Control 1 2006 I

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE
FACULTAD DE MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
Primer Semestre 2006
MAT 210 E ∗ SOLUCIÓN CONTROL 1
FILA A
1. Resolver en los reales la inecuación
|(x− 1)(x + 2)| < 2x2 + x + 1
Solución
Una manera de resolver seŕıa:
Como y = 2x2 + x + 1 > 0, ∀x entonces:
| (x− 1)(x + 2) | < 2x2 + x + 1 ←→ −(2x2 + x + 1) < (x− 1)(x + 2) < 2x2 + x + 1
−→ −(2x2 + x + 1) < x2 + x− 2 < 2x2 + x + 1
−→ 0 < 3x2 + 2x− 1 y 0 < x2 + 3
−→ 0 < 3(x− 1
3
)(x + 1) y 0 < x2 + 3
−→ 0 < 3(x− 1
3
)(x + 1) (ya que 0 < x2 + 3 , ∀x)
−→ x ∈ R − [−1, 1
3
]
Asi la solución de la inecuación es : S =]−∞ , −1 [∪ ] 1
3
, ∞[
2. Dado el gráfico de la función f
(a) Grafique :
i) −f(x)
1
grafico de f
1
2–1–2
- f
grafico de - f
–1
–0.5
0.5
1
1.5
2
y
–2 –1 1 2
x
ii) f(1− x)
 f(-x)
–1
–0.5
0.5
1
1.5
2
y
–2 –1 1 2
x
 f(1-x)
–1
–0.5
0.5
1
1.5
2
y
–1 1 2 3
x
(b) Encuentre todos los x entre -2 y 2 para los cuales
| f(x)− 1 | < 1
Solución
| f(x)− 1 | < 1 ←→ 0 < f(x) < 2 ←→ −1 < x < 1
( ver el gráfico de f)
1
grafico de f
1
2–1–2