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6.- ¿Qué es una función irracional? Una función irracional es una función en cuya expresión analítica la variable independiente x aparece debajo del símbolo de raíz. f(x) = √n g(x) con g(x) una función racional. • Si el índice n de la raíz es impar, es posible calcular la imagen de cualquier número real, siempre y cuando la expresión g(x) sea un número real, es decir, Dom(f) = Dom(g) • Si el índice de la raíz n es par, para poder calcular imágenes necesitamos que g(x) sea positiva o cero, ya que las raíces pares de un número negativo no son números reales. Por tanto, el dominio de f son las soluciones de la inecuación. g(x) ≥ 0 En otras palabras, Dom(f) = {x ∈ R ∣ g(x) ≥ 0} Como ejemplo, podemos hablar de la raíz cuadrada f(x) = √x Se trata de una función en que el índice de la raíz es 2. Por tanto, su dominio es el conjunto de soluciones de la inecuación x ≥ 0. Así tenemos Dom(f) = [0, +∞). La imagen de la función raíz cuadrada es, como en el caso del dominio, el conjunto de los reales mayores o igual que cero, I m(f) = [0, +∞) Para entenderlo de una mejor manera veremos una gráfica: Podemos agregar que una función es irracional si la variable independiente está bajo el signo del radical. Las características generales de estas funciones son: a) Si el índice del radical es par, el dominio son los valores para los que el radicando es mayor o igual que cero. b) Si el índice del radical es impar, el dominio es. c) El recorrido es d) Es continua en su dominio y no tiene asíntotas. 7.- ¿Qué es una función algebraica? Las funciones algebraicas son funciones que se generan a partir de funciones elementales (como la función constante o la función identidad, entre otras), realizando operaciones sobre las mismas (como la suma, multiplicación o división). Clasificación de las funciones algebraicas: Las funciones algebraicas se clasifican para poner en evidencia ciertas características generales de ellas. Las funciones algebraicas las podemos clasificar de acuerdo al siguiente esquema: Funciones Algebraicas En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación. Las funciones algebraicas pueden ser: Funciones explícitas Si se pueden obtener el valor de la función, f(x), por simple sustitución Funciones Algebraicas Polinómicas Racionales Radicales https://matematicaparaestudiantes.net/p/152-funciones#funcion_constante https://matematicaparaestudiantes.net/p/152-funciones#funcion_identidad https://matematicaparaestudiantes.net/p/152-funciones#operaciones_funciones f(x) = 5x – 8 Funciones implícitas Si no se puede obtener el valor de la función f(x) por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones. Función lineal: La función lineal (función polinomial de primer grado) es de la forma y = f(x) = ax + b; a y b son números dados; el dominio y el rango es el conjunto de todos los números reales. La constante a representa la pendiente de la recta y b, el intercepto con el eje y (u ordenada en el origen). Como ya mencionamos antes, el intercepto con el eje y, es b; para hallar el intercepto con el eje x (o abscisa en el origen), se iguala la ecuación de la función a 0 y se despeja el valor respectivo para x. EJEMPLOS Funciones polinómicas Son las funciones que vienen definidas por un polinomio f(x) = a0 + a1x + a2x 2 + · · · + anx n Su dominio son todos los números reales R Funciones constantes El criterio viene dado por un número real f(x) = k La grafica es una recta horizontal paralela a al eje de las abscisas Su dominio son todos los números reales R Funciones racionales Una función racional es aquella que puede expresarse como el cociente de dos funciones polinomiales. Esto es, una función racional es de la forma P(x)/Q(x), donde el dominio son todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador, Q(x) = 0. Funciones radicales El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical. El dominio de una función irracional de índice impar es R. El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero. 8.- Explique cada una de las funciones algebraicas que existen. Funciones algebraicas En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación. Las funciones algebraicas pueden ser: Funciones explícitas Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución. f(x) = 5x - 2 Funciones implícitas Si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones. 2 5x - y - 2 = 0 Funciones polinómicas Son las funciones que vienen definidas por un polinomio. f(x) = a0 + a1 x + a1 x² + a1 x³ +··· + an x n Su dominio es, es decir, cualquier número real tiene imagen. Funciones constantes El criterio viene dado por un número real. f(x)= k La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas. Funciones polinómicas de primer grado f(x) = mx +n Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función. Funciones cuadráticas f(x) = ax² + bx +c Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola. Funciones racionales El criterio viene dado por un cociente entre polinomio: El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador. Funciones radicales El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical. El dominio de una función irracional de índice impar es R. El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero. Funciones trascendentes La variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría. Función exponencial Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia a x se llama función exponencial de base a y exponente x. Funciones logarítmicas La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a. Funciones trigonométricas Función seno f(x) = sen x Función coseno f(x) = cosen x Función tangente f(x) = tg x Función cosecante f(x) = cosec x Función secante f(x) = sec x Función cotangente f(x) = cotg x Funciones constantes La función constante es del tipo: y = n El criterio viene dado por un número real. La pendiente es 0. La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas. Rectas verticales Las rectas paralelas al eje de ordenadas no son funciones, ya que un valor de x tiene infinitas imágenes y para que sea función sólo puede tener una. Son del tipo: x = K Función lineal La función lineal es del tipo: y = mx Su gráfica es una línea recta que pasa por el ori gen de coordenadas. y = 2x x 0 1 2 3 4 y = 2x 0 2 4 6 8 Función identidad f(x) = x Su gráfica es la bisectriz del primer y tercer cuadrante Función cuadrática Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola. f(x) = ax² + bx +c Representación gráfica de la parábola Podemos construir una parábola a partir de estos puntos: 1. Vértice Por este punto pasa el eje de simetría de la parábola. La ecuación del eje de simetría es: Funciones racionales El criterio viene dado por un cociente entre polinomios: El dominiolo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador. Dentro de este tipo tenemos las funciones de proporcionalidad inversa de ecuación: Funciones definidas a trozos Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren. El dominio lo forman todos los números reales menos el 4. Función parte entera de x Es una función que a cada número real hace corresponder el número entero inmediatamente inferior. 28 f(x) = E (x) Función signo f(x) = sgn(x) Función valor absoluto Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos: 1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces. 2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo. 3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función. 4. Representamos la función resultante. Función exponencial La función exponencial es del tipo: Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia a x se llama función exponencial de base a y exponente x. Propiedades de la función exponencial Dominio: Recorrido: Es continua. Los puntos (0, 1) y (1, a) pertenecen a la gráfica. Es inyectiva a ≠ 1(ninguna imagen tiene más de un original). Creciente si a>1. Decreciente si a<1. Las curvas y=ax e y= (1/a) x son simétricas respecto del eje OY. Funciones logarítmicas La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a. Propiedades de las funciones logarítmicas De la definición de logaritmo podemos deducir: No existe el logaritmo de un número con base negativa. No existe el logaritmo de un número negativo. No existe el logaritmo de cero. El logaritmo de 1 es cero. El logaritmo en base a de a es uno. El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente. Funciones trigonométricas Función seno 9.- ¿Qué es una función trascendente? Una función trascendente es una función que no satisface una ecuación polinómica cuyos coeficientes sean a su vez polinomios; esto contrasta con las funciones algebraicas, las cuales satisfacen dicha ecuación. Se dividen en trascendentes elementales y superiores. Las primeras son aquellas que pueden ser expresadas mediante una cantidad finita de operaciones de suma, resta, multiplicación, división, radicación, potenciación a exponentes constantes reales y logaritmación. El segundo grupo abarca aquellas en que no es posible lo anterior. Una función de una variable es trascendente si es independiente en un sentido algebraico de dicha división. Funciones algebraicas y trascendentes El logaritmo y la función exponencial son algunos ejemplos de funciones trascendentes. El término función trascendente a menudo es utilizado para describir a las funciones trigonométricas ya que también son funciones trascendentes, o sea el seno, coseno, tangente, cotangente, secante, y la cosecante. Una función que no pertenece al conjunto de las funciones trascendentes se dice que es una función algebraica. Ejemplos de funciones algebraicas son las funciones racionales y la función raíz cuadrada. La operación de calcular la función primitiva (o integral indefinida) de una función algebraica es una fuente de funciones trascendentes. Por ejemplo, la función logaritmo surgió a partir de la función recíproca en un intento para calcular el área de un sector hiperbólico. Por lo tanto el ángulo hiperbólico y las funciones hiperbólicas senh, cosh, y tanh son todas funciones trascendentes. En álgebra diferencial se estudia como a menudo la integración crea funciones independientes en un sentido algebraico de una cierta clase tomada como 'standard', como por ejemplo cuando se consideran polinomios en los cuales las variables son funciones trigonométricas. Ejemplo de funciones trascendentes son: https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica https://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_algebraica https://es.wikipedia.org/wiki/Independencia_algebraica https://es.wikipedia.org/wiki/Independencia_algebraica https://es.wikipedia.org/wiki/Logaritmo https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_exponencial https://es.wikipedia.org/wiki/Funciones_trigonom%C3%A9tricas https://es.wikipedia.org/wiki/Seno_(matem%C3%A1ticas) https://es.wikipedia.org/wiki/Coseno https://es.wikipedia.org/wiki/Tangente_(trigonometr%C3%ADa) https://es.wikipedia.org/wiki/Cotangente https://es.wikipedia.org/wiki/Secante https://es.wikipedia.org/wiki/Cosecante https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_algebraica https://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio https://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio https://es.wikipedia.org/wiki/Ra%C3%ADz_cuadrada https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_primitiva https://es.wikipedia.org/wiki/Inverso_multiplicativo https://es.wikipedia.org/wiki/Sector_hiperb%C3%B3lico https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo_hiperb%C3%B3lico https://es.wikipedia.org/wiki/Funciones_hiperb%C3%B3licas https://es.wikipedia.org/wiki/Funciones_hiperb%C3%B3licas https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=%C3%81lgebra_diferencial&action=edit&redlink=1
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