estructura_metalica_(celda_unitaria)

Vista previa del material en texto

UNIVERSIDAD DEL BÍO BÍO 
FACULTAD DE INGENIERIA 
DEPARTAMENTO DE MECANICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Tema : Las Estructuras Metálicas: La Celda Unitaria 
 Capítulo II : Richard A. Flinn – Paul Trojan 
 Profesor : Federico Grossmann. 
UBB / DIMEC Materiales 
2.1 Generalidades 
 
En este capítulo comenzamos nuestro estudio de los materiales Metálicos. Las 
estructuras de estos materiales son más sencillas que las de los cerámicos 0 los plásticos, pero 
lo que aprendamos sobre las características básicas de las estructuras metálicas será muy 
valioso para la comprensión de los otros materiales. Para obtener un conocimiento básico de 
cualquier material, no es suficiente mirarlo simplemente en el microscopio. Después de todo, las 
bases fundamentales son los átomos en sí, de modo que es necesario comenzar con algunas 
propiedades atómicas. Luego, encontraremos que los átomos están agrupados en celdas 
unitarias, y que al unir millones de celdas unitarias, obtendremos los granos que se ven bajo el 
microscopio. La comprensión de la estructura de los granos es importante puesto que una pieza 
metálica no se estira uniformemente como un pedazo de melcocha; se estira por la deformación 
de los granos individuales. Las propiedades de un metal son diferentes según las diversas 
direcciones en el grano. Por lo tanto, comenzaremos con un corto repaso de las propiedades de 
los átomos metálicos. Posteriormente, después de analizar la geometría de las celdas unitarias, 
examinaremos las celdas unitarias metálicas y la función que tienen en la estructura de los 
granos. También comenzaremos nuestro estudio de las aleaciones, que son simplemente los 
materiales que se producen cuando se añade uno o más elementos a un elemento metálico (sin 
formar un compuesto covalente o iónico), por ejemplo, el cobre más un 30% de zinc da una 
aleación que conocemos comúnmente como latón. 
 
2.2 Átomos metálicos 
 
Las propiedades de un átomo metálico están determinadas, en gran parte, por el número 
de electrones que están alrededor del núcleo y por su organización. Recordemos que el número 
atómico nos indica el número de electrones en órbita alrededor del núcleo y que el núcleo tiene 
una carga positiva que balancea la carga negativa de los electrones. 
Aun los primeros investigadores comprendieron que los electrones poseían energías 
diferentes y que rotaban a diversas distancias del núcleo. Estos científicos trazaron bosquejos 
sencillos del átomo mostrando los electrones en anillos o capas de diferentes niveles de 
energía, tal como se ilustra en la fig. 2.1 para el magnesio (número atómico = 12). Es 
importante repasar este concepto primario, puesto que todavía se emplea parte de la 
nomenclatura. Por ejemplo, a la capa o anillo más cercano al núcleo aún la llamamos capa K, a 
la siguiente la llamamos capa L y así sucesivamente (Fig. 1.2a). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.1 Concepción antigua de la estructura atómica del magnesio (número atómico = 12). 
Las letras en las capas indican el número de electrones por capa. 
 
UBB / DIMEC Materiales 
Sin embargo, investigadores posteriores encontraron diferencias en la energía y en el 
"spin" entre electrones de la misma capa. En consecuencia, se hizo necesario Asignar cuatro 
números cuánticos a cada electrón en lugar de indicar simplemente la capa en la cual éste se 
encontraba. 
En palabras sencillas, podemos decir que si queremos localizar un objeto en el espacio, 
por ejemplo, un electrón, necesitamos tres coordenadas y una cuarta si queremos definir la 
dirección del "spin". La explicación teórica se encuentra en la teoría cuántica, la cual es mucho 
más compleja. Los símbolos de esos cuatro números son: 
 
n : El número cuántico principal, n, indica la capa o anillo. La numeración comienza con el 
anillo interior. Así, para los electrones en la capa K, n = 1, para la capa L, n = 2 y así 
sucesivamente. 
l : El segundo número cuántico l, está limitado por el valor de n y debe ser un entero positivo 
igual o menor que n - 1. En consecuencia, en la segunda capa de magnesio n = 2, mientras 
que 1 puede tener los valores de 1 ó 0. 
ml : El tercer número cuántico, m,, es igual o menor que 1, pero puede ser positivo o negativo. 
Por lo tanto, en la segunda capa de magnesio m puede tener los valores de + 1, 0, ó - 1. 
 
ms : El cuarto número cuántico, m,, puede tener solamente valores de + ½ ó –1/2. Este número 
indica la dirección del "spin" del electrón. En el capítulo 15 veremos que las propiedades 
magnéticas están básicamente relacionadas con el "spin". 
 
 Con un concepto adicional podemos proceder a desarrollar los números 
cuánticos de los electrones del magnesio a manera de ejemplo. El postulado de Pauli establece 
que dos electrones no pueden tener los mismos cuatro números cuánticos. 
Manteniendo esto en mente, podemos escribir los números cuánticos para los 12 
electrones del magnesio comenzando con el anillo interior n 1, de la siguiente manera. 
 
 
 
 
Número del Nomenclatura 
electrón n l ml ms abreviada 
 
 1 1 0 0 +1/2 1S2 
 2 1 0 0 -1/2 
 
 3 2 0 0 +1/2 2S2 
 4 2 0 0 -1/2 
 
 5 2 1 1 +1/2 
 6 2 1 0 +1/2 
 7 2 1 +l +1/2 Sp6 
 8 2 1 -1 -1/2 
 9 2 1 0 -1/2 
 10 2 1 +l -1/2 
 
11 3 0 0 +1/2 3S2 
12 3 0 0 -1/2 
 
 
Como lo explicamos en el prefacio, la línea vertical al lado derecho indica material opcional. 
 
 
UBB / DIMEC Materiales 
Obsérvese que también hemos dado una notación abreviada que es la que se emplea 
frecuentemente como notación taquigráfica para los números cuánticos más complejos. El 
primer número es el número cuántico primero o principal y las letras s, p, etc., señalan el valor 
de 1, así: 
 
 l = 0 1 2 3 4 5 
 Letra = s p d f g h 
Máximo número de electrones = 2 6 10 14 18 22 
 
El exponente nos indica el número de electrones de este tipo que se encuentran 
presentes. 
Así, utilizamos las abreviaturas 1S2,2S2, 2p6, 3S2, para indicar dos electrones n = 1, l 
= 0, dos electrones n = 2, l = 0, seis electrones n = 2, 1 = 1; y dos electrones n = 3, 1 = 0. 
Una regla adicional consiste en que en los electrones p, d y f hallarnos primero el número 
máximo de spins positivos y luego los spins negativos, en cambio de alternar las direcciones. 
Por ejemplo, los electrones 5, 6 y 7, todos tienen s = + ½ (denominada regla de Hund). 
 
 
 
2.3 La tabla periódica 
 
Es importante la revisión de los números cuánticos de los electrones porque constituye 
parte de los fundamentos de la tabla periódica, Tabla 2.2. Esta tabla se obtiene colocando los 
elementos con n = 1 (hidrógeno y helio) en la primera fila, aquellos con n = 2 en la siguiente fila 
y así sucesivamente. La tabla es muy valiosa en el desarrollo práctico de los materiales 
metálicos debido a la interrelación de los elementos en la misma columna y, en algunos casos, 
en la misma fila. Veamos algunos ejemplos: 
 
La primera columna vertical, grupo la, (omite el hidrógeno, que es un caso especial), 
está conformada por metales muy activos que van del litio al francio. Esta capacidad de 
reaccionar se debe al hecho de que todos tienen un electrón débilmente sostenido en su capa 
externa. Todos ellos reaccionan rápidamente con el oxígeno (que posee una alta afinidad para 
ganar electrones y completar ocho electrones en su capa externa). Por esta razón se utilizan 
para eliminar el oxígeno indeseable de las fundiciones líquidas de otros metales. Por ejemplo, el 
litio se añade al cobre líquido para eliminar el oxígeno, considerado una ímpuereza y así 
producir una estructura de cobre pura con una altá conductividad eléctrica. 
 
La tendencia relativa de un elemento para ganar un electrón se expresa por medio de un 
factor llamado electronegatividad. Como es de esperar, los metales activos poseen los valores 
más bajos, como lo muestra la Tabla 2.3. Podemos afirmar también que estos metalesson 
fuertemente electropositivos. En general, la electronegatividad disminuye a medida que 
aumenta el número total de electrones en la columna vertical, debido a que los electrones 
externos están más alejados del núcleo positivo. La electronegatividad también aumenta a 
medida que avanzamos a través de la tabla, debido a que a mayor número de electrones en la 
capa externa, mayor es la atracción hacia otros electrones, hasta lograr un grupo estable de 
ocho electrones (dos para el helío). 
 
UBB / DIMEC Materiales 
La segunda columna, grupo 2a, contiene elementos con dos electrones en la capa 
externa, débilmente atraídos. Estos elementos son ligeramente menos activos que los del grupo 
la. Sin embargo, el magnesio puede protegerse con un recubrimiento apropiado o añadiéndole 
otros elementos. Se utiliza extensamente aunque puede reaccionar en su estado puro. Por 
ejemplo, el bloque del motor de un automóvil Volkswagen se fabrica principalmente con 
magnesio. 
Del grupo 3b al grupo 8 encontramos el primer grupo de materiales de transición 
(números atómicos 21 al 28). En este intervalo, los cambios en los electrones ocurren en las 
capas internas. En los casos comunes (potasio y calcio) el nivel 4s se llena antes que el nivel 
3d. 
 
 
 
EJEMPLO 2.1 [Cl] ¿Cuál es la configuración electrónica (notación abreviada) para los 
tres elementos de transición: vanadio (número atómico = 23), hierro (número atómico 
= 26) y níquel (número atómico = 28)? 
RESPUESTA Por definición, los elementos de transición son aquellos que llenan 
parcialmente las capas 3d, pero estas capas 3d no son externas. Estos elementos 
tienen propiedades similares. 
 
V 1S2 , 2S2 , 2p6 , 3S2 , 3p6 , 3d3 , 4S2 
Fe 1S2 , 2S2 , 2p6 , 3S2 , 3p6 , 3d6 , 4S2 
Ni 1S2 , 2S2 , 2p6 , 3S2 , 3p6 , 3d8 , 4S2 
 
Cuando un metal se ioniza, pierde los electrones de la capa externa, lo cual para 
estos elementos de transición serían los electrones 4s. Luego 
 
 
Ni2+ 1S2 , 2S2, 2p6, 3S2, 3p6, 3d8 
 
 
 
 
Los elementos de la llamada serie de los lantánidos de las tierras raras, que van del 
cerio (número atómico = 58) al lutecio (número atómico = 71), son aún más semejantes que los 
metales de transición, debido a que los únicos cambios en los electrones ocurren en la segunda 
capa debajo de la capa externa. Es decir, que los niveles 5p y 6s se llenan primero y luego se 
llenan los niveles 4f. Como el nivel 4f puede contener 14 electrones, existen 14 tierras raras. 
Todas poseen propiedades típicamente metálicas y su utilización va en aumento. El cerio, por 
ejemplo, se utiliza en las piedras de chispa de los encendedores y en la producción de una 
nueva aleación de fundición llamada "hierro dúctil". El europio tiene propiedades de emisión 
únicas, que lo hacen útil en los tubos de televisión. El samario se alea con el cobalto para 
formar los imanes permanentes más fuertes que se conocen. 
 
El grupo 1b contiene los metales nobles como el cobre, la plata y el oro. A pesar de que 
la capa exterior de estos metales contiene únicamente un electrón, este electrón está atraído 
fuertemente porque está cercano al nivel de energía de los electrones 3d y tiende a asociarse 
con los otros electrones, Por ejemplo, la estructura electrónica del cobre es 1S2, 2S2,2p6, 3s2, 
3p6, 3d10 4s1 y el electrón 4s está cerca del electrón 3d. En contraste, en los metales alcalinos 
del grupo la, la capa anterior al último electrón s es un grupo muy estable de ocho o dos 
electrones y el electrón externo está atraído débilmente. 
UBB / DIMEC Materiales 
 
 Por la misma razón, los elementos del grupo 2b, zinc, cadmio y mercurio son más 
estables que los del grupo 2a, tales como el magnesio y el calcio, que tienen una capa de ocho 
electrones debajo de los electrones exteriores. El zinc se usa mucho en la fundición a presión 
para piezas de automóviles. 
 
El elemento más importante del grupo 3a es el aluminio. A pesar de que sus tres 
electrones exteriores se atraen débilmente, (hay una capa de ocho electrones debajo), 
haciéndolo muy reactivo. Se utiliza ampliamente como material de construcción. Veremos en el 
capítulo 12 que este uso exitoso del aluminio depende de la formación de una película adhesiva 
de óxido de aluminio que lo protege de posteriores reacciones con el aire. 
 
Por último, en el grupo 4a llegamos al final del grupo de elementos metálicos. Los 
miembros inferiores del grupo, tales como el plomo y el estaño, tienen características metálicas 
mientras que los miembros superiores, tales como el germanio y el silicio, son semiconductores 
y el carbono, en forma de diamante, tiene sólo uniones covalentes y es un aislante. 
Discutiremos este comportamiento en detalle en el capítulo 14 cuando consideremos los 
materiales para transistores. 
 
 
 
 
 
 
UBB / DIMEC Materiales 
Los elementos restantes en la tabla periódica generalmente se consideran no metálicos; no 
obstante, algunos poseen características semi-metálicas, como el antimonio y el bismuto. 
Volveremos a considerar estos elementos no metálicos cuando estudiemos los polímeros, en 
los cuales son de importancia el carbono, el nitrógeno y el oxígeno; y en los cerámicos, que se 
definen como combinaciones de elementos metálicos y no metálicos. 
Continuemos, entonces, con el tema de la celda unitaria y los granos. 
 
 
 
EJEMPLO 2.2. [CI/JI] Clasifique los elementos con números atómicos 8, 14, 19 y 29, 
analizando su estructura electrónica, de acuerdo con su carácter de metales muy 
activos, metales resistentes a la corrosión, semiconductores o no metales. 
 
RESPUESTA 
Elemento No. 8: 1s2 2s2, 2p4. Este elemento tiene seis electrones en la capa siguiente 
a la capa estable del helio de dos electrones. En consecuencia, tiende a aceptar dos 
electrones adicionales para formar una capa exterior estable de ocho electrones. 
Como el elemento es un receptor de electrones, es un no metal. El elemento es el 
oxígeno. Reacciona fácilmente con los metales para formar óxidos. 
 
Elemento No. 14: 1s2, 2 s2, 2p6, 3s2, 3p2. Este elemento tiene cuatro electrones en la 
capa del tercer número cuántico; está en un punto intermedio para llegar al número 
estable de ocho electrones. Es un semiconductor y no un conductor de electricidad 
como los metales. Puede ganar o perder cuatro electrones para obtener una 
configuración estable de ocho electrones. Por lo tanto, tiende a compartir electrones. 
Este elemento es el silicio. Sus propiedades eléctricas se estudiarán en el capítulo 14. 
 
Elemento No. 19: 1s2, 2s2, 2p6, 3s2 3p6, 4S1 Este elemento tiene una capa estable de 
ocho electrones en el tercer nivel cuántico anterior al electrón exterior. Por lo tanto, el 
electrón exterior está atraído muy levemente y el metal es muy activo. Este elemento 
es el potasio. Si se expone al agua o al aire, rápidamente forma óxido de potasio. 
 
Elemento No. 29: 1s2, 2s2, 2p6, 3s2, 3p6, 3d10 , 4s1. En este elemento la capa 4s tiene 
una capa de 18 electrones, debajo de ella, lo cual no lo hace particularmente estable. 
La energía de enlace del electrón 4s tiene un valor cercano a la de los electrones 3d 
anteriores a éste. Es decir, se sostiene fuertemente unido al núcleo. El elemento 
(cobre) es bastante resistente a la corrosión (no reacciona), El cobre puede ceder un 
electrón 3d adicionalmente al electrón 4s para formar el conocido ion CU2, que le da 
un color azul a las sales de cobre. Este hecho confirma aún más que las energías de 
enlace de los electrones 3d y 4s son similares. 
 
 
 
 
 
UBB / DIMEC Materiales 
2.4 Cristales y granos 
 
En lugar de describir la organización de muchos millones de átomos (1010 millones) en 
un grano, es bastante más sencillo describir la celda unitaria. De la misma manera que un 
edificio está constituido de módulos o unidades, un grano está constituido de celdas unitarias, 
idénticas. El concepto de la estructura del grano es fundamental para resolver los problemas 
que encontraremos más adelante. 
En las cavidades de las rocas encontramoscristales de cobre. La relación que existe 
entre un cristal de cobre y un grano es bastante sencillo. El grano es simplemente un cristal que 
no tiene caras lisas porque su crecimiento se restringió al entrar en contacto con otro grano con 
superficie restringente. Dentro del grano, la organización de las celdas unitarias es tan perfecta 
como lo es dentro de un cristal con caras lisas. 
Para indicar los planos que se forman al alinearse las celdas unitarias del cobre, 
hagamos un experimento sencillo. Primero cortemos una varilla pequeña de cobre de 2.5 cm de 
longitud y 0.076 X 0.076 cm cuadrados (0.76 X 0.76 mm.). Pulimos una superficie y 
encontramos que podemos observar los granos (Fig. 2.2a). 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.2 (a) Granos en una
barra pulida de cobre. (b)
Deslizamiento que ocurre
durante doblamiento. (c)
Fotomicrografía de la región x en
(a), 100 x. (d) Fotomícrografía
de la región x en (b), 100x. (e)
Fotomicrografia de la región x en
(b) 500 x. 
UBB / DIMEC Materiales 
Ahora doblemos las muestras como se ilustra en la Fig. 2.2b. Encontramos que aparecen 
líneas rectas oscuras en los granos cerca a los bordes de la muestra. Si observamos 
cuidadosamente mientras que la muestra se dobla, vemos que el metal se desplaza a 
ambos lados de las líneas o bandas oscuras por una acción de tipo cizallante o de 
deslizamiento. En el Capítulo 3 veremos que las líneas oscuras o bandas de deslizamiento 
son simplemente las intersecciones de los planos de deslizamiento con la superficie. 
Adicionalmente veremos que el plano de deslizamiento está constituido por una masa de 
átomos unidos compactamente en un plano común. Aunque los granos del borde superior 
de la muestra están sometidos a la tensión y los del borde inferior a la compresión, el 
mecanismo de deformación en ambos casos es por cizallamiento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.3 Coordenadas de los 
átomos en las posiciones de 
cara centrada en la celda 
unitaria.El átomo A que vemos 
en la celda unitaria siguiente 
tendría coordenadas 1, 0, 1. 
 
 
 
 
2.5 La celda unitaria 
 
La descripción de la celda unitaria nos permitirá explicar estos movimientos con mayor 
exactitud. Para describir la celda unitaria y más tarde el movimiento de un átomo dentro de la 
celda, necesitamos un sistema que nos permita especificar: (1) las posiciones o coordenadas 
de los átomos, (2) las direcciones dentro de la celda y (3) los planos en la celda. 
 
UBB / DIMEC Materiales 
Posición. La posición de un átomo se describe haciendo referencia a los ejes de la 
celda unitaria y a las dimensiones unitarias de la celda. Supongamos que un grano o cristal 
está constituido de celdas unitarias de dimensiones a0+, b0 y c0, ángstrom, como se ilustra en 
la Fig. 2.3. En este caso los ejes forman ángulos rectos. Para construir la celda sencillamente 
colocamos a0, el parámetro de la red en la dirección x, b0 en la dirección y y c0. en la 
dirección z. En la figura se muestran las coordenadas de varios átomos en la celda. Un átomo 
en el centro tendría coordenadas 1/2, 1/2, 1/2, mientras que un átomo en el centro de la cara 
en el plano xy tendría coordenadas 1/2, t/2, 0. Es importante notar que la coma después de 
cada coordenada espacial se refiere a los puntos en ese espacio. Estas coordenadas no están 
encerradas en paréntesis porque no queremos que las confunda con los planos, tema que 
abordaremos en una sección posterior. 
Hasta este momento hemos usado como ejemplo celdas relativamente sencillas. En la 
naturaleza encontramos 14 clases diferentes de redes cristalinas, como se ilustran en la Fig. 
2.4. Estas redes cubren las variaciones en las longitudes de a, b y e y en los ángulos entre los 
ejes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.4 Las 14 redes cristalinas y sus relaciones geométricas. Las redes continúan en 
tres dimensiones. (a) Monoclínica simple. (b) Monoclínica de extremos centrados. (c) 
Triclínica. (d) Hexagonal. (e) Rómbica. (f) Ortorrómbica simple. (g) Ortorrómbica de cuerpo 
centrado. (h) Ortorrómbica de extremos centrados. (i) Ortorrómbica de cara centrada. (j) 
Cúbica simple, (k) Cúbica de cuerpo centrado. (1) Cúbica de cara centrada. (m) Tetragonal 
simple. (n) Tetragonal de cuerpo centrado. 
 
UBB / DIMEC Materiales 
Afortunadamente, en los metales encontramos principalmente los tres tipos sencillos de 
celdas que se muestran en la Fig. 25: cúbica de cuerpo centrado (BCC), cúbica de cara 
centrada (FFC) y hexagonal compacta (HCP). Ocasionalmente se encontrarán algunas de las 
otras clases de cristales en metales y en los cerámicos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.5 Las principales estructuras cristalinas de los metales. (a) Cúbica de cara 
centrada. (b) Cúbica de cuerpo centrado. (c) Hexagonal compacta. En cada caso se 
muestra un diagrama y una fotografía de¡ modelo de esferas sólidas. 
UBB / DIMEC Materiales 
Dirección. Para especificar una dirección dentro de la celda unitaria, sencillamente 
colocamos la base de la flecha del vector con dirección al origen y seguimos su eje 
hasta encontrar coordenadas enteras (Fig. 2.6). En lugar de construir otras celdas, 
podemos usar un punto que tenga intersecciones fraccionarias en la celda unitaria y 
multiplicar por el mínimo común denominador. Por lo tanto, la dirección A es 
obviamente [111], pero B tiene coordenadas 1, 1/2, 0 en el borde de la celda. 
 
Estas coordenadas se convierten en [210]. Nótese que al especificar una 
dirección colocarnos un paréntesis cuadrado alrededor de los números para distinguir la 
dirección de la notación usada para las coordenadas (y las usadas para un plano como 
se describe más adelante). Nótese también que podemos tener índices negativos como 
se muestra en C y que los indicaremos colocando un signo negativo encima del 
número. Si queremos encontrar los índices de una dirección que no pasa a través del 
origen, sencillamente pasamos una dirección paralela a través del origen y procedemos 
en la forma descrita anteriormente. 
 
En el sistema cúbico las dimensiones de la celda unitaria son las mismas ao=bo= 
co. El orden encontrado en un conjunto de índices dado, por ejemplo [1101, 
sencillamente depende de las direcciones que escogimos para x, y y z en el cristal, ya 
que en el sistema cúbico los índices son idénticos. Con frecuencia queremos especificar 
un conjunto de direcciones que están relacionadas unas con otras, tales como [1101, 
[1011 y [0111. Estas direcciones van todas a lo largo de la diagonal de la cara del cubo. 
Para especificar estas direcciones similares, usamos paréntesis agudos y los índices de 
una sola dirección. Así <110> = [110], [101] y [011]. Las direcciones que tienen índices 
negativos, tales como [1 1 0], se consideran también parte del mismo conjunto. 
Es importante tener en cuenta que las distancias unitarias en las tres direcciones 
x, y y z son ao, bo y co respectivamente. Entonces la dirección [111] en un sistema no 
cúbico [por ejemplo, el ortorrómbico (los tres lados desiguales), en la Fig. 2.4], implica 
una dirección que comienza en las coordenadas 0, 0, 0 con la punta a una distancia ao 
en la dirección x, una distancia bo en la dirección y y una distancia co en la dirección z 
 
Plano. El método para encontrar los índices de Miller de un plano difiere del que 
describe las coordenadas y direcciones (Fig. 2.7). Se debe seguir cuidadosamente la 
secuencia que se indica a continuación: 
 
1. Se selecciona un plano en la celda unitaria que no pase a través del origen. 
Por ejemplo, para describir el plano de la cara A que pasa a través de (0, 0, 0) 
utilizamos el plano B, que pertenece al mismo conjunto de planos, ya que está 
localizado a una distancia unitaria de A. (Es decir, B tendría el mismo número 
de átomos y seria paralelo al plano original). 
2. Se anotan las intersecciones del plano como múltiplos de ao, bo y co sobre losejes x, y y z en ese orden. 
3. Se toman los recíprocos y se eliminan las fracciones. Esto da (001) para el 
Plano B*. Nótese que se usan los paréntesis en este caso para mostrar que 
estamos describiendo un plano y no una dirección. Además, los índices no están 
separados por comas como lo estaban en el caso de las posiciones de los átomos. El 
plano debe leerse como el plano "cero-cero-uno" 
UBB / DIMEC Materiales 
Siguiendo las mismas reglas, encontramos los índices para el plano c con las 
intersecciones 1, 2/3, 1/3, de la siguiente manera: recíprocos: 1, 3/2, 3. Eliminamos las 
fracciones: 2, 3, 6, ó (236) 
 Como en el caso de la direcciones, generalmente queremos especificar una familia de 
planos, tales como las caras de cubo. En este casó usamos corchete por ejemplo, 
 
{100} = (100), (010), (001) 
 
También podemos tener los valores negativos correspondiente tales como (100), 
dependiendo de la posición que hayamos escogido para el origen 0, 0 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 2.6 Especificación de las direcciones 
 
Figura 2.7 Cálculo de los Índices de Millar un plano 
 
 
 
2.6 Correlación de los datos de las celdas unitarias con las mediciones de la densidad 
 
 
Es importante ver si podemos verificar las dimensiones de la celda unitaria con datos 
utilizados en la ingeniería, tales como la densidad. Después de todo, no vamos a utilizar los 
metales en trozos del tamaño de una celda unitaria y deberíamos comprobar que las 
características de la celda unitaria guardan relación con aquellas de componentes del tamaño 
utilizado en la ingeniería. 
 
Por ejemplo, la densidad del cobre es 8.96 g/Cm3 (8.96 x 103 kg/m3 = 8.96 Mg/m3) a 20 
ºC (60 ºF). Si nuestros datos son correctos, debemos encontrar el mismo valor utilizando la 
masa de cobre contenida en el volumen de una celda unitaria. 
 
UBB / DIMEC Materiales 
La masa (M) y el volumen (V) pueden encontrarse basados en definiciones previas. 
Conocemos el peso del átomo de cobre, ya que cada peso atómico del gramo de cobre (63.5g / 
peso atómico) tiene 6.02 X 1021 átomos (número de Avogadro). El volumen de una celda 
unitaria es simplemente la dimensión de la red elevada al cubo. Antes de que podamos terminar 
estos cálculos, no obstante, debemos determinar el número de átomos que hay en una celda 
unitaria. 
La Figura 2.8 ilustra la técnica utilizada para determinar el número de átomos, que hay 
en una sola celda. Si colocáramos paredes de vidrio delgado como caras de la celda FCC, 
estas pasarían a través de los centros de los átomos en las caras y se extenderían solamente 
hasta el centro de los átomos de las esquinas. Contando las porciones de los átomos que están 
contenidos dentro de la celda, tenemos: 
 
 
6 átomos en las caras de los cuales ½ de cada uno está dentro del vidrio = 3 átomos 
8 átomos de las esquinas de los cuales de cada uno está dentro del vidrio = 1 átomo 
Total de átomos por celda unitaria = 4 átomos 
 
De manera análoga encontramos que el número de átomos por celda unitaria en una 
celda BBC es de dos, mientras que para una HCP es de seis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.8 Ilustración del número de átomos (cuatro) en una celda unitaria FCC 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UBB / DIMEC Materiales 
2.7 Otros cálculos de la celda unitaria: radio atómico, densidad plana y densidad lineal 
 
 
Radio atómico. Cuando estudiemos el diseño de aleaciones, veremos que cuando, dos 
metales se combinan, los átomos del segundo elemento pueden sustituir algunos átomos del 
elemento principal. La similitud de los dos métales regula el grado hasta el cual puede ocurrir 
esta sustitución. Una medida importante de similitud es el radio atómico que se puede calcular 
fácilmente, una vez conocidas las dimensiones de la celda unitaria. Primero, consideramos los 
átomos como si eran esferas y encontramos alguna dimensión de la celda unitaria. Primero 
consideramos los átomos como si fueran esferas y encontramos a 1o largo de la cual las 
esferas están en contacto. Podemos calcular cualquier dimensión del cubo, tal como la diagonal 
del cuerpo o de una cara por medio de la geometría y luego sencillamente dividir la figura por el 
número de radios atómicos que están presentes (Fig. 2.9). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.9 Cálculo del radio
atómico. (a) Celda unitaria FCC:
Esferas (átomos) en contacto a lo
largo de la diagonal de la cara.
(b) Celda unitaria HCP: Esferas
(átomos) en contacto a lo largo
del borde. (0 Celda unitaria BCC:
esferas (átomos) en contacto a lo
largo de la diagonal del cuerpo. 
 
 
 
 
 
UBB / DIMEC Materiales 
Densidad planar. Veremos que cuando ocurre deslizamiento bajo esfuerzo 
(deformación plástica), éste ocurre en los planos sobre los cuales los átomos están más 
densamente empacados. Para calcular la densidad planar usamos la siguiente convención. 
Si un átomo pertenece totalmente a un área dada, tal como la del átomo localizado en el 
centro de una cara en una estructura FCC, notamos que la huella de la intersección del átomo 
sobre el plano es un círculo (Fig. 2.10). Entonces, dentro del área ao2 contamos un átomo en el 
centro y un cuarto de átomo en cada una de las esquinas, ya que cada uno intercepta 
solamente un cuarto de círculo en el área a02. La densidad planar o del plano es 2/a02 (átomos 
Á2 átomos / nm 2). Debemos agregar que en estos cálculos de la densidad, una de las reglas 
básicas es que un plano o una línea debe pasar a través del centro de un átomo o no se cuenta 
el átomo en los cálculos. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.11 Cálculo de la densidad lineal
sobre la diagonal de la cara de una celda
unitaria FCC 
Figura 2.10 Cálculo de la densidad
planar, en el plano de la cara de una
celda unitaria FCC 
 
 
 
Densidad lineal. Este es un concepto importante porque cuando los planos. se deslizan 
el uno sobre el otro, el deslizamiento ocurre en la dirección del empaquetamiento más 
compacto de átomos en los planos. Se utiliza la siguiente convención para calcularla. 
Si una línea pasa completamente a través de un átomo, la huella del átomo en la línea es un 
diámetro (Fig. 2.1 l). En la cara de una celda FCC el átomo central cuenta como si fuera un 
átomo sobre la diagonal de la cara. Los átomos de las esquinas hacen huellas iguales 
únicamente a medio diámetro cada una en la línea de longitud AB. Entonces, la densidad 
lineal en la dirección AB [110] en una estructura FCC es: 
 
 
 
nm
átomosoátomos
a
átomos
a oo Α
=
Α
++
2
2
2
2
1
2
11
00
 
 
 
 
UBB / DIMEC Materiales 
Siguiendo el mismo razonamiento, la densidad lineal en una celda BCC en la dirección 
[1 1 1] es: 
 
 
nm
átomosoátomos
a oΑ3
2
0
 
 
 
(Recuerde que los átomos se tocan a lo largo de la diagonal del Cuerpo de una celda BCC). 
 
 
 
2.8 Metales hexagonales de empaquetamiento compacto 
 
 
Para describir estructuras hexagonales se requieren algunas modificaciones sencillas de 
los índices de Miller para las direcciones y los planos. Estos se denominan "índices de Miller--
Bravais" (Fig. 2.12). En lugar de tres ejes x, y, y z, utilizamos cuatro ejes: tres en el plano 
horizontal xy llamados a1, a2 y a3, los que forman entre sí un ángulo de 120 º y un cuarto eje c 
en la dirección z. Al incluir un eje adicional, es más fácil ver las relaciones que existen entre 
planos similares en la estructura hexagonal. Localicemos algunos planos usando este marco de 
referencia (Fig. 2.12a). 
 
 
Figura 2.12 (a) Índices de algunos planos en un cristal hexagonal. (b) Índices de algunas 
direcciones en un cristal hexagonal. [Part (a) from C. S. Barrett and T. B. Massalski, The 
Structure of Metals, 3d ed., McGraw-Hili, New York, 1973, Fig. 1.7, p. 12. Used with permission 
of McGraiw-Hili Book Company]. 
UBB / DIMEC Materiales 
Los planos más importantes en una celda HCP son los planos de la base. Encontrando 
las intersecciones de uno de ellos (VNIPMO D, obtenemos al a2 = ∞, a3 = ∞, C =1. Tomando los 
recíprocos como se hizo antes, encontramos que este es un plano (0001). Ahora al tomar las 
intersecciones de KK’N’N obtenemos 1, ∞, 1, ∞, ó(1010). En igual forma para KOO'K’ 
encontramos las interseccíones 1, 1, ∞, ∞, ó (1100). Para las otras caras encontramos otras 
combinaciones de 1100, y por lo tanto estos planos hacen parte de la familia {1010}. En 
términos generales, llamamos a éstos los índices de Miller-Bravais h, k, i y l y si seleccionamos 
h, k y l, entonces i no puede ser independiente y siempre es igual a -(h + k) por geometría 
vectorial. 
La notación para indicar una dirección se desarrolla usando uno de los tres ejes (al, a,, y 
c) o los cuatro ejes. Nótese nuevamente que a1 y a2 forman Un ángulo de 120 º Usaremos la 
notación sencilla de tres ejes y la Figura 2.12b indica que es igual al método explicado para el 
sistema cúbico. 
En un sistema hexagonal compacto, se encuentran átomos adicional es en la celda 
unitaria (Fig. 2.5). El empaquetamiento en el plano adicional es el mismo que en los planos 
superior e inferior a éste. Sin embargo, la secuencia de apilamiento cambia. 
 
Nota: Las estructuras HCP y FCC, poseen un empaquetamiento igual. ilustraciones de un plano 
(111) para FCC y del plano (0001) para una HCP, muestran el mismo arreglo atómico. 
Utilizando el modelo de una esfera perfecta para los átomos, encontramos que la relación C/a0 
para una HCP es 1.63, que se' puede obtener basándose en la geometría de un tetraedro 
regular. (La altura de un tetraedro regular con una longitud lateral a, es a(2/3)1/2, o sea 0.816a. 
Por lo tanto, esta es la distancia que hay del plano de la base al centro de los átomos 
compactos. La altura total de la celda HCP es dos veces este valor, es decir, 1.63a. El factor de 
empaquetamiento atómico, definido como el volumen de los átomos dividido por el volumen de 
la celda unitaria, da como resultado 0.74 tanto para la celda FCC como para la HCP ideal. Esta 
es una prueba adicional de la similitud que existe entre ellas. La similitud es importante en 
nuestros análisis posteriores sobre las razones por las cuales las estructuras FCC y HCP 
forman soluciones sólidas extensas (Sección 2.13). 
La mayoría de los metales HCP no exhiben un empaquetamiento perfecto con una 
relación C / a0 de 1.63. Los átomos en este arreglo no se comportan como esferas perfectas. 
Ejemplos de relaciones experimentales C /a0 son: Be (1.57), Ti (1.58), Mg (1.62), Zn (1.86) y Cd 
(1.89). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.13 Cálculo de a, y bo. Al hallar
las distancias entre los planos AC y
BD, se puede determinar ao. 
 
 
UBB / DIMEC Materiales 
La diferencia básica entre la estructura FCC y la HCP está en la manera como los planos 
empaquetados se apilan los unos sobre los otros. En la celda HCP, el apilamiento es ABAB.... 
mientras que en la FCC el apilamiento es ABCABC.... en donde A, B y C se refieren a las 
posiciones relativas entre capas adyacentes. 
 
 
 
RESUMEN 
 
 
Comenzamos este capítulo estudiando la naturaleza de los átomos metálicos. a partir de 
sus electrones externos y de la posición relatiya que ocupan en la tabla periódica. Luego 
consideramos la organización de los átomos en la celda unitaria y los métodos que se usan 
para describir su localización. También estudiamos las direcciones y los planos en la celda 
unitaria. Encontramos que podemos calcular la densidad dividiendo la masa de los átomos que 
hay en la celda unitaria por el volumen de la celda. Otros cálculos importantes incluyen la 
densidad lineal y planar de los átomos y el radio atómico. Describimos la forma de determinar la 
celda unitaria por medio de la difracción de rayos X y la forma de calcular el cambio de volumen 
resultante de la transformación de fase. Se consideraron los conceptos de solución sólida de 
elementos de aleación en una fase y la conformación de una nueva fase tal como un compuesto 
intermetálico. 
 
 
 
 
DEFINICIONES 
 
 
Alotropía. Es la presencia de dos o más estructuras cristalinas en la misma composición 
química. 
 
Celda unitaria. Figura geométrica que ilustra la agrupación de los átomos en un sólido. Este 
grupo o módulo se repite muchas veces en el espacio dentro de un grano o cristal. 
 
Coordenadas. La localización de un átomo en la celda unitaria. Se encuentran moviendo las 
distancias especificadas desde el origen en las direcciones x, y y z. Densidad. Es la masa 
dividida por el volumen, expresada generalmente en gramos por centímetro cúbico o 
kilogramos por metro cúbico. 
 
Densidad lineal. Número de átomos que tienen sus centros localizados en una línea de 
dirección dada dentro de una longitud dada. 
 
Densidad planar. Es el número de átomos que tienen sus centros localizados dentro de un 
área dada sobre un plano. El área planar seleccionada debe ser representativa de los grupos 
de átomos repetitivos dentro del plano. 
 
Fase. Conglomerado homogéneo de materia. En los metales sólidos los granos compuestos 
de átomos mas celdas unitarias son la misma fase. Los átomos de aleación pue en también 
estar presentes en una estructura de una fase. 
 
UBB / DIMEC Materiales 
lndices de dirección. Descripciones de la dirección en una celda unitaria; se encuentran 
trasladando la dirección para que pase a través del origen, encontrando las coordenadas de 
punto en la cual la flecha abandona la celda unitaria y eliminando las fracciones. Estos índices 
están encerrados entre paréntesis cuadrados. 
 
lndices de Miller. Descripciones de un plano que se encuentran tomando los recíprocos de 
las intersecciones del plano con los ejes x, y y z y eliminando las fracciones. Los índices de 
Miller se encierran entre paréntesis. 
 
Notación abreviada. Sistema utilizado para describir el número de electrones y sus sub 
grupos en cada capa de un átomo. 
 
Número cuántico. Número que describe la posición promedio de un electrón en la estructura 
electrónica de un elemento. 
 
Número de átomos por celda unitaria. Número que se halla conectando las esquinas de la 
celda para formar una caja imaginaria y sumando las fracciones; por ejemplo, un átomo 
colocado en una esquina de un cubo se cuenta como un octavo porque está compartido 
igualmente por ocho celdas unitarias que se unen en el centro del átomo. 
 
Radio atómico. Medida que se calcula a partir de las dimensiones de la celda, unitaria al 
encontrar una dirección en la cual los átomos están en contacto,. como por ejemplo, la diagonal 
de la cara del cubo en una estructura FCC. Como la longitud de la diagonal se puede calcular a 
partir de a, que es el parámetro de la celda unitaria, puede calcularse el radio atómico. 
 
Solución sólida. Solución que se forma cuando al agregar uno o más elementos nuevos, aún 
se mantiene una estructura de una sola fase. 
 
Solución sólida de sustitución. Solución que se forma cuando el elemento disuelto sustituye o 
reemplaza un átomo o átomos del elemento solvente en su celda unitaria. 
 
Solución sólida intersticial. Solución que se forma cuando un elemento disuelto 
 llena los huecos (intersticios) en la red del elemento solvente. 
 
Tabla Periódica. Es una agrupación tabular de los elementos ordenados de acuerdo con su 
número atómico que aumenta a medida que nos movemos de izquierda a derecha en la tabla. 
Los elementos metálicos están localizados en el lado izquierdo, pues generalmente estos 
elementos tienen uno, dos o tres electrones en la capa externa. 
 
 
UBB / DIMEC Materiales