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27 Solución. Para que √𝑥 − 3 sea un número mayor o igual a cero, se debe tener que 𝑥 − 3 ≥ 0, o sea que se debe tener que 𝑥 ≥ 3 con lo cual se garantiza que √𝑥 − 3 ≥ 0 Y en consecuencia 4 + √𝑥 − 3 ≥ 4. El menor valor de 𝑓(𝑥) ocurre en 𝑥 = 3 y es 𝑓(3) = 4 + √0 = 4. Además, debido a que √𝑥 − 3 aumenta cuando el valor de x aumenta, se concluye que 𝑓(𝑥) ≥ 4. Por consiguiente se concluye que el rango de 𝑓 es 𝑅(𝑓) = [4,∞) y que el dominio de 𝑓 es como 𝐷(𝑓) = [3,∞). 𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 14. 𝐺𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑦 = 4 + √𝑥 − 3 Funciones polinomiales Una función 𝑓(𝑥) se llama función polinomial o polinomio si 𝑓 es de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥 𝑛−1 +⋯+ 𝑎2𝑥 2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0. En donde 𝑛 es un entero no negativo y los números 𝑎𝑛 , 𝑎𝑛−1, … , 𝑎2, 𝑎1, 𝑎0 son constantes llamadas coeficientes del polinomio. El dominio de todo polinomio es el conjunto de los números reales ℝ. Si el coeficiente 𝑎𝑛 ≠ 0, entonces el grado del polinomio es 𝑛; por ejemplo, la siguiente función es un polinomio de grado 4. 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 16𝑥2 + √2. Una función polinomial de grado 1 tiene la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏; y se denomina función lineal porque su gráfica es la recta 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, cuya pendiente es 𝑎 y su ordenada al origen es 𝑏. Por ejemplo, la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1 es una línea recta con pendiente 2 y ordenada al origen 𝑦 = −1. (Figura 15) x fx 3 4 5 5. 41 10 6. 64 15 7. 46 20 8. 12 25 8. 69 30 9. 19 28 𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 15. 𝑦 = 2𝑥 − 1 Una función polinomial de grado 2 posee la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐; y se llama función cuadrática. La gráfica de una función cuadrática es siempre una parábola que se obtiene mediante una transformación de la parábola 𝑦 = 𝑎𝑥2. Por ejemplo, 𝑦 = 𝑥2 y la función 𝑦 = 𝑥2 + 6𝑥 + 10. (Figura 16) 𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 16. 𝐺𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑦 = 𝑥2 𝑦 𝑦 = 𝑥2 + 6𝑥 + 10 Una función polinomial de grado 3 es de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑. Y se conoce como función cúbica. La figura 17 muestra la gráfica de una función cúbica. 𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 17 x fx 3 7 2 5 1 3 0 1 1 1 2 3 3 5 29 Funciones Racionales Una función racional 𝑓 es un cociente entre dos polinomios: 𝑓(𝑥) = 𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥) Donde 𝑃 y 𝑄 son funciones polinomiales. El dominio consiste en todos los valores de 𝑥 tales que 𝑄(𝑥) ≠ 0; por ejemplo la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥4 − 𝑥2 + 1 𝑥2 − 4 Es una función racional con dominio 𝐷(𝑓) = {𝑥: 𝑥 ≠ ±2}. Su gráfica se indica en la figura 18. Figura 18. Grafica de la función f(x) Las funciones racionales son más difíciles de analizar y de representar gráficamente que las polinómicas. Por ejemplo, es importante analizar el comportamiento de una función racional 𝑓 = 𝑃/𝑄 en las proximidades de un cero de 𝑄, también lo es para valores grandes de 𝑥, tanto positivos como negativos. Si 𝑃 y 𝑄 no tienen factores comunes, entonces los ceros de 𝑄 corresponden a asíntotas verticales de la gráfica de 𝑓; la existencia de asíntotas horizontales depende del comportamiento de 𝑓 para valores grandes de 𝑥 (esto es, cuando 𝑥 → ±∞). En la unidad temática 2 se definen y estudian en detalle ejercicios de asíntotas verticales y horizontales. En la figura 19 se muestra la gráfica de 𝑓(𝑥) = 1 𝑥2 − 4𝑥 + 4 = 1 (𝑥 − 2)2
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