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1 Cap. 13: ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS Las ecuaciones de Maxwell sugieren que los fenómenos eléctricos y magnéticos son estrechamente ligados = teoría electromagnetismo • Un campo magnético variable en el tiempo actúa como fuente de campo eléctrico, y un campo eléctrico que varía con el tiempo genera un campo magnético Estos campos E y B se sostienen uno al otro y forman algo similar a una “onda electromagnética” • Esto corresponde en realidad en la propagación (o transferencia entre partículas) de energía y cantidad de movimiento La luz visible emitida por el filamento incandescente de una bombilla eléctrica es un ejemplo de onda electromagnética Pero también energía emitidas por fuentes tales como las estaciones de radio y televisión, los osciladores de microondas para hornos y radares, las máquinas de rayos X y los núcleos radiactivos En el modelo de ondas electromagnéticas los campos E y B son funciones sinusoidales del tiempo y de la posición, con frecuencia y longitud de onda definidas Los distintos tipos de ondas electromagnéticas—luz visible, ondas de radio, rayos X y otras—difieren sólo en su frecuencia y longitud de onda = el espectro electromagnético El modelo de onda se construyo en analogía a ondas mecánicas, ej. ondas en una cuerda o del sonido en un fluido – que también corresponde a mecanismos de transporte de energía y cantidad de movimiento • Pero a la diferencia de las ondas mecánicas, las ondas electromagnéticas no requieren un medio material para propagar se 2 Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas A la base de las ecuaciones de Maxwell tienen las siguientes observaciones: • Existe dos tipos de campos: eléctrico E y magnético B o E esta producido por cargas en reposo o B esta producido por corriente estable Esto podría sugerir que se puede analizar los campos eléctricos y magnéticos de forma independiente, sin considerar las interacciones entre ellos Pero cuando los campos varían con el tiempo, dejan de ser independientes • Ley de Faraday: un campo magnético variable en el tiempo actúa como fuente de campo eléctrico • Ley de Ampère generalizada (incluyendo la corriente de desplazamiento): un campo eléctrico que cambia con el tiempo actúa como una fuente de campo magnético Esta interacción mutua entre los dos campos se resumen en las 4 ecuaciones de Maxwell: • Cuando un campo de un tipo cambia con el tiempo, induce un campo del otro tipo en las regiones adyacentes del espacio que se opone al cambio • Este fenómeno es consistente con la ley de Lenz y es una consecuencia directa de la ley de la conservación de energía Esto nos lleva a considerar la posibilidad de la existencia de una “perturbación electromagnética”, consistente con campos eléctricos y magnéticos que se modifican con el tiempo – esta onda es el principal mecanismo de propagación de energía entre partículas 3 Por analogía mecánica ya se conocía en el tiempo de Maxwell de un fenómeno de perturbación transportador de energía (y cantidad de movimiento) = ondas mecánicas • Por lo que se desarrollo un modelo similar = ondas electromagnéticas Tienen dos problemas con el modelo de ondas electromagnéticas clásica: 1) ¿Perturbación de que? El modelo mecánico sugiere que es la perturbación de un medio = ether; pero se demostró al final de los 1800’s que no existe el ether; por lo que las ondas electromagnética se propagan en el “vacio” 2) También se demostró que consistente con la estructura de la materia, la energía del los campo electromagnético es cuantificada – pero la energía de una onda es continúa ⇒ la onda electromagnética es una ficción; la energía se propaga en forma de partícula = fotón o quantum de energía La descripción en términos de ondas es solo aproximativa, no debe se tomar como una descripción completa del fenómeno • El significado físico en términos de ondas es posiblemente más profunda (un asunto no resuelta) relacionada con una visión probabilística de la materia ( ej. la interpretación de Max Born de la función de ondas en mecánica quántica) 4 Generación de la radiación electromagnética Maxwell demostró en 1865 que una perturbación electromagnética debe propagarse en el espacio libre con una rapidez igual a la de la luz, por lo que era probable que la naturaleza de la luz fuera una onda electromagnética Al mismo tiempo descubrió que los principios básicos del electromagnetismo podían expresarse en términos de las cuatro ecuaciones = ecuaciones de Maxwell: 1) La ley de Gauss de los campos eléctricos: E ⋅d A∫ = Qenc ε0 2) La ley de Gauss de los campos magnéticos, que demuestra la inexistencia de monopolos magnéticos: B ⋅d A∫ = 0 3) La ley de Ampère, que incluye la corriente de desplazamiento: B ⋅d l∫ = µ0 iC + ε0 dΦE dt ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ enc 4) La ley de Faraday: E ⋅d l∫ = − dΦB dt Estas ecuaciones se aplican a los campos eléctricos y magnéticos en el vacío (definido como la ausencia de materia = no hay dieléctrico) • Cuando hay materia, la permitividad ε0 y la permeabilidad µ0 del vacío se sustituyen por la permitividad ε y la permeabilidad µ del material De acuerdo con las ecuaciones de Maxwell, una carga puntual en reposo produceun campo E estático pero no un campo B Una carga puntual en movimiento con velocidad constante (corriente) produce los dos campos E y B Las ecuaciones de Maxwell también implican que para que una carga puntual produzca ondas electromagnéticas, la carga debe acelerar • De hecho, un resultado general de las ecuaciones de Maxwell es que toda carga acelerada irradia energía electromagnética 5 La figura abajo muestra algunas líneas de campo eléctrico producidas por una carga puntual oscilante (movimiento harmónico simple) vistas en cinco instantes durante un periodo de oscilación T • La trayectoria de la carga está en el plano de los dibujos • En t = 0, la carga puntual se encuentra en su máximo desplazamiento ascendente o La flecha muestra cómo se propaga una “vuelta” de las líneas de a medida que se propaga hacia fuera de la carga puntual • El campo magnético (no se ilustra) comprende círculos que se hallan en planos perpendiculares a las figuras y son concéntricos con respecto al eje de oscilación • La oscilación de la carga hacia arriba y abajo produce una perturbación del campo eléctrico que hace que las ondas se propaguen hacia fuera de la carga • La carga no emite ondas en todas direcciones por igual • Son más intensas a 90° con respecto al eje de movimiento de la carga (donde el campo eléctrico es más perturbado), en tanto que no hay ondas a lo largo de este eje En 1887, el físico alemán Heinrich Hertz (1857-‐1894) generó por primera vez ondas electromagnéticas con longitudes de onda macroscópicas en el laboratorio • Usando como fuente de ondas cargas oscilantes en circuitos L-‐C • Detectó las ondas electromagnéticas resultantes mediante otros circuitos sintonizados a la misma frecuencia • También produjo ondas electromagnéticas estacionarias y midió la distancia entre nodos adyacentes (media longitud de onda) para determinar la longitud de onda E 1094 C APÍTU LO 32 Ondas electromagnéticas 32.2 a) Todo teléfono móvil, módem inalámbrico o aparato transmisor de radio emite señales en forma de ondas electromagnéticas causadas por cargas en aceleración. b) Las líneas de transmisión de energía eléctrica conducen una corriente alterna intensa, lo que significa que hay una cantidad sustancial de carga que acelera hacia delante y atrás y genera ondas electromagnéticas. Estas ondas son las que producen el zumbido en el radio del automóvil cuando conducimos cerca de las líneas de transmisión. Estas ecuaciones se aplican a los campos eléctricos y magnéticos en el vacío. Si está presente un material, la permitividad P0 y la permeabilidad m0 del espacio libre se sustituyen por la permitividad P y la permeabilidad m del material. Si los valores de P y m son diferentes en puntos distintos en las regiones de integración, entonces P y m deben transferirse al lado izquierdo de las ecuaciones (29.18) y (29.20), respectiva- mente, y colocarse dentro de las integrales. El término P en la ecuación (29.20) también tiene que incluirse en la integral cuyo resultado es dFE>dt. De acuerdo con las ecuaciones de Maxwell, una carga puntual en reposo produce un campo estático pero no un campo ; una carga puntual en movimiento con velo- cidad constante (véase la sección 28.1) produce los dos campos y . Las ecuaciones de Maxwell también se usan para demostrar que para que una carga puntual produzca ondas electromagnéticas, la carga debe acelerar. De hecho, un resultado general de las ecuaciones de Maxwell es que toda carga acelerada irradia energía electromagné- tica (figura 32.2). Generación de la radiación electromagnética Una manera de conseguir que una carga puntual emita ondas electromagnéticas es ha- ciéndola oscilar en movimiento armónico simple, de manera que tenga una acelera- ción casi en todo instante (excepto cuando la carga pasa por la posición de equilibrio). La figura 32.3 muestra algunas líneas de campo eléctrico producidas por una carga puntual oscilante. Las líneas de campo no son objetos materiales; sin embargo, es útil pensar que se comportan como cuerdas que se extienden de la carga puntual al infinito. La oscilación de la carga hacia arriba y abajo hace que las ondas se propaguen hacia fuera de la carga a lo largo de estas “cuerdas”. Observe que la carga no emite ondas en todas direcciones por igual; las ondas son más intensas a 90° con respecto al eje de movimiento de la carga, en tanto que no hay ondas a lo largo de este eje. Ésta es la conclusión a la que se llega con la analogía de la “cuerda”. Además, hay una pertur- bación magnética que se extiende hacia fuera de la carga, lo que no se ilustra en la fi- gura 32.3. Puesto que las perturbaciones eléctricas y magnéticas se dispersan o irradian desde la fuente, se utiliza de manera indistinta el nombre de radiación electromag- nética o el de “ondas electromagnéticas”. El físico alemán Heinrich Hertz generó por primera vez ondas electromagnéticas con longitudes de onda macroscópicas en el laboratorio en 1887. Como fuente de on- das, Hertz utilizó cargas oscilantes en circuitos L-C de la clase que estudiamos en la sección 30.5 y detectó las ondas electromagnéticas resultantes mediante otros circuitos sintonizados a la misma frecuencia. Hertz también produjo ondas electromagnéticas estacionarias y midió la distancia entre nodos adyacentes (media longitud de onda) para determinar la longitud de onda. Una vez que determinó la frecuencia de resonan- cia de sus circuitos, encontró la rapidez de las ondas a partir de la relación entre su longitud de onda y su frecuencia, v 5 lf, y estableció que era igual a la rapidez de la luz; esto comprobó directamente la predicción teórica de Maxwell. La unidad del SI para la frecuencia recibió su nombre en honor de Hertz: un hertz (1 Hz) es igual a un ciclo por segundo. B S E S B S E S q E S a) t 5 0 q E S b) t 5 T/4 q E S c) t 5 T/2 q E S e) t 5 T q E S d) t 5 3T/4 32.3 Líneas de campo eléctrico de una carga puntual que oscila con movimiento armónico simple, vistas en cinco instantes durante un periodo de oscilación T. La trayectoria de la carga está en el plano de los dibujos. En t 5 0, la carga puntual se encuentra en su máximo desplazamiento ascendente. La flecha muestra cómo se propaga una “vuelta” de las líneas de a medida que se propaga hacia fuera de la carga puntual. El campo magnético (no se ilustra) comprende círculos que se hallan en planos perpendiculares a las figuras y son concéntricos con respecto al eje de oscilación. E S 6 Una vez que determinó la frecuencia de resonancia de sus circuitos, encontró la rapidez de las ondas a partir de la relación entre su longitud de onda y su frecuencia, v = λ f • Estableció que v = c ⇒ comprobó directamente la predicción teórica de Maxwell La unidad del SI para la frecuencia recibió su nombre en honor de Hertz: unhertz (1 Hz) es igual a un ciclo por segundo El valor actual por la rapidez de la luz: c = 299,792,458 m/s También c es la base de la unidad estándar de longitud: un metro se define como la distancia que recorre la luz en 1/299,792,458 de segundo (consistente con definición operacional del “espacio” – o mejor, del vacío) Es posible usar ondas electromagnéticas para la comunicación a larga distancia; gracias a investigadores como Guglielmo Marconi (1874 – 1937) la comunicación por radio se convirtió en una experiencia cotidiana: • En un transmisor de radio se hacen oscilar cargas eléctricas a lo largo de la antena conductora, lo que produce perturbaciones oscilatorias de campo • Como en la antena hay muchas cargas que oscilan juntas, las perturbaciones son mucho más intensas que las de una sola carga y se detectan a una distancia mucho mayor • En un receptor de radio la antena también es un conductor, los campos de la onda que emana desde un transmisor distante ejercen fuerzas sobre las cargas libres dentro de la antena receptora, lo que produce una corriente oscilante que es detectada y amplificada por los circuitos del receptor 7 El espectro electromagnético Las ondas electromagnéticas cubren un espectro amplio de longitudes de onda y frecuencia • Incluye las ondas de radio y televisión, la luz visible, la radiación infrarroja y ultravioleta, los rayos X y los rayos gamma • Se han detectado ondas electromagnéticas con frecuencias desde 1 hasta 1024 Hz • Las ondas electromagnéticas difieren en frecuencia f y longitud de onda λ, pero la relación c = λ f en el vacío se cumple para cada una • El ojo solo puede detectar una parte muy pequeña del espectro = luz visible o Su intervalo de longitud de onda va de 400 a 700 nm (400 a 700 × 10−9m) con frecuencias correspondientes de 750 a 430 THz (7.5 a 4.3 × 1014 Hz) aproximadamente o Las distintas partes del espectro visible son interpretados por el cerebro humano como diferentes colores • La luz blanca ordinaria incluye todas las longitudes de onda visibles • Sin embargo, con el uso de fuentes o filtros especiales es posible seleccionar una banda angosta de longitudes de onda dentro de un intervalo de unos cuantos nm o Esa luz es aproximadamente monocromática (de un solo color) o La luz totalmente monocromática con una sola longitud de onda es una idealización inalcanzable • La luz láser está mucho más cerca de ser monocromática que cualquiera que se obtenga de otra manera 32 .1 Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas 1095 El valor moderno de la rapidez de la luz, que se denota con el símbolo c, es 299,792,458 m>s. (Recuerde que en la sección 1.3 vimos que este valor es la base de nuestra unidad estándar de longitud: un metro se define como la distancia que recorre la luz en 1>299,792,458 de segundo.) Para nuestros propósitos, el valor de 3.00 3 108 m>s tiene suficiente exactitud. Al parecer, el posible uso de las ondas electromagnéticas para la comunicación a larga distancia no se le ocurrió a Hertz, y fue gracias a Marconi y a otros investigado- res que la comunicación por radio se convirtió en una experiencia cotidiana en el hogar. En un transmisor de radio se hacen oscilar las cargas eléctricas a lo largo de la antena conductora, lo que produce perturbaciones oscilatorias de campo, como las que se ilustran en la figura 32.3. Como en la antena hay muchas cargas que oscilan juntas, las perturbaciones son mucho más intensas que las de una sola carga y se detectan a una distancia mucho mayor. En un receptor de radio la antena también es un conduc- tor, los campos de la onda que emana desde un transmisor distante ejercen fuerzas sobre las cargas libres dentro de la antena receptora, lo que produce una corriente oscilante que es detectada y amplificada por los circuitos del receptor. En lo que resta del capítulo nos ocuparemos de las ondas electromagnéticas en sí mismas, dejando a un lado el complejo problema de cómo se generan. El espectro electromagnético Las ondas electromagnéticas cubren un espectro extremadamente amplio de longitu- des de onda y frecuencia. Este espectro electromagnético incluye las ondas de radio y televisión, la luz visible, la radiación infrarroja y ultravioleta, los rayos x y los rayos gamma. Se han detectado ondas electromagnéticas con frecuencias desde 1 hasta 1024 Hz; en la figura 32.4 se representa la parte más común del espectro, y se indican los intervalos de longitud de onda y frecuencia aproximados de sus diferentes seg- mentos. A pesar de las muchas diferencias en su uso y medios de producción, todas ellas son ondas electromagnéticas con la misma rapidez de propagación (en el vacío), c 5 299,792,458 m>s. Las ondas electromagnéticas difieren en frecuencia f y longitud de onda l, pero la relación c 5 lf en el vacío se cumple para cada una. Nosotros sólo podemos detectar directamente una parte muy pequeña del espectro con nuestro sentido de la vista, y a ese intervalo lo denominamos luz visible. Su inter- valo de longitud de onda va de 400 a 700 nm (400 a 700 3 1029 m), con frecuencias correspondientes de 750 a 430 THz (7.5 a 4.3 3 1014 Hz) aproximadamente. Las dis- tintas partes del espectro visible evocan en los humanos las sensaciones de los dife- rentes colores. En la tabla 32.1 se presentan las longitudes de onda de los colores en la parte visible del espectro. La luz blanca ordinaria incluye todas las longitudes de onda visibles. Sin embargo, con el uso de fuentes o filtros especiales es posible seleccionar una banda angosta de longitudes de onda dentro de un intervalo de unos cuantos nm. Esa luz es aproxima- damente monocromática (de un solo color). La luz totalmente monocromática con Radio, TV 10 1 1021 1022 1023 1024 1025 1026 1027 1028 1029 10210 10211 10212 10213 108 109 1010 1011 1012 1013 1014 1015 1016 1017 1018 1019 1020 1021 1022 Microondas Infrarrojo Ultravioleta Rayos x Luz visible 700 nm 650 600 550 500 450 400 nm VIOLETAAZULVERDEAMARILLONARANJAROJO Frecuencias en Hz Longitudes de onda en m Rayos gamma 32.4 El espectro electromagnético. Las frecuencias y longitudes de onda que se encuentran en la naturaleza se extienden en un intervalo tan amplio que se tiene que usar una escala logarítmica para indicar todas las bandas importantes. Las fronteras entre las bandas son un tanto arbitrarias. Tabla 32.1 Longitudes de onda de la luz visible 400 a 440 nm Violeta 440 a 480 nm Azul 480 a 560 nm Verde 560 a 590 nm Amarillo 590 a 630 nm Naranja 630 a 700 nm Rojo 8 Nuestro sistema de comunicaciones globales depende de las ondas de radio: • La radio AM utiliza ondas confrecuencias de 5.4 × 105 Hz a 1.6 × 106 Hz • Las emisiones de radio en FM tienen lugar en las frecuencias de 8.8 × 107 Hz a 1.08 × 108 Hz • Las emisoras de televisión usan frecuencias que incluyen la banda de FM • Las microondas se utilizan para la comunicación por los teléfonos celulares y las redes inalámbricas Los radares meteorológicos funcionan con frecuencias cercanas a 3 × 109 Hz Muchas cámaras tienen un dispositivo que emite un haz de radiación infrarroja • Al analizar las propiedades de la radiación infrarroja reflejada por el sujeto, la cámara determina a qué distancia se encuentra éste y se enfoca de manera automática La radiación ultravioleta tiene longitudes de onda más cortas que la luz visible • Esta propiedad le permite enfocarse dentro de haces muy estrechos para aplicaciones de alta precisión, como la cirugía ocular LASIK Los rayos X son capaces de pasar a través del tejido muscular, lo que los hace invaluables en la odontología y la medicina La radiación electromagnética con la longitud de onda más corta, los rayos gamma, es producida en la naturaleza por los materiales radiactivos • Los rayos gamma, que tienen una gran cantidad de energía, se utilizan en medicina para destruir células cancerosas 9 Ondas electromagnéticas planas y rapidez de la luz Tomamos como base un sistema de coordenadas xyz y suponemos que el espacio está dividido en dos regiones por un plano perpendicular al eje x paralelo al plano yz En cada punto a la izquierda de este plano hay un campo eléctrico uniforme en la dirección +y y un campo magnético uniforme en la dirección +z Supongamos que el plano limítrofe, al frente de onda, se desplaza hacia la derecha en la dirección +x con rapidez constante c (de magnitud no definida) Así, los campos y viajan a la derecha hacia regiones hasta ahora libres de campo con rapidez constante: • Los campos = 0 para los planos que están a la derecha del frente de onda y tienen los mismos valores en todos los planos ubicados a la izquierda del frente de onda Este modelo describe una onda electromagnética rudimentaria = onda plana E B 1096 C APÍTU LO 32 Ondas electromagnéticas una sola longitud de onda es una idealización inalcanzable. Cuando usamos la expre- sión “luz monocromática con l 5 550 nm” en relación con un experimento de labo- ratorio, en realidad nos referimos a una banda pequeña de longitudes de onda alrededor de 550 nm. La luz láser está mucho más cerca de ser monocromática que cualquiera que se obtenga de otra manera. Las formas invisibles de la radiación electromagnética no son menos importantes que la luz visible. Por ejemplo, nuestro sistema de comunicaciones globales depende de las ondas de radio: la radio AM utiliza ondas con frecuencias de 5.4 3 105 Hz a 1.6 3 106 Hz, mientras que las emisiones de radio en FM tienen lugar en las frecuencias de 8.8 3 107 Hz a 1.08 3 108 Hz. (Las emisoras de televisión usan frecuencias que incluyen la banda de FM.) Las microondas también se utilizan para la comunicación (por ejemplo, en los teléfonos celulares y las redes inalámbricas) y en los radares me- teorológicos (con frecuencias cercanas a 3 3 109 Hz). Muchas cámaras tienen un dis- positivo que emite un haz de radiación infrarroja; al analizar las propiedades de la radiación infrarroja reflejada por el sujeto, la cámara determina a qué distancia se en- cuentra éste y se enfoca de manera automática. La radiación ultravioleta tiene longi- tudes de onda más cortas que la luz visible; como veremos en el capítulo 36, esta propiedad le permite enfocarse dentro de haces muy estrechos para aplicaciones de alta precisión, como la cirugía ocular LASIK. Los rayos x son capaces de pasar a través del tejido muscular, lo que los hace invaluables en la odontología y la medicina. La radiación electromagnética con la longitud de onda más corta, los rayos gamma, es producida en la naturaleza por los materiales radiactivos (véase el capítulo 43). Los rayos gamma, que tienen una gran cantidad de energía, se utilizan en medicina para destruir células cancerosas. Evalúe su comprensión de la sección 32.1 a) ¿Es posible tener una onda puramente eléctrica que se propague a través del espacio vacío, es decir, una onda constituida por un campo eléctrico pero no por un campo magnético? b) ¿Y una onda puramente magnética, con campo magnético pero sin un campo eléctrico? ! 32.2 Ondas electromagnéticas planas y rapidez de la luz Estamos listos para formular las ideas básicas de las ondas electromagnéticas y su re- lación con los principios del electromagnetismo. Nuestro procedimiento consistirá en postular una configuración simple de campo eléctrico que tenga un comportamiento ondulatorio. Supondremos un campo eléctrico que tenga sólo una componente y, y un campo magnético sólo con una componente z, y supondremos que ambos cam- pos se mueven juntos en la dirección 1x con una rapidez c que al principio es desco- nocida. (Conforme avancemos quedará claro por qué elegimos que y fueran perpendiculares a la dirección de propagación y entre sí.) Después evaluaremos si estos campos son físicamente posibles indagando si son congruentes con las ecuaciones de Maxwell, en particular con las leyes de Ampère y Faraday. Veremos que la respuesta es sí, siempre y cuando c tenga un valor particular. También veremos que la ecuación de onda, que encontramos durante nuestro estudio de las ondas mecánicas en el capí- tulo 15, se obtiene a partir de las ecuaciones de Maxwell. Una onda electromagnética plana simple Si tomamos como base un sistema de coordenadas xyz (figura 32.5), suponemos que todo el espacio está dividido en dos regiones por un plano perpendicular al eje x (y paralelo al plano yz). En cada punto a la izquierda de este plano hay un campo eléctri- co uniforme en la dirección 1y y un campo magnético uniforme en la dirección 1z, como se ilustra. Además, supongamos que el plano limítrofe, al que llamaremos frente de onda, se desplaza hacia la derecha en la dirección 1x con rapidez constante c, un valor que por el momento dejaremos indeterminado. Así, los campos y viajan a la derecha hacia regiones hasta ahora libres de campo con rapidez definida. En resu- men, la situación describe una onda electromagnética rudimentaria. Una onda como ésta, en la que en cualquier instante los campos son uniformes en toda la extensión de B S E S B S E S B S E S B S E S Los campos eléctrico y magnético son uniformes detrás del frente de onda que avanza, y cero por delante de éste. z x y O c E S B S E S B S E S B S E S B S E S E 5 0 S B 5 0 S B S E S B S Frente de onda plana 32.5 Frente de una onda electromagnética. El plano que representa el frente de onda se mueve hacia la derecha (en la dirección positiva del eje x) con rapidez c. E B 10 La preguntaes ¿si este modelo es congruente con las leyes de Maxwell? En primer lugar, verifiquemos que la onda plana satisface la primera y segunda ecuaciones de Maxwell: • Tomamos como superficie gaussiana una caja rectangular con lados paralelos a los planos de coordenados xy, xz y yz • La caja no encierra cargas eléctricas • Por lo que los flujos eléctrico y magnético totales a través de la caja son iguales a cero Aun si parte de la caja está en la región en la que E = B = 0 • Esto no sería el caso si o tuvieran una componente x, paralela a la dirección de propagación Para satisfacer las ecuaciones 1 y 2 de Maxwell, los campos eléctrico y magnético deben ser perpendiculares a la dirección de propagación = onda transversal E B 32 .2 Ondas electromagnéticas planas y rapidez de la luz 1097 cualquier plano perpendicular a la dirección de propagación, se llama onda plana. En el caso que se ilustra en la figura 32.5, los campos son igual a cero para los planos que están a la derecha del frente de onda y tienen los mismos valores en todos los pla- nos ubicados a la izquierda del frente de onda; más adelante estudiaremos ondas planas más complejas. No nos ocuparemos del problema de generar efectivamente una configuración de campo de este tipo; sólo preguntaremos si es congruente con las leyes del electromag- netismo, es decir, con las ecuaciones de Maxwell. Consideraremos sucesivamente cada una de estas ecuaciones. En primer lugar, verifiquemos si nuestra onda satisface la primera y segunda ecua- ciones de Maxwell, es decir, las leyes de Gauss de los campos eléctrico y magnético. Para ello, tomaremos como nuestra superficie gaussiana una caja rectangular con la- dos paralelos a los planos coordenados xy, xz y yz (figura 32.6). La caja no encierra cargas eléctricas. Se puede demostrar que los flujos eléctrico y magnético totales a través de la caja son iguales a cero, aun si parte de la caja está en la región en la que E 5 B 5 0. Esto no sería el caso si o tuvieran una componente x, paralela a la dirección de propagación. La prueba se deja como ejercicio para el lector (véase el pro- blema 32.42). Así, para satisfacer las ecuaciones primera y segunda de Maxwell, los campos eléctrico y magnético deben ser perpendiculares a la dirección de propaga- ción; es decir, la onda debe ser transversal. La siguiente ecuación de Maxwell por considerar es la ley de Faraday: (32.1) Para probar si nuestra onda satisface la ley de Faraday, aplicamos esta ley a un rectán- gulo efgh paralelo al plano xy (figura 32.7a). Como se observa en la figura 32.7b, la cual representa un corte transversal en el plano xy, este rectángulo tiene altura a y an- chura Dx. En el instante que se ilustra, el frente de onda ha avanzado parcialmente a través del rectángulo, y es igual a cero a lo largo del lado ef. Al aplicar la ley de Fa- raday suponemos que el área vectorial del rectángulo efgh está en la dirección 1z. Con esta elección, la regla de la mano derecha indica que se requiere integrar en sentido antihorario alrededor del rectángulo. es igual a cero en todos los puntos del lado ef. En cada punto de los lados fg y he, es igual a cero o perpendicular a Sólo el lado gh contribuye a la integral, y sobre él y son opuestos, por lo que se obtiene (32.2) Por consiguiente, el lado izquierdo de la ecuación (32.1) es diferente de cero. Para satisfacer la ley de Faraday, ecuación (32.1), debe haber una componente de en la dirección z (perpendicular a de manera que pueda haber un flujo magnético FB distinto de cero a través del rectángulo efgh y una derivada dFB>dt diferente de cero. En realidad, nuestra onda tiene sólo la componente z. Hemos supuesto que esta componente tiene la dirección z positiva; veamos si esta suposición es congruente con la ley de Faraday. Durante un intervalo de tiempo dt, el frente de onda se desplaza una distancia c dt hacia la derecha en la figura 32.7b, y recorre un área ac dt del rectán- gulo efgh. Durante este intervalo, el flujo magnético FB a través del rectángulo efgh se incrementa en dFB 5 B(ac dt), por lo que la tasa de cambio del flujo magnético es (32.3) Ahora, sustituimos las ecuaciones (32.2) y (32.3) en la ley de Faraday, ecuación (32.1), y obtenemos (onda electromagnética en el vacío) (32.4) Así, hemos demostrado que nuestra onda es congruente con la ley de Faraday sólo si su rapidez c y las magnitudes de los vectores perpendiculares y guardan la B S E S E 5 cB 2Ea 5 2Bac dFB dt 5 Bac B S E S )B S CES # d lS 5 2Ea d l S E S d l S .E S E S E S # d lSdA S E S CES # d lS 5 2 dFBdt B S E S El campo eléctrico es el mismo en las caras superior e inferior de la superficie gaussiana, por lo que el flujo eléctrico total a través de la superficie es igual a cero. El campo magnético es el mismo en las caras izquierda y derecha de la superficie gaussiana, por lo que el flujo magnético total a través de la superficie es igual a cero. E S E S E S E S E S B SB SB SB SB S x y z 32.6 Superficie gaussiana para una onda electromagnética plana. z x c dt e af g h y E S E S B SB SB SB S B SB SB SB S E SE SE S a) En el momento dt, el frente de onda se desplaza una distancia c dt en la dirección1x. O x y f a c dt e g h b) Vista lateral de la situación en a) Dx dl S dl S dl S dl S dA S E S B S E 5 0 S B 5 0 S 32.7 a) Aplicación de la ley de Faraday a una onda plana. b) En el momento dt, el flujo magnético a través del rectángulo en el plano xy se incrementa en una cantidad dFB. Este incremento es igual al flujo a través del rectángulo sombreado, con área ac dt; es decir, dFB 5 Bac dt. Por lo tanto, dFB>dt 5 Bac. 11 La siguiente ecuación de Maxwell por considerar es la ley de Faraday: E ⋅d l∫ = − dΦB dt Aplicamos esta ley a un rectángulo efgh paralelo al plano xy (figura a) • Un corte transversal en el plano xy (figura b) , muestra este rectángulo tiene altura a y anchura Δx • En el instante que se ilustra, el frente de onda ha avanzado parcialmente a través del rectángulo, y E = 0 a lo largo del lado ef • Al aplicar la ley de Faraday, suponemos d A en la dirección +z o La regla de la mano derecha ⇒ E ⋅d l debe ser integrado en sentido anti-‐horario alrededor del rectángulo • En cada punto de los lado fg y he, E ⊥ d l ⇒ E ⋅d l = 0 y del lado ef E = 0 • Solo el lado gh contribuye a la integral, y por lo tanto: (13.1) E ⋅d l∫ = −Ea La onda B tiene sólo una componente z en la dirección positiva • Durante un intervalo de tiempo dt, el frente de onda se desplaza una distancia cdt hacia la derecha y recorre un área a cdt del rectángulo efgh • Durante este intervalo, el flujo magnético ΦB a través del rectángulo efgh se incrementa en dΦB = B a cdt( ) , por lo que la tasa de cambio del flujo magnético es: (13.2) dΦB dt = Bac • Segundo la ley de Faraday: E ⋅d l∫ = − dΦB dt ⇒−Ea = −Bac (13.3) E = cB Así, encontramos que la onda plana es congruente con la ley de Faraday solo si la razón de las magnitudes de los vectores perpendiculares es constantes igual a la velocidad de propagación de las ondas 32 .2 Ondas electromagnéticas planas y rapidez de la luz 1097 cualquier plano perpendicular a la dirección de propagación, se llama onda plana. En el caso que se ilustra en la figura 32.5, los campos son igual a cero para los planos que están a la derecha del frente de onda y tienen los mismos valores en todos los pla- nos ubicados a la izquierda del frente de onda; más adelante estudiaremos ondas planas más complejas. No nos ocuparemos del problema de generar efectivamente una configuración de campo de este tipo; sólo preguntaremos si es congruente con las leyes del electromag- netismo, es decir, con las ecuaciones de Maxwell. Consideraremos sucesivamente cada una de estas ecuaciones. En primer lugar, verifiquemos si nuestra onda satisface la primera y segunda ecua- ciones de Maxwell, es decir, las leyes de Gauss de los campos eléctrico y magnético. Para ello, tomaremos como nuestra superficie gaussiana una caja rectangular con la- dos paralelos a los planos coordenados xy, xz y yz (figura 32.6). La caja no encierra cargas eléctricas. Se puede demostrar que los flujos eléctrico y magnético totales a través de la caja son iguales a cero, aun si parte de la caja está en la región en la que E 5 B 5 0. Esto no sería el caso si o tuvieran una componente x, paralela a la dirección de propagación. La prueba se deja como ejercicio para el lector (véase el pro- blema 32.42). Así, para satisfacer las ecuaciones primera y segunda de Maxwell, los campos eléctrico y magnético deben ser perpendiculares a la dirección de propaga- ción; es decir, la onda debe ser transversal. La siguiente ecuación de Maxwell por considerar es la ley de Faraday: (32.1) Para probar si nuestra onda satisface la ley de Faraday, aplicamos esta ley a un rectán- gulo efgh paralelo al plano xy (figura 32.7a). Como se observa en la figura 32.7b, la cual representa un corte transversal en el plano xy, este rectángulo tiene altura a y an- chura Dx. En el instante que se ilustra, el frente de onda ha avanzado parcialmente a través del rectángulo, y es igual a cero a lo largo del lado ef. Al aplicar la ley de Fa- raday suponemos que el área vectorial del rectángulo efgh está en la dirección 1z. Con esta elección, la regla de la mano derecha indica que se requiere integrar en sentido antihorario alrededor del rectángulo. es igual a cero en todos los puntos del lado ef. En cada punto de los lados fg y he, es igual a cero o perpendicular a Sólo el lado gh contribuye a la integral, y sobre él y son opuestos, por lo que se obtiene (32.2) Por consiguiente, el lado izquierdo de la ecuación (32.1) es diferente de cero. Para satisfacer la ley de Faraday, ecuación (32.1), debe haber una componente de en la dirección z (perpendicular a de manera que pueda haber un flujo magnético FB distinto de cero a través del rectángulo efgh y una derivada dFB>dt diferente de cero. En realidad, nuestra onda tiene sólo la componente z. Hemos supuesto que esta componente tiene la dirección z positiva; veamos si esta suposición es congruente con la ley de Faraday. Durante un intervalo de tiempo dt, el frente de onda se desplaza una distancia c dt hacia la derecha en la figura 32.7b, y recorre un área ac dt del rectán- gulo efgh. Durante este intervalo, el flujo magnético FB a través del rectángulo efgh se incrementa en dFB 5 B(ac dt), por lo que la tasa de cambio del flujo magnético es (32.3) Ahora, sustituimos las ecuaciones (32.2) y (32.3) en la ley de Faraday, ecuación (32.1), y obtenemos (onda electromagnética en el vacío) (32.4) Así, hemos demostrado que nuestra onda es congruente con la ley de Faraday sólo si su rapidez c y las magnitudes de los vectores perpendiculares y guardan la B S E S E 5 cB 2Ea 5 2Bac dFB dt 5 Bac B S E S )B S CES # d lS 5 2Ea d l S E S d l S .E S E S E S # d lSdA S E S CES # d lS 5 2 dFBdt B S E S El campo eléctrico es el mismo en las caras superior e inferior de la superficie gaussiana, por lo que el flujo eléctrico total a través de la superficie es igual a cero. El campo magnético es el mismo en las caras izquierda y derecha de la superficie gaussiana, por lo que el flujo magnético total a través de la superficie es igual a cero. E S E S E S E S E S B SB SB SB SB S x y z 32.6 Superficie gaussiana para una onda electromagnética plana. z x c dt e af g h y E S E S B SB SB SB S B SB SB SB S E SE SE S a) En el momento dt, el frente de onda se desplaza una distancia c dt en la dirección1x. O x y f a c dt e g h b) Vista lateral de la situación en a) Dx dl S dl S dl S dl S dA S E S B S E 5 0 S B 5 0 S 32.7 a) Aplicación de la ley de Faraday a una onda plana. b) En el momento dt, el flujo magnético a través del rectángulo en el plano xy se incrementa en una cantidad dFB. Este incremento es igual al flujo a través del rectángulo sombreado, con área ac dt; es decir, dFB 5 Bac dt. Por lo tanto, dFB>dt 5 Bac. 32 .2 Ondas electromagnéticas planas y rapidez de la luz 1097 cualquier plano perpendicular a la dirección de propagación, se llama onda plana. En el caso que se ilustra en la figura 32.5, los campos son igual a cero para los planos que están a la derecha del frente de onda y tienen los mismos valores en todos los pla- nos ubicados a la izquierda del frente de onda; más adelante estudiaremos ondas planas más complejas. No nos ocuparemos del problema de generar efectivamente una configuración de campo de este tipo; sólo preguntaremos si es congruente con las leyes del electromag- netismo, es decir, con las ecuaciones de Maxwell. Consideraremos sucesivamente cada una de estas ecuaciones. En primer lugar, verifiquemos si nuestra onda satisface la primera y segunda ecua- ciones de Maxwell, es decir, las leyes de Gauss de los campos eléctrico y magnético. Para ello, tomaremos como nuestra superficie gaussiana una caja rectangular con la- dos paralelos a los planos coordenados xy, xz y yz (figura 32.6). La caja no encierra cargas eléctricas. Se puede demostrar que los flujos eléctrico y magnético totales a través de la caja son iguales a cero, aun si parte de la caja está en la región en la que E 5 B 5 0. Esto no sería el caso si o tuvieran una componente x, paralela a la dirección de propagación. La prueba se deja como ejercicio para el lector (véase el pro- blema 32.42). Así, para satisfacer las ecuaciones primera y segunda de Maxwell, los campos eléctrico y magnético deben ser perpendiculares a la dirección de propaga- ción; es decir, la onda debe ser transversal. La siguiente ecuación de Maxwell por considerar es la ley de Faraday: (32.1) Para probar si nuestra onda satisface la ley de Faraday, aplicamos esta ley a un rectán- gulo efgh paralelo al plano xy (figura 32.7a). Como se observa en la figura 32.7b, la cual representa un corte transversal en el plano xy, este rectángulo tiene altura a y an- chura Dx. En el instante que se ilustra, el frente de onda ha avanzado parcialmente a través del rectángulo, y es igual a cero a lo largo del lado ef. Al aplicar la ley de Fa- raday suponemos que el área vectorial del rectángulo efgh está en la dirección 1z. Con esta elección, la regla de la mano derecha indica que se requiere integrar en sentido antihorario alrededor del rectángulo. es igual a cero en todos los puntos del lado ef. En cada punto de los lados fg y he, es igual a cero o perpendicular a Sólo el lado gh contribuye a la integral, y sobre él y son opuestos, por lo que se obtiene (32.2) Por consiguiente, el lado izquierdo de la ecuación (32.1) es diferente de cero. Para satisfacer la ley de Faraday, ecuación (32.1), debe haber una componente de en la direcciónz (perpendicular a de manera que pueda haber un flujo magnético FB distinto de cero a través del rectángulo efgh y una derivada dFB>dt diferente de cero. En realidad, nuestra onda tiene sólo la componente z. Hemos supuesto que esta componente tiene la dirección z positiva; veamos si esta suposición es congruente con la ley de Faraday. Durante un intervalo de tiempo dt, el frente de onda se desplaza una distancia c dt hacia la derecha en la figura 32.7b, y recorre un área ac dt del rectán- gulo efgh. Durante este intervalo, el flujo magnético FB a través del rectángulo efgh se incrementa en dFB 5 B(ac dt), por lo que la tasa de cambio del flujo magnético es (32.3) Ahora, sustituimos las ecuaciones (32.2) y (32.3) en la ley de Faraday, ecuación (32.1), y obtenemos (onda electromagnética en el vacío) (32.4) Así, hemos demostrado que nuestra onda es congruente con la ley de Faraday sólo si su rapidez c y las magnitudes de los vectores perpendiculares y guardan la B S E S E 5 cB 2Ea 5 2Bac dFB dt 5 Bac B S E S )B S CES # d lS 5 2Ea d l S E S d l S .E S E S E S # d lSdA S E S CES # d lS 5 2 dFBdt B S E S El campo eléctrico es el mismo en las caras superior e inferior de la superficie gaussiana, por lo que el flujo eléctrico total a través de la superficie es igual a cero. El campo magnético es el mismo en las caras izquierda y derecha de la superficie gaussiana, por lo que el flujo magnético total a través de la superficie es igual a cero. E S E S E S E S E S B SB SB SB SB S x y z 32.6 Superficie gaussiana para una onda electromagnética plana. z x c dt e af g h y E S E S B SB SB SB S B SB SB SB S E SE SE S a) En el momento dt, el frente de onda se desplaza una distancia c dt en la dirección1x. O x y f a c dt e g h b) Vista lateral de la situación en a) Dx dl S dl S dl S dl S dA S E S B S E 5 0 S B 5 0 S 32.7 a) Aplicación de la ley de Faraday a una onda plana. b) En el momento dt, el flujo magnético a través del rectángulo en el plano xy se incrementa en una cantidad dFB. Este incremento es igual al flujo a través del rectángulo sombreado, con área ac dt; es decir, dFB 5 Bac dt. Por lo tanto, dFB>dt 5 Bac. 12 Nos queda a verificar la congruencia con la ley de Ampère: B ⋅d l∫ = µ0 iC + ε0 dΦE dt ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ enc • No hay corriente de conducción (iC = 0), por lo que la ley de Ampère es: (13.4) B ⋅d l∫ = µ0ε0 dΦE dt • Movemos el rectángulo de manera que esté se encuentra sobre el plano xz, y de nuevo observamos la situación en un momento en que el frente de onda haya viajado parcialmente a través del rectángulo • A aplicar la ley de Ampère, suponemos d A en la dirección +y o La regla de la mano derecha ⇒ B ⋅d l debe ser integrado en sentido anti-‐horario alrededor del rectángulo • En cada punto de los lado fg y he, B ⊥ d l ⇒ B ⋅d l = 0 y del lado ef B = 0 • Solo el lado gh contribuye a la integral, y por lo tanto: (13.5) B ⋅d l∫ = Ba Durante este intervalo, el flujo eléctrico ΦE a través del rectángulo efgh se incrementa en dΦE = E a cdt( ) > 0 , por lo que la tasa de cambio del flujo eléctrico es: (13.6) dΦE dt = Eac • Substitución en la ley de Ampère da que: Ba = ε0µ0Eac (13.7) B = ε0µ0cE 1098 C APÍTU LO 32 Ondas electromagnéticas relación que describe la ecuación (32.4). Observe que si supusiéramos que estaba en la dirección z negativa, habría un signo menos adicional en la ecuación (32.4); como E, c y B son todas magnitudes positivas no habría sido posible ninguna solución. Además, ninguna componente de en la dirección y (paralela a habría contribuido al flujo magnético cambiante FB a través del rectángulo efgh (que es paralelo al pla- no xy), por lo que no sería parte de la onda. Por último, se hace un cálculo similar empleando la ley de Ampère, el miembro restante de las ecuaciones de Maxwell. No hay corriente de conducción (iC 5 0), por lo que la ley de Ampère es (32.5) Para comprobar si nuestra onda es congruente con la ley de Ampère movemos nuestro rectángulo de manera que esté sobre el plano xz, como se ilustra en la figura 32.8, y de nuevo observamos la situación en un momento en que el frente de onda haya viajado parcialmente a través del rectángulo. Tomamos el área vectorial en la di- rección 1y, y así, la regla de la mano derecha demanda que integremos en sen- tido antihorario alrededor del rectángulo. El campo es igual a cero en todos los puntos a lo largo del lado ef, y en todos los puntos sobre los lados fg y he es cero o perpendicu- lar a Sólo el lado gh, donde y son paralelos, contribuye a la integral, por lo que se obtiene (32.6) Por consiguiente, el lado izquierdo de la ley de Ampère, ecuación (32.5), es diferente de cero; el lado derecho también debe ser diferente de cero. Así, debe tener una componente y (perpendicular a para que el flujo eléctrico FE a través del rectángulo y la derivada con respecto al tiempo dFE>dt puedan ser diferentes de cero. Llegamos a la misma conclusión que inferimos a partir de la ley de Faraday: en una onda elec- tromagnética, y deben ser perpendiculares entre sí. En un intervalo de tiempo dt, el flujo eléctrico FE a través del rectángulo se incre- menta en dFE 5 E(ac dt). Como elegimos que estuviera en la dirección 1y, este cambio de flujo es positivo; la tasa de cambio del campo eléctrico es (32.7) Al sustituir las ecuaciones (32.6) y (32.7) en la ley de Ampère [ecuación (32.5)], se encuentra (onda electromagnética en el vacío) (32.8) De esta forma, la onda que hemos supuesto obedece la ley de Ampère sólo si la rela- ción entre B, c y E es la que describe la ecuación (32.8). Nuestra onda electromagnética debe obedecer tanto la ley de Ampère como la de Faraday, de manera que las ecuaciones (32.4) y (32.8) deben satisfacerse. Esto sólo ocurre si P0m0c 5 1>c, o: (rapidez de las ondas electromagnéticas en el vacío) (32.9) Al sustituir los valores numéricos de estas cantidades, encontramos que 5 3.00 3 108 m/s c 5 1"18.85 3 10212 C2/N # m2 2 14p 3 1027 N/A2 2 c 5 1"P0 m0 B 5 P0 m0 cE Ba 5 P0 m0 Eac dFE dt 5 Eac dA S B S E S B S ) E S CBS # d lS 5 Ba d l S B S d l S . B S B S # d lS dA S CBS # d lS 5 m0 P0 dFEdt E S )B S B S O x z f a c dt e g h b) Vista superior de la situación en a) Dx E S B S dl S dl S dl S dl S dA S E 5 0 S B 5 0 S x y z ac dt h e f g a) En un tiempo dt, el frente de onda se desplaza una distancia c dt en la dirección 1x. E S E S B S B SB SB SB S B SB SB S E SE SE S 32.8 a) Aplicación de la ley de Ampère a una onda plana. (Compare con la figura 32.7a). b) En un tiempo dt, el flujo eléctrico a través del rectángulo en el plano xz se incrementa en una cantidad dFE. Este incremento es igual al flujo a través del rectángulo sombreado con área ac dt; es decir, dFE 5 Eac dt. Por lo tanto, dFE>dt 5 Eac. 1098 C APÍTU LO 32 Ondas electromagnéticas relación que describe la ecuación (32.4). Observe que si supusiéramos que estaba en la dirección z negativa, habría un signo menos adicional en la ecuación (32.4); como E, c y B son todas magnitudes positivas no habría sido posible ninguna solución. Además, ninguna componente de en la dirección y (paralela a habría contribuido al flujo magnético cambiante FB a través del rectángulo efgh (que es paralelo al pla- no xy), por lo que no sería parte de la onda. Por último, se hace un cálculo similarempleando la ley de Ampère, el miembro restante de las ecuaciones de Maxwell. No hay corriente de conducción (iC 5 0), por lo que la ley de Ampère es (32.5) Para comprobar si nuestra onda es congruente con la ley de Ampère movemos nuestro rectángulo de manera que esté sobre el plano xz, como se ilustra en la figura 32.8, y de nuevo observamos la situación en un momento en que el frente de onda haya viajado parcialmente a través del rectángulo. Tomamos el área vectorial en la di- rección 1y, y así, la regla de la mano derecha demanda que integremos en sen- tido antihorario alrededor del rectángulo. El campo es igual a cero en todos los puntos a lo largo del lado ef, y en todos los puntos sobre los lados fg y he es cero o perpendicu- lar a Sólo el lado gh, donde y son paralelos, contribuye a la integral, por lo que se obtiene (32.6) Por consiguiente, el lado izquierdo de la ley de Ampère, ecuación (32.5), es diferente de cero; el lado derecho también debe ser diferente de cero. Así, debe tener una componente y (perpendicular a para que el flujo eléctrico FE a través del rectángulo y la derivada con respecto al tiempo dFE>dt puedan ser diferentes de cero. Llegamos a la misma conclusión que inferimos a partir de la ley de Faraday: en una onda elec- tromagnética, y deben ser perpendiculares entre sí. En un intervalo de tiempo dt, el flujo eléctrico FE a través del rectángulo se incre- menta en dFE 5 E(ac dt). Como elegimos que estuviera en la dirección 1y, este cambio de flujo es positivo; la tasa de cambio del campo eléctrico es (32.7) Al sustituir las ecuaciones (32.6) y (32.7) en la ley de Ampère [ecuación (32.5)], se encuentra (onda electromagnética en el vacío) (32.8) De esta forma, la onda que hemos supuesto obedece la ley de Ampère sólo si la rela- ción entre B, c y E es la que describe la ecuación (32.8). Nuestra onda electromagnética debe obedecer tanto la ley de Ampère como la de Faraday, de manera que las ecuaciones (32.4) y (32.8) deben satisfacerse. Esto sólo ocurre si P0m0c 5 1>c, o: (rapidez de las ondas electromagnéticas en el vacío) (32.9) Al sustituir los valores numéricos de estas cantidades, encontramos que 5 3.00 3 108 m/s c 5 1"18.85 3 10212 C2/N # m2 2 14p 3 1027 N/A2 2 c 5 1"P0 m0 B 5 P0 m0 cE Ba 5 P0 m0 Eac dFE dt 5 Eac dA S B S E S B S ) E S CBS # d lS 5 Ba d l S B S d l S . B S B S # d lS dA S CBS # d lS 5 m0 P0 dFEdt E S )B S B S O x z f a c dt e g h b) Vista superior de la situación en a) Dx E S B S dl S dl S dl S dl S dA S E 5 0 S B 5 0 S x y z ac dt h e f g a) En un tiempo dt, el frente de onda se desplaza una distancia c dt en la dirección 1x. E S E S B S B SB SB SB S B SB SB S E SE SE S 32.8 a) Aplicación de la ley de Ampère a una onda plana. (Compare con la figura 32.7a). b) En un tiempo dt, el flujo eléctrico a través del rectángulo en el plano xz se incrementa en una cantidad dFE. Este incremento es igual al flujo a través del rectángulo sombreado con área ac dt; es decir, dFE 5 Eac dt. Por lo tanto, dFE>dt 5 Eac. 13 Para satisfacer ambos ley, de Faraday y Ampère, necesitamos que al mismo tiempo E B = c y E B = 1 ε0µ0c Esto implica que c2 = 1 ε0µ0 es decir: (13.8) c = 1 ε0µ0 A substituir los valores numéricos de estas cantidades encontramos que c = 1 8.85 ×10−12 C 2 N ⋅m2 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 4π ×10−7 N A2 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ≈ 3.00 ×108 m s El modelo de onda plana es congruente con todas las ecuaciones de Maxwell, siempre y cuando su frente de onda se desplace con la rapidez de la luz Propiedades clave de las ondas electromagnéticas El modelo sencillo de onda plana ilustra varias características importantes de todas las ondas electromagnéticas: • La onda es transversal: o Tanto E como B son perpendiculares a la dirección de propagación de la onda o Los campos eléctrico y magnético también son perpendiculares entre sí o La dirección de propagación es la dirección del producto vectorial E × B • Hay una razón definida entre las magnitudes E y B: E = cB o La onda viaja en el vacío con rapidez definida e invariable • A diferencia de las ondas mecánicas, que necesitan de partículas oscilantes de un medio para transmitirse, las ondas electromagnéticas no requieren un medio o Lo que “ondula” en una onda electromagnética son los campos eléctricos y magnéticos mismo 32 .2 Ondas electromagnéticas planas y rapidez de la luz 1099 La onda que supusimos es congruente con todas las ecuaciones de Maxwell, siempre y cuando su frente de onda se desplace con la rapidez indicada, la cual reconocemos de inmediato como ¡la rapidez de la luz! Observe que el valor exacto de c está defini- do como 299,792,458 m>s; el valor moderno de P0 se define de manera que concuerde con esto cuando se utiliza en la ecuación (32.9) (véase la sección 21.3). Propiedades clave de las ondas electromagnéticas Para nuestro estudio elegimos una onda simple con la finalidad de evitar complicacio- nes matemáticas, pero este caso especial ilustra varias características importantes de todas las ondas electromagnéticas: 1. La onda es transversal; tanto como son perpendiculares a la dirección de propagación de la onda. Los campos eléctrico y magnético también son per- pendiculares entre sí. La dirección de propagación es la dirección del producto vectorial (figura 32.9). 2. Hay una razón definida entre las magnitudes de y 3. La onda viaja en el vacío con rapidez definida e invariable. 4. A diferencia de las ondas mecánicas, que necesitan de partículas oscilantes de un medio —como el agua o aire— para transmitirse, las ondas electromagnéti- cas no requieren un medio. Lo que “ondula” en una onda electromagnética son los campos eléctricos y magnéticos. Podemos generalizar este análisis a una situación más realista. Suponga que tene- mos varios frentes de onda en forma de planos paralelos perpendiculares al eje x, todos los cuales se desplazan hacia la derecha con rapidez c. Imagine que los campos y son iguales en todos los puntos dentro de una sola región comprendida entre dos pla- nos, pero que los campos difieren de una región a otra. La onda en su conjunto es plana, pero en ella los campos varían por etapas a lo largo del eje x. Se podría construir una onda de este tipo sobreponiendo varias de las ondas de etapa sencilla que acabamos de estudiar (ilustradas en la figura 32.5). Esto es posible porque los campos y obedecen el principio de superposición en las ondas de la misma forma que en las si- tuaciones estáticas: cuando dos ondas se superponen, el campo total en cada punto es la suma vectorial de los campos de las ondas individuales, y de manera similar para el campo total. Podemos ampliar lo anterior para demostrar que una onda con campos que varían por etapas también es congruente con las leyes de Ampere y Faraday, siempre y cuando todos los frentes de onda se desplacen con la rapidez c dada por la ecuación (32.9). En el límite en que las etapas individuales se hacen infinitesimalmente pequeñas, se tiene una onda en la que, en cualquier instante, los campos y varían continua- mente a lo largo del eje x. Todo el patrón del campo se traslada hacia la derecha con rapidez c. En la sección 32.3 se considerarán ondas en las que y son funciones si- nusoidales de x y t. Como en cada punto las magnitudes de y estánrelacionadas de acuerdo con E 5 cB, las variaciones periódicas de los dos campos en cualquier onda periódica viajera deben estar en fase. Las ondas electromagnéticas tienen la propiedad de polarización. En el análisis anterior, la asignación de la dirección y para fue arbitraria. De igual manera podríamos haber especificado el eje z para en tal caso, habría estado en la dirección 2y. Se dice que una onda en la que siempre es paralelo a cierto eje está polarizada linealmente a lo largo de ese eje. Más en general, cualquier onda que viaje en la di- rección x se puede representar como una superposición de ondas polarizadas lineal- mente en las direcciones y y z. En el capítulo 33 estudiaremos la polarización con más detalle, con especial atención a la polarización de la luz. *Deducción de la ecuación de onda electromagnética A continuación se presenta otra deducción de la ecuación (32.9) que describe la rapidez de las ondas electromagnéticas. Tiene más profundidad matemática que el tratamiento anterior, pero incluye una deducción de la ecuación de onda para las ondas electro- magnéticas. Esta parte de la sección puede omitirse sin perder continuidad en el estudio del capítulo. E S B S E S ; E S B S E S B S E S B S E S B S E S E S B S E S B S E S B S : E 5 cB.E S E S 3 B S B S E S z y x c O 908 Dirección de propagación 5 dirección de E 3 B. E S S S S S B S Regla de la mano derecha para una onda electromagnética Apunte el pulgar de su mano derecha en la dirección de propagación de la onda. Imagine que hace girar 90° el campo vectorial E en el sentido en que se doblan sus dedos. Ésa es la dirección del campo B. 1 1 2 2 32.9 La regla de la mano derecha para las ondas electromagnéticas relaciona las direcciones de y con la dirección de propagación. B S E S 14 Deducción matemática de la ecuación de onda electromagnética Consideramos una onda plana donde a cada instante Ey y Bz son uniformes en la totalidad de cualquier plano perpendicular al eje x, la dirección del la propagación de la energía Dejamos que Ey y Bz viarién continuamente a medida que se avanza sobre el eje x – en esta condición ambas son funciones de x y t: Ey x,t( ) y Bz x,t( ) Consideremos los valores de Ey y Bz en dos planos en dos planos perpendiculares al eje x y otro en x + Δx( ) Aplicamos la ley de Faraday a un rectángulo que yace paralelo al plano xy (a) • El extremo izquierdo gh del rectángulo esta en la posición x y el extremo derecho ef se localiza en la posición x + Δx( ) • En el instante t los valores de Ey en estos dos lados son Ey x,t( ) y Ey x + Δx,t( ) respectivamente Cuando aplicamos la ley de Faraday (sentido anti-‐horario) a este rectángulo encontramos que: (13.9) E ⋅d l∫ = −Ey x,t( )a + Ey x + Δx,t( )a = a Ey x + Δx,t( )− Ey x,t( )⎡⎣ ⎤⎦ Para determinar el flujo magnético ΦB a través de este rectángulo se supone que Δx es suficientemente pequeño como para que Bz sea casi uniforme en todo el rectángulo • En este caso ΦB = Bz x,t( )A = Bz x,t( )aΔx Por lo que: (13.10) dΦB dt = ∂Bz x,t( ) ∂t aΔx 1100 C APÍTU LO 32 Ondas electromagnéticas En nuestro análisis de las ondas mecánicas en la sección 15.3, demostramos que una función y(x, t), la cual representa el desplazamiento de cualquier punto en una onda mecánica que viaja a lo largo del eje x, debe satisfacer la ecuación diferencial (15.12): (32.10) Esta ecuación se llama ecuación de onda, y v es la rapidez de propagación de la onda. Para deducir la ecuación correspondiente para una onda electromagnética, consi- deramos una vez más una onda plana. Es decir, suponemos que en cada instante, Ey y Bz son uniformes en la totalidad de cualquier plano perpendicular al eje x, la dirección de propagación. Pero ahora dejamos que Ey y Bz varíen continuamente a medida que se avanza sobre el eje x; en esas condiciones, ambas son funciones de x y t. Conside- remos los valores de Ey y Bz en dos planos perpendiculares al eje x, uno en x y otro en x 1 Dx. Siguiendo el mismo procedimiento anterior, aplicamos la ley de Faraday a un rec- tángulo que yace paralelo al plano xy, como se ilustra en la figura 32.10. Esta figura es similar a la 32.7. El extremo izquierdo gh del rectángulo está en la posición x, y el extremo derecho ef se localiza en la posición (x 1 Dx). En el instante t, los valores de Ey en estos dos lados son Ey(x, t) y Ey(x 1 Dx, t), respectivamente. Cuando aplicamos la ley de Faraday a este rectángulo, encontramos que en vez de como antes, tenemos (32.11) Para determinar el flujo magnético FB a través de este rectángulo, se supone que Dx es suficientemente pequeño como para que Bz sea casi uniforme en todo el rectán- gulo. En ese caso, FB 5 Bz(x, t)A 5 Bz(x, t)a Dx, y Se utiliza notación de derivadas parciales porque Bz es función tanto de x como de t. Al sustituir esta expresión y la ecuación (32.11) en la ley de Faraday, ecuación (32.1), se obtiene Por último, imaginemos que el rectángulo se encoge hasta quedar como una astilla, de manera que Dx tiende a cero. Cuando se toma el límite de esta ecuación como Dx S 0, se obtiene (32.12) Esta ecuación demuestra que si hay una componente Bz del campo magnético que va- ría con el tiempo, también debe haber una componente Ey del campo eléctrico que se modifica con x, y a la inversa. Por el momento dejaremos a un lado esta ecuación, pero volveremos a ella dentro de poco. A continuación se aplica la ley de Ampère al rectángulo que se ilustra en la figu- ra 32.11. La integral de línea se convierte en (32.13) Suponiendo una vez más que el rectángulo es angosto, tomamos como aproximación del flujo eléctrico FE a través de él la expresión FE 5 Ey(x, t)A 5 Ey(x, t)a Dx. Por lo tanto, la tasa de cambio de FE, que necesitamos para la ley de Ampère, es dFE dt 5 'Ey 1 x, t 2 't a Dx CBS # d lS 5 2Bz 1 x 1 Dx, t 2a 1 Bz 1 x, t 2ar BS # d lS 'Ey 1 x, t 2 'x 5 2 'Bz 1 x, t 2 't Ey 1 x 1 Dx, t 2 2 Ey 1 x, t 2 Dx 5 2 'Bz 't a 3Ey 1 x 1 Dx, t 2 2 Ey 1 x, t 2 4 5 2 'Bz't a Dx dFB dt 5 'Bz 1 x, t 2 't a Dx 5 a 3Ey 1 x 1 Dx, t 2 2 Ey 1 x, t 2 4 CES # d lS 5 2Ey 1 x, t 2a 1 Ey 1 x 1 Dx, t 2a r ES # d lS 5 2Ea '2y 1 x, t 2 'x2 5 1 v2 '2y 1 x, t 2 't2 O y z xe a) f g h a x Dx O E SE S E S B S B SB S O x y f a Dx e g h b) Vista lateral de la situación en a) EyEy A S 32.10 Ley de Faraday aplicada a un rectángulo con altura a y anchura Dx paralelo al plano xy. y z x e a) h x Dx O a g f O E S B S E S B S O x z f a e g h b) Vista superior de la situación en a) BzBz Dx A S 32.11 Ley de Ampère aplicada a un rectángulo con altura a y anchura Dx paralelo al plano xz. 1100 C APÍTU LO 32 Ondas electromagnéticas En nuestro análisis de las ondas mecánicas en la sección 15.3, demostramos que una función y(x, t), la cual representa el desplazamiento de cualquier punto en una onda mecánica que viaja a lo largo del eje x, debe satisfacer la ecuación diferencial (15.12): (32.10) Esta ecuación se llama ecuación de onda, y v es la rapidez de propagación de la onda. Para deducir la ecuación correspondiente para una onda electromagnética, consi- deramos una vez más una onda plana. Es decir, suponemos que en cada instante, Ey y Bz son uniformes en la totalidad de cualquier planoperpendicular al eje x, la dirección de propagación. Pero ahora dejamos que Ey y Bz varíen continuamente a medida que se avanza sobre el eje x; en esas condiciones, ambas son funciones de x y t. Conside- remos los valores de Ey y Bz en dos planos perpendiculares al eje x, uno en x y otro en x 1 Dx. Siguiendo el mismo procedimiento anterior, aplicamos la ley de Faraday a un rec- tángulo que yace paralelo al plano xy, como se ilustra en la figura 32.10. Esta figura es similar a la 32.7. El extremo izquierdo gh del rectángulo está en la posición x, y el extremo derecho ef se localiza en la posición (x 1 Dx). En el instante t, los valores de Ey en estos dos lados son Ey(x, t) y Ey(x 1 Dx, t), respectivamente. Cuando aplicamos la ley de Faraday a este rectángulo, encontramos que en vez de como antes, tenemos (32.11) Para determinar el flujo magnético FB a través de este rectángulo, se supone que Dx es suficientemente pequeño como para que Bz sea casi uniforme en todo el rectán- gulo. En ese caso, FB 5 Bz(x, t)A 5 Bz(x, t)a Dx, y Se utiliza notación de derivadas parciales porque Bz es función tanto de x como de t. Al sustituir esta expresión y la ecuación (32.11) en la ley de Faraday, ecuación (32.1), se obtiene Por último, imaginemos que el rectángulo se encoge hasta quedar como una astilla, de manera que Dx tiende a cero. Cuando se toma el límite de esta ecuación como Dx S 0, se obtiene (32.12) Esta ecuación demuestra que si hay una componente Bz del campo magnético que va- ría con el tiempo, también debe haber una componente Ey del campo eléctrico que se modifica con x, y a la inversa. Por el momento dejaremos a un lado esta ecuación, pero volveremos a ella dentro de poco. A continuación se aplica la ley de Ampère al rectángulo que se ilustra en la figu- ra 32.11. La integral de línea se convierte en (32.13) Suponiendo una vez más que el rectángulo es angosto, tomamos como aproximación del flujo eléctrico FE a través de él la expresión FE 5 Ey(x, t)A 5 Ey(x, t)a Dx. Por lo tanto, la tasa de cambio de FE, que necesitamos para la ley de Ampère, es dFE dt 5 'Ey 1 x, t 2 't a Dx CBS # d lS 5 2Bz 1 x 1 Dx, t 2a 1 Bz 1 x, t 2ar BS # d lS 'Ey 1 x, t 2 'x 5 2 'Bz 1 x, t 2 't Ey 1 x 1 Dx, t 2 2 Ey 1 x, t 2 Dx 5 2 'Bz 't a 3Ey 1 x 1 Dx, t 2 2 Ey 1 x, t 2 4 5 2 'Bz't a Dx dFB dt 5 'Bz 1 x, t 2 't a Dx 5 a 3Ey 1 x 1 Dx, t 2 2 Ey 1 x, t 2 4 CES # d lS 5 2Ey 1 x, t 2a 1 Ey 1 x 1 Dx, t 2a r ES # d lS 5 2Ea '2y 1 x, t 2 'x2 5 1 v2 '2y 1 x, t 2 't2 O y z xe a) f g h a x Dx O E SE S E S B S B SB S O x y f a Dx e g h b) Vista lateral de la situación en a) EyEy A S 32.10 Ley de Faraday aplicada a un rectángulo con altura a y anchura Dx paralelo al plano xy. y z x e a) h x Dx O a g f O E S B S E S B S O x z f a e g h b) Vista superior de la situación en a) BzBz Dx A S 32.11 Ley de Ampère aplicada a un rectángulo con altura a y anchura Dx paralelo al plano xz. 15 Al substituir esta expresión en la ley de Faraday obtenemos que: a Ey x + Δx,t( )− Ey x,t( )⎡⎣ ⎤⎦ = − ∂Bz x,t( ) ∂t aΔx⇒ ⇒ Ey x + Δx,t( )− Ey x,t( )⎡⎣ ⎤⎦ Δx = − ∂Bz x,t( ) ∂t Tomando el limite: lim Δx→0 Ey x + Δx,t( )− Ey x,t( )⎡⎣ ⎤⎦ Δx = ∂Ey x,t( ) ∂x esto nos da que: (13.11) ∂Ey x,t( ) ∂x = − ∂Bz x,t( ) ∂t • Esta ecuación demuestra que si hay una componente Bz del campo magnético que varía con el tiempo, también debe haber una componente Ey del campo eléctrico que se modifica con x, y a la inversa Vamos ahora aplicar la ley de Ampère al rectángulo mostrado abajo en (a) La integral de línea se convierte en: (13.12) B ⋅d l∫ = −Bz x + Δx,t( )a + Bz x,t( )a = −a Bz x + Δx,t( )− Bz x,t( )⎡⎣ ⎤⎦ Y para el flujo eléctrico, suponiendo el rectángulo angosto (13.13) dΦE dt = ∂Ey x,t( ) ∂t aΔx 1100 C APÍTU LO 32 Ondas electromagnéticas En nuestro análisis de las ondas mecánicas en la sección 15.3, demostramos que una función y(x, t), la cual representa el desplazamiento de cualquier punto en una onda mecánica que viaja a lo largo del eje x, debe satisfacer la ecuación diferencial (15.12): (32.10) Esta ecuación se llama ecuación de onda, y v es la rapidez de propagación de la onda. Para deducir la ecuación correspondiente para una onda electromagnética, consi- deramos una vez más una onda plana. Es decir, suponemos que en cada instante, Ey y Bz son uniformes en la totalidad de cualquier plano perpendicular al eje x, la dirección de propagación. Pero ahora dejamos que Ey y Bz varíen continuamente a medida que se avanza sobre el eje x; en esas condiciones, ambas son funciones de x y t. Conside- remos los valores de Ey y Bz en dos planos perpendiculares al eje x, uno en x y otro en x 1 Dx. Siguiendo el mismo procedimiento anterior, aplicamos la ley de Faraday a un rec- tángulo que yace paralelo al plano xy, como se ilustra en la figura 32.10. Esta figura es similar a la 32.7. El extremo izquierdo gh del rectángulo está en la posición x, y el extremo derecho ef se localiza en la posición (x 1 Dx). En el instante t, los valores de Ey en estos dos lados son Ey(x, t) y Ey(x 1 Dx, t), respectivamente. Cuando aplicamos la ley de Faraday a este rectángulo, encontramos que en vez de como antes, tenemos (32.11) Para determinar el flujo magnético FB a través de este rectángulo, se supone que Dx es suficientemente pequeño como para que Bz sea casi uniforme en todo el rectán- gulo. En ese caso, FB 5 Bz(x, t)A 5 Bz(x, t)a Dx, y Se utiliza notación de derivadas parciales porque Bz es función tanto de x como de t. Al sustituir esta expresión y la ecuación (32.11) en la ley de Faraday, ecuación (32.1), se obtiene Por último, imaginemos que el rectángulo se encoge hasta quedar como una astilla, de manera que Dx tiende a cero. Cuando se toma el límite de esta ecuación como Dx S 0, se obtiene (32.12) Esta ecuación demuestra que si hay una componente Bz del campo magnético que va- ría con el tiempo, también debe haber una componente Ey del campo eléctrico que se modifica con x, y a la inversa. Por el momento dejaremos a un lado esta ecuación, pero volveremos a ella dentro de poco. A continuación se aplica la ley de Ampère al rectángulo que se ilustra en la figu- ra 32.11. La integral de línea se convierte en (32.13) Suponiendo una vez más que el rectángulo es angosto, tomamos como aproximación del flujo eléctrico FE a través de él la expresión FE 5 Ey(x, t)A 5 Ey(x, t)a Dx. Por lo tanto, la tasa de cambio de FE, que necesitamos para la ley de Ampère, es dFE dt 5 'Ey 1 x, t 2 't a Dx CBS # d lS 5 2Bz 1 x 1 Dx, t 2a 1 Bz 1 x, t 2ar BS # d lS 'Ey 1 x, t 2 'x 5 2 'Bz 1 x, t 2 't Ey 1 x 1 Dx, t 2 2 Ey 1 x, t 2 Dx 5 2 'Bz 't a 3Ey 1 x 1 Dx, t 2 2 Ey 1 x, t 2 4 5 2 'Bz't a Dx dFB dt 5 'Bz 1 x, t 2 't a Dx 5 a 3Ey 1 x 1 Dx, t 2 2 Ey 1 x, t 2 4 CES # d lS 5 2Ey 1 x, t 2a 1 Ey 1 x 1 Dx, t 2a r ES # d lS 5 2Ea '2y 1 x, t 2 'x2 5 1 v2 '2y 1 x, t 2 't2 O y z xe a) f g h a x Dx O E SE S E S B S B SB S O x y f a Dx e g h b) Vista lateral de la situación en a) EyEy A S 32.10 Ley de Faraday aplicada a un rectángulo con altura a y anchura Dx paralelo al plano xy. y z x e a) h x Dx O a g f O E S B S E S B S O x z f a e g h b) Vista superior de la situación en a) BzBz Dx A S 32.11 Ley de Ampère aplicada a un rectángulo con altura a y anchura Dx paralelo al plano xz. 1100 C APÍTU LO 32 Ondas electromagnéticas En nuestro análisis de las ondas mecánicas en la sección 15.3, demostramos que una función y(x, t), la cual representa el desplazamiento de cualquier punto en una onda mecánica que viaja a lo largo del eje
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