Examen (2015-2)

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Pontificia Universidad Católica de Chile
Facultad de Matemáticas
Departamento de Matemáticas
Segundo semestre de 2015
MAT1610 ? Cálculo I
Solución al Examen
1. Calcule el ĺımite ĺım
x→π
e senx − 1
x− π
.
Solución:
Es claro que el limite
ĺım
x→π
esin(x) − 1
x− π
es de la forma 0
0
. Usaremos la regla de L’Hospital. Calculamos, si existe, el limite del cociente de
las derivadas
ĺım
x→π
esin(x) cos(x)
1
.
Es claro que, por la continuidad de la exponencial y de las funciones trigonometricas, este limite
existe y
ĺım
x→π
esin(π) cos(π)
1
= −1.
Por lo tanto
ĺım
x→π
esin(x) − 1
x− π
= −1.
2. Grafique la función f(x) = 2x3−3x2−12x, indicando ráıces, máximos y mı́nimos locales, sentido
de la concavidad en los distintos intervalos y puntos de inflexión.
Solución:
Primero calculamos las ráıces del la función f . Para ello factorizamos f(x) = x(2x2 − 3x − 12)
con lo que se obtiene que las raices de f son 0, 3±
√
105
4
.
Para los máximos y mı́nimos usamos la derivada f ′(x) = 6x2 − 6x − 12 = 6(x − 2)(x + 1).
Calculando la segunda derivada f ′′(x) = 12x− 6 tenemos que
f ′′(−1) = −18 < 0; f ′′(2) = 6 > 0.
Por lo tanto en x = −1 f tiene un máximo local y en x = 2 f tiene un mı́nimo local.
Usando también la segunda derivada tenemos que f ′′(x) < 0 para x ∈ (−∞, 1/2) y f ′′(x) > 0
para x ∈ (1/2,∞). Aśı, la función f es cóncava hacia abajo en (−∞, 1/2), cóncava hacia arriba
en (1/2,∞), y x = 1/2 es su único punto de inflexión.
El gráfico es aproximadamente como sigue:
3. Calcule la derivada de la función
y =
∫ 5x
cosx
cos(u2) du.
Solución:
Para calcular esta derivada primero tomamos cualquier a ∈ R y escribimos
y(x) =
∫ a
cosx
cos(u2) du+
∫ 5x
a
cos(u2) du.
= −
∫ cosx
a
cos(u2) du+
∫ 5x
a
cos(u2) du.
Si definimos g(x) =
∫ x
a
cos(u2) du entonces y(x) = −g(cos(x)) + g(5x). Por el teorema funda-
mental del cálculo g′(x) = cos(x2). Por tanto al usar la regla de la cadena se obtiene
y′(x) = −(− sen(x))g′(cos(x)) + 5g′(5x)
= sen(x) cos(cos2(x)) + 5 cos(25x2)
4. La altura de un monumento es de 20m. Una sección transversal horizontal a una distancia de x
metros desde la parte alta es un triángulo equilátero con 1
4
x metros por lado.
Calcule el volumen del monumento.
Solución:
Podemos cortar el monumento transversalmente, en dirección horizonta, a distancias x de la
parte alta, con x variando entre 0 y 20 m.
Aśı, V =
∫ 20
0
A(x) dx donde A(x) es el área de la sección a distancia x de la parte alta.
Pero esa sección es un triángulo equilátero de lado
x
4
metros por lado, por lo que su altura es
√
3x
8
metros, y su área es A(x) =
1
2
· x
4
·
√
3x
8
=
x2
√
3
16
metros.
Aśı, el volumen buscado es
V =
∫ 20
0
A(x) dx =
∫ 20
0
x2
√
3
16
dx =
√
3
16
∫ 20
0
x2 dx =
√
3
16
∫ 20
0
x2 dx =
√
3
16
·x
3
3
∣∣∣∣20
0
=
√
3
48
x3
∣∣∣∣20
0
=
500√
3
.
O sea, el monumento tiene un volumen de
500√
3
m3.
5. Evalúe la integral
∫ π/2
0
sen2 x cos2 x dx.
Primera Solución:
Usando las identidades para cos 2x, tenemos que sen2 x =
1− cos 2x
2
y cos2 x =
1 + cos 2x
2
.
Aśı, ∫ π/2
0
sen2 x cos2 x dx =
∫ π/2
0
(
1− cos 2x
2
)(
1 + cos 2x
2
)
dx
=
∫ π/2
0
(
1− cos2 2x
4
)
dx =
1
4
∫ π/2
0
dx− 1
4
∫ π/2
0
cos2 2x dx
=
π
8
− 1
4
∫ π/2
0
cos2 2x dx.
Haciendo la sustitución u = 2x, tenemos dx = 1
2
du, por lo que∫ π/2
0
sen2 x cos2 x dx =
π
8
− 1
4
∫ π
0
cos2 u · 1
2
du =
π
8
− 1
8
∫ π
0
cos2 u · du.
Del mismo modo,∫ π
0
cos2 u · du =
∫ π
0
(
1 + cos 2u
2
)
du =
1
2
∫ π
0
du+
1
2
∫ π
0
cos 2u du
=
π
2
+
1
2
∫ π
0
cos 2u du =
π
2
+
1
4
∫ π
0
cos 2u d(2u)
por lo que —con la sustitución v = 2u— queda∫ π
0
cos2 u · du = π
2
+
1
4
∫ 2π
0
cos v dv =
π
2
+
1
4
sen v
∣∣∣∣2π
0
=
π
2
+ 0 =
π
2
,
de donde finalmente ∫ π/2
0
sen2 x cos2 x dx =
π
8
− 1
8
· π
2
=
π
8
− π
16
=
π
16
.
Segunda Solución:
∫ π/2
0
sen2 x cos2 x dx =
1
4
∫ π/2
0
(2 senx cos)2; dx =
1
4
∫ π/2
0
=
1
8
∫ π/2
0
sen2 2x d(2x) =
1
8
∫ π
0
sen2 u du.
Como ∫ π
0
sen2 u · du =
∫ π
0
(
1− cos 2u
2
)
du =
1
2
∫ π
0
du− 1
2
∫ π
0
cos 2u du
=
π
2
− 1
2
∫ π
0
cos 2u du =
π
2
− 1
4
∫ π
0
cos 2u d(2u)
=
π
2
− 1
8
∫ 2π
0
cos v dv =
π
2
− 0 = π
2
,
tenemos que ∫ π/2
0
sen2 x cos2 x dx =
1
8
· π
2
=
π
16
.
6. Evalúe la integral
∫
t3e−t
2
dt.
Solución:
Substituyendo u = t2 se tiene du = 2tdt. Por lo tanto∫
t3e−t
2
dt =
1
2
∫
ue−udu.
Integrando por partes con
∫
fg′ = fg −
∫
f ′g donde f = u y g = −e−u
1
2
∫
ue−udu =
1
2
[−ue−u +
∫
e−udu] =
1
2
[−ue−u − e−u.]
Substituyendo de vuelta, sin olvldar la constante de integracion, obtenemos∫
t3e−t
2
dt =
1
2
[−t2e−t2 − e−t2 ] + C
7. Evalúe la integral
∫
dx
(x2 + x+ 1)(x− 1)
.
Solución:
1
(x2 + x+ 1)(x− 1)
=
Ax+B
x2 + x+ 1
+
C
x− 1
, de donde
1 = (Ax+B)(x− 1) + C(x2 + x+ 1).
Aśı,
A + C = 0
−A + B + C = 0
−B + C = 1
∣∣∣∣∣∣
Resolviendo se obtiene: A = −1
3
, B = −2
3
, C =
1
3
.∫
dx
(x2 + x+ 1)(x− 1)
= −1
3
∫
x+ 2
(x2 + x+ 1)
dx+
1
3
∫
1
x− 1
dx
= −1
6
∫
2x+ 1
x2 + x+ 1
dx− 1
2
∫
1
x2 + x+ 1
dx+
1
3
∫
1
x− 1
dx
= −1
6
ln(x2 + x+ 1)− 1√
3
arctan(
2x+ 1√
3
) +
1
3
ln |x− 1|+ C
8. Evalúe la integral
∫
dx
x2
√
1− x2
.
Solución:
Haciendo: x = sen t⇒ dx = cos t dt, resulta:∫
dx
x2
√
1− x2
=
∫
cos tdt
sin2 t
√
1− sin2 t
=
∫
1
sin2 t
dt
=
∫
csc2 tdt. = − cot t+ C = −cos t
sen t
+ C = −
√
1− x2
x
+ C.