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ECONOMETRÍA 
 
APUNTES 
DE CLASE 
 
 
 
 
Profesores: 
 
Verónica Gil Aroztegui 
Aldo Lema Navarro 
 
 
 
 
Agosto 2004 
Pontificia Universidad Católica de Chile 
 
 
 
 
Estos apuntes están en permanente revisión por lo cual sugerencias o correcciones serán bienvenidas. 
E-mails: vgila@afpprovida.cl y alema@security.cl 
 
 
Econometría E-250: Apuntes de Clase Profesores Verónica Gil y Aldo Lema Agosto 2004 
 
1
 
INDICE 
 
1. INTRODUCCIÓN............................................................................................................................................ 1 
1.1 ORÍGEN Y CONCEPTO ....................................................................................................................................1 
Definiciones................................................................................................................................................................ 1 
Diferencias entre un econometrista y un estadístico:......................................................................................... 2 
1.2 MODELO ECONOMÉTRICO. .........................................................................................................................2 
1.3 OBJETIVOS DE LA ECONOMETRÍA ...........................................................................................................3 
1.4 METODO DE LA ECONOMETRÍA. ..............................................................................................................3 
1.5 DATOS, VARIABLES Y MODELOS. ............................................................................................................5 
DATOS. ....................................................................................................................................................................... 5 
RELACIONES............................................................................................................................................................ 7 
VARIABLES................................................................................................................................................................ 7 
FORMAS FUNCIONALES (Introducción) ........................................................................................................... 8 
ANEXO 1: RECORDANDO DE INFERENCIA.....................................................................................................................9 
Variable Aleatoria..................................................................................................................................................... 9 
Notación:..................................................................................................................................................................... 9 
Distribución de Probabilidades.............................................................................................................................. 9 
ANEXO 2: UN REPASO DE MATRICES .................................................................................................................11 
3.1.1 Operaciones matriciales:.............................................................................................................................11 
3.1.2 Valores y vectores propios...........................................................................................................................16 
3.2 ALGUNOS EJERCICIOS DE MATRICES..................................................................................................................19 
3.2.1 Operaciones con matrices............................................................................................................................19 
3.2.2 Determinantes...............................................................................................................................................19 
3.2.3 Matriz Inversa ...............................................................................................................................................20 
3.2.4 Valores y Vectores propios..........................................................................................................................20 
2. REGRESIÓN SIMPLE..............................................................................................................................22 
2.1 EL MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS ORDINARIOS (MICO). .......................................................................22 
2.1.1 Definición de análisis de regresión............................................................................................................22 
2.1.2 Especificación de la Regresión Simple......................................................................................................23 
2.1.3 Ejemplo:..........................................................................................................................................................23 
2.1.4 Fuentes de Error µ ........................................................................................................................................25 
2.1.5 Función de regresión poblacional y muestral.........................................................................................25 
2.1.6. MICO para una regresión simple..............................................................................................................29 
2.1.7 Ejemplo de cálculo de 
ˆ β 1 y 
ˆ β 2 ..................................................................................................................31 
2.1.8 Expresión de las formulas en desvíos. .......................................................................................................32 
2.1.9 Corolarios de los estimadores MICO. .......................................................................................................33 
2.1.10. Coeficiente de determinacion (R2)..........................................................................................................38 
2.1.11 Algunas Regresiones Particulares...........................................................................................................40 
2.1.12. ¿Cómo seleccionar entre estimadores? .................................................................................................42 
2.2 SUPUESTOS CLÁSICOS DEL MODELO DE REGRESIÓN. .....................................................................................45 
1. La variable explicativa X está dada (es no estocástica o no aleatoria)..............................................46 
2. E(µi/Xi)=0 ∀ i ...............................................................................................................................................46 
3. No autocorrelación ⇒ Cov( µi, uj)=0 i≠j...............................................................................................46 
4. Homocedasticidad ⇒ V(µi/Xi)=σ2...........................................................................................................48 
5. El modelo está bien especificado...............................................................................................................49 
6. Normalidad ⇒ µi ∼N( 0 , σ2) ..................................................................................................................49 
 
Econometría E-250: Apuntes de Clase Profesores Verónica Gil y Aldo Lema Agosto 2004 
 
2
2.3 PROPIEDADES ESTADÍSTICAS DE LOS ESTIMADORES MICO .............................................................................49 
2.3.1 Linealidad.................................................................................................................................................50 
2.3.2 Insesgamiento...........................................................................................................................................50 
2.3.3 Eficiencia..................................................................................................................................................522.4 INFERENCIA ESTADÍSTICA EN EL MODELO DE REGRESIÓN LINEAL SIMPLE..................................................62 
2.4.1 Repaso Breve de algunos teoremas de Inferencia...................................................................................62 
2.4.2 ¿Qué Consecuencias tiene suponer µi ~ N(0, σ2)? .................................................................................65 
2.4.3 Intervalos de Confianza para β1 y β2. ....................................................................................................67 
2.4.4 Prueba de hipótesis......................................................................................................................................68 
2.4.5 Recordando de inferencia:...........................................................................................................................70 
2.4.6 Ejemplos de Test De Hipótesis....................................................................................................................71 
2.5 ANALISIS DE VARIANZA.......................................................................................................................................76 
Grados de Libertad.................................................................................................................................................78 
2.6 PRUEBA DE NORMALIDAD......................................................................................................................................80 
3. MODELO DE REGRESIÓN MULTIPLE ..........................................................................................................81 
3.1 DEFINICIONES ...................................................................................................................................................81 
• Modelo de regresión poblacional múltiple...............................................................................................81 
• Modelo de regresión muestral múltiple....................................................................................................82 
3.2 ESTIMADORES MICO ......................................................................................................................................84 
3.2.1 Primera forma de derivación.....................................................................................................................84 
3.2.2 Otra forma de encontrar β̂ ...................................................................................................................87 
3.2.3 Deducción de los estimadores MICO en el modelo simple...................................................................89 
3.2.4 Una interpretación de los estimadores MICO. ......................................................................................93 
3.2.5 Corolarios de los Estimadores MICO ......................................................................................................95 
3.3 SUPUESTOS CLÁSICOS.........................................................................................................................................101 
Explicación.............................................................................................................................................................102 
3.4 PROPIEDADES ESTADÍSTICAS DE LOS ESTIMADORES MICO..........................................................................105 
3.5.1 Linealidad....................................................................................................................................................105 
3.5.2 Insesgamiento..............................................................................................................................................105 
3.5.3 Eficiencia......................................................................................................................................................105 
3.5.4 Consistencia.................................................................................................................................................111 
3.6 INFERENCIA EN EL MODELO GENERAL...............................................................................................................112 
3.6.1 Distribución de β̂ ......................................................................................................................................112 
3.6.2 Distribuciones derivadas de µ...................................................................................................................112 
3.6.3 Distribución de 
2
'
 
σ
ee
.................................................................................................................................113 
3.6.4 Prueba de Hipótesis en el Modelo Múltiple............................................................................................115 
3.5.5 Test General Para Probar Restricciones Lineales de Parámetros.....................................................117 
3.5.6 Estabilidad y Cambio Estructural ............................................................................................................123 
3.6 PREDICCION ......................................................................................................................................................131 
• ¿Cuál es el valor esperado del error de predicción?...........................................................................132 
• ¿Cuál es la varianza de e0?.......................................................................................................................132 
• ¿Cómo se distribuye e0? ............................................................................................................................133 
• Intervalo de confianza para el error de predicción..............................................................................133 
• Intervalo de confianza para Y0.................................................................................................................134 
4. VARIABLES FICTICIAS O DUMMY O BINARIAS O DICOTÓMICAS .............................................135 
4.1 MODELOS ALTERNATIVOS. .......................................................................................................................135 
Ejemplo 1: Unica Variable Explicativa es una variable dummy. .................................................................135 
 
Econometría E-250: Apuntes de Clase Profesores Verónica Gil y Aldo Lema Agosto 2004 
 
3
Ejemplo 2: Una variable cualitativa y otra cuantitativa................................................................................136 
Ejemplo 3: Dos variables cualitativas...............................................................................................................137 
Ejemplo 4: Interacción entre una variable cuantitativa y una cualitativa..................................................137 
Ejemplo 5: Variables Cualitativas Politómicas...............................................................................................138 
4.2 VARIABLES DUMMY PARA DESESTACIONALIZAR.........................................................................140 
4.3 VARIABLES DUMMY PARA DETECTAR CAMBIO ESTRUCTURAL............................................143 
4.4 VARIABLES DUMMY PARA CORREGIR OUTLIERS. ........................................................................145 
5. MULTICOLINEALIDAD ....................................................................................................................................147 
5.1 INTUICIÓN ..........................................................................................................................................................147 
5.2 TIPOS DE MULTICOLINEALIDAD.............................................................................................................148 
Multicolinealidad perfecta...................................................................................................................................148Multicolinealidad imperfecta..............................................................................................................................150 
¿Por qué importa el determinante?....................................................................................................................151 
5.3 EFECTO DE LA MULTICOLINEALIDAD A NIVEL EMPÍRICO ........................................................152 
En el modelo con dos variables explicativas...................................................................................................152 
En el Modelo General...........................................................................................................................................152 
Efectos prácticos de la multicolinealidad:........................................................................................................153 
5.4 FORMAS DE DETECTAR LA MULTICOLINEALIDAD.........................................................................153 
Por sus efectos sobre los test...............................................................................................................................153 
5.5 FORMAS DE SOLUCIONAR LA MULTICOLINEALIDAD ...................................................................154 
No hacer nada........................................................................................................................................................154 
Incorporar información adicional......................................................................................................................154 
6. HETEROCEDASTICIDAD ...................................................................................................................................157 
6.1 ¿CÓMO SE AFECTAN LAS PROPIEDADES DEL ESTIMADOR MICO CUANDO EXISTE 
HETEROCEDASTICIDAD? ....................................................................................................................................158 
¿Qué ocurre si se estima por MICO sin tener en cuenta la heterocedasticidad?......................................160 
6.2. MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS GENERALIZADOS................................................................................160 
Derivación de MCG en el caso simple ..............................................................................................................162 
Derivación de MCG en el caso múltiple. ..........................................................................................................162 
6.3. ¿CÓMO DETECTAR LA HETEROCEDASTICIDAD? ..........................................................................163 
• Naturaleza del problema:..........................................................................................................................164 
• Método gráfico:...........................................................................................................................................164 
• Prueba de Park............................................................................................................................................164 
• Prueba de Glesjer .......................................................................................................................................164 
• Goldfeld - Quant .........................................................................................................................................165 
• Test de White. ..............................................................................................................................................166 
6.4 ¿CÓMO SOLUCIONAR HETEROCEDATICIDAD? ..............................................................................166 
Ejemplo en caso general ......................................................................................................................................167 
7. AUTOCORRELACIÓN.........................................................................................................................................169 
7.1 INTRODUCCIÓN................................................................................................................................................169 
7.2 CAUSAS MÁS FRECUENTES DE AUTOCORRELACIÓN ....................................................................170 
Ciclos o tendencias en las variables, .................................................................................................................170 
Autocorrelación espacial,....................................................................................................................................170 
Influencia prolongada de shocks:.......................................................................................................................170 
Inercia:....................................................................................................................................................................170 
Mala especificación..............................................................................................................................................170 
Quiebre o cambio estructural..............................................................................................................................171 
7.3 ALGUNAS DEFINICIONES .............................................................................................................................172 
Autocovarianza ......................................................................................................................................................172 
 
Econometría E-250: Apuntes de Clase Profesores Verónica Gil y Aldo Lema Agosto 2004 
 
4
Coeficiente de Autocorrelación...........................................................................................................................172 
EJEMPLO...............................................................................................................................................................172 
7.4 PROPIEDADES DE LA ESTIMACIÓN MICO BAJO AUTOCORRELACIÓN ...................................175 
7.5 ¿CÓMO DETECTAR AUTOCORRELACIÓN?...........................................................................................................176 
Método gráfico:.....................................................................................................................................................176 
Estadístico de Durbin-Watson (1951)................................................................................................................176 
Test de Breusch - Godfrey (1978).......................................................................................................................179 
Ejemplo de utilización de los test en Eviews. ...................................................................................................179 
7.6 FORMAS DE CORREGIR POR AUTOCORRELACION ......................................................................181 
7.6.1 Conozco la forma de la autocorrelación y conozco ρ.....................................................................181 
7.6.2 . No conocemos ρ...............................................................................................................................184 
8. ESPECIFICACION DE MODELOS ...................................................................................................................186 
8.1 ATRIBUTOS DE UN BUEN MODELO .........................................................................................................186 
8.2 TIPO DE ERRORES DE ESPECIFICACIÓN................................................................................................186 
8.3 CONSECUENCIAS DE LOS ERRORES DE ESPECIFICACIÓN. .........................................................186 
8.3.1 Variables Omitidas......................................................................................................................................1868.3.2 Inclusión de una Variable Irrelevante (Variables Intrusas)................................................................189 
Conclusión para Especificar Modelos...............................................................................................................190 
 
Econometría E-250: Apuntes de Clase Profesores Verónica Gil y Aldo Lema Agosto 2004 
 
1
11.. IINNTTRROODDUUCCCCIIÓÓNN 
1.1 ORÍGEN Y CONCEPTO 
Algunos economistas ⇒ Europa S. XIX 
Otros ⇒ S. XX (como movimiento organizado) 
1930 ⇒ fundación de la Sociedad Econométrica (Revista, 1933) 
 
La Econometría se nutre de: 
• Economía (“Teoría”) 
• Matemáticas (“especificaciones” y “tools”) 
• Estadística (“Técnicas”) 
 
Definiciones. 
• “Es lo que hacen los econometristas” 
• Etimológicamente: “Economía Medida” 
Sin embargo, este es un concepto vago, porque medir el PIB, el empleo, la oferta de 
dinero, etc., no es econometría. El concepto es más amplio que este. 
• Maddala: 
“Es la aplicación de métodos estadísticos y matemáticos al análisis de los datos 
económicos con el propósito de otorgar contenido empírico a las teorías económicas, 
verificándolas o refutándolas” 
• Kennedy: 
“ Los desacuerdos permitirían escribir un paper” 
La confusión proviene de que los econometristas son al mismo tiempo: 
i) Economistas: interpretan (o crean teoría) para probar empíricamente. 
ii) Matemáticos: formulan matemáticamente su teoría 
iii) Estadísticos aplicados: buscando datos para sus variables y gastando horas 
frente al computador tratando de estimar relaciones económicas y prediciendo. 
iv) Estadísticos teóricos: aplicando su habilidad para desarrollar técnicas 
estadísticas apropiadas a los problemas empíricos. 
• La econometría no significa lo mismo que estadística económica, tampoco es lo que 
conocemos como teoría económica, ni es la aplicación de las matemáticas a la 
economía. Econometría es la unificación de estas tres áreas. 
 
 
Econometría E-250: Apuntes de Clase Profesores Verónica Gil y Aldo Lema Agosto 2004 
 
2
Diferencias entre un econometrista y un estadístico: 
La preocupación del econometrista está en los problemas causados por la violación de 
“supuestos estadísticos clásicos”; la naturaleza de las relaciones económicas y la falta de 
“experimentos controlados” 
 
1.2 MODELO ECONOMÉTRICO. 
 
i) MODELO: representación simplificada de la realidad, recurriendo a un número 
limitado de conceptos formalizados. 
 Críticas: 
• Sobre-simplificación. El contra-argumento es que se puede partir con un modelo 
sencillo y luego complicarlo. 
• Supuestos poco realistas. Sin embargo, se podría argumentar como lo hace 
Friedman, que lo importante no es cuán reales sean los supuestos, sino que tan 
buenos son como aproximación al fenómeno a explicar. 
• Se basa en un número limitado de “datos” 
ii) MODELO ECONÓMICO, conjunto de supuestos que aproximadamente describen 
el comportamiento de una economía (o de un sector) 
Ej. La función de producción Cobb-Douglas, Y= A KαLβ, establece la relación 
exacta, deterministica, que existe entre los insumos y el producto, basándose en una 
serie de supuestos. Pero, si quisiéramos testear cuán bueno es este modelo para 
explicar la evolución del PIB en Chile, tendríamos algunos problemas. 
Sin importar lo sofisticado que sea nuestro modelo de producción, no nos servirá 
para explicar hechos como la caída de la producción por inundación o sequía, los 
momentos de huelga, etc. 
Para poder testear este modelo, es necesario incorporarle elementos estocásticos. 
Esto lo convertirá de un modelo económico en uno econométrico. 
iii) MODELO ECONOMÉTRICO: es un set de ecuaciones de comportamiento 
derivadas de un modelo económico que involucra: 
- variables observables 
- elementos estocásticos o shocks, que recogen errores de medición en las 
variables observadas y factores que no pueden ser recogidos por el modelo. 
Esto hace que la variable objetivo varíe no sólo porque lo hacen las variables 
explicativas, sino por cierta aleatoriedad del comportamiento humano o del 
contexto. 
El modelo determinístico ⇒ Y= A KαLβ se transforma en 
El modelo econométrico ⇒ Y= A KαLβ eµ 
 
Econometría E-250: Apuntes de Clase Profesores Verónica Gil y Aldo Lema Agosto 2004 
 
3
El término eµ será una variable aleatoria con determinadas propiedades que veremos 
en el curso, por lo que deberemos especificar la distribución de probabilidad de µ y 
las consecuencias de estas sobre la estimación. 
 
1.3 OBJETIVOS DE LA ECONOMETRÍA 
 
i) Formulación de modelos econométricos (o sea modelos económicos en una forma 
testeable empíricamente). Objetivo: DESCRIPTIVO⇒ representar la realidad 
Usualmente hay diversas formas de formular un modelo econométrico a partir de un 
modelo económico ya que debe elegirse ⇒ forma funcional 
⇒ especificación de la estructura 
estocástica de las variables, etc. 
ii) Estimar y testear los modelos con datos. Objetivo: INTERPRETAR. 
iii) Usar los modelos con fines predictivos y de política. 
 
De lo anterior se infiere que LA ECONOMETRIA 
⇒ ¿Es una ciencia? 
⇒ Aplicación de modelos estadísticos para intentar verificar modelos económicos que 
representan el funcionamiento de la economía 
 
1.4 METODO DE LA ECONOMETRÍA. 
i) Diagrama que resume la Metodología de la econometría (Cuadro 1) 
1. Teoría
Económica o
Modelo 
Económico
3.Información 
apriori
2. Modelo
Econométrico 4. Datos
5. Estimación
del Modelo
6. Testeo de
Hipótesis 
sugeridas por
el Modelo
Económico
7.Predicción y
Políticas 
 
Econometría E-250: Apuntes de Clase Profesores Verónica Gil y Aldo Lema Agosto 2004 
 
4
Para el ejemplo que veíamos antes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ii) Críticas: 
- Hay feedback entre 1 y 6 (no es cierto que sólo se “testean teorías”) 
- Hay feedback entre 2 y 5 con 3 (también hay aportes en datos) 
- Hay feedback entre 6 y 2 (como resultado de los test econométricos es posible 
replantear modelos econométricos) 
Por tanto hay retroalimentación (Cuadro 2) 
¿Es el modelo adecuado?
si
no
Prueba de alguna hipótesis
Uso del modelo para predicción y políticas
Teoría Económica
Modelo Econométrico
Estimación 
Pruebas de Especificación y 
examen de Diagnóstico
Datos
 
 
1. Y=AKαLβ 
2. Y=AKαLβeµ 
3. Revisión de 
resultados 
obtenidos en 
otros estudios 
similares, 
nacionales e 
internacionales 
4. Conseguir 
los datos de 
PIB (Y) y 
Empleo (L) 
del Banco 
Central. 
Construir una 
serie de 
capital (K). 
5. Estimación de α 
y β 
6. Verifico hipótesis 
respecto a los 
parámetros. Ej: Test 
α+β=1 
7. Predicción: dadas las estimaciones de K y L, cual será el PIB del 
próximo año 
 
Econometría E-250: Apuntes de Clase Profesores Verónica Gil y Aldo Lema Agosto 2004 
 
5
⇒ los resultados econométricos influyen en la teoría 
⇒ del modelo econométrico hacia los datos 
⇒ De los test de especificación hacia la revisión de la especificación del modelo. 
 
¿Qué constituye un test para la teoría económica? 
- Signos de los coeficientes son correctos. Problema: diferentes estudios 
econométricos llegan a conclusiones contradictorias. 
- El test más válido: “que una teoría económica genere mejores predicciones que 
una alternativa”. 
- Estabilidad de los coeficientes estimados (Crítica de Lucas). 
- IMPORTANTE: La econometría no es un elemento para derribar teorías, sino 
para conocer la realidad, y ver si los datos que tenemos se ajustar a la teoría. 
- SI LOS DATOS NO SE AJUSTAN LO ÚNICO QUE SE PUEDE DECIR 
ES QUE ESTOS DATOS NO VERIFICAN LA TEORÍA. 
- Error muy común: concluir que la equivocada es la realidad, si esta no coincide 
con el modelo. 
- Sin embargo pueden haber ciertas fuentes de error en la elaboración del 
modelo: 
- El modelo no se ajusta a la realidad. 
- Mala formulación del modelo 
- No se dispone de buena cantidad y/o calidad de datos. 
 
1.5 DATOS, VARIABLES Y MODELOS. 
DATOS. 
Hay tres tipos: 
i. Datos de cross-section (seccióncruzada): son observaciones de una variable para 
varias unidades individuales en un momento de tiempo. Por ejemplo, la tasa de 
crecimiento del PIB para el año 1991, para distintos países de América Latina. 
 1991 
ARGENTINA 8.9 
BOLIVIA 5.1 
BRASIL 0.3 
CHILE 6.8 
COLOMBIA 1.8 
ECUADOR 4.9 
MEXICO 3.6 
PARAGUAY 2.3 
PERU 2.6 
URUGUAY 3.2 
VENEZUELA 9.7 
 
Econometría E-250: Apuntes de Clase Profesores Verónica Gil y Aldo Lema Agosto 2004 
 
6
ii. Datos de series temporales: son observaciones de una determinada variable a lo 
largo de cierto período de tiempo. Por ejemplo en PIB del período 1976-1997 
 
PIB de CHILE a precios constantes 
(escala logarítmica) 
 
iii. Pool-Data: es la mezcla de datos de cross-section y series temporales. Ejemplo: 
tasas de crecimiento de varios países de América Latina en el período 1991-1995. 
Un tipo especial son los datos de panel (Panel Data), donde a la unidad de corte 
transversal se la sigue en el tiempo. 
 
 1999 2000 2001 2002 2003 
 
Argentina -3.1 -0.5 -4.4 -10.9 8.4 
Brasil 1.0 4.5 1.5 1.6 0.0 
Colombia -4.5 2.8 1.4 1.5 3.3 
Chile -1.0 4.4 2.8 2.1 3.5 
México 3.5 6.9 -0.3 0.9 1.1 
Perú 3.8 3.6 0.2 5.2 4.0 
Venezuela -7.2 3.2 2.7 -8.9 -10.0 
Ecuador -7.3 2.3 5.6 3.4 2.3 
Guatemala 3.8 3.6 1.8 2.3 2.5 
Rep.Dominicana 8.0 7.8 3.0 3.5 -3.0 
Uruguay -3.2 -1.1 -3.1 -10.8 2.5 
 
15.6
16.0
16.4
16.8
17.2
17.6
60 65 70 75 80 85 90 95 00
 
Econometría E-250: Apuntes de Clase Profesores Verónica Gil y Aldo Lema Agosto 2004 
 
7
RELACIONES. 
i) Uniecuacionales: 
Es aquella en que la variable dependiente “está determinada” por variables 
explicativas. 
C= f(Y,r,G), donde C (Consumo) es la variable dependiente e Y(Ingreso) , r (tasa de 
interés) y G (Gustos) las variables independientes. 
ii) Multiecuacionales 
Es cuando para explicar un fenómeno se requieren varias ecuaciones. 
Ej: Consumo Durables =f(Ingreso Permanente, tasa de interés) 
 Consumo No Durables: f(Ingreso Transitorio) 
El tratamiento de las ecuaciones puede ser en forma separada o conjunta. 
iii) Ecuaciones simultáneas. 
Es cuando dos o más variables vienen determinadas “simultáneamente” por un 
cierto número de variables explicativas. 
En los casos anteriores, el ingreso (Y) es “dado” para una familia individual, pero 
en la economía como un todo no se puede considerar que el ingreso esté “dado” 
Para un consumidor individual el precio de un bien viene “dado”. Para toda la 
economía, los precios y las cantidades vienen determinadas simultáneamente por las 
condiciones de oferta y demanda. 
Qd = f (p,x) 
Qs= f (p,z) 
Qd =Qs 
Donde Qd es la cantidad demandada, Qs es la cantidad ofrecida, X es la variable de 
escala en la demanda (Ingreso) y Z es la variable de escala en la oferta (tecnología). 
 
VARIABLES. 
En general: 
Variable dependiente: Y 
Variables independientes: X1, X2......Xk 
Sin embargo, reciben también otros nombres: 
Y X1, X2......Xk 
a) Predicha Predictores 
b) Regresandos Regresores 
c) Explicada Explicativas 
d) Dependiente Independientes 
e) Causada Causante 
f) Endógena Exógena 
g) Objetivo Control 
 
Econometría E-250: Apuntes de Clase Profesores Verónica Gil y Aldo Lema Agosto 2004 
 
8
La primera denominación surge de la posibilidad de efectuar predicciones. La terminología 
de las letras b, c y d son las usualmente utilizadas cuando se habla de modelos de 
regresión. En los estudios de causalidad se utiliza la expresión e). Se habla de variables 
exógenas y endógenas cuando se quiere distinguir entre aquellas variables que se 
determinan dentro del sistema (endógenas) y aquellas que se determinar fuera (exógenas). 
Por ejemplo en modelos de gran escala para explicar la economía de un país las variables 
exógenas son las determinadas fuera del país, como precios internacionales, tasas de 
interés, movimientos de capitales, etc. 
En problemas de control, se utiliza g). Por lo general las objetivo son aquellas que se desea 
influenciar. 
 
FORMAS FUNCIONALES (Introducción) 
 
i) Lineal ⇒ C= α + βY 
ii) Log-Lineal ⇒ ln C= α + β ln Y 
También se le llama Doble Logarítmica. Elasticidad Constante. 
iii) Semi-logarítmica ⇒ ln C= α + β Y ⇒Elasticidad Variable 
iv) Lineal-Recíproco ⇒ C=α + β (1/Y) 
v) Log-Recíproco ⇒ ln C= α +β (1/Y) 
vi) Lineal Log ⇒ C=α +β lnY 
 
En iv y v, la relación entre C e Y no es lineal. 
 
¿Qué significa linealidad? 
i) En las variables: la relación entre la variable dependiente y las variables 
independientes es lineal. Y= α +β X 
ii) En los parámetros: la relación es lineal en β por ejemplo, si dicho coeficiente 
aparece con potencia 1 y no está multiplicado ni dividido por otro parámetro. 
Y= α +β X (lineal en variables y parámetro β) 
Y= α +β (1/X) (lineal en parámetro, pero no en las variables). 
 
Cuando se habla de linealidad en este curso se hace referencia a la LINEALIDAD EN 
LOS PARÁMETROS. 
 
TAREA: de los modelos anteriores determine cuáles son lineales en los 
parámetros, en las variables o en ambos. 
 
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9
ANEXO 1: RECORDANDO DE INFERENCIA 
Variable Aleatoria 
Una variable aleatoria es una función que asocia un número real a cada elemento de un 
espacio muestral. 
En particular X es una V.A si para cada numero real a, existe una probabilidad P(X≤ a) de 
que X tome un valor menor o igual que a. 
Notación: 
• X,Y,Z para variables aleatorias, x,y,z para los valores particulares que toman las 
variables aleatorias X,Y,Z. 
• P(X=x) es la probabilidad de que la variable aleatoria X, tome el valor x. 
• P(x1 ≤ X≤ x2) es la probabilidad de que la variable X tome valores entre x1 y x2. 
 
Hay dos tipos de variables aleatorias: 
i) Variables aleatorias discretas: 
Si la variable aleatoria toma un conjunto finito de valores o un conjunto “contable” 
de valores infinitos. 
Ej: el número de clientes que arriban en una hora a una tienda. 
ii) Variables aleatorias continuas 
Si en un cierto rango pueden adoptar infinitos valores. Ej. Ingreso de una familia en 
Chile. 
 
Distribución de Probabilidades. 
Discreta: Lista de los posibles valores que una variable aleatoria discreta puede tomar 
conjuntamente con sus probabilidades asociadas. 
Ej. X es el número que sale en la cara superior al tirar un dado. 
x P(X=x) 
1 1/6 
2 1/6 
3 1/6 
4 1/6 
5 1/6 
6 1/6 
 
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10
Continua: se le denomina “función densidad”: f(x) 
Las probabilidades se discuten solo para intervalos, no para valores concretos. La 
probabilidad de obtener un valor exacto es cero. 
Las variables aleatorias continuas son una creación muy útil. Dentro de ellas la más 
utilizada es la normal, que tiene la siguiente función densidad: 
f(x)
µ
X
Donde µ es la media y σ es el desvío estándar. 
 
Tarea: 
• Revisar INFERENCIA 
• Leer Apéndice A de Gujarati. 
∫=≤≤
b
a
dx)x(f)bXa(P
2
)x(
2
1
2e
2
1
)x(f
µ
σ
πσ
−−
=
 
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11
ANEXO 2: UN REPASO DE MATRICES1 
 
DEFINICIÓN: una matriz es un arreglo rectangular de elementos aij donde i representa la 
fila en que se encuentra el elemento y j representa la columna en que se encuentra. El orden 
de una matriz es la cantidad de filas y columnas que esta tiene. Por ejemplo, la matriz 
A= 





− 312
431
, se dirá que es de orden 2×3. El elemento a21=2 
3.1.1 Operaciones matriciales: 
• Igualdad 
A=B, si aij=bij 
• Transposición 
La traspuesta de la matriz Am×n, es una matriz A’n×m, que tiene por filas las columnas de 
A. 
Propiedades: 
⇒ (A′)′=A 
⇒ (A+B)′=A′+B′ 
⇒ (AB)′=B′A′ 
⇒ (αA)′=αA′, si α es un escalar y A una matriz. 
⇒ SiA=A′, entonces se dice que A es simétrica. 
• Suma y Resta 
Sea Am×n y Bm×n , entonces Cm×n=A+B es tal que cij=aij+bij 
Sea Am×n y Bm×n , entonces Dm×n=A-B es tal que dij=aij-bij 
Propiedades: 
⇒ A+B+C=A+(B+C)=(A+B)+C 
⇒ A+B=B+A 
 
 
 
1 Este anexo repasa solamente algunas propiedades de matrices. Mas detalles en: 
• Econometría. Alfonso Novales. Segunda Edición. Capítulo 1 
• Métodos de Econometría. J. Johnston. Capítulo 4 
• Introducción a la Econometría. G.S. Maddala. Segunda edición. Apendice al Capítulo 2. 
 
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12
• Producto de matriz por escalar 
Sea Am×n una matriz y α una constante, entonces Bm×n=αA, es tal que bij= α aij 
• Producto de matriz por matriz 
Sea Am×n y Bp×q , el producto AB solo se puede calcular si n=p (matrices conformables), 
Cm×q=AB es tal que cij se obtiene multiplicando elemento a elemento de la fila i-esima 
de A por la columna j-esima de B y sumando estos productos. Es decir 
∑
=
=
n
1s sj
b
is
a
ij
c . 
Propiedades: 
⇒ AB ≠ BA 
⇒ La única matriz que se puede multiplicar por si misma es la matriz cuadrada. 
⇒ Si AA=A se dice que A es idempotente. 
⇒ Si An×1, entonces A′A es un escalar igual ∑
n
1
2
ia , mientras que AA′ será una matriz 
cuadrada y simétrica de orden n×n. 
⇒ A(BC)=ABC=(AB)C 
⇒ A(B+C)=AB+AC 
 
• Traza 
La traza de una matriz cuadrada es igual a la suma de los elementos de la diagonal 
principal. 
Propiedades: 
⇒ Tr(A+B)=Tr(A)+Tr(B) 
⇒ Tr(ABC)=Tr(CAB)=Tr(BCA) 
 
• Matriz identidad. 
Se denota como In a la matriz cuadrada de orden n, que tiene elementos 1 en la 
diagonal y cero en el resto. 
I2= 





10
01
 
 
Propiedades: 
 
Econometría E-250: Apuntes de Clase Profesores Verónica Gil y Aldo Lema Agosto 2004 
 
13
⇒ Sea Am×n , luego, ImA=AIn=A 
 
 
• Diferenciación Matricial 
Si bn×1, entonces 
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]






















∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
n
2
1
b
)b(f
.
.
b
)b(f
b
)b(f
b
)b(f
 
Ejemplos: 
⇒ 
[ ]
a
b
b'a
=
∂
∂
 
⇒ 
[ ]
Ab2
b
Ab'b
=
∂
∂
 
⇒ 
[ ]
A2
b
Ab2
=
∂
∂
 
• Determinante de una matriz 
 
El determinante es una función que asocia un número real a una matriz cuadrada. 
Procedimiento de Laplace: 
1. Elija cualquier fila o columna de una matriz y para cada uno de los elementos 
calcule el cofactor. El cofactor de un elemento aij será cij=(-1)i+jMij. 
2. Mij (matriz menor) es el determinante de la matriz que surge de eliminar la fila i y la 
columna j de la matriz original. 
3. Multiplique cada elemento aij de esa fila (o columna) por su cofactor cij 
4. Determinante de A=|A|= ∑
=
∀
n
1j
ijij i ca 
 
 
 
Ejemplos: 
 
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14
1. 





=
2221
1211
aa
aa
A 12211111 cacaA += 
c11=(-1)1+1 M11=(-1)2 (a22)=a22 
c21=(-1)2+1 M21=(-1)3(a12)= -a12 
 
1221221112212211 aaaa)a(aaaA −=−+= 
 
2. A=










−
−
112
503
312
 312111 c2c3c2A ++= 
c11=(-1)1+1 M11=(-1)2 11
50 −
=5 
c21=(-1)2+1 M21=(-1)3 11
31−
=(-1)(-1-3)=4 
c31=(-1)3+1 M31=(-1)4 50
31
−
−
=5 
32)5(2)4(3)5(2A =++= 
Propiedades: 
⇒ 'AA = 
⇒ Intercambiar 2 filas (o columnas) cambia el signo del determinante 
⇒ Si una fila de un determinante se multiplica por k, el determinante queda 
multiplicado por k. 
⇒ La adición de un múltiplo de una fila a otra no altera el valor del determinante. 
⇒ Si una fila (o columna) es combinación lineal de otra fila (o columna) el 
determinante de la matriz es cero. Una matriz con determinante cero se denomina 
singular. 
 
• Matriz inversa 
Dada la matriz cuadrada An, 1nA
− es su matriz inversa si n
1
nn IAA =
− 
 
Procedimiento de calculo: 
 
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15
A de eeterminantd
uesta transpcofactores de matriz
A
)'A(
A
c
1 ==− 
La matriz de cofactores se forma de sustituir cada elemento de la matriz por su 
correspondiente cofactor cij. Donde cij=(-1)i+j Mij , siendo Mij (menor) el determinante 
de la submatriz que se forma cuando a la matriz A se le elimina la fila i y la columna j. 
 
Ejemplo: 
 










=
010
100
001
A 312111 c0c0c1A ++= = 1 
c11=(-1)1+1 M11=(-1)2 01
10
=-1 
)1(A −= 










=
−










−
−
−
=
−










−
−
−
=
=
−










−
−−
−−
=
−






























−











−











−












−





=
010
100
001
1
010
100
001
1
'
010
100
001
 
1
'
)0)(1()1)(1()0)(1(
)1)(1()0)(1()0)(1(
)0)(1()0)(1()1)(1(
1
'
00
01
)1(
10
01
)1(
10
00
)1(
10
01
)1(
00
01
)1(
01
00
)1(
10
00
)1(
00
10
)1(
01
10
)1(
A
)'A( c 
Propiedades: 
⇒ ¿Siempre existe 1A − ? No, la matriz A debe ser cuadrada y no singular 
⇒ A)A( 11 =−− 
⇒ La inversa (si existe) es única. 
⇒ 111 AB)AB( −−− = 
⇒ )'A()'A( 11 −− = 
 
 
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16
• Rango de una matriz 
Una matriz Am×n puede interpretarse como una colección de m vectores fila de 
dimensión n, o como una colección de n vectores columna de dimensión m. Entonces, 
podemos hablarse de filas linealmente independientes (LI) o linealmente dependientes 
(LD). 
Se denomina rango de la matriz al máximo número de columnas (o filas) LI. 
Propiedades: 
⇒ El número máximo de filas LI es igual al número máximo de columnas LI 
⇒ Rango (Am×n)=min (m,n) 
⇒ Rango A=Rango A’ 
⇒ Si rango Am×n=m=n, entonces A es no singular y su inversa existe y es única. 
 
3.1.2 Valores y vectores propios 
Dada una matriz cuadrada An, entonces existe una constante λ y un vector x (no nulo), tal 
que satisfacen la siguiente ecuación: 
Ax=λx y que reciben el nombre λ= valor propio de A 
x= vector propio de A 
 
Ax=λx es una ecuación que tiene implícita dos incógnitas, un vector y un escalar. Las 
soluciones vendrán en parejas, a cada λ le corresponde un vector x 
Procedimiento de cálculo: 
Ax=λx 
Ax-λx=0 
(A-λI)x=0 
Si A-λI es no singular, entonces la única solución a la ecuación anterior es la trivial (x=0). 
Entonces, para que la solución sea no nula, el determinante de A-λI debe ser igual a cero. 
A esta se le conoce como ecuación característica y tiene n soluciones a las que se denomina 
valores propios. Para cada valor propio existe un vector propio que se obtiene sustituyendo 
el valor de λ en la ecuación (A-λI)x=0. 
Ejemplo: 
 





=
5.05.0
10
A 
 i) Encontramos los valores propios de la matriz A: 
 Debemos resolver: det( A-λI)=0 
 
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17
−
−
λ
λ
1
0 5 0 5. .
= (-λ)(0.5-λ)-0.5= -0.5λ+λ2-0.5 =0 
0.5±
2
)5.0(45.0 2 −−
=(0.5±1.5)/2= 
1
0 5−


 .
 
 Los valores propios son 1 y –0.5 
 
ii) Vectores propios: 
♦ Para λ=1 (A-λ1I)x1=0 (A-(1)I)x=0 






=











−
−
0
0
b
a
 
5.05.0
11
 
 -a+b=0 ⇒ a=b 
0.5a-0.5b=0 ⇒ a=b 
Dado que las dos ecuaciones son iguales el vector propio es un vector genérico 
x1= 





=





a
a
b
a
 
Cualquier vector que tenga dos componentes que sean iguales verifica esta 
ecuación. En particular se puede normalizar el vector haciendo que su longitud sea 
1, es decir, haciendo que a2+b2=1 
Luego, a=b=
2
1
 con lo que 
















=
2
1
2
1
1x 
♦ Para λ=-0.5 det(A-λ2I)x2=0 (A- 0.5I)x2=0 






=











0
0
d
c
 
15.0
15.0
 
0.5c+d=0 c= -2d 
05c+d=0 c= -2d 
=




−
=





=
dd2
d
c
2x 
Normalizando tenemos dos ecuaciones: c2+d2=1 y c= -2d , con lo que: 
(-2d)2+d2=1 ⇒ 4d2+d2= 1 ⇒ 5d2 =1 ⇒ 5/1d = 
 
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18
c= -2d ⇒ 5/2c −= 













 −
=





=
5
1
5
2
d
c
2x 
 
Propiedades: 
⇒ Los valores propios de una matriz simétrica son reales. 
⇒ Los vectores propios correspondientes a distintos valores propios de una matriz 
simétrica son ortogonales entre si. Es decir que su producto es cero. 0=x2x1' 
⇒ Sea B una matriz que tenga por columnas los vectores propios de A y D una matriz que 
tiene los valores propios en la diagonal y cero en el resto. 
B=
















|||
|||
x..xx
|||
|||
n21 y D=
















λ
λ
λ
n
2
1
00
0.00
0.00
00
00
 
La propiedad anterior asegura que B’B= BB’=In, esto implica que B’ es la inversa de B 
(B es ortogonal). 
 
⇒ DAB'B = , es decir que la matriz B (de vectores propios) diagonaliza a A. 
⇒ Si A es una matriz simétrica, definida positiva, existe una matriz no singular P tal que 
A=P’P 
⇒ La suma de los valores propios de una matriz A es igual a la traza de A 
⇒ El producto de los valores propios de una matriz A es igual al determinante de A 
⇒ Una matriz es singular si y solo si al menos un valor propio es cero. 
⇒ El rango de una matriz es igual al número de valores propios no nulos de ella. 
⇒ Los valores propios de la matriz A2 son el cuadrado de los valores propios de A. 
⇒ Los valores propios de A-1 son los inversos de los valores propios de A, los vectores 
propios son los mismos que los de A. 
⇒ Los valores propios de una matriz idempotente son cero o uno. 
⇒ El rango de una matriz idempotente es igual al número de valores propios iguales a 1 e 
igual a su traza. 
 
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19
⇒ Sea una matriz A de orden m, definida positiva, y P una matriz de m×n, de orden m, el 
producto P’AP es una matriz definida positiva. 
⇒ Los elementos de la diagonal principal de una matriz definida positiva son estrictamente 
positivos, mientras que los elementos de la diagonal principal de una matriz 
semidefinida positiva son no negativos. 
 
3.2 ALGUNOS EJERCICIOS DE MATRICES2 
 
3.2.1 Operaciones con matrices 
a) Dadas los siguientes matrices, 
A =






3 5 8
4 0 2
 B =










3 8 0
2 1 4
3 2 1
 C =
−
−










4
2
1
 
Calcular: (ABC), (C`A`); (AC)` ; (B`C)` ; (C`B) 
 
b) Dadas las matrices: 
A =










1 3 4
2 0 7
5 6 9
 B =










10 2 0
7 1 3
4 5 6
 
Calcular (A+B); (A-B); (4A+7B) 
 
3.2.2 Determinantes 
a. Dadas las matrices cuadradas: 
 
A =






1 0
3 1
 B =






4 1
0 2
 





=
12
21
C 
Comprobar: 
A B A B
A B C A B C
. .
. . . .
=
=
 
 
2 Recomendables para quienes el tema de matrices resulte nuevo o olvidado. 
 
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20
b. Dada la siguiente matriz cuadrada: 
A =










1 0 1
2 3 0
0 4 1
 
Comprobar: 
A A
kA k An
=
=
'
 probar con k=2 
c. Calcular los siguientes determinantes: 
t111
z211
y121
x112
B
a10
0a1
10a
A
=
=
 
 
3.2.3 Matriz Inversa 
a. Hallar la inversa de las siguientes matrices: 
 
A =
−
−










2 2 3
1 0 3
3 4 0
 B =










3 1 1
1 2 2
1 2 4
 
b. Dadas tres matrices A, B y C cuadradas cualquiera, verificar: 
(ABC)-1 = C-1B-1A-1 
 
3.2.4 Valores y Vectores propios. 
a) Encontrar los valores y vectores propios de: 










−
=
221
211
403
A y mostrar que 
 
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21
i) la suma de las raíces características (valores propios) es igual a la suma de 
los elementos de la diagonal de A 
 ii) el producto de las raíces características es igual al determinante de A. 
b) Dada la matriz: 
A =






1 4
1 1
 
 i) Encontrar los vectores propios de A 
 ii) Calcular A2 y comprobar que λ2 es un valor propio de A2. 
 iii) Calcular A-1 y comprobar que 1/λ es un valor propio de A-1 
c) Dada la siguiente matriz: 
 
 A =






2 1
1 2
 
 i) Encontrar los valores y vectores propios 
 ii) Probar que x1 es ortogonal a x2 ⇒(x1’x2)=0 
iii) Formar B y D y probar que el determinante de A es igual al determinante 
de D (es obvio?), que el rango de A es igual al rango de D y que A y D 
tienen la misma ecuación característica. 
 iv) Probar que B diagonaliza A⇒ B’AB=D 
 
d) Dado que X=












3
1
2
1
1
1
1
1
, calcular A= [ ])'X)X'X(X(I 14 −− . Demostrar que A es idempotente 
y determinar su rango. Calcular los valores propios de A y obtener la matriz que 
diagonaliza a A. 
 
Econometría E-250: Apuntes de Clase Profesores Verónica Gil y Aldo Lema Agosto 2004 
 
22
22.. RREEGGRREESSIIÓÓNN SSIIMMPPLLEE 
2.1 EL MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS ORDINARIOS 
(MICO). 
 
2.1.1 Definición de análisis de regresión. 
Se vincula a la descripción y evaluación de la relación entre una determinada variable 
(dependiente o explicada) y una o más variables denominadas explicativas o 
independientes. 
 
Significado del término de regresión (Francis Galton, 1886): la estatura promedio de los 
niños que nacían de padres con una determinada estatura tendía a moverse o “regresar” 
hacia la altura promedio de la población total. Ello aún cuando existía una tendencia a que 
los padres altos tuvieran hijos altos y padres bajos tuvieran hijos bajos. Galton dijo que 
existía una “regresión a la mediocridad”. 
 
Actualmente se denomina regresión al estudio de la dependencia de una variable (la 
variable dependiente) de una o más variables (las explicativas) con la perspectiva de 
estimar y/o predecir el valor poblacional medio de la primera en términos de los valores 
conocidos de las segundas. 
 
Si k=2 ⇒ Regresión Simple 
Si k>2 ⇒ Regresión Múltiple 
 
Donde en general X1 no representa una variable, sino que es una columna de “unos” que 
permitirá calcular la constante del modelo. 
 
Ej. Y = gasto en consumo de una familia 
 X2 = ingreso de la familia 
 X3 = activos financieros de la familia 
 X4 = tamaño de la familia 
 
Objetivos del Análisis de Regresión: 
⇒ Predecir el valor poblacional medio de Y dado los valores fijos de las X 
⇒ Analizar los efectos de políticas que alteren las X 
⇒ Saber si las X tienen o no efectos sobre la Y (y si estos efectos son significativos). 
)X,.....,X,X(fY k21=
 
Econometría E-250: Apuntes de Clase Profesores Verónica Gil y Aldo Lema Agosto 2004 
 
23
2.1.2 Especificación de la Regresión Simple. 
Antes habíamos hablado de relación entre variables dependientes e independientes. 
 
Y= f (X) 
Esta puede ser de dos tipos: 
 
i) determinística o matemática. 
De este tipo de relación se preocupa la economía matemática. 
Ej: Y=1+X 
Y queda determinada exactamente dado el valor de la variable X. 
 
ii) estocástica o estadística 
De este tipo de relación se preocupa la Econometría. Para valores de X no podemos 
determinar Y en forma exacta, sino probabilísticamente. 
Y=1 + X+ µ 
Donde µ, conocido como RESIDUO, es una variable aleatoria. Representa la 
ignorancia residual, por lo tanto podemos atribuirle las propiedades más 
convenientes al problema en cuestión. 
 
2.1.3 Ejemplo: 
 
Relación deterministica 
Y=K0.3 L0.7 
Divido entre L, 
3.0
3.0
3.03.03.0
7.03.0
L
K
L
1
KLK
L
LK
L
Y




==== − 
Aplico logaritmo: LN(Y/L) =0.3 LN(K/L) 
Dados los valores de K/L (relación capital/trabajo), existe un único valor de producto por trabajador 
(Y/L). 
 
LN(K/L) LN(Y/L)Y/L 
12 3.6 36.6 
14 4.2 66.7 
20 6 403.4 
5 1.5 4.5 
10 3 20.1 
 
0
1
2
3
4
5
6
7
0 5 10 15 20 25
LN (K/L)
L
N
 (
Y
/L
)
 
Econometría E-250: Apuntes de Clase Profesores Verónica Gil y Aldo Lema Agosto 2004 
 
24
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 5 10 15 20 25
LN (K/L)
L
N
 (
Y
/L
)
Relación estocástica 
Y=K0.3 L0.7 eµ 
Divido entre L, µµµ
µ
e
L
K
e
L
1
KeLK
L
eLK
L
Y 3.0
3.0
3.03.03.0
7.03.0




==== − 
 
Aplico logarítmo: LN(Y/L) =0.3 LN(K/L) + µ 
Ahora el valor final de LN(Y/L) no depende solamente del valor de LN(K/L) sino también del valor 
de µ. Sabemos que µ es una variable aleatoria, pero aún no conocemos su distribución. 
Supongamos que µ tiene la siguiente distribución: 


+
=
1/2 de adprobabilidcon 1-
1/2 de adprobabilidcon 1
µ 
 Entonces para cada valor de K/L tendríamos dos valores posibles de Y/L 
 
LN(K/L) 
X 
LN(Y/L) si µ=1 
Y 
LN(Y/L) si µ=-1 
Y 
12 4.6 2.6 
14 5.2 3.2 
20 7 5 
5 2.5 0.5 
10 4 2 
 
Supongamos ahora que µ es una variable aleatoria continua que tiene 
una distribución normal estandarizada (con esperanza cero y varianza 1). Entonces por cada valor 
de K/L tendremos infinitos valores para Y/L, dependiendo del valor de µ. El gráfico que 
obtendríamos sería algo similar a esto: 
 
 
Valor posible de LN(Y/L) para un valor dado de 
K/L 
 
 
 
 
 
La relación entre LN(Y/L) y (K/L), ahora es 
estocástica. 
 
Econometría E-250: Apuntes de Clase Profesores Verónica Gil y Aldo Lema Agosto 2004 
 
25
 
En términos generales en econometría tendremos relaciones estocásticas entre la variable 
dependiente (Yi) y la explicativa (Xi). 
 
Yi=α+βXi+µ tiene dos componentes 
⇒ componente determinístico: α+βXi, 
donde α y β son los parámetros o coeficientes de la regresión. Sus valores 
serán estimados a partir de los datos disponibles para X e Y. 
⇒ componente estocástico: µ 
 
2.1.4 Fuentes de Error µ 
 
i) Elementos impredecibles y aleatorios en las respuestas humanas. 
Por ejemplo Consumo=f(ingreso), pero las personas no siempre responden de igual 
forma para iguales valores del ingreso. 
ii) Variables Omitidas: 
En el término de error se resume la incapacidad de identificar la influencia de ciertas 
variables o en otros casos imposibilidad de representarlas en valores (por ser de 
difícil cuantificación). 
iii) Errores de medida en la variable dependiente. 
Cuidado: estos errores de medida tienen ciertos problemas que estudiaremos más 
adelante. 
 
2.1.5 Función de regresión poblacional y muestral. 
Dado que el objetivo del análisis de regresión es estimar o predecir el valor medio o 
promedio (poblacional) de la variable dependiente basándose en los valores fijos o 
conocidos de las variables explicativas, distinguiremos algunos conceptos. 
 
Función de Regresión Poblacional (FRP): 
es la recta que surge de unir las esperanzas condicionales de la variable dependiente para 
los valores fijos de la variable explicativa. 
Dado que para cada Xi, existe una población de 
valores de Y, se puede calcular la esperanza 
condicional de los valores de Y, condicional a cada 
Xi. A la unión de las esperanzas condicionales se le 
denomina FRP. 
 
Econometría E-250: Apuntes de Clase Profesores Verónica Gil y Aldo Lema Agosto 2004 
 
26
Del gráfico podemos concluir que E(Y/Xi) es una función de Xi, y esa será una función 
lineal de Xi. Recordar: la linealidad puede ser en las variables y en los parámetros. 
Lo que nos interesa es que la relación sea lineal en los parámetros. 
 
 variableslasen ni ,parámetros losen ni lineal es no 2iX2 1 )1X/Y(E
 variableslasen no ,parámetrosen lineal es 2iX 2 1 )iX/Y(E
→β+β=
→β+β=
Modelos Linealizables: 
2
iX1)iX/Y(E
β
β= 
ln E(Y/Xi) = ln β1 + β2Xi 
 
No Linealizables 
iX2e )iX/Y(E 21
β
β+β= 
 
Qué forma tiene esta función? 
Para saberlo hay que recurrir a la teoría, pero podría ser por ejemplo E(Y/Xi)= β 1+β 2 Xi 
Existe una relación lineal entre Xi y E(Y/Xi), en el caso del gráfico esta relación es 
positiva. Pero, ¿cómo es la relación entre cada Yi y el Xi correspondiente? 
Para cada Xi dado, un Yi en particular se desvía de la E(Y/Xi), por un término de error, µi. 
 
Es decir, µi= Yi - E(Y/Xi) o 
 Yi= E(Y/Xi) + µi , 
 
Por lo que Yi= β1+β2 Xi+ µi 
 
Para el ejemplo que veíamos antes: 
Ln (Y/L) = β1+β2 Ln (K/L) + ui, lo que indica que para encontrar cada valor particular de 
producto por trabajador debo sumar dos componentes, el primero representa el promedio de 
producto obtenido dado el nivel de capital utilizado [β1+β2 Ln (K/L)], el segundo que 
indica cuánto hay que sumarle o restarle a ese promedio para alcanzar el valor de Y/L 
particular. 
 
 
Econometría E-250: Apuntes de Clase Profesores Verónica Gil y Aldo Lema Agosto 2004 
 
27
Función de Regresión muestral (FRM). 
Hasta ahora nos hemos referido a los valores poblacionales de Y correspondientes a los 
valores fijos de X. Al hacer econometría nuestro interés es estimar β1 y β2, pero el primer 
obstáculo que enfrentamos es que no conocemos la población, sino una muestra de ella. 
 
Antes (población) Ahora (una muestra) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Así como tenemos esta muestra, podríamos tener otra. 
Dado que no conocemos la población sino muestras, la estimación de la E(Y/Xi) dependerá 
de la muestra elegida. ¿Cuál es la verdadera? No lo sabemos. 
 
 
Nuestro objetivo es conocer E(Y/Xi) ⇒ lo sabemos si tenemos β1 + β2Xi pero en realidad 
no conocemos β1 y β2 (parámetros poblacionales o teóricos), por lo que debemos 
estimarlos: 
 
estimada recta la será Xˆ ˆ Ŷ
 X Y
i21i
ii21i
β+β=
µ+β+β=
 
 
 
ii21i
iii
e Xˆ ˆ Y
e Ŷ Y
+β+β=
+=
 
donde 
 
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28
 1β̂ estimación para β1 
 2β̂ estimación para β2 
 
Estimamos ˆ Y i = ˆ β 1 + ˆ β 2 Xi donde los ˆ β i - son los valores resultantes (estimaciones) 
a partir de estimadores (fórmulas o algoritmos). 
Modelo teórico 
2β
Y1 i21i
X)X/Y(E β+β=
1β
µ1
µ2
Y2
Xi
Yi
X1 X2
Modelo estimado 
β1
1β̂
i21i X
ˆˆŶ β+β=
E(Y/Xi)=β1+β2Xi
2β̂
X1
1Ŷ
E(Y/X1)
Y1
µ1 e1 β2
 
 
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29
Diferencias entre µi y ei 
µi= Yi - E(Y/Xi) 
 Xˆ ˆ Y e
 Ŷ Ye 
i21ii
iii
β−β−=
−=
 
µ 
-es no observable 
-es una variable aleatoria a la que se le supone cierta distribución de probabilidad 
 
e 
-es observable (se dispone de valores) 
- satisface ciertas propiedades que veremos más adelante. 
 
¿Cómo calcular β1 y β2? 
 Método de momentos? 
 Máxima Verosimilitud? 
 Método de Mínimos Cuadrados Ordinarios (MICO)? 
 
2.1.6. MICO para una regresión simple 
Utilizaremos un método llamado Mínimos Cuadrados Ordinarios (MICO). 
 
Idea: “Pasar la recta de regresión a través de los puntos del gráfico de forma que esté lo 
más próxima posible a la urbe de puntos”. Trataremos que las distancias verticales 
(errores) sean lo más pequeñas posible. 
 
iX21
ˆ
iYie
iŶiYie
β−β−=
−=
 
Se trata de elegir ˆ β 1 y ˆ β 2 tal que la diferencia sea mínima. 
Minimizaremos ei
2∑ (para dar peso equivalente a residuos más grandes). O sea, 
minimizaremos la suma de los cuadrados de las “distancias verticales” desde los puntos de 
la recta. 
 
 Q = (Yi∑ − ˆ Y i )
2 = (Yi∑ − ˆ β 1 − ˆ β 2 Xi )
2 = f ( ˆ β 1, ˆ β 2 ) 
Debemos minimizar Q, es decir que debemos encontrar las condiciones de mínimo 
 
CNPO CNSO 
mínimo de scondicione 
 0 
2)2
ˆ(
Q2
 0 
2
ˆ
Q
 
 0 
2)
1
ˆ(
Q2
 0 
1
ˆ
Q
 









>
β∂
∂
=
β∂
∂
•
>
β∂
∂
=
β∂
∂
•
 
 
Econometría E-250: Apuntes de Clase Profesores Verónica Gil y Aldo Lema Agosto 2004 
 
30
 
 
 0 )Xˆ ˆ Y( 
0 )1( )Xˆ ˆ Y( 2 
ˆ
Q)1(
i21i
i21i
1
=β−β−
=−β−β−=
β∂
∂
∑
∑
 
0 X ˆ 1 ˆ Y i21i =β−β− ∑∑∑ 
 
0 X ˆ 
n
n
 ˆ Y 21 =β−β− 
 ˆ β 1 = Y − ˆ β 2 X (*) 
 
Alternativamente podríamos expresar (1) de la forma ∑ ∑ =⇒=− 0e0)1(e2 ii , esta es la 
primera condición que se debe cumplir para minimizar la suma de cuadrados de los 
residuos. 
 
 Y i∑ Xi − ˆ β 1 Xi −∑ ˆ β 2 Xi
2∑ = 0 
 
 
 Sustituyo 1β̂ por (*) 
 ˆ β 2 = 
YiXi − n X Y ∑
X i2 − n X 2∑
 (**) 
 
Alternativamente podríamos expresar (2) de la forma ∑ ∑ =⇒=− 0Xe0)1(Xe2 iiii , 
esta es la segunda condición que se debe cumplir para minimizar la suma de cuadrados de 
los residuos. A las dos condiciones se le llama generalmente ECUACIONES NORMALES . 
 
La fórmula (**) la podemos transformar para interpretarla mejor. 
 
0 )X)(Xˆ ˆ Y( 2 
ˆ
Q
)2( ii21i
2
=β−β−−=
β∂
∂ ∑ 
0 Xˆ X )X ˆ Y( X Y 2i2i2ii =β−β−− ∑∑∑
∑∑∑ β+β−= 2i2i2ii Xˆ X )X ˆ Y( X Y
∑∑ β+β−= 2i222ii Xˆ Xn ˆ Y X n X Y
∑∑ β+β−= 2i22ii Xˆ Xn )X ˆ Y( X Y
)Xn X( ˆ Y X n X Y 22i2ii −β+= ∑∑
 
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31
Recordando de Inferencia: 
 Sxy = cov(X,Y) = 
(Xi − X )(Yi − Y )∑
n
 = 
(XiYi − XiY − X Yi + X Y )∑
n
 
 = 
X iYi∑
n
 − Y 
Xi∑
n
 − X 
Yi∑
n
 + X Y 
n
n
 = 
 
 
Este último es el término que tenemos en el numerador de (**). El denominador es 
parecido a la formula de la varianza muestral, 
1n
)XX(
S
2
i2
x −
−
= ∑ . 
 
Por lo que (**), para muestras grandes, se puede expresar: 
 
X de muestral ianzavar
Y e X entre muestral arianzacov
 
S 
S
 
S n
nS
 
X n X
Y X n XY
 ˆ
2
x
XY
2
x
XY
22
i
ii
2 ===−
−
=β
∑
∑ 
 donde: 
 ˆ β 1 - ordenada en el origen 
 ˆ β 2 - coeficiente angular o pendiente 
 
 
2.1.7 Ejemplo de cálculo de 
ˆ β 1 y 
ˆ β 2 
Supongamos que conocemos los datos de producción y horas trabajadas de 10 trabajadores 
de una fábrica en un momento de tiempo (corte transversal). Definimos Y = producto , X = 
horas de trabajo 
 
 X Y X2 Y2 XY 
1 10 11 100 121 110 
2 7 10 49 100 . 
3 10 12 100 . . 
4 5 6 25 . 
5 8 10 64 
6 8 7 64 
7 6 9 36 
8 7 10 49 
9 9 11 81 
10 10 10 100 
∑ 80 96 668 952 789 
6,9 Y
8 X
=
=
 
Yi = ˆ β 1 + ˆ β 2Xi + ei 
ˆ β 1 = Y − ˆ β 2 X = 9,6 − ˆ β 2 • 8 = 9,6 − 0,75(8) = 3,6 
 
n
X Y n YX
 Y X YX X Y 
n
YX
 iiii ∑∑ −=+−−=
 
Econometría E-250: Apuntes de Clase Profesores Verónica Gil y Aldo Lema Agosto 2004 
 
32
ˆ β 2 = 
X Y − n X Y ∑
Xi2 − n X 2∑
 = 
789 − 10(8) 9,6
668 − 10(8)2
 = 0,75 
ˆ Y i = ˆ β 1 + ˆ β 2 Xi 
ˆ Y i = 3,6 + 0,75 Xi 
Yi = ˆ β 1 + ˆ β 2Xi + ei 
 
 
Por ejemplo: 
1Ŷ =3,6+0,75(10)=7,5+3,6=11,1 2Ŷ = 3,6 + 0,75(7)= 8,85 
e1= 1,0 1,11 0,11 Ŷ Y 1i −=−=− e2 = 15.185,8 0,10 Ŷ Y 1i =−=− 
0
5
10
15
0 2 4 6 8 10 12
Y
X
Intercepto: 3.6
Pendiente: 0.75
e1=-0.1
e2=1.15
 
Tarea: Verificar que en el ejemplo se cumplen los corolarios de las ecuaciones 
normales 
0 Xe
0 e
ii
i
=
=
∑
∑
 
 
 
2.1.8 Expresión de las formulas en desvíos. 
Veremos una segunda forma de expresar los resultados anteriores: 
 X ˆ Y ˆ 21 β−=β (*) 
 
∑
∑
∑
∑
−
−−
==
−
−
=β
2
i
ii
2
X
XY
22
i
ii
2
)XX(
)YY)(XX(
S
S
 
X n X
Y X n YX
 ˆ (**) 
Definamos las variables en desvíos respecto a su media 
 
 
Econometría E-250: Apuntes de Clase Profesores Verónica Gil y Aldo Lema Agosto 2004 
 
33
Y Y y
X X x
ii
ii
−=
−=
 
 
Entonces, (**) la podemos expresar 
 
∑
∑
=β
2
i
ii
2
x
yxˆ (***), donde las variables en minúsculas representan desvíos respecto a la 
 media de la variable. 
 
TAREA: demostrar CNSO 
2.1.9 Corolarios de los estimadores MICO. 
 
1. De las ecuaciones normales se desprende 
0)(media compensan se errores los =⇒=⇒=−=
β∂
∂ ∑∑ 0 e 0 e2 ˆ
Q
ii
1
 
0 Xe 0 Xe 2 
ˆ
Q
iiii
2
=⇒=−=
β∂
∂ ∑∑ 
 
2. La regresión siempre pasa por el punto Y,X . 
Yi = ˆ β 1 + ˆ β 2Xi + ei 
Sumando para todo i, tenemos: 
 Y i∑ = N 
ˆ β 1 + ˆ β 2 X i∑ + ei∑ 
 Dado que ∑ = 0e i 
 Y = 
ˆ β 1 + ˆ β 2 X , 
 Con lo que el punto Y,X verifica la recta de regresión. 
 
3. El valor medio de Y estimado es igual al valor medio de Y observado. 
 
 ii21i eX ˆ ˆ Y +β+β= Sumando para todo i, 
 iii eŶ Y += 
 
iii
eŶ Y ∑ ∑∑ += 
 0
n
Ŷ
Y i += ∑ 
 ŶY = 
 
 
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34
4. La regresión se puede expresar en desvíos: 
 
 Como ∑ei = 0 
 
 (1) ii21i e X 
ˆ ˆ Y +β+β= , sumando para todo i, 
 
 ∑∑∑ +β+β= ii21i e X ˆ ˆ n Y , recordando que ∑ei = 0 y dividiendo entre n 
 
 (2) X ˆ ˆ Y 21 β+β= 
 
 Restando (1) –(2)⇒ X ˆ e X ˆ ˆ ˆ Y Y 2ii211i β−+β+β−β=− 
 ii2i e )X X( 
ˆ Y Y +−β=− 
 
 Expresado en desvíos ⇒ ii2i ex
ˆy +β= 
 
 Similarmente se podría verificar que i2i x
ˆŷ β= 
 
 
5. 0 )e ,X( Cov )e ,Ŷ( Cov == 
 
Los residuos no están correlacionados con el valor estimado de Yi, ni con los valores 
explicativos. 
 
 Para demostrar este resultado debemos recordar la propiedad 1 y su corolario 0e = 
• Cov(X,e)= )e( )X X( 
n
1
 )e e( )X X( 
n
1
iiii −=−− ∑∑ 
 [ ] [ ] 0 e X 0 
n
1
 eX e X 
n
1
 iiii =−=−= ∑∑∑ 
 
 De este resultado se deriva que ∑ iiex también es igual a cero. 




−=



−=−−= ∑∑∑∑∑ iiiiii e Ŷ eŶ n
1
 e Ŷ e Ŷ 
n
1
 )e e()Ŷ Ŷ( 
n
1
 )e ,Ŷ( Cov 
 
Econometría E-250: Apuntes de Clase Profesores Verónica Gil y Aldo Lema Agosto 2004 
 
35
Analizando la última expresión, comprobamos que el segundo término es cero. Y 
como se observa debajo también lo es el primero. 
 
 [ ] [ ] ii22ii21i eX ˆ )X ˆ Y(n
1
e)X ˆ ˆ (
n
1
 eŶ 
n
1
 ∑∑∑ β+β−=β+β= 
 
 [ ] 0eXˆeXˆeY
n
1
ii2i2i =β+β− ∑∑∑ 
 
 
6. Descomposición en Suma de Cuadrados 
 
 Veamos un resultado previo. Sabemos que: 
 
 
Ŷ Y
e Ŷ Y iii
=
+=
 
 Restando las dos expresiones anteriores, obtenemos iii e Ŷ Ŷ Y Y +−=− , lo que en 
desvíos respecto a la media, se puede expresar: 
 
 iii eŷy += y dado que i2i x
ˆŷ β= entonces ii2i ex
ˆy +β= 
 
 Con lo que: 
 
 iiii2i e ŷe xˆ y +=+β= 
 
 Se eleva al cuadrado: 
 
 
2
iii
2
i
2
iii2
2
i
2
2
2
i
2
ii
2
ii2
2
i
e eŷ2 ŷ e e x ˆ2 x ˆ y
)e ŷ( )e xˆ( y
++=+β+β=
+=+β=
 
 
 Se aplica ∑: 
 
 ( ) ∑∑∑∑∑ ++=+β+β= 2iii2i2iii22i222i e eŷ 2 ŷ e exˆ 2 x ˆ y 
 
 ∑∑∑∑∑∑∑ ++=+β+β= 2iii2i2iii22i222i e eŷ 2 ŷ e exˆ 2 x ˆ y 
 
∑∑∑∑∑ +=+β= 2i2i2i2i222i e ŷ e x ˆ y , (****) dado que los dos términos de 
 
 
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36
productos cruzados se hacen cero por algunas de las propiedades anteriores. 
 
 Definimos: 
 
 
SSR residuales cuadrados de Suma SCR e
SSE SCEexplicados cuadrados de Suma x ˆ ŷ
SST CTS totalescuadrados de umaS y
2
i
2
i
2
2
2
i
2
i
===
===β=
===
∑
∑∑
∑
 
 
 Entonces el resultado (****) ⇒ SCT=SCE+SCR 
 
Una expresión alternativa para SCE, se deriva a continuación: 
∑β= 2i22 x ˆ SCE 
[ ]
[ ]
[ ]
∑∑
∑∑
∑
∑∑∑
∑∑
∑
∑
β===








=β=
=β
ii22
i
2
ii2
i22
i
2
ii2
i
2
2
i
ii2
i
2
2
2
i
ii
2
yxˆ 
x
yx
x
x
yx
 x 
x
yx
 x ˆ SCE
 
x
yx
 ˆ Como
 
 
Ejemplo. 
Supongamos que el consumo de los hogares se explica por su nivel de ingreso. En el 
diagrama de dispersión (Gráfico1) cada punto (Xi,Yi) indica la combinación de ingreso y 
consumo del hogar. Podríamos partir explicando el consumo de una cierta familia por el 
consumo medio observado de la muestra. Para cada familia cometeríamos un error dado por 
YiY − . 
Si realizamos una regresión y estimamos los parámetros 21
ˆy ˆ ββ por MICO, el error que 
cometemos al asignar a la familia Xi cuyo verdadero consumo es Yi, lamedia de los 
consumos, se divide ahora en dos partes (Gráfico 2). Una de ellas nos indica la parte del 
error que ha sido explicada por el modelo ( YŶi − ). La otra mide el error que aún subsiste 
(ei) 
Esto se puede generalizar obteniendo medidas resumen para todas las observaciones (o sea 
para toda la muestra). Estas medidas son las sumas de cuadrados que vimos antes: la suma 
de cuadrados totales (SCT) puede descomponerse en una parte explicada por la regresión 
(SCE) y otra parte que aún no logramos explicar o residual (SCR). 
 
 
 
 
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37
Gráfico 1: Desvío respecto a la media 
X
 Y
*
 *
* *
* *
*
YYi − Es el desvío total (DT)
 respecto a la media.
(Xi,Yi)
Y
 
DRDE)Y Ŷ ( )Ŷ Y(Y Ŷ Ŷ YDT
 ,Ŷ restamosy sumamosle )Y Y(DTAl
iiiiii
ii
+=−+−=−+−=
−= 
 
 
Gráfico 2: Desvío Total, Desvío Explicado y Desvío Residual 
 
DT= YYi −DR= ŶYi −
DE=
YŶi −
iŶ
 Y
 iY * *
 
*
* *
* *
 
(Xi,Yi)
i21 X
ˆˆ β+β
Y
X Xi X
 
 
 
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2.1.10. Coeficiente de determinacion (R2) 
 
Esta descomposición da lugar a una medida de la bondad de ajuste de modelo de 
regresión 
 
 
SCT
SCR
 1 
SCT
SCR SCT
 
SCT
SCE
 R 2 −=
−
== 
 
Consideraciones: 
1. Es una medida de bondad absoluta del modelo ya que mide qué proporción de la 
varianza total (la varianza de Y) es explicada por el modelo de regresión (por X). 
Cuanto mayor sea la relación entre X e Y, mayor será este indicador. 
2. Es una medida de bondad relativa entre modelos. Por ejemplo, permite comparar si 
la capacidad explicativa es mayor incluyendo X como variable independiente 
respecto a incluir Z. 
3. 0 ≤ R2 ≤ 1 
 (Si el modelo no explica nada SCR = SCT ⇒ R2 = 0) 
 (Si el modelo explica todo SCE = SCT ⇒ R2 = 1) 
 
* * *
* * * *
Y
Y
X X
R2=1
R2=0Y
X
Todas las observaciones coinciden con la línea No existe relación alguna que 
de regresión⇒ ajuste perfecto (imposible) sea expresable linealmente 
 
Otras formas de expresarlo: 
 
( ) 2
y,x2
y
2
x
2
xy
2
i
2
i
2
ii
2
i
2
i
2
2
i
ii
2
i
2
i
2
2
2
i
2
i2 r 
S • S
S
 
x y
yx
 
y
x 
x
yx
 
y
x ˆ
 
y
ŷ
 
SCT
SCE R ===








=
β
===
∑ ∑
∑
∑
∑∑
∑
∑
∑
∑
∑
 
 
Es decir, en el modelo de regresión simple el R2 es igual al cuadrado del coeficiente de 
 
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correlación muestral simple entre X e Y. 
Recordar que 
yx
y,x
2
i
2
i
ii
XY SS
S
yx
yx
)Y(V)X(V
)Y,X(Cov
r ===
∑∑
∑ , era una medida de la 
asociación lineal que existe entre X e Y. 
 
Debemos recordar que el concepto de covarianza nos da una primera aproximación del 
grado de asociación que tienen X e Y. 
 
n
xy
n
)YY)(XX(
Sxy
∑∑ =−−= 
 
Y
Y
X X
∑ < 0xy ∑ > 0xy
∑ > 0xy ∑ < 0xy
Esto se cumple si los puntos muestrales
se concentran predominantemente en
estos cuadrantes.
Puede pasar que exista una relación, pero
pequeña, entre las dos variables, en ese
caso los puntos estarán dispersos en los
cuatro cuadrantes.
 
Desventajas de trabajar con ∑ xy : 
 
a. Su valor puede aumentar simplemente agregando más observaciones. La solución es 
dividir por el tamaño muestral, con esto se obtiene Sxy 
b. La covarianza depende de las unidades en que se miden X e Y. Por ejemplo si pasamos 
variables de dólares a centavos, la covarianza aumenta en 10000. Por esta razón, la 
covarianza se escala dividiendo por la desviación estándar de las variables en cuestión. 
Por eso trabajamos con 
2
y
xy2
XY
S
Sˆ
)Y(V)X(V
)Y,X(Cov
r
β
== . El signo de rXY dependerá del signo 
de la covarianza. 
 
 
 
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40
Propiedades de r: 
a. Está entre –1 y 1 
b. Simetría rxy=ryx 
c. Es independiente del origen y de la escala. 
d. Si X e Y son estadísticamente independientes, entonces r=0. Pero r=0, no implica 
independencia. 
e. Como es una medida de asociación lineal, no tiene sentido utilizarlo para describir 
relaciones no lineales. 
f. No dice nada de las relaciones causa-efecto. Para eso se utiliza el test de Granger. 
 
2.1.11 Algunas Regresiones Particulares 
• Regresión que incluye sólo Constante (o sea no incluye X) 
 
2
1i
2
i
i1i
1i
i1i
)ˆ Y( e Q
e ˆ Y
ˆ Ŷ
u Y
β−==
+β=
β=
+β=
∑∑
 
0 )1)(ˆ Y( 2 ˆ
Q
1i
1
=−β−=
β∂
∂ ∑ 
 
Y 
n
Y
 ˆ
ˆ Y
i
1
1i
==β
β=
∑
∑∑
 
 Yˆ 1 =β 
 
• La regresión que pasa por el origen (incluye X, pero no constante) 
=β−==
β−=
+β=
∑∑ )Xˆ Y( e Q
)X ˆ Y( e
u X Y
2
i2i
2
i
i2ii
ii2i
 
0 )X)(X ˆ Y(2 ˆ
Q
ii2i
2
=−β−=
β∂
∂ ∑ 
0 X ˆ X Y 0 X )X ˆ Y( 2i2iiii2i =β−⇒=β− ∑∑∑ 
∑
∑=β
2
i
ii
2
X
XYˆ 
Tarea: verificar qué 
propiedades se cumplen para 
esta regresión. . 
Tarea: calcular R2, verificar 
las restantes propiedades. 
 
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41
 
 Características: 
 
0 X e
0 e
ii
i
=
≠
∑
∑ 
 
 
• Modelo doble logarítmico 
 
 i21 u Xln Yln +β+β= 
 
 
X en porcentual cambio
al respecto ,Y de porcentual cambio
 
ˆ X a respecto Y de delasticida 
Xln
Yln
 2YX
↓
β==
∂
∂
=η
 
 
 
• Modelo Semilogarítmico 
 i21 u X Yln +β+β= 
 
.Xen unidad unaen cambio elpor Yen cambio de tasa:cidadsemielasti 
 
. Xen absoluto cambioun por Yen relativo cambio 
ln 
2
↓
⇒= β
∂
∂
X
Y
 
• Ejemplo: el tiempo como variable explicativa 
 
Supongamos que tenemos el siguiente modelo para representar la evolución de una cierta 
economía: 
 
 PIB=Aer t (Ver Recuadro) 
Donde A es un término constante, r es la tasa de crecimiento anual (que se supone 
constante) y t es el tiempo (1,2,3.......). 
Para estimar esta ecuación debemos linealizarla e incorporarle el componente aleatorio: 
 PIBt=Aerteµ 
 ln PIBt= ln A + rt+µi 
 
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42
 ln PIBt= β0+ β1t+µi (*) 
 
Luego de estimar (*) con los datos de un cierto país, obtenemos: 
 ln PIBt = 6,96 + 0,0269 t +ei 
Esto significa que la tasa de crecimiento del PIB promedio en el período de esta economía 
es 2.69%. 
 
Supongamos que el PIB crece a una tasa de 3% anual. 
Matemáticamente esto significa que: 
 
PIB03.0
dt
dPIB
= 
Esta es una ecuación diferencial que se puede reescribir como: 
 
dt03.0dPIB
PIB
1
= . Si integramos a ambos lados de la ecuación, tenemos: 
∫ ∫= dt03.0dPIBPIB
1 y resolviendo ambas integrales: 
21 ct03.0cPIBln +=+ 
 
Con lo que: ct03.0PIBln += . Encontrando el antilogaritmo de esta ecuación: 
 
PIB(t)=e0.03tec 
 
2.1.12. ¿Cómo seleccionar entre estimadores? 
 
Hasta ahora hemos derivado los estimadores MICO para 21
ˆy ˆ ββ . También hemos derivado 
sus propiedades. En este punto nos preguntamos qué criterios podemos aplicar para saber 
que tan buenos son estos estimadores. 
Pese a que MICO es el método más popular para estimar los parámetros de un modelo, 
minimizar la suma de los errores al cuadrado, no dice nada sobre la relación del estimador y 
el verdadero valor del parámetro. Puede pasar que la minimización sea válida para una 
muestra en particular. 
 
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43
MICO siempre minimiza ei
2∑ , pero esto no garantiza que se cumplan otras propiedades. 
 
 Mayor R2 
¿Tiene sentido decir que los estimadores tendrán buenas propiedades si hacen que el R2 sea 
el mayor posible? 
No, MICO minimiza ei
2∑ para una muestra en particular y esto es equivalente a 
maximizar