10 Regla de la cadena y derivación implícita (1)

Vista previa del material en texto

Universidad Nacional de Cañete – UNDC 2022. Todos los derechos reservados
UNIVERSIDAD NACIONAL
DE CAÑETE
Código: F-M01.01-VPA-008
Revisión: 02
Fecha de aprobación: 22/03/2022
CÁLCULO I
SEMANA 10
DERIVADA DE UNA 
FUNCIÓN COMPUESTA
SEMESTRE ACADÉMICO 2022-1
Teoría y Ejercicios
Contenido
01
02
03
Derivada de una función compuesta
Regla de la cadena
Derivada de funciones implícitas
Ejercicios
REGLA DE LA CADENA
Demostración de la Regla de la Cadena
Enunciado: La derivada de una función composición 𝑗(𝑥) = 𝑓 𝑔(𝑥) es:
𝑗′ 𝑥 = 𝑓′ 𝑔 𝑥 ∙ 𝑔′(𝑥)
Prueba:
𝑗′ 𝑥 = 𝑓(𝑔(𝑥)) ′ = lim
ℎ→0
𝑓(𝑔(𝑥 + ℎ)) − 𝑓(𝑔(𝑥))
ℎ
= lim
ℎ→0
𝑓(𝑔(𝑥 + ℎ)) − 𝑓(𝑔(𝑥))
𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)
·
𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)
ℎ
= lim
ℎ→0
𝑓(𝑔(𝑥 + ℎ)) − 𝑓(𝑔(𝑥))
𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)
· lim
ℎ→0
𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)
ℎ
= lim
𝑔(𝑥+ℎ)→𝑔(𝑥)
𝑓(𝑔(𝑥 + ℎ)) − 𝑓(𝑔(𝑥))
𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)
· lim
ℎ→0
𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)
ℎ
= 𝑓′(𝑔(𝑥)) · 𝑔′(𝑥)
Ejemplo
Descomponer una función compuesta
Ejemplo 1
Encuentre 𝑓′(𝑥) si 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 1.
Solución
TEOREMA. La regla general de la potencia (RGP)
Si 𝑦 = 𝑢 𝑥 𝑛, donde 𝑢 es una función derivable de 𝑥 y 𝑛 es cualquier número 
real, entonces
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑛 𝑢 𝑥 𝑛−1
𝑑𝑢
𝑑𝑥
Demostración. Se tiene que 𝑦 = 𝑢 𝑥 𝑛 = 𝑢𝑛, aplicando la regla de la cadena se 
obtiene
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
𝑑
𝑑𝑢
𝑢𝑛
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 𝑛𝑢𝑛−1
𝑑𝑢
𝑑𝑥
.
La regla general de la potencia
EJEMPLO 1: Aplicar la regla general de la potencia
Halle la derivada de 𝑓 𝑥 = 3𝑥 − 2𝑥2 3.
Solución
Sea 𝑢 = 3𝑥 − 2𝑥2, entonces
𝑓 𝑥 = 𝑢3
Aplicando el teorema RGP, la derivada es
𝑓´ 𝑥 = 3𝑢3−1
𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑓´ 𝑥 = 3 3𝑥 − 2𝑥2 2
𝑑
𝑑𝑥
3𝑥 − 2𝑥2
𝑓´ 𝑥 = 3 3𝑥 − 2𝑥2 2 3 − 4𝑥
EJEMPLO 2: Derivar función radical
Halle los puntos de la gráfica de
𝑓 𝑥 =
3
𝑥2 − 1 2
en los que 𝑓´ 𝑥 = 0 y aquellos en los que 
𝑓´ 𝑥 no existe.
Solución
Reescribiendo la función
𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 1 Τ2 3.
Aplicando el teorema RGP, con 𝑢 = 𝑥2 − 1, 
resulta que
𝑓 𝑥 = 𝑢 Τ2 3
𝑓´ 𝑥 =
2
3
𝑢 Τ2 3−1
𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑓´ 𝑥 =
2
3
𝑢 Τ−1 3
𝑑
𝑑𝑥
𝑥2 − 1
𝑓´ 𝑥 =
2
3
𝑥2 − 1 Τ−1 3 2𝑥
𝑓´ 𝑥 =
4𝑥
3
3
𝑥2 − 1
𝑓´ 𝑥 = 0 ⟷ 𝑥 = 0
𝑓´ 𝑥 no existe en 𝑥 = ±1.
Ilustración gráfica.
EJEMPLO 3: Derivar función cociente con numerador constante
Derive la función
𝑔 𝑡 =
−7
2𝑡 − 3 2
.
Solución
Reescribiendo la función
𝑔 𝑡 = −7 2𝑡 − 3 −2.
Aplicando la RGP con 𝑢 = 2𝑡 − 3, se tiene
𝑔 𝑡 = −7𝑢−2
𝑔´ 𝑡 = −7 −2 𝑢−3
𝑑𝑢
𝑑𝑡
𝑔´ 𝑡 = 14 2𝑡 − 3 −3
𝑑
𝑑𝑡
2𝑡 − 3
𝑔´ 𝑡 = 14 2𝑡 − 3 −3 2
𝑔´ 𝑡 =
28
2𝑡 − 3 3
.
EJEMPLO 4: Derivar producto de funciones compuestas
Halle la derivada de 𝑦 = 2𝑥 + 1 5 𝑥3 − 𝑥 + 1 4.
Solución. En este ejemplo debemos aplicar la regla del producto antes de aplicar RGP.
EJEMPLO 5: Derivar cociente de funciones compuestas
Halle la derivada de 𝑦 =
𝑥2 − 1 3
5𝑥 + 1 8
.
Solución. Iniciamos con la regla del cociente, luego aplicar RGP.
EJEMPLO 6: Simplificar la derivada de una potencia
Halle la derivada de 𝑦 =
3𝑥 − 1
𝑥2 + 3
2
.
Solución
Halle la derivada de 𝑦 =
3𝑥 − 1
𝑥2 + 3
2
.
Solución
Derivadas de funciones trigonométricas compuestas
1.
𝑑
𝑑𝑥
sen 𝑢 = cos 𝑢 𝑢´
3.
𝑑
𝑑𝑥
tan𝑢 = sec2 𝑢 𝑢´
5.
𝑑
𝑑𝑥
sec 𝑢 = sec 𝑢 tan𝑢 𝑢´
Sea 𝑢 𝑥 una función derivable de 𝑥, entonces
2.
𝑑
𝑑𝑥
cos 𝑢 = − sen𝑢 𝑢´
4.
𝑑
𝑑𝑥
cot 𝑢 = − csc2 𝑢 𝑢´
6.
𝑑
𝑑𝑥
csc 𝑢 = − csc 𝑢 cot 𝑢 𝑢´
EJEMPLO 1: Derivar funciones trigonométricas compuestas
Se planteó la regla de la cadena para la composición de dos funciones 𝑓 y 𝑔, aunque es 
posible aplicarla a la composición de tres (o más) funciones derivables.
En el caso de las tres, 𝑓, 𝑔 y ℎ, se tiene
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑔 ℎ 𝑥 = 𝑓´ 𝑔 ℎ 𝑥 ∙
𝑑
𝑑𝑥
𝑔 ℎ 𝑥
= 𝑓´ 𝑔 ℎ 𝑥 ∙ 𝑔´ ℎ 𝑥 ∙ ℎ 𝑥
Regla de la cadena para la composición de 𝒏 funciones.
EJEMPLO 1: Uso repetido de la regla de la cadena
Halle la derivada de 𝑦 = cos4 7𝑥3 + 6𝑥 − 1 .
EJEMPLO 2: Uso repetido de la regla de la cadena
Halle la derivada de 𝑦 = sen tan 3𝑥2 + 4 .
DERIVACIÓN IMPLÍCITA
Introducción. Dada la ecuación de la circunferencia
𝑥2 + 𝑦2 = 4 (1)
La ecuación (1) no es una función, vea la figura a).
A pesar de ello, la gráfica de la ecuación (1) puede tener rectas tangentes en 
varios puntos 𝑥, 𝑦 .
La ecuación (1) define por lo menos dos funciones 𝑓 y 𝑔 sobre el intervalo 
−2, 2 .
Gráficamente, las funciones evidentes son la mitad superior y
la mitad inferior de la circunferencia, vea las figura b) y c), donde la regla de 
correspondencia son.
𝑦 = 𝑓 𝑥 = 4 − 𝑥2 , ⟵ semicircunferencia superior 2
y
𝑦 = 𝑔 𝑥 = − 4 − 𝑥2 , ⟵ semicircunferencia inferior 3
Ahora ya es posible encontrar pendientes de las rectas tangentes para 𝑥 ∈
−2, 2 al derivar (2) y (3).
En esta sección veremos cómo obtener la derivada Τ𝑑𝑦 𝑑𝑥 para (1), así como 
para ecuaciones más complicadas 𝐹 𝑥, 𝑦 = 0, sin necesidad de resolver la 
ecuación para la variable 𝑦.
Función explícita. Es cuando la variable dependiente 𝑦 se expresa sólo en términos de la 
variable independiente 𝑥, es decir, 𝑦 = 𝑓 𝑥 .
Por ejemplo, 𝑦 = 𝑓 𝑥 =
1
2
𝑥3 − 1
Función implícita. Es cuando una función 𝑦 = 𝑓 𝑥 se enuncia de manera implícita en una ecuación 
𝐹 𝑥, 𝑦 = 0.
Ejemplo 1.
La ecuación 𝐹 𝑥, 𝑦 = 2𝑦 − 𝑥3 + 2 = 0, define implícitamente la función 𝑦 =
1
2
𝑥3 − 1.
Ejemplo 2.
La ecuación 𝐹 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2 − 4 = 0, define implícitamente las dos funciones 𝑓 𝑥 = 4 − 𝑥2
y 𝑔 𝑥 = − 4 − 𝑥2.
En general, si una ecuación 𝐹 𝑥, 𝑦 = 0 define implícitamente una función 𝑦 = 𝑓 𝑥 en algún 
intervalo, entonces 𝐹 𝑥, 𝑓 𝑥 = 0 es una identidad sobre el intervalo. La gráfica de 𝑓 es una 
porción (o toda) de la gráfica de la ecuación 𝐹 𝑥, 𝑦 = 0.
Ejemplo 3.
Dada la ecuación de hoja de Descartes
𝑥3 + 𝑦3 = 6𝑥𝑦
No es fácil resolver explícitamente esta ecuación para 𝑦 como función 𝑥. Existe una fórmula 
para obtener las tres raíces de una ecuación cúbica, que es muy complicada. Si utilizamos 
esta fórmula (o un sistema algebraico computarizado) para resolver la ecuación dada para 
𝑦 en términos de 𝑥, obtenemos tres funciones determinadas por la ecuación:
𝑦 = 𝑓 𝑥 =
3
−
1
2
𝑥3 +
1
4
𝑥6 − 8𝑥3 +
3
−
1
2
𝑥3 −
1
4
𝑥6 − 8𝑥3
𝑦 = 𝑔 𝑥 =
1
2
−𝑓 𝑥 + −3
3
−
1
2
𝑥3 +
1
4
𝑥6 − 8𝑥3 −
3
−
1
2
𝑥3 −
1
4
𝑥6 − 8𝑥3
𝑦 = ℎ 𝑥 =
1
2
−𝑓 𝑥 − −3
3
−
1
2
𝑥3 +
1
4
𝑥6 − 8𝑥3 −
3
−
1
2
𝑥3 −
1
4
𝑥6 − 8𝑥3
Hoja de descartes Gráfica de 𝑓 𝑥 Gráfica de 𝑔 𝑥 Gráfica de ℎ 𝑥
Abel y Galois. En 1824, el matemático noruego Niels Abel demostró que no puede darse una fórmula 
general para la obtención de las raíces de una ecuación de quinto grado. Tiempo después, el matemático 
francés Evariste Galois demostró que es imposible hallar una fórmula general para las raíces de una 
ecuación de 𝑛-ésimo grado (en términos de operaciones algebraicas sobre los coeficientes), si 𝑛 es 
cualquier entero mayor que 4.
Derivación implícita.
Por fortuna, no es necesario resolver una ecuación para 𝑦 = 𝑓 𝑥 en términos de 𝑥 a fin de hallar 
la derivada de 𝑦. En lugar de ello, aplicaremos el método de derivación implícita. Este método 
consiste en derivar ambos miembros de la ecuación respecto a 𝑥 y después resolver la ecuación 
resultante para 𝑦´. En los ejemplos y ejercicios de esta sección, siempre se supone que la ecuación 
dada determina 𝑦 = 𝑓 𝑥 implícitamente como una función derivable de 𝑥, de modo que puede 
aplicarse el método de derivación implícita.
Pasos para la derivación implícita
1. Derive ambos lados de la ecuación respecto de 𝑥.
2. Agrupe todos los términos en que aparezca 𝑦´ en el lado izquierdo de la 
ecuación y pase todos los demás a la derecha.
3. Factorice 𝑦´ del lado izquierdo de la ecuación y despeje 𝑦´.
EJEMPLO 1: Uso de la derivación implícita
Si 𝑥2 + 𝑦2 = 4, halle 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
.
Solución
EJEMPLO 2: Uso de la derivación implícita
Halle las ecuacionesde la recta tangente a la gráfica de 𝑥2 + 𝑦2 = 4, en los 
puntos correspondientes a 𝑥 = 1.
Solución
EJEMPLO 3: Calcular la recta tangente de una gráfica implícita
Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 3 𝑥2 + 𝑦2 2 = 100𝑥𝑦, en 
el punto 3, 1 .
Solución
EJEMPLO 4: Reglas de la cadena y del producto
Si sen 𝑦 = 𝑦 cos 2𝑥, halle 𝑦´.
Solución
EJEMPLO 5: Segunda derivada
Si 𝑥2 + 𝑦2 = 4, halle 
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
.
Derivación Logarítmica
Con frecuencia, el cálculo de derivadas de funciones complicadas que 
comprenden productos, cocientes o potencias puede simplificarse 
tomando logaritmos. El método que se aplica en el ejemplo siguiente 
se llama derivación logarítmica.
Ejemplo 1
Derive la siguiente función:
𝑦 =
𝑥3/4 𝑥2 + 1
3𝑥 + 2 5
Solución
Pasos en la derivación logarítmica
Pasos:
1. Tomar logaritmos naturales de ambos lados de una ecuación
𝑦 = 𝑓(𝑥) y utilizar las leyes de los logaritmos para simplificar.
2. Derivar implícitamente respecto a 𝑥.
3. Resolver la ecuación resultante para 𝑦′.
Ejemplo 2
Derive 𝑦 = 𝑥 𝑥.
Solución
EJERCICIOS PARA PRACTICAR
Comencemos
a practicar
Ejercicio 1 
Solución
Hallar 𝑓´ 𝑎 sabiendo que
𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝟒 +
𝒂𝟐 + 𝟒
𝒙𝟐 + 𝟒
Ejercicio 2 
Solución
Calcule 𝑓´ para la función
𝒇 𝒙 = 𝟐sen 𝒙 + 𝟑𝟐 ln 𝒙
Ejercicio 3 
Solución
Halle 𝑓´ 𝑥 para la función
𝒇 𝒙 = 𝒙cos 𝒙
𝟐+𝟑𝒙−𝟐
G
R
A
C
I
A
S