Ecuaciones de Euler

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Ecuación de Euler 
Para muchos problemas de valor inicial, no es posible obtener una solución exacta. El enfoque 
numérico consiste en aproximar el valor de la solución para determinados valores de x. Con mayor 
precisión, dado el problema de valor inicial 
Dado el problema de valor inicial 
{
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑦(𝑎) = 𝑦𝑎 ∀ 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] 
 
 
Iniciaremos con la ecuación de la recta que pasa por el punto 𝑃(𝑥0, 𝑦0) 𝑦 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑚 
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚[𝑥 − 𝑥0] 1 
O bien 
𝑦 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0) + 𝑦0 2 
Como la pendiente de una recta tangente a la curva, es la derivada de la función 
𝑚 = 𝑦𝑥0 ,𝑦0
′ = 𝑓(𝑥0, 𝑦0) 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 3 
La ecuación de la recta tangente es: (sustituyendo 3 en 2) 
𝑦 = 𝑓(𝑥0, 𝑦0)(𝑥 − 𝑥0) + 𝑦0 
Sea 𝑥1 un punto cercano a 𝑥0, así 𝑥1 = 𝑥0 + ℎ 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 ℎ 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑢𝑛 𝑖𝑛𝑐𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 
Así 
𝑦(𝑥1) = 𝑦(𝑥0 + ℎ) ≈ 𝑓(𝑥0, 𝑦0)(𝑥0 + ℎ + 𝑥0) + 𝑦0 
 
Teniendo una fórmula de aproximación 
𝑦(𝑥0 + ℎ) = 𝑦0 + ℎ𝑓(𝑥0, 𝑦0) 
Para reducir el error dividimos la distancia ℎ en 𝑛 partes iguales, esto es 
ℎ =
‖𝑥 − 𝑥0‖
𝑛
 
se ha obtenido una fórmula de recursiva general 
𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ℎ𝑓(𝑥𝑛, 𝑦𝑛) 
Esta ecuación representa una recta muy cercana, a la recta tangente a la curva, esto es. 
Ejemplo 
Sea la ecuación diferencial 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝑥𝑦 𝑐𝑜𝑛 𝑦(0) = 1 
Resolveremos inicialmente por variables separables y después aplicaremos el método de Euler 
para comparar. 
La ecuación se puede escribir 
𝑑𝑦
𝑦
= 2𝑥𝑑𝑥 
Integrando 
∫
𝑑𝑦
𝑦
= 2 ∫ 𝑥𝑑𝑥 
Se tiene 
𝑙𝑛𝑦 = 𝑥2 
Aplicando la función exponencial 
𝑒𝑙𝑛𝑦 = 𝑒𝑥
2
 
Implica 
𝑦 = 𝑒𝑥
2
 
Es solución a La ecuación diferencial y su grafica es la fig. 1 
Fig. 1 
 
 
 
1 1.0408 1.1735
1.4333
1.8964
2.7182
4.2206
7.0993
12.9358
0
2
4
6
8
10
12
14
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
Grafica de la función solución
Para un valor cercano a 𝑥0 supongamos 𝑥1 = 0.6 
Se tiene 
𝑦 = 𝑒(0.6)
2
 
𝑦 = 1.433 
Resolveremos ahora por el método de Euler 
Usando la ecuación de aproximación 
𝑦(𝑥0 + ℎ) = 𝑦0 + ℎ𝑓(𝑥0, 𝑦0) 
En esta ecuación 𝑥1 = 𝑥0 + ℎ 
ℎ que representa el intervalo, se calcula por: 
ℎ =
‖𝑥 − 𝑥0‖
𝑛
 
así con 𝑥1 = 0.6, 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑒𝑟𝑐𝑎𝑛𝑜 𝑎 𝑥0, 𝑥0 = 0 𝑦 𝑛 = 6, 𝑦0 = 1 
𝑛 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠 𝑦 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥𝑦 
para ℎ =
0.6−0
6
 
ℎ = 0.1 
así, tenemos 6 intervalos de ancho 0.1 cada uno 
𝑦1 = 𝑦0 + ℎ𝑓(𝑥0, 𝑦0) 
Sustituyendo los valores 
𝑦1 = 1 + (0.1)[2(0)(1)] 
𝑦1 = 1 
Para el segundo punto se tiene 
𝑦2 = 𝑦1 + ℎ(2𝑥1𝑦1) 
Sustituyendo valores 
𝑦2 = 1 + (0.1)[2(0.1)(1)] 
𝑦2 = 1.02 
Para el tercer punto 
𝑦3 = 𝑦2 + ℎ[2(𝑥2)(𝑦2)] 
Sustituyendo valores 
𝑦3 = 1.02 + (0.1)[2(0.2)(1.02)] 
𝑦3 = 1.0608 
𝑦4 = 1.0608 + (0.1)[2(0.3)(1.0608)] 
𝑦4 = 1.1244 
𝑦5 = 1.1244 + (0.1)[2(0.4)(1.1244)] 
𝑦5 = 1.335312 
Recuerda que 
𝑥𝑛 = 𝑥𝑛−1 + ℎ 
Así 
𝑥1 = 𝑥0 + 0.1 
𝑥1 = 0 + 0.1 = 0.1 
𝑥2 = 0.1 + 0.1 = 0.2 
𝑥3 = 0.2 + 0.1 = 0.3 
𝑥4 = 0.3 + 0.1 = 0.4 
Así tenemos la tabla 
𝑥 0 0.1 0.2 0.3 0.4 
𝑦 1 1.02 1.0608 1.1244 1.335312 
 
Calculemos el error relativo, en el cual usaremos el valor real determinado por la solución de la 
ecuación diferencial por variables separables y el de la aproximación determinado por el método 
de Euler. 
𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 =
‖𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑟𝑒𝑎𝑙 − 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜‖
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑟𝑒𝑎𝑙
 
Esto es 
∈𝑟=
‖𝑉𝑅 − 𝑉𝑎‖
𝑉𝑅
 𝑥 100% 
∈𝑟=
‖1.433 − 1.335‖
1.433
𝑥100% 
∈𝑟= 6.8% 
Tarea 1 Para entregar el lunes 23 / 03/ 2020 
Usando la misma ecuación diferencial. Calcule el valor real y el aproximado 
para 𝑥 = 0.4 𝑦 𝑥 = 0.5. 
Tarea 2 Para entregar el miércoles 25 / 03 /2020 
1) 𝑥𝑦´ + 2𝑥𝑦 = 𝑥3 𝑦(0) = 1, 𝑦(2) =? 𝑛 = 6 
 
2) 𝑥2𝑦´ + 𝑥𝑦 = 1 𝑦(0) = 2 𝑦(2) =? 𝑛 = 4 
Tarea 3 Para entregar jueves 26/03/2020 
1) 𝑦´ + 𝑦 = 𝑥𝑦2 𝑦(0) = 1 𝑦(1) =? 𝑛 = 5 
 
2) 𝑥´ − 3𝑥 = 𝑡𝑥3 𝑥(0) = 1 𝑥(1) =? 𝑛 = 5