Electromagnetismo__Cap_tulo_3__Tarea_1_p3_resnick

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21. Un conductor aislado tiene carga neta de +10× 10−6 C y una cavidad de carga q = +3.0× 10−6 C. ¿Cuál es
la carga en (a) la pared de la cavidad y (b) la superficie exterior?
SOLUCIÓN: (a) La ley de Gauss nos indica que el campo eléctrico dentro del conductor debe ser igual a 0
(~E = ~0). Así, la carga encerrada neta dentro del conductor debe ser igual a 0. Por lo tanto, la carga en la pared
de la cavidad debe ser igual a −q. Entonces:
q + qw = 0,
qw = −q.
Por lo tanto, la carga en la pared de la cavidad es:
qw = −q = −3.0 × 10−6 C.
(b) La carga neta Q del conductor es la suma de la carga en la pared de la cavidad qw y la carga en la superficie
exterior del conductor qs. Entonces:
Q = qw + qs,
qs = Q − qw,
qs = (10 × 10−6 C) − (−3 × 10−6 C),
qs = (10 × 10−6 C + 3 × 10−6 C),
qs = 13 × 10−6 C.
24. La figura 23-40 muestra la sección de un tubo de metal largo con paredes delgadas de radio R = 3 cm, el
cual tiene una carga por unidad de longitud de λ = 2.0× 10−8 Cm . ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico ~E a
una distancia radial r = R2 ? ¿cuál será el campo para r = 2R?. Dibujar la gráfica de E(r) con respecto a r desde
0 a 2R.
SOLUCIÓN: Para poder resolver este ejercicio podemos considerar la ley de Gauss. Para ello consideraremos
una superficie gaussiana en forma de cilindro debido a la naturaleza cilíndrica del tubo de metal.
Comenzaremos calculando el campo eléctrico ~E para una distancia radial r = R2 . Para ello debemos considerar
la carga encerrada dentro de la superficie gaussiana mencionada, ya que dentro del cilindro de radio r2 no existe
carga, podemos concluir que la magnitud del campo eléctrico es 0. En general tenemos que si r < R, entonces
E(r) = 0, es decir, la magnitud del campo eléctrico será 0.
Ahora calcularemos para r = 2R.
Como podemos ver, por la ley de Gauss tenemos que:
Φ =
∮
S
~E · d ~A =
qenc
�0
.
Como se puede observar, la carga encerrada corresponde únicamente a la carga del tubo de metal que conside-
ramos en la figura 23-40, por lo que la carga encerrada está dada por el producto de la densidad de carga por la
longitud del objeto λL. Por lo que:
qenc
�0
=
λL
�0
.
Es claro ver por la figura 24-40 que si consideramos una superficie gaussiana cilíndrica a una distancia radial
r = 2R, los dos vectores ~E∧ ~A se dirigirán en la misma dirección de r, por lo que podemos observar lo siguiente:
~E = E(r)r̂ ∧ ~A = dAr̂.
Por lo que podemos ver, nuestro producto punto se puede expresar de la siguiente forma:
~E · d ~A = E(r) dA(r̂ · r̂),
E(r) dA.
Acto siguiente, sustituimos lo que tenemos y vemos que:
Φ =
∮
~E · d ~A = E(r)
∫
dA.
Como sabemos se integra respecto al área del cilindro, sin embargo ya sabemos que A = 2πrL, por lo que:
E(r) A =
λL
�0
,
E(r) =
λL
A�0
,
E(r) =
λL
2πrL�0
,
E(r) =
λ
2πr�0
.
Ahora, sustituimos con r = 2R tenemos que la magnitud del campo es
E(2R) =
λ
2π(2R)�0
,
E(2R) =
λ
4πR�0
.
Con lo que sustituyendo valores nos queda lo siguiente:
E(2R) = 6.00 × 103
N
C
.
Ahora para construir la gráfica podemos ver que es en cierto punto sencillo debido a que para r < R tenemos
que la magnitud del campo va a ser 0, sin embargo para r ≥ R tenemos la función previamente vista, por lo que
nos quedaría de la siguiente manera: