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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA “SIMULACIÓN NUMÉRICA DE UN FLUJO ALREDEDOR DE UN PERFIL NACA SIMÉTRICO” T E S I S Q U E P A R A O B T E N E R E L T Í T U L O D E I N G E N I E R O M E C Á N I C O P R E S E N T A: JORDÁN PÉREZ SÁNCHEZ DIRECTOR DE TESIS: DR. MARTÍN SALINAS VÁZQUEZ MÉXICO, D.F. CD. UNIVERSITARIA 2009 UNAM – Dirección General de Bibliotecas Tesis Digitales Restricciones de uso DERECHOS RESERVADOS © PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL Todo el material contenido en esta tesis esta protegido por la Ley Federal del Derecho de Autor (LFDA) de los Estados Unidos Mexicanos (México). El uso de imágenes, fragmentos de videos, y demás material que sea objeto de protección de los derechos de autor, será exclusivamente para fines educativos e informativos y deberá citar la fuente donde la obtuvo mencionando el autor o autores. Cualquier uso distinto como el lucro, reproducción, edición o modificación, será perseguido y sancionado por el respectivo titular de los Derechos de Autor. El perfeccionamiento traza caminos rectos; pero los torcidos y sin perfeccionar son los del genio. William Blake Altius, citius, fortius Initium sapientiae timor Domini Agradecimientos: A la Universidad Nacional Autónoma de México y a la Facultad de Ingeniería por permitirme realizar mis estudios de Licenciatura, pues ha sido importante en mi formación profesional. Al Instituto de Ingeniería por abrirme sus puertas para la realización de esta tesis, paso importante para la culminación de un sueño. Al Dr. Martín Salinas Vázquez por haberme dado la valiosa oportunidad de formar parte de este trabajo; por su tiempo, paciencia, dedicación y consejos para la realización de esta tesis, así como su amistad incondicional. Al Dr. William Vicente Rodríguez por su apoyo, y también a cada uno de mis compañeros del Instituto de Ingeniería por su amistad y alegría. A mis amigos y compañeros de la Facultad de Ingeniería que se desarrollaron a la par conmigo, a aquellos profesores que sembraron el interés de siempre saber más y de romper los paradigmas en los que vivimos, a aquellos que hoy represento gallardamente con mi temperamento. A aquellos que me brindaron desinteresadamente su amistad y porque no; a aquellos que dudaron de mi capacidad, ya que sin ellos no habría valido la pena degustar esta pequeña victoria. A la columna vertebral de mi formación y de mis orígenes. A aquellos que de niño se preocuparon por explicarme algo o trasladarme hasta otro lugar para poder obtener una percepción diferente de los límites que se tienen cuando se es pequeño. Y a todos aquellos que directa e indirectamente han contribuido al desarrollo de esta meta. ÍNDICE Prefacio……………………………..................................................................... I CAPÍTULO I. INTRODUCCIÓN. I.1 Presentación del tema...................................................................... 1 I.2 Justificación....................................................................................... 2 I.3 Objetivos............................................................................................ 3 CAPITULO II. MARCO TEÓRICO II.1 Ley de Bernoulli............................................................................... 5 II.2 Continuidad……............................................................................... 7 II.3 Capa limite……................................................................................ 9 II.4 Fuerzas debidas al flujo del fluido.................................................... 11 II.4.1 Coeficiente de sustentación CL…....................................... 12 II.4.2 Coeficiente de arrastre CD.................................................. 13 II.5 Número de Strouhal......................................................................... 14 II.6 Circulación………............................................................................. 15 II.7 Familias de Perfiles.......................................................................... 18 II.8 Nomenclatura de los perfiles............................................................ 20 II.9 Ecuaciones de un perfil de 4 dígitos……......................................... 21 II.10 Fuerzas de un perfil alar……......................................................... 22 CAPÍTULO III. ECUACIONES DE GOBIERNO III.1 Ecuaciones de gobierno del fenómeno........................................... 25 III.2 Esquema numérico y modelo de turbulencia.................................. 26 III.2.1 Simulación de grandes escalas......................................... 26 III.2.2 Esquema numérico............................................................ 33 III.3 Condiciones iníciales....................................................................... 35 III.4 Fronteras inmersas…………………………..................................... 35 CAPÍTULO IV. CONDICIONES DE FRONTERA. IV.1. Condiciones de frontera.……........................................................ 39 IV.1.1 Características de las CF de las ecuaciones de NS......... 40 IV.1.2 Entrada subsónica............................................................. 44 IV.1.3 Flujo de salida subsónico no reflejante............................. 46 IV.1.4Pared adiabática deslizante............................................... 48 IV.2 Características del dominio computacional.................................... 49 CAPÍTULO V. RESULTADOS V.1 Coeficientes aerodinámicos CD-CL.................................................. 52 V.2 Variables promedio……………….................................................... 58 V.2.1 Velocidad……………………………………………………… 59 V.2.1.1 Componente u......................................................... 59 V.2.1.2 Componente v......................................................... 61 V.3 Esfuerzos de Reynolds (RMS)........................................................ 63 V.3.1 Esfuerzos Normales……………………………….……........ 64 V.3.1.1 URMS................................................................... 64 V.3.1.2 VRMS……..…………………………………………. 65 V.3.2 Esfuerzos Tangenciales.………………………….……........ 64 V.3.2.1 UV......................................................................... 66 V.4 Presión…………………………........................................................ 68 V.5 Estructuras turbulentas………..…………….………………………… 70 V.6 Simulación a mayor velocidad y diferente ángulo de ataque…....... 71 CONCLUSIONES............................................................................................. 76 GLOSARIO....................................................................................................... 78 BIBLIOGRAFÍA................................................................................................ 82 I PREFACIO La moderna mecánica de fluidos nace con Ludwing Prandtl, quien en 1904 elaboró la síntesis entre la hidráulica práctica y la hidrodinámica teórica al introducir la teoría de capa límite, gracias a esta teoría se ha logrado comprender y estudiar con éxito muchos fenómenos sobre flujos que pasan alrededor de algún cuerpo. Varios matemáticos geniales del siglo XVIII; Bernoulli, Clairaut, D'Alembert, Lagrange y Eulerhabían elaborado, con la ayuda del cálculo diferencial e integral, una síntesis hidrodinámica perfecta; pero no habían obtenido resultados prácticos ni explicado ciertos fenómenos observados en la realidad. Por otro lado, su camino aún no termina y mucho menos esta menguando, siempre el conocimiento engendrado genera mas incertidumbres que hacen que siga viva y que hacen vivir a quienes se dedican a estudiarla y una parte de él se encuentra en el tema que aquí se presenta. El presente trabajo intentará cubrir algunos puntos con el fin de lograr que el tema se desarrollé de una manera satisfactoria. Apoyándose en investigaciones realizadas en los últimos años alrededor del mundo que han generado un conocimiento, este trabajo de investigación tendrá su punto de partida, sin ser su intención tan arriesgada ni tan ambiciosa. En él se intenta simular, explicar y corroborar los resultados y teorías ya conocidas por la mecánica de fluidos en investigaciones previas acerca del fenómeno bajo estudio a determinadas condiciones. Sirviendo de esta manera como un apoyo a futuras investigaciones al respecto de un modo más profundo o simplemente como parte de un tema mucho más completo del que este trabajo solo tendrá cabida en una fracción mínima del mismo. Además de que se pretende utilizar este método como una herramienta practica en investigaciones futuras ya sea como alternativa o como apoyo en la veracidad de otros experimentos o cálculos. Capítulo I Introducción 1 CAPÍTULO I I.-INTRODUCCIÓN. I.1.- PRESENTACIÓN DEL TEMA. ste trabajo de tesis se enfocará básicamente en la simulación de un flujo subsónico con un Re=3500 que pasa a través de un perfil NACA de 4 dígitos simétrico, el cual se creará mediante una malla cartesiana la cual será deformada de manera que adopte la geometría del perfil y se resolverá por el método de fronteras inmersas Para ello se utilizará el denominado método de simulación a Grandes escalas (LES), desarrollando las ecuaciones necesarias para calcular el campo de velocidades sobre el perfil, estudiando a partir del mismo otras magnitudes relacionadas, para después ingresar las condiciones de frontera y comenzar con el cálculo. Con el fin de analizar algunas de sus características. De manera que el tema sea claro y conciso estará dividido en 5 capítulos. Para la exposición del tema se presentarán los antecedentes sobre el fenómeno en estudio en el que se explicarán en el Capitulo II, concisamente algunas características y conceptos sobre los perfiles NACA, con la finalidad de que el lector descubra más sobre este tema. En el Capítulo III se explicarán las ecuaciones que gobiernan dicho fenómeno, formulándolas en sus expresiones más adecuadas para ser utilizadas en la solución numérica y en el modelo de turbulencia, así como las condiciones iniciales del flujo. En el Capítulo IV se establecerán las características de la simulación en las que se incluyen las condiciones de frontera que resultan cruciales para definir el problema, las características del dominio computacional, además se explicarán los distintos métodos y modelos empleados para llevar a cabo la simulación numérica. Finalizando con el Capitulo V donde se encontrar los resultados y algunas gráficas referentes a nuestro cálculo. E Capítulo I Introducción 2 I.2.- JUSTIFICACIÓN DEL TEMA El flujo de los fluidos es constante en la vida de todos los seres vivos. Desde la sangre que corre por nuestras venas hasta los vehículos que se mueven por todo el planeta ya que son sometidos a flujos inestables pues se mueven a través de lagos, océanos y aire. Inevitablemente como dice la Ley de Newton “a cada acción corresponde una reacción”, en este caso; al movernos dentro un fluido generamos vórtices, arrastre o sustentación dependiendo el caso, en la actualidad es difícil encontrar a alguien cuya vida no haya sido afectada de una u otra forma por el arrastre. Por ello es de gran importancia estudiar los flujos alrededor de los cuerpos. Esto se ha estudiado extensivamente en cuerpos cilíndricos, cuadrados, pero resulta necesario extenderlos a otro tipo de geometrías que la ingeniería ha desarrollado, tales como los perfiles aerodinámicos, estos tienen un papel importante en nuestra vida, ya que se utilizan en el diseño barcos, submarinos, aviones, en puentes y hasta en edificios modernos. Como ejemplo en un aeropuerto el conocer como se comporta el fluido detrás de las alas de un avión condiciona la frecuencia entre los despegues y aterrizajes de los mismos. El estudio de cuerpos aerodinámicos es importante ya que dependiendo de nuestras necesidades podemos modificar su geometría (diseño), de modo que su gradiente de presión, sustentación y arrastre varíen dependiendo nuestras necesidades. El flujo de un fluido se puede describir en forma aproximada mediante un conjunto de ecuaciones matemáticas de la dinámica de fluidos que describen el balance de masa, balance de cantidad de movimiento (ecuaciones de Navier Stokes) y balance de energía bajo la hipótesis de medio continuo, las cuales se conocen desde el siglo pasado, sin embargo no ha sido posible resolverlas analíticamente. El crecimiento exponencial de la tecnología en los últimos 100 años ha ayudado a resolver estas ecuaciones mediante el empleo de métodos numéricos para obtener soluciones numéricas aproximadas y poder simular el flujo de fluidos en una computadora, se sabe que se ha logrado conocer los torbellinos o estelas tras las alas de un avión mediante aproximaciones numéricas. Capítulo I Introducción 3 I.3.- OBJETIVOS De acuerdo con los alcances establecidos para este trabajo de investigación que abarcan la comprensión y comprobación de los resultados obtenidos en investigaciones previas acerca del flujo alrededor de una sección transversal de un perfil NACA de 4 dígitos simétrico se tienen los siguientes objetivos: 1.- Realizar satisfactoriamente la simulación numérica de un flujo subsónico alrededor de un perfil NACA de 4 dígitos simétrico lo suficientemente largo para despreciar efectos laterales. 2.- Elaborar distintas gráficas concernientes a las variables bajo estudio con la información obtenida de la simulación, con el fin de observar las características del fenómeno y comprobar, mediante algunas de ellas, ciertos datos presentes en investigaciones previas referentes al tema. 3.- Visualizar los contornos y las estructuras turbulentas para una mejor apreciación del fenómeno, y dar así una explicación conjunta con los datos obtenidos en la simulación. 4.- Verificar el método de fronteras inmersas con una malla cartesiana deformada para este cuerpo en particular puede ser una alternativa para cálculos posteriores. Capítulo II Marco Teórico 4 CAPÍTULO II n ala es una superficie diseñada para proporcionar sustentación. Su sección vertical en la dirección del avance del avión se denomina perfil alar. Los perfiles se pueden clasificar en simétricos o asimétricos. Los perfiles simétricos tienen idénticas superficies tanto en la parte superior (extradós) como en la parte inferior (intradós). Estos satisfacen normalmente los requerimientos por ejemplo de un helicóptero debido a que su centro de presión no varía. En general existen cuatro fuerzas que actúan sobre un perfil: sustentación, propulsión, peso y arrastre o resistencia aerodinámica. Concretamente esta tesis estudiara las fuerzas de sustentación y de arrastre de un perfil simétrico. Antes de entrar en detalles debemos conocer los principios básicos en el estudio de perfiles que serán presentados en este capítulo. U Fuerza de Arrastre Fuerza de sustentación Capítulo II Marco Teórico 5 II.- MARCO TEÓRICO II.1.- Ley deBernoulli (Teorema de Bernoulli) En 1738 el físico suizo Daniel Bernoulli descubrió que en un fluído ideal se podía establecer una relación muy simple entre la energía potencial Ep y la energía cinética Ec. La Ep está representada por la presión p y la Ec por el producto de la densidad del fluído y por el cuadrado de la velocidad v . Bernoulli descubrió que, en una línea de corriente, la suma de estas dos energías es una cantidad constante, llamada energía mecánica. Se define la energía potencial de un fluído como: hgpEp Ecuación II - 1 Se define la energía cinética de un fluido como: 2 2 1 vEc Ecuación II - 2 g : Aceleración de la gravedad 9.81 [m/s2]. h : Altura de la superficie respecto al plano de referencia [m]. Esta presión es la debida a la velocidad del fluido en su movimiento. constante 2 1 2 Hvhgp Ecuación II - 3 Para mostrar esta ley tomaremos como ejemplo un tubo de corriente que pasa por dos líneas cerradas C1 y C2 (Figura II -1). Figura II – 1 Tubo de corriente que pasa por dos líneas cerradas Capítulo II Marco Teórico 6 En la superficie formada por el plano que contiene la línea cerrada y que corta al tubo de corriente, se considera que la velocidad, la presión y la altura respecto a un plano de referencia son constantes. Esto significa que: 2 2 221 2 11 2 1 2 1 hgvphgvp Ecuación II – 4 En la aerodinámica este resultado permite calcular la presión que se ejerce sobre un cuerpo una vez que se conoce la velocidad en las líneas de corriente que rodean el cuerpo. De la relación anterior se deduce que cuando la velocidad es alta, la presión se reduce y cuando la velocidad es baja, la presión debe aumentar. La Ecuación II-3 induce fácilmente que la presión de estancamiento es la constante H. El teorema de Bernoulli es válido para todo fluido estacionario ( 0v ), no viscoso e incompresible a través de un tubo de corriente. El teorema se aplica al flujo sobre superficies, como las alas de un avión o las hélices de un barco. Las alas están perfiladas para que obliguen al aire a fluir con mayor velocidad sobre la superficie superior que sobre la inferior, por lo que la presión sobre esta última es mayor que sobre la superior. Esta diferencia de presión proporciona la fuerza de sustentación que mantiene al avión en vuelo como se muestra en la Figura II-2. Figura II-2 Presiones en un perfil alar Capítulo II Marco Teórico 7 II.2.- CONTINUIDAD Este principio expresa, en general, el hecho de que el fluido ni se crea ni se transforma [4]. En la Figura II-3 consideremos un fluido, que atraviesa dos superficies S1 y S2, las cuales, son perpendiculares a las direcciones de las líneas de corriente del fluido. Como entre ambas superficies no existe ninguna fuente ni sumidero de fluido, la masa que entra por la superficie 1 será igual a la masa m que sale por la superficie 2, por tanto: 21 mm Ecuación II-5 Figura II-3 Flujo uniforme de un fluido a través de un cuerpo angosto La masa de fluido en movimiento que atraviesa una superficie, es igual: vSm Ecuación II-6 sKgm / masico Flujo: 3/ fluido del Densidad: mKg 2 Área: mS smv / fluido del Velocidad: 21 mm 2211 vSvS Ecuación II-7 Si consideramos que la densidad del fluido no varía entre las dos superficies, tenemos: 2211 vSvS Ecuación II-8 dContinuida deEcuación de Constante:vS Capítulo II Marco Teórico 8 Para una mejor representación tomaremos un perfil aerodinámico como ejemplo. Figura II-4 Perfil aerodinámico que representa un ala con ángulo de ataque En la Figura II-4 se representa el perfil del ala de un avión, con un determinado ángulo de ataque, dentro de un flujo de corriente de aire laminar. Aplicando de una manera cualitativa la ecuación de continuidad y el teorema de Bernoulli. La máxima deformación de las líneas de corriente se produce en la zona superior del borde de ataque, por lo tanto hay un aumento de velocidad del fluido, consecuentemente, esto lleva implícito una disminución de presión, muy marcada en el borde de ataque, disminuyendo hacia el borde de fuga. Justo por debajo del borde de ataque se aprecia una zona que no hay líneas de corriente (4), la velocidad del fluido en esta zona es nula, es la denominada zona de remanso (punto de estancamiento). Por el teorema de Bernoulli que a continuación se explica, la presión aumentará en el borde de ataque, encontrando una zona de sobrepresión, disminuyendo conforme se entra en el perfil hacia el borde de fuga. Finalmente por debajo del perfil y cerca del borde de fuga, se produce un pequeño aumento de la velocidad y por lo tanto una pequeña depresión, que compensará en parte, la producida en la misma zona por encima del perfil. Como la ecuación de continuidad señala, la velocidad de entrada debe ser la misma que la velocidad de salida. Capítulo II Marco Teórico 9 II.3.- CAPA LÍMITE Un fluído ideal no tiene viscosidad y por tanto, no tiene capacidad de resistir a la deformación producida por una fuerza cortante. Como la viscosidad es la propiedad de un fluído que tiende a evitar el movimiento de una parte del fluído con respecto a la otra, se deduce que todo fluído real, y por tanto viscoso, se resistirá al paso de un cuerpo sumergido en él. La viscosidad puede ser entendida pensando en la diferencia entre el aceite y el agua; el aceite es considerablemente más viscoso que el agua. Los efectos de la viscosidad se pueden ver fácilmente si se considera una placa fina y plana sumergida en un fluído móvil. Un fluído ideal se deslizaría por encima de la superficie libremente. Sin embargo, todo fluído real tiene una cierta viscosidad que le hará adherirse a la superficie de la placa. Por tanto, la capa de partículas de fluído más cercana a la placa se quedará en reposo. La siguiente capa de partículas se verá frenada, pero no se detendrá. La Figura II- 5 nos muestra este efecto. En la superficie de la placa la velocidad del fluído es nula. A una pequeña pero mensurable distancia de la superficie el fluído se mueve a la velocidad de la corriente libre. Esta capa de fluído, dentro de la cual la viscosidad causa una variación de la velocidad, recibe el nombre de capa límite. Como habitualmente es muy delgada con respecto al espesor del perfil alar, no invalida los cálculos anteriores respecto a la sustentación. El espesor de la capa límite normal en un avión varía desde pequeñas fracciones de [cm] en el borde de ataque del ala hasta un espesor de 30 [cm] en el borde de salida de un avión grande como el Boeing 747. Este concepto de la capa límite fue introducido por el profesor e ingeniero alemán Ludwig Prandtl (1975-1929). Figura II-5 Capa limite sobre una capa plana Hay dos tipos diferentes de flujo en la capa límite: laminar y turbulento (Figura II-6). La capa límite laminar tiene un flujo muy uniforme, mientras que la capa límite turbulenta contiene remolinos o torbellinos. El ingeniero y físico inglés Capítulo II Marco Teórico 10 Osborne Reynolds (1842-1929) desarrolló las relaciones básicas que nos permiten calcular qué tipo de capa límite existe en un flujo determinado. Sus teorías y experimentos le llevaron al descubrimiento de un número adimensional, denominado "número de Reynolds", que representa una relación constante en cada caso, y que sirve para determinar la naturaleza del flujo a lo largo de las superficies y alrededor de los cuerpos. El número de Reynolds seexpresa por la Ecuación II-9: lv Re Ecuación II-9 donde: ][Kg/m 3 fluido del Densidad ][m/sv 2 libre corriente de Velocidad [m]l ticacaracterís Longitud 22/ fluido del d viscosidade eCoeficientsm El análisis de las características del flujo indica que la transición del flujo laminar al turbulento a lo largo de una superficie depende del número de Reynolds. Como vemos en la Figura II-6 el flujo laminar se rompe al llegar a un valor límite del número de Reynolds y se convierte turbulento. El punto de transición depende de la aspereza de la superficie y del grado de turbulencia en la corriente libre, así como de los términos que forman el número de Reynolds. Figura II-6 Transición de flujo laminar a flujo turbulento en un perfil Los valores del número de Reynolds para los aviones normales pueden variar desde 6103x en un avión ligero hasta 81001x en el C-5A en ciertas condiciones de vuelo. Capítulo II Marco Teórico 11 Otro fenómeno asociado con el flujo viscoso es la separación. Se dice que tiene lugar la separación cuando el flujo se aparta bruscamente del cuerpo. Este fenómeno es particularmente predominante en perfiles alares a grandes ángulos de ataque; la separación en el borde de ataque o en el borde de salida causa una elevada resistencia aerodinámica y una reducción de la sustentación. Cuando ha ocurrido la pérdida, un aumento posterior en el ángulo de ataque no produce un aumento sino una disminución de la sustentación y un rápido aumento de la resistencia aerodinámica. Es importante recordar que la pérdida depende principalmente del ángulo de ataque. II.4.- FUERZAS DEBIDAS AL FLUJO DEL FLUÍDO Jean le Rond D'Alembert (1717 -1783), matemático y enciclopedista francés, fue el descubridor de la denominada "paradoja de D'Alambert", al estudiar las fuerzas que un fluído ideal ejercía sobre cuerpos sólidos. Sus cálculos demostraban que el fluído no ejercía ninguna fuerza sobre el cuerpo al pasar alrededor del mismo. Por ejemplo, según los cálculos matemáticos, el flujo de aire alrededor de un cilindro de infinita longitud, como el representado en la Figura II-7, no ejercía ninguna fuerza sobre el cilindro. D'Alambert comprendía que tal conclusión era falsa, porque los experimentos demostraban claramente que se ejercía una fuerza; pero nunca fue capaz de corregir sus cálculos Figura II-7 Flujo alredor de un perfil circular En el siglo XIX Lord Rayleigh (1842-1919), tratando de explicar la trayectoria sesgada de una pelota de tenis cuando se la golpea de determinada forma, estudió el flujo alrededor de un cilindro rotatorio, como el representado en la Figura II-8. Reconoció que el fluído real, que es viscoso, quedaría adherido al cilindro. Por tanto, la rotación añade un componente circulatorio a la velocidad en la superficie del cilindro. En comparación con la circulación en la Figura II-7, hay un aumento de velocidad en la superficie superior del cilindro y una Capítulo II Marco Teórico 12 disminución en la superficie inferior. La ley de Bernoulli demuestra que hay una disminución de la presión en la superficie superior y un aumento en la inferior, lo que produce una fuerza F por unidad de longitud del cilindro perpendicular a la dirección del flujo. Un ejemplo de flujo similar, aunque más complicado, es el producido por el movimiento de rotación de una pelota de tenis o de golf; las fuerzas producidas por el giro no están equilibradas y hacen que la trayectoria de la pelota sea una curva. Figura II-8 Flujo uniforme alrededor de un cilindro en rotación Este giro, hace que arrastre una parte del fluido que hay a su alrededor. Así, la velocidad en el punto 3 de la figura será mayor que la existente en el punto 2. 23 VV Por lo tanto al aplicar el teorema de Bernoulli las fuerzas debidas a la presión no son iguales: 'FF Por lo tanto aparece una fuerza aerodinámica neta, que tiende a desplazar la esfera en la dirección F. Esto se conoce con el nombre de efecto Magnus1. 1 Denominado así en honor al físico y químico alemán Heinrich Gustav Magnus (1802-1870) Capítulo II Marco Teórico 13 II.4.1- COEFICIENTE DE SUSTENTACIÓN En la física de fluidos sustentación es el fenómeno que representa a una fuerza que se opone a que los cuerpos más densos en el medio caigan bajo la acción solamente del campo gravitacional y las fuerzas de arrastre. La fuerza de sustentación puede superar a estas fuerzas haciendo que los cuerpos puedan elevarse en un medio menos denso. La sustentación producida en un ala o superficie aerodinámica es directamente proporcional al área total expuesta al flujo de aire y al cuadrado de la velocidad con que ese flujo incide en el ala (Ecuación II-10). También es proporcional, para valores medios, a la inclinación del ángulo de ataque del eje de la superficie de sustentación respecto al de la corriente de aire. Para ángulos superiores a 14 grados, la sustentación cambia con rapidez hasta llegar a la pérdida total cuando, por efecto de esos valores, el aire se mueve produciendo torbellinos en la superficie de las alas. En esta situación se dice que el perfil aerodinámico ha entrado en pérdida. Av F C LL 2 2 1 Ecuación II-10 II.4.2.- COEFICIENTE DE ARRASTRE Los mismos factores que contribuyen al vuelo producen efectos no deseables, como la resistencia, la fuerza que tiende a retardar el movimiento del avión en el aire. Un tipo de resistencia es la aerodinámica, producida por la fricción que se opone a que los objetos se muevan en el aire. Depende de la forma del objeto y de la rugosidad de su superficie (Ecuación II-11). Se puede reducir mediante perfiles muy aerodinámicos del fuselaje y alas del avión. Hay diseños que incorporan elementos para reducir la fricción, consiguiendo que el aire que fluye en contacto con las alas mantenga el llamado flujo laminar cuando se desliza sobre ellas sin producir torbellinos. Av F C DD 2 2 1 Ecuación II-11 Capítulo II Marco Teórico 14 Otro tipo de resistencia, llamada resistencia inducida, es el resultado directo de la sustentación producida por las alas. Se manifiesta en forma de torbellinos o vórtices en la parte posterior de los slats2 y especialmente del extremo de las alas, y en algunos aviones se coloca una aleta pequeña denominada winglet3, que reduce notablemente su efecto. Se llama resistencia total a la suma de ambas resistencias. La ingeniería aeronáutica trata de conseguir que la relación entre la sustentación y la resistencia total sea lo más alta posible, lo que se obtiene teóricamente al igualar la resistencia aerodinámica con la inducida, pero dicha relación en la práctica está limitada por factores como la velocidad y el peso admisible de la célula del avión. En el avión de transporte subsónico su valor puede llegar a veinte; en los de altas características se duplica ese valor, mientras que el incremento de la resistencia, cuando se vuela a velocidades supersónicas, lo reduce a menos de diez. II.5.- NUMERO DE STROUHAL El Número de Strouhal (St) es un número adimensional que se utiliza en el estudio de las vibraciones de un cuerpo cuando pasa por un caudal de fluido; en mecánica de fluidos, relaciona la oscilación de un flujo con su velocidad media. Se escribe: U L St Ecuación II-12 En donde: U la velocidad relativa del flujo. L una longitud característica. ω la frecuencia angular del flujo. Surge de procesos en los que un flujo se ve interrumpido por un objeto sólido, de forma que, al no ser el fluido totalmente capaz de rodearlo, la capa límitese 2 Son superficies flexibles aerodinámicas auxiliares situadas en el borde delantero o de ataque del ala, que funcionan automáticamente en algunos aviones o controlados por el piloto en otros. La función de los slats, es alterar momentáneamente la forma del ala durante el despegue y el aterrizaje para aumentar la sustentación, además de facilitar el control del movimiento lateral del avión. 3 incorporan en la punta de las alas una extensión doblada hacia arriba, casi de forma vertical, cuya función es disminuir la turbulencia que se forma en ese lugar durante el vuelo, con lo cual se mejora el rendimiento aerodinámico Capítulo II Marco Teórico 15 despega de éste con una estela de forma frecuencial. También se conoce como frecuencia reducida. Es fundamental considerarlo de cara a la construcción de edificios y estructuras, pues de no hacerlo, podría ocurrir como en el caso del puente de Tacoma, en el que la estructura entró en resonancia con el viento, el caudal del río, etc., y el puente colapsó. II.6.- CIRCULACIÓN Los científicos comprendieron rápidamente que el movimiento circulatorio causado por la rotación del cilindro de Rayleigh era un ingrediente que había sido ignorado en los modelos matemáticos teóricos. Así lo demostraron el ingeniero inglés Frederick W. Lanchester (1876-1946) a finales del siglo XIX; y a principios del siglo XX el matemático alemán Wilhelm Kutta (1867-1944) y el matemático y profesor de mecánica ruso Nicolás E. Joukowski. Sin esta corriente circular, el flujo alrededor de un perfil alar sería el que vemos en la Figura II-9; no se ejercen fuerzas sobre este perfil. De todos modos, la velocidad en el borde de salida es infinita, al obligar al flujo a dar la vuelta a una esquina en pico. Figura II-9 Flujo uniforme alrededor de un perfil de ala sin circulación. Kutta y Joukowski proponían que se debía añadir a este modelo teórico una circulación suficiente para corregir las condiciones del borde de salida. De este modo, mientras que se incrementa la velocidad media en la superficie superior del perfil, disminuye la velocidad en la superficie inferior, y el flujo en el borde de salida es gradual, como vemos en la Figura II-10. En el caso del cilindro de Rayleigh el aumento relativo de la velocidad en la parte superior está acompañado por una reducción de la presión; la disminución relativa de la velod Capítulo II Marco Teórico 16 Figura II-10 Flujo alrededor de un perfil de ala con circulación velocidad en la superficie inferior causa un aumento de la presión y ambas originan una fuerza F cuyo valor por unidad de longitud del ala se puede calcular, Joukowski fue capaz de demostrar posteriormente una relación bastante simple entre la circulación alrededor de un cuerpo bidimensional y la fuerza aerodinámica por unidad de longitud ejercida sobre él: vF Ecuación II - 13 donde: Densidad del fluido v Velocidad a la que el cuerpo se mueve dentro del fluído Circulación Esta relación es muy útil porque permite calcular directamente las fuerzas aerodinámicas conociendo la circulación, en lugar de tener que sumar las presiones diferenciales en la superficie del cuerpo. Circulación observada. Es interesante observar que un modelo práctico es una justificación muy real para la adición de circulación al modelo teórico. La representación del fluido en la Figura II-10 está muy de acuerdo con las observaciones experimentales, al igual que la fuerza calculada. En un fluido real la circulación es inducida por las fuerzas de la viscosidad que actúan junto a la superficie del perfil alar. No tenemos que imprimir al perfil un movimiento de rotación, como pasaba en el cilindro, pues la forma del perfil alar es tal que basta con la circulación lineal. De todas formas, hay una evidencia experimental directa de que la circulación, o movimiento rotatorio, se produce alrededor de un perfil alar al moverlo a través de un fluido, en la Figura II-11 vemos dos imágenes de un perfil alar que Capítulo II Marco Teórico 17 Figura II-11 Flujo laminar. Aparición del vórtice de un torbellino. Fotografías del flujo de agua alrededor de un perfil alar. Arriba: la cámara se mueve con el perfil. Abajo: la cámara en reposo con respecto al fluido sin perturbar. (De Aerodynamics de T. Von Karman, Cornell University Press, Ithaca, N. Y., 1954) abandona su estado de reposo en el agua. En ambas imágenes se observa un remolino del agua, denominado vórtice, que se difunde desde el borde posterior del perfil. Este vórtice causa rotación o circulación en el agua detrás del perfil. Theodore Von Karman4 ha relacionado con gran claridad este flujo con la sustentación generada por un perfil alar: “Ahora debemos recordar que, de acuerdo con un principio fundamental de la Mecánica, una rotación, o más exactamente, un momento de cantidad de movimiento, no puede ser creado en un sistema sin que aparezca una reacción. Por ejemplo, si tratamos de hacer girar un cuerpo, como una rueda, experimentamos una reacción que tiende a hacemos rotar a nosotros en dirección contraria. Del mismo modo, si el proceso de poner en movimiento una sección de ala crea un vórtice, es decir, una rotación de parte del fluído, en el resto del fluído se crea una rotación en sentido contrario. 4 Theodore Von Karman, Aerodynamics, Cornell University Press, Ithaca, N. Y. 1954. Capítulo II Marco Teórico 18 Este movimiento rotatorio del fluído se manifiesta conforme a la circulación alrededor de la sección del ala. De un modo análogo a como se vería en una la pelota de tenis, la circulación crea mayor velocidad (menor presión) en la superficie superior (extradós) y menor velocidad (mayor presión) en la superficie inferior (intradós). De esta manera se produce una sustentación positiva." Esto describe el principio básico de la forma en que la circulación producida por la vorticidad contribuye a la sustentación. II.7.- FAMILIAS DE PERFILES Un perfil alar es un sólido como el que mostramos en la Figura II-12. Existiendo una enorme cantidad de formas de perfiles alares fue necesario establecer una codificación sobre la base de sus características. Inicialmente las características que se tomaron en consideración fueron: la cuerda, que es la distancia entre el borde de ataque y el borde de fuga; la línea media, que corresponde a la línea formada por los puntos equidistantes a las superficies superior e inferior del perfil; y la comba, definida como la máxima separación entre la línea media y la cuerda, y se mide en porcientos de la magnitud de la cuerda. Uno de los primeros métodos de codificación fue establecido por el National Advisory Committee for Aeronautics (NACA) alrededor de 1930, la cual es antecesora de la National Aeronautics and Space Administration (NASA). Figura II-12 Perfil Alar Múltiples experimentos en túneles de viento determinaron que las características fundamentales de un perfil eran la magnitud de la comba, la posición de la comba y el grosor del perfil. El primer código tuvo cuatro cifras. Capítulo II Marco Teórico 19 NACA-Cuatro cifras (2415) La primera familia de las superficies de sustentación diseñadas usando este acercamiento se conocía como la serie de Cuatro-Dígitos de NACA. Que más adelante se presentara a detalle. NACA-Cinco cifras (23012) La primera cifra indica el valor del coeficiente de sustentación ideal de la curvatura del perfil multiplicado por 20 y dividido por 3. Las dos siguientes indican el doble de la posición de la máxima flecha de la línea media (curvatura) en %de la cuerda. Las dos últimas el espesor igual que en el caso del perfile NACA-cuatro cifras.El espesor es el mismo que para el perfil NACA- Cuatro cifras. La curvatura se obtiene mediante una parábola cúbica empalmada a una línea recta que llega hasta el borde de salida. NACA-Seis cifras (641-212) Los NACA serie 6 (seis dígitos) toman en cuenta la sustentación y la presión mínima sobre el perfil alar. Un avance notable en la codificación surgió hacia fines de los años 1960 cuando Richard Whitcomb, ingeniero de la NASA diseñó el perfil alar supercrítico para velocidades cercanas a Mach 1. Con esta metodología se diseñaron perfiles subsónicos codificados en la serie (GAW) (General Aviation Whitcomb). Estos perfiles se diseñaron computacionalmente usando como datos iniciales las características que se deseaban en contraposición a la usada anterior donde primero venía el diseño y luego se metía en un túnel de viento para estudiar sus propiedades. Estos perfiles poseen una gran concavidad en la superficie inferior de su popa. Otros perfiles NACA Existen otras tabulaciones realizadas por NACA (NACA-1, NACA-7, NACA-8) en las que la distribución de espesores aparece en forma tabulada y la línea media del perfil (curvatura) del perfil da una distribución especial de coeficiente local de sustentación. Capítulo II Marco Teórico 20 II.8.- NOMENCLATURA DE LOS PERFILES. En la Figura II-13 se muestra la terminología utilizada en la teoría de perfiles Figura II-13 Nomenclatura de un perfil 1- La línea de cuerda es una línea recta que une el borde de ataque y el borde de fuga del perfil. 2- La cuerda es la longitud de la línea anterior. Todas las dimensiones de los perfiles se miden en términos de la cuerda. 3- La línea de curvatura media es la línea media entre el extradós y el intradós. 4- Curvatura máxima es la distancia máxima entre la línea de curvatura media y la línea de cuerda. La posición de la curvatura máxima es importante en la determinación de las características aerodinámicas de un perfil. 5- Espesor máximo es la distancia máxima entre la superficie superior e inferior (extradós e intradós). La localización del espesor máximo también es importante. 6- Radio del borde de ataque es una medida del afilamiento del borde de ataque. Puede variar desde 0, para perfiles supersónicos afilados, hasta un 2% (de la cuerda) para perfiles más redondeados. Capítulo II Marco Teórico 21 III.9.- ECUACIONES DE UN PERFIL DE 4 DÍGITOS Figura II-14 Perfil de un ala subsónica asimétrica. En el perfil de ala simétrico coinciden la cuerda y la cuerda media aerodinámica. Las medidas de los perfiles del ala se realizan con referencia fracciones de la longitud de la cuerda. La curvatura positiva del extradós y la negativa de intradós se pueden medir como distancias perpendiculares desde el extradós o el intradós a la cuerda del ala. En la Figura II-14 se aprecian las expresiones para los un perfil NACA de cuatro dígitos. (m) El primer especifica la línea media 1/100*c: Expresa la curvatura máxima en porcentaje de la cuerda. Curvatura máxima es la distancia máxima entre la línea de curvatura media (mean line) y la línea de cuerda (chord line). (p) El segundo dígito 1/10*c: nos indica la posición en la que ocurre la curvatura máxima expresada en décimas de la cuerda medidas desde el borde de ataque. (t) El tercero indica el grueso máximo 1/100*c: expresa el máximo espesor (máxima distancia entre extradós e intradós), expresado en porcentaje de la cuerda de la superficie de sustentación. (c) El cuarto indica la longitud de la cuerda c x ; x Ecuación II-14 Para conocer la forma en que se genera un perfil de 4 dígitos, a continuación se muestran las ecuaciones para la obtención esta geometría. 1.- Determinar la línea de curvatura media. Esto se logra mediante una función a trozos o por partes: 2 2 2 xxp p m yc 0 x p Ecuación II-15 2 2 221 1 xxpp p m yc p < x 1 Ecuación II-16 Capítulo II Marco Teórico 22 Nota: x varía entre 0 y 1, dado q se considera la cuerda como c=1, luego se puede escalar los datos a cualquier medida. 2.- Determinar la distribución de espesor del perfil. Se calcula la distribución sobre (“+” extradós) y debajo (“-” intradós) de la línea media. 432 1015.02843.03516.01260.02969.0 2.0 xxxxx t yt Ecuación II-17 3.- Determinar el ángulo que forman las tangentes a la línea de curvatura media con la línea de cuerda para cada punto. Donde xyc /arctan Ecuación II-18 xp p m x yc 2 2arctanarctan 0 x p Ecuación II-19 xp p m x yc 2 1 2 arctanarctan p < x 1 Ecuación II-20 4. Se determinan las coordenadas finales para la superficie superior de la superficie de sustentación (XU, YU) y una superficie más baja (XL, YL) usando las relaciones siguientes. senyxX tU Ecuación II-21 cos tcU yyY senyxX tL Ecuación II-22 cos tcL yyY Estos coordenadas de puntos estarán referidos a la base canoníca de 2R (plano XY) y se obtendrá el perfil deseado. II.10.- FUERZAS EN EL PERFIL ALAR La nomenclatura y la notación normalizada que aparece en la Figura II-15. La cuerda geométrica c, también llamada simplemente cuerda, es un eje de referencia habitual. El ángulo de ataque , es el ángulo que forma la cuerda con el viento relativo V . Las fuerzas aerodinámicas que actúan sobre el perfil alar se pueden considerar como una fuerza F resultado de todas las presiones estáticas que actúan en una superficie aerodinámica, multiplicado por el área Capítulo II Marco Teórico 23 CP CP = Centro de presión afectada por las presiones, actuando en un punto y un momento M respecto a un punto denominado centro de presión CP. Por el teorema de protección la fuerza F se representa en dos componentes: la sustentación L (Lift) que actúa perpendicularmente al viento relativo y la resistencia aerodinámica D (Draft), que actúa en paralelo al viento relativo. Por tanto, la fuerza aerodinámica F calculada por Rayleigh, Kutta y Joukowski es sustentación pura. Figura II-15 El origen de la resistencia aerodinámica inducida. Se observarse que las fuerzas que actúan sobre una superficie alar, o sobre una superficie aerodinámica, lo hacen dentro de un sistema de coordenadas rectangulares (espacio 2R ). Uno de estos sistemas podría definirse por los ejes longitudinal y vertical del avión. Otro puede ser el formado por diferentes bases de dicho espacio (ejes paralelos y perpendiculares a la superficie terrestre), y un tercer sistema de coordenadas viene definido por la dirección del viento relativo y un eje perpendicular al mismo. Este último sistema es el que se elige para definir las fuerzas de sustentación y resistencia aerodinámica. Capítulo III Ecuaciones de gobierno 24 CAPÍTULO III n el presente capitulo modelaremos las ecuaciones que representan al sistema así como el esquema numérico a utilizar ya que son primordiales para el cálculo computacional, también se presenta la geometría en estudio sometida al mallado mediante el método de fronteras inmersa, el esquema numérico y las condiciones iniciales, dichas condiciones nos ayudan a definir de mejor manera la solución del sistema. E Capítulo III Ecuaciones de gobierno 25 III.-ECUACIONES DE GOBIERNO III.1 Ecuaciones de gobierno del fenómeno. En un marco de referencia cartesiano x, y, z las ecuaciones de flujo compresible deNavier – Stokes pueden ser escritas de la forma: i it x U F S Ecuación III - 1 Donde U es un vector de cinco componentes definido por ),3,2,1,( euuuU T Ecuación III - 2 Se considera además que 1 2 3u u uu , , es el vector velocidad, es la densidad. También el vector velocidad se escribe como u v wu , , . La ecuación III-1 representa la evolución de la densidad (ecuación de continuidad), cantidad de movimiento y energía total definida para un gas ideal como 2 2 21 1 2 32 ve C T u u u Ecuación III - 3 Fi son flujos donde 1 2 3i , , , y para un fluido Newtoniano esta dado por, 1 1 1 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 i i i i i i i i i i i i j i j i u u u p S u u p S u u p S T e p u u S k x F Ecuación III - 4 pk C es la conductividad térmica, la difusividad térmica, i j es la delta de Kronecker y ijS es el componente divergencia del tensor deformación. Despreciando la viscosidad, ijS se escribe, 1 2 2 3 i j i j i j j i u u S u x x Ecuación III - 5 Capítulo III Ecuaciones de gobierno 26 La viscosidad molecular se establece a través de la ley empírica Sutherland, 1 2 1 1 re f re f re f S T T T T ST T Ecuación III - 6 Donde S , Tref y (Tref) son funciones del gas. La conductividad k T se obtiene asumiendo que el número molecular de Prandtl es, pC Tv Pr k k T Ecuación III - 7 Para este análisis se considera de 0.7. La ecuación de estado para gas ideal referente a la presión estática p, la temperatura T, y la densidad , p R T Ecuación III - 8 concadena el sistema, con p vR C C . También se debe recordar que p v C C es constante. Debe observarse que el término forzado es equivalente a la imposición de un gradiente de presión de un flujo medio y constituye un camino conveniente y convencional para alcanzar de manera numérica la homogeneidad en la dirección del flujo. III.2 Esquema numérico y modelo de turbulencia. III.2.1 Simulación de Grandes Escalas (LES) [9] La técnica LES (Large-eddy simulation) consiste en hacer pruebas para simular únicamente las grandes escalas del flujo; las pequeñas escalas son filtradas hacia fuera, pero estadísticamente influye en el movimiento la escala grande. Las ecuaciones de LES son encontradas por la aplicación de un filtro espacial de bajo transcurso G x de tamaño en las ecuaciones de Navier – Stokes. Capítulo III Ecuaciones de gobierno 27 Esto elimina las escalas más pequeñas que el filtro de tamaño llamado escala sub – malla. Matemáticamente, la operación de filtrado corresponde a la integral de convolución de alguna cantidad f x t, del flujo por la función filtro G x , en la forma, x, y, x y yf t f t G d Ecuación III - 9 La parte submalla es la desviación del flujo actual con respecto al campo filtrado. 'f f f Ecuación III - 10 La aplicación del filtro a las ecuaciones compresibles de Navier – Stokes desarrollan el modelo matemático de la siguiente manera: 1 2 3 1 2 3 0 U F F F , t x x x Ecuación III - 11 con 2 2 21 1 2 32 ,ve C T u u u Ecuación III - 12 Y .RT Ecuación III - 13 Para derivar un formalismo tan cercano como sea posible al formalismo incompresible, es común en modelos de turbulencia estadística y en LES introducir el promedio de Favre. Se denota por f el peso – densidad filtrado de f , definido como: f f f Ecuación III - 14 Entonces se tiene que, 1 2 3 T U u u u e ´ , , , , Ecuación III - 15 y la energía total resuelta se escribe, Capítulo III Ecuaciones de gobierno 28 2 2 21 1 2 32v e e C T u u u Ecuación III - 16 Los flujos resueltos Fi son, 1 1 1 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 F i i i i i i i i i i i i j i j i u u u p S u u p S u u p S T e p u u S k x Ecuación III - 17 con la ecuación filtrada de estado, p RT Ecuación III - 18 Se introduce el tensor esfuerzo – submalla T con componentes, ij i j i j u u u u ,T Ecuación III - 19 el cual se divide en sus partes isotrópica y desviador, la siguiente ecuación lo denota: 1 1 3 3, , i j ij ll ij ll ij i j T T T T Ecuación III - 20 Entonces, las ecuaciones (III-17) y (III-18) pueden ser escritas como, 1 1 1 1 13 1 2 2 1 2 23 1 3 3 1 3 33 2 2 2 2 i i i i ll i i i ll i i i i ll i i j i j i u u u p S u u p S u u p S T e p u u S k x F T T T Ecuación III - 21 y 2 2 21 1 1 2 32 2v ll e C T u u u T Ecuación III - 22 Capítulo III Ecuaciones de gobierno 29 Una formulación elegante fue propuesta por Comte & Lesieur (1997), a través de la introducción de una macro – presión y una macro – temperatura definida como, 1 3 ll p T Ecuación III - 23 y la macro – temperatura, 1 2 ll v T C T Ecuación III - 24 La ecuación filtrada de estado (III-18) puede ser escrita como, 3 5 6 ll R T Ecuación III - 25 La ventaja principal de esta ecuación es que podemos derivar un sistema cerrado de ecuaciones en las cuales el desconocido ll T del tensor submalla no aparece explícitamente más extenso. De hecho, puede ser demostrado que la energía total resuelta se escribe, 2 2 21 1 2 32 ve C u u u Ecuación III - 26 Además, para 1 4. , fue demostrado por Comte y Lesieur (1997) que se justifica completamente despreciar el segundo término del lado derecho de la ecuación (III-25). Podemos entonces escribir, R Ecuación III - 27 Esto hace que sea calculable si y son conocidas. Necesitamos introducir después el vector de flujo de calor, denotado por Q , con componentes, Q i i i e p u e u Ecuación III - 28 Capítulo III Ecuaciones de gobierno 30 La expresión exacta para los flujos filtrados entonces se convierte en, 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 ( ) 2 i i i i i i i i i i i i i i i i j i j i u u u S u u S F u u S T e u Q u S k x Ecuación III - 29 El sistema descrito arriba se puede hacer compatible haciendo uso de los modelos submalla comunes basados en una viscosidad turbulenta, i j t i jv S Ecuación III - 30 Pr t i p t i v Q C x Ecuación III - 31 Los términos restantes no calculables son los términos de viscosidad molecular y difusivo, que se pueden considerar de menor importancia cuando el número de Reynolds es suficientemente grande. Por lo tanto simplemente reemplazamos (III-29) por: 1 1 1 2 2 2 3 3 3 2( ) 2( ) 2( ) ( ) 2( ) Pr i i i t i i i t i i i i t i t i t i j j p t i u u u v S u u v S F u u v S v e u v S u k C x Ecuación III - 32 En donde y k son ligadas con a través de la relación de Sutherland (III.6), un número de Prandtl molecular constante es asumido 0 7.pPr C k . Obsérvese que uno de los aspectos notables de esta formulación es que el sistema LES se puede deducir fácilmente de las ecuaciones compresibles de Navier – Stokes originales con los cambios siguientes: Capítulo III Ecuaciones de gobierno31 t t ptii v CkkveepTuu Pr ,,~,,,,~ Esto proporciona al código numérico un fácil uso para el LES sin modificaciones severas. Las expresiones para t v y t Pr utilizadas en las siguientes simulaciones compresibles corresponden a los modelos incompresibles descritos en Métais y Lesieur (1996), la única diferencia es que aquí se utiliza un promedio de Favre, antes descrito. Nuestro modelo submalla es el modelo selectivo de la función de la estructura propuesto por David (1993), la viscosidad local del remolino, esta dado por, 2( , , ) ( , , )t ssfv x t C F x t Ecuación III - 33 Donde ss fC puede ser expresado como función de la constante de Kolmogorov 3 2:K ss f KfC C C . ss fC toma el valor de 0.104 para 1.4KC . se toma igual a 1 3x y z , donde x , y y z , son los tamaños de la malla locales en las tres direcciones espaciales ( 3R ). ),,( ~ 2 txF es la función de estructura de segundo orden de la velocidad construida con el campo u . 2 ~ F calculado en la coordenada x con un promedio estadístico local de las diferencias de la velocidad de cuadro de los seis puntos más cercanos que rodean al punto x en la malla computacional. La interpolación se basó sobre la ley de 2 3 de Kolmogorov que se usa para la función estructura de la velocidad. Según lo propuesto por David (1993) [12], la viscosidad turbulenta se anula cuando la turbulencia no es lo suficientemente tridimensional. El criterio para tres dimensiones es definido como sigue: considérese en un momento dado que el ángulo entre el vector de vorticidad en un punto dado de la malla y su Capítulo III Ecuaciones de gobierno 32 medio aritmético de los seis puntos vecinos más cercanos. La viscosidad turbulenta se cancela en los puntos donde este ángulo es más pequeño que 20°. Finalmente, el número de Prandtl turbulento se toma igual a 0.7, con lo que enlaza la ecuación de la energía. El código numérico usa coordenadas generalizadas. La adaptación a las coordenadas generalizadas se realiza introduciendo una matriz Jacobiana que transforma una geometría compleja de malla no uniforme o geometría curvilínea, en un sistema de coordenadas Cartesiano x y z, , , dentro de una geometría ortogonal simple con malla uniforme en el sistema de coordenadas generalizadas 1 2 3( , , ) donde las ecuaciones se pueden resolver más fácilmente. Para este caso, simplemente consiste en una transformación de una malla no uniforme en el espacio físico x y z, , dentro de una malla uniforme en el espacio computacional 1 2 3( , , ) . Cada término en la matriz Jacobiana inversa 1J se expresa como funciones analíticas de las medidas i j x . Las medidas son introducidas y calculadas por el esquema interno de primer orden, entonces la matriz J es calculada directamente de 1J . La ecuación (III-1) se representa como, 1 2 3t ˆˆ ˆ ˆU F G H Ŝ Ecuación III - 34 Con 1 1 1 1 2 3 2 2 2 1 2 3 3 3 3 1 2 3 1 1 1 1 J J x x x J x x x J x x x J U Û , F̂ F G H , Ĝ F G H , Ĥ F G H , Ŝ S . Ecuación III - 35 Capítulo III Ecuaciones de gobierno 33 J es el determinante de la matriz J y U es función de las coordenadas cartesianas y del tiempo. III.2.2 Esquema Numérico El sistema en coordenadas generalizadas se resuelve por medio de una extensión del completo esquema explicito McCormack, de segundo orden en el tiempo y cuarto orden en el espacio, desarrollado por Gottlieb & Turkel (1976). Debe observarse que cuando se usa U tiende a ser reemplazada por U definida por la ecuación (III-16) cuando la técnica LES es considerada. El esquema numérico es un esquema corrector – predictor definido en una dimensión por, Predictor 1 1 2 16 8 7 n n n n n j j j j j j U U f f f t S , Ecuación III - 36 Corrector 1 1 1 1 1 11 1 1 2 12 12 2 7 8 n n j j j j j j j U U U f f f t S . Ecuación III - 37 Los índices 1 1n n y, simbolizan respectivamente para los valores de la función al tiempo t , tiempo t t y al paso – sub – tiempo. Obsérvese que las discretizaciones espaciales intermedias son esquemas no centrados de primer orden con un predictor adelantado (upwind) y un corrector atrasado (downwind). Como se especifica arriba el esquema resultante es de cuarto orden en el espacio. Capítulo III Ecuaciones de gobierno 34 La formulación generalizada en tres dimensiones ( 3R ) se escribe, Predictor 1 7 1 1 2 16 6 1 7 1 1 2 16 6 2 7 1 1 2 16 6 3 n P n n n n i j k i j k i j k i j k i j k i j k i j k n n n n i j k i j k i j k i j k n n n n i j k i j k i j k i j k t U U J t t , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ˆ ˆ ˆ ˆF F F F ˆ ˆ ˆ ˆG G G G ˆ ˆ ˆ ˆG G G G Ecuación III - 38 Corrector 1 1 1 1 1 171 1 1 1 1 22 2 6 6 1 1 1 1 17 1 1 1 26 6 2 1 1 17 1 1 1 26 6 3 n n C i j k i j k i j k i j k i j k i j k i j k i j k i j k i j k i j k i j k i j k i j k i j k i t U U U J t t , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ˆ ˆ ˆ ˆF F F F ˆ ˆ ˆ ˆG G G G ˆ ˆ ˆ ˆG G G G 1 j k, Ecuación III - 39 Capítulo III Ecuaciones de gobierno 35 III.3.- Condiciones iniciales. Para iniciar la simulación numérica es necesario definir las características del fenómeno estableciendo las condiciones iniciales y de frontera con el fin de resolver adecuadamente las ecuaciones de gobierno. La velocidad del flujo cuyas componentes son u, v, w fueron dadas para las condiciones iniciales como u = 1 v = 0 w = 0 donde u es considerada la velocidad de referencia en todo el dominio. Del mismo modo la presión P y la temperatura T también fueron consideradas con el valor adimensional. Conforme transcurre el tiempo de cómputo los valores de tales variables se ven modificados hasta que converjan a un valor y se estabilicen. III.4.- Fronteras inmersas [11]. Figura III.1 Perfil NACA sometido a fronteras inmersas La aproximación de mallado convencional para simular flujos con fronteras inmersas complejas es usado para discretizar las ecuaciones de gobierno en una malla curvilínea que conforma a las fronteras. La imposición de condiciones de frontera es en gran medida simplificada y resuelta, logrando ser fácilmente diseñada para mantener precisión adecuada y conservación de Capítulo III Ecuaciones de gobierno 36 propiedades. Sin embargo, dependiendo de la complejidad geométrica de las fronteras inmersas, la generación de la malla y la calidad de la misma, estas condiciones se pueden complicar. Una aproximación diferente consiste en usar simples mallas cartesianas, las cuáles simplifican en gran medida la generación de la malla y además tienen grandes ventajas con respecto al método convencional de cuerpo-ajustado en simulación de flujos con fronteras en movimiento, formas complicadas o cambios topológicos. De esta manera las fronteras inmersas pueden cortar a través de la malla de una manera arbitraria. El principal desafío es tratar a la frontera en una forma que no impacte desfavorablemente la precisión y la conservación de propiedades y la solución fundamental. Esto es especialmente crítico para flujos viscosos donde una inadecuada resolución de las capas límite pueden reducir la fidelidad de la solución numérica. El método de fronteras inmersas (IBM)5 recientemente ha ganado popularidad para simulación de flujos con geometrías complejas y esta diseñado para simular una gran variedad de flujos. La geometría de la frontera inmersa es definida por unos puntos marcadores. Las celdas cuyo centro yace dentro del cuerpo inmerso y tiene al menos una celda vecina cuyo centro de celda se encuentra fuera del cuerpo, es marcadacomo “celda fantasma”. El resto de las celdas con centros dentro del cuerpo, los cuáles no están adyacentes a la frontera inmersa, son marcadas como celdas “sólidas” (Figura III.2). Figura III.2 Se muestran en una malla cartesiana los puntos marcadores, los nodos de flujo, los nodos fantasma y los nodos sólidos. 5 Por sus siglas en inglés Immersed Boundary Method Capítulo III Ecuaciones de gobierno 37 La idea básica en este método consiste en calcular de manera computacional las variables del flujo para las celdas fantasma, tales que las condiciones de frontera en las cercanías de las estas celdas sean satisfechas. Para calcular el valor en el centro de las celdas fantasma una “sonda normal” es extendida de este nodo a las fronteras inmersas (a un punto llamado punto “frontera- interceptada”) y es llevado hasta un punto del fluido. De esta manera cuatro centros de celdas que rodean la punta de prueba son identificados para después emplear una interpolación bilineal en el dominio computacional y, de esta manera, calcular los valores en la punta de prueba. Las variables en el correspondiente nodo fantasma son subsecuentemente calculados extrapolándolos tal que satisfagan apropiadamente las condiciones de frontera. Para el caso tratado en este trabajo en el cuerpo simulado, no existieron las celdas fantasma pues no había celdas que estuvieran dentro y fuera de la frontera sumergida (recuérdese que es un perfil NACA de cuatro dígitos simétrico) por lo que tampoco la técnica de la interpolación fue necesaria. El método de fronteras sumergidas sirvió para crear una frontera dentro del dominio que sería considerada como el cuerpo de interés. Capítulo IV Condiciones de Frontera 38 CAPÍTULO IV n el presente capitulo expondremos las condiciones de frontera (entrada, salida y pared deslizante) que son necesarias para llevar acabo la simulación numérica, además de que conoceremos las características del domino computacional y sus parámetros los cuales nos ayudaran a que los efectos de la simulación no varíen demasiado y no encontremos resultados alejados a los ya conocidos para la geometría en estudio (perfil de cuatro dígitos simétrico). E Capítulo IV Condiciones de Frontera 39 IV.- CONDICIONES DE FRONTERA. IV.1.- CONDICIONES DE FRONTERA. Para llevar a cabo una simulación numérica la definición de las condiciones de frontera es una parte crucial en el trabajo. En este caso se utilizó el método conocido como NSCBC (Navier-Stokes Characteristic Boundary Conditions) y muy particularmente las condiciones de frontera elaboradas por Poinsot y Lele, las cuáles son válidas tanto para las ecuaciones de Euler como para las ecuaciones de Navier-Stokes. El método NSCBC parte de las ecuaciones de Euler para después hacer extensivo el análisis a las ecuaciones de Navier- Stokes, es decir, el método reduce a las condiciones de frontera de Euler cuando el término viscoso desaparece. La idea principal al utilizar este método consiste en que una vez cerca de la frontera las ecuaciones no sean resueltas como en el resto del dominio sino de una manera distinta basándose en la propagación en forma de ondas de las variables. Esto puede modelarse matemáticamente al descomponer una ecuación hiperbólica, como la ecuación compresible de Navier-Stokes, en ondas acústicas (Thompson, 1990) por medio de las cuales se propagan las variables. Dichas ondas, las cuáles corresponden en número a la cantidad de variables resueltas, poseen ciertas velocidades características asociadas a las amplitudes de las ondas. Estas velocidades son desde el punto de vista matemático los valores característicos locales del sistema hiperbólico. Las cinco velocidades características están dadas por u+c, u-c y tres de ellas con velocidad u, donde c corresponde a la velocidad local del sonido y u a la velocidad local del flujo. Esto significa que tres variables viajan a una misma velocidad u mientras que otra lo hace a una velocidad mayor (dada por la cantidad c) pero anticipándose a las otras y “recabando” información sobre las condiciones del dominio de “adelante”. La última variable, la cuál viaja a una velocidad u-c, lo hace en dirección contraria. Dicha variable es muchas ocasiones la más difícil de determinar. Para resolver las ecuaciones de onda para las condiciones del flujo que es subsónico y compresible, el método propone que tanto las velocidades como la temperatura se conozcan. De esta manera se tiene cuatro condiciones de Capítulo IV Condiciones de Frontera 40 frontera físicas (para 1 2, 3,u u u y T) y otra conocida como condición de frontera “suave” a resolver que corresponde a la variable necesaria para el método numérico. Es necesario para aventajar la solución en el tiempo determinar las amplitudes L de las diferentes ondas que cruzan las fronteras, cuyo desarrollo aparece en el siguiente apartado. IV.1.1 CARACTERÍSTICAS DE LAS CONDICIONES DE FRONTERA DE LAS ECUACIONES DE NAVIER-STOKES Para un flujo viscoso compresible las ecuaciones de dinámica de fluidos en coordenadas cartesianas son: ( ) 0i i m t x Ecuación IV-1 ii j ij i i i qE E p u u t x x x Ecuación IV-2 ( ) iji i j i i j m p m u t x x x Ecuación IV-3 Donde 1 2 1 k k p E u u Ecuación IV-4 i im u Ecuación IV-5 2 3 ji k ij ij j i k uu u x x x Ecuación IV-6 Aquí, p es la presión termodinámica, mi es la cantidad de movimiento iu en la dirección xi, E es la energía total (cinética e interna). El flujo de calor a lo largo de xi llamado qi esta dado por i i T q x Ecuación IV-7 Capítulo IV Condiciones de Frontera 41 La conductividad térmica es obtenida del coeficiente de viscosidad conforme a p r C P Ecuación IV-8 donde Pr es el número de Prandtl. Figura IV-1 Ondas acústicas entrando y saliendo del dominio computacional a través del plano de entrada (x1=0) y el plano de salida (x1=L) [10] Se considera ahora una frontera localizada en x1 = L (figura IV-1) Usando el análisis para modificar los térmicos hiperbólicos (convectivos) en las fronteras el sistema se reescribe: 1 2 3 2 3 ( ) ( ) 0d m m t x x Ecuación IV-9 2 1 1 3 2 4 3 5 2 3 2 3 1 2 1 k k i j ij i i dE u u d m d m d m d E p u E p u t x x q u x x i i ijj i x q u x Ecuación IV-10 11 1 1 3 1 2 1 3 2 3 ( ) j j m u d d m u m u t x x x Ecuación IV-11 22 2 1 4 2 2 2 3 2 3 2 ( ) j j m p u d d m u m u t x x x x Ecuación IV-12 33 3 1 5 3 2 3 3 2 3 3 ( ) j j m p u d d m u m u t x x x x Ecuación IV-13 Capítulo IV Condiciones de Frontera 42 Los términos diferentes entre los sistema de ecuaciones (IV-9 – IV-13) se modelan a partir de una descomposición local de las ecuaciones de Navier- Stokes en ecuaciones de onda. El vector d esta dado por el análisis de características (Thompson) y puede ser expresado como: d 1 1 2 5 1 22 1 1 1 1 2 5 1 1 13 1 1 5 14 2 15 3 1 4 3 1 11 1 ( ) ( )2 (1 ) 1 ( ) 12 1 ( ) 2 m x c m pc d x x d u p ud d x x d c u ud x u u x L L L L L L L L L Ecuación IV-14 Donde las L i son las amplitudes de las ondas características asociadas con cada velocidad característica i . Estas velocidades están dadas por: 1 1u c Ecuación IV-15 5 ,iu c Ecuación IV-16 2 3 4 1,u Ecuación IV-17 Donde c es la velocidad del sonido para un gas ideal: 2 pc Ecuación IV-18 1 y 5 son las velocidades de ondas acústicas moviéndose en el dominio en la dirección x1; u es la velocidad convectiva (la velocidad a la cuál el fluido localmente viajará en la dirección x1) donde 2 es la velocidad de convección de la entropía y 3 y 4 son las velocidades de convección 2u y 3u respectivamente. Las L i están dadas por: Capítulo IV Condiciones de Frontera 43 1 1 1 1 1 up c x x L Ecuación IV-19 2 2 2 1 1 p c x x L Ecuación IV-20 2 3 3 1 u x L Ecuación IV-21 3 4 4 1 u x L Ecuación IV-22 1 5 5 1 1 up c x x L Ecuación IV-23 Una simple interpretación física de las L i puede ser dado como la linealización de las ecuaciones de Navier-Stokes para ondas acústicas no viscosas unidimensionales. Consideremos ondas propagándose a la velocidad 1 .u c Si py u son las perturbaciones de presión y de velocidad, las amplitudes de onda 1A p cu se conservan a lo largo de la línea característica 1x t const , así que: 1 1 1 1 0 A A t x ó 1 1 0 A t L . En una localización dada (-L 1) representa la variación en el tiempo de la amplitud de onda A1. Por analogía, llamaremos a las L ‘’s la variación de amplitud de las ondas características cruzando la frontera. Esta relación entre las L y la amplitud de ondas cruzando las fronteras es la mayor ventaja de los modelos de ecuaciones de conservación. La aproximación usada en la técnica NSCBC es para inferir valores para la variación de la amplitud de las ondas en casos multidimensionales viscosos examinando un problema no viscoso unidimensional (LODI por sus siglas en inglés) asociado localmente. En cada punto de la frontera se pueden obtener tales sistemas LODI considerando el sistema de ecuaciones (IV.9 – IV.13) y omitiendo el término Capítulo IV Condiciones de Frontera 44 viscoso transversal. Las ecuaciones resultantes son fáciles de interpretar y nos permiten inferir valores para las variaciones de amplitud de onda considerando el flujo localmente como no viscoso y unidimensional. El sistema LODI puede ser lanzado en muchas diferentes formas dependiendo de la elección de las variables. En términos de variables primitivas, el sistema LODI es 2 5 12 1 1 ( ) 0 2t c L L L Ecuación IV-24 0)( 2 1 15 LL t p Ecuación IV-25 1 5 1 1 ( ) 0 2 u t c L L Ecuación IV-26 2 3 0 u t L Ecuación IV-27 3 4 0 u t L Ecuación IV-28 IV.1.2 Entrada subsónica Figura IV.2 Malla del dominio computacional a través del plano de entrada (x1=0) Muchas condiciones de frontera físicas existen para entradas subsónicas. Aquí describimos un caso donde todas las componentes de velocidad 1 2, 3,u u u así como la temperatura T son definidas. Estas cantidades pueden cambiar con el tiempo y son funciones de la localización espacial en el plano de entrada x1=0. Capítulo IV Condiciones de Frontera 45 La densidad (o presión) se debe resolver a partir de las condiciones de frontera 1 2 3 2 3(0, , , ) ( , , )u x x t U x x t 2 2 3 2 3(0, , , ) ( , , )u x x t V x x t 3 2 3 2 3(0, , , ) ( , , )u x x t W x x t 2 3 2 3(0, , , ) ( , , ).T x x t T x x t Este caso es típico de simulación directa de flujos turbulentos donde deseamos el control del cortante de entrada y perturbaciones del flujo introducido. Para un flujo subsónico tridimensional, cuatro ondas características están entrando al dominio: L 2, L 3, L 4, y L 5, mientras que una de ellas (L 1) esta saliendo del dominio a una velocidad 1 1 .u c Tenemos cuatro condiciones de frontera físicas para 1 2, 3,u u u y T, y una condición de frontera suave para . La relación no viscosa es necesaria para este caso. Para avanzar la solución en el tiempo en la frontera, necesitamos determinar las amplitudes L i de las diferentes ondas cruzando la frontera. Solo una de estas ondas (L 1) puede ser obtenida de puntos interiores. Las otras están dadas por el procedimiento siguiente. Paso 1. Las velocidades de entrada 1 2, 3,u u u son impuestas, por lo tanto, las ecuaciones (IV-11), (IV-12), (IV-13) no son necesarias. La temperatura de entrada es impuesta y la ecuación de la energía (IV-10) tampoco es necesaria. Paso 2. Como la velocidad de entrada 1u es impuesta, la relación sugiere la siguiente expresión para L 1: 5 1 2 dU c dt L L Ecuación IV-29 Como la temperatura en la entrada es dada, la relación LODI da una estimación de la amplitud de onda de la entropía L 2: Capítulo IV Condiciones de Frontera 46 2 2 5 1 1 ( 1)( ) 2 c dT T dt L L L Las relaciones de LODI (IV.27) y (IV.28) muestran que 3 /dV dt L y 4 / .dW dt L Paso 3. La densidad puede obtenerse usando la ecuación (IV.9), 1 2 2 ( ) 0d u t x Ecuación IV-9 Donde d1 esta dado por la ecuación (IV.14). 1 2 5 12 1 1 ( ) 2 d c L L L L 1 es resuelta de puntos interiores usando la ecuación IV-19. L 2 y L 5 han sido determinadas del paso 2. En este caso L 3, L 4 no son necesarias. IV.1.3 Flujo de salida subsónico no reflejante. Figura IV.3 Malla del dominio computacional a través del plano de salida (x1=L) Como salida del dominio se tiene una condición de flujo subsónico no reflejante, esto con el fin de evitar un conjunto de ondas reflejadas dentro del dominio que propicien ruido. Es imposible generar una condición de frontera 100% reflejante pero esto a su vez resulta conveniente dado que las pocas Capítulo IV Condiciones de Frontera 47 ondas que resulten reflejadas al interior del dominio puedan proporcionar información de las condiciones que se tienen al final. Si consideramos una salida subsónica donde queremos implementar una condición de frontera no reflejante, nosotros vemos que cuatro longitudes de onda, L 2, L 3, L 4 y L 5 salen del dominio mientras una de ellas (L 1) está entrando a una velocidad .11 cu Considerando una condición de frontera no viscosa para las variables primitivas se generarán ondas reflejadas. Por ejemplo, si se coloca la presión estática en la salida pp conducirá a un problema bien definido, sin embargo, creará ondas reflejantes. Se necesita añadir información física en la presión estática media p para que el conjunto de condiciones de frontera se mantenga bien definido. Con esto la presión media en el dominio es cercana a p . Un atractivo pero costoso camino
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