es el producto de dos transposiciones, mientras
que (
1 2 3 4 5
2 3 5 4 1
)
= (1 2)(1 3)(1 5)
es una permutacio´n impar porque es el producto de tres transposiciones.
EJERCICIOS
1. ¿Cua´les de las siguientes funciones φ : R −→ R son transformaciones
de R?
a) xφ = x + a, con a un real fijo.
b) xφ = x2.
c) xφ = ex, e es la base de los logaritmos naturales.
d) xφ = x3 + 1.
2. Sea A = {1, 2, 3, . . . , 8}. En cada caso compute el producto de permu-
taciones indicado.
a)
(
1 2 3 4 5 6 7 8
4 1 2 5 3 7 6 8
)(
1 2 3 4 5 6 7 8
2 5 1 3 4 6 7 8
)
b)
(
1 2 3 4 5 6 7 8
4 3 2 1 5 6 7 8
)(
1 2 3 4 5 6 7 8
7 8 6 5 4 3 2 1
)
3. Sea A = {1, 2, 3, . . . , 9}. En cada caso compute el producto de ciclos
indicado.
80 CAPI´TULO 2. GRUPOS
a) (1 4 5)(7 8)(2 5 7).
b) (1 2 7)(3 4 1 5)(6 9).
c) (1 3 4 6)(4 8 7 9).
4. Sea A como en el ejercicio anterior. Exprese cada una de las siguientes
permutaciones como el producto de ciclos disyuntos y a continuacio´n
como el producto de transposiciones. Diga cua´les de las permutaciones
son pares y cua´les son impares.
a)
(
1 2 3 4 5 6 7 8 9
5 6 7 8 4 9 3 1 2
)
.
b)
(
1 2 3 4 5 6 7 8 9
7 8 9 6 2 5 4 3 1
)
.
c)
(
1 2 3 4 5 6 7 8 9
9 7 3 1 2 4 5 6 8
)
.
d)
(
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 3 2 5 4 7 9 8 6
)
.
5. Sea A un conjunto y sea φ ∈ Sn. Para un elemento fijo x de A, el
conjunto
{xφn | n ∈ Z}
se llama la o´rbita de x bajo φ }. Hallar la o´rbita de 2 bajo las siguientes
permutaciones.
a)
(
1 2 3 4 5 6 7 8 9
9 8 4 5 6 1 2 3 7
)
.
b)
(
1 2 3 4 5 6 7 8 9
7 8 6 9 1 3 2 4 5
)
.
6. Sean a, b elementos de A, demostrar que si la o´rbita de a bajo φ y la
o´rbita de b bajo φ tienen un elemento en comu´n, entonces son iguales.
7. Hallar la inversa de cada una de las siguientes permutaciones.
a)
(
1 2 3 4 5 6 7 8 9
6 5 4 3 2 1 9 8 7
)
.
b)
(
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 1 5 6 4 7 3 9 8
)
.
2.6. SUBGRUPOS 81
8. Sea A un conjunto finito. Demostrar que de las n! permutaciones de A,
la mitad son pares y la mitad impares.
9. Demostrar que el producto de ciclos es u´nico salvo el orden de los
factores.
10. Sea c = (a1 a2 a3 · · · ak) un ciclo de longitud k. Demostrar que
c = (a1 a2)(a1 a3) · · · (a1 ak).
11. Sean G un grupo, a ∈ G un elemento fijo. Demostrar que la regla
φa : G −→ G definida por la igualdad xφa = ax para todo x deG, es
una transformacio´n en G.
2.6. Subgrupos
A menudo se presentan grupos que esta´n contenidos en otros ma´s amplios,
as´ı el grupo aditivo de los enteros esta´ contenido en el grupo aditivo de los
racionales y este a su vez es una parte del grupo aditivo de los reales. Si m,
n son enteros, el elemento m + n es el mismo no importa si se opera en los
enteros o en los reales. Este hecho se expresa afirmando que la suma de los
reales esta´ bien definida para los enteros. En general para un grupo G y un
subconjunto S de G, si para toda pareja (a, b) de elementos de S el producto
ab computado en G es tambie´n un elemento de S, entonces la operacio´n de G
se dice cerrada en S. La operacio´n as´ı definida en S se denomina la operacio´n
de G restringida a S.
Definicio´n 2.6.1. Un subconjunto H de un grupo G se dice que es un sub-
grupo de G, si respecto a la operacio´n de G, H mismo es un grupo. Si H es
un subgrupo de G se nota H ≤ G.
Los grupos G y {e} se denominan los subgrupos impropios o triviales, los
dema´s se llaman subgrupos propios. La tabla
+ 0 2
0 0 2
2 2 0
Figura 2.17
82 CAPI´TULO 2. GRUPOS
define un subgrupo de 〈Z4,+〉, ma´s au´n es el u´nico subgrupo propio. El grupo
de Klein tiene tres subgrupos propios, esto es, {e, a}, {e, b}, {e, c}.
Las definiciones no son los mejores criterios para trabajar, por eso es
conveniente determinar algunos para decidir cua´ndo un subconjunto es un
subgrupo. Mientras encontramos otros daremos uno que parece el mejor para
iniciar.
Teorema 2.6.1. Un subconjunto no vac´ıo H del grupo G es un subgrupo
de G si y solo si
i) Si a, b son elementos de H , entonces ab ∈ H
ii)Si a ∈ H , entonces a−1 ∈ H .
Las condiciones (i) y (ii) se hubieran podido escribir: a+b ∈ H y (−a) ∈ H
pero se prefiere usar notacio´n de producto.
Demostracio´n. Si H ≤ G es obvio que (i) y (ii) se verifican. Supongamos
que H es un subconjunto de G para el cual se verifican (i) y (ii). Debemos
demostrar que la propiedad asociativa se verifica en H , pero esta condicio´n
necesariamente debe ser satisfecha en H por ser H un subconjunto de G y
este u´ltimo conjunto la satisface. Si a ∈ H segu´n la condicio´n (ii) a−1 ∈ H y
de acuerdo con (i) aa−1 = e ∈ H . La condicio´n (ii) implica que todo elemento
de H tiene su inverso en H . De modo que H es un grupo y por definicio´n un
subgrupo de G.
El teorema anterior establece como consecuencia que si H es un subcon-
junto finito no vac´ıo de G, cerrado para la operacio´n de G, entonces H es un
subgrupo de G. Lo que indica que para el caso de los grupos finitos podemos
prescindir de la condicio´n (ii).
Usando el teorema 2.6.1 se tiene que (i) es cierto por hipo´tesis. Escojamos
un elemento a de H , como H es cerrado, la coleccio´n infinita
{a, a2, a3, · · · , at, · · · }
debe estar contenida en H , pero como H es finito, en un momento determina-
do debe haber repeticiones, es decir para algunos enteros p, q con p > q > 0
ap = aq
entonces por la propiedad cancelativa
ap−q = e ∈ H.
2.6. SUBGRUPOS 83
Como p > q, p− q − 1 ≥ 0, entonces
ap−q−1 = ea−1 = a−1 ∈ H.
Concluimos que H es un subgrupo de G.
Ejemplo 2.6.1. Sean G grupo, a un elemento fijo de G, demostrar que
N [ a ] = {x ∈ G | xa = ax} = {x ∈ G | xax−1 = a}
es un subgrupo de G. N [ a ] se denomina el normalizador o centralizador de
a en G.
Solucio´n. Por hipo´tesis N [ a ] ⊆ G. Sean x, y elementos de N [ a ] entonces
por la definicio´n de N [ a ],
xa = ax
ya = ay.
Operando miembro a miembro las igualdades anteriores
(xa)(ya) = (ax)(ay).
Por hipo´tesis,
(ax)(ya) = (ax)(ay)
usando la propiedad asociativa,
a[x(ya)] = a[x(ay)].
Cancelando a izquierda,
x(ya) = x(ay).
Por la propiedad asociativa
(xy)a = (xa)y.
Usando la hipo´tesis
(xy)a = (ax)y
y nuevamente la propiedad asociativa,
(xy)a = a(xy).
84 CAPI´TULO 2. GRUPOS
Se concluye que el producto xy pertenece a N [ a ].
Sea x ∈ N [ a ]. Como ea = ae, x−1 ∈ G, reemplazando e por x−1x
(x−1x)a = a(x−1x).
Por la propiedad asociativa,
x−1(xa) = (ax−1)x.
Usando la hipo´tesis,
x−1(ax) = (ax−1)x.
Por la propiedad asociativa,
(x−1a)x = (ax−1)x.
Cancelando a derecha,
x−1a = ax−1.
Por consiguiente, x−1 ∈ N [ a ]. Esto es, N [ a ] es un subgrupo de G.
EJERCICIOS
1. Sean H1, H2 subgrupos de G. Demostrar que H1 ∩H2 es un subgrupo
de G. Generalice este resultado demostrando que la interseccio´n de una
coleccio´n de subgrupos de G, es tambie´n un subgrupo de G.
2. Demostrar: Si n ≥ 2, la coleccio´n de todas las permutaciones pares
de un conjunto finito A forman un subgrupo de Sn de orden n!
2
, este
subgrupo se denomina el grupo alternante An de grado n.
3. Hallar el grupo alternante A4.
4. Sean a un elemento fijo de A , Ta el conjunto de las transformaciones de
A que verifican la propiedad aφ = a. Demostrar que Ta es un subgrupo
de T (A).
5. Demostrar que la relacio´n ��ser subgrupo de�� es un orden parcial.
6. Mostrar con un ejemplo, que un subgrupo propio de un grupo no abe-
liano puede ser abeliano.
2.7. GRUPOS CI´CLICOS 85
7. Demostrar: Sea G un grupo. Un subconjunto H de G es un subgrupo
si y solo si ab−1 ∈ H , para todo a, b en H .
8. Si G es un grupo, el centro C de G esta´ definido por
C = {z ∈ G | zx = xz, ∀x ∈ G}.
Demostrar que C es un subgrupo de G.
9. Hallar todos los subgrupos del grupo sime´trico S3.
10. Sean G un grupo, a un elemento fijo de G, φa : G −→ G, definida por
xφa = ax. Demostrar que el conjunto
H = {φa | a ∈ G}
es un subgrupo de T (G).
11. Demuestre que si G es un grupo abeliano, entonces todos los x de G
que satisfacen la ecuacio´n x2 = e, forman un subgrupo de G.
2.7. Grupos C´ıclicos
Dados un grupo G y un elemento cualquiera a de G. El conjunto
H = {. . . , a−n, . . . , a−1, a0, a, a2, a3, . . . , an, . . . }
= {an | n ∈ Z}
esta´ totalmente contenido en G. Si r, s son dos enteros, ar y as pertenecen
a H , luego aras = ar+s tambie´n es un elemento de H ya que r + s es entero.
Adema´s a−r pertenece a H por ser r un entero.
Usando la conclusio´n del teorema 2.6.1 afirmamos que H es un subgrupo
de G.
Si S es un subgrupo de G que contiene el elemento a, como S es cerrado
debe contener todas las potencias enteras positivas de a. De igual forma a−1
pertenece a S indica que S tambie´n contiene todas las potencias negativas
de a. Adema´s aa−1 pertenece a S significa que a0 es un elemento de S.
Estas afirmaciones llevan a concluir que H es un subgrupo de S, habiendo
comprobado que
H = {an | n ∈ Z}
86 CAPI´TULO 2. GRUPOS
es el menor subgrupo de G que contiene al elemento a.
Puede suceder que H coincida con el grupo G, en cuyo caso se dice que
G es un grupo c´ıclico. Para aclarar la situacio´n damos las definiciones que
siguen.
Definicio´n 2.7.1. El grupo
H = {an | n ∈ Z}
es el subgrupo c´ıclico generado por a, y se nota (a).
Definicio´n 2.7.2. Se llama orden de un elemento a en un grupo G al menor
entero positivo m tal que am = e. Si ninguna potencia de a es igual a e, se
dice que a tiene orden infinito.
Definicio´n 2.7.3. Un elemento a de G se dice que genera al grupo G, si
(a) = G. En este caso a es un generador de G.
Definicio´n 2.7.4. Un grupo G se dice c´ıclico si existe a ∈ G tal que a es un
generador de G.
Es necesario aclarar que usando notacio´n aditiva el grupo H se representa
por
H = {na | n ∈ Z}.
Como ejemplos se puede mencionar que el grupo aditivo de los enteros es
c´ıclico y es generado por 1 y −1. El grupo aditivo Z4 es c´ıclico y sus genera-
dores son 1 y su inverso 3. El grupo de las simetr´ıas del tria´ngulo equila´tero
D3 no es c´ıclico, es fa´cil ver que ninguno de los grupos c´ıclicos generados por
cada uno de sus elementos es igual a D3. El grupo multiplicativo de los reales
diferentes de cero tampoco es c´ıclico. Si consideramos el grupo aditivo de los
enteros, el subgrupo c´ıclico generado por 2 consta de todos losmu´ltiplos de
dos tanto positivos como negativos, esto es,
(2) = {. . . ,−6,−4,−2, 0, 2, 4, 6, . . .}.
Si observamos el grupo de los reales diferentes de cero con el producto, el
subgrupo (2) contiene todas las potencias de 2 y sus respectivos inversos
multiplicativos, pero todos sus elementos son estrictamente mayores que cero.
(2) = {. . . , 1/16, 1/8, 1/4, 1/2, 1, 2, 4, 8, 16, . . .}.
2.7. GRUPOS CI´CLICOS 87
En los grupos,dependiendo de la notacio´n, las expresiones
(a−1)−n = an o − (−na) = na
indican que las potencias(mu´ltiplos) positivas(os) de un elemento a, coinciden
con las potencias(mu´ltiplos) negativas(os) de su inverso y viceversa. Adema´s
a0 = (a−1)0 = e o 0a = 0(−a) = e.
Razonamiento que permite afirmar que si a es un generador del grupo G, su
inverso tambie´n lo es. Dicho con otras palabras, un elemento y su inverso
generan el mismo grupo. Por otra parte si G es un grupo c´ıclico que posee
un solo generador a necesariamente, de acuerdo con la notacio´n,
a = a−1 o a = −a
y de aqu´ı se deduce que
a2 = e o 2a = e.
Pero G es c´ıclico entonces (si usamos notacio´n de producto) para todo x de
G, existe n, tal que x = an, donde n puede ser par o impar.
Si n = 2s,
x = a2s
= (e)s
= e.
Si n = 2s + 1,
x = a2s+1
y mediante un razonamiento ana´logo se llega a x = a.
En s´ıntesis, cualquier elemento de G obligatoriamente es a, o es e. Si
a = e, G = {e}. Si a �= e, G = {e, a}. Es decir G posee a lo ma´s dos
elementos. (Si se usa notacio´n de suma solo cambia la nomenclatura).
Hemos comprobado que un grupo c´ıclico con un solo generador posee a
lo ma´s dos elementos.
Sea G un grupo c´ıclico de orden infinito generado por a, si h, k son enteros
diferentes es correcto afirmar que ah �= ak. Suponga que ah = ak con h > k,
entonces h−k > 0 y ah−k = e. Sea m el menor entero positivo tal que am = e
88 CAPI´TULO 2. GRUPOS
y sea an un elemento de G, se pueden hallar entonces enteros q, r tales que
n = mq + r, con 0 < r < m, para los cuales
an = amq+r = (am)qar = eqar = ar.
Las anteriores igualdades indican que en un momento determinado se pro-
ducen repeticiones, indicando que G consta realmente de los elementos,
{a, a2, a3, . . . , am−1, am = e}
contradiciendo el supuesto de ser G de orden infinito, por tanto se concluye
que cero es el u´nico entero tal que a0 = e y por consiguiente ah−k �= e, de
donde se deduce que si h �= k, ah �= ak.
Si G es de orden finito, para algunos enteros h, k, ah = ak y siguiendo
un razonamiento similar, se concluye que existe un entero positivo mı´nimo
m tal que am = e y para ningu´n otro entero positivo t, at = e, salvo el caso
en que t sea un mu´ltiplo de m. En este caso G consta exclusivamente de los
elementos
{a, a2, a3, . . . , am−1, am = a0 = e}.
Se pueden ubicar los elementos de un grupo c´ıclico finito en una circunferen-
cia, como se aprecia en la gra´fica
�
�
�
�
�
a2
a1
a0 = e
am−1
a3
�
��
���
Figura 2.18
En un determinado punto se escribe a0 = e, se escoge una longitud como
unidad y a continuacio´n se escriben los restantes elementos de manera que
el elemento ah estara´ ubicado a h unidades de e en el sentido contrario a
las manecillas del reloj. Para operar ah y ak utilizando el diagrama, basta
tomar ah y sumar k unidades en el sentido contrario del reloj. Para ver que
elemento corresponde a esta operacio´n tome h + k = mq + r, como en el
2.7. GRUPOS CI´CLICOS 89
algoritmo de Euclides. Se ha dado entonces la vuelta a la circunferencia q
veces termina´ndose el recorrido en el punto ar. Note que lo que se ha efectuado
es la suma de h + k mo´dulo m, o sea,
h + k ≡ r mod m.
La relacio´n entre los grupos c´ıclicos y los abelianos se da en un solo sentido
porque todo grupo c´ıclico necesariamente es abeliano, pero el rec´ıproco no
es cierto. El grupo de Klein es un grupo conmutativo que no es c´ıclico. La
primera afirmacio´n se demuestra sin muchas complicaciones y es el
Ejemplo 2.7.1. Todo grupo c´ıclico es abeliano.
Solucio´n. Sea G un grupo c´ıclico generado por a, y sean g1, g2 elementos de
G entonces existen enteros r, s tales que
g1 = a
r, g2 = a
s
por consiguiente
g1g2 = a
ras
= ar+s
= as+r
= asar
= g2g1
de manera que G es conmutativo.
Teorema 2.7.1. Todo subgrupo de un grupo c´ıclico es c´ıclico.
Demostracio´n. Sean G un grupo c´ıclico generado por a, H un subgrupo de
G. Si H = (e) es c´ıclico. Si H �= (e) existe un entero positivo n tal que
an ∈ H.
Sea m el mı´nimo entero positivo tal que am ∈ H. Vamos a demostrar que
am es un generador de H . Para esto, sea b ∈ H . Como H es un subgrupo de
G, para algu´n entero k, b = ak. Por el algoritmo de la divisio´n existen enteros
q, r tales que k = mq + r, 0 < r < m, entonces,
b = ak = (am)qar.
90 CAPI´TULO 2. GRUPOS
Despejando,
ar = (am)−qak.
El te´rmino de la derecha de la anterior igualdad pertenece a H , luego ar ∈ H .
Pero m es el menor entero positivo tal que am ∈ H , entonces r = 0, por lo
tanto k = mq o sea,
b = ak = (am)q.
De manera que b es una potencia de am, lo cual implica que todo elemento
de H es una potencia de am, de donde se deduce que am es un generador de
H , y consecuentemente H es c´ıclico.
Teorema 2.7.2. Si G es un grupo de orden n generado por a y b es un
elemento de G tal que b = as, entonces b genera un subgrupo H de orden
n/d, donde d es el ma´ximo comu´n divisor entre n y s. Es ma´s, todos los
elementos de la forma ar, donde r es primo relativo con n, son generadores
de G.
Demostracio´n. Sean G = (a) un grupo c´ıclico de orden n, b = as, entonces
H = {bn | n ∈ Z} se comprobo´ que es el menor subgrupo de G que contiene
a b. Sea b = as, como G es finito, existe un entero positivo m tal que bm = e,
entonces
(as)m = ams = e
y esta igualdad equivale a decir que ms es un mu´ltiplo de n, luego n|ms. Pero
¿cua´l es el menor valor de m para el cual n|ms? Sea d = (n, s), entonces d es
el mayor entero positivo tal que d|s y d|n. Ahora n = d(n/d) significa que el
factor d de n divide al factor s de (n/d)s, luego n|(n/d)s. Pero para todo t, si
t|n y t|s necesariamente t < d, por tanto se obtiene la desigualdad n/d < n/t
y por consiguiente, n/d es el menor entero positivo tal que n|(n/d)s. Sea
m = n/d, entonces n|ms luego
ams = e
= asm
= (as)m
= bm.
Por el razonamiento hecho para los grupos c´ıclicos finitos concluimos que
H = (b) tiene m elementos, lo que en nuestro caso significa que H tiene
orden n/d.
2.7. GRUPOS CI´CLICOS 91
Nota. ¿Que´ sucede si s = 1 o si s = n?
Si (n, r) = 1, de acuerdo con la primera parte ar genera un subgrupo de
orden n/d, pero
n/d = n/1
= n
= |H |
= |G |,
lo que significa que H = G. Concluimos que ar es un generador de G.
Ejemplo 2.7.2. Hallar todos los subgrupos de 〈Z15,+〉.
Solucio´n. Por el teorema 2.7.2 los generadores de Z15 son 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14.
Comencemos con 3. Como 3 = 13 y (15, 3) = 3. El elemento 3 genera un
subgrupo de orden 15/3 = 5,
(3) = {0, 3, 6, 9, 12}.
Pero todos los elementos de la forma 3h donde 5 es primo relativo con h
generan este subgrupo. Por otra parte las igualdades
6 = 32 y (5, 2) = 1,
9 = 33 y (5, 3) = 1,
12 = 34 y (5, 4) = 1
indican que
(3) = (6) = (9) = (12).
Debido a que (15, 5) = 5, y 15/5 = 3, el elemento 5 genera un subgrupo de
orden 3, esto es
(5) = {0, 5, 10}.
Pero 10 = 52 y (3, 5) = 1, entonces
(5) = (10)
Finalmente
(0) = {0}.
92 CAPI´TULO 2. GRUPOS
En total se tienen los subgrupos
Z15 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}
(3) = {0, 3, 6, 9, 12}
(5) = {0, 5, 10}
(0) = {0}.
Ejemplo 2.7.3. Demostrar que si p es primo, entonces Zp no tiene subgrupos
propios.
Solucio´n. Sea p un primo. Suponga que existe un subgrupo propio H de Zp,
entonces H debe ser c´ıclico y por tanto existe b un generador de H . Dado
que b ∈ G, existe s tal queb = 1s. Pero H debe tener orden p/d, donde
d = (p, s). Por el hecho de ser p primo, d = 1, o d = p. Si ocurre el primer
caso, p/d = p, lo que indica que H debe poseer p elementos y en consecuencia
H = G. Si ocurre el segundo caso, p/d = 1 y en estas circunstancias H debe
tener orden 1, concluye´ndose que H = (0). En ambos casos H es un subgrupo
trivial contradiciendo la hipo´tesis de donde se infiere que p no tiene subgrupos
propios.
EJERCICIOS
1. Demostrar que todo ciclo de longitud k tiene orden k, esto es,
(a1 a2 a3 · · ·ak)k = I, donde I es la permutacio´n ide´ntica.
2. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Hallar el orden de la permutacio´n,(
1 2 3 4 5 6 7 8 9
6 4 7 9 8 2 5 1 3
)
.
3. Se puede definir el orden de un elemento a de un grupo como el orden del
grupo c´ıclico generado por a. Basa´ndose en esta definicio´n demostrar
a) Sea a un elemento del grupo G, sea n el menor entero positivo tal
que an = e. Si k es un entero, ak = e si y solo si k ≡ 0 mod n. En
un sentido ma´s general, si i, j son enteros entonces ai = aj si y
solo si i ≡ j mod n.
2.7. GRUPOS CI´CLICOS 93
b) Un elemento a del grupo G tiene orden n si y solo si n es el menor
entero positivo tal que an = e. Si no existe tal entero se dice que
a tiene orden infinito.
4. Demuestre que el grupo multiplicativo Z∗p es c´ıclico, si p es primo. Ve-
rificar este hecho para p = 7, 11, 13.
5. Hallar todos los subgrupos del grupo aditivo Z20.
6. Demostrar que para cada par de elementos a, b del grupo G, ab y ba
tienen el mismo orden.
7. Sea G un grupo abeliano. Demostrar que si a tiene orden k y b tiene
orden j, y si k, j son primos relativos, entonces ab tiene orden kj.
Sugerencia. Si (ab)t = e, elevando ambos miembros a la potencia k se
concluye que t debe ser divisible por j. Similarmente demuestre que t
debe ser divisible por k.
8. Hallar los subgrupos c´ıclicos (ρ0), (ρ2), (μ1) de D3.
9. Construir la tabla del grupo c´ıclico de S5 generado por(
1 2 3 4 5
2 4 5 1 3
)
.
10. Hallar el orden de cada uno de los grupos c´ıclicos siguientes
a) El subgrupo c´ıclico del grupo aditivo Z30 generado por 25.
b) El subgrupo c´ıclico del grupo aditivo Z42 generado por 30.
11. Demostrar que cualquier grupo abeliano de orden 6 debe ser c´ıclico.
12. ¿Cua´ntos generadores tiene un grupo c´ıclico de orden 6? Demue´strelo.
13. Sea G un grupo abeliano finito tal que el nu´mero de soluciones de
la ecuacio´n xn = e es cuando ma´s n, para todo entero positivo n.
Demuestre que G debe ser c´ıclico.
14. Si en el grupo G a5 = e y aba−1 = b2, para los elementos a, b de G,
halle el orden de b.
94 CAPI´TULO 2. GRUPOS
15. Decir cua´les de los siguientes grupos son c´ıclicos. En los casos afirma-
tivos decir cua´les son los generadores de cada uno de ellos.
a) El grupo aditivo Z.
b) El grupo aditivo 6Z.
c) El grupo aditivo de los racionales.
d) El grupo aditivo {a + b√2}.
e) El grupo multiplicativo {6n|n ∈ Z}.
16. Demostrar que todo grupo c´ıclico es abeliano.
2.8. Aplicaciones geome´tricas
En 1872 Felik Klein dentro del Erlanger Programm, con motivo de su ingreso
a la ca´tedra de matema´tica de la Universidad de Erlanger, dio una definicio´n
de geometr´ıa, la cual si bien es cierto que no es lo suficientemente completa
desde el punto de vista moderno; nos da una idea de la relacio´n estrecha entre
el a´lgebra moderna y esta rama de la matema´tica. Para Klein una geome-
tr´ıa es el estudio de aquellas propiedades de un espacio E que permanecen
invariantes bajo algu´n subgrupo fijo del grupo de las transformaciones de E.
Terminamos este cap´ıtulo con en ana´lisis somero de algunos grupos que
aparecen con mucha frecuencia en el estudio de la geometr´ıa como son las
traslaciones, reflexiones, homotecias.
Definicio´n 2.8.1. Sea E un conjunto dotado de una distancia d. Una trans-
formacio´n φ de E se dice una isometr´ıa si d(x, y) = d(xφ, yφ), esto es, si φ
preserva las distancias.
Es claro que el conjunto de las isometr´ıas es un subgrupo del grupo de las
transformaciones de E. El estudio de la l´ınea, el plano, el espacio tridimensio-
nal es el ana´lisis de aquellas propiedades que permanecen invariantes bajo el
grupo de las isometr´ıas. Podemos hablar en geometr´ıa euclidiana de longitud
de un segmento, medida de un a´ngulo, nu´mero de lados de un pol´ıgono por-
que estas nociones permanecen invariantes bajo las isometr´ıas. Describamos
algunas isometr´ıas del plano euclidiano.
Una traslacio´n del plano es una transformacio´n que mueve cada punto una
distancia fija en una direccio´n igualmente fija, por ejemplo una traslacio´n φab
mueve el punto (x, y) a (x + a, y + b).
2.8. APLICACIONES GEOME´TRICAS 95
Una reflexio´n en el plano es una funcio´n μ que env´ıa en s´ı mismo cada
punto de una recta fija L y cada punto que no pertenece a L es enviado en
otro punto xμ en tal forma que L es el bisector perpendicular del segmento
de extremos x, xμ . Como se aprecia en la figura, L actu´a como un espejo.
�ff
�
�
xμ
x
L
Figura 2.19
Con las explicaciones anteriores creemos que el estudiante podra´ comprender
la razo´n del ana´lisis del grupo S3 mediante el uso de un tria´ngulo equila´tero,
lo que condujo al grupo D3. Una de las razones de haber dividido la tabla
en cuatro regiones significa que se puede construir una nueva, mirada desde
el enfoque geome´trico. Si al conjunto {ρ0, ρ1, ρ2} lo denominamos ρrot y al
conjunto {μ1, μ2, μ3} se nombra μref es correcto escribir,
∗ ρrot μref
ρrot ρrot μref
μref μref ρrot
Figura 2.20
Geome´tricamente significa que el producto de dos rotaciones es una rotacio´n,
el producto de una rotacio´n por una reflexio´n es una reflexio´n, el producto de
una reflexio´n por una rotacio´n es una reflexio´n y el producto de dos reflexiones
es una rotacio´n. Observe co´mo de un grupo no conmutativo se obtuvo uno
conmutativo. Se podr´ıa pensar que el grupo de las permutaciones en un
conjunto de cuatro elementos, S4 pudiera ser obtenido a partir del grupo
de las simetr´ıas del cuadrado D4. Veremos que esto no es posible, primero
porque S4 posee 24 elementos y D4 unicamente 8 y segundo porque en S4
no se preservan las distancias bajo la funcio´n φ. Por ejemplo el segmento
14 tiene menor longitud que el segmento 13 como se observa en la siguiente
figura.
96 CAPI´TULO 2. GRUPOS
�
�
3
1
4
2
Figura 2.21
La permutacio´n (
1 2 3 4
1 2 4 3
)
no es una isometr´ıa del cuadrado, si lo fuera, se tuviera
d(1, 3) = d(1φ, 3φ) = d(1, 4)
lo que indica que la longitud del segmento 13 ser´ıa igual a la longitud del
segmento 14, contradiciendo el teorema de Pita´goras. Note que Dn coincide
con Sn solo para cuando n = 3.
Si en el plano R× R consideramos que no existen paralelas, esto es, que
todas las rectas se intersectan en un punto y si suponemos que las paralelas
definidas por Euclides son rectas que se intersectan en un punto en el infinito y
denominamos a tales puntos, puntos ideales y llamamos recta ideal a la recta
que pasa por todos los puntos ideales, hemos construido el plano proyectivo.
La geometr´ıa proyectiva estudia cierto tipo de proyecciones que env´ıan l´ıneas
en l´ıneas, cuadrila´teros en cuadrila´teros pero que no preservan las distancias,
el conjunto de tales proyecciones es el grupo proyectivo.
Si para un espacio dado, tenemos precisa la idea de cua´ndo dos puntos
esta´n lo suficientemente cerca para hablar de una transformacio´n continua,
tal espacio se denomina un espacio topolo´gico, entonces se puede definir
Topolog´ıa como el estudio de aquellas propiedades de los espacios que son
invariantes bajo el grupo de las transformaciones continuas cuyas inversas
tambie´n son continuas. Desde el punto de vista euclidiano la l´ınea, el plano,
R3 son espacios topolo´gicos.
Examinemos la funcio´n Seno definida en los reales. Es bien conocido que
para cualquier entero n, sen x = sen(x + 2nπ), esto significaque la funcio´n
Seno es invariante bajo una transformacio´n de su dominio por un elemento
del grupo c´ıclico (2π). Las funciones de una variable real que permanecen
2.8. APLICACIONES GEOME´TRICAS 97
invariantes bajo una transformacio´n de su dominio por un elemento de un
grupo c´ıclico infinito se les llama funciones perio´dicas.
Como estamos interesados en las propiedades de los conjuntos antes des-
critos solo desde el punto de vista de los grupos, analicemos los siguientes
ejemplos.
Ejemplo 2.8.1. Sea G = {φm : R −→ R, m un real diferente de cero}, φm
definida mediante la fo´rmula xφm = mx. Demostrar que G es un subgrupo del
grupo de las transformaciones de los reales, T (R). Se conoce como el grupo
de las homotecias de la recta.
Solucio´n. Es fa´cil demostrar usando los me´todos del Ca´lculo que φm as´ı de-
finido es una biyeccio´n. Sean a, b reales diferentes de cero, entonces ab ∈ R y
adema´s φa, φb, φab pertenecen a G. Por hipo´tesis, para todo x de R,
xφa = ax, xφb = bx
x(φaφb) = (xφa)φb
= (ax)φb
= b(ax)
= (ab)x
= xφab
con lo que se demuestra que φaφb = φab ya que ambas tienen por dominio R.
Debido a que a es un real diferente de cero, existe su inverso 1/a, por tanto
φ1/a existe en G y esta´ definida por xφ1/a = (1/a)x. Quedando demostrado
que G es un subgrupo de T (R).
Ejemplo 2.8.2. Sean x1, x2 reales. Se denomina segmento de extremos x1,
x2 al conjunto
Sg(x1, x2) = {z | z = tx1 + (1− t)x2, t ∈ [0, 1]}.
Demuestre que la imagen de un segmento es un segmento si se considera la
traslacio´n φa dada por xφa = x + a.
Solucio´n.
Sg[(x1, x2)]φa = [tx1 + (1− t)x2]φa
= [tx1 + (1−)tx2] + a.
98 CAPI´TULO 2. GRUPOS
Por otra parte,
Sg(x1 + a, x2 + a) = t(x1 + a) + (1− t)(x2 + a)
= [tx1 + (1− t)x2] + a.
El u´ltimo te´rmino se obtiene despue´s de realizar operaciones con reales. Con-
cluyendo,
Sg[(x1, x2)]φa = Sg(x1 + a, x2 + a)
es decir la imagen de un segmento es un segmento.
EJERCICIOS
1. Demostrar que cada uno de los siguientes conjuntos son subgrupos del
grupo de las transformaciones de los reales T(R).
a) G = { φa : R −→ R | xφa = x + a }. G se conoce como el grupo
de las traslaciones de la recta.
b) G = { φab : R −→ R a, b en R a �= 0 | xφab = ax + b }. G es el
grupo de las transformaciones afines de la recta. ¿Que´ sucede si
b = 0. Si a = 1 y b �= 0?
c) G = {φabcd : R −→ R a, b, c, d en R ad − bc �= 0 | φabcd = ax+bcx+d }.
G se denomina el grupo proyectivo.
2. De acuerdo con el ejercicio (1.b). Sea H = { φab ∈ G | a ∈ Q }, Q es
el conjunto de los racionales. Demostrar que H es un subgrupo de G.
3. Con relacio´n a la definicio´n de segmento, demuestre que la imagen de
un segmento es un segmento si se considera la transformacio´n af´ın φab
dada en el ejercicio (1.b).
4. Demuestre que cada uno de los conjuntos dados es un subgrupo del
grupo de las transformaciones T (R2).
a) G ={ φab : R2 −→ R2 | (x, y)φab = (x + a, y + b) }. G es el grupo
de las traslaciones del plano.
b) G ={ φk : R2 −→ R2 | (x, y)φk = (kx, ky), k ∈ R∗ } G es el grupo
de las homotecias del plano.
2.8. APLICACIONES GEOME´TRICAS 99
c) G = {φ : R2 −→ R2 }. Donde φ esta´ definido por la igualdad
(x, y)φ = (x cosα + y senα , y cosα− x senα).
G es el grupo de las rotaciones del plano.
d) G = {φab : R2 −→ R2}. Donde φab esta´ definido por la igualdad
(x, y)φab = (x cosα + y senα + a , y cosα− x senα + b).
G es el grupo de los movimientos r´ıgidos del plano.
Cap´ıtulo 3
SUBGRUPOS NORMALES
HOMOMORFISMOS E
ISOMORFISMOS
3.1. Grupos con operadores externos
El objetivo principal es presentar los subgrupos normales a trave´s de un tipo
especial de biyecciones denominadas automorfismos internos, los cuales son la
ge´nesis de la definicio´n tradicional de los mencionados subgrupos. Para lograr
este propo´sito es indispensable dotar al grupo G de una nueva operacio´n
denominada ley de composicio´n externa, esto es, una funcio´n definida en
el producto cartesiano Δ × G −→ G, donde Δ es un conjunto no vac´ıo.
Operacio´n que abrira´ las puertas a una variedad de conclusiones de capital
intere´s.
Definicio´n 3.1.1. Sea E un conjunto no vac´ıo, Δ �= ∅ un conjunto cual-
quiera. Una ley de composicio´n externa por la izquierda es una funcio´n
Δ × E −→ E que asocia con cada pareja ordenada del producto Δ × E,
un u´nico elemento de E. El elemento asociado con la pareja (α, x) se nota
αx.
El conjunto Δ se denomina un dominio de operadores por la izquierda.
De igual manera se define un dominio de operadores por la derecha.
Definicio´n 3.1.2. Un grupo G provisto de un dominio de operadores y de
una ley de composicio´n externa por la izquierda (o por la derecha) se dice un
101
102 CAPI´TULO 3. SUBGRUPOS NORMALES–ISOMORFISMOS
grupo con operadores.
Los operadores adema´s pueden poseer la propiedad distributiva dada por
la siguiente definicio´n.
Definicio´n 3.1.3. Un operador α ∈ Δ se dice distributivo si para cada par
de elementos a, b de G,
α(ab) = (αa)(αb)
donde las expresiones (ab) y (αa)(αb) representan la operacio´n interna de
G mientras que α(ab), αa, αb indican la operacio´n externa por la izquierda
mencionada anteriormente.
El dominio de operadores Δ se dice distributivo si todo operador α ∈ Δ
es distributivo.
Definicio´n 3.1.4. Un grupo provisto de un dominio de operadores distribu-
tivo se denomina un Δ–grupo.
Hasta el momento no se ha dicho cua´ntas otras propiedades debe satisfa-
cer el dominio de operadores, sin embargo veamos que todo grupo abeliano
se puede convertir en un Δ–grupo. Para el efecto tomemos el grupo (G, +).
Sea Δ = Z, para n ∈ Z y a ∈ G, en el cap´ıtulo anterior se definio´
na = a + a + a + · · ·+ a︸ ︷︷ ︸
n veces
indicando que a se ha operado n veces. Como G es abeliano,
n(a + b) = na + nb.
Se puede decir que todo grupo abeliano es un Z–grupo. Para el caso especial
de los enteros volveremos sobre este concepto cuando estudiemos los anillos.
Los espacios vectoriales son otro ejemplo de grupos con operadores. Si el
dominio de operadores son los reales, todo espacio vectorial V es un R–grupo.
La definicio´n que sigue es puerta de entrada al reino de los subgrupos
normales.
Definicio´n 3.1.5. Sean E, E ′ dos conjuntos dotados cada uno de una ley
de composicio´n interna y de una ley de composicio´n externa definida por
medio del mismo dominio de operadores. Una funcio´n φ : E −→ E ′ es un
homomorfismo de E en E ′ si,
3.1. GRUPOS CON OPERADORES EXTERNOS 103
i) Para cada par de elementos x, y de E,
(xy)φ = (xφ)(yφ).
ii) Para todo x de E y para todo α en Δ,
(αx)φ = α(xφ).
El conjunto de los homomorfismos de E en E ′ se designa Hom(E, E ′ ). Un
homomorfismo de E en s´ı mismo se denomina un endomorfismo.
Sea φ : E −→ E ′ una biyeccio´n. Si φ es un homomorfismo la biyeccio´n
rec´ıproca φ−1 tambie´n lo es. La demostracio´n no es dif´ıcil y se deja a los
interesados. Un homomorfismo biyectivo se dice un isomorfismo, φ−1 se llama
entonces el isomorfismo rec´ıproco de φ. Un isomorfismo de E sobre s´ı mismo
se dice un automorfismo.
Definicio´n 3.1.6. Si a y b son elementos de G se dice que b es un conjugado
de a en G si existe g ∈ G tal que b = gag−1.
Un automorfismo interno φ se obtiene escogiendo un elemento cualquiera
del grupo, por ejemplo, g y mantenie´ndolo fijo se halla la imagen de cada x
de G por conjugacio´n con g, esto es, para todo x ∈ G, xφ = gxg−1.
Si G tiene n elementos existen n posibles automorfismos internos, uno
por cada elemento de G pero algunos pueden coincidir. Para el grupo de las
simetr´ıas del tria´ngulo equila´tero la conjugacio´n por ρ1, teniendo presente
que (ρ1)
−1 = ρ2, resulta:
ρ0φ = ρ1ρ0(ρ1)
−1 = ρ1ρ0ρ2 = ρ0
ρ1φ = ρ1ρ1(ρ1)
−1 = ρ1ρ1ρ2 = ρ1
ρ2φ = ρ1ρ2(ρ1)
−1 = ρ1ρ2ρ2 = ρ2
μ1φ = ρ1μ1(ρ1)
−1 = ρ1μ1ρ2 = μ3
μ2φ = ρ1μ2(ρ1)
−1 = ρ1μ2ρ2 = μ1
μ3φ = ρ1μ3(ρ1)
−1 = ρ1μ3ρ2 = μ2.
Figura 3.1
Este grupo posee seis automorfismosinternos todos diferentes, en cambio D4
solo posee cuatro.
104 CAPI´TULO 3. SUBGRUPOS NORMALES–ISOMORFISMOS
Conside´rense los homomorfismos φ de E en E ′, ϕ de E ′ en E ′′. La funcio´n
compuesta φϕ de E en E ′′ es tambie´n un homomorfismo, en efecto,
(xy)φϕ = [(xy)φ]ϕ
= [(xφ)(yφ)]ϕ
= [(xφ)ϕ][(yφ)ϕ]
= [x(φϕ)][y(φϕ)].
Adema´s,
(αx)φϕ = [(αx)φ]ϕ
= [α(xφ)]ϕ
= α[(xφ)ϕ]
= α[x(φϕ)].
Las mismas caracter´ısticas presentan los isomorfismos, los automorfismos y
dema´s aplicaciones similares.
Sea ΔE = {φ : G −→ G } el conjunto de los endomorfismos de G, y defi-
namos una ley de composicio´n externa, ΔE ×G −→ G mediante la siguiente
fo´rmula, φx = xφ , esto es, el producto de φ por x (descrito a la izquierda)
es igual a la imagen de x mediante la aplicacio´n φ. Entonces,
φ(xy) = (xy)φ
= (xφ)(yφ)
= (φx)(φy).
Con el anterior razonamiento se demostro´ que φ es distributivo. No olvide
que φx es el producto de φ por x, mientras que xφ es la imagen de x bajo la
aplicacio´n φ.
Sea G un grupo, ΔE = End(G) el conjunto de los endomorfismos de G.
G con la operacio´n externa antes definida es un Δ–grupo. Igual cosa sucede
si consideramos ΔA = Aut(G), el conjunto de los automorfismos de G.
Conside´rese un elemento fijo g del grupo G y sea φ el automorfismo de G
en G por conjugacio´n, esto es, para todo x de G, xφ = gxg−1.
Supongamos que xφ = yφ, entonces gxg−1 = gyg−1 y por la ley cancela-
tiva se concluye que x = y, lo que indica que φ es uno a uno.
3.1. GRUPOS CON OPERADORES EXTERNOS 105
Por otra parte, para todo y de G, g−1yg ∈ G. Sea entonces x = g−1yg,
luego
xφ = (g−1yg)φ
= g(g−1yg)g−1
= y.
Demostra´ndose que φ es sobre y por tanto una biyeccio´n.
Adema´s, para todo x, y de G
(xφ)(yφ) = (gxg−1)(gyg−1)
= g(xy)g−1
= (xy)φ.
En definitiva se observa que φ es distributivo. Esta aplicacio´n se denomina
el automorfismo interno asociado a g. Como el razonamiento es va´lido para
todo g de G, to´mese el dominio de operadores ΔI = Int(G) el conjunto de
todos los automorfismos internos de G. El grupo G con la operacio´n externa
definida en los ejemplos anteriores es un Δ–grupo.
Si se considera en especial el automorfismo interno asociado con el ele-
mento de identidad notado por conveniencia i, para todo x ∈ G se observa
que
xi = exe−1
= x
esto es, i es el automorfismo ide´ntico. Si Δi = { i }, definiendo la opera-
cio´n externa como en los ejemplos anteriores, se ha encontrado la forma ma´s
econo´mica de transformar cualquier grupo en un Δ–grupo. Un caso especial
lo constituyen los grupos abelianos donde la conmutatividad de la opera-
cio´n convierte a todo automorfismo interno por conjugacio´n en la biyeccio´n
ide´ntica.
EJERCICIOS
1. Sea φ : E −→ E ′ una biyeccio´n. Si φ es un homomorfismo, demostrar
que φ−1 tambie´n lo es.
106 CAPI´TULO 3. SUBGRUPOS NORMALES–ISOMORFISMOS
2. Defina el concepto de Δ–homomorfismo de un Δ–grupoG en un Δ–grupo G′.
Demostrar que el nu´cleo es un Δ–subgrupo de G.
3. Sean V = { x1, x2, x3, . . . , xn | xi ∈ R } el conjunto de los vectores fila
con entradas reales, Δ = R. Demuestre que el grupo aditivo V es un
Δ–grupo para el producto por escalares.
4. Sea Δ = { ϕ: V −→ V | ϕ es una transformacio´n lineal en V}, V un
espacio vectorial. Demostrar que el grupo aditivo V es un Δ–grupo.
3.2. Producto de las partes de G
Sea G un grupo, P(G) el conjunto de las partes de G. Se puede definir una
operacio´n en P(G) inducida por la ley de composicio´n interna de G en la
siguiente forma.
Si A ⊆ G, B ⊆ G son dos conjuntos no vac´ıos se conviene en definir el
producto de A por B mediante la igualdad,
AB = {x | x = ab, a ∈ A, b ∈ B}.
Si alguno de los conjuntos es vac´ıo, AB = ∅. Puede suceder, por ejemplo, que
A = {a}, a ∈ G, en este caso el producto se escribe aB para simplificar la no-
tacio´n. La asociatividad de este producto es consecuencia de la asociatividad
de la operacio´n de G.
Si A ⊆ G se designa por A− al conjunto de los inversos de los elementos
de A, esto es,
A− = {a−1 ∈ G | a ∈ A}.
No se piense que A− es el inverso de A con respecto al conjunto E = {e}. Lo
u´nico que se puede decir es que E ⊆ AA−.
Si x ∈ AB existen a en A, b en B tales que x = ab. Tomando inversos se
escribe x−1 = b−1a−1 ∈ B−A−, de aqu´ı se concluye que,
(AB)− = {x−1 ∈ G | x ∈ AB}
= {b−1a−1 ∈ G | b−1 ∈ B−, a−1 ∈ A−}
= B−A−.
Ahora estamos preparados para demostrar el
3.2. PRODUCTO DE LAS PARTES DE G 107
Teorema 3.2.1. Sea H �= ∅ un subconjunto del grupo G. H es un subgrupo
de G si y solo si H2 ⊆ H , H− ⊆ H , donde H2 = HH .
Demostracio´n. Sea xy ∈ H2, entonces x, y pertenecen a H , pero al ser H
estable para la operacio´n de G, xy ∈ H , luego H2 ⊆ H .
Adema´s, si x ∈ H−, x−1 ∈ H , como H es un grupo, x ∈ H , de donde se
deduce que H− ⊆ H .
Rec´ıprocamente, suponga que H2 ⊆ H , H− ⊆ H . Si xy ∈ H2, por hipo´te-
sis xy ∈ H indicando que H es estable. Por otra parte, si x ∈ H , x−1 ∈ H−
y por hipo´tesis x−1 ∈ H . De las dos afirmaciones anteriores se deduce que H
es un subgrupo de G.
Es fa´cil verificar que se cumple la propiedad de isoton´ıa para el producto,
esto es, si A ⊆ A′, entonces AB ⊆ A′B y BA ⊆ BA′. Con esta propiedad
y suponiendo que H2 ⊆ H y H− ⊆ H se deduce que H2 = H y H− = H .
En efecto, como H es un grupo e ∈ H , entonces E ⊆ H y por la propiedad
de isoton´ıa, EH ⊆ H2, pero EH = H , luego H ⊆ H2. Adema´s H = (H−)−
que es un subconjunto de H−, por consiguiente H ⊆ H−.
Se puede en consecuencia redactar el teorema 3.2.1 en la siguiente forma:
Si H es un subconjunto del grupo G, H es un subgrupo de G si y solo si
H2 = H = H−.
Sea H un subgrupo de G, K ⊆ H , entonces KH ⊆ H2 = H , o sea
KH ⊆ H . Rec´ıprocamente, si k ∈ K, entonces como H es estable, para todo
h ∈ H , kh ∈ H , por consiguiente todo elemento de H se puede expresar como
el producto de k por algu´n elemento de H . En otras palabras, si k ∈ K, para
todo h de H existe x en H tal que h = kx, luego H ⊆ KH .
En resumen: Para todo H � G y para todo K ⊆ H, KH = H = HK.
En particular, para todo h de H, hH = Hh = H .
EJERCICIOS
1. Demostrar la propiedad de isoton´ıa: Si A ⊆ A′, entonces AB ⊆ A′B y
BA ⊆ BA′.
2. Sean H , K dos subgrupos de G. Demostrar que HK es un subgrupo
de G si y so´lo si HK = KH .
3. Usando el ejercicio anterior, demuestre que si H , K son subgrupos de
un grupo abeliano G, entonces HK es un subgrupo de G.
108 CAPI´TULO 3. SUBGRUPOS NORMALES–ISOMORFISMOS
3.3. Δ–Subgrupos
Dado un Δ–grupo G, surge la inquietud de encontrar algu´n subconjunto H
de G, para poder pensar en la existencia de los Δ–subgrupos. Este problema
efectivamente tiene solucio´n y esta se puede plantear a partir de los sub-
grupos de G. La siguiente tarea es garantizar que el dominio de operadores
distributivo de G lo es tambie´n para H . Ahora la idea surge de una manera
natural con las definiciones que siguen.
Definicio´n 3.3.1. Dado X un subconjunto del Δ–grupo G, aceptamos en
definir el producto externo de Δ por X, por la fo´rmula
ΔX = {αx, α ∈ Δ, x ∈ X}.
Definicio´n 3.3.2. Sea H un subgrupo de G. H es un Δ–subgrupo del Δ–grupo
G, si y solo si ΔH ⊆ H.
Ejemplo 3.3.1. Los subgrupos triviales son Δ–subgrupos de G.
Si ΔE = End(G), los Δ–subgrupos se llaman subgrupos completamente
invariantes de G.
Si ΔA = Aut(G), los Δ–subgrupos reciben el nombre de subgrupos carac-
ter´ısticos.
Si Δi = Int(G), los Δ–subgrupos se denominan subgrupos normales.
3.4. Clases laterales
La nocio´n de clase lateral es de vital importancia en la teor´ıa de los grupos.
Nos proporciona la forma de dividirlos (partirlos) en subconjuntos con algu-
nas caracter´ısticas especiales. Para los grupos abelianos, por ejemplo, estas
clases conducen a conclusiones realmente extraordinarias. Al mencionar la
idea de dividir en subconjuntos se esta´ pensando en describir una relacio´n de
equivalencia que permita encontrar una particio´n para el grupoG, por esta
razo´n iniciamos con la descripcio´n de algunas relaciones fundamentales.
Definicio´n 3.4.1. Una relacio´n R definida en un conjunto E �= ∅, se dice
regular por la izquierda si aRb, implica xaRxb, para todo x ∈ E.
Es regular por la derecha si aRb implica axRbx, para todo x ∈ E.
Es regular si lo es a izquierda y a derecha.
Es l´ıcita para la ley de composicio´n externa, si aRb, entonces αaRαb,
para todo α ∈ Δ.
3.4. CLASES LATERALES 109
Definicio´n 3.4.2. Una relacio´n de equivalencia R l´ıcita para el dominio de
operadores Δ se llama una Δ–equivalencia.
Una relacio´n de equivalencia R regular y l´ıcita para el dominio de opera-
dores Δ es una congruencia.
Si R es una relacio´n de equivalencia definida en E �= ∅, la clase de equi-
valencia de un elemento x ∈ E notada [ x ], es el conjunto de todos los y de
E tales que xRy.
[ x ] = { y ∈ E | xRy }.
El conjunto de todas las clases de equivalencia es lo que se conoce como el
espacio cociente de E sobre R, y viene dado por la igualdad
E/R = { [ x ] | x ∈ E }.
Definicio´n 3.4.3. Sea Ei una familia de subconjuntos de E tales que,
1. ∀i, Ei �= ∅.
2. Ei ∩ Ej = ∅, si i �= j.
3. ∪Ei = E.
La familia Ei se llama una particio´n de E.
El teorema fundamental de las relaciones de equivalencia se enuncia di-
ciendo que toda relacio´n de equivalencia en un conjunto E, produce una
particio´n de E al reunir todos los elementos relacionados entre s´ı en una mis-
ma clase de equivalencia y rec´ıprocamente, toda particio´n de un conjunto E
induce una relacio´n de equivalencia R en E.
Las condiciones 1, 2, 3 aplicadas a las clases de equivalencia se traducen
de la siguiente manera,
1. Toda clase de equivalencia [ x ] es diferente de vac´ıo.
2. Dos clases de equivalencia [x ], [ y ] son ide´nticas o disyuntas.
3. La unio´n de todas las clases de equivalencia reproducen el conjunto E.
Teorema 3.4.1. En un Δ–grupo G, para toda equivalencia regular por la
izquierda R, la clase unidad [ e ] = H es un subgrupo de G. Una clase de
equivalencia [ a ] viene dada por la igualdad [ a ] = aH . Adema´s, si R es una
Δ–equivalencia, H es un Δ–subgrupo.
110 CAPI´TULO 3. SUBGRUPOS NORMALES–ISOMORFISMOS
Demostracio´n. Sean x, y elementos de [ e ]. Como xRy, por ser R regular por
la izquierda, y−1xRy−1y y por consiguiente, y−1xRe. La u´ltima relacio´n es
equivalente a decir que y−1x ∈ [ e ], de donde se deduce que [ e ] = H es un
subgrupo de G.
Adema´s, si x ∈ [ a ], entonces xRa. Esto es, a−1xRe, luego a−1x ∈ H . Por
tanto existe h en H tal que a−1x = h, de donde se concluye que x = ah ∈ H.
La anterior expresio´n significa que [ a ] ⊆ aH .
Por otra parte, si x = ah ∈ H entonces h ∈ H , de donde se puede escribir
a−1xRe y de aqu´ı se obtiene xRa o x ∈ [ a ]. Lo que permite concluir que
[ a ] ⊆ aH . La doble contenencia garantiza que [ a ] = aH .
Sean α ∈ Δ, h ∈ H . Si hRe, αhRαe. Pero αe = e, porque todo opera-
dor distributivo deja invariante a e, (demostrarlo). Entonces αhRe, o sea,
αh ∈ H . En s´ıntesis H es un Δ–subgrupo.
En la demostracio´n del teorema 3.4.1 se dedujo de modo ta´cito que para
toda equivalencia R. Si R es regular por la izquierda, entonces para todo par
x, y de elementos de H, xRy si y solamente si y−1x ∈ H. Donde H = [ e ].
A partir de ahora esta sera´ la definicio´n de R cuando se haga referencia a los
Δ–grupos.
El rec´ıproco del teorema 3.4.1 tambie´n es va´lido, es el
Teorema 3.4.2. Para todo subgrupo H de G, la relacio´n definida por yRx
si y solo si, x−1y ∈ H ( y ∈ xH) es una equivalencia regular por la izquier-
da en la cual [ e ] = H. Si H es un Δ–subgrupo del Δ–grupo G, R es una
Δ–equivalencia.
Demostracio´n. 1. R es reflexiva.
aRa, si y solo si, aa−1 = e ∈ H .
Afirmacio´n que es va´lida por ser H un grupo.
2. Es sime´trica. En efecto,
yRx, si y solo si, x−1y ∈ H.
Lo que equivale a decir que
(x−1y)−1 ∈ H
oracio´n equivalente a
y−1x ∈ H.
3.4. CLASES LATERALES 111
Y esta u´ltima es una forma ide´ntica de afirmar que
xRy.
3. Es transitiva. Supongamos que
yRx, xRz.
Aplicando la definicio´n y multiplicando en el orden adecuado se llega a
(z−1x)(x−1y) ∈ H.
Asociando y cancelando se obtiene
z−1y ∈ H.
Lo que es equivalente a decir
yRz.
4. Es regular por la izquierda.
Las siguientes oraciones son equivalentes:
yRx, si y solo si, x−1y ∈ H.
Operando por e = z−1z
x−1(z−1z)y ∈ H, z ∈ H.
Usando la propiedad asociativa
(x−1z−1)(zy) ∈ H.
Por la propiedad del producto de inversos
(zx)−1(zy) ∈ H.
Finalmente
zyRzx.
112 CAPI´TULO 3. SUBGRUPOS NORMALES–ISOMORFISMOS
5. Adema´s, para todo x de H , e−1x ∈ H , entonces xRe. Luego para todo
x de H , x ∈ [ e ] o [ e ] = H .
6. Finalmente, sea H un Δ–subgrupo, α ∈Δ, yRx. Aplicando la definicio´n
y la distributividad del operador,
(αx)−1(αy) = (αx−1)(αy) = α(x−1y) ∈ H.
Por consiguiente
yRx.
Afirmacio´n que conduce a decir que R es l´ıcita para el dominio de
operadores. Se ha comprobado que R es una Δ–equivalencia.
En la anterior demostracio´n se uso´ la igualdad (αx)−1 = αx−1. Esta igual-
dad es cierta ya que
(αx)(αx−1) = α(xx−1) = αe = e.
Definicio´n 3.4.4. Las clases [ a ] = aH se denominan las clases laterales
izquierdas con respecto al subgrupo H. Para las equivalencias regulares por la
derecha las clases laterales derechas se representan por Ha. Si se usa notacio´n
aditiva estas se traducen en a + H, y H + a respectivamente.
En lo que sigue nos referiremos a las clases laterales izquierdas por como-
didad, pero observando que los mismos razonamientos son va´lidos para las
derechas. Los teoremas anteriores y los siguientes solo tienen un ligero cambio
en la redaccio´n.
Al tenor de los teoremas 3.4.1 y 3.4.2, las clases laterales forman una
particio´n de G en subconjuntos disyuntos dos a dos, por consiguiente dos
clases laterales izquierdas (derechas) son ide´nticas o disyuntas.
Conside´rese la funcio´n φa : H −→ aH definida por la fo´rmula,
hφa = ah
φa es claramente biyectiva y lo invitamos a comprobarlo.
Esta biyeccio´n nos dice en lenguaje informal que H tiene tantos elementos
como aH . Afirmacio´n va´lida en toda su magnitud cuando H es finito.
La biyeccio´n anterior se puede establecer entre H y una clase lateral
cualquiera bH ( b en G ). Por esta razo´n y por el hecho de ser la compuesta de
3.4. CLASES LATERALES 113
biyecciones una biyeccio´n, se concluye que entre dos clases laterales izquierdas
(derechas) cualesquiera existe una biyeccio´n, o equivalentemente, dos clases
laterales izquierdas (derechas) cualesquiera de H “tienen igual nu´mero de
elementos”.
Como e ∈ H , es claro que a = ae ∈ H , o sea, cada elemento a de G
pertenece a una clase lateral izquierda (derecha) de H .
En resumen: Si H es un subgrupo de G, entonces dos clases laterales
izquierdas (derechas) son ide´nticas o disyuntas. Entre dos clases izquierdas
(derechas) existe una biyeccio´n y cada elemento de G pertenece a una clase
de H .
Teorema 3.4.3. Si H es un subgrupo de G, entonces toda clase lateral
izquierda es una clase lateral derecha si y solo si el producto de dos clases
laterales izquierdas es de nuevo una clase lateral izquierda.
Demostracio´n. Supongamos que toda clase lateral izquierda es una clase la-
teral derecha. Entonces,
(aH)(bH) = a(Hb)H Propiedad asociativa,
= a(bH)H Hipo´tesis,
= (ab)HH Propiedad asociativa,
= (ab)H Porque HH = H.
Esta fo´rmula indica que el producto de clases aH , bH es la clase que contiene
el producto de dos representantes cualesquiera, uno de aH y otro de bH . Se
acostumbra decir que el producto de clases esta´ bien definido.
Supongamos ahora que el producto de dos clases izquierdas es de nuevo
una clase lateral izquierda. Sea a ∈ G. Como eH = H , entonces
H(aH) = (eH)(aH) = eaH = aH
(aH)H = (aH)(eH) = aeH = aH.
Sean h, h1 elementos de H tales que ah1 ∈ aH . Como H(aH) = (aH)H ,
existen h2, h3 talesque,
h(ah1) = (ah2)h3.
Despue´s de aplicar las propiedades asociativa e invertiva se obtiene la igual-
dad
ha = a(h2h3)(h1)
−1.
114 CAPI´TULO 3. SUBGRUPOS NORMALES–ISOMORFISMOS
Pero H es un grupo, entonces (h2h3)(h1)
−1 = h4 ∈ H , por lo tanto,
ha = ah4 ∈ aH.
Lo que indica que
Ha ⊆ aH.
Por otra parte
aH(a−1H) = aa−1H = eH = H
a−1H(aH) = a−1aH = eH = H.
De manera que escogiendo representantes arbitrarios, x ∈ aH , a−1 ∈ a−1H ,
se obtiene, xa−1 ∈ H , entonces (xa−1)a ∈ Ha y de aqu´ı se sigue que x ∈ Ha,
esto es,
aH ⊆ Ha.
De las dos contenencias se obtiene
aH = Ha.
Lo que dicho en palabras significa que toda clase lateral izquierda es una
clase lateral derecha.
Al definir el producto de las partes de un grupo se observo´ que es asocia-
tivo y al ser el producto de clases un caso especial se puede afirmar que el
producto de clases laterales es asociativo, esto es
aH(bH)(cH) = (aH)(bH)cH
= abcH.
En la demostracio´n del teorema 3.4.2 se dedujeron las igualdades
H(aH) = (aH)H = aH
aH(a−1H) = a−1H(aH) = H.
Las anteriores igualdades significan que H es el elemento de identidad y a−1H
el inverso de aH . Estas conclusiones se obtuvieron a partir del supuesto de
ser el producto de dos clases laterales izquierdas una clase lateral izquierda.
Estas afirmaciones se pueden condensar diciendo:
“Si H es un subgrupo de G y el producto de dos clases laterales izquierdas
es una clase lateral izquierda, entonces la coleccio´n de todas las clases late-
rales izquierdas de H forman un grupo para el producto de clases”.
To´mese el grupo de las simetr´ıas del cuadrado D4
3.4. CLASES LATERALES 115
* ρ0 ρ1 ρ2 ρ3 μ1 μ2 δ1 δ2
ρ0 ρ0 ρ1 ρ2 ρ3 μ1 μ2 δ1 δ2
ρ1 ρ1 ρ2 ρ3 ρ0 δ2 δ1 μ1 μ2
ρ2 ρ2 ρ3 ρ0 ρ1 μ2 μ1 δ2 δ1
ρ3 ρ3 ρ0 ρ1 ρ2 δ1 δ2 μ2 μ1
μ1 μ1 δ1 μ2 δ2 ρ0 ρ2 ρ1 ρ3
μ2 μ2 δ2 μ1 δ1 ρ2 ρ0 ρ3 ρ1
δ1 δ1 μ2 δ2 μ1 ρ3 ρ1 ρ0 ρ2
δ2 δ2 μ1 δ1 μ2 ρ1 ρ3 ρ2 ρ0
Figura 3.2
Examinemos el subgrupo H = {ρ0, ρ1, ρ2, ρ3}. Para el caso de un grupo
finito G, para hallar las clases laterales del subgrupo H se busca un elemento
a de G que no pertenezca a H y se confecciona la clase aH . A continuacio´n se
busca un elemento b de G que no pertenezca a ninguna de las clases anteriores
y se elabora la clase bH . El proceso continu´a hasta agotar todos los elementos
de G. Para el presente caso,
μ1H = {μ1, δ1, μ2, δ2}.
Solo existen dos clases. Conside´rese el conjunto G/H = {H, μ1H}. Si obser-
vamos la tabla notamos que hay cuatro combinaciones posibles para operar
con las clases,
HH = H
H(μ1H) = μ1H
(μ1H)H = μ1H
(μ1H)(μ1H) = H.
Las igualdades garantizan que el producto de clases izquierdas esta´ bien
definido. Por lo visto G/H es un grupo cuya tabla se puede escribir as´ı:
* H μ1H
H H μ1H
μ1H μ1H H
Figura 3.3
116 CAPI´TULO 3. SUBGRUPOS NORMALES–ISOMORFISMOS
Como se vio anteriormente Z6 es un grupo abeliano. Conside´rese el subgrupo
H = {0, 3}, sus clases laterales izquierdas son
H = {0, 3}
1 + H = {1, 4}
2 + H = {2, 5}.
Estas clases coinciden con las derechas. Para cualquier otro subgrupo la situa-
cio´n es similar. ¿No es asombroso que Z6 posea tal cantidad de propiedades?
Ma´s tarde con la introduccio´n de algunos criterios veremos que todos los
grupos abelianos presentan igual comportamiento.
Teorema 3.4.4. Teorema de Lagrange. Si G es un grupo finito de orden n,
H un subgrupo de G, el orden de H divide al orden de G.
Demostracio´n. Supongamos que H tiene m elementos. Consideremos la co-
leccio´n de todas las clases laterales izquierdas de H . Son disyuntas dos a dos,
tienen igual nu´mero de elementos, en este caso m, y cada elemento de G se
encuentra en alguna clase. Supo´ngase que existen en total r clases, entonces
n = rm, o sea, m | n.
Corolario. Todo grupo de orden primo es c´ıclico.
Demostracio´n. Sea G un grupo de orden primo p y sea a �= e un elemento
de G. El grupo c´ıclico generado por a posee al menos dos elementos {e, a}.
Por el teorema de Lagrange el orden m ≥ 2 de este grupo debe dividir a p.
Luego necesariamente m = p, de manera que (a) = G, de donde se deduce
que G es c´ıclico.
Teorema 3.4.5. El orden de cualquier elemento de un grupo finito G divide
al orden de G.
Demostracio´n. Recordando que el orden de cualquier elemento es igual al
orden del grupo c´ıclico generado por dicho elemento, este teorema es una
consecuencia directa del teorema de Lagrange.
Definicio´n 3.4.5. Sea G un grupo finito, H un subgrupo de G. El ı´ndice de
H en G, (H:G), es igual al orden G dividido por el orden de H, esto es,
|G|
|H| .
3.4. CLASES LATERALES 117
Sea G un grupo finito de orden n, H un subgrupo de G de orden m, supon-
gamos que H tiene r clases laterales, entonces n = rm, luego n/m = r. Se
ha demostrado que: El ı´ndice de H en G es el nu´mero de las clases laterales
izquierdas de H.
El teorema de Lagrange afirma que si G es un grupo finito, H un subgrupo
de G, el orden de H divide al orden de G, pero el rec´ıproco no siempre es
cierto, porque si G es de orden n, y m divide a n, puede no existir un subgrupo
de orden m. El grupo alternante A4 tiene orden 12 y sin embargo no tiene
subgrupos de orden 6. El rec´ıproco es cierto cuando G es abeliano, es decir:
“Si G es un grupo abeliano finito de orden n y m divide a n entonces G tiene
un subgrupo H de orden n”.
El teorema de Lagrange es de mucha utilidad en la teor´ıa de los grupos
finitos, a continuacio´n presentamos algunos ejemplos.
Ejemplo 3.4.1. Demostrar que si G es un grupo de orden n, entonces an = e,
para todo a de G.
Solucio´n. Sea n el orden de G, m el orden de a, entonces am = e. Por el
teorema 3.4.5, m | n, luego existe k �= 0 tal que n = km y por consiguiente,
an = akm = (am)k = ek = e.
Ejemplo 3.4.2. Demostrar que si G es un grupo finito, H un subgrupo de
ı´ndice dos en G, entonces cada clase lateral izquierda es una clase lateral
derecha.
solucio´n. Por hipo´tesis H tiene dos clases laterales izquierdas y dos derechas.
Si a ∈ G − H , sean aH y eH las dos clases laterales izquierdas, como ellas
son disyuntas, para todo x ∈ G, x pertenece a una y solo una de las dos
clases, por consiguiente
G−H = aH.
En igual forma para las clases laterales derechas,
G−H = Ha.
De estas igualdades se infiere que, aH = Ha.
118 CAPI´TULO 3. SUBGRUPOS NORMALES–ISOMORFISMOS
EJERCICIOS
1. La relacio´n R es compatible con la ley de composicio´n externa si aRa′
y bRb′ implica (ab)R(a′b′).
a) Sea R transitiva. Demostrar que si R es compatible, entonces es
regular.
b) Sea R una relacio´n de equivalencia. Demostrar que R es regular si
y solo si es compatible.
2. Asociemos al homomorfismo Ψ : E −→ E ′ la relacio´n binaria R defi-
nida en E por aRa′ si y solo si Ψa = Ψa′. Demostrar que R es una
congruencia, denominada la congruencia nuclear asociada a Ψ.
3. Consideremos la aplicacio´n cano´nica γ : E −→ E/R donde R es la
congruencia nuclear asociada a Ψ, definida por γx = [ x ] es la clase
mo´dulo R a la que pertenece x. Demostrar que γ es un homomorfismo
suprayectivo cano´nico de E sobre E/R.
4. Sea κ : E/R −→ EΨ, definida por xκ = xΨ. Demostrar que κ es un
isomorfismo cano´nico asociado a Ψ.
5. Sea λ : EΨ −→ E definida por, ∀ y ∈ EΨ, yλ = y ∈ E ′. Demostrar
que λ es una inyeccio´n (cano´nica de EΨ ).
6. Demostrar que Ψ = γκλ.
7. Demostrar que hay tantas clases laterales derechas como izquierdas en
un subgrupo H de un grupo G, esto es, encuentre una biyeccio´n entre
las clases derechas y las izquierdas. Este resultado es obvio para un
grupo finito. Demue´strelo para un grupo cualquiera.
8. Sean G un grupo finito, H ,K dos subgrupos de G tales que H ≤ K ≤ G.
Demostrar que (G : H) = (G : K)(K : H).
9. Demostrar que un grupo c´ıclico finito de orden n tiene exactamente un
subgrupo de orden d, para todo d que divida a n. Demuestre adema´s
que estos son los u´nicos subgrupos.
10. Sea el grupo aditivo de los enteros y Hn el subgrupo conformadocon
todos los mu´ltiplos de un entero fijo n. Halle el ı´ndice de Hn en G y
escriba las clases laterales izquierdas de Hn.
3.5. SUBGRUPOS NORMALES 119
11. ¿Que´ es Hm ∩Hn (ejercicio anterior), para m, n enteros fijos?
12. Si H , K son dos subgrupos de ı´ndice finito en G, demuestre que H ∩K
es de ı´ndice finito en G.
13. Tome el grupo multiplicativo Z19. Sea H el subgrupo generado por 8.
Hallar las clases laterales derechas de H .
14. Tome el grupo aditivo Z20. Hallar las clases laterales derechas del sub-
grupo H = {0, 4, 8, 12, 16}.
15. Demuestre que para todo subgrupo H de G la relacio´n R definida por
xRy si y solo si xy−1 ∈ H , (y ∈ Hx) es una equivalencia regular por la
derecha en la cual H = [ e ]. Si H es un Δ–subgrupo del Δ–grupo G, R
es una Δ–equivalencia. Demuestre adema´s que [ a ] = Ha.
Si tomamos el grupo aditivo de los enteros y Hn es el subgrupo de
los mu´ltiplos de n, de acuerdo con la notacio´n aditiva, xy−1 ∈ Hn
se reduce a “(x − y) es un mu´ltiplo de n” la cual es la relacio´n de
congruencia estudiada en los enteros.
16. Si H , K son dos grupos finitos de G de o´rdenes |H|, |K| respectiva-
mente, entonces |HK| = |H||K| /|H ∩ |K|.
17. Un subconjunto no vac´ıo K del grupo G es una clase lateral (por la
derecha o por la izquierda) con respecto a un subgrupo H de G, si y
so´lo si, para x, y, z elementos de K, xy−1z ∈ K.
3.5. Subgrupos normales
En la seccio´n anterior se vio que para algunos subgrupos, por ejemplo
los abelianos, las nociones de clase lateral izquierda y derecha coinciden, el
producto de clases esta´ bien definido y la coleccio´n de todas las clases forman
un grupo, mientras que algunos subgrupos no poseen estas propiedades. Fue
el genio de Galois quien descubrio´ la existencia de estos subgrupos especiales.
La presentacio´n de los subgrupos normales se hara´ a partir de los automor-
fismos internos por conjugacio´n y de los Δ–subgrupos asociados con ellos. El
punto de partida es la definicio´n que sigue.
120 CAPI´TULO 3. SUBGRUPOS NORMALES–ISOMORFISMOS
Definicio´n 3.5.1. Sea G un grupo, Δi el conjunto de los automorfismos
internos por conjugacio´n de G. Los Δ–subgrupos del Δ–grupo G reciben el
nombre de subgrupos normales de G.
Sean, g un elemento fijo de G, φ el automorfismo interno por conjugacio´n con
g. Tomando el producto externo definido anteriormente, esto es, para todo x
∈ G, φx = xφ, se puede escribir
φx = xφ
= gxg−1.
El automorfismo inverso es tambie´n un automorfismo interno, entonces
φ−1x = xφ−1
= g−1xg.
Por la definicio´n de Δ–subgrupo, para todo subgrupo normal N de G
φN ⊆ ΔN ⊆ N y φ−1N ⊆ ΔN ⊆ N.
Sea n ∈ N , entonces gng−1 ∈ φ−1N , luego g−1ng ∈ N , en consecuencia existe
n1 en N tal que g
−1ng = n1, por consiguiente n = gn1g−1 ∈ φN , lo que en
otras palabras significa que N ⊆ φN , de esta contenencia y de la obtenida
anteriormente se concluye que N = φN . Pero el anterior razonamiento es
va´lido para todo g de G y para todo n de N , por lo cual se puede deducir
que para todo φ ∈ Δi, φN = N . Pero
φN = {gng−1 | n ∈ N, g ∈ G} = N.
Igualdad que permite concluir que para todo g ∈ G y para todo n ∈ N
gNg−1 = N o gN = Ng.
Rec´ıprocamente, sea N un subgrupo de G tal que para todo g de G y para
todo n de N , gNg−1 = N , es decir, para todos los automorfismos internos por
conjugacio´n de G, φN = N , lo que implica que φN ⊆ N para todo φ ∈ Δi.
La afirmacio´n anterior es equivalente a ΔiN ⊆ N o N es un Δ–subgrupo,
esto es, un subgrupo normal por definicio´n.
Se ha demostrado que N es un subgrupo normal si y solo si para todo g
de G
gNg−1 = N o gN = Ng.
En D3 se pueden construir seis automorfismos internos por conjugacio´n con
cada uno de sus elementos as´ı.
3.5. SUBGRUPOS NORMALES 121
φρ0
ρ0 ↔ ρ0
ρ1 ↔ ρ1
ρ2 ↔ ρ2
μ1 ↔ μ1
μ2 ↔ μ2
μ3 ↔ μ3
φρ1
ρ0 ↔ ρ0
ρ1 ↔ ρ1
ρ2 ↔ ρ2
μ1 ↔ μ3
μ2 ↔ μ1
μ3 ↔ μ2
φρ2
ρ0 ↔ ρ0
ρ1 ↔ ρ1
ρ2 ↔ ρ2
μ1 ↔ μ2
μ2 ↔ μ3
μ3 ↔ μ1
φμ1
ρ0 ↔ ρ0
ρ1 ↔ ρ2
ρ2 ↔ ρ1
μ1 ↔ μ1
μ2 ↔ μ3
μ3 ↔ μ2
φμ2
ρ0 ↔ ρ0
ρ1 ↔ ρ2
ρ2 ↔ ρ1
μ1 ↔ μ3
μ2 ↔ μ2
μ3 ↔ μ1
φμ3
ρ0 ↔ ρ0
ρ1 ↔ ρ2
ρ2 ↔ ρ1
μ1 ↔ μ2
μ2 ↔ μ1
μ3 ↔ μ3
Figura 3.4
Recuerde que todas las ima´genes se obtuvieron despue´s de realizar las corres-
pondientes operaciones en D3 tomando la conjugacio´n con cada uno de sus
elementos en la forma como se realizo´ en la figura 3.1 para ρ1.
El conjunto Δi se representa por
Δi = {φρ0 , φρ1, φρ2, φμ1 , φμ2 , φμ3}.
Para convertir a D3 en un Δ–grupo tomemos el producto externo definido
anteriormente, esto es
φγix = xφγi .
Donde φγi representa cada uno de los seis elementos de Δi.
La expresio´n de la izquierda es el producto y la de la derecha, el auto-
morfismo correspondiente.
Por ejemplo, para calcular φμ3ρ1, esto es, el producto externo de φμ3 por
ρ1, se toma la imagen de ρ1 a trave´s del automorfismo interno φμ3 ; imagen
que corresponde a la rotacio´n ρ2.
En las anteriores condiciones se establecen las igualdades,
φμ3ρ1 = ρ1φμ3
= ρ2.
El u´ltimo resultado se obtuvo de acuerdo con los automorfismos descritos en
la figura 3.4.
La tabla del producto externo es
122 CAPI´TULO 3. SUBGRUPOS NORMALES–ISOMORFISMOS
⊥ ρ0 ρ1 ρ2 μ1 μ2 μ3
φρ0 ρ0 ρ1 ρ2 μ1 μ2 μ3
φρ1 ρ0 ρ1 ρ2 μ3 μ1 μ2
φρ2 ρ0 ρ1 ρ2 μ2 μ3 μ1
φμ1 ρ0 ρ2 ρ1 μ1 μ3 μ2
φμ2 ρ0 ρ2 ρ1 μ3 μ2 μ1
φμ3 ρ0 ρ2 ρ1 μ2 μ1 μ3
Figura 3.5
Como el producto externo esta´ bien definido, D3 es un Δ–grupo. Para el
subgrupo H = {ρ0, ρ1, ρ2}, el producto externo ΔiH = {ρ0, ρ1, ρ2} es un
subconjunto de H , significando que H es un Δ–subgrupo y por definicio´n un
subgrupo normal de D3 (ver la parte sombreada de la figura 3.5).
Por el contrario, el subgrupo H1 = {ρ0, μ1} no es un Δ–subgrupo, el
producto externo ΔiH = {μ1, μ2, μ3} � H1. Se afirma entonces que H1 no
es un subgrupo normal de D3.
Esperamos que sea productivo para el estudiante la forma de describir
los subgrupos normales relaciona´ndolos con los automorfismos internos y el
producto externo definido en ellos. A medida que avance en el estudio se
ira´ dando cuenta de su relacio´n fundamental con las clases de equivalencia
dadas. Confiamos en que estas hayan servido para facilitar la introduccio´n
de un tema tradicionalmente denso. La idea es tener una mejor comprensio´n
del concepto de subgrupo normal.
Comprobar que un determinado subgrupo es normal usando la definicio´n
es tarea harto agobiante, pero esta dificultad de obvia con el desarrollo de
algunos criterios, el primero de ellos es el teorema que sigue.
Teorema 3.5.1. El subgrupo H de G es un subgrupo normal de G, si y solo
si, toda clase lateral izquierda de H en G es una clase lateral derecha de H
en G.
Demostracio´n. Si H es un subgrupo normal de G, entonces para todo h de H ,
para todo g de G, gHg−1 = H , de donde (gHg−1)g = Hg, esto es, gH = Hg,
es decir, las clases laterales izquierdas y derechas coinciden.
Supongamos que toda clase lateral izquierda es una clase lateral derecha.
Entonces, gH = Hg, y por consiguiente gHg−1 = H , indicando que H es
normal.
3.5. SUBGRUPOS NORMALES 123
Con el teorema 3.5.1, el ejercicio anterior se reduce a encontrar las clases
laterales izquierdas y derechas de H = {ρ0, ρ1, ρ2}. Como solo hay dos clases
izquierdas o derechas.
μ1H = {μ1ρ0, μ1ρ1, μ1ρ2} = {μ1, μ3, μ2}
Hμ1 = {ρ0μ1, ρ1μ1, ρ2μ1} = {μ1, μ2, μ3}.
Adema´s
ρ0H = Hρ0 = H.
Por lo visto toda clase lateral derecha es una clase lateral izquierda, indicando
que H es normal.
Con los teoremas 3.4.3 y 3.5.1 es tarea fa´cil comprobar que los subgrupos
normales son los subgrupos especiales descubiertos por Galois. El hecho que
todo grupo abeliano pertenezca a tan distinguida clase se demuestra con el
Teorema 3.5.2. Todo subgrupo de un grupo abeliano es normal.
Demostracio´n. Sea G abeliano y H un subgrupo de G. Para todo h en H y
para todo g en G, ghg−1 = g−1hg = h, entonces H es un subgrupo normal
de G.
Definicio´n 3.5.2. Dos subgrupos H, K de G son conjugados siy solo si
H = aKa−1 para algu´n a de G.
Los subgrupos H = {ρ0, μ1}, K = {ρ0, μ3} son conjugados. Es muy
sencillo comprobar que H = 2K(2)−1.
Definicio´n 3.5.3. Sea a un elemento del grupo G. La clase conjugada C[ a ]
de a es el conjunto
{x ∈ G | xax−1 = a}.
En un grupo abeliano, xax−1 = a, de modo que C[ a ] = {a}.
Las clases conjugadas parten el grupo en bloques disyuntos de una manera
similar a como lo hacen las clases laterales, sin embargo las clases conjugadas
no necesariamente deben tener igual nu´mero de elementos, no es dif´ıcil darse
cuenta que en el fondo hay una relacio´n de equivalencia.
Definicio´n 3.5.4. Si N es un subgrupo normal de G, el grupo de las clases
laterales de N para el producto de clases es el grupo cociente (o grupo factor)
de G por N y se nota G/N.
124 CAPI´TULO 3. SUBGRUPOS NORMALES–ISOMORFISMOS
Ejemplo 3.5.1. Como el grupo aditivo de los enteros es abeliano, el subgrupo
nZ es normal ( n > 0 ). Existen n clases, 0 + nZ, 1 + nZ, . . . , (n− 1) + nZ,
por lo tanto el orden de Z/nZ es n.
Definicio´n 3.5.5. Un grupo se dice simple si no tiene subgrupos normales
propios.
Definicio´n 3.5.6. Sea G un grupo, ai ∈ G, para algu´n i en I, donde I es un
conjunto de ı´ndices. El menor subgrupo de G que contiene a {ai | i ∈ I} es
el subgrupo generado por {ai | i ∈ I}. Si este subgrupo es igual a G, se dice
que {ai | i ∈ I} genera a G y en tal caso se afirma que cada uno de los ai
son generadores de G. Si existe un conjunto finito {ai | i ∈ I} que genera a
G, entonces G se dice finitamente generado.
Esta definicio´n es consistente con la dada para grupos c´ıclicos. Se deja
a los interesados demostrar que la interseccio´n de todos los subgrupos de
G que contienen a {ai | i ∈ I} es el menor subgrupo de G que contiene a
{ai | i ∈ I}.
Teorema 3.5.3. Si G es un grupo, ai ∈ G, para algu´n i en I, entonces el
subgrupo H generado por {ai | i ∈ I} tiene por elementos precisamente
aquellos de G que son productos finitos de potencias enteras de los ai, donde
las potencias de un ai fijo pueden aparecer varias veces en el producto.
Demostracio´n. El hecho que las potencias de un ai fijo puedan aparecer varias
veces en el producto se debe a que G puede no ser abeliano. Si es abeliano,
(ai)
n(aj)
s(ai)
m = (ai)
n+m(aj)
s
pero esto no es cierto si no es conmutativo.
Sea K el conjunto de todos los productos finitos de potencias enteras
de los ai. Es claro que K ⊆ H . Solo se necesita demostrar que K es un
subgrupo de H . Y como H es el menor subgrupo que contiene a ai para todo
i de I, entonces K = H . Es obvio que K es cerrado para el producto ya que
este producto es tambie´n un producto finito de potencias enteras de los ai.
Adema´s e ∈ K por ser la potencia cero de ai.
Sea k ∈ K, entonces
k = (ai)
n(aj)
m . . . (as)
r
3.5. SUBGRUPOS NORMALES 125
(m,n, . . . , r) son enteros, (i, j, . . . , s) son elementos de I. Pero (−r, . . . ,−m,−n)
son enteros luego,
(k)−1 = (as)−r . . . (aj)−m(ai)−n ∈ K.
De esta manera se demuestra que K es un subgrupo de H .
Ejemplo 3.5.2. Z× Z2 es generado por {(1, 0), (0, 1)} = K.
Solucio´n. Vamos a comprobar que Z × Z2 es el menor subgrupo de Z × Z2
que contiene a K.
Sea H un subgrupo de Z× Z2 que contiene a K, entonces ( −1, 0 ) ∈ H
y adema´s
(1, 0)n = (n, 0) ∈ H, n ∈ N.
Como H es un grupo, (−n, 0 ) ∈ H y tambie´n,
(1, 0) + (−1, 0) = (0, 0) ∈ H.
Para todo entero n, (n, 0) ∈ H .
(0, 1)m = (0, 0) si m es par
(0, 1)m = (0, 1) si m es impar.
Para todo entero n y todo impar m,
(1, 0)n + (0, 1)m = (n, 1) ∈ H.
En conclusio´n, para todo entero n ( n, 1) ∈ H . Tambie´n ( n, 0 )∈ H y de esta
u´ltima parte se deduce que H contiene todos los elementos de Z× Z2 o que
Z× Z2 esta´ contenido en H y de aqu´ı se sigue que
Z× Z2 = H.
Definicio´n 3.5.7. Sean a, b elementos del grupo G, aba−1b−1 se dice el
conmutador de a y b.
Teorema 3.5.4. El conjunto de todos los conmutadores aba−1b−1 de un
grupo G genera un subgrupo normal G′ de G, G/G′ es abeliano. Adema´s
G/N es abeliano si y solo si G′ es un subgrupo de N .
126 CAPI´TULO 3. SUBGRUPOS NORMALES–ISOMORFISMOS
Demostracio´n. Sea H el subconjunto de G formado por todos los conmuta-
dores de G y sea G′ el mı´nimo subgrupo de G que contiene a H . G′ siempre
existe y es la interseccio´n de todos los subgrupos que contienen a H . (demos-
tracio´n dejada a los interesados). Como G contiene todos sus conmutadores,
debe contener a H , entonces la interseccio´n de todos los subgrupos que con-
tienen a H nunca es vac´ıa y en el caso ma´s amplio G = G′. Luego es cierto
que el conjunto de todos los conmutadores de G generan un subgrupo G′
de G. El teorema 3.5.3 muestra que G′ consta de todos los productos finitos
de conmutadores. Note que el inverso de un conmutador es tambie´n un con-
mutador, lo mismo que el elemento de identidad. Para demostrar que G′ es
normal (para todo g de G y para todo c, d de G′), las igualdades que siguen
se obtuvieron usando la propiedad asociativa e introduciendo el elemento de
identidad (g−1d−1dg) en el segundo miembro as´ı
g(cdc−1d−1)g−1 = (gcdc−1)(g−1d−1dg)(d−1g−1)
= [(gc)d(gc)−1d−1][dgd−1g−1] ∈ G′.
Luego G′ es normal en G.
Dado que b−1a−1ba = b−1a−1(b−1)−1(a−1)−1 es un elemento de G′ debe
tenerse que la clase
b−1a−1baG′ = eG′.
Como G′ actu´a como elemento de identidad de G/G′, la clase b−1a−1baG′
actu´a como elemento de identidad para G/G′, entonces
abG′ = (abG′)(b−1a−1baG′).
Desarrollando la segunda parte se llega a,
abG′ = baG′ = bG′aG′.
Concluye´ndose que G/G′ es abeliano.
Si G/N es abeliano
aba−1b−1N = (abN)(b−1N)(a−1N)
= abb−1a−1N
= N.
3.5. SUBGRUPOS NORMALES 127
De modo que aba−1b−1 ∈ N y por consiguiente G′ es un subgrupo de N .
Finalmente si G′, es un subgrupo de N entonces
(aN)(bN) = abN
= ab(b−1a−1ba)N
= (abb−1a−1)baN
= baN
= (bN)(aN).
Definicio´n 3.5.8. El subgrupo G’, generado por todos los conmutadores de
G, se llama el subgrupo conmutador de G.
Ejemplo 3.5.3. Si G es un grupo y H un subgrupo de ı´ndice dos en G
demostrar que H es normal en G
Solucio´n. Como H es de ı´ndice dos, existen dos clases laterales derechas y
dos izquierdas, esto es, He, Ha, eH , aH . Es obvio que a ∈ H , pero
He = eH = H.
Por formar las clases laterales una particio´n
aH = G−H = Ha.
En conclusio´n toda clase izquierda es una clase derecha y por el teorema
3.5.1, H es un subgrupo normal en G.
Ejemplo 3.5.4. Demuestre que el centro de un grupo G es un subgrupo
normal.
El centro de un grupo G es el conjunto de todos los a de G tales que
ax = xa para todo x de G, esto es, es el conjunto de aquellos elementos de
G que conmutan con todo elemento de G.
Solucio´n. Lo primero que hay que demostrar es que el centro es un subgrupo,
tarea que se deja como ejercicio. Para demostrar que es normal, to´mese un
elemento cualquiera a que pertenezca al centro, lo que significa que para
todo g de G, ag = ga. Operando a derecha, a = gag−1 es un elemento del
centro.
128 CAPI´TULO 3. SUBGRUPOS NORMALES–ISOMORFISMOS
EJERCICIOS
1. Demostrar que la interseccio´n de dos subgrupos normales de G es un
subgrupo normal de G.
2. Si H es un subgrupo de G y N es un subgrupo normal de G, demostrar
que H ∩N es un subgrupo normal de H .
3. Demostrar que todo subgrupo de un grupo abeliano es normal.
4. Demostrar que el centro de un grupo es un subgrupo normal.
5. Sea G un grupo finito y sea H el u´nico subgrupo de orden |H| que
posee G. Demuestre que H es un subgrupo normal de G.
6. Si M , N son dos subgrupos normales de G, demuestre que MN es un
subgrupo normal de G.
7. Sean M , N dos subgrupos normales de G tales que M ∩ N = {e},
demostrar que para todo m ∈ M , para todo n ∈ N , nm = mn.
8. Demostrar que si T es un grupo c´ıclico normal de G, entonces todo
subgrupo de T es normal en G.
9. Dado un grupo G, se designa por B(G) al conjunto de los elementos deG que conmutan con todo subgrupo H de G.
B(G) = { x ∈ G | xH = Hx, ∀H ∈ λ }. Donde λ es el conjunto de to-
dos los subgrupos de G. Demostrar que B(G) es un subgrupo que con-
tiene al centro de G, que es un subgrupo caracter´ıstico de G y que
B(G) = B[B(G)].
10. Demostrar que para todo subgrupo H de G se tiene, H∩B(G) ⊆ B(H).
11. Sean Z4 = {0, 1, 2, 3}, Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, H el subgrupo c´ıclico
generado por (0, 1). Computar el grupo cociente (Z4 × Z6)/H .
12. Demostrar que el grupo cociente de un grupo c´ıclico es c´ıclico.
13. Hallar los subgrupos de Z12 generados por {2, 3} y {6, 8, 10}.
3.6. HOMOMORFISMOS 129
3.6. Homomorfismos entre grupos
El concepto de homomorfismo entre grupos es exactamente el mismo dado
en la seccio´n 3.1. Si Δ = {i}, donde i es el automorfismo ide´ntico, vimos co´mo
cualquier grupo se convierte en un Δ–grupo mediante el producto externo
definido por
ix = xi = x.
El primer miembro de la igualdad representa el producto de i por el ele-
mento x y el segundo es la imagen de x a trave´s de i. Como esta operacio´n
es distributiva se da por descontado que todo homomorfismo entre grupos
satisface la definicio´n dada anteriormente. Siguiendo este orden de ideas, un
homomorfismo entre grupos es esencialmente una funcio´n de un grupo G a
un grupo similar G′ que preserva la estructura.
Si 〈G, ∗〉, 〈G′, ◦〉 son grupos y φ es una funcio´n de G en G′ tal que para
toda pareja x, y de elementos de G, existen elementos u´nicos xφ, yφ en G′
que satisfacen la igualdad
(x ∗ y)φ = xφ ◦ yφ
Se dice que es un homomorfismo entre G y G′.
Usualmente se omiten los s´ımbolos de las operaciones y se usa notacio´n
multiplicativa para ambas operaciones, esto es, se escribe
(xy)φ = (xφ)(yφ).
Teniendo en cuenta que la operacio´n de la izquierda es la de G, mientras que
la de la derecha es la de G′.
La nocio´n de homomorfismo esta´ fuertemente ligada con la de grupo
cociente y por ende con los subgrupos normales. Esta relacio´n hace posible
identificar cada elemento con la clase que lo contiene, reforzando la idea que
nos permitio´ considerar cada clase como un elemento de un nuevo grupo
denominado grupo cociente.
Ejemplo 3.6.1. En los grupos aditivos Z y Zn definamos φ mediante la
fo´rmula xφ = r, donde r es el residuo de dividir x entre n.
Solucio´n. Para verificar que φ es un homomorfismo, to´mense x, y en Z tales
que
x = q1 + r1, 0 ≤ r1 ≤ n y = q2 + r2, 0 ≤ r2 ≤ n.
130 CAPI´TULO 3. SUBGRUPOS NORMALES–ISOMORFISMOS
Por la definicio´n
xφ = r1, yφ = r2.
Luego
xφ + yφ = r1 + r2 = r3.
Siempre y cuando
r1 + r2 = q3n + r3, 0 ≤ r3 ≤ n.
Por otra parte
x + y = (q1 + q2)n + (r1 + r2) = (q1 + q2 + q3)n + r3.
Con 0 ≤ r3 ≤ n. De manera que
(x + y)φ = r3.
Comproba´ndose que φ es un homomorfismo.
Ejemplo 3.6.2. En el grupo aditivo de los enteros definamos la funcio´n φ
por la igualdad, xφ = 2x.
Solucio´n.
(x + y)φ = 2(x + y) = 2x + 2y = xφ + yφ
Demostra´ndose que es un homomorfismo.
Ejemplo 3.6.3. La funcio´n, φ: R −→ C∗ definida por xφ = sin x+ i cosx es
un homomorfismo donde R es el grupo aditivo de los reales y C∗ es el grupo
multiplicativo de los complejos diferentes de cero.
El siguiente teorema representa una fuente rica en homomorfismos.
Teorema 3.6.1. Si N es un grupo normal de G, entonces la funcio´n cano´nica
o natural φ : G −→ G/N dada por xφ = xN , para x en G es un homomor-
fismo.
Demostracio´n. Es consecuencia inmediata de la definicio´n de producto de
clases laterales en te´rminos del producto de representantes, es decir
(xy)φ = xyN = (xN)(yN) = (xφ)(yφ).
3.6. HOMOMORFISMOS 131
Definicio´n 3.6.1. Si φ es un homomorfismo de G en G′ el nu´cleo Kφ se
define por la fo´rmula
Kφ = { x ∈ G | xφ = e′ }.
Donde e′ es el elemento de identidad de G′.
Definicio´n 3.6.2. Sea φ : X −→ Y . La imagen Aφ de un subconjunto
cualquiera A de X es el conjunto de las ima´genes de todos los elementos
de A. La imagen inversa Bφ−1 de un subconjunto cualquiera B de Y es el
conjunto de los elementos de X cuyas ima´genes son elementos de B. Esto es
Aφ = { aφ | a ∈ A }, Bφ−1 = { x ∈ X | x ∈ B }.
La primera parte del siguiente teorema demuestra que el nu´cleo de un ho-
momorfismo nunca es vac´ıo, mientras que la segunda describe algunas carac-
ter´ısticas que son preservadas por estas aplicaciones.
Teorema 3.6.2. Si φ es un homomorfismo de G en G′, entonces. Si e es el
elemento de identidad de G, eφ es el elemento de identidad de G′ y si a ∈ G,
a−1φ = (aφ)−1. Si H es un subgrupo de G, entonces Hφ es un subgrupo
de G′. Si H es normal entonces Hφ es normal en Gφ. Por otra parte si K ′
es un subgrupo de G′, entonces K ′φ−1 es un subgrupo de G y si K ′ es un
subgrupo normal de Gφ, entonces K ′φ−1 es un subgrupo normal de G. En
otras palabras, bajo los homomorfismos los subgrupos se corresponden lo
mismo que los subgrupos normales.
Demostracio´n. Sea φ es un homomorfismo de G en G′, entonces
aφ = (ae)φ = (aφ)(eφ).
Esto es, eφ es el elemento de identidad de G′. La ecuacio´n,
eφ = (aa−1)φ = (aφ)(a−1φ)
muestra que a−1φ = (aφ)−1.
Por otra parte, sean H un subgrupo de G, aφ, bφ dos elementos arbitrarios
de Hφ. Como (ab)φ = (aφ)(bφ), se concluye que (aφ)(bφ) ∈ Hφ. Dado que
a−1 pertenece a H , entonces a−1φ pertenece a Hφ, por tanto (aφ)−1 pertenece
a Hφ, por ser iguales, lo que indica que Hφ es un subgrupo de G′.
132 CAPI´TULO 3. SUBGRUPOS NORMALES–ISOMORFISMOS
La demostracio´n anterior permite concluir que Gφ en particular es un
subgrupo de G′ y por tanto es un grupo. Adema´s H ⊆ G, luego Hφ ⊆ Gφ y
como ambos conjuntos son grupos con respecto a la operacio´n de G′ se puede
deducir que Hφ es un subgrupo de Gφ.
Supongamos que H es un subgrupo normal de G. Y sea gφ un elemento
de Gφ. Por la propiedad del inverso y la definicio´n de φ
gφhφ(gφ)−1 = (ghg−1)φ.
Como, (ghg−1) ∈ H , (ghg−1)φ ∈ Hφ esto es, Hφ es un subgrupo normal de
Gφ.
Sea K ′ un subgrupo de G′. Suponga que a, b pertenecen a K ′φ−1 entonces
(ab)φ = aφbφ ∈ K ′ luego ab ∈ K ′φ−1.
Si a ∈ K ′φ−1 es obvio que aφ ∈ K ′, de modo que (aφ)−1 = a−1φ ∈ K ′ y
en consecuencia a−1 ∈ K ′φ−1 lo cual permite decir que K ′φ−1 es un subgrupo
de G.
Si K ′ es un subgrupo normal de Gφ, entonces, si b pertenece a K ′ y g
pertenece G, se deduce que
(gbg−1)φ = gφbφ(gφ)−1 ∈ K ′.
Es decir, gbg−1 ∈ K ′φ−1. Por consiguiente, K ′φ−1 es un subgrupo normal de
G.
Por ser fa´cil la demostracio´n del siguiente teorema la encomendamos a
los interesados.
Teorema 3.6.3. Un homomorfismo φ de un grupo G en un grupo G′ es una
funcio´n uno a uno si y solo si, Kφ = { e }.
EJERCICIOS
1. Dados G = {1,−1} el grupo definido por la tabla
∗ 1 −1
1 1 −1
−1 −1 1
R∗ el grupo multiplicativo de los reales diferentes de cero,
3.7. ISOMORFISMOS 133
φ : R∗ −→ G dado por xφ = 1 si x > 0, xφ = −1 si x < 0.
Demostrar que φ es un homomorfismo y hallar el nu´cleo.
2. Sean R el grupo aditivo de los reales, R∗ el grupo multiplicativo de los
reales diferentes de cero, φ : R −→ R∗ dada por xφ = 3x para todo
real x. Demostrar que φ es un homomorfismo
3. Demostrar que un homomorfismo φ de un grupo G en un grupo G′ es
una funcio´n uno a uno si y solo si el nu´cleo de φ es { e }.
4. Determı´nese en cada caso si las aplicaciones siguientes son o no homo-
morfismos. En caso afirmativo hallar el nu´cleo.
a) R∗ es el grupo de los reales diferentes de cero para el producto,
φ : R −→ R∗ definida por xφ = x2.
b) R es el grupo aditivo de los reales, φ : R−→ R, dado por xφ = x + 1.
c) R es el grupo aditivo de los reales, φ : R −→ R, dado por xφ = 7x.
d) Sea G un grupo abeliano, φ : G −→ G, dado por xφ = x5.
e) R es el grupo aditivo de los reales, C∗ el grupo de los comple-
jos diferentes de cero para el producto, φ : R −→ C∗ dada por,
xφ = cosx + i sen x.
f ) Sean G, G′ dos grupos, φ : G×G′ −→ G dado por (x, y)φ = x.
g) Sean Z, R los grupos aditivos de los enteros y los realesrespecti-
vamente, φ: R −→ Z definido por xφ = el mayor entero menor o
igual a x.
5. Demostrar que si φ es un homomorfismo de G en G′ de nu´cleo Kφ
entonces Kφ es un subgrupo normal de G.
3.7. Isomorfismos
Es la hora de precisar una idea mencionada con anterioridad, esto es,
cuando dos grupos son estructuralmente ide´nticos. Desde un punto de vista
netamente matema´tico carece de importancia la naturaleza de los elementos
que constituyen un grupo, lo realmente interesante son las propiedades que
presentan dichos objetos a trave´s de la operacio´n respectiva. Son en verdad
134 CAPI´TULO 3. SUBGRUPOS NORMALES–ISOMORFISMOS
estas propiedades los ingredientes caracter´ısticos de cada grupo. Se dice que
dos grupos son isomorfos si son ide´nticos, salvo el nombre de los elementos y
operaciones. Sean G, G′ dos grupos isomorfos, se trata de encontrar la forma
de obtener a G′ a trave´s de G. En realidad lo que se debe hacer es definir
un homomorfismo biyectivo entre los dos grupos. La biyeccio´n φ es la que
permite rebautizar los elementos de G.
Concretamos la idea con la definicio´n que sigue, caso particular de la ya
establecida.
Definicio´n 3.7.1. Un homomorfismo φ entre los grupos G, G’se dice un
isomorfismo si es uno a uno y sobre.
Definicio´n 3.7.2. Dos grupos G, G′ se dice que son isomorfos si existe un
isomorfismo de G sobre G′. En este caso se escribe G ≈ G′.
Por ser la demostracio´n del siguiente teorema similar a la del teorema 3.6.2,
se deja al cuidado de los estudiantes.
Teorema 3.7.1. Si φ es un isomorfismo de G sobre G′, y si e es el elemento
de identidad de G, entonces eφ es el elemento de identidad para G′. Adema´s,
para todo a ∈G, a−1φ = (aφ)−1. O sea, que un isomorfismo hace corresponder
los elementos de identidad y los inversos.
Es importante poseer algunas te´cnicas que permitan demostrar cuando
dos grupos son isomorfos. Tales te´cnicas se reducen a los siguientes pasos:
Primero definir la funcio´n la cual nos proporciona el homomorfismo entre
los grupos, segundo demostrar que es una biyeccio´n y tercero que verifica la
igualdad (xy)φ = (xφ)(yφ).
Ejemplo 3.7.1. Demostrar que el grupo aditivo de los reales es isomorfo al
grupo multiplicativo de los reales positivos.
Solucio´n. Defina φ : R −→ R+ mediante la fo´rmula xφ = ex, donde e es la
base de los ritmos naturales. Del curso de ca´lculo podemos afirmar que φ
es una funcio´n uno a uno y sobre, pero si es el caso hay que demostrarlo.
Finalmente, para todo x, y de R,
(x + y)φ = ex+y = exey = (xφ)(yφ).
Queda como ejercicio demostrar que la relacio´n ser isomorfo es de equiva-
lencia.
3.7. ISOMORFISMOS 135
Ejemplo 3.7.2. Existe solo un grupo de orden uno, uno de orden dos, uno
de orden tres, dos de orden cuatro, el grupo cuaternario de Klein y el grupo
aditivo Z4, salvo isomorfismos.
Teorema 3.7.2. Si un elemento a genera el grupo c´ıclico G, este queda
determinado por el orden de a, salvo isomorfismos. Si el orden de a es infinito
G es isomorfo al grupo aditivo de los entero, si el orden de a es el entero n,
G es isomorfo al grupo aditivo Zn. Dos grupos c´ıclicos del mismo orden son
isomorfos.
Demostracio´n. Sean G un grupo c´ıclico infinito generado por a, φ : Z −→ G
dado por iφ = ai, para todo i en Z. Si i, j son elementos de Z
(i + j)φ = ai+j = aiaj = (iφ)(jφ).
Es decir, φ es un homomorfismo.
Supongamos a continuacio´n que i = j, entonces ai = aj .
Si i > j, ai−j = e esto es, el orden de a es finito contradiciendo la hipo´tesis.
Igual sucede si i < j, por consiguiente, i = j. Indicando que φ es uno a uno.
Finalmente, cada elemento de G es de la forma ak, para algu´n entero k y
por lo tanto φ es sobre. Completa´ndose la primera parte de la demostracio´n.
Supongamos que el orden de a es n. Sea φ : G −→ Zn definido por aiφ = i.
Si el orden de a es n, at = e, si y solo si, t es cero o un mu´ltiplo de n.
De manera que ai = aj equivale a decir que ai−j = e, o en otras palabras
n | (i− j), o sea, i ≡ j mod n. Adema´s para todo r de Zn existe ar en G tal
que arφ = r. Finalmente, (aiaj)φ = i + j = aiφ + ajφ, por lo tanto es sobre
y G ≈ Zn.
Como la relacio´n ser isomorfo es de equivalencia es posible afirmar que
todos los grupos c´ıclicos de orden n son isomorfos puesto que lo son con Zn.
De acuerdo con el corolario del teorema de Lagrange todo grupo de orden
primo es c´ıclico y por el teorema 3.7.2 es isomorfo con Zp, obtenie´ndose como
conclusio´n que existe un u´nico grupo, salvo isomorfismos, de un determinado
orden primo p.
Ejemplo 3.7.3. Demostrar que si G es un grupo con al menos dos elementos
que no posee subgrupos propios, entonces es finito y de orden primo.
Solucio´n. Sea, a un elemento de G, como G no tiene subgrupos propios, el
subgrupo c´ıclico generado por a, esto es, (a) debe ser igual a G, de donde
se infiere que G debe ser c´ıclico, adema´s no puede ser infinito puesto que
136 CAPI´TULO 3. SUBGRUPOS NORMALES–ISOMORFISMOS
ser´ıa isomorfo al grupo aditivo de los enteros, pero esto no es posible porque
los enteros poseen subgrupos propios, eso quiere decir que G es de orden
finito. Como es c´ıclico debe ser abeliano. Por otra parte sea p el orden de
G, si existiera m un divisor de p, el rec´ıproco del teorema de Lagrange para
grupos abelianos garantiza la existencia de un subgrupo de orden m, lo cual
es falso por hipo´tesis, de donde se sigue que p no tiene divisores diferentes
de si mismo y la unidad, entonces necesariamente p debe ser primo.
A continuacio´n se ilustran ciertas formas de comprobar cuando dos gru-
pos no son isomorfos. Lo primero que se le ocurre al lector desprevenido en
este caso es demostrar que no existe homomorfismo alguno entre los grupos
dados, procedimiento que desgraciadamente falla en algunos ocasiones. Si los
grupos son finitos pero con diferente orden, inmediatamente observamos la
imposibilidad de establecer una biyeccio´n. Pero puede darse el caso de la
existencia de una biyeccio´n y sin embargo los grupos pueden no ser isomor-
fos, en cuyo caso se debe demostrar que uno de ellos posee una propiedad
que el otro no posee. Esta propiedad debe depender de la operacio´n y no de
los elementos en particular. Por ejemplo, el grupo aditivo de los enteros no
es isomorfo al grupo aditivo de los reales porque no existe biyeccio´n entre
ellos. Por otra parte no se puede decir que el grupo aditivo de los enteros no
es isomorfo al grupo aditivo de los racionales porque 1
2
pertenece al segundo
pero no al primero, la verdadera razo´n es Z c´ıclico pero Q no lo es.
El teorema de Cayley
Una considerable parte de los grupos fue concebido previamente como
grupos de permutaciones, adquiriendo posteriormente otras connotaciones
en la medida en que el desarrollo de la teor´ıa les dio vida propia y fue Cayley
el primero en notar que todo grupo pod´ıa presentarse como un grupo de
permutaciones. La importancia del teorema de Cayley radica ba´sicamente en
el hecho de reducir todo grupo a un grupo de permutaciones, pero algunos
algebristas no le conceden otra. Sin embargo es un teorema cla´sico de la
teor´ıa de grupos y no se puede pasar por alto porque encadena algunas ideas
que se ven´ıan estudiando con anterioridad. El teorema establece que:
Teorema 3.7.3. Todo grupo es isomorfo a un grupo de permutaciones.
Demostracio´n. La tarea inicial es encontrar un grupo de permutaciones que
sea isomorfo con el grupo G. Piense en el grupo SG, el grupo de las transfor-
3.7. ISOMORFISMOS 137
maciones en G. En el caso de un grupo finito, SG tiene n! elementos resultando
ser demasiado grande para ser isomorfo con G, por lo tanto hay necesidad
de buscar un subconjunto con un menor nu´mero de elementos.
Para todo a de G, sea ρa : G −→ G, tal que para todo x de G xρa = xa.
Si xρa = yρa, entonces xa = ya, por ende, x = y. Indicando que ρa es
uno a uno.
Adema´s para todo y ∈ G,
(ya−1)ρa = (ya−1)a = y.
Por consiguiente ρa es sobre, y en consecuencia ρa ∈SG.
Sea G′ = { ρa | a ∈ G}. Se debe comprobar que G′ es un subgrupo de
SG, tarea que dejamos al lector.
Toca demostrar que G ≈ G′. Para el efecto tomemos la funcio´n φ : G −→ G′
dada por aφ = ρa, para todo a de G. Si aφ = bφ, ρa = ρb y en particular
eρa = eρb, luego ea = eb o sea, a = b es decir, φ es uno a uno.
Por la definicio´n de G′ resulta fa´cil demostrar que φ es sobre.
Finalmente, (aφ)(bφ) = ρaρb y (ab)φ = ρab. Se dejo´ al cuidado del estu-
diante demostrar que ρaρb = ρab, lo que lleva a concluir que (aφ)(bφ) = (ab)φ,
concluye´ndose que G es isomorfo a G′.
Para la demostracio´n se pudo haber usado la transformacio´n μa = ax,
para todo x de G.
Definicio´n 3.7.3. El grupo G′ = { ρa | a ∈ G}, descrito en la demostracio´n
del teorema de Cayley, se llama la representacio´n regular a derecha de G.
G′′ = { μa | a ∈ G } es la representacio´n regular a izquierda de G, donde μa
se definio´ en la nota anterior.
Ejemplo 3.7.4. Computar la representacio´n regular a derecha del grupo da-
do por la tabla
∗ e a b
e e a b
a a b e
b b e a
Solucio´n . Los elementos de esta representacio´n son
138 CAPI´TULO 3. SUBGRUPOS NORMALES–ISOMORFISMOS
ρe =
(
e a b
e a b
)
ρa =
(
e a b
a b e
)
ρb =
(
e a b
b e a
)
Si hallamos todos los productos posibles podremos calcular la tabla del grupo
G′ = { ρe, ρa, ρb }. Suponiendo que tales productos se han calculado la tabla
es la siguiente
∗ ρe ρa ρb
ρe ρe ρa ρb
ρa ρa ρb ρe
ρb ρb ρe ρa
Figura 3.6
La estructura del grupo es ide´ntica salvo el renombramiento de los elementos
de la tabla inferior, donde x se denomina ahora ρx.
Para un grupo finito representado mediante una tabla, ρx es la permu-
tacio´n calculada tomando los elementos en el orden en que aparecen en la
columna encabezada por x, para todo x de G. Como en la columna encabe-
zada por b, los elementos aparecen en el orden (b, e, a) es claro que
ρb =
(
e a b
b e a
)
.
EJERCICIOS
1. Sean G un grupo c´ıclico generado por a y G′ un grupo isomorfo con G.
Demostrar que para todo x de G, xφ esta´ completamente determinado
por el valor de aφ, donde φ es el isomorfismo respectivo.
2. Demostrar que la relacio´n ser isomorfo es una relacio´n de equivalencia.
3. Sean 〈G, ·〉 un grupo y ∗ una operacio´n definida en G, mediante la
fo´rmula x ∗ y = yx, para x, y elementos de G. Demostrar que 〈G, ∗〉 es
un grupo y adema´s es isomorfo a 〈G, ·〉. Sugerencia, tome φ dado por
xφ = x−1.
3.7. ISOMORFISMOS 139
4. Sea φ : G −→ G′ un isomorfismo. Demuestre que para todo entero n,
xnφ = (xφ)n.
5. Demostrar que si φ : G −→ G′ es un homomorfismo de nu´cleo Kφ
entonces Gφ es un grupo y existe un isomorfismo cano´nico de G sobre
G/Kφ.
6. Demostrar que si φ : G −→ G′ es un isomorfismo y si H es un subgrupo
de G, entonces Hφ = { hφ | h ∈ H} es un subgrupo de G′.
7. Sea 〈R−1, ∗〉 un grupo, donde R−1 es el conjunto de los reales diferentes
de −1 y ∗ es la operacio´n definida por la igualdad, x ∗ y = x + y + xy.
Demostrar que 〈R−1, ∗〉 es isomorfo al grupo multiplicativo de los reales
diferentes de cero.
Sugerencia: Considere φ : R∗ −→ R−1 donde xφ = x− 1.
8. Demostrar que la aplicacio´n φr : G −→ G dada por la igualdad
xφr = x
r es un automorfismo, donde G es un grupo abeliano finito
de orden n y r es un entero positivo primo relativo con n.
9. Deduzca que la ecuacio´n xr = a siempre tiene solucio´n en un grupo
abeliano finito G si r es primo relativo con el orden de G. ¿ Que´ sucede
si r no es primo relativo con el orden de G?
10. Sea Int(G) el conjunto de los automorfismos internos del grupo G.
Demostrar que la aplicacio´n φ : G −→ Int(G) dada por la igualdad
gφ = ig−1 es un homomorfismo de G sobre Int(G). Demostrar que el
nu´cleo (centro de G) es { a ∈ G | ax = xa, ∀x ∈ G }. Describa cuando
φ es un isomorfismo.
11. Sean G1, G2 grupos, φ1 : G1 −→ G2 , φ2 : G2 −→ G1 homorfismos tales
que las respectivas compuestas verifican la igualdad: φ1φ2 = φ2φ1 = i,
(la funcio´n ide´ntica). Demostrar que φ1, φ2 son isomorfismos y que
φ1 = (φ2)
−1.
12. Considere el grupo cuaternario de Klein. Hallar la representacio´n regu-
lar a izquierda de dicho grupo y construir la tabla correspondiente.
13. Sean G1, G2 grupos notados multiplicativamente. En el producto car-
tesiano G1 ×G2 defina una operacio´n mediante la igualdad,
(a1, a2)(b1, b2) = (a1a2, b1b2)
140 CAPI´TULO 3. SUBGRUPOS NORMALES–ISOMORFISMOS
La operacio´n de la primera componente es la de G1 y la de la segunda
es la de G2
a) Demostrar que esta ley de composicio´n convierte a G1 × G2 en
un grupo denominado el producto directo de G1 por G2, notado∏2
i=1 Gi.
b) Dar una generalizacio´n del producto directo de una familia finita
de grupos Gi, 1 ≤ i ≤ n, y demostrar que el producto directo
forma un grupo con la operacio´n dada.
14. Sean G1 = { e1, a1 }, G2 = { e2, a2 }. Escribir la tabla de
∏2
i=1 Gi.
15. Considere el grupo S4 de las permutaciones del conjunto { e, a, b, c }.
Sea SK el conjunto formado por
(
e a b c
e a b c
) (
e a b c
a e c b
) (
e a b c
b c e a
) (
e a b c
c b a e
)
Las permutaciones involutivas, esto es, cuyo cuadrado es la ide´ntica.
a) Demostrar que SK es un grupo y escriba la tabla.
b) Demostrar que SK es isomorfo al producto directo del ejercicio 14.
c) Demostrar que SK es un subgrupo normal de S4.
d) Demostrar que el grupo cociente S4/SK es isomorfo con S3.
e) Demostrar que SK es isomorfo con el grupo cuaternario de Klein.
Use el ejercicio 12.
f ) Compare los literales (b) y (e) y obtenga una conclusio´n.
16. Demostrar que Z4×Z6/H es isomorfo con Z4, donde H es el subgrupo
c´ıclico generado por (0, 1).
Cap´ıtulo 4
ANILLOS
4.1. Definicio´n y Ejemplos
Los anillos son estructuras con dos operaciones. Desde este punto de vista
se pueden considerar como sistemas ma´s complejos, pero a pesar de esta
diferencia con los grupos, en su estudio se seguira´ en lo posible el mismo
esquema desarrollado con estos u´ltimos. Hay una clase especial de subanillos,
los ideales, que permiten partir los anillos en clases para construir, como en
el caso de los grupos, nuevas estructuras relacionadas con sus generadoras
a trave´s de los homomorfismos. Los ideales servira´n para estudiar con un
a´ngulo ma´s amplio la teor´ıa de la divisibilidad aplicada hasta el momento
solo al anillo de los nu´meros enteros.
Definicio´n 4.1.1. Un anillo 〈A,+, ·〉 es un conjunto A dotado de dos ope-
raciones, suma y producto que satisfacen las siguientes propiedades.
1. 〈 A, + 〉 es un grupo abeliano.
2. El producto es asociativo.
3. Las propiedades distributivas a izquierda y derecha se verifican, esto es,
para cualesquiera a, b, c de A.
a(b + c) = ab + ac y (b + c)a = ba + ca.
Por abuso del lenguaje, al igual que con los grupos, los anillos y dema´s
estructuras se notara´n usando solo la letra respectiva siempre que no haya
lugar a confusio´n. Con Z, Q, R, C se nombrara´n en ese orden los anillos
141
142 CAPI´TULO 4. ANILLOS
enteros, racionales, reales y complejos con la suma y producto usuales. El
punto del producto se usara´ en los casos estrictamente necesarios.
Ejemplo 4.1.1. Sea A el conjunto { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } con las operaciones
suma y producto mo´dulo seis, esto es, donde “a + b” y “ab” son el residuo
obtenido cuando la suma y el producto usuales se dividen por seis. La es-
tructura as´ı definida se denomina el anillo Z6 y se acostumbra representarlo
mediante un par de tablas,
Tabla de sumar Tabla de multiplicar
+ 0 1 2 3 4 5 · 0 1 2 3 4 5
0 0 1 2 3 4 5 0 0 0 0 0 0 0
1 1 2 3 4 5 0 1 0 1 2 3 4 5
2 2 3 4 5 0 1 2 0 2 4 0 2 4
3 3 4 5 0 1 2 3 0 3 0 3 0 3
4 4 5 0 1 2 3 4 0 4 2 0 4 2
5 5 0 1 2 3 4 5 0 5 4 3 2 1
Figura 4.1
4.2. El Anillo Zn
En general, para n ≥ 2 se puede describir a Zn como el anillo de los
enteros mo´dulo n. Veamos co´mo es esto posible.
Definicio´n 4.2.1. Un conjunto de n enteros:a1, a2, a3, . . . , an se denomina
un sistema residual completo mo´dulo n si cada entero es congruente mo´dulo
n con exactamente uno de los ai, 1 ≤ i ≤ n.
El siguiente teorema garantiza que cualquier entero es congruente mo´dulo
n exactamente con uno de los naturales 0, 1, 2, 3, · · · , n− 1.
Teorema 4.2.1. El conjunto 0, 1, 2, 3, . . . , n − 1 es un sistema residual
completo mo´dulo n.
Demostracio´n. Sea a un entero, el algoritmo de la divisio´n establece que
existen enteros q, r, con 0 ≤ r ≤ (n− 1), tales que a = nq + r, entonces
a ≡ nq + r ≡ 0q + r ≡ r mod n.
4.2. EL ANILLO ZN 143
Se ha demostrado que a es congruente con al menos uno de los nu´meros de
la coleccio´n 0, 1, 2, 3, . . . , n− 1.
Supongamos que existen enteros 0 ≤ r1 ≤ (n− 1), 0 ≤ r2 ≤ (n− 1) tales
que
a ≡ r1 mod n, a ≡ r2 mod n y r1 > r2.
Por la propiedad transitiva, r1 ≡ r2 mod n y por definicio´n n|(r1 − r2). Pero
r1− r2 es un entero positivo menor que n, por lo tanto no puede ser divisible
por n, concluye´ndose que a no puede ser congruente con dos elementos del
conjunto 0, 1, 2, 3, . . . , n− 1.
Si agrupamos todos los enteros congruentes con j, 0 ≤ j ≤ (n − 1) en
un mismo conjunto y esto lo hacemos con cada uno de los j, obtenemos n
colecciones o clases en la siguiente forma,
[ 0 ] = {. . . ,−2n,−n, 0, n, 2n, 3n, . . . }
[ 1 ] = {. . . ,−(2n− 1),−(n− 1), 1, (n+ 1), (2n + 1), . . .}
[ 2 ] = {. . . , (2n− 2),−(n− 2), 2, (n+ 2), (2n+ 2), . . . }
...
[n− 1 ] = {. . . ,−(2n + 1),−(n + 1), (n− 1), (2n− 1), . . . }.
Colecciones que inducen una particio´n de los enteros en clases residuales a
trave´s de la congruencia mo´dulo n.
Consideremos el dominio de operadores Δ = N, y la ley de composicio´n
externa
N× Z → Z
(n, z) → nz = z + z · · ·+ z︸ ︷︷ ︸
n veces
(0, z) → 0z = 0.
Sean x, y enteros, n un natural, entonces
n(x + y) = (x + y) + (x + y) + · · ·+ (x + y)︸ ︷︷ ︸
n veces
= (x + x + · · ·+ x)︸ ︷︷ ︸
n veces
+(y + y + · · ·+ y)︸ ︷︷ ︸
n veces
= nx + ny.
144 CAPI´TULO 4. ANILLOS
Adema´s,
0(x + y) = 0 = 0 + 0 = 0x + 0y,
identidades que nos conducen a afirmar que N es un dominio de operadores
distributivo y de aqu´ı a considerar al grupo Z como un grupo con operadores,
o un Δ–grupo. La construccio´n anterior debe dejar establecido que en general
na no es el producto de elementos del anillo Z, porque el natural n siempre
va a ser tomado del dominio de operadores Δ = N que opera a la derecha.
Si a ≡ b mod n, para todo entero x,
x + a ≡ x + b mod n y a + x ≡ b + x mod n
indicando que la congruencia mo´dulo n es regular puesto que lo es a izquierda
y a derecha.
De ide´ntica manera se ve que para todo natural m,
ma ≡ mb mod n,
es decir, la congruencia es l´ıcita para la ley de composicio´n externa N×Z → Z.
En s´ıntesis, la congruencia mo´dulo n es una congruencia y consecuente-
mente la clase [ 0 ] = [ n ] es un subgrupo de Z, donde las clases de equivalencia
vienen dadas por la igualdad,
[ a ] = [ a + 0 ], 1 ≤ a ≤ (n− 1).
Como Z es abeliano, [ 0 ] es un subgrupo normal. El grupo factor de Z mo´dulo
n, esto es, Z/n es de orden n.
La suma de clases definida por la igualdad
(a + [ 0 ]) + (b+ [ 0 ]) = (a + b) + [ 0 ],
o equivalentemente,
[ a ] + [ b ] = [ a + b ]
es conmutativa, en efecto,
[ a ] + [ b ] = [ a + b ]
= [ b + a ]
= [ b ] + [ a ],
indicando que Z/n es abeliano.
4.2. EL ANILLO ZN 145
Antes de proseguir es indispensable definir en Z una ley de composicio´n
interna Z× Z → Z llamada producto as´ı,
(n, z) → nz = z + z + z + · · ·+ z︸ ︷︷ ︸
n veces
(0, z) → 0z = 0
(n, z) → nz = (−z) + (−z) + · · ·+ (−z)︸ ︷︷ ︸
(−n) veces
para n < 0.
Se deja al lector demostrar que esta operacio´n esta´ bien definida, es asocia-
tiva, conmutativa y distributiva lo que no es tarea complicada.
Se define un producto entre clases en la siguiente forma,
(a + [ 0 ])(b+ [ 0 ]) = ab + [ 0 ]
o equivalentemente,
[ a ][ b ] = [ ab ].
Este producto esta´ bien definido. Si
a + [ 0 ] = c + [ 0 ] y b + [ 0 ] = d + [ 0 ]
necesariamente
a ≡ c mod n y b ≡ d mod n
entonces
ab ≡ cd mod n
o sea,
ab + [ 0 ] = cd+ [ 0 ]
o equivalentemente,
[ ab ] = [ cd ].
Para demostrar la asociatividad conside´rense las clases [ a ], [ b ], [ c ], luego
[ a ]([ b ][ c ]) = [ a ]([ bc ])
= [ a(bc) ]
= [ (ab)c ]
= [ ab ][ c ]
= ([ a ][ b ])[ c ].
146 CAPI´TULO 4. ANILLOS
Es, adema´s, distributiva tanto a derecha como a izquierda, ya que,
([ a ] + [ b ])[ c ] = [ a + b ][ c ]
= [ ac + bc ]
= [ ac ] + [ bc ]
= [ a ][ c ] + [ b ][ c ].
Igualmente,
[ c ]([ a ] + [ b ]) = [ c ][ a ] + [ c ][ b ].
Se ha demostrado que Zn es un anillo, donde las operaciones pueden realizarse
tomando elementos arbitrarios de cada una de las clases a operar. Para sumar
o multiplicar clases se eligen representantes x, y pertenecientes a estas y se
busca la clase que contiene la suma o producto de los escogidos.
Tome la suma y el producto [ rj + rs ], [ rj ][ rs ] de las clases determinadas
por los residuos mo´dulo n, rj, rs seleccionando los elementos a en [ rj ], b en
[ rs ]. Como
a ≡ rj mod n y b ≡ rs mod n.
Sumando y multiplicando miembro a miembro,
a + b ≡ rj + rs mod n y ab ≡ rjrs mod n,
pero rj + rs y rjrs deben estar ubicados en sus respectivas clases por lo que
deben existir residuos rt, ru tales que,
rj + rs ≡ rt mod n y rjrs ≡ ru mod n,
y en consecuencia,
a + b ≡ rt mod n y ab ≡ ru mod n,
lo que indica que para sumar o multiplicar clases basta con sumar o multipli-
car los correspondientes residuos determinantes de cada clase (representantes
cano´nicos ). Las operaciones suma y producto mo´dulo n esta´n un´ıvocamente
determinadas por la suma y producto de los residuos 0, 1, 2, . . . , n− 1. Cual-
quier entero es “igual” a uno de los restos anteriores. Dos de tales residuos
pueden sumarse o multiplicarse en la forma habitual reduciendo el resultado
a un residuo mo´dulo n que sera´ en definitiva la respuesta buscada. El a´lgebra
de Zn se obtiene reemplazando la congruencia por la igualdad, ya que al fi-
nal de cuentas ambas son relaciones de equivalencia. Este reemplazo permite
4.3. EL ANILLO DE LOS ENDOMORFISMOS DE A 147
escribir en general, para los elementos del conjunto {0, 1, 2, 3, . . . , n− 1}, las
igualdades
rj + rs = rt y rjrs = ru,
omitiendo las clases a las que pertenecen cada uno de los r.
Ma´s tarde volveremos a tratar el tema para dar algunos toques finales,
entre tanto mencionaremos indistintamente a Zn y Z/[n ] como si se tratara
del mismo anillo. Un ejemplo particular se dio para Z6.
Definicio´n 4.2.2. El elemento 1 del anillo A se llama un elemento unitario
si para todo a de A, a1 = 1a = a. En este caso se dice que A es un anillo
con elemento unitario.
El anillo 2Z de los enteros pares es un anillo sin elemento unitario, en
cambio Z6 tiene a 1 como elemento unitario.
Definicio´n 4.2.3. A se dice un anillo conmutativo si el producto lo es, esto
es, si para todo a, b en A, ab = ba.
4.3. El anillo de los Endomorfismos de A
Sea A un grupo abeliano, End(A) el conjunto de los endomorfismos de
A. Se puede definir una ley de composicio´n interna “+” en End(A) de la
siguiente manera.
Para cada pareja φi, φj de End(A), φi + φj, esta´ descrito para todo a de
A, por la igualdad,
a(φi + φj) = (aφi)(aφj).
Donde la segunda parte de la igualdad representa la operacio´n del grupo A,
que se ha notado multiplicativamente. Como
(ab)(φi + φj) = [(ab)φi][(ab)φj ]
= [(aφi)(bφi)][(aφj)(bφj)]
= [(aφi)(aφj)][(bφi)(bφj)]
= [a(φi + φj][b(φi + φj)],
indicando que φi+φj pertenece a End(A), esto es, la suma de endomorfismos
es un endomorfismo.
148 CAPI´TULO 4. ANILLOS
Sean φi, φj, φk endomorfismos de A,
a[φi + (φj + φk)] = (aφi)[a(φj + φk)]
= (aφi)[(aφj)(aφk)]
= [(aφi)(aφj)](aφk)
= [a(φi + φj)](aφk)
= a[(φi + φj) + φk],
de donde se deduce que la suma esasociativa.
Si e es el elemento de identidad de A, la funcio´n 0 definida para todo a
de A por
a0 = e,
es indudablemente el elemento de identidad para la adicio´n de End(A). Efec-
tivamente, para todo φ que pertenece a End(A) es cierto que,
a(0 + φ) = (a0)(aφ)
= e(aφ)
= aφ
= a(φ + 0)
= (aφ)(a0)
= (aφ)e
= aφ.
Si φ pertenece a End(A), el endomorfismo (−φ) definido por
a(−φ) = (aφ)−1
pertenece a End(A) porque
(ab)(−φ) = [(ab)φ]−1
= [(aφ)(bφ)]−1
= [aφ]−1[bφ]−1
= [a(−φ)][b(−φ)].
Claramente (−φ) + φ = 0 puesto que
a[−(φ) + φ] = [a(−φ)][aφ]
= [aφ]−1[aφ]
= e
= a0.
4.3. EL ANILLO DE LOS ENDOMORFISMOS DE A 149
Similarmente
φ + (−φ) = 0.
Como A es abeliano se puede establecer sin dificultad la igualdad
a(φi + φj) = a(φj + φi).
Se ha demostrado que End(A) es un grupo abeliano.
Si en el conjunto End(A) se considera la composicio´n de funciones como
la segunda operacio´n, esta es asociativa ya que la composicio´n de funciones
lo es. Adema´s la propiedad distributiva a izquierda se verifica sin restriccio-
nes para funciones en general y la distributiva a derecha es va´lida para los
endomorfismos, para el efecto tomemos los endomorfismos φi, φj, φk y a en
A.
a[(φi + φj) o φk] = [a(φi + φj)]φk
= [(aφi)(aφj)]φk
= [(aφi)φk][(aφj)φk] (Por ser φk un endomorfismo)
= [a(φi o φk)][a(φj o φk)]
= a(φi o φk) + a(φj o φk).
De manera ana´loga se demuestra para funciones cualesquiera,
a[φk o (φi + φj)] = [a(φk o φi)] + [a(φk o φj)].
En conclusio´n, End(A) es un anillo llamado el anillo de los endomorfismos del
grupo A. Como la composicio´n de funciones no es en general conmutativa,
End(A) no es en general un anillo conmutativo. Sin embargo, End(Z) es
conmutativo cuando se considera el grupo de los enteros con la suma habitual.
Si A es un grupo abeliano y consideramos AA el conjunto de todas las
funciones de A en A, y definimos las mismas operaciones anteriores, en AA se
verifican todas las propiedades de los anillos excepto la distributiva a derecha.
El teorema que sigue demuestra algunos hechos de comu´n ocurrencia en
los enteros que se pueden generalizar. Excepto para el caso el anillo A = {0}
donde se han definido las operaciones suma y producto por las igualdades
0 + 0 = 0, y 0.0 = 0, en este caso el elemento cero actu´a a la vez como
mo´dulo aditivo y multiplicativo. En los dema´s siempre se tendra´ que dichos
elementos deben ser diferentes.
150 CAPI´TULO 4. ANILLOS
Teorema 4.3.1. Si A es un anillo, entonces para toda pareja a, b de elemen-
tos de A.
1. a0 = 0a = 0.
2. a(−b) = (−a)b = −(ab).
3. (−a)(−b) = ab.
4. Si A tiene elemento unitario 1, entonces 1 es el u´nico elemento de
identidad para el producto.
5. (−1)a = −a.
Demostracio´n. Sea a un elemento de A, entonces,
a0 = a(0 + 0) = a0 + a0.
Por la propiedad cancelativa de la suma
0 = a0.
Similarmente es obvio que 0a = 0.
Para demostrar que a(−b) es el inverso de ab, se debe comprobar que
ab + a(−b) = 0.
Por la propiedad distributiva y (1) obtenemos el resultado deseado.
ab + (−ab) = a(b + (−b)) = a0 = 0.
Ana´logamente se demuestra que (−a)b = −ab.
El numeral (3) es una consecuencia de (2) y la dejamos al lector. Por
ide´ntica razo´n dejamos tambie´n la demostracio´n de (5). Para demostrar (4)
proceda como lo hizo con los grupos.
Definicio´n 4.3.1. Sea A un anillo, A′ un subconjunto de A. A′ es un suba-
nillo de A, si A′ con las operaciones de A es a su vez un anillo.
Teorema 4.3.2. Un subconjunto A′ de un anillo A es un subanillo de A si
y solamente si
1. 0 es un elemento de A′.
4.3. EL ANILLO DE LOS ENDOMORFISMOS DE A 151
2. a− b pertenece a A′, siempre que a y b pertenezcan a A′.
3. ab pertenece a A′, siempre que a y b pertenezcan a A′.
Demostracio´n. En el estudio de la teor´ıa de grupos se demostro´ que A′ es un
subgrupo de A si A′ es cerrado para la diferencia. Esto es, si a− b pertenece
a A′. Como esto es cierto por hipo´tesis, A′ es un subgrupo. Como A es
abeliano, A′ tambie´n lo es. Por la condicio´n (3) el producto es cerrado en
A′. Las propiedades asociativa y distributiva de hecho se verifican en A′,
porque de no ser as´ı tampoco se verificar´ıan en A. Lo mismo sucede con las
propiedades restantes, por lo tanto A′ es un subanillo de A.
Si A′ es un subanillo de A, es igualmente un subgrupo, luego 0 pertenece
a A′. Adema´s para todo par a, b de A′, −b pertenece a A′, y por ser la suma
estable en A′, a− b = a+ (−b) pertenece a A′. Igual sucede con el producto
ab.
Ejemplo 4.3.1. Sea a un elemento fijo del anillo A. Demostrar que el con-
junto
Ia = { x ∈ A | ax = 0 }
es un subanillo de A.
Demostracio´n. Como 0 ∈ A y a0 = 0, es obvio que 0 ∈ Ia.
Sean x, y elementos de Ia, entonces
ax = 0, ay = 0
por tanto a(x− y) = 0, lo que indica que (x− y) ∈ Ia.
Similarmente xy ∈ Ia, concluye´ndose que Ia es un subanillo de A.
EJERCICIOS
1. ¿Cua´les de los siguientes conjuntos con las operaciones indicadas for-
man un anillo? Para aquellos que lo son diga cua´les son conmutativos
y cua´les tienen elemento unitario y descr´ıbalos. Para los que no lo son
establezca la propiedad que no se cumple.
a) Si A y B son dos anillos, la suma directa de A y B esto es, el
conjunto A + B de todos los pares (a, b) con a en A, b en B con
152 CAPI´TULO 4. ANILLOS
las dos operaciones definidas por
(a1, b1) + (a2, b2) = (a1 + b1, a2 + b2)
(a1, b1)(a2, b2) = (a1a2, b1b2).
b) La suma directa A1 + A2 + A3 + · · · + An de n anillos. Defina
previamente las operaciones correspondientes. Estas son generali-
zaciones de las dadas en (a).
c) {a + b√2 | a, b ∈ Z} con la suma y el producto usuales.
d) {a + b√2 | a, b ∈ Q} con las operaciones usuales.
e) {a√−1 | a ∈ R} con las operaciones entre complejos.
f ) Sea Z[ i ] = {x | x = a + bi a, b son enteros, i = √−1 con las
operaciones entre complejos.
2. Si a, b son elementos de un anillo y m, n son enteros, demuestre que
(na)(mb) = (mn)(ab).
3. Si A es un conjunto que satisface todas las propiedades de los anillos con
elemento unitario, excepto posiblemente la propiedad conmutativa de la
suma, demuestre que dicha propiedad necesariamente debe verificarse
en A.
4. Demostrar que la interseccio´n de subanilllos de un anillo A, es un sub-
anillo de A.
5. Un anillo A es un anillo Booleano si a2 = a, para todo a ∈ A. Demostrar
que todo anillo Booleano es conmutativo.
6. Sea A un conjunto. En las partes de A, P(A) defina una suma y un
producto as´ı: A1 + A2 = (A1 ∪ A2)− (A1 ∩A2) y A1 · A2 = (A1 ∩ A2).
Demostrar que P(A) con las operaciones antes definidas en un anillo
Booleano.
7. Sea A un anillo en el que se verifica la igualdad x3 = x, para todo x de
A. Demuestre que A es un anillo conmutativo.
4.4. DIVISORES DE CERO 153
4.4. Divisores de Cero
En el a´lgebra de los nu´meros reales es un lugar comu´n decir que si el
producto de dos factores es cero, al menos uno de ellos debe ser cero, hecho
usado especialmente en la solucio´n de ecuaciones por el me´todo de factori-
zacio´n. Esta propiedad que quisie´ramos se verificara en todos los anillos no
es cierta en general, por ejemplo en Z6 el producto 4× 3 = 0, siendo ambos
factores diferentes de cero.
Definicio´n 4.4.1. Sean a �= 0, b �= 0 dos elementos de un anillo A tales que
ab = 0. a y b se denominan divisores de cero, a es un divisor a izquierda,
mientras que b lo es a derecha.
Si el anillo es conmutativo no se establece distincio´n entre divisores a derecha
o a izquierda. En Z6 los divisores de cero son 2, 3, 4. Note que estos nu´meros
no son primos relativos con 6. Esta situacio´n se generaliza con el siguiente
teorema.
Teorema 4.4.1. En el anillo Zn los divisores de cero son aquellos nu´meros
que no son primos relativos con n.
Demostracio´n. Sea m �= 0 un elemento de Zn tal que (m,n) = g �= 1,
entonces m = gr, n = gs, 1 ≤ r ≤ n− 1, 1 ≤ s ≤ n− 1.
ms = m
n
g
= n
m
g
= nr = 0
porser nr un mu´ltiplo de n. Entonces ms = 0, indicando que m es un divisor
de cero.
Por otra parte, supongamos que existen enteros m, s en Zn, tales que
ms = 0 con (m,n) = 1. Si ms = 0, ms es un mu´ltiplo de n, esto es, ms = nt,
para 1 ≤ t ≤ n − 1 de donde se deduce que n divide a ms, pero m y n son
primos relativos entonces la u´nica posibilidad es que n divida a s, y dado que
s es menor que n, s = 0.
El teorema 4.4.1 se usa para demostrar que para todo primo p, Zp no
tiene divisores de cero. En efecto, para todo m en Zp (m, p) = 1. Si existe
s en Zp tal que ms = 0, por el teorema mencionado necesariamente s = 0
indicando que s no es un divisor de cero.
Observando la tabla de multiplicar de Z6 se nota que 3× 4 = 3× 2 y sin
embargo, no se puede asegurar usando la propiedad cancelativa que 4 = 2.
Esta propiedad se verifica en un anillo siempre y cuando no existan divisores
de cero y viceversa. La demostracio´n se propone como ejercicio.
154 CAPI´TULO 4. ANILLOS
4.5. Dominios de Enteros–Campos
En un anillo A sin divisores de cero, si a �= 0, la ecuacio´n ax = b tiene
cuando ma´s una solucio´n, dado el cumplimiento de la propiedad cancelativa.
Si 1 es el mo´dulo para el producto, la solucio´n viene dada por x = a−1b,
mientras que ba−1 es la solucio´n de la ecuacio´n xa = b. En algunos conjuntos
como los racionales, los reales y otros, el producto es conmutativo y posee
elemento unitario 1, pero en otros estas condiciones no se verifican, por ejem-
plo las matrices n×n (n ≥ 2) con componentes enteras no son conmutativas
para el producto. Por otra parte, el conjunto A∗ de los elementos diferentes
de cero en un anillo A con elemento unitario, si el producto esta´ bien defi-
nido en A∗ y esta´ asegurada la existencia de los inversos multiplicativos, A∗
conforma un grupo para dicho producto.
Definicio´n 4.5.1. Un dominio de enteros es un anillo conmutativo con ele-
mento unitario que no tiene divisores de cero.
Los enteros y Zp, para p un primo son dominios de enteros, mientras que Zn
no lo es cuando n es compuesto.
Sea Z[ i ] = {x | x = a+bi, a, b son enteros, i = √−1 } con las operaciones
entre complejos. Se asigno´ como ejercicio demostrar que Z[ i ] es un anillo
conmutativo con elemento unitario.
Para demostrar que es un dominio basta comprobar que no tiene divi-
sores de cero. Para el efecto to´mense los elementos x, y con sus respectivos
conjugados x, y. Supongamos que xy = 0, entonces por las propiedades del
producto de complejos se obtienen las igualdades:
(xx)(yy) = (xy)(xy) = 0.
De estas deducimos que
(xx) = 0 o (yy) = 0
y de las u´ltimas se concluye que x = 0 o y = 0.
Z[ i ] es conocido como el dominio de los enteros gaussianos.
Definicio´n 4.5.2. Sea A un anillo con elemento unitario. Un elemento u de
A (u �= 0) se denomina una unidad si el inverso multiplicativo de u tambie´n
pertenece a A.
4.5. DOMINIOS–SEMICAMPOS–CAMPOS 155
En el anillo de los enteros las u´nicas unidades son 1 y −1 mientras que en
los racionales todo elemento diferente de cero es una unidad.
Definicio´n 4.5.3. Sea A un anillo con elemento unitario. Si cada elemento
de A diferente de cero es una unidad, entonces A se llama un anillo con
divisio´n o un semicampo
Los racionales forman un semicampo, pero los enteros no.
Si A es un semicampo los elementos de A diferentes de cero son todos uni-
dades, esto significa que el inverso multiplicativo de todo elemento diferente
de cero tambie´n es un elemento de A. En adelante el inverso multiplicativo
de a se notara´ a−1.
En un semicampo el producto es asociatvo, existe un u´nico elemento
unitario y cada a �= 0 es una unidad. Esto es, para todo a �= 0, a1 = 1a = a,
existe a−1 en A tal que aa−1 = a−1a = 1. Condiciones que garantizan que
en un semicampo los elementos diferentes de cero forman un grupo bajo el
producto.
Ahora estamos en condicio´n de dar la definicio´n de la estructura conocida
con el nombre de campo o cuerpo.
Definicio´n 4.5.4. Un campo es un anillo conmutativo con divisio´n.
Los racionales y los reales son dos conocidos campos, mientras que los enteros
no lo son. Por ejemplo, 3 es una unidad para los racionales y los reales y no
lo es para los enteros.
Dados dos elementos a, b ( b �= 0 ) de un campo, el producto ab−1 tambie´n
le pertenece y al ser esta u´ltima operacio´n conmutativa, ab−1 = b−1a. Como
no hay lugar a confusio´n se conviene en establecer la igualdad
ab−1 =
a
b
y sera´ llamado el cociente entre a y b. Las reglas conocidas de la suma y
producto de racionales son casos particulares de unas ma´s generales de estas
mismas operaciones entre cocientes de un campo cualquiera. Estas pueden
demostrarse a partir de la suma y el producto del campo en consideracio´n.
Si hacemos referencia a un campo F , y se consideran los elementos a, b, c, d
en F , donde b �= 0, d �= 0, se puede decir,
1.
a
b
=
c
d
si y solo si ad = bc.
156 CAPI´TULO 4. ANILLOS
2.
a
b
+
c
d
=
ad + bc
bd
y
a
b
− c
d
=
ad− bc
bd
.
3.
a
b
c
d
=
ac
bd
.
4.
a
b
+
−a
b
= 0.
5. Si
a
b
�= 0 entonces a
b
b
a
= 1.
4.5.1. Subdominios–Subcampos
As´ı como se definieron para los grupos y los anillos las nociones de sub-
grupo y subanillo, se pueden definir para los dominios y los campos las corres-
pondientes subestructuras
Definicio´n 4.5.5. Un subconjunto de un dominio (campo) se denomina un
subdominio (subcampo) si tal conjunto con las mismas operaciones es a su
vez un dominio (campo).
Las propiedades que se verifican en un dominio (campo) tambie´n se verifi-
can en cualquier subconjunto siempre y cuando sea posible realizarlas. La
demostracio´n del siguiente teorema se deja al cuidado del lector.
Teorema 4.5.1. Sea F un campo. Un subconjunto S de F se dice un sub-
campo si y solo si,
1. 0 pertenece a S.
2. 1 pertenece a S, 1 es el elemento unitario de F.
3. S es cerrado para la suma y el producto.
4. Para todo a de S, −a tambie´n pertenece a S.
5. Para todo a �= 0 en S, a−1 pertenece a S.
Para los subdominios basta con suprimir el numeral (5).
El siguiente teorema permitira´ dar una infinidad de ejemplos de campos.
Teorema 4.5.2. Todo dominio de enteros finito es un campo.
4.5. DOMINIOS–SEMICAMPOS–CAMPOS 157
Demostracio´n. Sea A = {0, 1, a2, a3, . . . , an} un dominio de enteros finito.
Para demostrar que A es un campo basta comprobar que todo elemento de
A diferente de cero tiene su inverso multiplicativo en A. Como 1 es su propio
inverso, sea aj �= 0 un elemento de A para 2 ≤ j ≤ n. La sucesio´n,
0, aj, aja2, aja3, . . . , ajan
es una coleccio´n de elementos de A. Supongamos que ajai = ajak. Como A
no tiene divisores de cero se puede aplicar la propiedad cancelativa y obtener
ai = ak, pero esto es imposible si i �= k.
Si existiera as en A tal que ajas = 0, as fuera un divisor de cero, por
consiguiente, para todo s entre 2 y n, ajas �= 0.
Los anteriores argumentos inducen a concluir que el conjunto
{0, aj, aja2, . . . , ajan} = A.
Por tanto debe existir r, tal que 2 ≤ r ≤ n, se tiene ajar = 1, lo que significa
que ar es el inverso de aj. Como aj es un elemento cualquiera se deduce
que todos los elementos diferentes de cero tienen su inverso o sea, A es un
campo.
Si p es un primo se demostro´ que Zp es un dominio de enteros finito y
por lo tanto es un campo.
Ejemplo 4.5.1. Demostrar que 1 y (p−1) son los u´nicos elementos del campo
Zp que son sus propios inversos multiplicativos y que (p− 1)! ≡ −1 mod p.
Solucio´n. Sea a un elemento de Zp diferente de cero, 1 ≤ a ≤ p − 1, luego
0 ≤ a − 1 ≤ p − 2. Si 0 ≤ a− 1 ≤ p− 2, el residuo de dividir (a − 1) por p
nunca es cero. Este residuo es cero solo en el caso de ser a − 1 = 0, es decir
a = 1. Por otra parte, 2 ≤ a+ 1 ≤ p, indica que el residuo de dividir (a+ 1)
por p es cero solo cuando a + 1 = p es decir, a = p− 1.
El anterior razonamientoindica que la ecuacio´n, a2 − 1 = 0 o su equi-
valente (a − 1)(a + 1) = 0 tiene por u´nicas soluciones a = 1, a = p − 1.
Soluciones que permiten concluir que 1 y (p− 1) son los u´nicos elementos de
Zp tales que, 12 = 1 y (p− 1)2 = 1, es decir son sus propios inversos.
Para la otra parte del ejercicio, si p = 2 o p = 3, entonces, 1 ≡ −1 mod 2
y 2 ≡ −1 mod 3.
Conside´rese un primo p ≥ 5. Excepto 1 y (p−1) que son sus propios inver-
sos cada uno de los nu´meros entre 2 y (p−2) tiene por inverso multiplicativo
otro nu´mero entre p y (p− 2).
158 CAPI´TULO 4. ANILLOS
Si tomamos el producto 2 × 3 × 4 × 5 × · · · × (p − 2), este producto
esta´ compuesto por un nu´mero par de elementos. Aplicando las propiedades
asociativa y conmutativa un nu´mero finito de veces es posible escribir cada
uno junto a su inverso multiplicativo sin que sobren, de donde se puede inferir
que
2× 3× 4× 5× · · · × (p− 2) = 1
entonces
2× 3× 4× 5× · · · × (p− 2)× (p− 1) = (p− 1)
pero
(p− 1) ≡ −1 mod p
luego
2× 3× 4× 5× · · · × (p− 2)× (p− 1) ≡ −1 mod p
o equivalentemente (p− 1)! ≡ −1 mod p.
EJERCICIOS
1. Sea A un anillo, U = {u ∈ A | u es una unidad de A}. Demostrar que
U con el producto es un grupo. Primero demuestre que el producto
esta´ bien definido.
2. Demostrar que la propiedad cancelativa se verifica en un anillo A si y
solo si en A no existen divisores de cero.
3. Demostrar que la suma directa de dos dominios de enteros no necesa-
riamente es un domino de enteros.
4. Describa todas las unidades en los siguientes anillos.
a) Z.
b) Z+Z.
c) Z5.
d) Q.
e) Z+Q+Z.
5. Sea A un conjunto. Considere la estructura 〈A,+, ·〉 tal que:
4.6. IDEALES 159
a) 〈A,+〉 es un grupo.
b) 〈A∗, .〉 es un grupo, donde A∗ es el conjunto de los elementos de
A diferentes del elemento de identidad para la suma.
c) a(b+ c) = ab+ ac y (a+ b)c = ac+ bc para todo a, b, c elementos
de A.
Demostrar que 〈A,+, ·〉 es un anillo con division.
6. Demostrar que un anillo finito A con elemento unitario y que no con-
tiene divisores de cero es un anillo con division.
7. Si D es un dominio, demostrar que el conjunto {n · 1 | n ∈ Z} es un
subdominio de D contenido en todo subdominio de D.
4.6. Ideales
Es va´lido afirmar que los ideales representan para los anillos lo que los
subgrupos normales representan para los grupos. Esta analog´ıa se demues-
tra a trave´s de la construccio´n de los anillos cociente siguiendo los me´todos
usados en la teor´ıa de grupos. Se Establecen condiciones semejantes para los
homomorfismos entre anillos teniendo el cuidado de desarrollar las ideas de
la parte correspondiente al producto ya que los aspectos relacionados con la
suma han sido tratados con suficiente extensio´n. Como los ideales resultan ser
subgrupos normales, se indican con la letra N para seguir usando la misma
nomenclatura.
Definicio´n 4.6.1. Sea A un anillo, un subconjunto no vac´ıo N de A es un
ideal si,
1) N es un subgrupo de A bajo la adicio´n.
2) Para todo n de N y para todo a de A, tanto na como an son elementos
de N.
Por la condicio´n (2), N debe llamarse un ideal bilateral, pero como habra´ muy
poca ocasio´n de estudiar ideales que no sean bilaterales este u´ltimo te´rmino
se omite en la definicio´n. En los casos especiales se hara´ notar la diferencia.
Por ser N un grupo abeliano al hacer referencia a las clases laterales no se
especificara´ si son derechas o izquierdas.
Usando el teorema 4.3.2 se demuestra que N es un subanillo de A. Las
dos primeras condiciones se verifican puesto que N es un subgrupo. Para la
160 CAPI´TULO 4. ANILLOS
tercera to´mense a, n elementos de N . Como N esta´ contenido en A, a es
tambie´n un elemento de A. Por la definicio´n de ideal an pertenece a N y en
conclusio´n N es un subanillo de A
La condicio´n (2) de la definicio´n de ideal se puede expresar equivalente-
mente diciendo que tanto Na como aN son subconjuntos de N , para cual-
quier a de A, y consecuentemente se puede concebir un ideal N como un
subanillo de A tal que para todo a de A, Na y aN son subconjuntos de N .
Teorema 4.6.1. Si N es un ideal del anillo A, entonces A/N es un anillo.
Demostracio´n. Considerada la suma como operacio´n, N es un subgrupo de
A. Este hecho permite hacer una particio´n de A en clases laterales. Sea A/N
el conjunto de todas las clases laterales de N en A. Aplicando los resultados
obtenidos para los grupos A/N es un grupo abeliano bajo la adicio´n de clases
descrita mediante la igualdad,
(a + N) + (b + N) = (a + b) + N.
Que, como se ha visto, es independiente de la seleccio´n de los elementos de
las clases dadas.
Para dotar a A/N de una estructura de anillo es indispensable definir
un producto de clases. La forma ma´s simple esta´ sugerida por la fo´rmula
propuesta para el anillo de los enteros, que resulta ser un caso particular de
la que se propone a continuacio´n,
(a + N)(b + N) = ab + N.
Para que esta identidad tenga sentido se debe demostrar que el producto
as´ı representado esta´ bien definido. Para el efecto se demuestra que el pro-
ducto es independiente de la seleccio´n de los elementos de las clases respec-
tivas.
Sean a + n1, b + n2 representantes arbitrarios de las clases a + N , b + N
respectivamente,
(a + n1)(b + n2) = ab + (an2 + n1b + n1n2) = ab + n3.
Por ser N un ideal, (an2+n1b+n1n2) pertenece a N. Llamando al contenido de
este pare´ntesis n3 se pudo escribir la u´ltima igualdad. Pero ab+n3 pertenece a
la clase ab+N , lo que permite concluir que todos los productos de elementos
4.6. IDEALES 161
de la clase (a + N) por elementos de la clase (b + N) pertenecen a la clase
(ab + N), indicando que el producto esta´ bien definido.
Las propiedades asociativa y distributivas son consecuencia de las res-
pectivas propiedades del anillo A, ya que los elementos de A/N son todos
subconjuntos de A, lo que garantiza la verificacio´n de dichas leyes. Se ha
demostrado que A/N es un anillo llamado el anillo cociente.
Si A tiene elemento unitario, entonces (1 +N) es el elemento unitario de
A/N en efecto
(a + N)(1 + N) = a1 + N = a + N
(1 + N)(a + N) = 1a + N = a + N.
Ejemplo 4.6.1. Conside´rese el subgrupo N = {0, 2, 4} de Z6 representado
mediante la tabla
+ 0 2 4
0 0 2 4
2 2 4 0
4 4 0 2
Figura 4.2
El producto de elementos de N por Z6 se representa as´ı,
· 0 1 2 3 4 5
0 0 0 0 0 0 0
2 0 2 4 0 2 4
4 0 4 2 0 4 2
Figura 4.3
Note que N absorbe la multiplicacio´n por elementos arbitrarios del anillo
tanto a izquierda como a derecha (el producto es conmutativo).
En conclusio´n, para todo n de N , y para todo a en Z6, an y na pertenecen
a N o sea, N es un ideal.
El anillo A y el subanillo {0} son los denominados ideales impropios o
triviales, los restantes son los propios.
Ejemplo 4.6.2. Si N, M son ideales del anillo A.
Sea N + M = {n + m | n ∈ N, m ∈ M}. Demostrar que N + M es un
ideal de A.
162 CAPI´TULO 4. ANILLOS
Solucio´n. Sean (n1 + m1), (n2 + m2) elementos de N + M , entonces
(n1 + m1) + (n2 + m2) = (n1 + n2) + (m1 + m2)
por ser N , M grupos abelianos para la suma. Por tanto
(n1 + m1) + (n2 + m2) ∈ N + M.
Si (n+m) ∈ N+M entonces −n ∈ N , −m ∈M luego (−n)+(−m) ∈ N+M ,
por tanto −(n+m) ∈ N +M . Se ha demostrado que N +M es un subgrupo
de A.
Tome a ∈ A, entonces (n + m)a = na + ma. Como N , M son ideales,
na ∈ N , ma ∈M , por tanto (n + m)a ∈ N + M .
Similarmente, a(n + m) ∈ N + M . En s´ıntesis, N + M es un ideal de
A.
Ejemplo 4.6.3. Demostrar que un campo no tiene ideales propios.
Solucio´n. Sea F un campo, N un ideal propio de F . Para todo a de F , para
todo n de N , tanto na como an pertenecen a N . En particular si a = n−1,
1 = nn−1 ∈ N . Tambie´n para todo a de F , si n = 1, a = 1a pertenece a
N . Se ha demostrado que F es un subconjunto de N y como por definicio´n
N esta´ contenido en F , se concluye que N = F , indicando que F no tiene
ideales propios.EJERCICIOS
1. Dados N un anillo conmutativo, a ∈ N , aN = {an | n ∈ N}. Demues-
tre que aN es un ideal de N . Diga que´ sucede si N no es conmutativo.
2. Sea MN = {x | x =
k∑
i=1
mini, mi ∈ M,ni ∈ N, k un natural} donde N ,
M son ideales de A. Demuestre que MN es un ideal de A. Demuestre
adema´s que MN ⊆ (M ∩N).
3. Sean M un ideal de A, a(M) = {x ∈ A | xm = 0, ∀ m ∈ M}.
Demuestre que a(M) es un ideal de A.
4. Sean M , N ideales del anillo conmutativo A. El cociente de M por
N , se define por la igualdad: M : N = {a ∈ A | an ∈ M, ∀n ∈ N}.
Demostrar que M : N es un ideal de A.
4.7. HOMOMORFISMOS 163
5. Un elemento a del anillo A se dice nilpotente si an = 0, para algu´n
n ∈ Z+. Demuestre que el conjunto de todos los nilpotentes de un
anillo conmutativo A es un ideal, el radical de A.
6. De acuerdo con la definicio´n dada en el ejercicio anterior hallar el radical
del anillo de los enteros.
7. Sea A un anillo conmutativo y N un ideal. Demostrar que si cada
elemento de N es nilpotente y el radical de A/N es A/N , entonces el
radical de A es A.
8. Demostrar que si N es el radical del anillo conmutativo A, entonces
A/N tiene como radical el ideal (0 + N).
9. Hallar todos los ideales de Zn para cualquier n.
4.7. Homomorfismos
Como se hab´ıa anotado, el estudio de los homomorfismos entre anillos
se hara´ siguiendo los mismos para´metros marcados a los grupos. Por eso
no debe sorprender la similitud de los resultados. Al finalizar la seccio´n se
podra´ encontrar la analog´ıa entre los ideales y los subgrupos normales.
La ley de composicio´n externa definida para los grupos se puede hacer
extensiva a los anillos. Si Δ = Z, sea
Z ×A −→ A
(n, a) −→ na = a + a + a + a + · · ·+ a︸ ︷︷ ︸
n veces
(0, a) −→ 0a = 0
(n, a) −→ na = (−a) + (−a) + (−a) + · · ·+ (−a)︸ ︷︷ ︸
(−n veces)
. Si n < 0.
Recordemos que en la expresio´n 0a = 0, el cero de la izquierda es el elemento
de identidad de la suma de enteros, mientras que el de la derecha es el ide´ntico
aditivo del anillo A. Se demostro´ que con esta ley A es un Δ–grupo , ma´s
au´n, es un Δ–anillo de acuerdo con la siguiente definicio´n.
Definicio´n 4.7.1. Se denomina Δ–anillo (anillo con operadores) a un anillo
A dotado de un dominio de operadores por la izquierda tal que
164 CAPI´TULO 4. ANILLOS
1. A es un Δ–grupo.
2. n(xy) = (nx)y = x(ny), para n en Δ, x, y en A.
El dominio de operadores se ha definido por la izquierda para estar a tono
con la definicio´n de grupo.
Como A es un Δ–grupo, para demostrar que es un Δ–anillo hay que
comprobar la condicio´n (2).
Para ello basta con tomar n en Z, a, b en A, entonces,
n(ab) = ab + ab + ab + ab + · · ·+ ab︸ ︷︷ ︸
n veces
= a(b + b + b + b + · · ·+ b)︸ ︷︷ ︸
n veces
= a(nb).
Por otra parte,
n(ab) = ab + ab + ab + ab + · · ·+ ab︸ ︷︷ ︸
n veces
= (a + a + a + a + · · ·+ a)b︸ ︷︷ ︸
n veces
= (na)b.
Se deja a los interesados demostrar los casos en que n sea menor o igual a
cero, lo que es tarea sencilla.
Hemos llegado a la conclusio´n que A es un anillo con operadores.
Ahora estamos preparados para dar la siguiente definicio´n.
Definicio´n 4.7.2. Una funcio´n φ de un anillo A en un anillo A′ es un
homomorfismo si para todo a, b en A,
1. (a + b)φ = aφ + bφ
2. (ab)φ = (aφ)(bφ).
Un homomorfismo entre anillos lo es tambie´n entre los respectivos grupos
aditivos, por esta razo´n se verifican las siguientes igualdades
1. 0φ = 0′
4.7. HOMOMORFISMOS 165
2. (−a)φ = −(aφ).
Sea n un entero, a un elemento de A. Si n es mayor que cero, usando la
definicio´n de na y las propiedades de φ se pueden escribir las igualdades que
siguen,
(na)φ = (a + a + a + a + · · ·+ a︸ ︷︷ ︸
n veces
)φ
= aφ + aφ + aφ + aφ + · · ·+ aφ︸ ︷︷ ︸
n veces
= n(aφ).
Si n = 0, entonces
(0a)φ = 0φ = 0′.
Adema´s
0(aφ) = 0′.
La u´ltima igualdad es posible gracias a que Z es un dominio de operadores
por la izquierda para el anillo A′. Si n es menor que cero,
(na)φ = [(−a) + (−a) + (−a) + (−a) + · · ·+ (−a)︸ ︷︷ ︸
n veces
]φ
= [−(a)φ] + [−(a)φ] + [−(a)φ] + [−(a)φ] + · · ·+ [−(a)φ]︸ ︷︷ ︸
−n veces
= n(aφ).
Lo que quiere decir que en todo homomorfismo entre anillos la condicio´n
(na)φ = n(aφ)
se verifica si consideramos a Z como el dominio de operadores para A y A′.
Por esta razo´n tampoco se consigna esta igualdad en la definicio´n.
Considerando los anillos Z y Zn y la funcio´n,
φ : Z −→ Zn
a −→ [ a ]
166 CAPI´TULO 4. ANILLOS
donde a es la clase residual mo´dulo n. Demostrar que es un homomorfismo
es tarea sencilla y se reduce a recordar las definiciones de suma y producto
de clases.
Para los homomorfismos entre anillos la nocio´n de nu´cleo surge de una
manera natural como consecuencia de ser A un grupo abeliano para la adi-
cio´n. Desde este punto de vista se pretende utilizar la teor´ıa desarrollada
para estas u´ltimas estructuras y de paso seguirlas mostrando como el punto
de apoyo para el estudio de estructuras ma´s amplias.
Definicio´n 4.7.3. Si φ es un homomorfismo de A en A′, el nu´cleo de φ,
notado Kφ, es el conjunto de los elementos a de A tales que aφ = 0
′, el cero
de A′.
Por brevedad se notara´ solo con la letra K cuando no haya lugar a confusio´n.
Definicio´n 4.7.4. Un homomorfismo de A en A′ se dice un isomorfismo si
es uno a uno y sobre.
Teorema 4.7.1. Si φ es un homomorfismo de A en A′, el nu´cleo de φ es un
ideal de A.
Demostracio´n. Usando los resultados de la seccio´n 3.6 se concluye K es un
subgrupo normal de A. To´mese k en K, a en A, entonces kφ = 0′. Adema´s
(ka)φ = (kφ)(aφ) = 0′(aφ) = 0′
luego ka pertenece al nu´cleo K. Ide´nticamente
(ak)φ = (aφ)(kφ) = (aφ)0′ = 0′
es decir, ak tambie´n pertenece al nu´cleo K. En s´ıntesis, K es un ideal de
A. Demostra´ndose igualmente la analog´ıa entre los ideales y los subgrupos
normales.
Ejemplo 4.7.1. Sea φ : A −→ A′ un homomorfismo definido para todo a de
A por la igualdad aφ = 0′, entonces K = A. φ se denomina el homomorfismo
cero.
Por otra parte si φ : A −→ A′ es el homomorfismo ide´ntico, K = {0}.
Si consideramos φ : Z −→ Zn dado por aφ = [ a ], K consiste en el
conjunto de los mu´ltiplos de n.
4.7. HOMOMORFISMOS 167
A los homomorfismos de anillos tambie´n se les puede aplicar el hecho de
ser uno a uno como condicio´n equivalente de ser su nu´cleo igual al conjunto
{0}, condicio´n demostrada para los grupos.
Teorema 4.7.2. Sea φ : A −→ A′ un homomorfismo, entonces
1. Si S es un subanillo de A, Sφ es un subanillo de A′.
2. Si S es un ideal de A, Sφ es un ideal de A′.
3. Si S ′ es un subanillo de A′, S ′φ−1 es un subanillo de A.
4. Si S ′ es un ideal de Aφ, S ′φ−1 es un ideal de A.
5. Si A tiene elemento unitario 1, y 1φ �= 0′, 1φ = 1′ es el elemento
unitario de A.
Demostracio´n. Sea S un subanillo de A′, entonces 0 pertenece a S por tanto,
0φ = 0′ pertenece a Sφ. Los resultados obtenidos en la teor´ıa de grupos
garantizan que Sφ es un subgrupo de A, entonces si aφ y bφ son elementos de
Sφ, la diferencia aφ−bφ tambie´n pertenece a Sφ. Adema´s (aφ)(bφ) pertenece
a Sφ ya que ab pertenece a S. En conclusio´n, Sφ es un subanillo de A′.
Indudablemente A es un subanillo de A, entonces de acuerdo con lo de-
mostrado en (1) Aφ es un subanillo de A′ y en consecuencia Aφ es a su vez
un anillo.
Sea S un ideal de A. Nuevamente apelando a la teor´ıa de grupos se afirma
que Sφ es un subgrupo de Aφ ya que S es a su vez un grupo, adema´s para todo
s en S, para todo a en A, (aφ)(sφ) = (as)φ pertenece a Sφ. Similarmente
(sφ)(aφ) pertenece a Sφ, concluye´ndose que Sφ es un ideal de Aφ.
Si S ′ es un subanillo de A′, por las razones expuestas anteriormente, S ′φ−1
es un subgrupo de A, entonces si aφ, y bφ pertenecen a S ′, la diferencia aφ−bφ
es tambie´n un elemento de S ′, pero esta diferencia es igual a (a − b)φ, de
donde se deduce que (a− b)φ pertenece a S ′, luego (a− b) pertenece a S ′φ−1.
Adema´s (aφ)(bφ) = (ab)φpertenece a S ′, lo que equivale a decir que ab
pertenece a S ′φ−1 o sea, S ′φ−1 es un ideal de A.
Si S ′ es un ideal de Aφ, entonces S ′φ−1 es un subgrupo de Aφ. Adema´s,
para todo s en S ′φ−1, para todo a en A, (aφ)(sφ) = (as)φ pertenece a S ′,
de donde se concluye que as pertenece a S ′φ−1. Igualmente, sa pertenece a
S ′φ−1 indicando que S ′φ−1 es un ideal de A.
168 CAPI´TULO 4. ANILLOS
Si A tiene elemento unitario 1, entonces para todo a de A,
aφ = (1a)φ = (1φ)(aφ)
aφ = (a1)φ = (aφ)(1φ).
Si 1φ = 0′, las anteriores igualdades dicen que el elemento 1′ = 1φ es el
elemento unitario de Aφ.
Ejemplo 4.7.2. Sea A un anillo con elemento unitario, A′ un anillo, φ un
homomorfismo de A sobre A′. Demostrar que uφ es una unidad de A′ si y
solo si u no pertenece al nu´cleo de φ. Donde u es una unidad de A.
Solucio´n. Sea u una unidad de A. Supongamos que uφ es una unidad de A′,
entonces, uφ �= 0′, lo que indica que uφ no pertenece al nu´cleo de φ. Por otra
parte sea u una unidad de A que no pertenece al nu´cleo K de φ, entonces
uφ �= 0′. Como 1 es una unidad, para todo a de A,
aφ = (a1)φ = (aφ)(1φ)
aφ = (1a)φ = (1φ)(aφ).
Estas igualdades dicen que 1φ es un elemento unitario, luego 1φ �= 0′ lo
que significa que 1φ = 1′ es el elemento unitario de A. Pero al ser φ sobre
Aφ = A′ concluye´ndose que 1φ = 1′ es el elemento unitario de A′. Pero u es
una unidad, entonces,
1φ = (uu−1)φ = (uφ)(u−1φ)
1φ = (u−1u)φ = (u−1φ)(uφ).
Adema´s 1 �= 0′, entonces de las dos u´ltimas igualdades se concluye que ne-
cesariamente u−1φ �= 0′, por tanto u−1φ es el inverso multiplicativo de uφ o
equivalentemente uφ es una unidad de A′.
Nos preguntamos si dado un ideal N , existe un homomorfismo φ tal que
N sea el nu´cleo de φ. La respuesta surge inmediatamente y es afirmativa. Se
condensa en el teorema que sigue.
Teorema 4.7.3. Si N es un ideal de A, la funcio´n cano´nica φ : A −→ A/N
definida por aφ = a + N , para a en A, es un homomorfismo cuyo nu´cleo es
N.
4.7. HOMOMORFISMOS 169
Demostracio´n. En la teor´ıa de grupos se estudio´ que para el grupo aditi-
vo A y el subgrupo normal N , la funcio´n cano´nica φ : A −→ A/N es un
homomorfismo, luego
(a + b)φ = aφ + bφ.
Adema´s,
(ab)φ = ab + N = (a + N)(b + N) = (aφ)(bφ),
de donde se obtiene que φ es un homomorfismo de anillos. Al ser N un
subgrupo es cerrado para la adicio´n por tanto, para todo n de N , n+N = N ,
lo que equivale a decir que para todo n de N , nφ = n+N = N . De donde se
infiere que K = N , puesto que N es el mo´dulo para la suma de clases.
Teorema 4.7.4. Sea φ un homomorfismo entre los anillos A, A′ de nu´cleo
K, entonces Aφ es isomorfo con el anillo A/K.
Demostracio´n. Sea φk : A −→ A/K, definido por la igualdad (a+K)φk = aφ.
Los estudios previos indican que φk es un isomorfismo entre los respectivos
grupos aditivos, por lo que es uno a uno y sobre y adema´s,[
(a + K) + (b + K)
]
φ = (a + K)φk + (b + K)φk.
Veamos que es un isomorfismo entre anillos. En efecto,[
(a + K)(b + K)
]
φk = (ab + K)φk
= (ab)φ
= (aφ)(bφ)
= (a + K)φk(b + K)φk.
El teorema anterior establece que para un homomorfismo entre los anillos
A, A′ de nu´cleo K la imagen directa de A, Aφ coincide exactamente con
el anillo A/K. El isomorfismo φk se denomina cano´nico en el sentido que si
ψ : A −→ A/K es la funcio´n cano´nica, entonces φ = ψ ◦ φk. En s´ımbolos,
φ : A
ψ
A/K
φk
Aφ.
Si φ es un homomorfismo sobre, φk es un isomorfismo entre A/K y A
′.
Ahora es viable decir que una imagen homomorfa de un anillo A esta´ de-
terminada, salvo isomorfismos, por el nu´cleo K del homomorfismo respectivo.
Regresando al anillo Zn, llamemos φ al homomorfismo de Z en Zn
170 CAPI´TULO 4. ANILLOS
φ : Z −→ Zn
a −→ aφ = r
donde 0 ≤ r ≤ n− 1 es el residuo de dividir a por n. Es fa´cil verificar que φ
es un homomorfismo sobre cuyo nu´cleo es el conjunto de los mu´ltiplos de n.
Sea
φk : Z/[n ] −→ Zn
a + [n ] −→ (a + [n ])φk = aφ = r.
φk es indudablemente un isomorfismo entre Zn y el anillo cociente Z/[n ].
Si
ψ : Z −→ Z/[n ]
a −→ a + [n ]
es el homomorfismo cano´nico, entonces φ = ψ ◦ φk.
φ : Z Z/[n ] Zn
ψ φk
a −→ a + [n ] −→ aφ = r.
El anillo Zn de los enteros mo´dulo n puede finalmente concebirse como el
anillo cociente Z/[n ]. Este era el toque formal que hac´ıa falta para poder
trabajar indiscriminadamente con Zn o con Z/[n ].
Desviamos la atencio´n hacia algunas aplicaciones de Zn a la teor´ıa de los
nu´meros, espec´ıficamente hacia un teorema debido a Fermat y a su genera-
lizacio´n enunciada por Euler.
Teorema 4.7.5. Si a es un entero y p es un primo que no divide a a, entonces
ap−1 ≡ 1 mod p.
Demostracio´n. Sea a un entero. Si p|a, entonces a ≡ 0 mod p y el teorema
no es va´lido. Suponga que a no es divisible por p, existe entonces un entero
r en Zp tal que a ≡ r mod p, de donde se obtiene ap−1 ≡ rp−1 mod p.
Pero el grupo multiplicativo de los enteros Zp diferentes de cero es de
orden (p−1). Si r tiene orden s o sea, rs = 1, como consecuencia del teorema
de Lagrange s divide a (p − 1), y por consiguiente rp−1 = rst = 1. Por
reemplazo se obtiene ap−1 ≡ 1 mod p.
Definicio´n 4.7.5. Sea n ≥ 1 un entero. La funcio´n φ(n) : Z+ −→ Z+
definida por φ(1) = 1 o como el nu´mero de enteros positivos menores o
iguales a n y primos relativos con n, si n ≥ 2, se denomina la φ funcio´n de
Euler.
Si n = 8, los enteros positivos menores o iguales a 8 y primos relativos con 8
son, 1, 3, 5, 7. Para este caso φ(8) = 4.
4.7. HOMOMORFISMOS 171
Teorema 4.7.6. (Teorema de Euler). Si a es un entero primo relativo con
n, entonces aφ(n) ≡ 1 mod n.
Demostracio´n. Si a es primo relativo con n, la clase a + [n ] contiene a a y
tambie´n a un entero positivo b menor que n y primo relativo con n.
Si (b, n) = g �= 1, entonces por definicio´n b = gt, n = gk.
Como b pertenece a la clase a + [n ], es obvio que b = a + ns, por con-
siguiente gt = a + gks o sea, a = g(t − ks), n = gk, lo que indica que
(a, n) �= 1 contradiciendo la hipo´tesis, luego b es primo relativo con n. Adema´s
a ≡ b mod n, de donde,
aφ(n) ≡ bφ(n) mod n.
En el ejercicio 5 de la seccio´n 2.3 se pidio´ demostrar que el conjunto Wn
formado por los elementos de Zn diferentes de cero y primos relativos con n
forman un grupo. El orden de dicho grupo es φ(n).
Como b es primo relativo con n, se puede considerar como un elemento
de Wn, por lo que b
φ(n) = 1, esto es,
aφ(n) ≡ 1 mod n.
Una aplicacio´n del teorema de Fermat permite encontrar ra´pidamente el re-
siduo de algunas divisiones sin necesidad de efectuarlas, me´todo u´til espe-
cialmente cuando se trata de cantidades grandes como en el ejercicio que
sigue,
Ejemplo 4.7.3. Hallar el residuo de dividir 48148 entre 17.
Solucio´n.
48148 = (4816)9(484).
De acuerdo con el teorema de Fermat,
4816 ≡ 1 mod 17,
en consecuencia,
48148 ≡ (19)(484) mod 17.
Pero,
484 = (16× 3)4 = (216)(34).
El teorema de Fermat asegura que
216 ≡ 1 mod 17.
172 CAPI´TULO 4. ANILLOS
Reemplazando se obtienen las siguientes congruencias.
48148 ≡ (216)(34) ≡ (1)(34) ≡ 34 mod 17.
Por otra parte
34 ≡ 81 ≡ 30 ≡ 13 mod 17.
Aplicando la propiedad transitiva
48148 ≡ 13 mod 17.
En s´ıntesis, el residuo de dividir 48148 entre 17 es 13.
Veamos finalmente un resultado que indica que para un campo el anillo
de los cocientes no tiene mucha aplicacio´n.
Un homomorfismo propio para un anillo A sera´ el que haga corresponder
a un ideal propio de A el nu´cleo K del homomorfismo en referencia.
En el ejercicio 4.6.3 se demostro´ que un campo no tiene ideales propios, es-
to quiere decir que no pueden existir homomorfismos propios para los campos
o equivalentemente, un campo no tiene ninguna imagen homomorfa propia.
EJERCICIOS
1. Demostrar que cualquier imagen homomorfa de un anillo conmutativo
es conmutativa.
2. Si un anillo A tiene un elemento unitario e, demostrar que cualquier
imagen homomorfade A tiene un elemento unitario.
3. Si A1, A2, A3 son anillos y φ : A1 −→ A2, ϕ : A2 −→ A3 son homo-
morfismos. Demostrar que φϕ : A1 −→ A3 es un homomorfismo.
4. Sea Z el anillo de los enteros.
a) Describa todos los homomorfismos de Z en Z.
b) Describa todos los homomorfismos de Z + Z en Z.
5. Use el teorema de Fermat para demostrar que para cualquier entero
positivo n, n37 − n es divisible por 383838.
Sugerencia: 383838 = 37× 19× 13× 7× 3× 2.
4.8. OTRAS CLASES DE IDEALES 173
6. Use el teorema de Euler para hallar el residuo de dividir 71000 entre 24.
7. Halle φ(n), para n = 2, 3, 4, 74, 10, 13, 15, 21, 23, 28.
4.8. Otras clases de ideales
Abordamos ahora el estudio de los anillos cociente considerados como
dominios de enteros o campos; dando condiciones especiales que los identifi-
quen como una de tales estructuras. El primer problema a resolver es el de
los divisores de cero de A/N . El segundo tiene que ver con las unidades, si
queremos hablar de campos. Los dilemas planteados tienen solucio´n y esta
se da a trave´s de la introduccio´n de algunos tipos especiales de ideales.
Definicio´n 4.8.1. Un ideal maximal de un anillo A es un ideal M �= A tal
que para todo ideal N de A, si M ⊆ N ⊆ A, entonces M = N o N = A.
En otras palabras, no podemos encontrar un ideal que sea superconjunto de
M y subconjunto de A.
Un anillo cualquiera puede, o no, tener ideales maximales y en caso de
tenerlos pueden ser ma´s de uno. Ma´s adelante veremos que el anillo de los
enteros posee infinitos.
Dados un anillo conmutativo A, y un elemento a ∈ A, conside´rese el
conjunto (a) = {xa | x ∈ A}. To´mense x1, x2 en A, entonces la suma
(x1 + x2) ∈ A, y en consecuencia (x1 + x2)a ∈ (a).
0 = 0a ∈ (a), puesto que 0 es un elemento de A. Adema´s para todo x ∈ A,
−x tambie´n es un elemento de A, luego tanto xa como −xa son elementos
de (a).
Se ha demostrado que (a) es un subgrupo de A y al ser este u´ltimo abeliano
se puede firmar que (a) es un subgrupo normal. Tambie´n, y(xa) = (yx)a
pertenece a (a), para todo y de A. Igualmente, (xa)y = (yx)a ∈ (a). En
conclusio´n (a) es un ideal de A. Ma´s au´n, es el ma´s pequen˜o de los ideales
de A, que contienen al elemento a, afirmacio´n que invitamos a verificar.
Definicio´n 4.8.2. El ideal (a) se denomina un ideal principal.
Definicio´n 4.8.3. Un dominio de enteros D es un dominio de ideales prin-
cipales si todo ideal de D es principal.
El dominio Z de los enteros es un dominio de ideales principales. En este
caso, (a) = {na | n ∈ Z} coincide con el grupo aditivo generado por a.
174 CAPI´TULO 4. ANILLOS
Definicio´n 4.8.4. Si A es un anillo conmutativo. Un ideal P �= A es un
ideal primo si ab ∈ P implica que a ∈ P o b ∈ P .
En el dominio de los enteros, si p es un nu´mero primo, el ideal principal (p)
consta de los mu´ltiplos de p. Si a y b son enteros y el producto ab pertenece
a P , entonces, ab = np, para algu´n entero n, significando que p divide a ab,
pero al ser p primo, se dice que p|a o p|b, pero esto u´ltimo equivale a decir
que a = n1p o b = n2p y en este caso se puede decir que a es un mu´ltiplo de
p o que b es un mu´ltiplo de p, de donde se deduce que a pertenece a (p) o b
pertenece a (p), lo que permite concluir que (p) es un ideal primo.
Se ha comprobado que si p es primo, (p) es un ideal primo. Al menos
para los enteros los conceptos de primo e ideal primo esta´n relacionados
ı´ntimamente.
Teorema 4.8.1. Sea A un anillo conmutativo con elemento unitario. A/M
es un dominio de enteros si y solo si M es un ideal primo. A/M es un campo
si y solo si M es un ideal maximal.
Demostracio´n. Dado un anillo conmutativo con elemento unitario A, sea
M �= A un ideal de A, entonces A/M es un dominio de enteros si y solo si no
tiene divisores de cero, lo que equivale a decir que si (a + M)(b + M) = M ,
entonces (a + M) = M o (b + M) = M o equivalentemente, si la clase
ab + M = M , entonces (a + M) = M o (b + M) = M . Pero x + M = M si
y solo si x pertenece a M , ya que M es el mo´dulo aditivo. Luego la u´ltima
condicio´n se puede expresar diciendo que, si ab pertenece a M , entonces a
pertenece a M o b pertenece a M , indicando que M es un ideal primo.
Para la segunda parte suponga en primera instancia que M es un ideal
maximal de A. Por ser A un anillo conmutativo con elemento unitario, el
producto de clases es conmutativo y la clase (1 + M) es el elemento de
identidad para el producto, esto implica que A/M es un anillo conmutativo
con elemento unitario.
Sea a ∈ (A−M), entonces a+M �= M esto es, a+M no es el elemento
de identidad para la suma de A/M .
Para que A/M sea un campo, a + M debe ser una unidad.
Como a no pertenece a M , a �= 0. El ideal principal generado por a, esto
es, (a) = {xa | x ∈ A} necesariamente debe ser igual a A, puesto que M es
un ideal maximal y a no pertenece a M .
Pero 1 ∈ A = (a), entonces existe b �= 0 en A, tal que 1 = ab. El
homomorfismo cano´nico entre A y A/M establece que (ab) = ab+M = 1+M
4.8. OTRAS CLASES DE IDEALES 175
y de esta parte se deduce que (ab + M) = (a + M)(b + M) = 1 + M . Se ha
demostrado que a + M es una unidad o que A/M es un campo.
Rec´ıprocamente, suponga que A/M es un campo. Sea N un ideal de A
tal que M ⊆ N ⊆ A. Sea φ el homomorfismo cano´nico de A sobre A/M ,
entonces Nφ es un ideal de A/M . Por ser M ⊆ N ⊆ A, Mφ ⊆ Nφ ⊆ Aφ.
Pero Mφ = M , Aφ = A/M .
Reemplazando se obtiene finalmente M ⊆ Nφ ⊆ A/M . Luego N es un
ideal propio de A/M contradiciendo el hecho de carecer A �= M de ideales
propios. Se concluye que necesariamente M debe ser un ideal maximal.
Si un anillo conmutativo con elemento unitario no tiene ideales propios, el
ideal {0} es maximal y A/{0} que es isomorfo con A, por el teorema anterior
es un campo. Por otra parte, si un anillo conmutativo con elemento unitario
es un campo, no tiene ideales propios ya que ningu´n campo los tiene.
En s´ıntesis, un anillo conmutativo con elemento unitario es un campo si
y solo si no tiene ideales propios.
Conside´rese un ideal maximal M , de un anillo conmutativo con elemento
unitario A. A/M es entonces un campo y por tanto un dominio de enteros
y en consecuencia M debe ser un ideal primo por el teorema anterior. Estas
aseveraciones indican que todo ideal maximal de un anillo conmutativo con
elemento unitario es un ideal primo.
EJERCICIOS
1. Sea A un anillo conmutativo. Demuestre que P es un ideal primo de A
si y solo si P/A es un dominio de enteros.
2. Sea A un anillo conmutativo con elemento unitario. Demuestre que
todo ideal maximal de A es un ideal primo.
3. Si A es un anillo finito con elemento unitario, demuestre que todo ideal
primo de A es un ideal maximal.
4. Demuestre que cualquier ideal distinto de cero en los enteros gaussianos
debe contener algu´n elemento positivo.
176 CAPI´TULO 4. ANILLOS
4.9. Dominios Euclidianos
Los dominios euclidianos, de los cuales los enteros son el ejemplo t´ıpico,
derivan su nombre del hecho de satisfacer lo que puede considerarse una gene-
ralizacio´n del algoritmo de Euclides, o algoritmo de la divisio´n. En un dominio
euclidiano se define una funcio´n llamada ν-valor euclidiano que sera´ usada
para generalizar las nociones de divisibilidad de los enteros e igualmente para
aplicarla al anillo de polinomios.
Definicio´n 4.9.1. Un dominio de enteros D es un dominio euclidiano, si
para todo a diferente de cero en D esta´ definido un entero no negativo ν(a)
tal que,
1. Para los elementos a, b en D, existen q, r en D tales que, a = bq + r,
donde r = 0 o ν(r) < ν(b).
2. Para a, b en D, ambos diferentes de cero, ν(a) ≤ ν(ab).
ν(a) se denomina un ν-valor euclidiano.
Si en el dominio de los enteros definimos ν(a) = | a |, a �= 0. Donde ν(a)
es el valor absoluto de a, las condiciones (1) y (2) son obvias.
En el dominio Z[ i ] de los enteros gaussianos, sea x = a + bi �= 0. Defina
ν(x) por la igualdad
ν(x) = ν(a + bi) = (a + bi)(a− bi) =a2 + b2 > 0.
Se da por cierto que las condiciones (1) y (2) se verifican. Los interesados
pueden leer a la literatura correspondiente. Se puede afirmar que tanto los
enteros como los enteros gaussianos son dominios euclidianos.
Teorema 4.9.1. Todo dominio euclidiano es un dominio de ideales princi-
pales.
Demostracio´n. Sea D un dominio euclidiano, N un ideal de D. Si N = {0},
entonces N es un ideal principal.
Supongamos que N tiene al menos un elemento diferente de cero. Como
los ν-valores son enteros positivos deben tener un elemento mı´nimo. Sea b el
elemento de N con menor ν-valor o sea ν(b)< ν(a), para todo a �= 0 enN .
Sea a �= b en N , entonces existen q, r en N tales que
a = bq + r,
4.10. DIVISIBILIDAD 177
con r = 0 o ν(r) < ν(b).
Como N es un ideal, r = a − bq pertenece a N . Si ν(r) < ν(b) se
contradice la eleccio´n de b, luego r = 0 y a = bq.
Se ha demostrado que todo elemento de N es un mu´ltiplo de b. Entonces
N = (b) es un ideal principal y por definicio´n D es un dominio de ideales
principales
Sea D un dominio euclidiano. La condicio´n (2) de la definicio´n indica que
ν(1) ≤ ν(1a) = ν(a). Esta condicio´n se verifica para todo a diferente de cero
en D, indicando que ν(1) es el menor de los ν-valores de elementos de D.
Supongamos que u es una unidad de D, entonces ν(u) ≤ ν(uu−1) = ν(1),
y como adema´s ν(1) ≤ ν(u), necesariamente ν(u) = ν(1).
A continuacio´n consideremos que ν(u) = ν(1). Por el algoritmo de la
divisio´n existen enteros q, r tales que uq + r = 1 donde r = 0 o ν(r) < ν(u).
Pero ν(u) = ν(1) y ν(1) es el mı´nimo de los ν-vlores, entonces ν(r) < ν(u) es
imposible, luego r = 0 y qu = 1, de donde se concluye que u es una unidad.
En conclusio´n, u es una unidad de D si y solo si ν(u) = ν(1).
Sean a, b elementos no nulos de D tales que b no es una unidad de D.
Sea (a) el ideal generado por a. Para todo x en (a), ν(a) ≤ ν(xa), luego el
ν-valor de a es el mı´nimo de los ν-valores de elementos de (a). Como ab es un
elemento de (a), supongamos que ν(ab) = ν(a), entonces ν(ab) es el mı´nimo
de los ν-valores de elementos de (a). Por lo demostrado en el teorema 4.9.1
todo elemento de (a) es un mu´ltiplo de ab. De aqu´ı se sigue que a = abx,
para algu´n x de D y por tanto, 1 = bx o sea b es una unidad, contradiciendo
lo supuesto inicialmente. Entonces, ν(ab) no puede ser igual a ν(a). La u´nica
posibilidad es ν(a) < ν(ab). Se puede decir en consecuencia que si a, b son
elementos no nulos de D y b no es una unidad, necesariamente ν(a) < ν(ab).
4.10. Divisibilidad
El objeto de esta seccio´n como se hab´ıa anunciado es generalizar las ideas
de divisibilidad de los enteros a un dominio cualquiera. Muchas de las de-
mostraciones tienen tal similitud con hechos ya demostrados que bastara´ con
remitirse al cap´ıtulo uno.
Definicio´n 4.10.1. Sea D un dominio de enteros a, b en D, a �= 0. Se dice
que a|b si existe c en D tal que b = ac.
178 CAPI´TULO 4. ANILLOS
Definicio´n 4.10.2. Dos elementos a, b en D se dicen asociados si a = bu,
donde u es una unidad de D.
El siguiente teorema que fue demostrado para los enteros, por su similitud
se deja a los estudiantes.
Teorema 4.10.1. Sea D un dominio de enteros, entonces
1. Si a|b y a|c, a|(bx± cy) para x, y en D. En particular a|(b± c).
2. Si a|b, entonces a|bx para todo x en D.
3. Si a|b y b|c, entonces a|c.
4. Si a|b y b|a, entonces a y b son asociados. ( a �= 0, b �= 0).
Definicio´n 4.10.3. Sea D un dominio euclidiano a, b elementos de D. g ∈ D
se dice un ma´ximo comu´n divisor de a y b, notado g = (a, b), si g|a, g|b y
adema´s si c|a y c|b, entonces c|g.
En los anillos conmutativos es posible que el ma´ximo comu´n divisor no exista,
pero en los dominios euclidianos su existencia esta´ garantizada por el teorema
que a continuacio´n se transcribe.
Teorema 4.10.2. Sea D un dominio euclidiano. a, b elementos de D no
simulta´neamente nulos. Entonces existe un ma´ximo comu´n divisor de a y b.
Adema´s g se puede expresar como una combinacio´n lineal de a y b esto es,
existen r, s en D tales que g = ra + sb.
Demostracio´n. El conjunto N = {ra + sb r, s en D} es un ideal de D, en
efecto
(r1a + s1b) + (r2a + s2b) = (r1 + r2)a + (s1 + s2)b ∈ N
0 = 0a + 0b ∈ N
−(ra + sb) = (−r)a + (−s)b ∈ N
t(ra + sb) = (ra + sb)t = (rt)a + (st)b ∈ N.
Como D es un dominio euclidiano, N es un ideal principal, entonces existe g
en D tal que N = (g), luego todo elemento de N es un mu´ltiplo de g o sea,
para todo r, s en D, g|(ra + sb). Si s = 0, r = 1, se concluye que g|a. Por
otra parte si s = 1, r = 0 y por consiguiente g|b.
4.10. DIVISIBILIDAD 179
Si c|a, entonces c|b, c|(ra+ sb) para r, s en D y por tanto c|g. De donde
se deduce que g es un ma´ximo comu´n divisor de a y b y por la forma como
se ha escogido g, existen r, s en D tales que g = ra + sb.
Sea g1 un ma´ximo comu´n divisor de a y b, entonces g|g1 y g1|g. Existe
por tanto k en D tal que,
g1 = kg
= k(ra + sb)
= (kr)a + (ks)b
= r1a + s1b.
Se concluye que todo ma´ximo comu´n divisor de a y b es una combinacio´n
lineal de a y b. Adema´s, g1 = kg, g = tg1, con k, t en D, de donde se deduce
que g1 = (kt)g1 y de aqu´ı se obtiene que kt = 1 o sea, k es una unidad.
Al final se puede afirmar que dos ma´ximos comunes divisores de a y b son
asociados.
El teorema anterior es un caso t´ıpico de existencia pero no describe un
algoritmo para hallar el ma´ximo comu´n divisor. El me´todo de las divisiones
sucesivas usado en los enteros es un caso particular donde se ha tomado el
valor absoluto como el ν-valor euclidiano. En los ejercicios se da una genera-
lizacio´n del me´todo de las divisiones sucesivas tomando un ν-valor euclidiano
cualquiera.
Definicio´n 4.10.4. Sea D un dominio de enteros. Un elemento p �= 0 en D
que no sea una unidad, es un primo o irreducible si siempre que p = ab, con
a, b en D se tiene que uno de los dos, a o b es una unidad.
En los dominios euclidianos la inclusio´n y la divisibilidad van tomadas de la
mano. Si g es un ma´ximo comu´n divisor de a y b, g|a, g|b o a = gc y b = gd.
(a) + (b) = {ar + bs | ar ∈ (a), bs ∈ (b)}
es un ideal. Pero para algu´n par k, t de elementos de D, g = ak+ bt, luego g
pertenece a (a) + (b) y por consiguiente todos los mu´ltiplos de g pertenecen
a (a) + (b), indicando que (g) ⊆ (a) + (b).
Si (ar + bs) pertenece a (a) + (b), reemplazando se obtiene el par de
igualdades,
ar = g(cr) y bs = g(ds),
180 CAPI´TULO 4. ANILLOS
entonces sumando se obtiene
ar + bs = g(cr + ds)
lo que indica que (ar + bs) ∈ (g), por lo que (a) + (b) ⊆ (g). Identifica´ndose
el ideal (a) + (b) con el ideal (g).
En el estudio del a´lgebra elemental es comu´n escribir un polinomio de
grado mayor que cero como el producto de dos polinomios no constantes cuyos
grados sean menores que el polinomio original, todav´ıa mejor, no es posible
descomponer en factores un polinomio indefinidamente sin llegar a factores
constantes es decir, polinomios de grado cero. Para el caso de los dominios de
ideales principales la tarea de descomponer un elemento en factores primos
no es obvia, y es el dilema que abordaremos a continuacio´n, o sea, comprobar
que en todo dominio de ideales principales un elemento diferente de cero que
no es una unidad es el producto de irreducibles. Para el efecto tomemos el
dominio de ideales principales D.
Si a ∈ D, a �= 0 no es una unidad ni un primo, a = a1b1, donde ni a1 ni
b1 son unidades.
Si n ∈ (a), entonces n = at, con t ∈ D. Reemplazando y aplicando la
propiedad asociativa, n = a1(b1t), de donde se puede decir que n ∈ (a1) y de
aqu´ı se deduce que (a) ⊂ (a1).
Adema´s (a) �= (a1). Si (a) fuera igual a (a1), se tuviera que a1 = ta para
t ∈ D. Reemplazando se tendr´ıan las igualdades
a = a1b1 = a(tb1)
o sea, 1 = tb1 indicando que b1 ser´ıa una unidad en contradiccio´n con lo
supuesto inicialmente. En s´ıntesis (a) ⊂ (a1).
Si a1 = a2b2, donde ni a2 ni b2 sonunidades. Siguiendo un proceso similar
se obtiene el ideal (a2) tal que (a1) ⊂ (a2).
Si ai = ai+1bi+1, para i un entero mayor o igual a 2, repitiendo el proceso
se llega a una sucesio´n estrictamente creciente de ideales
(a) ⊂ (a1) ⊂ (a2) ⊂ · · · ⊂ (an) ⊂ · · ·
Con respecto a esta sucesio´n se pueden demostrar dos cosas,
1. M =
⋃
(ai) con i un natural es un ideal. Donde (a) = (a0).
2. (a) ⊂ (a1) ⊂ (a2) ⊂ · · · ⊂ (an) ⊂ · · ·
es una sucesio´n finita.
4.10. DIVISIBILIDAD 181
Sean x, y en M, entonces existen ideales (ai), (aj) con x en (ai), y en (aj).
Supongamos que (ai) ⊂ (aj), luego x, y pertenecen a (aj) o sea, x± y, xy
pertenecen a (aj) y por lo tanto a M .
Adema´s, 0 pertenece a M y por consiguiente 0− x = −x ∈ (aj) y por lo
ende a M . M es entonces un subgrupo de D.
Por otra parte, si x ∈ (ai), entonces para y en D, tanto xy como yx
pertenecen a (ai) y por lo tanto pertenecen a M . En conclusio´n, M es un
ideal.
Como M es un ideal principal, existe d en D para el cual M = (d). Existe
entonces un natural r tal que d ∈ (ar), luego d = art, con t en D, da´ndose
en consecuencia que (d) ⊆ (ar), lo que equivale a decir que M ⊆ (ar), pero
(ar) ⊆M o sea, (ar) = M .
Sea (ar+1) tal que (ar) ⊆ (ar+1), entonces como (ar+1) ⊆ M ⊆ (ar), es
obvio que (ar+1) ⊆ (ar) o sea, (ar+1) = (ar). Ma´s au´n, ar es un primo.
Si ar = ar+1br+1, donde br+1 no es una unidad. Como (ar+1) = (ar), se
sigue que ar+1 = kar, con k en D o sea, ar = ar(kbr+1), y entonces 1 = kbr+1,
esto es, br+1 es una unidad, concluye´ndose que ar es un primo.
Resumiendo la situacio´n anterior afirmamos que la sucesio´n antes men-
cionada se debe reducir a la secuencia finita
(a) ⊂ (a1) ⊂ (a2) ⊂ · · · ⊂ (ar),
ar un primo. Las igualdades que dieron origen a la sucesio´n se reducen en
consecuencia a,
a = a1b1
a1 = a2b2
...
ar−1 = arbr
y por reemplazos sucesivos se escribe
a = a1b1
= a2b2b1
=
...
= arbrbr−1 · · · b3b2b1
= arb
182 CAPI´TULO 4. ANILLOS
indicando que a posee al menos un factor primo y un nu´mero finito de otros
factores.
Teorema 4.10.3. Sea D un dominio de ideales principales. Todo elemento
no nulo de D que no sea una unidad es el producto de un nu´mero finito de
factores primos.
Demostracio´n. Si a ∈ D y a �= 0 no es una unidad, se debe demostrar que
debe tener al menos un factor primo. Si a es primo el problema esta´ resuelto.
Si no lo es, el razonamiento anterior permite decir que posee al menos un
factor primo esto es, a = p1c1 con p1 un primo y c1 no es una unidad.
Siguiendo un proceso similar se afirma que (a) ⊂ (c1) y si c1 no es primo
debe tener al menos un factor primo o sea, c1 = p2c2, con p2 un primo y c2
no es una unidad, da´ndose la igualdad a = p1p2c2, y la sucesio´n de ideales
(a) ⊂ (c1) ⊂ (c2).
Si se continu´a el proceso se debe llegar al final a una sucesio´n finita
estrictamente creciente de ideales principales, (a) ⊂ (c1) ⊂ (c2) ⊂ · · · ⊂ (cs),
con cs = ps+1 un primo y entonces a = p1p2p3 · · · ps+1.
Definicio´n 4.10.5. Sea D un dominio euclidiano, a, b en D se dice que son
primos relativos si (a, b) = u, una unidad de D.
Teorema 4.10.4. Sea D un dominio euclidiano. Si para a, b, c en D, a|bc y
(a, b) = u, entonces a|c, donde u es una unidad de D.
Demostracio´n. Es similar a la desarrollada en el cap´ıtulo I.
Teorema 4.10.5. En un dominio de ideales principales (p) es maximal, si y
solo si, p es primo.
Demostracio´n. Sea (p) un ideal maximal. Supongamos que p = ab. Como p
es mu´ltiplo de a, entonces (p) ⊆ (a) y al ser (p) maximal, si (p) ⊆ (a) ⊆ D,
puede suceder que (p) = (a) o (p) = D. Si (p) = (a), existe d en D tal que
a = dp. Pero como p = ab, entonces a = a(db) o 1 = db, significando que b
debe ser una unidad.
Si (a) = D, como 1 pertenece a D, 1 debe ser un mu´ltiplo de a, existiendo
u en D tal que 1 = au, implicando que a es una unidad.
Se ha demostrado que si p = ab, a o b deben ser unidades y por consi-
guiente p debe ser un primo.
Rec´ıprocamente, supongamos que p es primo en D.
4.10. DIVISIBILIDAD 183
Sea (a) un ideal tal que (p) ⊆ (a) ⊆ D. La primera contenencia implica
que p = ab.
Si a es una unidad, a−1 ∈ D, entonces todo elemento x de D se pue-
de expresar como un mu´ltiplo de a, esto es, x = a(a−1x), concluye´ndose
que x es un elemento de (a) y en consecuencia D ⊆ (a) y como (a) ⊆ D,
necesariamente (a) = D.
Si a no es una unidad, b es necesariamente una unidad, por tanto existe
u en D tal que 1 = bu.
Ahora, pu = abu = a. De estas igualdades se concluye que (a) ⊆ (p) y de
esta contenencia se llega a afirmar que (a) = (p). De este hecho y el anterior
se infiere que (p) es maximal.
En el anillo de los enteros se pueden caracterizar ahora los ideales maxi-
males como los generados por los nu´meros primos. Por ejemplo, (2), (3), (17)
son algunos ideales maximales.
Teorema 4.10.6. Sea D un dominio de ideales principales, p un primo. Si
p|ab, entonces p|a o p|b.
Demostracio´n. Sea p un primo tal que p|ab, entonces ab = tp, para t en D,
as´ı que (ab) ⊆ (p) o ab ∈ (p). Pero todo ideal maximal es primo, luego (p)
es un ideal primo. Si ab ∈ (p), entonces a ∈ (p) o b ∈ (p) y estas dos u´ltimas
afirmaciones significan que p|a o p|b.
Corolario. Sea D un dominio de ideales principales, p un primo. Si p divide
al producto a1a2 · · ·an (ai en D), entonces p|ai para algu´n i.
Demostracio´n. Se deja a los interesados.
Finalmente se puede demostrar que la factorizacio´n en elementos primos
es u´nica salvo el uso de asociados.
Teorema 4.10.7. Sea D un dominio de ideales principales, a �= 0 un elemen-
to de D que no es una unidad. Supongamos que a = p1p2 · · · pr = q1q2 · · · qs,
donde cada uno de los pi y cada uno de los qj es primo. Entonces r = s y
cada uno de los pi es asociado con algu´n qj y rec´ıprocamente, (1 ≤ i ≤ r, 1 ≤
j ≤ s).
Demostracio´n. Con ligeros cambios es la misma dada para los enteros.
Como p1p2 · · · pr = q1q2 · · · qs y p1 es uno de los factores de a,
p1|q1q2 · · · qs,
184 CAPI´TULO 4. ANILLOS
luego p1|qj, 1 ≤ j ≤ s. Adema´s,
p1p2 · · · pr = q1q2 · · · qs
o sea,
p2 · · ·pr = u1q2 · · · qs.
Siguiendo un proceso similar y reordenando los ı´ndices en caso de ser nece-
sario se observa que
p2|q2, . . . , pr|qs o q2 = p2u2, . . . , qs = prur
donde u2,. . . , ur son unidades, lo que es igual a decir que cada uno de los pi
es asociado de algu´n qj .
Sin pe´rdida de generalidad se puede suponer que r < s, y en tal caso
cancelando sucesivamente se llega a que,
1 = u1u2 · · ·urqr+1 · · · qs
lo que es imposible porque cada uno de los qj es primo, para r + 1 ≤ j ≤ s,
y en consecuencia, r = s.
4.11. Dominios de factorizacio´n u´nica
Hasta el momento se han estudiado dominios donde es posible factorizar
elementos como el producto de un nu´mero finito de irreducibles. Ahora nos
proponemos caracterizarlos.
Definicio´n 4.11.1. Un dominio de enteros es un dominio de factorizacio´n
u´nica si,
1. Todo elemento de D diferente de cero que no sea una unidad puede
factorizarse como el producto de un nu´mero finito de irreducibles.
2. Si p1p2 · · · pr y q1q2 · · · qs son dos factorizaciones en irreducibles del
mismo elemento de D, entonces, r = s y los qj se pueden reordenar de
tal manera que pi, qi sean asociados.
Damos un paso en la caracterizacio´n que estudiamos con el,
Teorema 4.11.1. Todo dominio de ideales principales es un dominio de
factorizacio´n u´nica.
4.12. EL CAMPO DE COCIENTES DE UN DOMINIO 185
Demostracio´n. Es una consecuencia de los teoremas 4.10.3 y 4.10.7.
Corolario. Z es un dominio de factorizacio´n u´nica.
Demostracio´n. Debido a que Z es un dominio de ideales principales, el coro-
lario se obtiene como consecuencia del teorema anterior.
EJERCICIOS
1. Demuestre que en un anillo conmutativo con elemento unitario, la re-
lacio´n “a es asociado de b” es una relacio´n de equivalencia.
2. Demuestre que en un dominio euclidiano dosma´ximos comu´n divisores
de a y b son asociados.
3. Demuestre que a es una unidad del dominio euclidiano A si y solo si
ν(a) = ν(1).
4. Demuestre que si a+bi es una unidad en los enteros gaussianos, entonces
ν(a + bi) > 1.
5. Hallar el ma´ximo comu´n divisor en los enteros gaussianos de 5 + 4i y
4− 5i.
6. Sea D un dominio euclidiano. Demostrar que si a y b son asociados en
D, entonces ν(a) = ν(b).
7. Determı´nense todos los elementos primos en el dominio de los enteros
gaussianos.
8. Considere A∗ el conjunto de los elementos diferentes de cero del dominio
euclidiano A. Demostrar que si el entero n es tal que n + ν(1) > 0,
γ : A∗ −→ Z esta´ definida por la igualdad γ(a) = ν(a) + n para todo a
en A∗, entonces γ(a) es tambie´n un ν-valor euclidiano en A.
4.12. El campo de cocientes de un dominio
Un anillo A esta´ sumergido en un anillo A′ si se puede establecer un
isomorfismo de A en A′. Si ambos anillos tienen elemento unitario, estos
deben corresponderse. A′ se dice en este caso que es una extensio´n de A.
186 CAPI´TULO 4. ANILLOS
Con esta idea en mente veremos que todo dominio puede sumergirse en un
campo.
Dado un dominio D no siempre es posible que todo elemento no nulo
tenga su inverso respecto al producto, pero a pesar de esta restriccio´n es
posible la construccio´n de un campo mı´nimo F que contenga a D y a todos
los elementos de la forma a/b, con a, b en D, b �= 0.
El campo en consideracio´n se denomina el campo de los cocientes de D.
La construccio´n de F es ide´ntica a la construccio´n de los racionales a partir
de los enteros. Q es entonces el campo de cocientes de Z.
Sea S un subconjunto del producto cartesiano D × D definido por la
igualdad
S = {(a, b) | a, b en D y b �= 0}.
Los elementos de S con algunos arreglos son los candidatos a representar los
cocientes a/b, si pensamos en establecer la correspondencia (a, b) −→ a/b.
Antes de establecerla se deben definir algunos conceptos preliminares. Como
no hay garant´ıa que tal correspondencia sea uno a uno, es posible que parejas
diferentes representen el mismo cociente. Para mejorar la idea, se conviene
en afirmar que dos parejas son “equivalentes” cuando representan el mismo
cociente, convencio´n que nos induce a pensar en una relacio´n de equivalencia.
Definicio´n 4.12.1. Sean (a, b), (c, d) elementos de S. Se dice que (a, b) es
equivalente con (c, d), notado (a, b) ∼ (c, d) si y solo si ad = bc.
La relacio´n anterior es de equivalencia ya que,
1. (a, b) ∼ (a, b) si y solo si ab = ba. Igualdad que es cierta dado que el
producto en D es conmutativo.
2. Por otra parte las siguientes proposiciones son equivalentes.
(a, b) ∼ (c, d) si y solamente si ad = bc.
Por la propiedad conmutativa del producto cb = da.
Y esta u´ltima igualdad es va´lida si y solamente si (c, d) ∼ (a, b).
3. Igualmente (a, b) ∼ (c, d) y (c, d) ∼ (e, f) equivale a ad = bc y cf = de.
Multiplicando miembro a miembro se obtiene adcf = bcde.
Aplicando las propiedades asociativa y conmutativa afdc = bedc.
Por la propiedad cancelativa af = be.
igualdad equivalente a firmar que (a, b) ∼ (e, f).
4.12. EL CAMPO DE COCIENTES DE UN DOMINIO 187
Se define la clase de equivalencia
[
(a, b)
]
as´ı,[
(a, b)
]
= {(x, y) en S | (x, y) ∼ (a, b)}
La equivalencia ∼ induce una particio´n de S en conjuntos no vac´ıos disyuntos
dos a dos, cuya unio´n es todo S. Con estas ideas en mente no hay duda que
toda pareja (a, b) de S pertenece a la clase
[
(a, b)
]
y para cualesquiera dos
parejas (a, b), (c, d) en S
[
(a, b)
]
= [
(
c, d)
]
o
[
(a, b)
] ∩ [(c, d)] = ∅.
El conjunto cociente S/ ∼ es el campo F que se desea construir. Para
tal fin es indispensable definir dos operaciones binarias en F as´ı,
Definicio´n 4.12.2. Sean (a, b), (c, d) en F. La suma y el producto se definen
respectivamente por las igualdades,
(a, b) + (c, d) = (ad + bc, bd).
(a, b)(c, d) = (ac, bd).
Estas operaciones esta´n bien definidas, veamos. Como
[
(a, b)
]
,
[
(c, d)
]
per-
tenecen a F , las parejas (a, b), (c, d) pertenecen a S, entonces a, b, c, d
pertenecen a D. Adema´s bd �= 0, lo que indica que (ad + bc, bd), (ac, bd) son
elementos de S.
Sean (a1, b1) ∈
[
(a, b)
]
, (c1, d1) ∈
[
(c, d)
]
. Se debe demostrar que la suma
(a1d1 + b1c1, b1d1) ∈
[
(ad + bc, bd)
]
y el producto (a1c1, b1d1) ∈
[
(ac, bd)
]
.
Pero (a1, b1) ∼ (a, b) y (c1, d1) ∼ (c, d) o sea,
a1b = b1a y c1d = d1c.
Multiplicando la primera igualdad por d1d y la segunda por b1b, sumando
miembro a miembro, conmutando, asociando y factorizando se obtiene,
(a1d1 + b1c1)bd = b1d1(ad + bc)
igualdad equivalente a la expresio´n,
(a1d1 + b1c1, b1d1) ∼ (ad + bc, bd)
luego,
(a1d1 + b1c1, b1d1) ∈
[
(ad + bc, bd)
]
.
Multiplicando miembro a miembro las igualdades,
a1b = b1a y c1d = d1c
188 CAPI´TULO 4. ANILLOS
se obtiene
a1c1bd = b1d1ac
igualdad equivalente a afirmar que
(a1c1, b1d1) ∼ (ac, bd).
Luego, (a1c1, b1d1) ∈
[
(ac, bd)
]
.
Concluye´ndose que la suma y el producto esta´n bien definidos, lo que
significa que sin importar los representantes de S que se escojan al momento
de operar, se obtendra´ el mismo resultado.
Teorema 4.12.1. F con las operaciones anteriormente definidas es un campo
con la clase
[
(0, 1)
]
como mo´dulo aditivo y
[
(−a, b)] como inverso aditivo de[
(a, b)
]
. El elemento unitario es
[
(1, 1)
]
y adema´s, si
[
(a, b)
]
no es el ide´ntico
aditivo, entonces a �= 0 y [(b, a)] es el inverso de [(a, b)] para el producto.
Demostracio´n. Se debe demostrar con respecto a la adicio´n: Que es asocia-
tiva, que existe elemento de identidad, que es inversible, que es conmutativa.
Con respecto al producto: Que es asociativo, que es conmutativo, que
verifica las propiedades distributivas, que posee elemento de identidad, que
es inversible.
Se demostrara´n solamente dos propiedades dejando el resto a los intere-
sados.
Propiedad conmutativa de la suma.[
(a, b)
]
+
[
(c, d)
]
=
[
(ad + bc, bd)
]
=
[
(cb + da, db)
]
=
[
(c, d)
]
+
[
(a, b)
]
.
Las igualdades anteriores son va´lidas porque la suma y el producto son con-
mutativos en D.
Sea
[
(a, b)
] �= [(0, 1)]. Si a = 0, entonces (a, b) ∼ (0, 1) ya que a×1 = b×0.
Luego
[
(a, b)
]
=
[
(0, 1)
]
significando que
[
(0, 1)
]
es el ide´ntico aditivo. Por
consiguiente, si
[
(a, b)
] �= [(0, 1)], a �= 0.
Veamos que sucede con el producto [(a, b)][(b, a)].[
(a, b)
][
(b, a)
]
=
[
(ab, ba)
]
.
Pero (ab, ba) ∼ (1, 1), ya que ab× 1 = ba× 1.
Entonces, [
(ab)
][
(b, a)
]
=
[
(1, 1)
]
.
4.12. EL CAMPO DE COCIENTES DE UN DOMINIO 189
Veamos co´mo es posible encontrar un isomorfismo entre D y un subdominio
de F , de manera que podamos sumergir a D en dicho subdominio. Para el
efecto, Sea F1 = {(a, 1) | a ∈ D} ⊆ F .
En primera instancia
[
(0, 1)
]
y
[
(1, 1)
]
son elementos de F1.
Sean
[
(a, 1)
]
,
[
(b, 1)
]
elementos de F1, entonces,[
(a, 1)
]
+
[
(b, 1)
]
=
[
(a + b, 1)
] ∈ F1
[
(a, 1)
][
(b, 1)
]
=
[
(ab, 1)
] ∈ F1.
Adema´s
[
(−a, 1)] tambie´n pertenece a F1. En s´ıntesis, F1 es un subdominio
de F .
Tome la aplicacio´n φ : D −→ F1 definida por la igualdad aφ =
[
(a, 1)
]
.
Supongamos que
[
(a, 1)
]
=
[
(b, 1)
]
, de modo que (a, 1) ∼ (b, 1) y por
consiguiente, a× 1 = b× 1, es decir, a = b. Luego φ es inyectivo.
Es indudable que φ es sobre, porque para todo
[
(a, 1)
]
en F1, existe a en
D tal que aφ =
[
(a, 1)
]
.
Adema´s,
(a + b)φ =
[
(a + b, 1)
]
=
[
(a, 1)
]
+
[
(b, 1)
]
= aφ + bφ.
(ab)φ =
[
(ab, 1)
]
=
[
(a, 1)
][
(b, 1)
]
= aφ bφ.
Se ha demostrado que φ es un isomorfismo entre D y un subdominio de F .
Teorema 4.12.2. Cualquierdominio D puede ser sumergido en un campo F
de tal manera que todo elemento de F pueda ser expresado como el cociente
de dos elementos de D. F se denomina un campo de cocientes de D.
Demostracio´n. En la demostracio´n de este teorema y en el siguiente, as´ı como
en los corolarios se usara´ la expresio´n x/y para indicar el cociente entre x, y,
esto es, xy−1.
190 CAPI´TULO 4. ANILLOS
Como φ : D −→ F1 definido en el pa´rrafo anterior es un isomorfismo,
ninguna propiedad de D se pierde si identificamos cada elemento a en D con
la clase
[
(a, 1)
]
. De esta manera sumergimos a D en F .
Sea
[
(a, b)
]
un elemento de F1, entonces,[
(a, b)
]
=
[
(a, 1)
][
(1, b)
]
=
[
(a, 1)
][
(b, 1)
]−1
=
[
(a, 1)
]/[
(b, 1)
]
= aφ/bφ.
El campo F es en cierto sentido el campo mı´nimo que contiene a D. Cualquier
otro campo F ′ que contenga a D contiene un subcampo F ′0 isomorfo con F ,
en este isomorfismo cada elemento de D se corresponde consigo mismo.
Teorema 4.12.3. Sea φ : D −→ D′ un isomorfismo entre los dominios D,
D′. Sea F un campo de cocientes de D y sea F ′ un campo que contiene a
D′. Entonces existe un isomorfismo ψ entre F y un subcampo de F ′ tal que
aψ = aφ, para todo a en D.
Demostracio´n. Todo x en F es el cociente a/b, con a, b en D, b �= 0.
Definamos ψ por la igualdad (a/b)ψ = aφ/bφ. Se debe demostrar que ψ
esta´ bien definido. Como φ es un isomorfismo, si b �= 0, bφ �= 0, aφ/bφ tiene
sentido.
Como
[
(a, b)
]
=
[
(c, d)
]
equivale a que ad = bc, se puede decir que si
a/b = c/d en F , entonces ad = bc en D, luego (ad)φ = (bc)φ, pero por
ser φ un isomorfismo, (aφ)(dφ) = (bφ)(cφ) y por tanto se puede escribir
aφ/bφ = cφ/dφ.
La u´ltima igualdad significa, (a/b)ψ = (c/d)ψ en F ′, as´ı que ψ esta´ bien
definida.
Tambie´n,
(a/b + c/d)ψ =
(
(ad + bc)/bd)
)
ψ
= (ad + bc)φ/(bd)φ
= (aφ dφ+ bφ cφ)/(bφ)(dφ)
= aφ/bφ + cφ/dφ
= (a/b)ψ + (c/d)ψ
4.12. EL CAMPO DE COCIENTES DE UN DOMINIO 191
Igualmente, (
(a/b)(c/d)
)
ψ = (ac/bd)φ
= aφ cφ/bφ dφ
= (aφ/bφ)(cφ/dφ)
= (a/b)ψ (c/d)ψ.
Supongamos que (a/b)ψ = (c/d)ψ. Entonces,
aφ/bφ = cφ/dφ o aφ dφ = bφ cφ
es decir, (ad)φ = (bc)φ.
Pero como φ es inyectiva, ad = bc o sea, a/b = c/d. En s´ıntesis ψ es
inyectiva.
ψ es un isomorfismo de F con F (ψ) y por supuesto F (ψ) es un subcampo
de F ′.
Finalmente, sea a en D, Entonces, aψ = (a/1)ψ.
Pero (a/1)ψ = aφ/1φ = aφ, ya que 1φ es el elemento de identidad para
D′. Por la propiedad transitiva de la igualdad, aψ = aφ.
Corolario. Todo campo F ′ que contiene un dominio D, contiene un campo
de cocientes de D.
Demostracio´n. En el teorema anterior tome D = D′ y la aplicacio´n ide´ntica.
Sea F un campo de cocientes de D, entonces para todo a/b en F ,
(a/b)ψ = aφ/bφ = a/b.
Da´ndose en conclusio´n que F ≈ F (ψ) ⊆ F ′ o sea, F ′ contiene un campo de
cocientes de D.
Corolario. Cualesquiera dos campos de cocientes de un dominio D son iso-
morfos.
Demostracio´n. En el teorema anterior suponga que F ′ es un campo de co-
cientes de D′, entonces todo elemento de F ′ puede ser expresado como el
cociente de elementos de D′ esto es, x/y, con x, y en D′, y �= 0.
Por ser φ sobreyectiva se afirma que existen a, b, en D tales que aφ = x,
bφ = y. En consecuencia, (a/b)ψ = x/y, es decir ψ es sobre F ′.
Tome D = D′, φ la aplicacio´n ide´ntica y F un campo de cocientes de
D, entonces como en el corolario anterior F ≈ F (ψ) = F ′. La igualdad se
verifica por ser ψ sobre. En s´ıntesis, F ≈ F ′. La relacio´n ≈ es la relacio´n de
isomorfismo.
192 CAPI´TULO 4. ANILLOS
EJERCICIOS
1. Demostrar el teorema 4.12.1.
2. Sea A un anillo conmutativo, N �= {0} un subconjunto no vac´ıo de A,
cerrado para el producto y que no contiene divisores de cero. A partir
de A×N se puede construir un anillo de cocientes Q (de una manera
similar a como se hizo en la discusio´n previa) donde A este´ sumergido.
Se pide demostrar so´lo lo siguiente:
a) Q tiene elemento unitario, as´ı A no lo tenga.
b) En Q cada elemento diferente de cero de N es una unidad.
4.13. Caracter´ısticas de Dominios y Campos
Considerando D como un anillo, la ley de composicio´n externa
Δ×D −→ D (Δ = Z)
(n, a) → na = a + a + · · ·+ a︸ ︷︷ ︸
n sumandos
(0, a)→ 0a = 0
(−n, a) → (−n)a = (−a) + (−a) + · · ·+ (−a)︸ ︷︷ ︸
n sumandos
,
se demostro´ que convierte a D en un Δ-anillo, tenie´ndose por definicio´n que
(na)b = n(ab) = a(nb).
En la teor´ıa de grupos se demostro´ que,
1. (ma)(na) = (m + n)a.
2. m(na) = (mn)a.
3. (ma)(nb) = (mn)(ab).
Para el caso de Zp, sea a ∈ Zp. Como [ p ] = [ 0 ], son va´lidas las igualdades,
[ pa ] = [ p ][ (a) ] = [ 0 ].
4.13. CARACTERI´STICAS DE DOMINIOS Y CAMPOS 193
Obtenie´ndose entonces,
pa = a + a + · · ·+ a︸ ︷︷ ︸
p sumandos
= 0.
Lo que significa que el orden de a en el grupo aditivo Zp es p o un divisor de
p. Pero p no tiene divisores diferentes de 1 y s´ı mismo, esto quiere decir que
el orden de a es p, siendo a un elemento cualquiera no nulo de Zp.
En el caso de los enteros, el hecho de ser ab = 0, implica que a es cero o
b es cero. Con base en lo anterior decimos que
a + a + a + · · ·+ a = 0
si y solo si a = 0. Se concluye que en los enteros el orden de cualquier
elemento no nulo es cero. Los anteriores solo son casos particulares de la
siguiente generalizacio´n.
Teorema 4.13.1. En el grupo aditivo de un dominio de enteros, los elemen-
tos no nulos tienen el mismo orden.
Demostracio´n. Sea a un elemento no nulo del dominio D de orden n. Enton-
ces n es el menor entero positivo tal que na = 0. Sea b un elemento no nulo
de D. Se debe demostrar que na = 0, si y solo si nb = 0.
Si na = 0, b(na) = 0. Pero
b(na) = (bn)a
= (nb)a
= 0.
Simplificando a se obtiene nb = 0, luego el orden de b es n.
Si el orden de b es n, nb = 0 y de aqu´ı se concluye que na = 0 o sea, el
orden de a tambie´n es n.
Se concluye que los elementos no nulos del dominio D considerado como
grupo aditivo, tienen todos el mismo orden.
El teorema 4.13.1 da origen a la siguiente definicio´n,
Definicio´n 4.13.1. Se llama caracter´ıstica de un dominio D al orden comu´n
de los elementos no nulos del grupo aditivo D.
194 CAPI´TULO 4. ANILLOS
Si D es un dominio con elemento unitario 1 se puede afirmar que la carac-
ter´ıstica de D es el menor entero positivo n tal que n×1 = 0. Si n×1 �= 0, para
cualquier entero positivo n, se dice que D tiene caracter´ıstica cero. Algunos
autores dicen que es de caracter´ıstica infinita o que no tiene caracter´ıstica.
Teorema 4.13.2. La caracter´ıstica de un dominio es cero o un nu´mero pri-
mo.
Demostracio´n. Suponga que D tiene caracter´ıstica m = rs, donde r, s no
son unidades. Entonces
m× 1 = 0
= (rs)× 1
= (r × 1)(s× 1)
luego r× 1 = 0 o s× 1 = 0. Si r× 1 = 0, m|r o r = mk. Reemplazando m se
deduce la igualdad r = (rs)k. Eliminando r se obtiene 1 = sk indicando que
r es una unidad lo que va en contra de la hipo´tesis. Similarmente, si s×1 = 0,
se deduce que r debe ser una unidad contradiciendo la hipo´tesis. Se concluye,
en consecuencia, que si m = rs, s es una unidad o r es una unidad y de esto
se infiere que m debe ser primo. En s´ıntesis, D tiene caracter´ıstica un primo,
o es de caracter´ıstica cero. Si la caracter´ıstica es el primo p, entonces pa = 0.
Si es cero, pa = 0 si y solo si a = 0.
Los dominios t´ıpicos de caracter´ıstica cero o p son los enteros o Zp res-
pectivamente. Los racionales, los reales, los complejos y los polinomios con
coeficientes racionales son dominios con caracter´ıstica cero. El u´ltimo de los
nombrados sera´ objeto de discusio´n posterior. Obse´rvese que cada uno de
los dominios mencionados contiene a los enteros. Esta situacio´n se puede
generalizar diciendo que cualquier dominio de caracter´ıstica cero contiene a
los enteros o a un dominio isomorfo con ellos. Igual situacio´n ocurre conlos
dominios de caracter´ıstica p, resultados que se sintetizan en los dos teoremas
que siguen.
Teorema 4.13.3. En un dominio con elemento unitario de caracter´ıstica
cero, el subgrupo aditivo generado por el elemento unitario es un dominio
isomorfo con los enteros.
Demostracio´n. Sea D un dominio con elemento unitario de caracter´ıstica
cero. Sea
G = {n× 1 | n ∈ Z},
4.13. CARACTERI´STICAS DE DOMINIOS Y CAMPOS 195
el subgrupo c´ıclico generado por el elemento unitario. Para m, n enteros
(m× 1)(n× 1) = (mn)× 1,
indicando que G es cerrado para el producto. Adema´s,
m× 1± n× 1 = (m± n)× 1.
Tambie´n 1 esta´ en G. Se dice entonces que G es un subdominio de D con
caracter´ıstica cero. Si no lo fuera, existiera p �= 0 en Z en tal forma que
p× 1 = 0, pero p× 1 pertenece a D, luego D no ser´ıa de caracter´ıstica cero.
Conside´rese φ : G −→ Z, definida por la igualdad (n× 1)φ = n.
φ es indudablemente una biyeccio´n. Por otra parte,
(m× 1 + n× 1)φ = ((m + n)× 1)φ
= m + n
= (m× 1)φ+ (n× 1)φ.
Adema´s (
(m× 1)(n× 1))φ = ((m× n)× 1)φ
= mn
=
(
(m× 1)φ)((n× 1)φ).
Se ha demostrado que φ es un isomorfismo de G sobre Z.
Teorema 4.13.4. En un dominio con elemento unitario de caracter´ıstica
p, el subgrupo aditivo generado por el elemento unitario es un subdominio
isomorfo con Zp.
Demostracio´n. El subgrupo aditivo G generado por 1 consta de los elementos
1, 2× 1, 3× 1, . . . , (p− 1)× 1, p× 1 = 0. En total p elementos. Es cerrado
para la suma y el producto, contiene el elemento unitario 1, as´ı como el cero,
y todo elemento contiene su inverso aditivo. Es por tanto un subdominio. La
funcio´n φ : G −→ Zp definida por (n× 1)φ = n es una biyeccio´n.
Si (n× 1)φ = (m× 1)φ, entonces [n ] = [m ], lo que implica afirmar que
n ≡ m mod p o sea n−m = 0. Entonces (n−m)× 1 = 0 y en consecuencia
n× 1−m× 1 = 0, es decir, n× 1 = m× 1 indicando que φ es uno a uno.
196 CAPI´TULO 4. ANILLOS
Todo elemento n de Zp es representante de una clase [n ] y como cada
elemento de G puede ser escrito en la forma n× 1, y este elemento es tal que
(n,1)φ = [n ], de aqu´ı se concluye que φ es sobre. Adema´s,
(n× 1 + m× 1)φ = ((n + m)× 1)φ
= [n + m ]
= [n ] + [m ]
= (n× 1)φ + (m× 1)φ.
Con respecto al producto, se verifican las igualdades(
(n× 1)(m× 1))φ = ((nm)× 1)φ
= [nm ]
= [n ][m ]
=
(
(n× 1)φ)((m× 1)φ).
φ es un isomorfismo de G sobre Zp.
Teorema 4.13.5. Un campo tiene caracter´ıstica p un primo y contiene un
campo isomorfo a Zp o es de caracter´ıstica cero y contiene un campo isomorfo
a Q.
Demostracio´n. Por el hecho de ser todo campo un dominio, los resultados
obtenidos acerca de la caracter´ıstica son extensibles a los primeros. Si el
campo F tiene caracter´ıstica p, el subgrupo aditivo generado por el elemento
unitario adema´s de ser un dominio resulta ser necesariamente un subcampo
isomorfo a Zp ya que este u´ltimo es un campo, por ser p primo. Si F tiene
caracter´ıstica cero el subgrupo aditivo D generado por el elemento unitario
es un dominio isomorfo con los enteros. El campo de cocientes de D es un
subcampo de F conformado por los cocientes m× 1/n× 1 con n diferente de
cero. La correspondencia descrita en la forma m×1/n×1 −→ m/n conserva
las operaciones de F lleva´ndonos a identificar los elementos m× 1/n× 1 con
los racionales m/n. De esta manera todo campo de caracter´ıstica cero debe
contener los racionales o cualquier campo isomorfo con ellos. Similarmente
cualquier campo de caracter´ıstica p debe contener al campo Zp. Con esta
convencio´n los campos Q y Zp son los campos “mı´nimos”, llamados campos
primos.
4.13. CARACTERI´STICAS DE DOMINIOS Y CAMPOS 197
En los dominios de caracter´ıstica cero, si el producto de dos factores es
igual a cero, por lo menos uno de los factores debe ser cero, cosa que no es
cierta en los dominios de caracter´ıstica p. En un dominio de caracter´ıstica
cero la fo´rmula del binomio para un exponente natural viene dada por(
a + b
)n
= an +
(
n
1
)
an−1b +
(
n
2
)
an−2b2 + · · ·+ bn,
donde los coeficientes
(
n
r
)
son enteros.
Si D es un dominio de caracter´ıstica p, entonces(
a + b
)p
= ap +
(
p
1
)
ap−1b +
(
p
2
)
ap−2b2 + · · ·+ bp.
Donde (
n
r
)
=
p !
(p− r)!r! 1 ≤ r ≤ p.
Como r < p y p − r < p, los factores de (p − r)! y de r! son todos primos
relativos con p y en consecuencia
(
p
r
)
tiene a p como factor 1 ≤ r ≤ p o
equivalentemente
(
p
r
)
es un mu´ltiplo de p, lo que en Zp significa que
(
p
r
)
= 0.
De lo anterior se deduce que,(
a + b
)p
= ap + 0 + 0 + · · ·+ 0 + bp.
Tambie´n, puede establecer la igualdad,(
a− b)p = ap − bp.
El conjunto Dp = {ap | a ∈ D} es un subdominio de D.
La funcio´n φ : D −→ Dp definida por aφ = ap es una biyeccio´n. Adema´s,
(a + b)φ = ap + bp
= aφ + bφ,
(ab)φ = (ab)p
= apbp
= (aφ)(bφ).
φ es entonces un isomorfismo de D sobre Dp.
Si D = Zp, φ es la funcio´n ide´ntica.
198 CAPI´TULO 4. ANILLOS
Por el teorema de Fermat,
a ≡ ap mod p,
entonces
aφ = ap ≡ a mod p.
Lo que en el lenguaje de Zp significa que aφ = a. En conclusio´n, la correspon-
dencia a −→ ap establece isomorfismos entre el dominio D de caracter´ıstica
p y los subdominios Dp para todos los elementos de D.
EJERCICIOS
1. Hallar la caracter´ıstica de los siguientes anillos:
a) 2Z.
b) Z + Z.
c) Z3 + Z4.
2. Demostrar que la caracter´ıstica de un subdominio del dominio D es
igual a la caracter´ıstica de D.
Cap´ıtulo 5
ANILLOS DE POLINOMIOS
5.1. Construccio´n del anillo F [ x ]
El intere´s primordial del estudio de los polinomios radica en su presentacio´n
como elementos de un dominio euclidiano, que ha heredado su cara´cter de
tal, del campo que les da vida. Las propiedades algebraicas del anillo de los
polinomios son fundamentales en la construccio´n de las extensiones de los
campos, motivo por el cual su desarrollo se sustentara´ principalmente en el
ana´lisis de dichas propiedades.
Una forma de construir el anillo F [ x ] consiste en tomar sucesiones infi-
nitas
(a0, a1, . . . , an, . . . )
de elementos de un campo F , donde los ai son iguales a cero excepto para
un nu´mero finito de ellos. Tomar S como el conjunto de todas las sucesiones
as´ı construidas y definir dos operaciones en la forma siguiente:
(a0, a1, . . . , an, . . . ) + (b0, b1, . . . , bn, . . . ) = (a0 + b0, a1 + b1, . . . , an + bn, . . . )
(a0, a1, . . . , an, . . . )(b0, b1, . . . , bn, . . . ) = (c0, c1, . . . , cn, . . . )
donde
ci =
∑
j+k=i
ajbk i = 0, 1, 2, 3, . . .
Fundamenta´ndose en estas definiciones, demostrar que 〈S,+, ·〉 es un anillo
con elemento unitario (1, 0, 0, . . . , 0, . . . ). Siguiendo este orden de ideas, cons-
truir F ′ con los elementos de S que tienen la forma (a, 0, 0, . . . , 0, . . . ), para
199
200 CAPI´TULO 5. ANILLOS DE POLINOMIOS
cualquier a de F. Comprobar que F ′ con las operaciones de S es un campo.
Definir la aplicacio´n
φ : F −→ F ′
dada por la igualdad,
aφ = (a, 0, 0, . . . , 0, . . . )
que efectivamente es una aplicacio´n y adema´s cumple,
(a + b)φ = (a + b, 0, 0, . . . , 0, . . . )
= (a, 0, 0, . . . , 0, . . . ) + (b, 0, 0, . . . , 0, . . . )
= aφ + bφ.
(ab)φ = (a, 0, 0, . . . , 0, . . . )(b, 0, 0, . . . , 0, . . . )
= (ab, 0, 0, . . . , 0, . . . )
= (aφ)(bφ).
Para concluir que φ es un isomorfismo entre F y F ′ que identifica el elemento
a de F con la sucesio´n (a, 0, 0, . . . , 0, . . . ) de F ′, pudie´ndose escribir
a = (a, 0, 0, . . . , 0, . . . ).
Finalmente, definir x como la sucesio´n
(0, 1, 0, . . . , 0, . . . )
y a partir de aqu´ı demostrar que x2 esta´ representada por (0, 0, 1, . . . , 0, . . . )
y en general xk viene dado por
(0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . )
donde el elemento 1 esta´ ubicado en la posicio´n (k + 1)–e´sima y los dema´s
son ceros.
Con estas consideraciones,se establece la igualdad
axk = (0, 0, . . . , 0, a, 0, . . . ).
Cualquier elemento (a0, a1, . . . , an, 0, . . . ) puede ahora representarse en la for-
ma,
a0 + a1x + · · ·+ anxn + · · ·
5.1. CONSTRUCCIO´N DEL ANILLO F [X ] 201
tomando el nombre de polinomio con coeficientes a0, . . . , an en el campo F .
La caracterizacio´n que se le dara´ a F [ x ] seguira´ un camino diferente sin
preocuparse de lo que sera´ el objeto x, simplemente considera´ndolo como una
indeterminada. Iniciamos con la definicio´n que sigue.
Definicio´n 5.1.1. Sea A un anillo. Un polinomio f(x)en la variable x con
coeficientes en A es una suma infinita
∞∑
n=0
anx
n = a0 + a1x + · · ·+ anxn + · · ·
con an en A y an = 0 excepto para un nu´mero finito de valores de n. Los
an se denominan los coeficientes de f(x). El mayor de los n para los cuales
an �= 0 se denomina el grado de f(x) y se nota grf(x). Si tal n > 0 no existe,
se dice que f(x) es de grado cero.
Si f(x) es de grado n esto es, si an �= 0 y ai = 0 para i > n se conviene en
escribir
f(x) = a0 + a1x + · · ·+ anxn.
Al te´rmino anx
n se le denomina el te´rmino principal, su coeficiente an es el
coeficiente principal. Si an = 1 el polinomio se llama mo´nico.
Los coeficientes iguales a 1 se omiten por simplicidad esto es, se escri-
be simplemente xk. Igualmente se omiten los te´rminos con coeficiente cero,
excepto para el polinomio nulo f(x) = 0 al cual no se le asigna grado. El
polinomio f(x) = a (a ∈ A) se le nombra el polinomio constante y su grado
es cero siempre y cuando a sea diferente de cero.
Definicio´n 5.1.2. Si f(x) =
∑∞
k=0 akx
k, g(x) =
∑∞
k=0 bkx
k son dos polino-
mios de grado k se dice que f(x) = g(x) si y solo si para todo entero k ≥ 0
ak = bk.
En s´ıntesis, dos polinomios son iguales si son del mismo grado y sus coefi-
cientes correspondientes son iguales.
La adicio´n y el producto de polinomios se definen en la forma como pro-
bablemente se esperaba.
Definicio´n 5.1.3. Si f(x) =
∑∞
k=0 akx
k, g(x) =
∑∞
k=0 bkx
k son dos polino-
mios de grado k, la adicio´n y el producto se definen por las igualdades,
f(x) + g(x) =
∞∑
k=0
(
ak + bk
)
xk
202 CAPI´TULO 5. ANILLOS DE POLINOMIOS
f(x)g(x) =
∞∑
k=0
(∑
i+j=k
aibjx
k
)
.
Se insiste en que los coeficientes de la suma y el producto son iguales a cero,
excepto para un nu´mero finito de ellos.
Ejemplo 5.1.1. En Z5. Sean f(x) = 4 + x, g(x) = 1 + 4x2.
Hallar f(x) + g(x) y f(x)g(x).
Solucio´n.
f(x) + g(x) = (4 + 1) + (1 + 0)x + (0 + 4)x2
= 0 + x + 4x2
= x + 4x2.
Por su parte
f(x)g(x) =
3∑
k=0
(∑
i+j=k
aibjx
k
)
.
Desarrollando la sumatoria se llega a
a0b0 + (a0b1 + a1b0)x+ (a0b2 + a1b1 + a2b0)x
2 + (a0b3 + a1b2 + a2b1 + a3b0)x
3.
Reemplazando los valores correspondientes se obtiene
4×1+(4×0+1×1)x+(4×4+1×0+0×1)x2+(4×0+1×4+0×0+0×1)x3.
Efectuando operaciones y teniendo en cuenta que 4×4 = 1 se tiene finalmente
el polinomio
4 + x + x2 + 4x3.
A pesar de la aparente complicacio´n, note que la suma y el producto se
reducen a ejecutar las mismas operaciones entre polinomios descritas en el
a´lgebra elemental.
Se hab´ıa dicho que el conjunto de los polinomios en la indeterminada x
con coeficientes en A, esto es, A[ x ] tiene estructura de anillo. El siguiente
teorema garantiza este hecho.
Teorema 5.1.1. Sea A un anillo. El conjunto A[ x ] de los polinomios en
la indeterminada x con coeficientes en A, es un anillo con las operaciones
definidas anteriormente. Si A es conmutativo tambie´n lo es A[ x ]. Si A tiene
elemento unitario 1, el polinomio constante f(x) = 1 es el elemento unitario
de A[ x ].
5.1. CONSTRUCCIO´N DEL ANILLO F [X ] 203
Demostracio´n. La forma como se ha definido la suma en funcio´n de los ele-
mentos del anillo A, garantiza que A[ x ] es un grupo abeliano. De no veri-
ficarse algunas propiedades en A[ x ], esas mismas propiedades tampoco se
verificar´ıan en A.
Las demostraciones de las propiedades asociativa del producto y distribu-
tiva corresponden al tipo de comprobaciones fa´ciles pero tediosas. La segunda
se presenta sin mayores justificaciones esperando que el lector acucioso supla
los detalles que faltan.
f(x)
[
g(x) + h(x)
]
=
∞∑
k=0
akx
k
[ ∞∑
k=0
bkx
k +
∞∑
k=0
ckx
k
]
=
∞∑
k=0
[ ∞∑
k=0
(bk + ck)x
k
]
=
∞∑
k=0
[ ∑
i+j=k
ai(bj + cj)x
k
]
=
∞∑
k=0
[ ∑
i+j=k
(aibjx
k + aicjx
k)
]
=
∞∑
k=0
[ ∑
i+j=k
aibjx
k +
∑
i+j=k
aicjx
k
]
=
∞∑
k=0
[ ∑
i+j=k
aibjx
k
]
+
∞∑
k=0
[∑
i+j=k
aicjx
k
]
= f(x)g(x) + f(x)h(x).
Las anteriores igualdades aseguran el cumplimiento de la propiedad distri-
butiva. De manera semejante se pueden demostrar las dema´s propiedades.
Puesto que el producto de A es conmutativo, se puede decir que,
f(x)g(x) =
∞∑
k=0
(∑
i+j=k
aibjx
k
)
=
∞∑
k=0
(∑
j+i=k
bjaix
k
)
= g(x)f(x).
204 CAPI´TULO 5. ANILLOS DE POLINOMIOS
Finalmente, por la forma como se ha definido el producto, el polinomio cons-
tante f(x) = 1 es el elemento unitario de A[ x ], comprobando as´ı la demos-
tracio´n. Las propiedades no demostradas se asignan como ejercicios.
Si F es un campo, el conjunto de los polinomios en la indeterminada x
con coeficientes en F se denomina por extensio´n F [ x ]. Es fa´cil demostrar que
F [ x ] es un dominio de enteros. Tambie´n lo es para D[ x ] si D es un dominio
de enteros. Antes de proceder a realizar la demostracio´n se debe analizar una
condicio´n preliminar enunciada mediante el teorema que sigue.
Teorema 5.1.2. Sea F un campo. Si f(x), g(x) son dos elemento no nulos
de F [ x ], entonces gr(f(x)g(x)) = grf(x) + grg(x).
Demostracio´n. Supongamos que grf(x) = m, grg(x) = n, en consecuencia,
f(x) = a0 + a1x + · · ·+ amxm, am �= 0, ai = 0, si i > m.
g(x) = b0 + b1x + · · ·+ bnxn, bn �= 0, bj = 0, si j > m.
No se pierde generalidad al suponer que m > n.
f(x)g(x) =
∞∑
k=0
(∑
i+j=k
aibjx
k
)
= a0b0 +
∑
i+j=1
aibjx + · · ·+
∑
i+j=m+n
aibjx
m+n.
Donde ∑
i+j=m+n
aibjx
m+n = (am+nb0 + · · ·+ a0bm+n)xm+n
= cm+nx
m+n.
Pero para cualquiera de los coeficientes aibj , 0 ≤ i ≤ m+ n, 0 ≤ j ≤ m+n,
observe que i + j = m + n, o equivalentemente, j = (m + n)− i.
Supongamos que i < m, entonces i + n < m + n, o sea, n < (m + n)− i.
Reemplazando esta u´ltima expresio´n por su equivalente j se sigue que n < j,
esto es, j > n y en consecuencia bj = 0 por hipo´tesis. En conclusio´n, si i < m,
el coeficiente aibj = 0. Similarmente, si j < n, ai = 0 luego aibj = 0.
Si i = m, j = n, am �= 0, bn �= 0 y por lo tanto el coeficiente de xm+n se
reduce a ambn esto es, cm+n = ambn �= 0.
5.1. CONSTRUCCIO´N DEL ANILLO F [X ] 205
Falta demostrar que ck = 0, para k ≥ m + n + 1,
ck = akb0 + ak−1b + · · ·+ a0bk.
Para cualquier aibj , i + j = k ≥ m + n + 1, luego i + j ≥ m + n + 1, de
donde se deduce que (m+n+1)− i ≤ j. Suponiendo que i ≤ m, sumando a
ambos miembros n+ 1, aplicando las propiedades del caso y trasponiendo i,
se obtiene, n+1 ≤ (m+n+1)− i, y de aqu´ı n+1 ≤ j, lo que necesariamente
lleva a afirmar que bj = 0 esto es, aibj = 0.
Similarmente se concluye que si j ≤ n, ai = 0 y aibj = 0.
En s´ıntesis, el te´rmino principal de f(x)g(x) es exactamente ambnx
m+n.
Aplicando la definicio´n se afirma que
gr((x)g(x)) = m + n = grf(x) + grg(x).
El corolario que sigue precisa una idea que espera´bamos.
Corolario. Si f(x), g(x) son dos polinomios no nulos de F [ x ], entonces
gr(f(x)) ≤ gr((x)g(x)).
Demostracio´n. Como gr(g(x)) ≥ 0, entonces
gr(f(x)) ≤ grf(x) + grg(x) = gr(f(x)g(x)).
Con el argumento que sigue se pretende demostrar que F [ x ] es un domi-
nio de enteros, para lo cual conside´rense f(x), g(x) dos polinomios no nulos
de F [ x ].
Si ambos polinomios son de grado cero, existen a, b enF diferentes de
cero tales que f(x) = a, g(x) = b, de donde f(x)g(x) = ab �= 0. Como ab es
una constante de F , f(x)g(x) es de grado cero.
Si alguno es de grado mayor que cero, por ejemplo, si grf(x) = m > 0,
entonces gr(f(x)g(x)) = grf(x) + grg(x) ≥ m, luego f(x)g(x) es de grado
mayor que cero.
El anterior razonamiento se enuncia mediante el condicional: Si f(x), g(x)
son dos polinomios no nulos de F [ x ], entonces f(x)g(x) �= 0. La contraposi-
tiva indica que si f(x)g(x) = 0, entonces, f(x) = 0 o g(x) = 0.
Se ha comprobado que F [ x ] no tiene divisores de cero y por ende que
es un dominio de enteros. Ampliando el horizonte a F [ x ] se podr´ıa pensar
que es un campo, para lo cual es indispensable hallar los inversos para el
producto.
Supongamos que f(x) tiene un polinomio inverso, esto es, existe g(x) tal
que f(x)g(x) = 1, entonces gr(f(x)g(x)) = grf(x) + grg(x) = 0, luego f(x)
206 CAPI´TULO 5. ANILLOS DE POLINOMIOS
es de grado cero conduciendo a la conclusio´n que es un polinomio constante,
o sea los u´nicos que tienen inverso son los polinomios constantes. En palabras
equivalentes significa que las u´nicas unidades de F [ x ] son las unidades de F ,
comproba´ndose as´ı que F [ x ] no es un campo, pero al ser un dominio se puede
construir el campo de cocientes compuesto por los cocientes de polinomios,
denominado el campo de las funciones racionales en x sobre F . El te´rmino
racional se usa por ser sus elementos razones de funciones.
La funcio´n grado se puede sugerir como el ν-valor necesario para convertir
a F [ x ] en un dominio euclidiano. Esta´ definida para todo f(x) �= 0 y se ha
demostrado que:
1. grf(x) ≥ 0. (Es un entero no negativo).
2. grf(x) ≤ gr(f(x)g(x)), para f(x) �= 0.
Falta por demostrar que dados f(x), g(x) �= 0, existen q(x), r(x) en F [ x ]
tales que f(x) = q(x)g(x)+r(x), con r(x) = 0 o grr(x) < grg(x). Condiciones
que se sintetizan en el algoritmo de Euclides aplicado a las funciones y que
a continuacio´n se demuestra.
Teorema 5.1.3. Dados dos polinomios f(x), g(x) �= 0 en F [ x ], existen q(x),
r(x) en F [ x ] tales que
f(x) = q(x)g(x) + r(x)
donde r(x) = 0 o grr(x) < grg(x).
Demostracio´n. Sean
f(x) = a0 + a1x + · · ·+ anxn
g(x) = b0 + b1x + · · ·+ bmxm
polinomios de grado n, m respectivamente. Si m > n, f(x) = 0×g(x)+f(x),
donde se han tomado q(x) = 0, r(x) = f(x), y evidentemente grr(x) es menor
que grg(x) = m.
Si m ≤ n el proceso a seguir es el usado al dividir polinomios. Como g(x)
es de grado m, al multiplicar g(x) por el polinomio (anb
−1
m )x
n−m se obtiene
un polinomio de grado n.
La diferencia
f(x)− (anb−1m )xn−mg(x) = r1(x)
5.1. CONSTRUCCIO´N DEL ANILLO F [X ] 207
es un polinomio de grado menor que n. Si grr1(x) < m, r1(x) es el resto
deseado y,
f(x) = (anb
−1
m )x
n−mg(x) + r1(x).
En caso contrario se repite el proceso hasta obtener un resto de grado menor
que m.
Generalizando veamos que sucede cuando m ≤ n, esto es, n −m = k0,
con k0 entero positivo. El planteamiento enunciado indica que,
f(x) = t0x
k0g(x) + r1(x)
donde r1(x) ∈ F [ x ], grr1(x) = m1, t0 = anb−1m .
Puede suceder:
1. r1(x) = 0.
2. m1 < m < n.
3. m < m1 < n.
Si ocurre (1) o (2) el problema esta´ resuelto.
Si ocurre (3), entonces, m1 = m + k1, con k1 entero positivo.
Si
r1(x) = c0 + c1x + · · ·+ cm1xm1
el proceso de dividir nos da :
r1(x) = t1x
k1g(x) + r2(x)
con r2(x) ∈ F [ x ], grr2(x) = m2, t1 = cm1bm1
Donde m2 puede ser mayor que m, en cuyo caso se escribe, m2 = m+ k2.
Adema´s m2 < m1 < n, es decir el grado de los residuos correspondientes for-
ma una sucesio´n decreciente de enteros positivos, lo que implica que despue´s
de un nu´mero finito de veces se obtendra´ una sucesio´n finita,
mj < m < · · · < m2 < m1 < n.
208 CAPI´TULO 5. ANILLOS DE POLINOMIOS
Que satisface las igualdades:
n = m + k0
m1 = m + k1
m2 = m + k2
...
mj−1 = m + kj−1
m = mj + k
y un u´ltimo residuo rj(x) tal que rj−1(x) = tj−1xkj−1 donde, rj(x) ∈ F [ x ],
el grado de rj(x) es igual a mj y tj−1 se ha escogido como en los casos
precedentes. De la sucesio´n e igualdades descritas anteriormente se obtiene:
m + kj−1 < · · · < m + k2 < m + k1 < m + k0.
Cancelando m se obtiene,
kj−1 < · · · < k2 < k1 < k0.
Entonces,
f(x) = t0x
k0g(x) + r1(x)
= t0x
k0g(x) + t1x
k1g(x) + r2(x)
= t0x
k0g(x) + t1x
k1g(x) + t2x
k2g(x) + r3(x)
...
= t0x
k0g(x) + t1x
k1g(x) + t2x
k2g(x) + · · ·+ tj−1xkj−1g(x) + rj(x)
=
(
t0x
k0 + t1x
k1 + t2x
k2 + · · ·+ tj−1xkj−1
)
g(x) + rj(x).
Donde rj(x) = 0 o el grado de rj(x) es menor que m.
Se puede en consecuencia escribir en general:
f(x) = q(x)g(x) + r(x)
donde r(x) = 0 o el grado de r(x) es menor que m.
Para demostrar la unicidad supongamos que existen q0(x), q1(x), r0(x),
r1(x), con las condiciones establecidas en el teorema, de tal manera que,
f(x) = q0(x)g(x) + r0(x)
f(x) = q1(x)g(x) + r1(x).
5.1. CONSTRUCCIO´N DEL ANILLO F [X ] 209
Entonces, [
q0(x)− q1(x)
]
g(x) = r1(x)− r0(x).
Como el grado de r1(x)−r0(x) es menor que el grado de g(x) la igualdad se da
solo en el caso que q0(x)− q1(x) = 0 o q0(x) = q1(x) luego r1(x)− r0(x) = 0
o r1(x) = r0(x).
Corolario. F [ x ] es un dominio euclidiano.
Demostracio´n. To´mese la funcio´n grado como el ν-valor euclidiano necesario
y apl´ıquese la definicio´n.
1. Si f(x) �= 0, el grado de f(x) es un entero no negativo.
2. Para todo f(x), g(x) �= 0, existen polinomios q(x), r(x) en F [ x ] tales
que, f(x) = q(x)g(x) + r(x), donde r(x) = 0 o el grado de r(x) es
menor que el grado de g(x).
3. El grado de g(x) es menor o igual al grado de f(x)g(x).
Ahora se puede decir que F [ x ] es un dominio de ideales principales.
Esta conclusio´n se fundamente en el teorema 4.9.1, pero se puede dar una
demostracio´n directa.
Sean f(x), h(x) dos polinomios de F [ x ]. Conside´rese el conjunto N for-
mado por las combinaciones lineales de f(x) y h(x), siempre y cuando f(x),
h(x) no sean simulta´neamente nulos.
N = {p(x)f(x) + q(x)h(x) | p(x), q(x) ∈ F [ x ]}.
Mediante un razonamiento similar al del teorema 4.10.2 se demuestra que
N es un ideal principal de F [ x ], lo que significa que N es generado por un
polinomio de grado mı´nimo g(x) esto es, N =
(
g(x)
)
.
Como f(x) = 1f(x) + 0h(x) y h(x) = 0f(x) + 1h(x) son elementos de
N , entonces f(x) = a(x)g(x), h(x) = b(x)g(x) es decir, g(x)
∣∣f(x), g(x)∣∣h(x).
Adema´s g(x) es un elemento de N , y esto quiera decir que
g(x) = u(x)f(x) + t(x)h(x).
O sea, cualquier divisor comu´n de f(x) y h(x) debe dividir a g(x).
Observando la definicio´n de ma´ximo comu´n divisor se concluye que dos
polinomios no simulta´neamente nulos f(x), h(x) de F [ x ] tienen un ma´ximo
210 CAPI´TULO 5. ANILLOS DE POLINOMIOS
comu´n divisor g(x) tal que, g(x)
∣∣f(x), g(x)∣∣h(x). Si c(x)∣∣f(x), c(x)∣∣h(x),
entonces c(x)
∣∣g(x). Adema´s g(x) es una combinacio´n lineal de f(x) y h(x).
Como todos los asociados de g(x) verifican la condicio´n de ser un ma´ximo
comu´n divisor de f(x) y h(x) no hay un ma´ximo comu´n divisor u´nico, pero se
puede escoger como el ma´ximo comu´n divisor a aquel polinomio mo´nico que
satisfaga la definicio´n, cuya existencia esta´ garantizada porque la relacio´n
“ser ma´ximo comu´n divisor” es una relacio´n de equivalencia.
EJERCICIOS
1. Si A es un anillo
a) Demostrar que A[ x ] con la operacio´n suma es un grupo abeliano.
b) Demostrar que la propiedad asociativa se verifica en A[ x ].
2. Demostrar que en Z3[ x ], se verifica:
a) (x + 2)2 = x2 + x + 1.
b) 2(x + 2) = 2x + 1.
3. En Z5 hallar la suma y el producto de f(x) = 3x3 + 4x2 + 2x + 1,
g(x) = 2x2 + 3x + 4.
4. Sea D un dominio de enteros.
a) Hallar las unidades de D[ x ]
b) Hallar las unidades de Z[ x ]
c) Hallar las unidades de Z3[ x ].
5. Sea D un dominio de enteros. ¿Son los siguientes conjuntos anillosconmutativos con elemento unitario?
a) {f(x) ∈ D[ x ] | f(0) = 0}.
b) {f(x)D[ x ] | f(0) = f(1)}
c) {f(x)D[ x ] | f(0) �= 0}.
6. Sea F un campo, demostrar que {f(x) | a0 = 0} forman un ideal de
F [ x ].
5.2. POLINOMIOS IRREDUCIBLES 211
7. Sean F un campo, f(x), g(x) en F [ x ]. Demostrar que
N =
{
r(x)f(x)+ s(x)g(x)
∣∣ r(x), s(x) ∈ F [ x ] } es un ideal de F [ x ].
8. Sea S ⊆ F [ x ] tal que si f(x) y g(x) ∈ S, entonces si f(x)− g(x) ∈ S
y si h(x) ∈ S, entonces xh(x) y ah(x) tambie´n pertenecen a S, para
cualquier constante a en F . Demostrar que S es un ideal.
9. En Z5 dados: f(x) = 3x3+4x2+2x+1, g(x) = x2+4. Hallar p(x), r(x)
tales f(x) = p(x)g(x) + r(x) y satisfagan las condiciones del algoritmo
de Euclides.
10. Demostrar: Si A es un anillo conmutativo con elemento unitario,entonces∑n
i=0 aix
i es una unidad en A[ x ] si y solo si, a0 es una unidad en A y
ai es nilpotente en A, para 1 ≤ i ≤ n.
11. Si D es un dominio de enteros, F es su campo de cocientes, demues-
tre que cualquier elemento f(x) en F [ x ] puede escribirse usando la
igualdad: f(x) = f0(x)/a donde f0(x) ∈ D[ x ], a ∈ D.
12. Sean f(x), g(x), h(x) en F [ x ], demostrar: Si h(x) es primo simulta´nea-
mente con f(x) y g(x), entonces h(x) es primo con f(x)g(x).
13. Sean f(x), g(x), h(x) en F [ x ], demostrar: Si h(x)
∣∣f(x)g(x) y h(x) es
primo con f(x) entonces h(x)
∣∣g(x).
14. a) En Z[ x ] hallar el (m. c. d.) de x3 − 7x2 + 7x+ 15 y x2 − 2x− 3 .
b) Expresarlo como una combinacio´n lineal de los polinomios dados.
15. a) Hallar el (m. c. d.) de 2x3 − 6x2 − 10x − 2 y 2x3 + 2x2 − 5x − 1
en Z11[ x ].
b) Expresarlo como una combinacio´n lineal de los polinomios dados.
5.2. Polinomios Irreducibles
Los polinomios irreducibles corresponden a los elementos primos de un
dominio de enteros y como tales sera´n tratados.
212 CAPI´TULO 5. ANILLOS DE POLINOMIOS
Definicio´n 5.2.1. Un polinomio no constante de F [ x ] se denomina irredu-
cible sobre F , un irreducible de F [ x ] o un irreducible en F [ x ] si siempre
que p(x) = a(x)b(x) en F [ x ], a(x) o b(x) tienen grado cero esto es, son
constantes de F .
Se especifica la irreducibilidad sobre el campo F , puesto que un polinomio
irreducible sobre un determinado campo puede ser reducible sobre otro. El
caso t´ıpico es f(x) = x2 + 1, que es irreducible sobre los reales, pero es
factorizable en los complejos.
Los teoremas expresados a continuacio´n son consecuencias de ser F [ x ]
un dominio de ideales principales, pero se sugiere realizar demostraciones
directas.
Teorema 5.2.1. El ideal
(
p(x)
)
generado por p(x) es maximal si y solo si
p(x) es irreducible sobre F .
Teorema 5.2.2. Sea p(x) un irreducible sobre F . Si p(x)
∣∣r(x)s(x), entonces
p(x)
∣∣r(x) o p(x)∣∣s(x).
Al igual que en los enteros surge el siguiente corolario.
Corolario. Si el polinomio p(x) es irreducible sobre F , y p(x) divide al
producto r1(x)r2(x) . . . rn(x), ri(x) ∈ F [ x ], 1 ≤ i ≤ n entonces p(x) divide
a ri(x), para algu´n i.
El siguiente teorema indica que F [ x ] es un dominio de factorizacio´n u´nica
Teorema 5.2.3. Sea f(x) un polinomio no constante de F [ x ], f(x) pue-
de factorizarse como el producto de polinomios irreducibles sobre F . Esta
factorizacio´n es u´nica salvo el orden de los factores y asociados.
Ejemplo 5.2.1. Demostrar que x4 + 4 es reducible en Z5.
Solucio´n. Dividiendo x4 + 4 entre x− 1 se obtiene:
5.2. POLINOMIOS IRREDUCIBLES 213
x4 + 4 x − 1
x3 + x2 + x + 1− x4 + x3
0 + x3
− x3 + x2
0 + x2
− x2 + x
0 + x + 4
− x + 1
0 + 0
Dividiendo sucesivamente por (x− 2) y (x− 3) se obtiene la igualdad
x4 + 4 = (x− 1)(x− 2)(x− 3)(x− 4)
= (x + 4)(x + 3)(x + 2)(x + 1).
En la u´ltima expresio´n se han remplazado los te´rminos que aparecen con
signo negativo por sus inversos en Z5.
EJERCICIOS
1. Demostrar que:
a) x2 + x + 1 es irreducible sobre Z2.
b) x2 − 6 es irreducible sobre Z7.
c) x3 + 2 es irreducible sobre Z11.
d) x2 + 4 es reducible sobre Z5.
e) x2 + 6 es reducible sobre Z7.
2. Demostrar que:
a) x3 + 3x2 − 8 es irreducible sobre Q.
b) x4 − 22x2 + 1 es irreducible sobre Q.
214 CAPI´TULO 5. ANILLOS DE POLINOMIOS
3. Demostrar sin usar el hecho de ser F [ x ] un dominio de ideales princi-
pales.
a) El ideal
(
p(x)
)
generado por p(x) es maximal si y solo si p(x) es
irreducible sobre F .
b) Sea p(x) un irreducible sobre F . Si p(x)
∣∣r(x)s(x), entonces p(x)∣∣r(x)
o p(x)
∣∣s(x).
c) Si el polinomio p(x) es irreducible sobre F y p(x) divide al pro-
ducto r1(x)r2(x) · · · rn(x), ri(x) ∈ F [ x ], 1 ≤ i ≤ n, entonces p(x)
divide a ri(x) para algu´n i.
d) Sea f(x) un polinomio no constante de F [ x ], f(x) puede factori-
zarse como el producto de polinomios irreducibles sobre F . Esta
factorizacio´n es u´nica salvo el orden de los factores y asociados.
4. Demostrar que el ideal
(
p(x)
)
generado por p(x) es maximal si y solo
si p(x) es irreducible sobre F .
5. Exprese el polinomio x3+3x2+4x+2 como el producto de irreducibles
en Z5.
6. Dados F un campo, f(x), g(x) en F [ x ]. Demostrar que f(x)
∣∣g(x) si y
solo si g(x) pertenece al ideal
(
f(x)
)
.
7. Sean F un campo, f(x), g(x) en F [ x ].
N = {r(x)f(x) + s(x)g(x) | r(x), s(x) ∈ F [ x ]} un ideal de F [ x ].
Demostrar que si f(x) y g(x) tienen grados diferentes y N �= F [ x ],
entonces f(x) y g(x) no pueden ser ambos irreducibles sobre F .
8. Hallar todos los ideales primos y todos los maximales de Z12.
9. Hallar un ideal maximal de Z + Z.
10. Hallar un ideal primo de Z + Z que no sea maximal.
11. Hallar un ideal propio de Z + Z que no sea primo.
12. Demostrar que si p(x) ∈ F [ x ] es tal que para todo f(x) ∈ F [ x ], p(x)
es primo con f(x) o p(x)|f(x), entonces p(x) es irreducible.
5.3. EXTENSIONES DE CAMPOS 215
5.3. Extensiones de Campos
Dado f(x) un polinomio de F [ x ], surge la pregunta acerca de la posi-
bilidad de encontrar un campo E que contenga los ceros de f(x). En otras
palabras de encontrar un campo E donde la igualdad f(t) = 0, resultante de
reemplazar la indeterminada x por el elemento t, sea satisfecha por al menos
un t de E. Afortunadamente la respuesta es positiva y su construccio´n es
posible a trave´s del campo F y un irreducible de la descomposicio´n factorial
de f(x).
Definicio´n 5.3.1. Un campo E es una extensio´n del campo F, si F es un
subcampo de E.
Se inicia la construccio´n partiendo del campo F y un polinomio cualquiera
f(x) no constante de F [ x ]. Como f(x) puede expresarse como el producto
de polinomios irreducibles en F , sea p(x) un irreducible de la descomposicio´n
factorial de f(x). Sea N =
(
p(x)
)
el ideal generado por p(x). Por ser p(x)
un irreducible, N es un ideal maximal de F [ x ] y en consecuencia el anillo
cociente F [ x ]/N es un campo.
La funcio´n φ : F −→ F [ x ]/N , definida mediante la igualdad aφ = a+N ,
para todo a de F , es un isomorfismo. En efecto, sean a, b elementos de F .
(a + b)φ = (a + b) + N
= (a + N) + (b + N)
= aφ + bφ,
(ab)φ = (ab + N)
= (a + N)(b + N)
= (a)φ(b)φ.
Adema´s si a, b son elementos de F tales que aφ = bφ o expresado en forma
equivalente, a+N = b+N , entonces se puede decir que a− b pertenece a N ,
asi que p(x) debe dividir a a− b, de donde se deduce que grp(x) ≥ 1. Como
a− b pertenece a F , entonces a− b es de grado cero o es el polinomio nulo.
Pero esta diferencia no puede ser de grado cero, porque al ser p(x) de grado
mayor que cero no la dividir´ıa, luego a− b = 0 o sea a = b deducie´ndose que
φ es uno a uno.
Si a + N un elemento de F [ x ]/N , existe a en F tal que aφ = a + N , de
donde se concluye que φ es sobre, demostra´ndose que es un isomorfismo. Se
216 CAPI´TULO 5. ANILLOS DE POLINOMIOS
identifica a F con el conjunto {a+N | a ∈ F} y en tales condiciones F [ x ]/N
es una extensio´n de F que contiene los ceros def(x).
Estableciendo la igualdad F [ x ]/N = E se ha encontrado la respuesta a
la inquietud planteada, o sea siempre es posible encontrar un campo E que
contenga los ceros de cualquier polinomio f(x) ∈ F [ x ].
Ma´s tarde se construira´ un campo isomorfo a los complejos que contenga
los ceros del polinomio f(x) = x2 + 1, que no los tiene en los reales.
Con la garant´ıa dada por la consideracio´n anterior se puede enunciar la
siguiente proposicio´n.
Teorema 5.3.1. Sean F un campo, E una extensio´n de F, t un elemento de
E, x una indeterminada. La funcio´n φt : F [ x ] −→ E definida por
(a0 + a1x + · · ·+ anxn)φt = f(t) = a0 + a1t + · · ·+ antn
es un homomorfismo adema´s
1. xφt = t.
2. La imagen directa de F es todo F esto es, Fφt = F .
Se conviene en establecer la igualdad,
f(t) = a0 + a1t + · · ·+ antn.
Demostracio´n. Sean m > n y
f(x) = a0 + a1x + · · ·+ anxn
g(x) = b0 + b1x + · · ·+ bmxm.
[
f(x) + g(x)
]
φt =
[
(a0 + b0) + (a1 + b1)x + · · ·+ (an + bn)xn + · · ·+ bmxm
]
φt
= (a0 + b0) + (a1 + b1)t + · · ·+ (an + bn)tn + · · ·+ bmtm
= a0 + a1t + · · ·+ antn + b0 + b1t + · · ·+ bmtm
= (a0 + a1x + · · ·+ anxn)φt + (b0 + b1t + · · ·+ bmxm)φt
= f(x)φt + g(x)φt.
5.3. EXTENSIONES DE CAMPOS 217
Para el producto se escribe
[
f(x)g(x)
]
φt =
[n+m∑
k=0
(∑
i+j=k
aibjx
k
)]
φt
=
[n+m∑
k=0
(∑
i+j=k
aibjt
k
)]
=
[
f(x)g(x)
]
φt
=
[
f(x)φt
][
g(x)φt
]
.
Por definicio´n de φt, xφt = (1x)φt = 1t = t.
Para todo a de F el polinomio constante f(x) = a, es tal que f(x)φt = a.
De lo anterior se concluye que Fφt = F . En otras palabras, para todo a
de F , xφt = a, lo que indica que φt mirado con esta lente no es otra cosa que
la funcio´n ide´ntica, que es un isomorfismo de F sobre s´ı mismo.
Ejemplo 5.3.1. Sea R una extensio´n de Q, considere el homomorfismo φ3,
dado por
f(3) = a0 + a13 + · · ·+ an3n.
Para el polinomio
g(x) = x2 − 7x + 12,
la ima´gen de g(x) esta´ dada por la igualdad
g(3) = 32 − 7× 3 + 12 = 0.
El polinomio
x2 − 7x + 12 = (x− 3)(x− 4)
pertenece al nu´cleo de φ3, esto es,
N =
(
(x− 3))
es el ideal generado por
(
x− 3). En conclusio´n, Q[ x ]/N ≈ Q.
218 CAPI´TULO 5. ANILLOS DE POLINOMIOS
EJERCICIOS
1. Sea φt : Z7[ x ] −→ Z7 el homomorfismo definido en el teorema 5.3.1.
Evaluar:
a) (x2 + 5)φ3.
b) (3x2 + 2x− 5)φ5.
c) (x3 − 2)(x2 + 5x + 4)φ3.
d) (x3 − 2)(x2 + 5x + 4)φ0.
2. Sea φt : Q[ x ] −→ R el homomorfismo definido en el teorema 5.3.1.
Describir el nu´cleo de φ3 y hallar 6 de sus elementos.
3. Hallar los ceros en Z5 de (x5 + 3x4 − x2 − 3x) ∈ Z5[ x ]. Sugerencia:
Usando el teorema 5.3.1 pruebe con los cinco candidatos posibles.
4. Sea φt : Z5[ x ] −→ Z5 el homomorfismo definido en el teorema 5.3.1.
Evaluar (x231 + 3x117 − 2x53 + 1)φ3. Sugerencia: Use el teorema de
Fermat.
5.4. Los ceros de Polinomios
Definicio´n 5.4.1. Sea E una extensio´n de F , t un elemento de E, f(x) en
F [ x ], φt : F [ x ] −→ E, el homomorfismo descrito en el teorema 5.3.1. Si
f(t) = 0, se dice que t es un cero de f(x).
Definicio´n 5.4.2. Sea E una extensio´n de F, t en E se dice algebraico sobre
F, si f(t) = 0 para algu´n polinomio no nulo de F [ x ]. Si t no es algebraico
sobre F, se dice trascendente sobre F .
Si F son los racionales y E los complejos en lugar de decir que un nu´me-
ro es algebraico o trascendente sobre Q, simplemente se dice algebraico o
trascendente sin ma´s especificacio´n.
Ejemplo 5.4.1. Veamos que
√
3−√5 es algebraico sobre Q.
Solucio´n. Si t =
√
3−√5 entonces t2 = 3−√5, luego t2 − 3 = −√5 o sea
(t2 − 3)2 = 5 y de aqu´ı, elevando al cuadrado y trasponiendo te´rminos, se
obtiene que t4 − 6t2 + 4 = 0, significando que t es un cero de x4 − 6x2 + 4
sobre Q.
5.4. LOS CEROS DE POLINOMIOS 219
Con el teorema que sigue se da respuesta definitiva a la inquietud plan-
teada al principio de la seccio´n
Teorema 5.4.1. Sea F un campo, f(x) un polinomio no constante de F [ x ],
entonces existen una extensio´n E de F y un elemento t de E tal que f(t) = 0.
Demostracio´n. Sea p(x) un polinomio irreducible de la descomposicio´n fac-
torial de f(x). El campo E = F [ x ]/N , con E el ideal generado por p(x) se
demostro´ que es una extensio´n de F . Sea t = x + N un elemento de E.
p(x) = a0 + a1x + · · ·+ anxn
φt : F [ x ] −→ E, dada por:
p(x)φt = a0 + a1(x + N) + · · ·+ an(x + N)n = p(t).
Pero en E se opera escogiendo representantes de las clases laterales x+N y
como x es uno de tales representantes,
p(t) = (a0 + a1x + · · ·+ anxn) + N
= p(x) + N
= N
= 0,
ya que N es el cero de E. Se ha encontrado entonces un t en E tal que
p(t) = 0 y como p(x) es un factor de f(x) se concluye que f(t) = 0, da´ndose
que t es un cero de f(x).
Los teoremas que siguen relacionan la reducibilidad con los ceros de un
polinomio.
Teorema 5.4.2. Sea E una extensio´n de F , t ∈ E es un cero de f(x) si y
solo si x− t es un factor de f(x) en F [ x ].
Demostracio´n. Sea t en E tal que f(t) = 0. Por el algoritmo de la divisio´n,
existen q(x), r(x) en F [ x ] tales que, f(x) = (x − t)q(x) + r(x), donde el
grado de r(x) es menor que 1. Se debe tener entonces que r(x) = k, con k en
F , as´ı que
f(x) = (x− t)q(x) + k.
220 CAPI´TULO 5. ANILLOS DE POLINOMIOS
Aplicando el homomorfismo φt se llega a
0 = f(t) = (t− t)q(t) + k = 0q(t) + k.
Luego k = 0 y de aqu´ı se deduce que f(x) = (x− t)q(x).
Rec´ıprocamente, sea (x− t) un factor de f(x), t en E,
f(x) = (x− t)q(x)
f(t) = f(x)φt = (t− t)q(t) = 0q(t) = 0.
Significando lo anterior que f(t) = 0, t es un cero de f(x).
La situacio´n descrita en el teorema anterior conduce a una generalizacio´n
que se expresa mediante el siguiente corolario.
Corolario. Sea E una extensio´n de F . Un polinomio no nulo f(x) de F [ x ]
de grado n tiene a lo ma´s n ceros en E.
Demostracio´n. Si t1 es un cero de f(x), entonces
f(x) = (x− t1)q1(x),
donde el grado de q1(x) es n − 1. Si continuamos el proceso se llega a la
igualdad,
f(x) = (x− t1)(x− t2) · · · (x− tr)qr(x)
donde t1, t2 . . . tr son ceros de f(x) y qr(x) no tiene ma´s ceros. Indudable-
mente r ≤ n. Tambie´n, si c ≤ ti, (1 ≤ i ≤ r), c en E, se puede escribir
f(c) = (c− t1)(c− t2) · · · (c− tr)qr(x) �= 0.
Como E no tiene divisores de cero y (c−ti) �= 0 (por construccio´n) los u´nicos
ceros de f(x) son t1, t2, . . . , tr, (r ≤ n).
Teorema 5.4.3. Sea E una extensio´n de F . f(x) en F [ x ] de grado 2 o 3.
f(x) es reducible sobre F si y solo si tiene un cero en E.
Demostracio´n. Como f(x) es reducible, existen polinomios g(x), h(x) en
F [ x ] de grado menor que el de f(x) tales que, f(x) = g(x)h(x). Como
el grado de f(x) es 2 o 3, entonces alguno de los dos g(x) o h(x) es de grado
1. Supongamos que g(x) es de grado 1, entonces g(x) es de la forma x − t,
excepto por un posible factor en F , luego g(t) = 0, y por tanto f(t) = 0, es
decir f(x) tiene un cero.
5.4. LOS CEROS DE POLINOMIOS 221
El teorema 5.4.2 asegura que si f(t) = 0, t en E, entonces x − t es un
factor de f(x), por lo que se afirma que f(x) es reducible.
Los dos pro´ximos teoremas son de prima importancia porque permiten
caracterizar los elementos algebraicos y trascendentes. Muestran adema´s la
utilidad del homomorfismo φt.
Teorema 5.4.4. Sea E una extensio´n de F, t en E, sea φt el homomorfismo
descrito anteriormente, t es trascendente si y solo si φt es uno a uno.
Demostracio´n. Decir que t es trascendente equivale a afirmar que f(t) es
diferente de cero para todo polinomio no constante f(x) en F [ x ], afirmacio´n
equivalente a decir que el nu´cleo de φt es {0} y esta u´ltima equivale a asegurar
que φt es uno a uno.
Teorema 5.4.5. Sea E una extensio´n de F . Si t ∈ E, t �= 0 es algebraico
sobre F , existe un polinomio irreducible p(x) en F [ x ] tal que p(t) = 0, p(x)
esta´ un´ıvocamente determinado salvo un factor constante de F y es de gradomı´nimo ≥ 1 en F [ x ] y tiene a t como cero. Si f(t) = 0, para f(x) �= 0 un
polinomio de F [ x ], entonces p(x) divide a f(x).
Demostracio´n. Sea φt el homomorfismo de F [ x ] −→ E. El nu´cleo de φt es
un ideal principal generado por algu´n polinomio mo´nico p(x) de F [ x ]. Sea
N =
(
p(x)
)
. N consiste en aquellos elementos de F [ x ] que tienen a t como
cero esto es, si f(t) = 0, para f(x) �= 0, entonces f(x) pertenece a N , luego
p(x) divide a f(x). Indudablemente p(x) es un polinomio de grado mı´nimo
mayor o igual a 1 que tiene a t como cero, y cualquier otro polinomio del
mismo grado que p(x) que tenga a t como cero debe ser de la forma ap(x)
para algu´n a en F . Si p(x) = r(x)q(x) es una descomposicio´n de p(x) en
polinomios de grado menor, entonces si p(t) = 0 se obtiene r(t)q(t) = 0, es
decir r(t) = 0 o q(t) = 0, contradiciendo el hecho de ser p(x) de grado mı´nimo
mayor o igual a 1 tal que p(t) = 0 y en consecuencia p(x) es irreducible.
Definicio´n 5.4.3. Sea E una extensio´n de F, t ∈ E algebraico sobre F . El
polinomio mo´nico u´nico p(x) que satisface las condiciones del teorema 5.4.5
es el polinomio mo´nico irreducible para t sobre F . Se nota irr(t, F ). El grado
de irr(t, F ) es el grado de t sobre F y se nota gr(t, F ).
Sean E una extensio´n de F, t ∈ E, φt el homomorfismo de F [ x ] −→ E
definido anteriormente. Analicemos lo que sucede con la imagen directa de
F [ x ]. Debido a que las operaciones de suma y producto definidas en F [ x ]
222 CAPI´TULO 5. ANILLOS DE POLINOMIOS
son ide´nticas a las definidas en
(
F [ x ]
)
φt es decir, f(x) + g(x), f(x)g(x),
se realizan de manera semejante a f(t) + g(t), f(t)g(t), es tarea de rutina
demostrar que
(
F [ x ]
)
φt es un dominio de enteros, comprobacio´n que dejamos
al cuidado el estudiante. Para ilustrar veamos que es cerrado para la suma y
el producto esto es, si se toman m > n(
f(x)
)
φt = a0 + a1t + · · ·+ antn
(
g(x)
)
φt = b0 + b1t + · · ·+ bmtm
f(x)φt + g(x)φt = (a0 + b0) + (a1 + b1)t + · · ·+ (an + bn)tn + · · ·+ bmtm
[
f(x)φt
][
g(x)φt
]
=
m+n∑
k=0
(∑
i+j=k
aibjt
k
)
.
Son elementos de (F [ x ])φt.
Finalmente veamos que todo elemento diferente de cero tiene su inverso.
Sea
f(t) = a0 + a1t + · · ·+ antn �= 0
lo que significa que
f(x) = a0 + a1x + · · ·+ anxn
es un polinomio no nulo. Si t es algebraico sobre F, existe un polinomio
irreducible p(x) de grado mı´nimo en F [ x ] tal que p(t) = 0. Por el teorema
anterior, como f(x) no es nulo, p(x) no divide a f(x) ya que por hipo´tesis,
f(t) �= 0.
Por ser p(x) irreducible, 1 es un ma´ximo comu´n divisor entre p(x) y f(x)
esto es, existen polinomios r(x), s(x) tales que
1 = p(x)r(x) + f(x)s(x)
y de aqu´ı se deriva,
1 = p(t)r(t) + f(t)s(t).
5.4. LOS CEROS DE POLINOMIOS 223
Pero p(t) = 0, entonces, 1 = f(t)s(t), lo que indica que el inverso de f(t)
es s(t). Lo anterior induce a concluir que
(
F [ x ]
)
φt es un campo y en con-
secuencia es un subcampo de E, denominado el campo por adjuncio´n de t
a F y se nota F (t). Se deja al cuidado del estudiante demostrar que es la
interseccio´n de todos los subcampos de E que contienen a t y a F . Por esta
razo´n se dice que es el menor de los subcampos que contienen a t y a F .
Como t es algebraico sobre F el nu´cleo de φt es N =
(
irr(t, F )
)
, el ideal
generado por irr(t, F ), que en este caso es un ideal maximal de F [ x ] y por
consiguiente, de acuerdo con el teorema 4.7.4, el anillo cociente F [ x ]/N es
un campo isomorfo a F (t).
Si t es trascendente sobre F,
(
F [ x ]
)
φt no es un campo, pero es un dominio
de enteros que denotaremos F [ t ], en este caso E contiene un campo de
cocientes de F [ t ] esto es, un campo de la forma {p(t)/q(t)}, con q(t) �= 0,
p(t) y q(t) en
(
F [ x ]
)
φt y es indudablemente el menor subcampo de E que
contiene tanto a t como a F . (Demostrarlo). Lo notamos igualmente F (t).
Definicio´n 5.4.4. Una extensio´n E de F se dice simple si existe t en F tal
que F (t) = E.
A continuacio´n se pretende dar algu´n sentido al campo F (t) cuando t es
algebraico sobre F , comprobando que todo elemento b de F (t) puede ser
expresado de manera u´nica por la igualdad:
b = b0 + b1t + · · ·+ bn−1tn−1.
En efecto, sean E una extensio´n simple del campo F, F (t) =
(
F [ x ]
)
φt con t
algebraico sobre F . Los elementos de F (t) son polinomios en t con coeficientes
en F esto es,
f(x)φt = f(t) = c0 + c1t + · · ·+ crtr.
Sea p(x) el polinomio mo´nico irreducible para t sobre F , p(x) = irr(t, F ), al
que suponemos de grado n ≥ 1,
p(x) = a0 + a1x + · · ·+ xn, ai ∈ F.
Como p(t) = 0
a0 + a1t + · · ·+ tn = 0.
Despejando tn se escribe,
tn = −an−1tn−1 − an−2tn−2 − · · · − a1t− a0.
224 CAPI´TULO 5. ANILLOS DE POLINOMIOS
Esta expresio´n puede usarse para representar a tm (m ≥ n), como una com-
binacio´n de potencias de t menores o iguales a (n− 1) por ejemplo,
tn+1 = t× n = −an−1tn − an−2tn−1 − · · · − a1t2 − a0t.
Igualdad obtenida por reemplazo de tn. Continuando el proceso, mediante el
uso de la induccio´n matema´tica, se puede obtener tm como una combinacio´n
de los elementos 1, t, . . . , tn−1, lo que quiere decir que si b pertenece a F (t)
puede escribirse en la forma
b = b0 + b1t + · · ·+ bn−1tn−1.
Adema´s esta escritura es u´nica. Si
b = b0 + b1t + · · ·+ bn−1tn−1
= d0 + d1t + · · ·+ dn−1tn−1
con, bi, di elementos de F se obtiene,
(b0 − d0) + (b1 − d1)t + · · ·+ (bn−1 − dn−1)tn−1 = 0.
De esta igualdad se deduce la existencia de un polinomio g(x) en F [ x ] de
grado (n − 1), tal que g(t) = 0. Como irr(t, F ) es el polinomio de grado
mı´nimo en F [ x ] que tiene a t como cero se deduce que g(x) = 0, por tanto
(bi− di) = 0, de donde bi = di, establecie´ndose la unicidad de la escritura de
b.
Conside´rese el conjunto formado por las combinaciones de las (n − 1)
primeras potencias de t esto es,
Ft = {b0 + b1t + · · ·+ bn−1tn−1, bi ∈ F}.
Ft es indudablemente un campo. La demostracio´n como se hab´ıa dicho corres-
ponde a esa clase de comprobaciones fa´ciles pero tediosas de alguna ocurren-
cia en los polinomios. En realidad es ide´ntica a la realizada para el campo F (t)
y se cree que cualquier persona capaz de realizar una esta´ en condicio´n de de-
sarrollar ambas. Sin embargo es conveniente que el estudiante la efectu´e para
afianzar su destreza. Por definicio´n de Ft se observa que Ft ⊆ F (t). Adema´s
Ft contiene a F y a t, luego F (t) ⊆ Ft y en consecuencia Ft = F (t). Ahora es
correcto afirmar que F (t) esta´ generado por las potencias de t menores que
el grado de irr(t, F ).
5.4. LOS CEROS DE POLINOMIOS 225
Por la forma de construirlo, F (t) es una extensio´n simple de F . Si t es
algebraico, F (t) se denomina una extensio´n algebraica. En caso contrario se
dice trascendente.
Si t es trascendente, se dijo que F (t) contiene a F, t y todos los cocientes
p(t)/q(t), q(t) �= 0.
Para los dominios F [ x ], F [ t ], la correspondencia φ : F [ x ] −→ F [ t ]
descrita por f(x)φ = f(t) es un isomorfismo.
Supongamos que f(t) = g(t), entonces
a0 + a1x + · · ·+ amxm = b0 + b1x + · · ·+ bnxn
necesariamente m = n y ai = bi.
Si ocurriera que m �= n o ai �= bi para algu´n i, f(t) − g(t) ser´ıa un
polinomio h(t) con coeficientes en F no todos nulos. Pero al ser f(t) igual a
g(t), se tendr´ıa que h(t) = 0, contradiciendo el hecho de ser t trascendente.
Igualmente, para todo f(t) existe f(x) tal que f(x)φ = f(t).
Por la forma de operar,(
f(x) + g(x)
)
φ = f(x)φ + g(x)φ
[
f(x)g(x)
]
φ =
[
f(x)φ
][
g(x)φ
]
.
Este isomorfismo se puede hacer extensivo a los correspondientes cocientes
as´ı, [
f(x)/g(x)
]
φ = f(t)/g(t).
Se ha establecido un isomorfismo entre los campos F (x) y F (t), donde F (x)
es el campo de las funciones racionales en la indeterminada x con coeficientes
en F esto es,
F (x) = {p(x)/q(x)| q(x) �= 0, p(x), q(x) en F [ x ]}.
Finalmente supongamos que F (t) y F (u) son dos extensiones algebraicas
simples del campo F engendradas por irr(t, F ) e irr(u, F ) respectivamente.
La funcio´n φ : F (t) −→ F (u) dada por f(t)φ = f(u) es un isomorfismo.
Si f(u) = g(u), f(u) − g(u) = 0. Por el teorema 5.4.5 p(x) divide a
f(x) − g(x) o sea, f(x) − g(x) = p(x)(q(x). Luego f(t) − g(t) = p(t)(q(t),
pero p(t) = 0, lo que significa que f(t)− g(t) = 0 es decir, f(t) = g(t).
226 CAPI´TULO 5. ANILLOS DE POLINOMIOS
Adema´s φ es sobre, y al ser semejantes las formas de operar en ambos
campos, se verifican las propiedades caracter´ısticas de los isomorfismos. F (t)
es entonces isomorfo a F (u).
El isomorfismo anterior indica que dos ceros cualesquiera de un polinomio
irreducible p(x) tienen iguales propiedades algebraicas y que todas las pro-
piedades algebraicas de un cero pueden derivarse del polinomio irreducible
que satisfacen.
El polinomio de Z3
p(x) = x2 + 2x + 2
no tiene ceros en Z3 ya que
p(0) = 0 + 0 + 2 = 2,
p(1) = 1 + 2 + 2 = 2,
p(2) = 1 + 1 + 2 = 1.
Por lo tanto es irreducible en Z3. Pero se sabe que existe una extensio´n E de
Z3, t en E tal que p(t) es cero, esto es,
t2 + 2t + 2 = 0.
Despesjando y teniendo en cuenta que el inverso aditivo de 2 en Z3 es 1,
t2 = −2t− 2 = t + 1.
F (t) tiene entonces la forma
F (t) = {ai + ajt | ai, aj en Z3}.
Observe que no aparecen te´rminos en t2. Por ca´lculo directo se obtiene,
F (t) = Z3[ t ] = {0, 1, 2, t, 2t, 1 + t, 2 + 2t, 1 + 2t, 2 + t}.
Excepto el 0, que es su propio inverso, los dema´s elementos se agruparon por
parejas, escribiendo cada uno junto a su inverso aditivo. Es fa´cil verificar la
existencia de los inversos multiplicativos.
5.4. LOS CEROS DE POLINOMIOS 227
Teniendo en cuenta que t2 = t + 1, veamos por ejemplo:
(1 + t)(2 + 2t) = 2 + 2t + 2t + 2t2
= 2t2 + t + 2
= 2(t + 1) + t + 2
= 2t + 2 + t + 2
= (2 + 2) + (2 + 1)t
= 1 + 0t
= 1.
Las tablas de la suma y el producto se escriben a continuacio´n.
+ 0 1 2 t 2t 1 + t 2 + 2t 1 + 2t 2 + t
0 0 1 2 t 2t 1 + t 2 + 2t 1 + 2t 2 + t
1 1 2 0 1 + t 1 + 2t 2 + t 2t 2 + 2t t
2 2 0 1 2 + t 2 + 2t t 1 + 2t 2t 1 + t
t t 1 + t 2 + t 2t 0 1 + 2t 2 1 2 + 2t
2t 2t 1 + 2t 2 + 2t 0 t 1 2 + t 1 + t 2
1 + t 1 + t 2 + t t 1 + 2t 1 2 + 2t 0 2 2t
2 + 2t 2 + 2t 2t 1 + 2t 2 2 + t 0 1 + t t 1
1 + 2t 1 + 2t 2 + 2t 2t 1 1 + t 2 t 2 + t 0
2 + t 2 + t t 1 + t 2 + 2t 2 2t 1 0 1 + 2t
* 0 1 2 t 2t 1 + t 2 + 2t 1 + 2t 2 + t
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 t 2t 1 + t 2 + 2t 1 + 2t 2 + t
2 0 2 1 2t t 2 + 2t 1 + t 2 + t 1 + 2t
t 0 t 2t 1 + t 2 + 2t 1 + 2t 2 + t 2 1
2t 0 2t t 2 + 2t 1 + t 2 + t 1 + 2t 1 2
1 + t 0 1 + t 2 + 2t 1 + 2t 2 + t 2 1 2t t
2 + 2t 0 2 + 2t 1 + t 2 + t 1 + 2t 1 2 t 2t
1 + 2t 0 1 + 2t 2 + t 2 1 2t t 2 + 2t 1 + t
2 + t 0 2 + t 1 + 2t 1 2 t 2t 1 + t 2 + 2t
Figura 5.1
228 CAPI´TULO 5. ANILLOS DE POLINOMIOS
Con el siguiente ejemplo, veremos que los complejos son generados sobre los
reales por los ceros i, −i del polinomio x2 +1. Existe por tanto un automor-
fismo de los complejos que env´ıa i en −i o a + bi en su conjugado a− bi.
Ejemplo 5.4.2. Los complejos son generados sobre los reales por los ceros
i, −i del polinomio x2 + 1.
Solucio´n. En los reales el polinomio f(x) = x2 + 1 es irreducible. Si N es
el ideal generado por f(x), R[ x ]/N es un campo, existe entonces t en dicho
campo, un cero de f(x). Sea t = x + N .
t2 + 1 = (x + N)2 + 1
= x2 + N + 1
= (x2 + 1) + N.
Pero (x2 + 1) ∈ N , entonces
(x2 + 1) + N = N
= 0,
indicando que t es un cero de x2 + 1.
F (t) = {ai + ajt | ai, aj ∈ R, t2 + 1 = 0 o t2 = −1}.
Sumando y multiplicando se obtienen las igualdades,
(ai + ajt) + (ak + alt) = (ai + ak) + (aj + al)t
= am + ant
(ai + ajt)(ak + alt) = aiak + (aial + ajak)t + ajalt
2
= (aiak − ajal) + (aial + ajak)t
= aq + art.
Obse´rvese que t actu´a como i, entonces, a+ bt realiza las funciones de a+ bi,
indicando que F (t) es isomorfo a los complejos.
Con un razonamiento similar, si u es un cero de x2 + 1, y
F (u) = {ai − aju | ai, aj son reales y u2 = −1}.
5.4. LOS CEROS DE POLINOMIOS 229
La suma y el producto de dos elementos (ai − aju), (ak − alu) de F (u)
tienen respectivamente la forma (as − atu) y (av − awu), lo que es fa´cil de
comprobar realizando las operaciones y efectuando los reemplazos necesarios.
En este caso u actu´a como −i. Como ya se hab´ıa dicho F (t) es isomorfo a
F (u).
EJERCICIOS
1. Demostrar que f(x) = x2 + 7x + 2 es irreducible en Q.
2. Demostrar que f(x) = x2 − 5 es irreducible en Q.
3. Demostrar que f(x) = x4 − 2x2 + 8x + 1 es irreducible en Q
4. Demostrar que f(x) = x3 + 3x + 2 es irreducible en Z5.
5. Sean F un campo, t �= 0 un cero de f(x) = a0 + a1x + · · · + anxn en
F [ x ] entonces 1/t es un cero de g(x) = an + an−1x + · · ·+ a0xn.
6. Sea E una extensio´n de F . Demostrar que si t es trascendente sobre
F , F [ x ]φt no es un campo, pero es un dominio de enteros denotado
F [ t ]. Adema´s E contiene un campo de cocientes de F [ t ] esto es, un
campo de la forma {p(t)/q(t) | q(t) �= 0, p(t), q(t) ∈ F [ x ]φt} y es
indudablemente el menor subcampo de E que contiene tanto a t como
a F .
7. Demostrar que cada uno de los complejos t dados es algebra´ico sobre
Q, hallando f(x) en Q[ x ] tal que f(t) = 0. Halle adema´s irr(t,Q) y
gr(t,Q)
a) 1 +
√
3.
b) 1 + i.
c)
√
2 +
√
3.
8. Demostrar que el polinomio x2 + 1 es irreducible sobre Z3.
9. Sea t un cero de x2+1, en una extensio´n de Z3. Confeccionar las tablas
de la suma y el producto para los nueve elementos de Z3(t). Escr´ıbalos
en el mismo orden en que aparecen en el ejemplo y compare las tablas
respectivas.
230 CAPI´TULO 5. ANILLOS DE POLINOMIOS
10. Use el teorema de Fermat para hallar los ceros en Z5 de
2x219 + 3x74 + 2x57 + 3x44.
5.5. El Dominio de Factorizacion Unica D[ x ]
Dado un dominio de factorizacio´n u´nica D se puede construir su campo
de cocientes F . El anillo F [ x ] es al menos un dominio de factorizacio´n u´nica.
La idea es ver que cualquier polinomio de D[ x ] se puede factorizar siempre y
cuando sea posible hacerlo en F [ x ]. Para el efecto habra´ necesidad de saber
que sucede en D[ x ] con los irreducibles de F [ x ].
Definicio´n 5.5.1. Sea D un dominio de factorizacio´n u´nica. Un polinomio
no constante f(x) = a0 + a1x + · · · + anxn de D[ x ] se denomina primitivo
si los u´nicos divisores comunes de los coeficientes ai, 0 ≤ i ≤ n son las
unidades de D.
En Z[ x ] el polinomio 3x2+4x+6 es primitivo porque el u´nico divisor comu´n
a 3, 4 y 6 es 1. En cambio 2x + 10 no lo es porque 2, es un divisor comu´n a
2, 10 y 2 no es una unidad en Z.
Teorema 5.5.1. Si D es un dominio de factorizacio´n u´nica, entonces para
cualquier polinomio no constante f(x) en D[ x ] existen c en D, h(x) primitivo
en D[ x ] tales que f(x) = ch(x), c y h(x) son u´nicos excepto por factores
unidades de D. El elemento c se denomina el contenido o factor contingente
de f(x).
Demostracio´n. Sea f(x) = a0+a1x+ · · ·+anxn un polinomio del dominio de
factorizacio´n u´nica D[ x ]. Sea g = (a0, a1, . . . , an) un ma´ximo comu´n divisor
de todos los coeficientes de f(x). Los asociados de g son tambie´n ma´ximos
comunes divisores de todos los coeficientes de f(x), entonces para u una
unidad de D, ug = (a0, a1, . . . , an).
De esta igualdad se deduce que u = (a0/g, a1/g, . . . , an/g) y en conse-
cuencia el polinomio h(x) = a0/g + (a1/g)x+ · · ·+ (an/g)xn es primitivo de
D[ x ] ya que los divisores comunes de sus coeficientes son unidades de D, y
de aqu´ı se concluye que f(x) = gh(x). Escoja c = g y entonces f(x) = ch(x).
Supongamos que f(x) = dh1(x), d en D, h1(x) un polinomio primitivo
de D[ x ], entonces cada factor primo de c dividira´ a d y rec´ıprocamente cada
factor primo de d dividira´ a c.
5.5. EL DOMINIO DE FACTORIZACION UNICA D[X ] 231
Comoch(x) = dh1(x), cancelando factores primos comunes a c y d, se
obtiene uh(x) = vh1(x). Como u es una unidad de D, v tambie´n debe serlo,
porque de no ser as´ı se podr´ıan cancelar factores primos entre u y d, lo que
no es posible. Como u, v son unidades de D, c es u´nico excepto por factores
unidades. La igualdad f(x) = ch(x) sugiere que el polinomio primitivo h(x)
tambie´n es u´nico excepto por factores unidades.
Teorema 5.5.2. Si D es un dominio de factorizacio´n u´nica, el producto de
dos polinomios primitivos de D[ x ] es primitivo.
Demostracio´n. Sean,
f(x) = a0 + a1x + · · ·+ anxn,
g(x) = b0 + b1x + · · ·+ bmxm
polinomios primitivos de D[ x ]. To´mese h(x) = f(x)g(x) y supo´ngase que
h(x) no es primitivo. En estas circunstancias todos los coeficientes de h(x)
deben ser divisibles por algu´n elemento de D distinto de 1 y por consiguiente
por algu´n irreducible p en D. Como f(x) y g(x) son primitivos, p no divide
a algunos de los ai ni a algunos de los bj . Sea ar el primer coeficiente de f(x)
al que p no divide esto es p divide a ai para i < r, pero p no divide a ar.
Similarmente, sea bs el primer coeficiente de g(x) al que p no divide o sea
p divide a bj para j < s, pero p no divide a bs. El coeficiente de x
r+s en h(x)
es,
cr+s = (a0br+s + · · ·+ ar−1bs+1) + arbs+1 + (ar+1bs−1 + · · ·+ ar+sb0).
Por hipo´tesis, p divide a cr+s. Adema´s, dado que p divide a ai para i < r, y p
divide a bj siempre que j < s implica que p divide a (a0br+s+· · ·+ar−1bs+1) y
p divide a (ar+1bs−1 + · · ·+ ar+sb0), entonces necesariamente p debe dividir a
arbs, lo cual resulta imposible porque p no divide ni a ar ni a bs concluye´ndose
que h(x) debe ser primitivo.
Del anterior teorema se pueden extraer los dos corolarios que siguen,
Corolario. Si D es un dominio de factorizacio´n u´nica y si f(x), g(x) pertene-
cen a D[ x ], entonces el contenido del producto f(x)g(x) es igual al producto
de los contenidos de f(x) y g(x).
232 CAPI´TULO 5. ANILLOS DE POLINOMIOS
Demostracio´n. Si c y d son respectivamente los contenidos de f(x) y g(x),
existen polinomios primitivos h(x), h1(x) en D[ x ] tales que f(x) = ch(x),
g(x) = dh1(x), entonces
f(x)g(x) = cdh(x)h1(x).
Pero h(x)h1(x) es un polinomio primitivo, luego el contenido de f(x)g(x) es
cd.
Igual cosa sucede para un nu´mero finito de polinomios.
Usando induccio´n matema´tica se demuestra el siguiente corolario.
Corolario. Si D es un dominio de factorizacio´n u´nica, el producto de un
nu´mero finito de polinomios primitivos es primitivo.
Para un dominio de factorizacio´n u´nica D y su correspondiente campo
de cocientes F, los irreducibles de D[ x ] son los irreducibles de D junto con
los polinomios primitivos no constantes que son irreducibles en F [ x ]. Esta
situacio´n se describe en el siguiente teorema.
Teorema 5.5.3. Sean D un dominio de factorizacio´n u´nica, F un campo de
cocientes de D, f(x) un polinomio no constante de D[ x ] de grado n. Si f(x)
es irreducible en D[ x ] tambie´n lo es en F [ x ]. Si f(x) es primitivo en D[ x ]
e irreducible en F [ x ] es irreducible en D[ x ].
Demostracio´n. Sea f(x) un polinomio no constante de D[ x ] de grado n. Si
f(x) es reducible sobre F esto es, factorizable en polinomios de F [ x ] de
grado menor r, s, donde r + s = n, existen polinomios f1(x), f2(x) en F [ x ]
tales que f(x) = f1(x)f2(x).
Como F es un campo de cocientes de D.
f1(x) = a0/b0 + (a1/b1)x + · · ·+ (ar/br)xr
Con ai, bi en D, bi �= 0
f2(x) = c0/d0 + (c1/d1)x + · · ·+ (cs/ds)xs.
Con cj, dj en D, dj �= 0.
f1(x) = (1/b)(v0 + v1x + · · ·+ vrxr) = (1/b)f3(x)
5.5. EL DOMINIO DE FACTORIZACION UNICA D[X ] 233
f2(x) = (1/d)(w0 + w1x + · · ·+ wsxs) = (1/d)f4(x)
donde vi, wj son “enteros” esto es, elementos de D, y b = b0b1b2 · · · br,
d = d0d1d2 · · ·ds
Reemplazando se demuestra que f(x) = (1/b)(1/d)f3(x)f4(x), teniendo
presente que f3(x), f4(x) son polinomios de D[ x ] de grados r, s respectiva-
mente. Eliminando denominadores se concluye que
ef(x) = f3(x)f4(x), e = bd.
Pero existen polinomios primitivos h(x), h3(x), h4(x) en D[ x ] y c, c3, c4
en D tales que
f(x) = ch(x)
f3(x) = c3h3(x)
f4(x) = c4h4(x).
Ahora,
ef(x) = ech(x)
= f3(x)f4(x)
= c3c4h3(x)h4(x).
Existe una unidad u en D tal que c3c4 = ecu, entonces
ech(x) = ecuh3(x)h4(x)
o sea,
ch(x) = cuh3(x)h4(x).
Reemplazando se deduce la igualdad
f(x) = cuh3(x)h4(x).
Donde h3(x), h4(x) son de grado r, s respectivamente, c, u pertenecen a
D. Se ha demostrado que si f(x) tiene una factorizacio´n no trivial en F [ x ]
tambie´n tiene una factorizacio´n no trivial en D[ x ] o equivalentemente, si
f(x) es irreducible en D[ x ] tambie´n lo es en F [ x ].
Como D[ x ] es un subconjunto de F [ x ], entonces cualquier polinomio no
constante f(x) en D[ x ] que sea primitivo en D[ x ] e irreducible en F [ x ]
debe tambie´n ser irreducible en D[ x ].
234 CAPI´TULO 5. ANILLOS DE POLINOMIOS
Una consecuencia del teorema anterior es la proposicio´n que se enuncia
como el siguiente corolario.
Corolario. Si D es un dominio de factorizacio´n u´nica, F un campo de co-
cientes de D, entonces un polinomio no constante f(x) en D[ x ] es el producto
de dos polinomios de menor grado en F [ x ] si y solo si es el producto de dos
polinomios del mismo grado en D[ x ].
Demostracio´n. En la demostracio´n anterior se partio´ del hecho de factorizar
a f(x) como el producto de dos polinomios de grados r, s en F [ x ] y se
comprobo´ que f(x) se pod´ıa escribir como el producto de dos polinomios del
mismo grado en D[ x ]. El rec´ıproco es obvio ya que D[ x ] es un subconjunto
de F [ x ], completa´ndose as´ı la demostracio´n.
Como un caso particular del anterior corolario se afirma que si D es el
conjunto de los enteros, D[ x ] es el anillo de los polinomios con coeficientes
enteros Z[ x ], F es el campo de los racionales y F [ x ] es Q[ x ], entonces
un polinomio no constante de Z[ x ] se puede expresar como el producto de
dos polinomios de menor grado en Q[ x ] si y solo si tiene una factorizacio´n
semejante con polinomios del mismo grado en Z[ x ] o expresado en otros
te´rminos: Si un polinomio entero mo´nico se factoriza como el producto de
dos polinomios no constantes de coeficientes racionales entonces se expresa
como el producto de dos polinomios enteros mo´nicos y rec´ıprocamente.
De esta u´ltima afirmacio´n se puede derivar la siguiente: Sea
f(x) = a0 + a1x + · · ·+ xn, a0 �= 0
un polinomio mo´nico con coeficientes enteros. Si f(x) tiene un cero racional
t entonces tiene un cero entero r y adema´s r divide a a0.
En efecto, si f(x) tiene un cero racional t, se puede escribir mediante la
igualdad f(x) = (x − t)q(x), donde q(x) ∈ Q[ x ] y es de grado (n − 1). Es
entonces posible escribir a f(x) como el producto de dos polinomios enteros
del mismo grado, luego existe r en Z tal que,
f(x = (x− r)(a0/r + · · ·+ xn−1),
con a0/r en Z y en consecuencia a0 divide a r.
Ejemplo 5.5.1. Demostrar que x2 − 11 es irreducible sobre Q
5.5. EL DOMINIO DE FACTORIZACION UNICA D[X ] 235
Solucio´n. Decir que t es un cero de x2 − 11 significa que t2 − 11 = 0. Pero
si el valor absoluto de t es mayor o igual a 4, t2 − 11 es positivo. Si el valor
absoluto de t es menor o igual a 3, t2−11 es negativo. Lo anterior significa que
la igualdad, t2 − 11 = 0 no es posible para ningu´n t, concluye´ndose entonces
que x2 − 11 no tiene ceros enteros, luego tampoco tiene ceros racionales y
por lo tanto no es posible factorizarlo como (x− t)q(x), con t un racional, es
decir es irreducible.
Ejemplo 5.5.2. Demostrar que el polinomio x3 + 2x2 + x− 5 es irreducible
sobre Q
Solucio´n. Si f(x) tiene un factor lineal en Q, tambie´n tiene un cero en Z
y este cero debe dividir a −5. Los posibles divisores de −5 son 1 y 5 y
ninguno de ellos es un cero de dicho polinomio. Si uno de los factores fuera
cuadra´tico el otro deb´ıa ser lineal, pero esto esimposible. En conclusio´n f(x)
es irreducible.
El criterio de Eisenstein permite comprobar la irreducibilidad de polino-
mios en Q. Su enunciado se expresa como sigue.
Teorema 5.5.4. Sea f(x) = a0+a1x+· · ·+anxn un polinomio con coeficien-
tes enteros. Sea p un primo tal que p divide a ai ( 0 ≤ i ≤ n−1), p no divide
a an, p
2 no divide a a0. Entonces f(x) es irreducible sobre los racionales.
Demostracio´n. Si es posible la factorizacio´n de f(x) como el producto de
dos polinomios con coeficientes racionales, es posible factorizarlo como el
producto de dos polinomios con coeficientes enteros.
Supongamos que f(x) es reducible, entonces
f(x) = g(x)h(x) = (b0 + b1x + · · ·+ brxr)(c0 + c1x + · · ·+ csxs)
con r + s = n, bi, cj enteros.
Desarrollando el producto se observa que a0 = b0c0. El hecho de p dividir
a a0 implica que p divide a b0 o p divide a c0, pero no a ambos, ya que p
2 no
divide a a0.
Supongamos que p divide a b0 entonces no divide a c0.
Si p dividiera a cada uno de los bi, (0 ≤ i ≤ r), se tuviera que p fuera un
factor de cada uno de los coeficientes de f(x) y entonces p deb´ıa dividir a
an lo que es falso por hipo´tesis, significando que p no divide a algunos de los
236 CAPI´TULO 5. ANILLOS DE POLINOMIOS
bi. Sea bk el primero de los coeficientes de g(x) no divisibles por p esto es, p
divide a bi (0 ≤ i ≤ k) y p no divide a bk.
Pero
ak = bkc0 + bk−1c1 + · · ·+ b0ck.
Como p divide a ak necesariamente p divide a bkc0 pero por hipo´tesis p no
divide a bk ni a c0, luego no debe dividir a bkc0 lo cual es una contradiccio´n y
en conclusio´n la supuesta factorizacio´n de f(x) no es posible y necesariamente
debe ser irreducible sobre Q.
Ejemplo 5.5.3. Demostrar que el polinomio 7x4− 15x3 +10x2 +5x− 35 es
irreducible sobre los racionales.
Solucio´n. Tome p = 5 y aplique el criterio de Eisenstein.
A continuacio´n se procede a demostrar que D[ x ] es un dominio de fac-
torizacio´n u´nica.
Teorema 5.5.5. Si D es un dominio de factorizacio´n u´nica, D[ x ] tambie´n
lo es, o equivalentemente D[ x ] es un dominio de factorizacio´n u´nica siempre
y cuando D lo sea.
Demostracio´n. Sea D un dominio de factorizacio´n u´nica, F un campo de
cocientes de D, f(x) un polinomio de D[ x ] de grado n. f(x) se puede expresar
como el producto de un nu´mero finito de polinomios irreducibles en F [ x ] con
coeficientes en F , entonces,
f(x) = p1(x)p2(x) · · · pr(x).
Todos los coeficientes de los polinomios de la descomposicio´n factorial de f(x)
se pueden expresar como cocientes de elementos de D es decir, elementos de
la forma a/b, b �= 0. Simplificando los denominadores se llega a la igualdad
df(x) = q1(x)q2(x) · · · qr(x)
con d ∈ D, qi(x) ∈ D[ x ] esto es, los coeficientes de dichos polinomios son
todos “enteros” o dicho con otros vocablos, elementos de D y el grado de
qi(x) es igual al de pi(x). Adema´s cada uno de los qi(x) es irreducible. Tam-
bie´n f(x) = cg(x) y qi(x) = cigi(x), con g(x) y gi(x) polinomios primitivos.
Entonces
dcg(x) = (c1c2 · · · cr)g1(x)g2(x) · · · gr(x).
5.5. EL DOMINIO DE FACTORIZACION UNICA D[X ] 237
Pero g1(x)g2(x) · · · gr(x) es primitivo e irreducible en F [ x ] y c1c2 · · · cr = dcu
para alguna unidad u de D. Se puede por tanto escribir
dcg(x) = dcug1(x)g2(x) · · · gr(x)
g1(x), g2(x), . . . , gr(x) son irreducibles en D[ x ] dado que son primitivos
e irreducibles en F [ x ] por construccio´n. Adema´s cu puede ser factorizado
como el producto de irreducibles en D.
En conclusio´n, f(x) se ha factorizado como el producto de irreducibles en
D[ x ].
Dado que el grado de f(x) es n, una representacio´n de f(x) como el
producto de irreducibles sobre D[ x ] constantes o no, no es otra cosa que la
representacio´n como el producto de unidades de F y polinomios irreducibles
de F [ x ]. Tales polinomios son u´nicos en D[ x ] salvo factores unidades. El
producto de los polinomios irreducibles de grado cero de D[ x ] (constantes de
D) que aparecen en la fatorizacio´n de f(x) es el contenido de dicho polinomio,
que es u´nico salvo el orden y asociados.
Se concluye que D[ x ] es un dominio de factorizacio´n u´nica.
EJERCICIOS
1. Exprese cada uno de los siguientes polinomios como el producto de su
contenido con un polinomio primitivo.
a) 15x4 − 9x3 + 21x− 12 en Z[ x ].
b) 10x3 + 5x2 − 15x + 30 en Z[ x ].
c) 18x2 − 12x + 48 en Q[ x ].
d) 3x2 − 4x + 6 en Z7[ x ].
2. Factorizar el polinomio 2x2 + 2x + 3 en Z7[ x ].
3. Sean D un dominio de enteros, p un irreducible de D y [ p ] el conjunto
de todos los asociados de p en D. Demostrar que si p, q son irreducibles
en D tales que [ p ] ∩ [ q ] �= ∅, entonces [ p ] = [ q ].
4. Si D es un dominio de factorizacio´n u´nica. Describa los irreducibles
de D[ x ] en te´rminos de los irreducibles de D y de los irreducibles de
F [ x ], donde F es un campo de cocientes de D.
238 CAPI´TULO 5. ANILLOS DE POLINOMIOS
5. Tomando las definiciones de divisibilidad, unidad, asociado, irreducible
y dominio de factorizacio´n u´nica dadas para los dominios de enteros y
adecua´ndolas a los anillos conmutativos con elemento unitario discuta
las factorizaciones en irreducibles de Z + Z. Discuta en particular la
factorizacio´n de (1, 0).
6. Si D es un dominio de factorizacio´n u´nica, demostrar que un divisor no
constante de un polinomio primitivo de D[ x ] es un polinomio primitivo.
7. Demostrar que en un dominio de ideales principales, cada ideal esta´ con-
tenido en un ideal maximal.
8. Factorizar x6 − y6 en irreducibles de Q[ x ] y compruebe que cada uno
de ellos es irreducible.
9. Se demostro´ que si D es un dominio de factorizacio´n u´nica con un cam-
po de cocientes F , un irreducible f(x) de D[ x ] es tambie´n irreducible
en F [ x ]. Mostrar con un ejemplo que si g(x) ∈ D[ x ] es un irreducible
de F [ x ] no necesariamente debe ser un irreducible de D[ x ].
10. Determinar cua´les de los siguientes polinomios en Z[ x ] satisfacen el
criterio de Eisenstein sobre irreducibilidad en los racionales.
a) 4x10 − 9x6 + 24x2 − 6.
b) 3x4 + 14x2 + 35x + 21.
c) 5x4 + 15x2 + 10x− 15.
d) 5x4 + 3x3 − 6x2 − 9x + 24.
e) x2 + 2x− 15.
f ) 8x4 + 6x2 − 9x + 24.
11. Use el criterio de Eisenstein para demostrar que
xp−1 + xp−2 + · · ·+ x2 + x + 1
donde p es primo, es un polinomio irreducible sobre el campo de los
racionales.
12. Demuestre que si p es primo, el polinomio xn − p es irreducible sobre
el campo de los racionales.
Cap´ıtulo 6
INTRODUCCIO´N AL
A´LGEBRA GEOME´TRICA
6.1. A´lgebras de Clifford
La geometr´ıa desarrollada por Euclides como un sistema axioma´tico y la ex-
presio´n de las relaciones geome´tricas usando ecuaciones algebraicas domino´ el
pensamiento matema´tico hasta el siglo XIX cuando fueron propuestos nue-
vos sistemas conocidos como geometr´ıas no euclidianas. Estas nuevas teor´ıas
se apoyaron en diferentes propiedades algebraicas, por lo que las investiga-
ciones se dirigieron a uniformarlas a trave´s de estructuras con propiedades
semejantes.
El nombre de a´lgebra de Clifford se establecio´ en honor al matema´tico
y filo´sofo ingle´s William Kingdon Clifford, quien fue uno de los primeros en
reconocer la importancia del trabajo de Gu¨nther Grassmann, un profesor de
secundaria alema´n. Clifford unifico´ las ideas de Grassmann y Hamilton en un
trabajo al que denomino´ a´lgebras geome´tricas. Demostro´ co´mo el a´lgebra de
los cuaterniones de Hamilton pod´ıa ser considerada dentro de la estructura
planteada por Grassmann mediante la introduccio´n de un nuevo producto
geome´trico.
El a´lgebra de Clifford fue introducida en la f´ısica por David Hestenes y su
importancia radica en que mediante su uso se pueden desarrollar las teor´ıas
f´ısicas da´ndole significado geome´trico a las operaciones e interpretacio´n f´ısica
al desarrollo matema´tico de esta ciencia. Por ejemplo, ayuda a presentar de
manera coherente la teor´ıa de los espinores o multivectorespares del a´lgebra
239
240 CAPI´TULO 6. A´LGEBRA GEOME´TRICA
cuando se consideran las variables espacio y tiempo. Su versatilidad consiste
en ubicar los tensores y los espinores al mismo nivel, un hecho importante en
la teor´ıa de la relatividad.
Para entender los descubrimientos de Clifford comenzamos examinando
brevemente algunos conceptos de los espacios vectoriales, para introducir el
producto de Clifford as´ı como el producto externo.
Definicio´n 6.1.1. Sea F = Δ = {α, β, γ, δ, λ, μ, . . .} un campo. El conjunto
V = {a, b, c, d, . . .} se denomina un espacio lineal o vectorial sobre F , si y
solamente si
1. V es un grupo abeliano.
2. FXV −→ V es una ley de composicio´n externa tal que V es un grupo
con operadores y F es un dominio de operadores distributivo, o sea,
μ(a + b) = μa + μb.
3. (λ + μ)a = λa + μa.
4. (λμ)a = λ(μa).
5. 1a = a. Donde 1 es el mo´dulo multiplicativo de F .
Note que en (3), el signo + escrito a la izquierda representa la suma del
campo F ; mientras que a la derecha es la suma del espacio V .
6.1.1. Bases y dimensio´n
El concepto de dimensio´n en los reales se usa en forma intutiva. Se dice que
las l´ıneas son unidimensionales, los planos son bidimensionales, el espacio eu-
clidiano es tridimensional y as´ı sucesivamente. Pero es a trave´s de los axiomas
como se puede formalizar esta nocio´n.
Definicio´n 6.1.2. El vector b se dice que es una combinacio´n lineal de los
vectores a1, a2, . . . , an si existen escalares λ1, λ2, . . . , λn tales que
b = λ1a1 + λ2a2 + · · ·+ λnan.
Un conjunto de vectores {a1, a2, . . . , an} se dice linealmente dependiente,
si existen escalares λ1, λ2, . . . , λn, no todos nulos, tales que
λ1a1 + λ2a2 + · · ·+ λnan = 0.
6.1. A´LGEBRAS DE CLIFFORD 241
Se dice que el conjunto {a1, a2, . . . , an} es linealmente independiente si el
hecho que
λ1a1 + λ2a2 + · · ·+ λnan = 0
equivale a afirmar que λ1 = λ2 = · · · = λn = 0.
El conjunto {a1, a2, . . . , an} se dice que genera el espacio V , si cada
elemento de V puede ser expresado como una combinacio´n lineal de elementos
de dicho conjunto.
Un conjunto de vectores linealmente independientes que generan el espacio
V se denomina una base de V.
Una base es un conjunto de vectores linealmente independientes que gene-
ran el espacio. En particular, si los elementos de la base son perpendiculares
dos a dos la base se denomina ortonormal.
Definicio´n 6.1.3. Un espacio vectorial diferente de {0} que tiene una base
con n elementos, se dice que es un espacio n-dimensional o simplemente que
tiene dimensio´n n.
Para los espacios de dimensio´n finita, el nu´mero de elementos de la base
no es otra cosa que el cardinal de dicho conjunto. En cualquier texto de
a´lgebra lineal se puede leer la demostracio´n del siguiente teorema.
Teorema 6.1.1. Dado un espacio vectorial V de dimensio´n n.
1. Toda base de V tiene exactamente n elementos.
2. Todo conjunto de vectores linealmente independientes es un subcon-
junto de alguna base de V .
3. Cualquier conjunto de n vectores linealmente independientes forma una
base de V .
Definicio´n 6.1.4. Sean V , W dos espacios vectoriales sobre el campo F. Se
dice que V es isomorfo a W si y solo si existe un isomorfismo φ entre los
respectivos grupos, esto es, para todo a, b en V
(a + b)φ = aφ + bφ
y para todo λ en F
(λa)φ = λ(aφ).
242 CAPI´TULO 6. A´LGEBRA GEOME´TRICA
El espacio de los polinomios de segundo grado con coeficientes reales es iso-
morfo con R3. Basta definir φ mediante la igualdad
(λ0 + λ1x + λ2x
2)φ = (λ0, λ1, λ2).
Las operaciones de los espacios vectoriales no son suficientes para abordar la
mayor´ıa de los problemas de la f´ısica teo´rica, por lo que se requiere considerar
otro tipo de operaciones. Lo primero es dotar los espacios vectoriales de una
me´trica que permita extender los conceptos de la geometr´ıa euclidiana. En
principio partimos de una me´trica con valor real, esto es, una funcio´n de
V XV → R, la cual es viable extender a los complejos.
Definicio´n 6.1.5. Un producto interno de un espacio vectorial sobre R es
una funcio´n (·) de V XV → R tal que
1. a · b = b · a, para todo a, b en V .
2. (λa + μb) · c = λ(a · c) + μ(b · c), para todo a, b en V , λ, μ en R.
3. a · a > 0, si a �= 0.
Particularmente en Rn para a = (x1, x2, . . . , xn), b = (y1, y2, . . . , yn) se
tiene la igualdad
a · b =
n∑
i=1
xiyi.
Definicio´n 6.1.6. Un espacio vectorial sobre R dotado de un producto in-
terno se denomina un espacio euclidiano.
Definicio´n 6.1.7. En un espacio euclidiano la longitud o norma de un vector
a, denominado ‖ a ‖, se define mediante la igualdad
‖ a ‖= √a · a.
Definicio´n 6.1.8. En un espacio euclidiano, dos vectores a, b se dicen orto-
gonales o perpendiculares si y solamente si a · b = 0.
Una base se dice ortogonal, si sus elementos son perpendiculares dos a dos.
Si adema´s, cada uno es un vector unitario, la base se denomina ortonormal.
En un espacio euclidiano siempre es posible, a partir de un vector no nulo
a, encontrar un vector unitario b. Este se describe por la igualdad
b =
a
‖ a ‖ .
6.1. A´LGEBRAS DE CLIFFORD 243
Es fa´cil ver que ‖ b ‖= 1. La situacio´n anterior permite a partir de una
base ortogonal encontrar una base ortonormal, basta con dividir cada uno
de los elementos de la base por su respectiva norma. En este punto estamos
preparados para introducir el a´lgebra de Clifford.
Partiendo de una base ortonormal cualquiera {e1, e2} en R2, para un
vector a = xe1 + ye2
‖ a ‖=
√
x2 + y2.
Es natural establecer que el producto de a por a, es decir, a2 sea igual al
cuadrado de la longitud de a. En s´ımbolos
a2 =‖ a ‖2 .
En otros te´rminos, se ha establecido un producto que satisface la igualdad
(xe1 + ye2)
2 = x2 + y2.
Aplicando las leyes del a´lgebra, excepto la conmutativa, se establece que
(xe1 + ye2)
2 = x1
2e1
2 + xy(e1e2 + e2e1) + y2
2e2
2
= x2 + y2.
Pero la u´ltima igualdad se verifica si y solo si
e21 = e
2
2 = 1 y e1e2 = −e2e1,
hechos que corresponden a la escogencia de la base.
Para calcular (e1e2)
2 se establecen las igualdades
(e1e2)
2 = (e1e2)(e1e2)
= e1(e2e1)e2
= e1(−e1e2)e2
= −(e1e1)(e2e2)
= −(e1)2(e2)2
= −(1)(1)
= −1.
El producto e1e2 es un elemento cuyo cuadrado es igual a −1, por lo tanto
no es un escalar ni un vector. Este producto es una nueva clase de unidad,
denominada bivector, representado por el a´rea plana orientada formada por
el cuadrado cuyos lados son e1 y e2. Por brevedad se escribe e1e2 = e12 y se
conviene en representarlo por e1 ∧ e2.
244 CAPI´TULO 6. A´LGEBRA GEOME´TRICA
x
y
e12
e1
e2
Figura 6.1
Observe que al dar un giro de noventa grados en el sentido positivo, los ejes
coordenados cambian roles por lo que e2 = −e1 y e1 = e2, obteniendose el
producto e1e2 = e2(−e1) = −e2e1 = −e21.
El conjunto {1, e1, e2, e12} es una base para el a´lgebra de Clifford Cl2
del plano vectorial R2. Un elemento A de este a´lgebra viene dado por la
igualdad
A = λ0 + λ1e1 + λ2e2 + λ3e12.
Esto es, A es una combinacio´n lineal de un escalar λ0, un vector (λ1e1+λ2e2)
y un bivector λ3e12.
El a´lgebra de Clifford Cl2 es un espacio lineal 4-dimensional sobre los
reales con la siguiente tabla de multiplicar
∗ e1 e2 e12
e1 1 e12 e2
e2 −e12 1 −e1
e12 −e2 e1 −1
Figura 6.2
6.1.2. El producto exterior
Para los propo´sitos del a´lgebra geome´trica, el producto exterior provee una
forma de representar bivectores; por lo tanto el resultado del producto ex-
terior no es ni un escalar ni un vector. Para dos vectores a = λ1e1 + λ2e2,
b = μ1e1 + μ2e2 el producto a ∧ b contiene los siguientes elementos
a ∧ b = (λ1e1 + λ2e2)(μ1e1 + μ2e2)
= λ1μ1(e1)
2 + λ1μ2e12 + λ2μ1e21 + λ2μ2(e2)
2
= λ1μ1 + λ1μ2e12 − λ2μ1e12 + λ2μ2
= λ1μ1 + λ2μ2 + (λ1μ2 − λ2μ1)e12.
6.1. A´LGEBRAS DE CLIFFORD 245
Para que el producto tenga sentidoes necesario eliminar la parte real, obte-
nie´ndose la expresio´n (λ1μ2 − λ2μ1)e12. Esto permite establecer la siguiente
definicio´n
Definicio´n 6.1.9. Dados los vectores a = λ1e1 + λ2e2, b = μ1e1 + μ2e2 el
producto exterior a ∧ b se define mediante la igualdad
a ∧ b = (λ1μ2 − λ2μ1)e12.
El bivector a ∧ b se representa por la regio´n plana conformada por el para-
lelogramo de lados a y b. Donde la parte inicial de b se ubica a partir de la
parte final de a.
x
y
a ∧ b
a
b
Figura 6.3
No se pierde generalidad al suponer que los ve´rtices de dicho paralelogramo
son los puntos (0, 0), (λ1, λ2), (λ1 + μ1, λ2 + μ2), (μ1, μ2) el a´rea es igual a la
mitad del valor absoluto del determinante formado con las coordenadas de
los ve´rtices respectivos, o sea,
1
2
∣∣∣∣∣∣∣∣
0 0
λ1 λ2
λ1 + μ1 λ2 + μ2
μ1 μ2
∣∣∣∣∣∣∣∣
Desarrollando el determinante se obtiene
A =
1
2
∣∣∣[0 + λ1(λ2 + μ2) + μ2(λ1 + μ1)− μ1(λ2 + μ2)− λ2(λ1 + μ1)− 0]∣∣∣
=
1
2
∣∣∣[λ1λ2 + λ1μ2 + λ1μ2 + μ1μ2 − λ2μ1 − μ1μ2 − λ1λ2 − λ2μ1]∣∣∣
=
1
2
∣∣∣2[λ1μ2 − λ2μ1]∣∣∣
=
∣∣λ1μ2 − λ2μ1∣∣
= |a ∧ b|.
246 CAPI´TULO 6. A´LGEBRA GEOME´TRICA
Tomando el producto externo b por a
b ∧ a = (μ1λ2 − μ2λ1)e12
= (λ2μ1 − λ1μ2)e12
= −(λ1μ2 − λ2μ1)e12
= −a ∧ b.
De acuerdo con la posicio´n de a y b, los bivectores a∧b, b∧a tienen igual mag-
nitud pero sentidos opuestos, este hecho se expresa diciendo que el producto
exterior de vectores es anticonmutativo. Adema´s, para todo vector a
a ∧ a = 0.
El producto externo es distributivo con respecto a la adicio´n.
Sean a = (λ1e1 + λ2e2), b = (μ1e1 + μ2e2), c = (κ1e1 + κ2e2)
a ∧ (b + c) = [λ1(μ2 + κ2)− λ2(μ1 + κ1)]e1e2
= [λ1μ2 + λ1κ2 − λ2μ1 − λ2κ1]e1e2
= [(λ1μ2 − λ2μ1) + (λ1κ2 − λ2κ1)]e1e2
= [λ1μ2 − λ2μ1]e1e2 + [λ1κ2 − λ2κ1]e1e2
= a ∧ b + a ∧ c.
6.1.3. El producto de Clifford
Teniendo en cuenta que al realizar el producto ab se obtiene la igualdad
ab = λ1μ1 + λ2μ2 + (λ1μ2 − λ2μ1)e12,
y a partir del producto interior
a · b = λ1μ1 + λ2μ2
se establece la definicio´n
Definicio´n 6.1.10. Para los vectores a = λ1e1 + λ2e2, b = μ1e1 + μ2e2 el
producto de Clifford ab se define por la igualdad
ab = a · b + a ∧ b.
6.2. A´LGEBRAS DEL PLANO Y EL ESPACIO 247
El producto de Clifford es la combinacio´n de un escalar y un bivector. Se da
por aceptado que este es asociativo. Esto es, para los vectores a, b, c
a(bc) = (ab)c = abc.
La conmutatividad del producto escalar y la anticonmutatividad del producto
exterior implican una relacio´n entre los productos ab y ba. Esto es,
ba = a · b− a ∧ b.
Sumando las anteriores igualdades se obtiene
ab + ba = 2(a · b).
Despejando a · b se llega a
a · b = 1
2
(ab + ba).
Por otra parte si restamos estas igualdades y despejamos a ∧ b se concluye
que
a ∧ b = 1
2
(ab− ba).
Partiendo de los vectores paralelos a = λ1e1 + λ2e2 y b = κλ1e1 + κλ2e2
ab = κ(λ1)
2 + κ(λ2)
2 + κ(λ1λ2 − λ1λ2)e12
= κ[(λ1)
2 + (λ2)
2]
= ba.
Como en este caso el bivector se anula, ab es un escalar igual a ba y por lo
tanto se tiene que a ∧ b = 0.
En s´ıntesis, si a y b son paralelos ab = ba y adema´s a ∧ b = 0. Si a y b
son perpendiculares a · b = 0, en cuyo caso ab = a ∧ b y por consiguiente
ab = −ba.
6.2. A´lgebras geome´tricas del plano y el
espacio
Considere el espacio bidimensional generado por la base ortonormal {e1, e2}.
Teniendo en cuenta que el producto externo de cualquier conjunto de vectores
248 CAPI´TULO 6. A´LGEBRA GEOME´TRICA
linealmente dependientes es igual a cero, el elemento de mayor grado que se
puede obtener en este espacio es el bivector e1 ∧ e2.
El a´lgebra del plano, Cl2 es generado por la base {1, e1, e2, e1 ∧ e2}. Cual-
quier multivector es una combinacio´n de elementos de la base. Si e0 = 1,
dados los multivectores
A = λ0e0 + λ1e1 + λ2e2 + λ3e1 ∧ e2,
B = μ0e0 + μ1e1 + μ2e2 + μ3e1 ∧ e2,
la suma esta´ dada por
A + B = (λ0 + μ0)e0 + λ1 + μ1)e1 + (λ2 + μ2)e2 + (λ3 + μ3)e1 ∧ e2.
De acuerdo con la definicio´n
e1e2 = e1 · e2 + e1 ∧ e2 = e1 ∧ e2.
Por ser perpendiculares, el producto exterior es anticonmutativo,
e2e1 = e2 ∧ e1 = −e1 ∧ e2 = −e1e2.
Por otra parte se tiene la igualdad,
(e1e2)
2 = −1.
Siempre es posible operar vectores tanto a izquierda como a derecha por el
bivector e1 ∧ e2. Por ejemplo, al operar por la izquierda a e1 y e2 se obtiene
(e1 ∧ e2)e1 = (−e2e1)e1 = −e2e1e1 = −e2,
(e1 ∧ e2)e2 = (e1e2)e2 = e1e2e2 = e1.
Al operar por la derecha se tiene
e1(e1 ∧ e2) = e1(e1e2) = e1e1e2 = e2,
e2(e1 ∧ e2) = e2(−e2e1) = −e2e2e1 = −e1.
Asumiendo que e1, e2 forman un sistema coordenado de mano derecha, se
puede decir que multiplicando un vector a izquierda por e1 ∧ e2 lo rota 90o
en el sentido de las manecillas del reloj o sentido negativo. De igual mane-
ra al operar e1 ∧ e2 por la derecha se efectu´a una rotacio´n de 90o en sentido
6.2. A´LGEBRAS DEL PLANO Y EL ESPACIO 249
positivo. Si operamos sucesivamente a izquierda o a derecha por e1e2 el resul-
tado sera´ una rotacio´n de 180o, lo que implica un cambio de sentido, esto es
equivalente a multiplicar por −1; lo cual es de esperarse ya que (e1e2)2 = −1.
Por su similitud con la unidad imaginaria de los complejos, a e1 ∧ e2 se
le denomina un seudoescalar y se conviene en representarlo con I. Ahora
es obvia la relacio´n existente entre el a´lgebra de los complejos y el a´lgebra
geome´trica bidimensional. La combinacio´n de un escalar con un bivector
puede asimilarse a un complejo mediante la igualdad
Z = λ + μe1e2 = λ + Iμ.
Es necesario aclarar que mientras los complejos sirven para generar rotaciones
y dilataciones mediante su descomposicio´n polar e igualmente representan
vectores en el plano complejo, en el a´lgebra geome´trica Cl2 los complejos son
sumas de escalares con bivectores y por su parte los vectores son elementos
de grado uno, esto es, son combinaciones lineales de elementos de la base.
Dado un vector a = λ1e1 + λ2e2, es viable multiplicarlo a izquierda por
e1 establecie´ndose las igualdades
e1a = e1(λ1e1 + λ2e2)
= λ1 + λ2e1e2
= λ1 + Iλ2.
Al multiplicar a izquierda por e1 se transforma un vector en un complejo.
6.2.1. El a´lgebra tridimensional
A trave´s del a´lgebra geome´trica en tres dimensiones se pueden presentar los
vectores, los planos y los volu´menes en un sistema unificado ma´s amplio que
incluye las operaciones cla´sicas con los vectores. En especial el producto cruz
es asimilado a un bivector generalizando este concepto para convertirlo en
una herramienta u´til en el desarrollo de la geometr´ıa, contribuyendo de paso
a facilitar el estudio de la meca´nica cla´sica y otros problemas de la f´ısica.
La idea, como en el caso de Cl2, es partir de tres vectores unitarios per-
pendiculares entre s´ı {e1, e2, e3}, esto es, tales que su producto geome´trico
sea anticonmutativo.
Con e1, e2, e3 solo se pueden construir tres bivectores linealmente inde-
pendientes, los que se denominan e1e2, e2e3 y e3e1. Tomando el producto
250 CAPI´TULO 6. A´LGEBRA GEOME´TRICA
(e1e2)e3 se obtiene
(e1e2)e3 = e1e2e3.
Este producto es un elemento de grado tres al que se denomina un trivector
y corresponde a proyectar el plano de e1e2 perpendicularmente a lo largo
de e3, generando en este caso un cubo orientado. Es el u´nico que constituye
un volumen en el espacio tridimensional y corresponde al elemento de mayor
grado. Se representa por I y se denomina un seudoescalar ya que su cuadrado
es igual a −1, en efecto
(e1e2e3)
2 = e1e2e3e1e2e3
= e1e1e2e3e2e3
= −e1e1e2e2e3e3
= −1.
e1
e3
e2 e2
I
Figura 6.4
El a´lgebra Cl3 se puede generar por el conjunto
{1, e1, e2, e3, e23, e31, e12, e123}.
Un escalar, tres vectores, tres bivectores y un trivector. En total son ocho
elementos correspondientes al desarrollo de los coeficientes binomiales(
3
0
)
+
(
3
1
)
+
(
3
2
)
+
(
3
3
)
=(
1 + 1
)3
= 23.
Donde (
3
r
)
=
3!
(3− r)!r! 0 ≤ r ≤ 3.
El a´lgebra de Cl3 posee algunos nuevos elementos y relaciones a estudiar. Un
vector a tiene ahora la forma
a = λ1e1 + λ2e2 + λ3e3.
6.2. A´LGEBRAS DEL PLANO Y EL ESPACIO 251
El cuadrado de cada uno de los bivectores e1e2, e2e3, e3e1 es igual a −1.
Al multiplicar e1, e2, e3 por la derecha por e2e3,
e1(e2e3) = e1e2e3 = I,
e2(e2e3) = e2e2e3 = e3,
e3(e2e3) = e3e2e3 = −e2.
Las anteriores igualdades indican que al operar un vector por la derecha por
e2e3 lo rota 90
o en sentido positivo en su respectivo plano. Igual cosa sucede si
operamos por e1e2 o por e3e1. En general, cada uno de los bivectores ba´sicos
genera rotaciones de 90o en su propio plano.
Partiendo del hecho que e1, e2, e3 conforman un sistema coordenado a
mano derecha, el producto externo de dos vectores se puede representar como
una combinacio´n lineal de los bivectores e2 ∧ e3, e3 ∧ e1 y e1 ∧ e2.
Definicio´n 6.2.1. Si a = (λ1e1 + λ2e2 + λ3e3), b = (μ1e1 + μ2e2 + μ3e3), el
producto externo a ∧ b viene dado por la igualdad
a ∧ b = (λ2μ3 − λ3μ2)e23 + (λ3μ1 − λ1μ3)e31 + (λ1μ2 − λ2μ1)e12.
Las componentes de a ∧ b son las mismas del producto a × b, la diferencia
radica en que en el primer caso son los coeficientes de los bivectores ba´sicos
e23, e31, e12; en el segundo a× b, a y b conforman un sistema a mano derecha
y a × b es un vector perpendicular al plano definido por a y b. Por otra
parte, mientras el producto externo puede ser definido en cualquier espacio,
el producto cruz solo tiene sentido en tres dimensiones.
El conjunto V2 de los bivectores forman un grupo abeliano bajo la suma,
poseen un producto externo distributivo V2 × F → F que adema´s verifica
para los bivectores A,B de V2 y los escalares 1, λ, μ de F .
1. λ(A + B) = λA + λB.
2. (λμ)A = λ(μA).
3. 1A = A,
lo que identifica a V2 como un espacio lineal.
Si en Cl3 definimos una funcio´n φ : V → V2 dada por
(λ1e1 + λ2e2 + λ3e3)φ = λ1e23 + λ2e31 + λ3e12,
252 CAPI´TULO 6. A´LGEBRA GEOME´TRICA
es tarea de rutina verificar que φ es un isomorfismo.
En Cl3 se verifica la propiedad distributiva del producto externo con res-
pecto a la suma, esto es,
a ∧ (b + c) = a ∧ b + a ∧ c.
b+ c
a ∧ c
a ∧ (a+ c)
a ∧ b
a
a b
c
Figura 6.5
En el espacio tridimensional, la interseccio´n de dos planos no paralelos es una
recta, si esta l´ınea se representa por a, los bivectores a∧b, a∧c corresponden
a los planos.
Al extender el producto geome´trico, se obtienen elementos de la forma
aA donde a es un vector y A es un bivector. Sin pe´rdida de generalidad,
supongamos que a es un vector que no pertenece al plano de e1e2. En estas
condiciones a se puede descomponer en la forma
a = a‖ + a⊥.
Donde a‖ esta´ contenido en el plano de e1e2 y a⊥ es perpendicular a dicho
plano. Por otra parte, siempre es posible encontrar un vector b en el plano
de e1e2 perpendicular a a‖.
a⊥ a
a‖A
b
Figura 6.6
Sea A el bivector conformado por a‖ y b, es decir
A = a‖ ∧ b = a‖b.
6.2. A´LGEBRAS DEL PLANO Y EL ESPACIO 253
Tomando el producto a‖A
a‖A = a‖(a‖b) = a2‖b.
a‖A es un vector contenido en el plano de e1e2. Por su parte
a⊥A = a⊥(a‖ ∧ b) = a⊥a‖b,
a⊥A es un trivector conformado por el producto de tres vectores perpendi-
culares.
Como se ha mostrado, el producto de un vector por un bivector en general,
esta´ conformado por vectores y trivectores.
Partiendo de las anteriores consideraciones
a(b ∧ c) = a1
2
(bc− cb) = 1
2
(abc− acb).
Teniendo en cuenta que
ab = 2(a · b)− ba y ac = 2(a · c)− ca,
se trata de establecer la diferencia entre a(b ∧ c) y (b ∧ c)a.
a(b ∧ c) = 1
2
(abc− acb)
=
1
2
[(2(a · b)− ba)c− (2(a · c)− ca)b]
=
1
2
[(2(a · b)c− bac)− (2(a · c)b− cab)]
=
1
2
[2(a · b)c− 2(a · c)b− bac + cab]
= (a · b)c− (a · c)b− 1
2
(bac− cab).
(b ∧ c)a = 1
2
(bca− cba)
=
1
2
[(2(b · c)− cb)a− (2(c · b)− bc)a]
=
1
2
[2(b · c)a− cba− 2(c · b)a + bca]
=
1
2
[2(b · c)a− cba− 2(b · c)a + bca]
=
1
2
bca− 1
2
cba.
254 CAPI´TULO 6. A´LGEBRA GEOME´TRICA
Tomando la diferencia,
a(b ∧ c)− (b ∧ c)a = (a · b)c− (a · c)b− 1
2
(bac− cab)− 1
2
(bca− cba)
= (a · b)c− (a · c)b− 1
2
(bac + bca) +
1
2
(cab + cba)
= (a · b)c− (a · c)b− 1
2
b(ac + ca) +
1
2
c(ab + ba)
= (a · b)c− (a · c)b− (a · c)b + (a · b)c
= 2(a · b)c− 2(a · c)b.
El resultado anterior muestra que
1
2
[a(b ∧ c)− (b ∧ c)a] = (a · b)c− (a · c)b.
Debido a que la parte derecha de la igualdad es un vector, la operacio´n
anterior transformo´ de alguna manera el producto de vectores por bivectores
en un vector. Ante esta situacio´n, por su similaridad con el producto interno,
se conviene en escribir
a · A = 1
2
(aA− Aa) = −A · a,
donde A es un bivector cualquiera. La u´ltima parte de la igualdad muestra
que el producto interno de un vector por un bivector, a · A es antisime´trico.
Combinando las dos u´ltimas igualdades se concluye que
a · (b ∧ c) = (a · b)c− (a · c)b.
De la expesio´n
a(b ∧ c) = (a · b)c− (a · c)b− 1
2
(bac− cab),
se concluye que el producto de un vector por un bivector, en general, esta´ con-
formado por vectores y trivectores. Este producto se nota con ∧ por aumentar
el grado de los componentes, por lo que se escribe
a ∧ (b ∧ c) = 1
2
[a(b ∧ c) + (b ∧ c)a].
6.2. A´LGEBRAS DEL PLANO Y EL ESPACIO 255
De la anterior igualdad se establece
a ∧ A = 1
2
(aA + Aa).
Sumando a ·A con a ∧ A,
a · A + a ∧A = 1
2
[aA− Aa] + 1
2
[aA + Aa]
=
1
2
[aA + aA] +
1
2
[Aa− Aa]
= aA.
En s´ıntesis, se concluye que, para todo vector a y para todo bivector A
aA = a · A + a ∧ A.
A partir de ahora se puede demostrar la propiedad asociativa del producto
exterior.
a ∧ (b ∧ c) = 1
2
[a(b ∧ c) + (b ∧ c)a]
=
1
2
[
1
2
(abc− acb) + 1
2
(bca− cba)]
=
1
4
[abc− acb + bca− cba].
Sumando 1
4
(bac− bac + cab− cab), reorganizando te´rminos y factorizando,
a ∧ (b ∧ c) = 1
4
[(ab− ba)c + b(ac + ca) + c(ab− ba)− (ca + ac)b].
Usando la igualdad (ab− ba) = 2(a ∧ b),
a ∧ (b ∧ c) = 1
4
[2(a ∧ b)c + b(ac + ca) + 2c(a ∧ b)− (ca + ac)b]
=
1
2
[(a ∧ b)c + c(a ∧ b) + 1
2
b(ac + ca)− 1
2
(ca + ac)b]
=
1
2
[(a ∧ b)c + c(a ∧ b) + b(c · a))− (c · a)b]
=
1
2
[c(a ∧ b) + (a ∧ b)c]
= (a ∧ b) ∧ c.
256 CAPI´TULO 6. A´LGEBRA GEOME´TRICA
Es fa´cil comprobar que el producto externo de un vector por un bivector es
sime´trico, en efecto
a ∧ A = a ∧ (b ∧ c)
= (a ∧ b) ∧ c
= −(b ∧ a) ∧ c
= −b ∧ (a ∧ c)
= b ∧ (c ∧ a)
= (b ∧ c) ∧ a
= A ∧ a.
6.2.2. Trivectores
Dados tres vectores a, b, c el producto externo a ∧ b ∧ c se denomina un
trivector. Se obtiene proyectando el plano de a∧b a lo largo de c y corresponde
a un volumen orientado. Gra´ficamente se representa por un un paralelep´ıpedo
rectangular.
De acuerdo con la propiedad asociativa, a∧ (b∧ c) = (a∧ b)∧ c, situacio´n
que corresponde a decir que a ∧ b ∧ c tambie´n se obtiene proyectando el
plano de b ∧ c a lo largo de a como se ilustra en el gra´fico. Esto indica que
a ∧ b ∧ c = b ∧ c ∧ a.
a
b
c
a ∧ b
a
b
cb ∧ c
Figura 6.7
Debido a la antisimetr´ıa del producto externo entre vectores, a ∧ b ∧ c cam-
bia de signo al conmutar cualquier par. Geome´tricamente significa que al
conmutar cualquier par de vectores se invierte el sentido de la proyeccio´n.
Como es obvio, al conmutar sucesivamente una pareja de vectores el sen-
tido de la proyeccio´n no cambia, por esta razo´n,
a ∧ b ∧ c = c ∧ a ∧ b = b ∧ c ∧ a.
6.3. EL A´LGEBRA CLN 257
Debido a que I es el u´nico trivector unitario, a ∧ b ∧ c necesariamente debe
ser un mu´ltiplo escalar de I, esto es,
a ∧ b ∧ c = κI.
donde | κ | representa el volumen del paralelep´ıpedo de lados a, b, c.
6.3. El a´lgebra Cln
Iniciamos