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1 “Sistemas lineales” Planeación didáctica del tema Tópicos SISTEMAS LINEALES Temas Métodos directos: Gauss-Jordan, Máximo elemento pivote, valores y vectores característicos. Métodos indirectos: Jacobi y Gauss- Seidel Objetivos específicos Proponer solución al modelo matemático generado, como un sistema de ecuaciones simultáneas. Tomar decisiones sobre la elección entre métodos directos e indirectos para sistemas de ecuaciones lineales. Implementar el método de Gauss-Jordan, el de Jacobi y el de Gauss- Seidel. Programar y/o usar un software para la resolución de problemas. Interpretar los resultados y el concepto de error en el contexto del problema. Niveles de comprensión Niveles Evidencia de aprendizaje 1. Reproducción de conocimiento Reproduce el concepto de linealidad al distinguir si una representación puede ser definida como un modelo matemático de sistemas lineales. Evidencia de aprendizaje 2.1a, 2.1b, 2.1c, 2.1d 2. Realización de procesos mentales para convertir datos a información Distingue variables y explica qué representan en un sistema de ecuaciones lineales. Aplica procedimientos de métodos directos e indirectos. Evidencia de aprendizaje 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6 3. Desarrollo de un plan o una secuencia de pasos lógicos Explica y relaciona ideas en una situación real y compleja. Desarrollar un modelo matemático básico que muestra cómo funciona un fenómeno. Soluciona un problema y justifica una solución con argumentos lógicos. Realiza un análisis de sensibilidad, bajo un conjunto dado de suposiciones. Evidencia de aprendizaje 2.7, 2.8 4. Pensamiento matemático (razonamiento y abstracción) Escribe el código fuente y presenta el ejecutable- Ingeniería en Computación. Evidencia de aprendizaje 2.9 Ingeniería Civil, Industrial, Mecánica, Eléctrica- Electrónica: Sintetiza ideas en nuevas representaciones (elaborar un pseudocódigo, diagrama de flujo y programa en código, escribir un ensayo). 2 Evidencia de aprendizaje 2.9 Recursos digitales: Ejecutables elaborados por integrante proyecto PAPIME Gauss- Jordan Máximo elemento pivote Jacobi Gauss-Seidel Video elaborado para el proyecto: https://youtu.be/tOdr0I-rAdM De apoyo: https://www.youtube.com/watch?v=85INoJkycAU http://proyectodescartes.org/ingenieria/algebra_lineal.htm https://matrix.reshish.com/es/|gauss-jordanElimination.php http://setosa.io/ev/eigenvectors-and-eigenvalues/ Test de reposición Ponte a prueba Tema para participación en foro Opcional: Diseñar un screencast en el que se muestre tu propuesta de enseñanza de un método mediado por tecnologías digitales. Encuesta de satisfacción Preguntas de reflexión Referencias bibliográficas - Anton H. (1994). Introducción al Álgebra Lineal. Limusa, México. - Chapra S.C. & Canale R.P. (2010). Numerical Methods for Engineers. McGraw Hill, U.S. - Forsythe A., Keenan T., Organick R., Stenberg W. (1973). Lenguajes de diagramas de flujo. Técnicas de Computación. Limusa, México. - Golovina. (1974). Álgebra Lineal y algunas de sus aplicaciones. Moscú: Mir. - Grossman S.I. & Flores Godoy J.J. (2013). Álgebra Lineal. McGraw Hill. México - Kharab A. & Guenther R.B. (2012). An Introduction to Numerical Methods. A MATLAB Approach. Taylor & Francis Group, U.S. - Nieves Hurtado A. & Domínguez Sánchez F.C. (2014). Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería. Grupo Editorial Patria. México. https://youtu.be/tOdr0I-rAdM 3 Contenido Presentación 4 Objetivos específicos 5 ¿Qué vas a aprender? 5 Lo que debes saber antes de comenzar 7 Autoevaluación diagnóstica 8 Investiga y define 8 NIVEL 1 10 ¿En qué situaciones se emplean modelos matemáticos de sistemas de ecuaciones lineales? 11 ¿Qué pasa si…? 11 Actividades de aprendizaje 13 NIVEL 2 13 Modelo matemático de sistemas de ecuaciones lineales 14 Actividades de aprendizaje 18 Métodos directos e indirectos 20 Método de Gauss- Jordan 24 Actividades de aprendizaje 29 Método de Jacobi 30 Método de Gauss- Seidel 34 Actividades aprendizaje 39 Foro de discusión 40 NIVEL 3 40 Ejemplos de aplicación 41 Actividades aprendizaje 47 NIVEL 4 53 Antes del proyecto 53 Eigenvalores y eigenvectores 56 Actividades aprendizaje 59 Ponte a prueba 60 Test de reposición 60 Preguntas de reflexión 62 Rúbricas de evaluación 63 Nota: Los ejercicios mostrados en este documento se pueden resolver cualquier paquete informático (MAPLE, MATLAB, Geogebra,…), o lenguaje formal de programación (Visual Basic, Lenguaje C, Python,…). En este documento, los ejemplos se presentan en Excel debido a su accesibilidad. 4 Existen diversos métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales. Su elección depende de la propia complejidad del sistema, o sea, del número de ecuaciones, del número de incógnitas, de los componentes que conforman al sistema, y en general, de los atributos del sistema en consideración. Los sistemas lineales que normalmente se trabajan en el aula son de dos o tres ecuaciones con dos o tres incógnitas, respectivamente, que se suelen resolver por medio de los llamados métodos de sustitución, igualación y suma/resta. Estos métodos pierden eficacia a medida que va aumentando el número de ecuaciones y de incógnitas. Aunado a lo anterior, se sabe que muchos fenómenos del desempeño profesional del ingeniero, se plantean como ecuaciones y sistemas de ecuaciones con más de tres ecuaciones y tres incógnitas, de aquí la importancia, primero, de hacer el modelo matemático representativo del fenómeno, y después, tomar la decisión del método numérico más adecuado para alcanzar la solución y su interpretación. El propósito educativo del presente documento, es el de presentar el estudio de los métodos numéricos fundamentales de resolución y discusión de los sistemas lineales; un método clásico directo, el de Gauss-Jordan, en el cual se encuentra una solución mediante un algoritmo finito, mientras que los métodos indirectos, tales como el Jacobi y el de Gauss- Seidel se construyen en una sucesión que converge hacia la solución, deteniéndose cuando la precisión está dentro de los límites de una tolerancia preestablecida. El texto está organizado por niveles de aprendizaje, del uno al cuatro, en donde se entremezclan cápsulas explicativas sobre la naturaleza de los sistemas lineales con la presentación de solución de problemas, paso a paso, que se describen con modelos matemáticos, principalmente, aquellos que se presentan en el desempeño profesional. Consecuentemente, en cada nivel, existen actividades de aprendizaje interactivas que coadyuvan al desarrollo de habilidades de razonamiento matemático y estrategias de solución en un entorno de ingeniería, con ejercicios, ligas a sitios de internet e incluso, se proporciona software didáctico, para hacer más significativo y efectivo el aprendizaje. Presentación 5 Cada nivel tiene un propósito, tal es el caso que el nivel 1, está referido a la adquisición del conocimiento. En este nivel el estudiante requiere recordar sus conocimientos previos y ubicar en forma concreta fenómenos proclives a ser tratados con Métodos Numéricos. El nivel 2 trata del uso de conceptos y habilidades cognitivas que permitan la aplicación de métodos de solución para los sistemas lineales. El nivel 3, tiene una orientación estratégica para razonar acerca de los algoritmos, y para tomar decisiones en la solución de problemas, es un nivel de análisis y síntesis. Finalmente, el nivel 4, va hacia el diseño, tiene una orientación en la que el estudianteuse lo que ha aprendido, no solo en la asignatura de Métodos Numéricos, también en otros contextos académicos y externos, que se refleje en su creación. Las actividades aquí presentes constituyen un apoyo a la docencia, cuyo diseño también favorece el trabajo colaborativo en un intento de emular el futuro profesional y, por tanto, conduzcan a que el estudiante valore la importancia del conocimiento y su comportamiento ético y profesional. Los objetivos específicos de esta sección son: a. Proponer solución al modelo matemático generado, como un sistema de ecuaciones lineales simultáneas. b. Tomar decisiones sobre la elección entre métodos directos e indirectos. c. Implementar el método de Gauss-Jordan, el de Jacobi y el de Gauss- Seidel. d. Programar y/o usar un software para la resolución de problemas numéricos. e. Interpretar los resultados y el concepto de error en el contexto del problema. ¿Qué vas a aprender? A continuación, te ayudamos a comprender los objetivos. El planteamiento de un problema requiere de estructurar información. Para ello, se requieren identificar variables que están presentes en el problema/ proceso/ fenómeno, y después distinguir de entre esas variables, cuáles son conocidas y cuáles desconocidas, e incluso, la relación entre todas variables. Objetivos específicos 6 Un modelo matemático es una representación ideal y cuantitativa de un sistema y/o un fenómeno, en el cual se muestran relaciones predominantes entre sus componentes. Un modelo matemático se compone de parámetros (objetos/ símbolos que representan atributos del sistema y que permanecen constantes durante el estudio), variables (objetos/ símbolos que cambian en el tiempo durante el estudio) y relaciones funcionales (describen la forma en cómo cambian las variables y cómo afectan a los parámetros). El modelo matemático de un sistema de ecuaciones lineales se representa así: 𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + 𝑎13𝑥3 = 𝑏1 𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + 𝑎23𝑥3 = 𝑏2 𝑎31𝑥1 + 𝑎32𝑥2 + 𝑎33𝑥3 = 𝑏3 Este sistema está conformado por tres ecuaciones (un modelo de ecuaciones lineales puede ser de n ecuaciones), con tres incógnitas 𝑥𝑖 (variables expresadas a la primera potencia) y con parámetros de la forma 𝑎𝑖𝑗 . Una forma compacta de reescribir al modelo matemático es de la forma matricial 𝐴𝑥 = 𝑏 Donde, se le llama matriz de coeficientes 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗], i representa el renglón/fila, y j representa la columna. 𝑥 = [𝑥𝑖], es el vector solución que debe determinarse y 𝑏 = [𝑏𝑖] es el vector de términos independientes. En general, los métodos que resuelven modelos de sistemas lineales se clasifican en dos tipos: directos e indirectos. En un método directo se obtiene un número fijo de pasos que no están sujetos a errores por iteraciones, aunque sí por cálculos aritméticos. Entre los más importantes se encuentran: eliminación gaussiana, máximo elemento pivote, descomposición LU, por inversa de la matriz, Gauss- Jordan y descomposición de Cholesky. Los métodos indirectos también llamados métodos iterativos son muy útiles en sistemas lineales mayores de orden 15 (o sea, n=15 renglones i*15 columnas j). Están estructurados en la forma simbólica: 𝑦1 = 𝑦0 + ∆𝑦0 7 𝑦2 = 𝑦1 + ∆𝑦1 … 𝑦𝑛 = 𝑦𝑛−1 + ∆𝑦𝑛−1 El valor actual es igual, al valor anterior más un incremento que depende del procedimiento en cuestión. En estos métodos se realizan iteraciones para aproximarse a la solución de 𝑥 = [𝑥𝑖], aprovechando las características de la matriz de coeficientes A, y tratando de usar un menor número de pasos que en un método directo. Algunos de los métodos más conocidos son Jacobi, Gauss-Seidel y sobrerrelajaciones sucesivas (SOR). Los métodos indirectos aceleran la convergencia hacia una solución, aunque se asocian al concepto de error por las operaciones que conllevan cocientes entre elementos 𝑎𝑖𝑗 de la matriz y 𝑎𝑖𝑖 de la diagonal principal, esto especialmente, cuando 𝑎𝑖𝑖 es relativamente pequeño con respecto 𝑎𝑖𝑗 . Un tema adicional a los métodos directos e indirectos, es el estudio de los valores propios o eigenvalores, que sirven para valorar la estabilidad del modelo matemático, mediante la asociación de un polinomio a la matriz de coeficientes A, que necesariamente debe ser cuadrada. Las raíces del polinomio, representación de A, definen justamente los valores propios. ¿Qué hacer cuando se tiene un sistema de ecuaciones de dimensión alta? Por ejemplo, un sistema de 100𝑥100, o mayor. Desde esta perspectiva, los métodos tradicionales para la solución de problemas de este tipo, como cálculo de las incógnitas o inversión de una matriz, pierden sentido, por el número de operaciones, la velocidad del cálculo y el error. Por ello, programar y/o usar software es una herramienta que no solo favorece la realización de miles de operaciones, también favorece la alfabetización digital, y más aún, desarrolla habilidades de razonamiento lógico, ya que pensar en métodos numéricos implica también, pensar en algoritmos computacionales. La solución de sistemas de ecuaciones lineales es un tema clásico de las matemáticas, con bases conceptuales en la Teoría de Matrices que comprende la ortogonalización de vectores, la existencia y unicidad de las soluciones. Lo que deber saber antes de comenzar 8 Los sistemas de ecuaciones lineales son usados para representar problemas físicos que involucran la relación entre varias propiedades. Las variables representan propiedades a ser estudiadas, y las ecuaciones describen la interacción entre las variables y un sistema de ecuaciones lineales la relación entre ecuaciones. Autoevaluación diagnóstica Sea el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas: 𝑥1 + 4𝑥2 − 𝑥3 = 6 2𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 = 3 −𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 = 5 a. Del sistema original, generar una matriz ampliada b. Generar de la matriz de coeficientes, una matriz triangular superior c. Generar la transpuesta de la matriz de coeficientes Investiga y define: Te recomendamos ver el siguiente video, el cual te orientará con el manejo del lenguaje matricial: https://www.youtube.com/watch?v=85INoJkycAU https://www.youtube.com/watch?v=85INoJkycAU 9 a. Una matriz cuadrada: ______________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ b. Una matriz rectangular: _____________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ c. Una matriz antisimétrica: ___________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ d. Una triangular superior: ____________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ e. Una triangular inferior: _____________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ f. Una matriz identidad: _______________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ g. Una matriz transpuesta: ____________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ h. Una matriz dispersa: ________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________ i. Una matriz nula: _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ (Para la revisión de algunos conceptos sobre sistemas lineales, revisa el sitio interactivo http://proyectodescartes.org/ingenieria/algebra_lineal.htm). http://proyectodescartes.org/ingenieria/algebra_lineal.htm 10 NIVEL 1 En principio vale la pena pensar en modelos matemáticos de sistemas lineales, en una primera etapa, como una situación estática cuando la salida es proporcional a su entrada. En Ingeniería, muchas de las leyes fundamentales de conservación que involucran masa, energía y momentos, se modelan como sistemas de ecuaciones lineales. Se pretende que se visualice el balance entre ecuaciones, cuyo un conjunto de las mismas representen el comportamiento de un sistema. A continuación, se presentan esquemas que pueden modelarse como sistemas lineales. Tabla 2.1 Situaciones que se pueden modelar como sistemas lineales Un balance de masa- Las propiedades del sistema se definen por las reacciones de cada variable y por los parámetros de los flujos de entrada. Las salidas son iguales a las entradas. Por ejemplo, entra un flujo (con parámetros determinados) a 𝑥1, cuyas salidas directas son dos flujos con parámetros que inciden en 𝑥2 𝑦 𝑥3. Así, lo mismo ocurre localmente a cada entrada y salida de cada variable. Fuerzas en equilibrio- Se trata de encontrar las fuerzas y las reacciones asociadas a una estructura estática. Las fuerzas F están en tensión y/o compresión. Existen reacciones externas H y V que también son fuerzas, y que caracterizan cómo la estructura se relaciona con la superficie de soporte. Corrientes y voltajes en circuitos- La corriente asociada al circuito se desconoce, tanto en magnitud como en dirección. La dirección se define en forma arbitraria. Se emplean las leyes de Kirchoff y de Ohm, como expresiones de conservación de la energía. ¿En qué situaciones se emplean modelos matemáticos de sistemas lineales? 11 Sistemas con resortes/ muelleo- Un sistema compuesto por tres masas está suspendido verticalmente con una serie de resortes. En el inciso a., el sistema en la posición inicial, esto es, antes de la extensión y compresión de los resortes. El inciso b., el sistema después de soltarse. Nótese que las posiciones de las masas cambiaron su posición con respecto a la original. La segunda ley de Newton es útil en este caso. Análisis del flujo del tráfico. Se tiene una red de vialidades, cuyos nodos representan semáforos. Se trata de conocer los autos que cruzan por los nodos, con el fin de ajustar el cambio de luces de los semáforos. El principio es el siguiente: El número de carros que llega a una intersección debe ser igual al número de carros que sale de la intersección. Obviamente, los ejemplos de la tabla 2.1, se le pueden agregar componentes dinámicos, en donde el tiempo se incorpora, y en lugar de considerar 𝑥𝑖 bajo una perspectiva estática, ahora sería 𝑥𝑖(𝑡). En los sistemas lineales, también se puede pensar en inecuaciones, lo cual es de área de estudio de la Investigación de Operaciones, y hasta, puede involucrarse conceptos probabilísticos. Los sistemas lineales se pueden clasificar en función de sus soluciones. Tabla 2.2 Posibilidades de soluciones Si la solución del sistema es única se llama compatible determinado. En forma matricial se verá el sistema original y después de que se aplica un método numérico, ambas variables corresponden a un resultado: [ 3 2 | 18 −1 2 | 2 ]~ [ 𝟏 0 | 𝟒 0 𝟏 | 𝟑 ] El sistema es consistente, las rectas se intersectan en un solo punto de solución única. Este tipo de sistemas son ¿Qué pasa si...? 12 de gran interés, ya que las coordenadas del punto de intersección representan la solución simultánea del sistema. El sistema es linealmente independiente. El sistema se llama incompatible, ya que no presenta consistencia, es decir, no admite ninguna solución. De forma matricial, el sistema original a la izquierda y su equivalente a la derecha después de tratar de ser solucionado: [ − 1 2 1 | 1 − 1 2 1 | 1 2 ]~ [ − 1 2 1 | 1 𝟎 𝟎 | − 𝟏 𝟐 ] El sistema es inconsistente. Gráficamente, las rectas son paralelas entre sí. En forma matemática existe una inconsistencia ya que los coeficientes de las variables son nulos (véase los ceros) y el término independiente no lo es. Una ecuación está puesta sobre la otra, tiene múltiples soluciones. En forma matricial, el sistema equivalente del original se verá así: [ − 1 2 1 | 1 −1 2 | 2 ]~ [ − 1 2 1 | 1 𝟎 𝟎 | 𝟎 ] Las rectas pasan por los mismos puntos. Se observa en la forma matricial que los coeficientes y el término independiente son todos ceros. El sistema es linealmente dependiente. 13 Evidencia de aprendizaje 2.1 De los siguientes ejemplos, escribe con tus propias palabras si los esquemas pueden ser pueden ser modelados como sistemas lineales, ¿por qué si/no? 2.1a ¿Puede ser modelado como sistema lineal? Si/ No Explicación: 2.1b ¿Puede ser modelado como sistema lineal? Si/ No Explicación: Cursos enseñados por Estudiantes de: Ciencias Ingeniería Ciencias de computación Ciencias 70% 10% 15% Ingeniería 20% 90% 10% Ciencias de computación 10% 0% 75% 2.1c ¿Puede ser modelado como sistema lineal? Si/ No Explicación: 2.1d ¿Puede ser modelado como sistema lineal? Si/ No Explicación: NIVEL 2 Enhorabuena, has pasado al segundo nivel, ya puedes reconocer situaciones que pueden ser modeladas como sistemas lineales. Ahora, se trata de que puedas organizar, representar e interpretar variables y cómo estas se organizan en un modelo matemático. Recuerde que un modelo matemático es aquel que usa técnicas matemáticas (funciones, ecuaciones, gráficas, tablas, 14 probabilidades,…) para la representación de un determinado proceso o fenómeno del mundo real. Modelo matemático de sistemas de ecuaciones lineales El proceso para elaborar un modelo matemático es: Ejemplo. Al construir un edificio, se requieren 4800 𝑚3 de arena, 5810 𝑚3 de grano fino y 5690 𝑚3 de grano grueso. Las canteras de donde se extraerá el material tienen la composición que se describe a continuación: Cantera 1 2 3 Porcentaje de Arena Grano fino Grano grueso 52 30 18 20 50 30 25 20 55 ¿Cuántos metros cúbicos deben transportarse desde cada cantera para cumplir con los requisitos? Solución 1. Identificar el problema Se trata de determinar qué se debe resolver y determinar qué se quiere hacer. 2. Formular el modelo matemático Se determinan variables involucradas en el proceso, y sus atributos pej. dependientes, independientes, parámetros. Luego, se formula la ecuación o procedimiento que mejor describa y se ajuste a la idealización del modelo. 3. Resolución o interpretación Se aplican conocimientos matemáticos, y procesos analíticos o numéricos para resolver el problema. Luego, se interpretam los resultados 4. Verificación y validación Se comparan los datos teóricos con los datos reales. Esto determina las necesidades de ajuste del modelo, para mejorar resultados. 15 El problema indica lo siguiente: Para construir un edificio existen ciertos requerimientos totales como son arena, grano fino y grano grueso. Estos tipos de materiales se extraen de tres canteras de las cuales se conocen los porcentajes para cada una de ellas. Con esta información, se determinan primero las variables del problema que, en este caso, se llaman: 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥1, representa los 𝑚 3 que se transportan de cada cantera para cubrir el requisito de arena. 𝑥2, representa los 𝑚 3 que se transportan de cada cantera para cubrir el requisitode grano fino. 𝑥3, representa los 𝑚 3 que se transportan de cada cantera para cubrir el requisito de grano grueso. Las cantidades solicitadas son 𝑏1 𝑏2 𝑏3 𝑏1, es la cantidad solicitada para cubrir el requisito de arena. 𝑏2, es la cantidad solicitada para cubrir el requisito de grano fino. 𝑏3, es la cantidad solicitada para cubrir el requisito de grano grueso. Las cantidades necesarias unitarias de arena, grano fino y grano grueso asignadas a los requerimientos totales de 𝑥1 , 𝑥2, 𝑥3 son los llamados 𝑎𝑖𝑗 ∀ 𝑖, 𝑗 ≤ 𝑛 Siendo n, los requerimientos totales. Con esta información, se construye a continuación, el modelo matemático del problema. 𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + 𝑎13𝑥3 = 𝑏1 𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + 𝑎23𝑥3 = 𝑏2 𝑎31𝑥1 + 𝑎32𝑥2 + 𝑎33𝑥3 = 𝑏3 Una forma compacta de reescribir al modelo matemático es 𝐴𝑥 = 𝑏 De la descripción del problema relacionado con Ax=b, se tiene que 16 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 B 0.52 0.30 0.18 4800 0.20 0.50 0.30 5810 0.25 0.20 0.55 5690 Esto significa que el 52% de 𝑥1 (arena), el 30% de 𝑥2 (grano fino) y el 18% de 𝑥3 (grano grueso) deben satisfacer la cantidad necesaria a utilizar, que son 4800. Las otras ecuaciones se interpretan de igual forma. 0.52𝑥1 + 0.30𝑥2 + 0.18𝑥3 = 4800 0.20𝑥1 + 0.50𝑥2 + 0.30𝑥3 = 5810 0.25𝑥1 + 0.20𝑥2 + 0.55𝑥3 = 5690 Se ha creado el modelo matemático (sistema de ecuaciones), que es análoga a la tabla. Nota. No siempre ocurre así, es importante tener en cuenta la forma en cómo se construyó el modelo. Ejemplo. Considere el problema de encontrar las corrientes en las diferentes partes de un circuito eléctrico con resistencias, como se muestra a continuación Solución Los flujos de corriente en circuitos están gobernados por las leyes de Kirchhoff. La primera ley indica que la suma de voltajes en un circuito cerrado es cero. Esto significa 17 que en un nodo, la suma de corrientes que entran en ese nodo, es igual a la suma de corrientes que salen. La segunda ley establece que la caída de voltaje en una resistencia, es el producto de la corriente y la resistencia 𝑉 = 𝑅𝐼. En el circuito, se observan tres ciclos de corriente separados. Se aplican ambas leyes de Kirchhoff en un sistema de ecuaciones lineales. En el ciclo 1; la corriente 𝑖1 tiene relación directa y única con la resistencia 𝑅6, no obstante las resistencias 𝑅2 𝑦 𝑅1, tiene relación, no solo con 𝑖1, también con 𝑖2 e 𝑖3. Al aplicar la segunda Ley de Kirchoff, se obtiene: 𝑅6𝑖1 + 𝑅1(𝑖1 − 𝑖2) + 𝑅2(𝑖1 − 𝑖3) = 𝑉1 En el ciclo 2; el análisis permite generar la segunda ecuación: 𝑅3𝑖2 + 𝑅4(𝑖2 − 𝑖3) + 𝑅1(𝑖2 − 𝑖1) = 𝑉2 En el ciclo 3; 𝑅5𝑖3 + 𝑅4(𝑖3 − 𝑖2) + 𝑅2(𝑖3 − 𝑖1) = 𝑉3 Al realizar una simplificación algebraica y ordenar el sistema en forma matricial se obtiene el siguiente modelo: [ 𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅6 −𝑅1 −𝑅2 −𝑅1 𝑅1 + 𝑅3 + 𝑅4 −𝑅4 −𝑅2 −𝑅4 𝑅2 + 𝑅4 + 𝑅5 ] [ 𝑖1 𝑖2 𝑖3 ] = [ 𝑉1 𝑉2 𝑉3 ] Ejemplo. Un tendero gasta $1000.00 en comprar enseres de $10.00, $40.00 y $120.00 pesos. ¿Cuántos ha comprado de cada clase si en total ha adquirido 40 enseres? Generar el modelo matemático del caso y describirlo Solución Sean x, y, z el número de enseres de $10.00, $40.00 y $120.00. Esto se traduce al lenguaje algebraico como: 10𝑥 + 40𝑦 + 120𝑧 = 1000 La segunda parte, indica que el total de cada clase genere en total 40 enseres, es decir; 18 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 40 El modelo matemático es: 10𝑥 + 40𝑦 + 120𝑧 = 1000 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 40 Descripción. El sistema generado se constituye de tres incógnitas y dos ecuaciones. Es un sistema compatible indeterminado con infinitas soluciones, por lo que al solucionarse el mismo, a una de las incógnitas se le asignará un valor, a modo de parámetro y acorde al contexto del problema. AHORA, ¡ES TU TURNO! A continuación, se te presentan dos ejemplos en los cuales se requiere que identifiques, clasifiques y expliques los componentes del sistema. Con lo anterior, se organice la información en una tabla descriptiva, la cual es útil para generar el modelo matemático que representa al sistema. Evidencia de aprendizaje 2.2 El fabricante de café SABROSO cosechado en Coatepec, Ver. maneja tres tipos de café A, B y C, que exporta a Estados Unidos. Desea mejorar la calidad del sabor de su producto de exportación, y para ello, necesita mezclar los tres tipos de grano que cuestan 1.20, 1.60 y 1.40 dólares/libra, respectivamente. El fabricante cuenta con un presupuesto de 57600 dólares para la compra de los granos de café. El número de libras necesarias de cada tipo de grano debe satisfacer un inventario de 40000 libras que tiene el fabricante en su bodega. Al mezclar el café y evitar un resultado de sabor amargo, el productor determina que la cantidad usada del componente B, debe ser el doble de la del componente A, excluyendo al C. 2.2a Realiza una búsqueda en internet y explica qué es un precio unitario No olvides mencionar la referencia de tu consulta. 19 2.2b Identifica las variables del problema 2.2c Explica lo qué significa cada variable 2.2d ¿Cómo influye la siguiente sentencia “al mezclar el café y evitar un sabor amargo, el productor determina que la cantidad usada del componente B, debe ser el doble de la del componente A, excluyendo al C”, en la combinación de los tres componentes? Evidencia de aprendizaje 2.3 La capacidad semanal de producción de Metalurgia Mexicana es de 600 toneladas de tres diferentes aleaciones. Recibe semanalmente 31 viajes, que hacen un total de 15 ton de carbón, 39 ton de cromo y 546 ton de hierro La composición de producción es la siguiente Mineral Hierro forjado Acero inoxidable Hierro fundido Carbón 1% 1% 4% Cromo - 15% 3% Hierro 99% 84% 93% 20 2.3a Identifica las variables 2.3b Explica lo que significa cada variable 2.3c Explica la tabla Para proceder a conocer los métodos directos e indirectos, es necesario estudiar qué significa resolver un sistema de ecuaciones lineales y bases fundamentales que soportan a los métodos. La expresión del tipo 𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + ⋯+ 𝑎𝑛𝑥𝑛 = 𝑏 Se llama ecuación algebraica o lineal de primer grado donde 𝑥1, 𝑥2, … 𝑥𝑛 representan variables o incógnitas y 𝑎1, 𝑎2, … 𝑎𝑛 representan elementos conocidos de K (cuerpo numérico de ℝ,ℂ,ℚ) que se denominan coeficientes. b, es el término independiente, de manera que, un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto, de expresiones de la forma S Métodos directos e indirectos 21 𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1 𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2 … 𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑚 Donde 𝑎𝑖𝑗 , 𝑏 ∈ 𝐾, ∀𝑖 = 1,2,… ,𝑚 ∀𝑗 = 1,2,… , 𝑛 En las incógnitas, 𝑥𝑖𝑗, el primer subíndice de las “i”, significa la posición que ocupa el sistema en el renglón, y “j”, se refiere a la posición de la columna. 𝑥1𝑗 = 𝑏1 ∀ 𝑗 = 1, 𝑛 𝑥2𝑗 = 𝑏2 ∀𝑗 = 1, 𝑛 … 𝑥𝑛𝑗 = 𝑏𝑛 ∀𝑗 = 1, 𝑛 El sistema de ecuaciones lineales S puede representarse como 𝐴 = [ 𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛 𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛 … … … … 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛 ] 𝑥 = [ 𝑥1 𝑥2 … 𝑥𝑛 ] 𝑏 = [ 𝑏1 𝑏2 … 𝑏𝑛 ] Y se expresa en forma simplificada como una multiplicación Ax=b. La matriz A, se llama Matriz de Coeficientes, x, es el vector de incógnitas y b, es el vector de términos independientes. En ocasiones, cuando se desea resolver el sistema, esto es, determinar los valores del vector de incógnitas x, que satisfaga a todo el vector de términos independientes b, se puede expresar como una matriz ampliada: 𝐴 = [ 𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛 | 𝑏1 𝑎21𝑎22 … 𝑎2𝑛 | 𝑏2 … … … … | … 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛 | 𝑏𝑚 ] Con base en lo anterior, y bajo una perspectiva de Álgebra Lineal, dos sistemas de ecuaciones lineales 𝑆1 y 𝑆2 con un mismo número de incógnitas: 𝑆1: 𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1 𝑆2: 𝑐11𝑥1 + 𝑐12𝑥2 + ⋯+ 𝑐1𝑛𝑥𝑛 = 𝑑1 S 22 𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2 … 𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑚 𝑐21𝑥1 + 𝑐22𝑥2 + ⋯+ 𝑐2𝑛𝑥𝑛 = 𝑑2 … 𝑐𝑚1𝑥1 + 𝑐𝑚2𝑥2 + ⋯+ 𝑐𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑑𝑚 Se llaman sistemas equivalentes si tienen las mismas soluciones, es decir; si toda solución del primero es solución del segundo, y recíprocamente. Nota: Así que, bajo esta definición, no es necesario que los sistemas dados, posean el mismo número de ecuaciones. Ejemplo. Sean los dos sistemas propuestos: x-y=-3 2x+y=6 4x-4y=-12 x-y=-3 2x+y=6 Los dos sistemas pertenecen al espacio ℝ, y son dos sistemas equivalentes, porque ambos tienen como única solución (1, 4). De hecho, una observación más detallada sobre el primer sistema denota que la ecuación x-y=-3, ha sido multiplicada por 4, para generar 4x-4y=-12 Nota: Con el ejemplo, se tiene un precedente que indica la existencia de transformaciones lineales entre las ecuaciones de un sistema que admiten que uno pase a otro equivalente. Las transformaciones son importantes, ya que indican que operaciones se pueden realizar al momento de resolver un sistema lineal, es decir; se trata de hallar, si existen, números que pueden tomar las variables o incógnitas de modo que se satisfagan simultáneamente todas las ecuaciones. Las siguientes transformaciones que dan lugar a otro sistema equivalente son: a. Intercambiar el orden de ecuaciones de un sistema. Ejemplo: 𝑥 − 𝑦 = −3 → 2𝑥 + 6 = 6 2𝑥 + 𝑦 = 6 𝑥 − 𝑦 = −3 b. Multiplicar ambas partes de la igualdad por un elemento de K. Ejemplo: 23 𝑥 − 𝑦 = −3 (𝑝𝑜𝑟 4) → 4𝑥 − 4𝑦 = −12 c. Eliminar una ecuación del sistema que resulta en una combinación lineal de las demás. Ejemplo: 𝑥 − 𝑦 = −3 2𝑥 + 6 = 6 2𝑥 + 𝑦 = 6 → 𝑥 − 𝑦 = −3 4𝑥 − 4𝑦 = −12 Al eliminar la tercera ecuación, se observa no se modifica la solución del sistema de ecuaciones lineales. d. Sustituir una ecuación del sistema por la suma de ella, más otra ecuación del sistema multiplicada por un elemento K diferente de cero. Ejemplo: 𝑥 − 𝑦 = −3 (−2𝑅1 + 𝑅2) 𝑥 − 𝑦 = −3 2𝑥 + 𝑦 = 6 → 0 + 3𝑦 = 12 Se observa que se ha sustituido una ecuación, por una combinación lineal de ella, mediante una operación que se llama suma/resta de renglones. En este caso, del renglón 1 𝑅1 al renglón 2 𝑅2, siendo (-2) el escalar multiplicador: −2𝑥 + 2𝑦 = −6 que cuando se suma al segundo renglón 2𝑥 + 𝑦 = 6, ha permitido eliminar una variable del renglón 𝑅2. Las transformaciones mencionadas permiten generar un sistema escalonado, en el cual todos los coeficientes que se encuentran debajo de la diagonal principal 𝑎11, 𝑎22, 𝑎33, … 𝑎𝑛𝑛 son nulos, tal como se observa a continuación: 𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1 𝑎22𝑥2 + ⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2 … 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑚 Las trasformaciones aquí mencionadas dan origen a sistemas equivalentes, que mantienen la misma solución. El método de Gauss-Jordan consiste en transformar el sistema de ecuaciones dado en otro equivalente, con la condición de eliminar una incógnita con cada operación, tal es el caso que si en un inicio se tienen n incógnitas, al realizar las transformaciones y combinaciones lineales necesarias en una segunda etapa, el sistema tendrá n-1 incógnitas, luego n-2, y así sucesivamente. 24 Posteriormente, se trata de suprimir de cada incógnita sobre el elemento pivote (primer elemento no nulo de cada fila). Bajo este enfoque, el pivote se encuentra en la diagonal principal. que normalmente, se identifica en la posición de la diagonal principal, así que el sistema quedará: 𝑎11𝑥1 …………… = 𝛼1 𝑎22𝑥2 …… = 𝛼2 …………… 𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛 = 𝛼𝑛 A continuación, se describe al método de Gauss- Jordan. Método de Gauss-Jordan Un método directo es aquel que asume que se obtendrá una solución exacta a un sistema Ax=b, mediante un número finito de pasos. En el método de Gauss Jordan se dispone de una matriz en la cual se realizan sucesivas eliminaciones de incógnitas mediante transformaciones elementales de fila y columna, tales como, multiplicar por un escalar distinto de cero, suma/resta entre renglones e intercambio de filas, para obtener un sistema equivalente, en cuyo lado izquierdo, esto es, la matriz de coeficientes A presentará la forma de una matriz identidad I, y del lado de términos independientes, la solución que satisface al sistema. Se presenta un ejemplo ilustrativo que muestra la filosofía de un número finito de operaciones y la idea de solución exacta, siempre y cuando, las operaciones se pudieran efectuar con aritmética infinita. Ejemplo. Se presenta un sistema de orden 2x2: 𝑥 − 𝑦 = −3 2𝑥 + 𝑦 = 6 Resolver por el método de Gauss-Jordan. Solución Se genera una matriz A* ampliada y se realizan transformaciones sobre los renglones R [ 1 −1 | −3 2 1 | 6 ] − 𝟐𝑹𝟏 + 𝑹𝟐 25 Se ha eliminado una incógnita: [ 1 −1 | −3 0 3 | 12 ] 𝟏 𝟑 𝑹𝟐 En la diagonal principal se busca tener la forma de una matriz Identidad I. [ 1 −1 | −3 0 1 | 4 ] 𝑹𝟐 + 𝑹𝟏 Observe que de las operaciones propuestas sobre los renglones R, el último corresponde en donde se realizará la transformación, tal como sucede 𝑹𝟐 + 𝑹𝟏, la operación es tomar el renglón 2 y sumarlo al renglón 1, el resultado se refleja en 𝑹𝟏. Las combinaciones generan un sistema equivalente que contiene la solución que satisface al sistema original. [ 1 0 | 1 0 1 | 4 ] 𝑥 = 1 𝑦 = 4 Gauss Jordan tiene un enfoque didáctico, pero pierde precisión cuando el orden de la matriz aumenta, o cuando la diferencia entre cifras significativa es grande. El pivoteo que se realiza sobre la diagonal principal con Gauss Jordan, se vuelve ineficiente conforme aumenta el orden de la matriz. El método de Gauss-Jordan, en forma similar, a la eliminación gaussiana, logra la obtención de soluciones mediante la reducción de la matriz de coeficientes en un sistema equivalente en forma de matriz, en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. Primero, se genera una matriz triangular superior, y al continuar con eliminaciones, se obtiene una matriz diagonal. Los elementos de la diagonal principal darán los resultados buscados. Ejemplo. Resolver el sistema lineal, mediante el método de Gauss- Jordan 𝑥1 + 4𝑥2 + 𝑥3 = 7 𝑥1 + 6𝑥2 − 𝑥3 = 13 2𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 = 5 Solución 1. Conformar la matriz de coeficientes, con el vector de términos independientes en una matriz aumentada: 𝑥1 + 4𝑥2 + 𝑥3 = 7 𝑥1 + 6𝑥2 − 𝑥3 = 13 2𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 = 5 [ 1 4 1 | 7 1 6 −1 | 13 2 −1 2 | 5 ] 26 Con lo anterior se ha formulado el sistema como una matriz aumentada 2. Se pivotea sobre los elementos de la diagonal principal, de tal forma que dicho pivote sea convierta al número uno (1). Se efectúan combinaciones lineales sobre los renglones restantes con el objetivo que se generen ceros en la columna del pivote. Se prosigue este método hasta lograr conformar una matriz identidad, la cual es un sistema equivalente con el original. Aquí se usará la letra R para denotar los cambios en cada renglón. Recordar que las operaciones permitidas son: Multiplicación por un escalar distinto de cero, suma/resta entre renglones e intercambio de filas, y la estrategia es eliminar las variables denotadas en color rojo. [ 1 4 1 | 7 𝟏 6 −1 | 13 𝟐 −𝟏 2 | 5 ] −𝑅1 + 𝑅2 −2𝑅1 + 𝑅3 -1+1, -4+6, -1-1, -7+13 de la primera operación -2(1)+1, -2(4)+6,-2(1)-1, -2(7)+13 de la segunda operación Para la nomenclatura, se afecta los renglones R que aparecen al final de cada operación. Los cambios de ambas operaciones se reflejan en la segunda operación, es decir de −𝑅1 + 𝐑𝟐, el cambio se reflejará en 𝑹𝟐, y de la operación −2𝑅1 + 𝑅3, el cambio se reflejará en 𝑅3, quedando [ 1 4 1 | 7 0 2 −2 | 6 0 −9 0 | −9 ] Del tercer renglón ha quedado con casi una forma unitaria [0 −9 0 | −9]. Se intercambia fila, la segunda por la tercera. Además, se obtiene el inverso multiplicativo, para hacer un pivote de renglón ya intercambiado (-1/9𝑹𝟐): [ 1 4 1 | 7 0 −9 0 | −9 0 2 −2 | 6 ] − 𝟏/𝟗𝑹𝟐 ≅ [ 1 4 1 | 7 0 1 0 | 1 0 2 −2 | 6 ] [ 1 4 1 | 7 0 1 0 | 1 0 2 −2 | 5 ] −2𝑅2 + 𝑅3 El cambio en 𝑅3 [ 1 4 1 | 7 0 1 0 | 1 0 0 −2 | 4 ] − 1 2 𝑅2 27 [ 1 𝟒 𝟏 | 7 0 1 0 | 1 0 0 1 | −2 ] Son las variables por eliminar Ya se tienen pivotes unitarios en la diagonal principal. Se ha generado una matriz triangular superior (Upper). La estrategia ha sido la siguiente, partir de la esquina superior izquierda hacia abajo para generar ceros por debajo de los pivotes. El procedimiento ahora será al revés, de los renglones inferiores hacia arriba, para hacer ceros sobre los pivotes. [ 1 4 1 | 7 0 1 0 | 1 0 0 1 | −2 ] −4𝑅2 + 𝑅1 El cambio en 𝑅1 [ 1 0 1 | 3 0 1 0 | 1 0 0 1 | −2 ] −𝑅3 + 𝑅1 El cambio en 𝑅1 [ 1 0 0 | 5 0 1 0 | 1 0 0 1 | −2 ] ¡Listo! 𝒙𝟏 = 𝟓,𝒙𝟐 = 𝟏,𝒙𝟑 = −𝟐 Hay que mencionar que la forma de resolver este sistema no es única. Cada uno puede elegir el camino para la reducción de la matriz. Todo depende de tu creatividad e intuición para eliminar las variables. Por ejemplo, [ 1 4 1 | 7 1 6 −1 | 13 2 −1 2 | 5 ] [ 1 4 1 | 7 0 2 −2 | 6 0 −9 0 | −9 ] −𝑅1 + 𝑅2 −2𝑅1 + 𝑅3 Hasta aquí se ha realizado lo mismo. Ahora véase lo siguiente [ 1 4 1 | 7 0 2 −2 | 6 0 −9 0 | −9 ] − 9 2 𝑅2 + 𝑅3 [ 1 4 1 | 7 0 2 −2 | 6 0 0 −9 | 18 ] De aquí se ve, que no se realizó un intercambio de renglones y que la variable 𝑥3 = −2. Se sugiere que el estudiante convierta los pivotes de la diagonal principal en 1, y elimine el resto de las variables. 28 Asimismo, para ver el desarrollo algebraico del método, ingrese al ejecutable de Gauss- Jordan, el cual le permitirá resolver sistemas de ecuaciones simultáneas, mostrando de manera detallada el proceso de solución. REVISA EL EJECUTABLE DE GAUSS- JORDAN Ejemplo. Resolver el sistema lineal por el método de Gauss-Jordan. 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 5 2𝑥 + 2𝑦 = 7 5𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 1 Solución De nuevo se genera una matriz A* [ 1 −2 1 | 5 2 2 0 | 7 5 −3 4 | 1 ] −𝟐𝑹𝟏 + 𝑹𝟐 −𝟓𝑹𝟏 + 𝑹𝟑 Aquí ya se realizaron dos operaciones sobre el renglón 2 y el renglón 3, y se suprimieron dos incógnitas debajo del pivote 𝑎11. ≅ [ 1 −2 1 | 5 0 6 −2 | −3 0 7 −1 | −24 ]− 𝟕 𝟔 𝑹𝟐 + 𝑹𝟑 Se trata de eliminar ahora la posición 𝑎32, debajo del pivote 𝑎22 = 6, por ello, la multiplicación de -7/6. ≅ [ 1 −2 1 | 5 0 6 −2 | −3 0 0 8 6 | − 123 6 ] Se puede trabajar con fracciones o números decimales: ≅ [ 1 −2 1 | 5 0 1 −0.333 | −0.5 0 0 1.333 | −20.5 ] ≅ [ 1 0 0 | 9.1246 0 1 0 | −5.6246 0 0 1 | −15.3754 ] Se deduce que, por las operaciones sistemáticas, es conveniente hacer uso de computadoras. El resultado es 𝑥 = 9.1246 𝑦 = −5.6246 𝑧 = −15.3754 29 Ejemplo. Describir las características de los siguientes sistemas lineales S: Sistema de ecuaciones lineales Solución 5𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 2 −3𝑦 + 𝑧 = 6 𝑧 = 4 El sistema se ha presentado en forma escalonada que, si se representa matricialmente, se llama Upper U (Triangular Superior). El número de incógnitas es igual al número de ecuaciones. Este sistema tiene una única solución, por lo tanto, es compatible determinado. 5𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 𝑡 = 1 3𝑦 + 𝑧 + 2𝑡 = 2 𝑧 + 3𝑡 = 5 El sistema de nuevo se ha presentado bajo la estructura U. Sin embargo, son más las incógnitas que las ecuaciones, por lo tanto, es un sistema compatible indeterminado. Esto requiere que se asigne arbitrariamente un valor a t. 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 10 2𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 8 El sistema tiene tres incógnitas y tres ecuaciones. Observar a detalle la primera y tercera ecuación. La tercera ecuación, en su lado izquierdo, es una combinación lineal, no siendo el caso de su lado derecho que debiera tener el valor 12. Es un sistema incongruente y no tiene solución. Se sugiere que el alumno pruebe esto. Evidencia de aprendizaje 2.4 Resuelve por Gauss- Jordan, el siguiente sistema. 𝑥1 − 2𝑥2 + 3𝑥3 = 9 −𝑥1 + 3𝑥2 = −4 2𝑥1 − 5𝑥2 + 5𝑥3 = 17 Escribe tu respuesta en una hoja, tómale una foto y súbela. 30 Método de Jacobi Un método iterativo en la solución de un sistema lineal con la forma Ax=b, se puede resolver al construir una sucesión convergente a la solución del sistema. Los métodos indirectos no generan una solución exacta, aunque su gran ventaja es su eficiencia con respecto a los métodos directos, tanto por la disminución en el número de operaciones, como por la reducción del error por redondeo. Esto es particularmente, cierto, en sistemas con un alto porcentaje de entradas 𝑎𝑖𝑗 = 0, en la matriz de coeficientes A, a las que se conocen como matrices dispersas. Los métodos indirectos también son útiles para sistemas de ecuaciones lineales de orden mayor a 15. Existen diferentes métodos para la solución del sistema. Aquí se describen brevemente dos métodos clásicos. El de Jacobi y el de Gauss-Seidel. Hay que tomar en cuenta que los métodos iterativos en sistemas lineales comienzan con una aproximación inicial 𝑥(0), que se convierten a una solución x aproximada, mediante un procedimiento que transforma el sistema matricial 𝐴𝑥 = 𝑏, en un sistema equivalente de la forma 𝑥 = 𝑥(𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟) + 𝑖𝑛𝑐𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜, se calculan aproximaciones sucesivas que, con base en ciertas condiciones, convergen a la solución exacta del sistema lineal. La base de los dos métodos, se encuentra en la Teoría del Punto Fijo, la cual indica, bajo una perspectiva geométrica, que una función de variable real y=g(x) es continua en el intervalo [a, b]. El objetivo es aproximar una solución P, en el intervalo [a, b] de la ecuación g(x)=x 31 P es un punto fijo, porque g(P)=P y la solución se encontrará en la intersección de las gráficas. 𝑦 = 𝑔(𝑥) y 𝑦 = 𝑥 De manera que, 𝑥0 es un vector que se elige arbitrariamente, como una aproximación inicial a la solución exacta P. Al aplicar el algoritmo de Jacobi o de Gauss- Seidel, se seguirá una trayectoria como la mostrada en la segunda gráfica, y las abscisas de los puntos �⃗⃗�𝑘 = (𝑥𝑘 , 𝑔(𝑥𝑘)) Sobre la función g, tenderá a llegar a una solución para P. Dos condiciones iniciales se requieren para ambos métodos: Las matrices sean de orden nxn, o sea, sean cuadradas, y la segunda condición, los mayores valores de los coeficientes se encuentren en la diagonal principal. Por ejemplo, 𝟓𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 4 3𝑥 + 𝟖𝑦 + 4𝑧 = 15 𝑥 + 𝑦 + 𝟑𝑧 = 9 Así que, sea T una matriz cuadrada de orden n y 𝑐̅, un vector fijo ∈ ℝ 𝑔(𝑥) = 𝑇�̅� + 𝑐̅ Para cada �̅� ∈ ℝ, se dice que g es una transformación afín en el espacio de ℝ, esto es, los métodos son consistentes si: 𝑔(𝑥) = 𝑇�̅� + 𝑐 ̅ ⇔ 𝐴𝑥 = 𝑏 El método de Jacobi para n renglones en Ax=b, es el siguiente: 𝑥𝑖 = ∑(− 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗 𝑎𝑖𝑖 𝑛 𝑗=1 ) + 𝑏𝑖 𝑎𝑖𝑖 para i=1,2,…n Lo anterior en forma descriptiva, para una matriz de orden 3x3 en la primera iteración, se establece un valor inicial y un factor de convergencia 𝑥(0), 𝛿 𝑥1 = (𝑏1 − 𝑎12𝑥2 − 𝑎13𝑥3)/𝑎11 32 𝑥2 = (𝑏2 − 𝑎21𝑥1 − 𝑎23𝑥3)/𝑎22 𝑥3 = (𝑏3 − 𝑎31𝑥1− 𝑎32𝑥2)/𝑎33 En la segunda iteración, los valores obtenidos para x, se introducen en la siguiente iteración. De esta forma, conforme se generen nuevos valores, se retienen para la siguiente iteración. 𝑥1 = (𝑏1 − 𝑎12𝑥2 − 𝑎13𝑥3)/𝑎11 𝑥2 = (𝑏2 − 𝑎21𝑥1 − 𝑎23𝑥3)/𝑎22 𝑥3 = (𝑏3 − 𝑎31𝑥1 − 𝑎32𝑥2)/𝑎33 El método finaliza cuando |𝑥𝑖 − 𝑥 (𝑛) 𝑖| ≤ 𝛿 Nota. Los métodos solo funcionan para matrices cuadradas y deben realizarse los intercambios de renglones necesarios, para lograr que los coeficientes de las variables en la diagonal principal sean los de MAYOR VALOR, en valor absoluto. Ejemplo. Resolver por el método de Jacobi el siguiente sistema de ecuaciones lineales. −𝑥1 + 2𝑥2 = 3 4𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 11 2𝑥1 + 𝑥2 + 4𝑥3 = 16 Solución 𝟒𝒙𝟏 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 11 −𝑥1 + 𝟐𝒙𝟐 = 3 2𝑥1 + 𝑥2 + 𝟒𝒙𝟑 = 16 Se realizó un intercambio de renglones para ordenar el sistema de manera diagonalmente dominante. 1. Despejar la variable de mayor coeficiente para obtener ecuaciones que puedan ser iteradas (esto es, aplicar el inverso multiplicativo): 𝒙𝟏 = 11 4 − 1 2 𝑥2 − 1 4 𝑥3 𝐱𝟐 = 3 2 + 1 2 𝑥1 𝒙𝟑 = 4 − 1 2 𝑥1 − 1 4 𝑥2 2. Asignar una aproximación inicial al valor de las variables (esto se realiza de manera arbitraria). Normalmente, se comienza con 𝑥0 = (0,0,0). Nótese que el 33 superíndice 0, no se refiere a un exponente, más bien, el número de iteración. Asimismo, se asigna un 𝛿 < 0.001, que define la condición de paro. Para la primera iteración se tiene 𝑥1 = ( 11 4 , 3 2 , 4) Lo anterior es el resultado de sustituir los valores iniciales sobre las ecuaciones. 3. Se compara con el delta y dado que los resultados son mayores, se continúa con las iteraciones. 𝑥1 = ( 11 4 , 3 2 , 4) 𝒙𝟏 = 11 4 − 1 2 𝑥2 − 1 4 𝑥3 𝐱𝟐 = 3 2 + 1 2 𝑥1 𝒙𝟑 = 4 − 1 2 𝑥1 − 1 4 𝑥2 𝑥1 2 = 11 4 − 1 2 ( 3 2 ) − ( 1 4 )(4) = 𝟏 𝑥2 2 = 3 2 + 1 2 ( 𝟏𝟏 𝟒 ) = 𝟐𝟑 𝟖 𝑥3 2 = 4 − 1 2 ( 𝟏𝟏 𝟒 ) − 1 4 ( 𝟑 𝟐 ) = 𝟏𝟖 𝟖 Observa que el resultado de la segunda iteración, tomó los valores de la primera que se sustituyeron en cada variable. 4. Se realiza otra iteración para clarificar aún más el procedimiento. Los valores obtenidos de la segunda iteración, son los que ahora permiten realizar la tercera iteración. 𝑥2 = (1, 23 8 , 18 8 ) 𝒙𝟏 = 11 4 − 1 2 𝑥2 − 1 4 𝑥3 𝐱𝟐 = 3 2 + 1 2 𝑥1 𝒙𝟑 = 4 − 1 2 𝑥1 − 1 4 𝑥2 𝑥1 2 = 11 4 − 1 2 ( 𝟐𝟑 𝟖 ) − ( 1 4 )( 𝟏𝟖 𝟖 ) = 24 32 = 𝟑 𝟒 𝑥2 2 = 3 2 + 1 2 (𝟏) = 𝟐 𝑥3 2 = 4 − 1 2 (𝟏) − 1 4 ( 𝟐𝟑 𝟖 ) = 𝟖𝟗 𝟑𝟐 La continuación de iteraciones se continúa hasta que los valores sucesivos de las variables cumplen con 𝛿 < 0.001. La aproximación de la solución es 𝒙𝟏 𝟏𝟐 = 𝟏 34 𝒙𝟐 𝟏𝟐 = 𝟐 𝒙𝟑 𝟏𝟐 = 𝟑 Nótese que se realizan 12 iteraciones para resolver numéricamente este sistema de ecuaciones lineales. Por ello, la necesidad de emplear las computadoras. TE INVITAMOS A QUE REVISES EL EJECUTABLE DE ESTE PROGRAMA TITULADO JACOBI Método de Gauss-Seidel El método de Jacobi es conocido también como un método de desplazamientos simultáneos, ya que en cada iteración, los componentes del vector 𝑥𝑛+1 son obtenidos simultáneamente a partir de los componentes del vector 𝑥𝑛. Ahora, si al aplicar el método de Jacobi sobre un sistema lineal, converge a la solución exacta, entonces se puede pensar en ir utilizando los componentes del vector a medida que se van calculando, y esto es exactamente lo que ocurre con el método de Gauss- Seidel. La mejora sobre el método de Jacobi, se presenta con Gauss Seidel. Su algoritmo se basa en lo siguiente: 𝑥𝑖 𝑘 = −∑ (− 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗 (𝑘) 𝑎𝑖𝑖 𝑖−1 𝑗=1 ) − ∑ (𝑎𝑖𝑗 𝑛 𝑗=𝑖+𝑛 𝑥𝑗 (𝑘−1)) + 𝑏𝑖 𝑎𝑖𝑖 para i=1,2,…n El método de Gauss- Seidel, también es un método de desplazamientos sucesivos, ya que los componentes del vector 𝑥𝑛+1, son calculados utilizando los componentes ya obtenidos del mismo vector. En forma descriptiva, en este método se establece un valor inicial y un factor de convergencia. Nota: Se reitera la necesidad de que exista en la matriz de coeficientes, una diagonal estrictamente dominante, es decir; cada elemento de la diagonal es el mayor en valor absoluto que la de los demás elementos de la misma fila. 35 En una primera iteración, se propone un valor inicial 𝑥(0), 𝛿, el cual permite obtener los valores 𝑥(1). De 𝑥1, se aplica inmediatamente su valor, para obtener 𝑥2, y ambos nuevos valores, se usan para obtener 𝑥3. Las fechas muestran las disposiciones de los valores de 𝑥(1). 𝑥(0), 𝛿 𝑥1 = (𝑏1 − 𝑎12𝑥2 − 𝑎13𝑥3)/𝑎11 𝑥2 = (𝑏2 − 𝑎21𝑥1 − 𝑎23𝑥3)/𝑎22 𝑥3 = (𝑏3 − 𝑎31𝑥1 − 𝑎32𝑥2)/𝑎33 Segunda iteración. De forma similar a la primera iteración, se usan los valores obtenidos en forma simultánea. 𝑥1 = (𝑏1 − 𝑎12𝑥2 − 𝑎13𝑥3)/𝑎11 𝑥2 = (𝑏2 − 𝑎21𝑥1 − 𝑎23𝑥3)/𝑎22 𝑥3 = (𝑏3 − 𝑎31𝑥1 − 𝑎32𝑥2)/𝑎33 Nótese que se usa inmediatamente el último valor disponible de x, para calcular un conjunto de nuevas x, con base en el conjunto de x anteriores. El método finaliza cuando |𝑥𝑖 − 𝑥 (𝑛) 𝑖| ≤ 𝛿 Ejemplo. Resolver el sistema lineal, por medio del método de Gauss- Seidel. 𝟒𝒙𝟏 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 11 −𝑥1 + 𝟐𝒙𝟐 = 3 2𝑥1 + 𝑥2 + 𝟒𝒙𝟑 = 16 1. De nuevo el sistema organizado con una diagonal dominante, se despeja la variable de mayor coeficiente para obtener ecuaciones que puedan ser iteradas: 𝒙𝟏 = 11 4 − 1 2 𝑥2 − 1 4 𝑥3 𝐱𝟐 = 3 2 + 1 2 𝑥1 𝒙𝟑 = 4 − 1 2 𝑥1 − 1 4 𝑥2 36 2. Se usa un superíndice para hacer referencia al número de iteraciones, además, de que se asigna una aproximación inicial al valor de las variables. Por ejemplo, 𝑥0 = (0,0,0) para iniciar el proceso de iteración, con 𝛿 < 0.001. Con el método de Gauss-Seidel, el nuevo componente calculado se usa para obtener el valor de la siguiente variable, sin tener que evaluar todo el sistema bajo los valores iniciales. 𝑥1 1 = 𝟏𝟏 𝟒 𝑥2 1 = 3 2 + 1 2 ( 𝟏𝟏 𝟒 ) = 𝟐𝟑 𝟖 𝑥3 1 = 4 − 1 2 ( 𝟏𝟏 𝟒 ) − 1 4 ( 𝟐𝟑 𝟖 ) = 𝟔𝟏 𝟑𝟐 De tal forma que 𝑥1 1 = 𝟏𝟏 𝟒 𝑥2 1 = 𝟐𝟑 𝟖 𝑥3 1 = 𝟔𝟏 𝟑𝟐 Se continúa con la segunda iteración, para clarificar el procedimiento 𝑥2 = ( 11 4 , 23 8 , 61 32 ) 𝒙𝟏 = 11 4 − 1 2 𝑥2 − 1 4 𝑥3 𝐱𝟐 = 3 2 + 1 2 𝑥1 𝒙𝟑 = 4 − 1 2 𝑥1 − 1 4 𝑥2 𝑥1 2 = 11 4 − 1 2 ( 𝟐𝟑 𝟖 ) − 1 4 ( 𝟔𝟏 𝟑𝟐 ) = 𝟏𝟎𝟕 𝟏𝟐𝟖 𝑥2 2 = 3 2 + 1 2 ( 𝟏𝟎𝟕 𝟏𝟐𝟖 ) = 𝟒𝟗𝟏 𝟐𝟓𝟔 𝑥3 2 = 4 − 1 2 ( 𝟏𝟎𝟕 𝟏𝟐𝟖 ) − 1 4 ( 𝟒𝟗𝟏 𝟐𝟓𝟔 ) = 𝟑𝟏𝟕𝟕 𝟏𝟎𝟐𝟒 De tal forma que 𝑥1 2 = 𝟏𝟎𝟕 𝟏𝟐𝟖 ≅ 𝟎. 𝟖𝟑𝟔 37 𝑥2 2 = 𝟒𝟗𝟏 𝟐𝟓𝟔 ≅ 𝟏. 𝟗𝟏𝟖 𝑥3 2 = 𝟑𝟏𝟕𝟕 𝟏𝟎𝟐𝟒 ≅ 𝟑. 𝟏𝟎𝟐 Las iteraciones continúan hasta que las diferencias de los tres valores correspondientes al vector X sean menores que 𝛿 < 0.001. La aproximación de la solución es 𝒙𝟏 𝟓 = 𝟏 𝒙𝟐 𝟓 = 𝟐 𝒙𝟑 𝟓 = 𝟑 Con este método se realizaron 5 iteraciones para resolver numéricamente este sistema de ecuaciones lineales. Nota: (1) La convergencia del método de Gauss Seidel, al igual que Jacobi, se logra cuando el valor absoluto del coeficiente dominante se encuentra en la diagonal principal del sistema de ecuaciones. (2) El método de Gauss- Seidel converge en menos iteraciones que las requeridas por el método de Jacobi. TE INVITAMOS A QUE REVISES EL EJECUTABLE DE ESTE PROGRAMA TITULADO GAUSS- SEIDEL Ejemplo. Resolver por el método de Jacobi y el método de Gauss- Seidel, el siguiente sistema lineal. 4𝑥 + 𝑦 = −3 𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 = 10 𝑦 + 4𝑧 = 1 Solución Para ambosmétodos se realiza un despeje de los elementos de la diagonal principal con el mayor valor absoluto 𝑥 = −0.75 − 0.25𝑦 𝑦 = 2.5 − 0.25𝑥 − 0.25𝑧 𝑧 = 0.25 − 0.25𝑦 38 Se propone que el valor inicial sea 𝑥0 = (0,0,0), se establece un 𝛿 ≤ 0.001 Por el método de Jacobi Por el método de Gauss- Seidel 𝑥1 = −0.75 𝑦1 = 2.5 𝑧1 = 0.25 Segunda iteración: 𝑥2 = −0.75 − 0.25(2.5) = −1.375 𝑦2 = 2.5 − .25(−0.75) − 0.25(0.25) = 2.625 𝑧2 = 0.25 − 0.25(2.5) = −0.375 Tercera iteración: 𝑥3 = 2.937 𝑦3 = 2.953 𝑧3 = −4.84 ⋯ 𝑥6 = −1.5 𝑦6 = 3 𝑧6 = −0.5 𝑥1 = −0.75 𝑦1 = 2.5 − 0.25(−0.75) = 2.669 𝑧1 = 0.25 − 0.25(2.687) = −0.422 Segunda iteración: 𝑥2 = −0.75 − 0.25(2.687) = −1.422 𝑦2 = 2.5 − 0.25(−1.422) − 0.25(−0.422) = 2.961 𝑧2 = 0.25 − 0.25(2.961) = −0.490 Tercera iteración: 𝑥3 = −01.490 𝑦3 = 2.995 𝑧3 = −0.499 ⋯ 𝑥4 = −1.5 𝑦4 = 3 𝑧4 = −0.5 Es importante indicar que la elección del punto inicial no influye en la convergencia, aunque sí habrá variaciones en el número de iteraciones para llegar a una solución acorde al delta o tolerancia. Ejemplo. A continuación, se presenta un sistema tridiagonal, resolver por Gauss- Seidel [ 4 −1 0 0 0 −1 4 −1 0 0 0 −1 4 −1 0 0 0 −1 4 −1 0 0 0 −1 4 ] [ 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥5] = [ 100 200 200 200 100] Se sugiere comenzar con: (25, 50, 50, 50, 25), y con una tolerancia de 0.001 Solución Primera iteración Segunda iteración Sexta iteración [ 44.333 74.733 90.558 80.014 46.203] [ 46.133 84.714 92.444 84.912 46.230] [ 46.154 84.615 92.307 84.615 46.154] 39 Séptima iteración Una matriz tridiagonal presenta elementos distintos de cero en la diagonal principal que muestra un patrón de comportamiento. Debido a que la diferencia entre la sexta y séptima iteración es nula, y tomando en cuenta que el delta, el proceso se detiene: |𝑥(7) − 𝑥(6)| |𝑥(6)| = 0 [ 46.154 84.615 92.307 84.615 46.154] AHORA, ¡ES TU TURNO! Evidencia de aprendizaje 2.5 Resuelve por el método de Jacobi, el siguiente sistema. 10𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 = 44 𝑥1 + 2𝑥2 + 10𝑥3 = 61 2𝑥1 + 10𝑥2 + 𝑥3 = 51 Escribe tu respuesta en una hoja, tómale una foto y súbela. Nota: (1) Recuerda intercambiar filas para que el sistema lineal te quede con coeficientes dominantes en la diagonal principal. (2) Te sugerimos asignar, para este caso, una aproximación inicial de (1, 1, 1) (3) 𝛿 < 0.001 Evidencia de aprendizaje 2.6 Resuelve por el método de Gauss- Seidel, el siguiente sistema. 10𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 = 44 2𝑥1 + 10𝑥2 + 𝑥3 = 51 𝑥1 + 2𝑥2 + 10𝑥3 = 61 Actividades de aprendizaje 40 Escribe tu respuesta en una hoja, tómale una foto y súbela. Nota: (1) Te sugerimos asignar, para este caso, una aproximación inicial de (1, 1, 1) (2) 𝛿 < 0.001 FORO DE DISCUSIÓN. Diseñar un screencast en el que se muestre tu propuesta de enseñanza de un método mediado por tecnologías digitales. BIENVENIDO AL NIVEL 3 En este nivel se integran tus conocimientos del nivel 1 y 2 y para ello, requieres poner en práctica tu pensamiento estratégico. En esta sección te ayudaremos a desarrollarlo. Fig. 2.1 Conceptualización del pensamiento estratégico en métodos numéricos La figura 2.1 se refiere a realizar actividades desde plantear un fin, analizar los medios con los que se cuenta, hasta la interpretación de resultados. Justamente, en esta sección te presentaremos ejemplos. 41 Situación del problema y organización de la información… Una fábrica de concreto almacena tres mezclas básicas (A, B, C) del mismo, que se presentan a continuación. Las cantidades se miden en gramos y cada “unidad” de mezcla pesa 60 gramos. Con base en la tabla anterior, la fábrica puede formular mezclas especiales revolviendo combinaciones de las tres básicas. Se tienen las siguientes dudas: a. ¿Se puede hacer una mezcla que consista en 1 000 g de cemento, 200 g de agua, 1 000 g de arena, 500 g de grava y 300 g de tobas? b. ¿Por qué sí o por qué no? c. De ser posible, ¿cuántas unidades de cada una de las mezclas A, B y C se necesitan para formular la mezcla especial? La realización del modelo matemático… La información organizada en el planteamiento del problema, es del tipo Ax=b, donde A es una matriz de coeficientes, x es un vector y b, es un vector. Los datos del problema aplicado al modelo matemático, indican para la primera duda (inciso a), que sí es posible generar un modelo matemático. ( 20 18 12 |1000 10 10 10 | 200 20 25 15 |1000 10 5 15 | 500 0 2 8 | 300) No obstante, vale la pena hacer algunas precisiones. Se observa que la matriz de coeficientes es de orden 5x3, es rectangular (dimensión m x n). Por esta condición se tendrán dos opciones; o un sistema indeterminado (con un número infinito de Ejemplos de aplicación A B C Cemento 20 18 12 Agua 10 10 10 Arena 20 25 15 Grava 10 5 15 Tobas 0 2 8 42 soluciones), que conduzca a combinaciones lineales. O como segunda opción, que sea un sistema incompatible, esto es, el vector de términos independientes ( 1000 200 1000 500 300 ) no pertenece al espacio de la matriz de coeficientes Ax. Los métodos numéricos de solución… La matriz de coeficientes no es cuadrada, por tanto, no se pueden emplear los dos métodos indirectos estudiados en este capítulo. Además, queda la duda de cómo se podrían ordenar las filas para lograr coeficientes dominantes en la diagonal principal. Las opciones se remiten a métodos directos. Dado que estas notas tienen un interés didáctico y de demostración de la aplicación de conceptos sobre espacios vectoriales, se escoge el método de Gauss Jordan. En la praxis, el método del máximo elemento pivoteo y/o LU serían los más adecuados por la aproximación de los resultados. A continuación, se presenta el proceso de solución del sistema. Se puede resolver manualmente. Recuerda que se afectan los renglones R que aparecen al final de cada operación. Esto es, en la primera operación aparece − 1 2 𝑅1 + 𝑅2, lo cual implica que el primer renglón se multiplicó en su totalidad por − 1 2 , y la suma con 𝑅2, se reflejó en el renglón 𝑅2: 20 18 12 | 1000 0 1 4 | 300 20 25 15 | 1000 10 5 15 | 500 0 2 8 | 300 − Para resolverlo, puedes acceder a https://es.symbolab.com/, sitio que contiene una calculadora útil. El resultado, se presenta a continuación. En la diagonal principal se tienen valores unitarios: 43 ( 1 0 0 | 68 0 1 0 | 36 0 0 1 | −84 0 0 𝟎 | 𝟗𝟎𝟎 0 0 0 | 0 ) Interpretación de resultados… El resultado desde una perspectiva indica que el sistema es inconsistente. Véase los resultados desde la perspectiva del contexto del problema: A B C Totales Cemento 1 0 0 68 Agua 0 1 0 36 Arena 0 0 1 -84 Grava 0 0 0 900 Tobas 0 0 0 0 Con respecto a los incisos b y c, se tiene la siguiente respuesta. No es posible hacer una mezcla especial de 1 000 g de cemento, 200 g de agua, 1 000 g de arena, 500 g de grava y 300 g de tobas. Se observan dos incongruencias. Los resultados descritos en lenguaje natural son: para lograr la mezcla especial de cada componente, Para la mezcla A, se requieren 68 gramos de cemento. Para la mezcla B, se requieren 36 gramos de agua. Para la mezcla C, no se requiere arena, HAY UN ADEUDO de 84 gramos, ¿cómo es posible esto? Con respecto a la grava, sin requerir de esta, GENERARÁ 900 gramos, lo cual es un ABSURDO. Finalmente, no se requiere material de tobas. En el modelo matemático existen combinaciones lineales entre las ecuaciones,razón por la cual, hay un renglón de ceros, lo que denota dependencia lineal. Más aún, por el orden de la matriz rectangular, el sistema muestra la existencia de una inconsistencia del sistema lineal, lo que tiene como consecuencia la imposibilidad de hallar una solución por los métodos clásicos de eliminación gaussiana. Hasta aquí ha quedado resuelto el problema. 44 Ejemplo. Situación del problema… Una compañía de electrónica produce transistores, resistencias y chips de computadora. Cada transistor requiere de cuatro unidades de cobre, una de zinc y dos de vidrio. Cada resistor requiere de tres unidades de cobre, tres de zinc y una unidad de vidrio. Cada chip de computadora requiere de dos, una y tres unidades de materiales, respectivamente. Los suministros de estos materiales varían de una semana a la otra, de modo que la compañía necesita determinar una corrida de producción diferente cada semana. Por ejemplo, cierta semana las cantidades disponibles de los materiales son 960 unidades de cobre, 510 unidades de zinc y 610 unidades de vidrio. a. ¿Se puede configurar un modelo matemático para tal caso?, ¿cuál sería la solución al caso? ¿Cómo organizo la información? Planteamiento del problema. Una sugerencia para la configuración del planteamiento del problema es mediante la elaboración de una tabla, en la cual los productos, esto es, los transistores, resistencias y chips de computadora se ubiquen como las columnas. Los recursos y/o los requerimientos de cada producto, se ubican en los renglones. Producto Recursos Transistores T Resistencias R Chips C Cobre C 4 3 2 Zinc Z 1 3 1 Vidrio V 2 1 3 La realización del modelo matemático… De acuerdo con el inciso a. la configuración del sistema de ecuaciones que modela la situación sobre la producción de transistores (T), resistencias (R) y chips (C) que se debe fabricar en esa semana, se presenta a continuación: 4T+3R+2C= 960 T+3R+C= 510 2T+R+3C=610 Sujeto a: 45 𝑇 ≥ 0, 𝑅 ≥ 0, 𝐶 ≥ 0 δ=0.1 El modelo matemático indica que 4T+3R+2C= 960 Se tiene disponible de cobre, para esa semana, 960 unidades. Además, se sabe de antemano que para cada T, se requieren de cuatro unidades, para cada R, tres unidades y para cada C, dos unidades T+3R+C= 510 2T+R+3C=610 Una situación similar ocurre con las 510 unidades de zinc y las 610 unidades de cobre Además, nótese que en la diagonal principal han quedado los coeficientes dominantes, esto es, los de mayor valor absoluto. Además, de mucha importancia, son las condiciones para la interpretación de los resultados, 𝑇, 𝑅 𝑦 𝐶 ≥ 0 que, en este caso, deben ser mayores de cero, ya que se trata de piezas físicas. Por otro lado, dado que existen errores asociados a los cálculos numéricos, los resultados no siempre llegan a ser exactos, por ello, se define un valor para un factor de convergencia, en este caso, δ=0.1. Este número dependerá del grado de precisión que se busca, como se tienen piezas únicas de T, R y C, no tendría sentido una precisión menor. Los métodos numéricos de solución… Nótese que, el sistema de ecuaciones lineales tiene en la diagonal principal los coeficientes dominantes. 4T+3R+2C= 960 T+3R+C= 510 2T+R+3C=610 Por el tipo de sistema, los dos métodos indirectos de Jacobi y Gauss Seidel llegarán a converger a una solución, siempre y cuando la magnitud del coeficiente de una incógnita diferente en cada ecuación del conjunto, sea suficientemente dominante con respecto a las magnitudes de los otros coeficientes de esa ecuación, en valor absoluto. Como se habrá notado, en el método de Gauss- Seidel conforme un nuevo valor de x se calcula, éste se usa inmediatamente en la siguiente ecuación para determinar el otro valor de x. De esta forma, si la solución es convergente, se empleará la mejor aproximación disponible. 46 Dado que ambos métodos son aproximados, el uso de la computadora sea hace necesario. Se presentan impresiones de pantalla para ambos casos con Excel. Observe que se ha introducido la matriz y los valores iniciales, son propuestos por cada uno, y siguen el orden del vector resultante. Con respecto a los cálculos, a continuación, se presenta la forma de hacerlos: Al “arrastrar” todas las filas hacia abajo, se observará que el sistema adquiere estabilidad en la aproximación que muestre diferencias de acuerdo con el delta establecido. Se presenta una impresión de pantalla de los resultados. Nótese que la celda en amarillo representa el cálculo de 𝑇 = 960 4 − 3 4 𝑅 − 1 2 𝐶 Lo mismo ocurre para los nuevos valores de R y C, en el segundo y tercer renglón. La finalización se define como |𝑥𝑖 − 𝑥 (𝑛) 𝑖| ≤ 𝛿 que, en Excel se ha introducido con los comandos =MAX(ABS(B9-E9),ABS(C9-F9),ABS(D9- G9)). Esto es, toma la máxima diferencia de la iteración anterior con respecto a la actual. 47 Mientras que aproximadamente en la iteración 16 ya se había logrado el resultado en Gauss Seidel, en el método de Jacobi aún se requieren de más iteraciones. Los resultados que satisfacen al sistema son: Transistores T=120 Resistencias R=100 Chips C=90 Interpretación de resultados… Los resultados son: para los transistores se requieren 120 componentes, para las resistencias 100 piezas y para los chips 90. Estos resultados satisfacen la corrida de producción indicada. Hasta aquí se da por terminado el caso. Evidencia de aprendizaje 2.7 Una empresa agrícola maneja tres tipos de cosechas (C1, C2, C3), y dependiendo del estado del tiempo se genera una determinada utilidad o pago. Se requiere un estudio de planeación para determinar el tipo de cosecha que genere la máxima utilidad con base en el estado del tiempo, entendiendo lo anterior como la ganancia que cada cosecha genera con respecto al estado del tiempo Para el estado del tiempo bueno (N1), la ganancia de la cosecha C1 sería de $40,000.00. El de la cosecha tipo dos C2, sería de $50,000.00, y el de la cosecha tipo tres C3, sería de $60,000.00. Evidencia de aprendizaje 48 Si el estado del tiempo es variable, identificado por (N2), las nuevas ganancias serían: para C1, $60,000, para C2, $40,000.00 y para C3, $20,000.00 Ahora, si el estado del tiempo es malo identificado por (N3), las nuevas ganancias serían de: C1- $10,000.00, C2-$15,000.00 y C3- $12,000.00 Como no hay certeza en el estado del tiempo, se estima que la posibilidad de ocurrencia de N1 es del 25%, la probabilidad de ocurrencia para N2 es del 50%, y para N3, del 25%. Con base en lo anterior 2.7a Explica el problema en términos de conceptos, es decir, interpreta la información y organízala. 2.7b Genera el modelo matemático y resuélvelo. Medita bien el inciso a., donde se pretende obtener la ganancia de cada cosecha por respecto al estado del tiempo. Nota: Se sugiere utilices una forma matricial. Sube tus resultados con una fotografía. 2.7c Interpreta los resultados, ¿qué tipo de cosecha conviene más? Resulta que el servicio meteorológico envía un reporte del tiempo a la empresa, indicando que el estado del tiempo N1, ahora, tiene una posibilidad del 50%, el N2 del 25% y el N3 del 25%. 2.7d Con estos últimos datos, ¿Cuál es la nueva solución? 49 2.7e Al cambiar las posibilidades del estado del tiempo, ¿qué se infiere de los resultados obtenidos? Evidencia de aprendizaje 2.8 De acuerdo con la European Lung Foundation, la contaminación del aire interior es el término utilizado para describir la exposición a ciertas sustancias que se encuentran en viviendas, comercios, colegios, transporte y estaciones de metro. En espacios cerrados, se llegan a detectar más de 900 compuestos en elaire interior y algunos contaminantes pueden estar 2-5 veces más concentrados en el interior, que en el exterior de los edificios. Se requiere calcular el sistema de ventilación de un restaurante, cuya vista de proyección es la siguiente. Figura 2.2 Distribución de cargas de aire 50 En la figura 2.2, el restaurante consiste de tres áreas. Los cuadros 1 y 2, corresponden a las áreas de fumar y de niños, respectivamente. Las áreas 3 y 4, corresponden a las áreas de la parrilla (donde se tiene un asador), y del comedor. En la figura, las flechas en un solo sentido representan los flujos volumétricos de aire limpio (gasto Q 𝑚3/ℎ𝑟, concentración de aire c 𝑚𝑔/𝑚3). Las flechas de doble sentido, representan una mezcla difusa de contaminantes y aire (unidades 𝑚3/ℎ𝑟, aunque no se sabe la concentración de mezclas 𝑐1 − 𝑐3, 𝑐2 − 𝑐4). Además, existen cargas de monóxido de carbono CO provenientes de las secciones de fumar y del asador descompuesto, esto es, las secciones 1 y 3, tienen fuentes de CO, que se distribuyen a las secciones 2 y 3 (flechas gruesas, en unidades 𝑚𝑔/ℎ𝑟). Usted, como inspector de salubridad quiere determinar un balance de aire puro y CO, para las diferentes secciones del restaurante y tomando en cuenta las mezclas de concentraciones (tomando en cuenta que la suma total de cargas debe ser cero, o sea, la suma de las entradas debe ser igual a la suma de las salidas). Por ejemplo, en la sección de fumar 1 y tomando en cuenta los flujos representados por la letra 𝑄𝑖 y las concentraciones de monóxido de carbono por las letras 𝑐𝑖 , siendo la carga el producto 𝑄𝑖𝑐𝑖 , el balance correspondiente es: 0 = 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑓𝑢𝑚𝑎𝑑𝑜𝑟 + 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 − 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 + 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑚𝑒𝑧𝑐𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 1−3 Téngase en cuenta que las cargas de flujos y las cargas de mezclas se constituyen por el gasto Q y la concentración del aire (en el esquema 2 𝑚𝑔/𝑚3). Que en forma simbólica se escribe: 0 = 𝑊𝑓𝑢𝑚𝑎𝑑𝑜𝑟 + 𝑄𝑎𝑐𝑎 − 𝑄𝑎𝑐1 + 𝐸13(𝑐3 − 𝑐1) Nótese que se han usado subíndices 1 y 3, que se refieren a las concentraciones asociadas a las secciones correspondientes a las mostradas en el esquema del restaurante. Además, la representación de la flecha bidireccional de las secciones 1 y 3, se ha representado como 𝐸13(𝑐3 − 𝑐1) Al sustituir con valores 51 0 = 2000 + (200)(2) − 200𝑐1 + 25(𝑐3 − 𝑐1) Simplificando y transponiendo términos, resulta en: 225𝑐1 − 25𝑐3 = 2400 Obviamente, se requieren generar otras ecuaciones similares para las secciones restantes y conocer las concentraciones requeridas. 2.8a Interpreta la información del modelo matemático que representa la concentración de CO en cada sección del restaurante (considerando las concentraciones se encuentran en un estado estable) En la sección 1. 𝑊𝑓𝑢𝑚𝑎𝑑𝑜𝑟 + 𝑄𝑎𝑐𝑎 − 𝑄𝑎𝑐1 + 𝐸13(𝑐3 − 𝑐1) = 0 En la sección 2. 𝑄𝑏𝑐𝑏 + 𝐸24(𝑐4 − 𝑐2) + 𝑄𝑑𝑐4 − 𝑄𝑐𝑐2 = 0 En la sección 3. 𝑄𝑎𝑐1 + 𝐸13(𝑐1 − 𝑐3) + 𝑊𝑝𝑎𝑟𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎 − 𝑄𝑎𝑐3 + 𝐸34(𝑐4 − 𝑐3) = 0 En la sección 4. 𝑄𝑎𝑐3 + 𝐸34(𝑐3 − 𝑐4) − 𝑄𝑑𝑐4 + 𝐸24(𝑐2 − 𝑐4) − 𝑄𝑑𝑐4 = 0 Considera que tu comunicación de la interpretación del modelo sea clara y precisa 2.8b Sustituye los valores en el modelo matemático del sistema de ventilación 2.8c Elige el método numérico de solución y justifica su uso 2.8d Resuelve el caso. Elige la opción correcta. Nota. Apóyate con el ejecutable SISTEMAS LINEALES 52 Si deseas usar Excel para resolver el caso. Puedes usar los comandos MINVERSA para la matriz de coeficientes y luego, MMULT, para multiplicar la matriz inversa por el vector de términos independientes. i. 𝑐1 13.10 𝑐2 15.79 𝑐3 21.86 𝑐4 21.31 ii. 𝑐1 8.10 𝑐2 12.34 𝑐3 16.90 𝑐4 16.48 iii. 𝑐1 6.10 𝑐2 10.97 𝑐3 14.91 𝑐4 14.55 2.8e Interpreta los resultados desde el contexto del problema. Nota. El envenenamiento por monóxido de carbono causa multitud de efectos debido a la inhibición de la oxidación celular, cuyo envenenamiento leve causa vómitos, dolor de cabeza, malestar debilidad, fatiga y falta de respiración. ¿Qué pasaría si…? 2.8e Del modelo matemático, se ajusta y ahora las cargas de fumadores y de la parrilla aumentan a 3000 y 5000 𝑚𝑔/ℎ𝑟, respectivamente. ¿Qué observas? 53 NIVEL CUATRO Este nivel es de profundización. Requiere pensamiento estratégico y también formas de pensamiento matemático abstracto. Es un nivel en el cual requerirás sintetizar, reflexionar y evaluar casos. El apartado toma dos temas aparentemente no relacionados. El primero, te muestra y explica pseudocódigos y algoritmos, como una base para que tengas la capacidad de desarrollar tus propios programas de computación, y no dependas de diseños ya elaborados. Fig. 2.2 Tópicos de profundización El segundo, te permite generar estudios “finos” para el diseño de sistemas lineales, mediante la evaluación de la estabilidad entre las ecuaciones lineales dentro del modelo matemático. Cualquiera que sea tu elección, te conducirá al final a generar tu propuesta. Algoritmos de programación Al ingeniero le puede resultar de particular interés la representación del método numérico en forma de un algoritmo que facilitará la codificación del mismo en cualquier lenguaje de programación, para hacer adecuaciones pertinentes si son necesarias. Una forma sencilla de comenzar es con el pseudocódigo, o sea, describir con lenguaje natural, las acciones sucesivas y lógicas que constituyen al método numérico elegido. El pseudocódigo… Dado que el pseudocódigo es un lenguaje intermedio entre el lenguaje natural y el de programación, por ejemplo, Excel, MATLAB, MAPLE, C++, Python etc., no tiene en realidad una composición estandarizada, pero es un mecanismo muy útil de ordenación Antes del proyecto... Diseño de algoritmos Estabilidad de sistemas lineales Conducción de tu propuesta 54 lógica de ideas. A continuación, se presenta un pseudocódigo de sistemas lineales, basado en Gauss Jordan y el algoritmo del mismo (Fig. 2.3). Fig. 2.3 Pseudocódigo y algoritmo de Gauss-Jordan 1. Dar el orden de la matriz 2. Dar los coeficientes de la matriz aumentada 3. Seleccionar un elemento de la diagonal principal 4. Por columnas y en el renglón correspondiente, proporcionar el coeficiente de la diagonal principal y convertirlo en 1, y dividir todo el renglón entre dicho elemento 5. Con los renglones restantes, calcular combinaciones lineales para convertir el vector en cuestión en vector unitario 6. Imprimir resultados 7. Fin Nota: Recordar que un diagrama de flujo es la representación gráfica de un algoritmo. El diseño y uso de algoritmos que luego se puedan traducir en un lenguaje de computadora, posibilita obtener resultados numéricos no solo del caso presentado, sino de distintos problemas. En este sentido, un algoritmo es un modelo que representa una evidencia tangible de pensamiento matemático. Ahora, te presentamos el algoritmo de Jacobi. Fig. 2.4 Algoritmo de Jacobi 55 1. 1. Inicio 2. 2. Dar el orden de la matriz (n) 3. 3. Dar el δ (factor de convergencia) 4. 4. Dar los coeficientes de la matriz 4.1 Ordenar los elementos de la diagonal principal de acuerdo a este método 5. 5. Dar los valores iniciales (𝑋𝐼𝑖, 𝑖 = 1, 𝑛) 6. 6. Dar un control, kick-off (bandera) 7. 7. Mientras kick-off se encuentre activo, hacer 7.1 Calcular el valor del vector en función del término independiente 7.2 Se recorren las columnas para completar el valor del vector en función de las variables 𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑎𝑖𝑗∗𝑋𝐼𝑖
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