Material_nuevo_Aplic_de_la_Deriv

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Unidad 3 
 
 
Aplicaciones 
 
de la Derivada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Introducción Unidad 3 
 
 
 
Hemos estudiado en la Unidad 2 el concepto de Derivada. Observamos allí lo tedioso de 
su cálculo. En esta unidad estudiaremos algunas Reglas de Derivación, con el fin de 
obtener las derivadas de las funciones en forma más directa. 
Posteriormente analizaremos las Derivadas de Orden Superior. 
Aprenderemos la relación entre las derivadas y las gráficas, obteniendo los intervalos de 
crecimiento y decrecimiento de las funciones. 
También las derivadas nos ayudan a localizar los extremos absolutos y relativos de 
una función. 
Finalmente utilizaremos las derivadas para conocer la concavidad de una función y los 
puntos de inflexión. 
Numerosas aplicaciones del cálculo dependen de la capacidad para deducir hechos 
referentes a la función f a partir de información obtenida de la derivada. 
 
 
 
 
Los contenidos de esta unidad serán los siguientes: 
 
 
 
1. Reglas de Derivación. 
2. Derivada de Orden Superior. 
3. Crecimiento y decrecimiento de funciones. 
4. Extremos absolutos y extremos relativos. 
5. Concavidad y punto de inflexión. 
6. Aplicaciones de la derivada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Las recomendaciones: 
 
 
 
 Lea el contenido de esta unidad con papel y lápiz a mano. 
 Asegúrese de comprender los nuevos conceptos, escríbalos con sus palabras. 
 Desarrolle todos y cada uno de los ejemplos. 
 Realice todos y cada uno de los ejercicios. 
 Encontrará parte del material obligatorio en esta guía y parte en el aula virtual. 
 Los medios son igualmente válidos. 
 También puede consultar la bibliografía complementaria. 
 
 
 
 
Los objetivos para esta unidad son: 
 
 
 Calcular derivadas utilizando algunas Reglas de Derivación, con el fin de 
obtener las derivadas de las funciones en forma más directa. 
 Analizar y calcular las Derivadas de Orden Superior. 
 Calcular intervalos de crecimiento y decrecimiento mediante la derivada 
primera. 
 Utilizar la derivada para calcular los máximos y mínimos relativos y/o absolutos 
de una función. 
 Calcular intervalos de concavidad mediante la derivada segunda. 
 Resolver problemas de aplicación utilizando la derivada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El esquema de contenidos de la Unidad 3: 
 
Derivada 
primera 
Derivada 
segunda 
Diferencial Máximo Mínimo Punto de 
inflexión 
Función 
creciente y 
decreciente 
Concavidades Puntos 
críticos 
 
Aplicaciones 
Derivada 
Reglas de 
derivación 
Derivada 
de orden 
superior 
 
 
 
3.1 Reglas de derivación 
 
 
 
Hemos aplicado la definición de derivada para calcular las derivadas de funciones definidas 
mediante fórmulas. Ahora desarrollaremos algunas reglas para hallar derivadas sin tener 
que usar la definición. Luego podremos usar esas reglas cada vez que necesitemos 
encontrar la derivada de una función. 
 
Utilizaremos para las demostraciones la notación: 
f ´(x) = f
dx
d
(x) = 
0
lím
h h
xfhxf )()( 
 
 
 
Comencemos con la más sencilla de todas las funciones, la función constante: 
 
 
 
 
3.1.1 Derivada de la función constante. 
 
 
 
La gráfica de una función constante f(x) = c es la recta 
horizontal y = c, la cual tiene pendiente 0, de modo que 
debemos tener f ´(x) = 0 
 
 
Teorema: 
 
 
La derivada de una función constante es cero. Es decir, si c es un número real 
0)( c
dx
d
 
 
 
Demostración: 
f(x) = c f ´(x) = 
0
lím
h h
xfhxf )()( 
= 
0
lím
h h
cc 
 = 
0
lím
h h
0
 = 
0
lím
h
0 = 0 
 
 
 
Ejemplo 1. Derivada de una función constante. 
 
 
Función Derivada 
y = 3 y´= 0 
f(x) = - 3 2 0)2( 3 
dx
d
 
 
 
3.1.2 Derivada de la función potencia. 
 
 
Seguimos buscando reglas de derivación. Consideremos las funciones: f(x) = x
n
 para n 
entero positivo. Demostraremos para n = 1, n = 2, n = 3 y generalizaremos para n. 
 
Consideremos el caso: f(x) = x ( f(x) = x
n
 con n = 1) 
La gráfica de f(x) = x es la recta y = x, la cual tiene pendiente 1 de modo que debemos 
tener 1x
dx
d
. 
 
Lo demostramos por medio de la definición: 
f(x) = x f ´(x) = 
0
lím
h h
xfhxf )()( 
= 
0
lím
h h
xhx 
 = 
0
lím
h h
h
 = 
0
lím
h
1 = 1 
 
 
 
Antes de continuar estas demostraciones recordemos el desarrollo de las potencias de un 
binomio: 
(x + h)
2
 = x
2
 + 2 x h + h
2
 
 
 
Consideremos el caso: f(x) = x
2
 ( f(x) = x
n
 con n = 2 ) 
 
Lo demostramos por medio de la definición de derivada: 
f(x) = x
2
 f´(x) = 
0
lím
h h
xfhxf )()( 
= 
0
lím
h h
xhx 22)( 
 = 
 
0
lím
h h
xhxhx 222 2 
 = 
0
lím
h h
hxh 22 
 = 
0
lím
h h
hxh )2( 
0
lím
h
2x + h = 2x 
 
 
Observando que: 
1x
dx
d
 xx
dx
d
22  
 
parece razonable presumir que cuando n es un entero positivo: 1 nn nxx
dx
d
 
 
 
 
Dicho en palabras: la derivada de una potencia es el exponente por la misma base elevada a 
la misma potencia menos uno. 
 
 
 
Teorema: 
 
Si n es un número real, la función f(x) = x
n
 es derivable y 
1)(  nn nxx
dx
d
 
 
 
 
 
Ejemplo 2. Derivada de una potencia. 
 
Función Derivada 
a) y = x
5
 y´= 5 x
4 
b) f(x) = 3 x )(3 x
dx
d
 = 3/1)(x
dx
d
 = 
3
1
x 
- 2/3
 = 
3
1
23 )(
1
x
=
3
1
x
x3
 
1
 
c) g(x) =
3
1
x
 
dx
d
 
3
1
x
 = 3x
dx
d
 = - 3 x 
– 4
 = -3
4
1
x
 
 
 
En el ejemplo anterior, en las partes b) y c) antes de derivar hemos reescrito la función de 
otra manera. Luego hemos derivado y finalmente hemos operado con la derivada para 
presentarla de la forma más resumida posible. Este “procedimiento” es común en muchos 
problemas. 
 
 
 
 
Así: 
f(x) = 3 x f(x) = 3/1x f´(x) = 
3
1
x 
- 2/3
 
3
1
x
- 2/3
 = 
3
1
23 )(
1
x
 = 
3
1
x
x3
 
 
 
 
1 
Derivar las siguientes funciones: 
 
1
 En el último paso se racionalizó el denominador. 
Función 
dada 
Reescribir 
la función Derivar 
Operar con 
la derivada 
 
a) y = x
500
 b) f(x) = x 
– 6
 c) g(x) = 
20
1
x
 d) h(x) = 
3x 
e) p(x) = x x f) s(x) = x
5/4 
 
 
 
Cuando se forman nuevas funciones a partir de funciones anteriores, por adición, 
sustracción, multiplicación por una constante, multiplicación, o división, sus derivadas se 
pueden calcular en términos de la derivada de las funciones anteriores. 
 
 
 
3.1.3 Derivada de una constante por una función. 
 
Teorema: 
 
Si c es una constante y f es una función diferenciable, entonces: 
 )(xcf
dx
d
c )(xf
dx
d
 
 
 
Dicho en palabras: la derivada de una constante por una función es la constante por la 
derivada de la función. 
 
 
Ejemplo 3. Utilizando la derivada de una constante por una función. 
Función reescribir derivar operar 
 
a) y = 
2
4x
 y = 
2
1
x
4
 y´=
dx
d
2
1
x
4
 = 
2
1
dx
d
x
4
 = 
2
1
4x
3
 y´= 2x
3
 
 
b) y = 
4
2
x
 y = 2 x 
– 4
 y´= 2 . (- 4) x 
– 5
 y´= - 8 x
 – 5
 = 
5
8
x

 
 
c) f(x) = 3 2)(
3
4
x = 3
2
3
4
x f ´(x) = 3
1
3
2
.
3
4 
x f ´(x) = 
9
8
3
1
x
= 
9
8
x
x3 2)(
 
 
d) f(x) = - x f(x) = (-1) x 
dx
d
(-1) x = -1
dx
d
x = -1 . 1 
dx
d
(- x) = - 1 
 
 
 
Interpretación geométrica de la regla de la derivada de una constante por una función 
 
 
La multiplicación de una función por c = 2 estira la gráfica de la misma verticalmente en 
un factor 2. Todas las elevaciones (incrementos en y) se han duplicado, pero los 
incrementos en x permanecen iguales. Es por ello que las pendientes también se duplican 
 
 
 
2 
Calcule las siguientes derivadas. 
a) y = 
2
3 2x
 b) f(x) = 
2
3 x
 c) y = - x
5/4
 
 
 
 
 
 
3.1.4 Derivada de la suma de dos funciones. 
 
 
Teorema 
 
Si f y g son diferenciables, entonces  )()( xgxf
dx
d
)(xf
dx
d
+ )(xg
dx
d
 
 
 
 
 
3 
Exprese el enunciado de la derivada de una suma de funciones en palabras. 
 
 
 
 
 
La regla de la suma se puede extender a la suma de cualquier número de funciones. Por 
ejemplo, si se aplica este teorema por dos veces, obtenemos: 
 
 
(f + g+ t)´ =[(f + g) + t]´= (f + g)´+ t´= f ´+ g´+ t´ 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.1.5 Derivada de la diferencia de dos funciones 
 
 
Teorema 
 
Si f y g son diferenciables, entonces   )()( xgxf
dx
d
)(xf
dx
d
- )(xg
dx
d
 
 
 
 
 
Combinando las reglas vistas hasta ahora, podemos derivar polinomios. 
 
 
 
Ejemplo 4. Derivada de un polinomio. 
 
dx
d
( 
3
2
 x
4
 – 4 x
3
 + 2 x2 - 
2
3
x + 6 ) = 
3
2
dx
d
( x
4
) – 4 
dx
d
(x
3
) + 2
dx
d
 x
2
 - 
2
3
dx
d
x + 
dx
d
6 
 
 
= 
3
2
4 x
3
 – 4 . 3 x
2
 + 2 . 2 x - 
2
3
 . 1 + 0 = 
3
8
x
3
 – 12 x
2
 + 2 2 x - 
2
3
 
 
 
 
4 
Calcular las siguientes derivadas 
 
a) f(x) = 2x
3
 – 4x + 1 
 
b) f(x) = 5x
9
 - 
3
2
 x
5
 + x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.1.6 Derivada del producto de dos funciones: 
 
 
 
 
Hemos visto que la derivada de la suma de dos funciones es la suma de sus derivadas. 
Pero la regla para derivar el producto de dos funciones no es tan simple. 
 
Teorema: 
 
El producto de dos funciones derivables es otra función derivable. Su derivada es la 
derivada de la primera función por la segunda función más la primera función por la 
derivada de la segunda. 
 
 
 
5 
Escriba el enunciado del teorema utilizando la notación f ´ 
 
 
 
La regla del producto se extiende a productos de más de dos factores. Así, si f, g y h son 
funciones derivables, entonces: 
 
 )().().( xhxgxf
dx
d
f ´(x).g(x).h(x) + f(x).g´(x).h(x) + f(x).g(x).h´(x) 
 
 
 
Ejemplo 5. Aplicación de la derivada de un producto 
 
Si f(x) = x
2
.g(x) y se sabe que g(3) = 2 y g´(3) = 4, calcule f ´(3). 
 
Calculamos: . 
f ´(x) = 
dx
d
[ x
2
.g(x)] = 2 x g(x) + x
2
 g´(x). 
valuamos en x = 3 
f ´(3) = 2 . 3 g(3) + 3
2
 g´(3) = 6 g(3) + 9 g´(3) 
 
reemplazamos por los datos 
f ´(3) = 6 . 2 + 9. 4 = 12 + 36 = 48 
 
 
 
6 
Calcule la derivada de f(x) = (1 + x
3
) (
3 2x - x) por medio de dos procedimientos: 
a) Utilizando la regla del producto. 
 
b) Efectuando la multiplicación y luego derivando la suma de funciones. 
c) Compare los resultados obtenidos. 
 
 
 
7 
Calcule las siguientes derivadas: 
a) f(x) = 3 x . x b) g(x) = x
-3/4
 (x
2
 + 5x) 
 
 
 
8 
Si g(2) = 2 , g´(2) = 5, f (2) = -3 f ´(2)= 4 
Calcule: a) (f.g)´(2) b) 
2
).(
xdx
fgd
 c) (f + g)´(2) d) (3f) (2) 
 
 
3.1.7 Derivada del cociente de dos funciones. 
 
 
Teorema: 
Sean f y g dos funciones derivables, entonces: 
dx
d
 





)(
)(
xg
xf
= 
   
 2)(
)()()()(
xg
xg
dx
d
xfxf
dx
d
xg 
 siempre que g(x)  0 
 
 
 
9 
a) Escriba con palabras la regla anterior 
b) Complete: 
 
 2
min 












numerador
delderivada
adordeno
cocienteun
dederivada
 
 
 
 
 
Ejemplo 6. Derivada del cociente de dos funciones 
 
 
f(x) = 
xx
xx
312
35 23


 
 
f ´(x) = 
 2
2
1
232
312
)
2
1
32)(35()312)(215(
xx
xxxxxxx



 
 
 
Ejemplo 7. Reescribir antes de derivar. 
 
a) f(x) = 
x
xxx
3
52 23 
= 
3
1
3
5
3
2 4  xx f ´(x) = - 
3
8
x
-5
 - 
3
5
 
 
En este caso, no fue necesario utilizar la derivada del cociente. 
 
 
b) f(x) = 
23
12
3
5
x
x
x


= 
23
12
3)12(5
x
x
xx


= 
)12(3
3510
2
2


xx
xx
= 
23
2
36
3510
xx
xx


 
 
f ´(x) = 
223
2223
)36(
)618)(3510()36)(520(
xx
xxxxxxx


 
 
 
Ejemplo 8. Relación huésped – parásito. 
 
Para una relación particular huésped parásito, se determinó que cuando la densidad de los 
huéspedes (número de los huéspedes por unidad de área) es x, el número de huéspedes que 
tienen parásitos es f(x) = y, donde f(x) = y = 
x
x
4510
900

 ¿A qué razón está cambiando el 
número de huéspedes que tienen parásitos con respecto a la densidad de los huéspedes 
cuando x = 2? 
 
La variable independiente es x. Derivamos la función respecto de x y luego valuamos 
dicha derivada en x = 2. 
 
f ´(x) = y´= 
2)4510(
45.900)4510(900
x
xx


 f ´(2) = 
10
9
 
El número de huéspedes que tienen parásitos está cambiando a razón de aproximadamente 
1 cuando la densidad es 2 huéspedes por unidad de área. 
(Verificar valuando f(1), f(2), f(3)). 
 
 
 
 
3.1.8 Derivada de la composición de dos funciones o “Regla de la 
Cadena”. 
 
Si desea derivar la función: 
f(x) = 3
21 x 
 
las fórmulas vistas hasta ahora no nos dan respuesta para derivarla. 
Observe que f(x) es una función compuesta. 
 
Tomando: y = g(u) = 3. u (función exterior) 
con u = h(x) = 1 + x
2
 (función interior) 
 
Podemos escribir: 
y = f(x) =g(h(x)) = 
3 21 x 
o sea: la función f es la función compuesta: 
f = gh 
 
Sabemos cómo derivar tanto g como h, de modo que sería útil contar con una regla que 
relacione la derivada de f = g h en términos de las derivadas de g y h. Esta regla es una de 
las reglas de derivación más importante, y es llamada: la regla de la cadena. 
 
En esencia, la regla de la cadena establece que si y cambia 
du
dy
 veces más rápido que u, y 
además u cambia 
dx
du
 veces más rápido que x, entonces y cambia 
du
dy
dx
du
 veces más rápido 
que x. 
 
 
Teorema La regla de la cadena 
 
Si y = g(u) es derivable en u, y u = h(x) es derivable en x, entonces: y = g(h(x)) es una 
función derivable en x y vale: 
 
 
 
 
Sin demostración. 
 
 
 
También podemos escribir la regla de la cadena en notación con apóstrofe. 
dx
du
du
dy
dx
dy

 
y´= g´(h(x)).h´(x) 
 
 
 
 
10 
a) Complete la regla de la cadena dicha con palabras: “la derivada de la función 
compuesta: f = gh es el producto de ............................ de........... valuada en ....... por 
la ........................ de ..........” 
 
b) Independizándonos de las letras g y h y utilizando los términos función exterior y 
función interior escribimos nuevamente la regla de la cadena: “Si una función es la 
composición de una función exterior con una función interior, su derivada es: la 
..................... de la función ....................... valuada en la función ....................... por la 
derivada de la función ....................” 
 
 
 
 
Ejemplo 9. Regla de la cadena. 
Calculemos, ahora sí, la derivada de: 
f(x) = 
3 21 x 
 
Ya habíamos observado que f(x) es una función compuesta. 
Tomando: 
y = g(u) = 3. u (función exterior) 
 
con u = h(x) = 1 + x
2
 (función interior) 
Podemos escribir: 
y = f(x) =g(h(x)) = 
3 21 x 
 
Calculamos: 
du
dy
 = 
du
dg
= g´(u) = 
3
1
3
2

u (derivada de la función exterior valuada en la función 
interior) 
 
dx
du
= u´= h´(x) = 2x (derivada de la función interior) 
 
 
 
 
Por lo cual: 
 
 
y´= f ´(x) = g´(u). u´= 
3
1
3
2

u 2x = 
3
1
3
2
2 )1(

 x 2x 
 
 
regla de la cadena sustitución de sustitución 
 las derivadas de u 
 
 
 
 
 
Pasos para aplicar la regla de la cadena: 
1) Identificar la función exterior y la función interior. 
2) Derivar la función exterior y valuarla en la función interior. 
3) Derivar la función interior. 
4) Aplicar la regla de la cadena. 
5) Reemplazar las derivadas que correspondan. 
6) Escribir todo en una sola variable. 
 
 
 
Un caso especial de la regla de la cadena es cuando la 
función exterior es una potencia. 
 
Si 
y = [h(x)]
n
 
entonces podemos escribir: 
y = g(u) = u
n
 (función exterior) 
con 
u = h(x) (función interior) 
 
 
Al aplicar la regla de la cadena se obtiene: 
 
 
y´ = g´(u). u´ = n u
n – 1
. u´ = n (h(x))
n – 1
. h´(x) 
 
 
regla de la cadena sustitución desustitución 
 las derivadas de u 
 
 
 
 
 
Esta regla se denomina: Regla de la potencia generalizada 
 
 
 
Teorema 
 
Si n es cualquier número real y u = h(x) es diferenciable, entonces: 
 
dx
du
unu
dx
d nn 1)(  
O sea: 
)())(())(( 1 xh
dx
d
xhnxh
dx
d nn  
 
 
 
 
 
¿Decimos la regla de la potencia generalizada en palabras? 
 
 
“La derivada de una potencia es: el exponente, por la misma base elevada a un exponente 
una unidad menor, por la derivada de la base.” 
 
 
 
 
Ejemplo 10. Regla de la potencia generalizada. 
 
f(x) = (3x – 5x
2
)
32
 
 
f(x) = g(h(x)) con: g(u) = u
32
 u = 3x – 5x
2
 
 
por lo cual: g´(u) =32 u
31
 u´ = 3 – 10x 
Entonces: 
 
f ´(x) = g´(u). u´ = 32 u
31
 (3 – 10x) = 32 (3x – 5x
2
)
31
 (3 – 10x) 
 
 
regla de la cadena sustitución de sustitución 
 las derivadas de u 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 11. Regla de la potencia generalizada. 
 
 
Si f(z) = 3
2 327  zz Calcular: )(zf
dz
d
 
 
f(z) = g(h(z)) con: g(u) = 3 u = 3
1
u u = 7z
2
 – 2z + 3 
 
por lo cual: g´(u) = 3
2
3
1 
u u´ = 14z – 2 
 
Entonces: 
 
f ´(z) = g´(u). u´ = 3
2
3
1 
u (14z – 2) = 3
2
2 )327(
3
1 
 zz (14z – 2) 
 
 
regla de la cadena sustitución de sustitución 
 las derivadas de u 
 
 
 
 
Ejemplo 12. Regla de la potencia generalizada. 
 
f(x) = 
xx 32
4
2 
 Aunque aquí aparentemente no hay una potencia, podemos escribir 
 
nuevamente esta función como sigue: f(x) = 4.(2x
2
 – 3x) 
– 1
 ¡Ahora sí se ve la potencia! 
 
Derivemos, entonces: f(x) = 
xx 32
4
2 
 = 4.(2x
2
 – 3x) 
– 1
 
 
 
f ´(x) = 4.(-1) (2x
2
 – 3x) 
– 2
 (4x – 3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
a) Calcule f ´(x) con la función del ejemplo anterior utilizando la regla del cociente. 
b) ¿Cuál de los dos métodos le resultó más simple? 
 
 
 
 
 
El procedimiento usado en el ejemplo anterior suele emplearse cuando el numerador de un 
cociente es una constante y el denominador no lo es. 
 
 
 
Ejemplo 13. Derivada de la potencia de un cociente. 
 
Siendo: 
3
3 12
23
)( 








xx
x
xf Calcular: f ´(x) 
 
 
Aplicando regla de la cadena 
 
13
3 12
23
3










xx
x
f
dx
d








12
23
3 xx
x
dx
d
 
 
Calculando la derivada de un cociente: 
 
 








12
23
3 xx
x
dx
d
 = 
23
23
)12(
)16)(23()12(3


xx
xxxx
 
 
 
Reemplazando obtenemos la derivada de f 
 
 
2
3 12
23
3)´( 








xx
x
xf 
23
23
)12(
)16)(23()12(3


xx
xxxx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.2 Derivadas de orden superior 
 
 
 
Sabemos que si f es una función derivable, su derivada f ´ también es una función, por lo 
tanto f ´ también puede tener una derivada, a la cual llamaremos: derivada segunda de f 
.con respecto a x. Similarmente, la derivada de la derivada segunda se llama la derivada 
tercera. Y así se continúa obteniendo las derivadas de orden superior. 
 
En la siguiente tabla se indican algunos símbolos usados para representar las derivadas de 
orden superior. Para derivadas de orden superior al tercero no se usan primas en su 
representación. 
 
 
Derivada primera y´ f ´(x) 
dx
dy
 
dx
d
[f(x)] Dxy 
 
Derivada segunda y´´ f ´´(x) 
2
2
dx
yd
 
2
2
dx
d
[f(x)] D
2
xy 
 
Derivada tercera y´´´ f ´´´(x) 
3
3
dx
yd
 
3
3
dx
d
[f(x)] D
3
xy 
 
Derivada cuarta y
(4)
 f 
(4)
(x) 
4
4
dx
yd
 
4
4
dx
d
[f(x)] D
4
xy 
......................................................................................................................................... 
 
Derivada enésima y
(n)
 f 
(n)
(x) 
n
n
dx
yd
 
n
n
dx
d
[f(x)] D
n
xy 
 
 
 
Para derivadas de orden superior a la tercera no se usan primas en su notación. 
El símbolo 
2
2
dx
yd
 representa la segunda derivada de y. El símbolo 
2






dx
dy
 representa la 
derivada de y al cuadrado. Indudablemente no son lo mismo. 
 
2
2
dx
yd
  
2






dx
dy
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 1. Encontrar derivadas de orden superior. 
 
Si f(x) = 5x
3
 – 4x
2
 + 9x – 3 encuentre todas las derivadas de orden superior. 
 
Derivamos f y resulta: 
f ´(x) = 15x
2
 – 8x + 9 
Al derivar f ´ obtenemos: 
f ´´(x) = 30x – 8 
Continuamos con el proceso: 
f ´´´(x) = 30 
Si derivamos la derivada tercera obtenemos: 
f
 (4)
 = 0 
 
De aquí en adelante, todas las derivadas sucesivas son cero: 
 
f
 (5)
 = 0 .......... f
 (n)
 = 0 
 
 
 
Ejemplo 2. Determinación de la derivada quinta. . 
 
Si f(x) = 
x
1
 determine f
(n)
(x) 
f(x) = 
x
1
 = x 
– 1
 
 
f ´(x) = (-1) x 
– 2
 
 
 
f ´´(x) = (-2) (-1) x 
– 3
 = 2 . 1 . x 
– 3
 
 
 
f ´´´(x) = (-3) . 2 . 1 . x 
– 4
 
 
 
f 
(4)
(x) = (-4) (-3) . 2 . 1 x 
– 5
 = 4 . 3 . 2 . 1 . x 
– 5
 
 
 
f 
(5)
(x) = (-5) . 4 . 3 . 2 . 1 . x 
– 6
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
Obtener la derivada 3º de: 
 
a) f(x) = x
5
 – 4 x 
2/3
 + 
5
3
 x 
-7
 
 
b) g(x) = 
2
12


x
x
 
 
 
 
 
 
 
2 
Para las siguientes funciones: 
 
a) Obtener la derivada primera. 
b) Calcular las raíces de la derivada primera. 
c) Obtener la derivada segunda. 
d) Valuar la derivada segunda en las raíces de la derivada primera. 
 
i) f(x) = 
3
1
x
3
 + 2x
2
 – 12x – 3 
 
ii) g(x) = x
3
 - 6x
2
 + 12x – 8 
 
(este procedimiento se utilizará para calcular los máximos y mínimos de las funciones). 
 
 
 
 
 
Se puede interpretar a la derivada segunda como la razón de cambio de una razón de 
cambio. El ejemplo tradicional es la aceleración. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.3 Crecimiento y decrecimiento de funciones. 
 
Función creciente y decreciente 
 
 
Hacemos una aclaración muy importante: Todo lo expresado de ahora en 
más se refiere a funciones continuas. 
 
 
Analicemos la gráfica de la siguiente función: 
 
 
 
Observamos que: 
 la gráfica sube de A hasta B, en este caso se dice que la función f crece en el intervalo 
[a, b], note que si x1 y x2 son dos números cualquiera entre a y b, con x1 < x2 entonces: 
f(x1) < f(x2) 
 la gráfica desciende desde B hasta C, en este caso se dice que la función f decrece en el 
intervalo [b, c], note que si z1 y z2 son dos números cualquiera entre b y c, con z1 < z2 
entonces: f(z1) > f(z2) 
 y la gráfica vuelve a subir desde C hasta D. O sea, vuelve a crecer en [c, d] 
 
Podemos entonces definir: 
 
 
Sea f una función, I una parte de su dominio, x1 y x2 puntos arbitrarios de I con x1 < x2 
 
f es creciente en I si y sólo si f(x1) < f(x2) 
f es decreciente en I si y sólo si f(x1) > f(x2) 
 
f es monótona en I si y sólo si f es creciente o decreciente en I. 
 
 
 
 
 
0 a 
A 
B 
b x1 x2 
f(x1) 
F(x2) 
C 
D 
c d 
y 
x 
 
 
Ahora bien, en los casos en que f(x1)  f(x2) cuando 
x1 < x2 o sea, la función crece o se mantiene 
constante en el intervalo, diremos que la función no 
decrece y definimos así: 
 
 
 
 
 
Sea f una función, I una parte de su dominio, x1 y x2 puntos arbitrarios de I con x1 < x2 
 
f es no decreciente en I si y sólo si f(x1)  f(x2) 
 
 
 
 
1 
Ahora le toca a usted, defina función no creciente en un intervalo y grafique una de ellas. 
 
 
 
 
Ejemplo 1. Función creciente en todo su dominio. 
 
f(x) = x
3
 
Si x1 < x2 Entonces f(x1) < f( x2) por lo que f es creciente 
en  y por lo tanto es creciente en cualquier subconjunto 
de  . 
 
 
 
 
Es importante notar que en la definición de función creciente se debe satisfacer la 
desigualdad f(x1) < f(x2) para todo par de números en I con x1 < x2. Lo mismo ocurre con 
la definición de función decreciente. 
 
 
 
2 
¿Qué puede decir de una función f tal que para algunos x1 < x2 se verifica que f(x1) > f(x2) 
pero para otros pares de númerosx3 < x4 no se puede asegurar la desigualdad f(x3) > f(x4)? 
 
 
 
 
Ejemplo 2. Función con intervalos de monotonía. 
 
x1 x2 
 
 
f(x) = x
2
 
 
Esta función es: decreciente en ( -  , 0] 
creciente en [0, +  ). 
 
 
 
3 
Analice los intervalos de crecimiento o de decrecimiento de las siguientes funciones: 
a) f(x) = x
3
 + 2 b) f(x) = x
2
 – 4x + 5 
 
 
 
Analicemos ahora la relación de la derivada primera de una función con el hecho de que la 
función sea creciente o decreciente. 
 
 
 
 
Relación: derivada primera – función creciente o decreciente. 
 
 
 
Observemos el siguiente gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
Entre A y B y entre C y D la función decrece, y observamos que las rectas tangentes tienen 
pendiente negativa, y por lo tanto: f ´(x) < 0. 
 
 
4 
Observe el gráfico de la función entre B y C. 
a) ¿La función crece o .decrece? 
b) ¿Cómo son las pendientes de las rectas tangentes a la función? 
c) ¿Qué puede decir de f ´(x) para los x  (B, C)? 
 
 
 
Esto que acabamos de observar, no es casualidad. Se puede demostrar el siguiente teorema: 
 
B 
C 
A 
D 
 
 
 
 
Sea f una función derivable en un intervalo I 
Si f ´(x) > 0 para todo x  I entonces f es creciente en I. 
Si f ´(x) < 0 para todo x  I entonces f es decreciente en I. 
 
 
Nada se dice del intervalo I, por lo cual éste puede ser abierto, cerrado, finito o infinito. 
 
 
Ejemplo 3. Análisis de intervalos de crecimiento y decrecimiento. 
 
Sea la función: f(x) = 
4
1
x
4
 + 
3
1
x
3
 – 3 x
2
 + 1 
 
Calculemos sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. 
Para ello calculamos en primer lugar su derivada primera: 
 
 
f ´(x) = x
3
 + x
2
 – 6x 
 
Sabemos que donde f ´(x) > 0, f será creciente, donde f ´(x) < 0, f será decreciente. 
Buscamos entonces los intervalos con f ´(x) > 0, f ´(x) < 0. 
es conveniente calcular f ´(x) = 0 
o sea: 
 
f ´(x) = x
3
 + x
2
 – 6x Factoreando 
= x(x – 2)(x + 3) = 0 
 
Sus raíces son entonces: x = 0, x = 2, x = - 3 
 
Como f ´ está definida en todos los puntos, es continua, y vale cero sólo en –3, 0, y 2, en los 
intervalos definidos por ellos no puede cambiar de signo, o sea: en cada uno de los 
intervalos: x < - 3, - 3 < x < 0, 0 < x < 2, 2 < x la f ´ es positiva o es negativa. 
 
Analizamos entonces los signos de la derivada ordenando el trabajo en una tabla: 
 
Intervalo 
Valor de prueba 
Signo de f ´(x) 
f 
-  < x < - 3 
- 4 
- 
decrece 
-3 < x < 0 
- 2 
+ 
crece 
0 < x < 2 
1 
- 
decrece 
2 < x < +  
3 
+ 
crece 
 
 
 
 
En esta tabla, los valores: - 4, - 2, 1 y 3 son valores arbitrarios, tomados cada uno de su 
respectivo intervalo. Con estos números se valúa la derivada primera y se considera sólo su 
signo. 
 
Así, pues, concluimos que : 
f es decreciente en (-  , - 3 ) U ( 0, 2 ) 
f es creciente en ( - 3, 0 ) U ( 2, +  ) 
 
 
 
 
 
 
 
Observemos los pasos seguidos en el desarrollo del ejemplo: 
1º paso: Calculamos f ´ 
2º paso: Planteamos f ´(x) = 0 
3º paso: Calculamos las raíces. 
4º paso: Analizamos la continuidad de f ´. 
5º paso: Construimos la siguiente tabla: 
 tomando los intervalos definidos por las raíces 
 eligiendo arbitrariamente en cada intervalo un número, 
 valuando la f ´ en el número elegido y considerando sólo el signo de dicha valuación, 
 finalmente concluyendo si f es creciente o decreciente en cada uno de los intervalos 
considerados. 
6º paso: Escribimos la conclusión a la cual se llegó en el paso anterior. 
7º paso: Si es solicitado o se desea, se construye un gráfico con los datos obtenidos. 
 
 
En el próximo ejemplo sigamos los pasos mencionados. 
 
 
 
Ejemplo 4. Análisis de intervalos de crecimiento y decrecimiento. 
 
Siendo: f(x) = - x
4
 + 8x
2
 - 20, calcular sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento. 
1º paso: Calculamos 
f ´(x) = - 4x
3
 +16x 
2º paso: Igualamos 
f ´(x) = - 4x
3
 + 16x = 0 
3º paso: Calculamos las raíces de la ecuación: 
f ´(x) = 0 
 
f ´(x) = - 4x
3
 + 16x = 0 
 
f ´(x) = - 4x( x
2
 – 4) = - 4x(x –2) (x + 2) = 0 
 
 
 
las raíces son: 
x = 0, x = 2 x = - 2 
 
4º paso: f ´ es un polinomio de tercer grado, por lo cual es continua en todos los reales. 
 
5º paso: Construimos la tabla para analizar los signos de f ´(x) . 
 
 
Intervalo 
Valor de prueba 
Signo de f ´(x) 
f 
-  < x < - 2 
- 4 
+ 
crece 
-2 < x < 0 
- 1 
- 
decrece 
0 < x < 2 
1 
+ 
crece 
2 < x < +  
3 
- 
decrece 
 
6º paso: Concluimos: 
f crece en: (-  , - 2 ) U ( 0, 2 ) 
f decrece en ( - 2, 0 ) U ( 2, +  ) 
 
 
 
7º paso: Graficamos: 
 
 
 
 
 
 
 
5 
Calcule los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de las siguientes funciones: 
a) f(x) = x
2
 b) f(x) = x
3
 c) f(x) = 
3
1
x
3
 + 2 x
2
 – 5 x - 10 
d) f(x) = -2x
2
 + 3x – 5 
 
 
 
 
Las afirmaciones recíprocas del teorema anterior no son siempre verdaderas, o sea, no es 
siempre verdadero que si f es creciente en I entonces f ´(x) > 0. 
Un ejemplo de ello es f(x) = x
3
 es siempre creciente pero f ´(0) = 0. 
Ni que si f es decreciente en I entonces f ´(x) < 0. 
Un ejemplo muy similar al anterior es f(x) = - x
3
 es siempre decreciente pero f ´(0) = 0. 
 
 
 
 
 
 
No obstante se prueba fácilmente: 
 
 
Si f es una función creciente en A 
entonces f ´(x)  0 para todo x interior de A 
 
 
Se demuestra de manera similar que: 
 
 
Si f es una función decreciente en A 
entonces f ´(x) 0 para todo x interior de A 
 
 
 
3.4 Extremos absolutos y extremos relativos. 
 
3.4.1 Máximos y mínimos absolutos 
 
 
 
 
Sea f una función, A un subconjunto del dominio de f, ( A Df ) , a A 
a es un punto de máximo absoluto de f en A 
Si y sólo si 
f(a)  f(x) para todo x  A 
El número f(a) se denomina el valor máximo absoluto de f en A. 
 
 
 
6 
De manera similar se define: 
 punto de mínimo absoluto de f en A 
 valor mínimo absoluto de f en A 
pero a éstas definiciones se las dejo que las escriba usted. 
 
 
 
Un punto a  A es un punto de extremo de f en A y f(a) es un valor extremo de f en A si 
f(a) es un valor máximo absoluto o un valor mínimo absoluto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
De acuerdo a la definición de punto de máximo absoluto, (“a es un punto de máximo 
absoluto de f en A”) una función puede tener más de un punto de máximo absoluto en un 
conjunto (idem para punto de mínimo absoluto). 
Pero: 
 
De acuerdo a la definición de valor máximo absoluto, (“f(a) se denomina el valor 
máximo absoluto de f en A”) una función si tiene valor máximo absoluto en un conjunto, 
éste es necesariamente único.(idem para valor mínimo absoluto). 
 
 
 
 
Ejemplo 5. Mínimos y máximos en intervalos. 
 
Consideremos la función f(x) = x
2
 en todo su dominio (el 
conjunto de todos los números reales) 
 tiene un único punto de mínimo absoluto x1 = 0 
 el valor de mínimo absoluto es: f(0) = 0 
 no tiene punto de máximo absoluto. 
 no tiene valor de máximo absoluto. 
 
 
 
Consideremos ahora la misma función f(x) = x
2
 pero 
ahora en el intervalo: [-1, 2] 
 tiene un único punto de mínimo absoluto: x1 = 0 
 el valor de mínimo absoluto es: f(0) = 0 
 tiene un único punto de máximo absoluto: x2 = 2 
 tiene un único valor de máximo absoluto: f(x2) = 4 
 
 
 
Consideremos ahora la misma función f(x) = x
2
 pero ahora en el intervalo: [-2, 2] 
 tiene un único punto de mínimo absoluto: x1 = 0 
 el valor de mínimo absoluto es: f(0) = 0 
 tiene dos puntos de máximo absoluto: x2 = - 2 y x3 = 2 
 tiene un único valor de máximo absoluto: f(x2) = f(x3) = 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 6. Los puntos, el valor. 
 
La función cuyo gráfico es: 
 
 
 
 
 
 
Tiene dos puntos de mínimo absoluto: x2 y x4 
y un valor de mínimo absoluto: f(x2) = f(x4) = m. 
Tiene dos puntos demáximo absoluto: x1 y x3 
y un valor de mínimo absoluto: f(x1) = f(x3) = M. 
 
 
 
 
3.4.2 Máximos y mínimos relativos 
 
 
 
En la siguiente gráfica observamos que el punto P1 está más alto que cualquier otro punto 
“cercano” sobre la curva; lo mismo puede decirse de P3. Análogamente: el punto P2. está 
más bajo que cualquier otro punto “cercano” sobre la curva; lo mismo puede decirse de P4. 
Como estos puntos pueden no ser necesariamente los puntos más altos o más bajos de toda 
la curva analizada, diremos que la curva tiene un punto de máximo relativo cuando x = a o 
cuando x = c y también que tiene un punto de mínimo relativo cuando x = b y cuando x = 
d. Los valores de máximos relativos son: f(a), y f(c) respectivamente. De manera similar, 
los valores de mínimos relativos son: f(b), y f(d) respectivamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a b x1 x2 x3 x4 
m 
M 
a b c d 
P1 
P2 
P3 
P4 
 
 
 
 
 
 
 
Definimos, entonces más precisamente estos nuevos conceptos. 
 
 
Sea f una función, ADf x1  A 
x1 es un punto de máximo (local o relativo) de f en A 
si y sólo si 
x1 es punto de máximo absoluto de f en A 
 
 
 
Dicho de otra manera: 
 
Sea f una función, ADf x1  A 
x1 es un punto de máximo (local o relativo) de f en A 
si y sólo si 
f(x1) > f(x) para todo x  A 
El número f(x1) se denomina el valor máximo relativo de f en A. 
 
 
 
 
 
7 
a) En forma similar se define punto de mínimo (local o relativo) de f en A y valor 
máximo relativo de f en A. Le dejo a usted esta tarea. 
b) ¿Cómo definiría punto de extremo local o relativo? ¿y valor extremo local o 
relativo? 
 
 
 
 
Cuando se mencione: Punto de máximo o valor de máximo (sin aclarar si el mismo es 
absoluto o relativo), se entenderá en todos los casos que hablamos de un máximo relativo. 
Igual situación para mínimos. 
Cuando no se haga mención al conjunto A, deberá entenderse que el mismo es el dominio 
de f. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 7. Extremos locales o relativos. 
 
Sea la función: f(x) = -3x
4 
+ 4x
3
 + 12 x
2
 en – 3  x  4 
 
(En este caso A = [-3, 4] ). 
 
Mediante un programa para graficar obtenemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se observa que en [-2, 3] 
x = –1 y x = 2 son dos puntos de máximos relativos, y que x = 2 es punto de máximo 
absoluto de f en [-2, 3]. El valor de máximo relativo es: f (-1) = 5 y el valor de máximo 
absoluto es: f(2) = 32. 
x = -2, x = 0 y x = 3 son puntos de mínimos relativos, y que x = -2 es punto de mínimo 
absoluto de f en [-2, 3]. Los valores de mínimos relativos es: f (0) = 0 y f (3) = -27, el valor 
de mínimo absoluto es: f(-2) = - 32. 
 
 
 
8 
Realice con algún graficador la gráfica de: f(x) = 2x
3
 – 6x y analice sus puntos extremos y 
valores extremos. 
 
 
 
 
 
3.4.3 Puntos críticos 
 
 
 
Ahora bien, si tenemos la gráfica de la función, observamos y podemos deducir, 
aproximadamente los puntos y valores extremos, pero si se necesitan estos datos con 
exactitud, no podemos confiar en “el ojo”. Además, no debemos depender de un graficador 
para bosquejar una gráfica. ¿Cómo entonces calcular con exactitud los puntos y valores 
extremos? Observemos la siguiente gráfica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Es la gráfica de una función f con un máximo local en c y otro en e y un mínimo local en d. 
Se ve que en los puntos máximo y mínimo la recta tangente es horizontal y, por 
consiguiente, tiene pendiente 0 o no existe. Como la derivada de la función valuada en el 
punto es la pendiente de la recta tangente, resulta que: f ´( c) = 0, f ´( d) = 0 y f ´(e) no 
existe. 
 
Si definimos: 
 
Sea f definida en a. Si f ´(a) = 0 o si f ´ no está definida en a, se dice que a es un valor 
crítico de f y que (a, f(a)) es un punto crítico de f. 
 
 
 
 
NO todo punto crítico es un punto extremo. 
La afirmación recíproca del teorema anterior no es válida. 
Esto es: 
 
Si a es un punto interior de A y f ´(a) = 0, a puede no ser punto de extremo. 
 
 
 
 
Ejemplo 8. No todo punto crítico es un punto extremo. 
 
Si f(x) = x
3
 f ´(0) = 0
 
 y x = 0 no es punto de extremo. 
 
 
 
¿Cómo saber si un punto crítico es un punto de extremo? Y si es un punto de extremo, 
¿Cómo saber si es máximo o mínimo? 
 
 
c d
 c 
e 
(d, f ( d )) 
 
(c, f ( c )) 
(e, f ( e )) 
 
 
 
3.4.4 Extremos absolutos en un intervalo cerrado. 
 
 
 
Si la función es continua en un intervalo cerrado, sabemos que alcanza allí sus valores 
máximo y mínimo absolutos. Éstos se presentarán en un punto crítico o en un extremo del 
intervalo. 
 
 
Procedimiento para calcular Máximos y mínimos absolutos de una función f continua en un 
intervalo cerrado [a,b]. 
 
1) Calcule los puntos críticos de f en (a, b). 
2) Valúe f en cada uno de los puntos críticos de f en (a, b). 
3) Valúe f en cada uno de los puntos extremos del intervalo. 
4) Compare los valores de f obtenidos en los pasos 2) y 3). El mayor de los valores, es el 
valor máximo absoluto y el menor de los valores es el valor mínimo absoluto. 
 
 
 
Ejemplo 9. Máximo y mínimo absolutos de una función continua en un intervalo cerrado. 
Calcular los extremos de f(x) = x
4
 – 6x
2
 + 8x en [- 4, 2]. 
 
Paso 1) Calculamos los puntos críticos de f, para ello obtenemos la primer derivada, la 
igualamos a cero y calculamos sus raíces. 
f ´(x) = 4x
3
 – 12x + 8 = 4(x – 1)
2
(x + 2) = 0 
los puntos críticos de f entonces son: x = 1, x = - 2. 
Paso 2) f(1) = 3, f(- 2) = - 24 
Paso 3) f(- 4) = 128 f(2) = 8 
Paso 4) El valor de f más grande de los obtenidos es: 128, y el más pequeño es: - 24, por lo 
cual concluimos: 
f en [- 4, 2] tiene: 
 un punto de máximo absoluto en x = - 4 y el valor de máximo absoluto es 128. 
 un punto de mínimo absoluto en x = - 2 y el valor de mínimo absoluto es - 24. 
 
 
 
9 
Calcule los puntos de máximo y mínimo absolutos de f(x) = 2x
3
 + 3x
2
 – 12x en [-3, 2] 
 
 
 
 
 
 
 
f ´(x) < 0 
 a 
f ´(x) > 0 
 
 
 
Este procedimiento es muy útil para detectar los puntos de extremo absoluto de una función 
continua en un intervalo cerrado. Pero: ¿Cómo calcular los puntos de extremo relativo? ¿Y 
si el conjunto en el cual nos interesa analizar la función no es un intervalo cerrado? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Si existe un entorno reducido de a donde la derivada primera es positiva a la izquierda de a 
y negativa a la derecha de a entonces a es un punto de máximo. 
 
 
 
10 
Recordando que si la derivada primera es positiva entonces la función es creciente y si la 
derivada primera es negativa la función es decreciente, redacte usted nuevamente el mismo 
teorema utilizando estos conceptos. 
 
 
 
O sea: la función crece, llega a su máximo y luego decrece. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
crece decrece 
MAXIMO 
 
 
 
 
¿Y qué sobre los puntos de mínimo? Ya marcamos la huella, recorramos el mismo camino 
sólo cambiando lo necesario. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
Complete lo que falta 
 
Si existe un ...................................... de a donde ...................................... es negativa 
.................................... de a y ................... a la derecha de a entonces a es un punto 
.................... 
 
 
 
 
12 
Redacte usted nuevamente el mismo teorema utilizando estos conceptos de función 
creciente y decreciente.. 
 
 
 
O sea: la función decrece, llega a su mínimo y luego crece. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f ´(x) < 0 f ´(x) > 0 
 a 
a 
crece decrece 
 
 
 
3.4.5 Prueba de la derivada primera para calcular máximos y 
mínimos relativos. 
 
 
 
 
1º paso: Calcule los puntos en que f no está definida. 
2º paso: Calcule los puntos críticos de f . (f (a) existe y f ´(a) = 0 o f ´(a) no existe). 
3º paso: Construimos la siguiente tabla: 
 tomando losintervalos definidos por los valores críticos 
 eligiendo arbitrariamente en cada intervalo un número, 
 valuando la f ´ en el número elegido y considerando sólo el signo de dicha valuación, 
4º paso: En cada valor crítico determinar: 
 si f ´ cambió de positiva a negativa, el valor crítico será un valor máximo. 
 si f ´ cambió de negativa a positiva, el valor crítico será un valor mínimo. 
 si f ´ no cambió de signo, el valor crítico no será un extremo relativo. 
5º paso: Calcular los puntos de máximo y de mínimo (ya tenemos la 1º coordenada, sólo 
falta valuar f en los valores extremos obtenidos en el paso anterior). 
6º paso: Si es solicitado o se desea, se construye un gráfico con los datos obtenidos. 
 
 
 
 
Ejemplo 10. Prueba de la derivada primera para calcular máximos y mínimos relativos de 
una función f 
 
Si y = f(x) = 
4
1
x
4
 - 
2
1
x
2
 + 1 
 
1º paso: f está definida para todos los números reales. 
 
2º paso: Calculamos los valores críticos de f. 
 
Para ello calculamos f ´(x). 
f ´(x) = x
3
 - x 
 
Igualamos f ´(x) = 0 y mediante pasos algebraicos calculamos sus raíces. 
 
f ´(x) = x
3
 - x = x(x
2
 – 1) = x(x – 1)(x + 1) = 0 
 
Entonces los valores críticos de f son: x = 0, x = - 1 y x = 1. 
 
f ´(x) está definida para todos los números reales. 
 
 
3º paso: 
 
Intervalo 
 
Valor de prueba 
 
Signo de f ´(x) 
 
-  < x < - 1 
 
- 2 
- 
- 1< x < 0 
2
1
 
+ 
0 < x < 1 
2
1
 
- 
1 < x < +  
4 
 
+ 
 
4º paso: En x = -1 la derivada primera cambió de signo, de - a + por lo que x = -1 es un 
valor de mínimo de f. 
En x = 0 la derivada primera cambió de signo, de + a - por lo que x = 0 es un valor de 
máximo de f. 
En x = 1 la derivada primera cambió de signo, de - a + por lo que x = 1 es un valor de 
mínimo de f. 
 
5º paso: Calculamos: f(- 1) = 
4
3
 , f(0) = 1, f(1) =
4
3
 
El punto de máximo relativo es: (0, 1) 
Los puntos de mínimo relativo son: (-1, 
4
3
), (1, 
4
3
) 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 11. Sin extremo relativo donde f ´(x) no existe. 
f(x) = 3
1
x
 
 
1º paso: f está definida para todos los números  
 
2º paso: Calculamos los valores críticos de f. 
 
Para ello calculamos f ´(x). 
f ´(x) = 3
2
3
1 x = 
3
2
3
1
x
 
 
f ´(x) no está definida para x = 0. 
f ´(x) nunca será cero, pues es un cociente cuyo denominador es una constante. 
Concluimos entonces que el único punto crítico es x = 0. 
 
3º paso: 
 
 
 
Intervalo 
Valor de prueba 
Signo de f ´(x) 
 
-  < x < 0 
- 1 
+ 
0 < x < +  
1 
+ 
4º paso: En x = 0 la derivada primera no cambió de signo, por lo que f no tiene punto de 
extremo relativo. Es una función siempre creciente. 
 
 
 
 
 
 
 
13 
Calcular los intervalos abiertos de crecimiento y decrecimiento y los puntos de máximo y 
de mínimo de las siguientes funciones: 
a) f(x) = - 2x
2
 + 4x + 3 b) f(x) = 2x
3
 + 3x
2
 – 12x c) f(x) = 3
2
x (x – 5) 
 
 
 
 
Ejemplo 13. Análisis de un gráfico. 
Si tenemos el gráfico: 
 
 
 
 
 
 
Podemos decir aproximadamente con sólo mirar la gráfica, cuáles son sus intervalos de 
crecimiento y decrecimiento, como así también sus puntos extremos. 
 
sta función aproximadamente: 
crece en los intervalos: (-  , - 2) U (3, +  ) y decrece en: (- 2, 3). 
Tiene un máximo relativo en el punto: (- 2, 7) y un mínimo relativo en el (3, 2). 
No tiene máximos ni mínimos absolutos. 
 
 
3.4.6 Problemas de aplicación 
 
 
 
Encontrará problemas de aplicación en el aula virtual. 
 
 
      








 
 
 
 
3.5 Concavidad y punto de inflexión 
 
 Derivada segunda y gráfico de funciones 
 
 
 
Hemos visto que la derivada primera proporciona información útil para el trazado de 
gráficas. Por ejemplo, se usa para determinar cuándo una función es creciente o decreciente 
y para localizar los máximos y mínimos relativos. Sin embargo, para conocer la verdadera 
forma de una curva necesitamos más información. 
 
En la siguiente figura se muestra las gráficas de dos funciones crecientes en (a, b). Ambas 
gráficas unen los puntos A y B, pero se ven distintas porque se tuercen distinto. La primera 
se tuerce hacia arriba y la segunda hacia abajo. 
 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
¿Cómo distinguir entre estos dos tipos de comportamiento? Tracemos tangentes en diversos 
puntos de las curvas de la gráfica anterior. Observamos que en a) la curva queda arriba de 
las tangentes, y se dice que f es cóncava hacia arriba en (a,b). En b) la curva está debajo de 
las tangentes, y se dice que g es cóncava hacia abajo en (a,b). 
 
 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
B 
A 
B 
a b 
A 
B 
a b 
A 
B 
x
y
 
x
y
 
x
y
 
x
y
 
 
 
 
Formalicemos esta idea mediante la siguiente definición: 
 
 
 
Si la gráfica de f está arriba de sus tangentes en un intervalo I, coincidiendo con la misma 
sólo en el punto de tangencia se dice que es cóncava hacia arriba en I. 
 
 
 
 
1 
Siguiendo el análisis que estamos haciendo defina función cóncava hacia abajo en un 
intervalo. 
 
 
 
Además podemos observar: 
En a) o sea, para la función f que es cóncava hacia arriba, las pendientes de las líneas 
tangentes crecen en valor al crecer x. 
 
 
2 
¿Qué ocurre en b) con las pendientes de las líneas tangentes? 
 
 
 
Como f ´(x) nos da la pendiente de la recta tangente a f en un punto, una pendiente 
creciente significa que f ´ es una función creciente y una pendiente decreciente significa 
que f ´ es una función decreciente. Es por ello que puede encontrar el siguiente resultado en 
algunos libros como teorema, con su demostración o como definición de función cóncava 
hacia arriba o hacia abajo respectivamente. 
 
 
 
Sea f derivable en el intervalo abierto I. 
Se dice que f es cóncava hacia arriba si y sólo si f ´ es creciente en I. 
 
 
 
3 
Escriba el enunciado análogo para una función cóncava hacia abajo. 
 
 
 
 
 
Ahora bien, sigamos con nuestro razonamiento, f ´ es creciente si su derivada (o sea, la 
derivada segunda de f ) es positiva, esto nos sugiere el siguiente enunciado: 
 
 
 
Sea f dos veces derivable en el intervalo abierto I. 
Si f ´´ > 0 para toda x en I entonces f es cóncava hacia arriba en I. 
 
 
 
4 
¿A qué conclusión llegaría si f ´´ < 0 para toda x en I? 
 
 
 
¿Qué decimos si f ´´ = 0 para toda x en I? F sería afín, y la concavidad no está definida 
para una recta. En otras palabras, una recta no es cóncava hacia arriba ni hacia abajo. 
 
 
 
Ejemplo 1. Intervalo de concavidad. 
Calculemos los intervalos de concavidad para la siguiente función. 
 
f(x) = x
3
 – 12x + 2 
 
Para ello calculamos la derivada segunda de f. 
 
f ´(x) = 3x
2
 – 12 
 
f ´´(x) = 6x 
 
Calculamos los intervalos donde f ´´ > 0 o f ´´ < 0. 
 
6x > 0 para x  ( 0, +  ) 
 
6x < 0 para x  ( -  , 0 ) 
 
Concluimos que 
f es cóncava hacia abajo en ( -  , 0 ) 
y cóncava hacia arriba en ( 0, +  ) 
 
 
 
 
        









 
 
En el ejemplo anterior, la curva cambió su curvatura, de cóncava hacia abajo a cóncava 
hacia arriba en x = 0. Este punto se llama: punto de inflexión de la curva. 
 
 
 
Sea f una función. El punto: (a, f(a)) es un punto de inflexión de f si y sólo si 
 f es continua en x = a 
 f cambia de concavidad en x = a 
 
 
 
Gráficamente el punto de inflexión es el punto donde la recta tangente atraviesa la gráfica 
de f. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pasos a seguir para determinar la concavidad de una función y sus puntos de inflexión. 
1º paso: Calcule los valores de x donde f ´´(x) es cero o no está definida. 
2º paso: Construya los intervalos determinados por los valores obtenidos en el paso 
anterior. 
3º paso: En cada intervalo determine si f ´´ > 0 (f es cóncava hacia arriba)o f ´´ < 0 (f es 
cóncava hacia abajo). 
4º paso: En los puntos donde la concavidad cambia, analizar la continuidad de f. 
5º paso: Para cada punto a donde cambia la concavidad y f es continua en el mismo, 
calcular f(a). 
6º paso: Concluir, dar las respuestas solicitadas y aunque no se solicite, si se desea, 
corroborar graficando la función. 
 
 
 
Brevemente: Para que x = a sea candidato a punto de inflexión debe satisfacer dos 
condiciones: 
1) f ´´(a) = 0 o f ´´(a) no existe. 
2) f debe ser continua en x = a. 
Este candidato será efectivamente punto de inflexión si en él la concavidad cambia. 
 
 
x
y
 
x
y
 x
y
 
 
 
Ejemplo 2. Intervalos de concavidad y puntos de inflexión. 
Calculemos los intervalos de concavidad y todos los puntos de inflexión de la siguiente 
función: 
f(x) = 3x
4
 – 8x
3
 + 5 
1º paso: 
f ´(x) = 12x
3
 – 24x
2
 
 
f ´´(x) = 36x
2
 – 48x 
 
f ´´(x) = 0 en x = 0 y en x = 
3
4
, f ´´ está definida en todo  . 
 
Para los pasos 2 y 3 construimos la tabla: 
 
intervalo -  < x < 0 0 < x < 
3
4
 
3
4
 < x < +  
Valor de 
prueba 
- 1 1 2 
Signo de f ´´(x) + - + 
f 
Cóncava hacia 
arriba 
Cóncava hacia 
abajo 
Cóncava hacia 
arriba 
 
 
4º paso: La concavidad cambia en x = 0 y en x = 
3
4
. f es continua en ambos valores. 
5º paso: Calculamos entonces: f(0) = 5 y f(
3
4
) = - 14,48 
6º paso: La función es cóncava hacia arriba en: ( -  , 0) U (
3
4
, +  ) 
y cóncava hacia abajo en: (0, 
3
4
), los puntos de inflexión son: (0, 5) y (
3
4
, - 14,48) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
     









 
 
 
 
 
Ejemplo 3. Cambio de concavidad sin punto de inflexión. 
 
Analizar la concavidad y calcular los puntos de inflexión de: f(x) = 
x
1
 
 
Reescribamos: f(x) = x
-1
 y calculemos sus derivadas: f ´(x) = - x 
- 2
 , f ´´(x) = 2 x 
– 3
 
 
f ´´(x) = 2 x 
– 3
 = 
3
2
x
= 0 un cociente cuyo numerador es una constante, nunca será 
 
igual a cero, por lo que f ´´ no tiene raíces, o sea, no existe x tal que f ´´(x) = 0. 
 
 
Pero f ´´(x) no está definida para x = 0. 
 
 
intervalo -  < x < 0 0 < x < +  
Valor de 
prueba 
- 1 1 
Signo de f ´´(x) - + 
f 
Cóncava hacia 
abajo 
Cóncava hacia 
arriba 
 
 
La concavidad cambia en x = 0 pero f no es continua en x = 0 , por lo que en x = 0 NO 
hay punto de inflexión. 
 
 
Concluimos entonces que: 
 
 f es cóncava hacia abajo en ( -  , 0) 
 
y cóncava hacia arriba en (0, +  ). 
 
f no tiene punto de inflexión aunque sí cambia su concavidad. 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 4. Derivada segunda igual a cero sin cambio de concavidad. 
 
Sea: f(x) = x
4
, f ´(x) = 4 x
3
, f ´´(x) = 12 x
2
, 
 
f ´´(x) = 12 x
2
 = 0 en x = 0 
 
 
 
 
intervalo 
-  < x < 0 0 < x < +  
Valor de 
prueba 
- 1 1 
Signo de f ´´(x) + + 
f 
Cóncava hacia 
arriba 
Cóncava hacia 
arriba 
 
 
 
La concavidad no cambió en x = 0 por lo que f es cóncava hacia arriba en todo  y f no 
tiene punto de inflexión. 
 
 
 
 
5 
De la función f(x) = 2x
3
 – 9x
2
 + 12x calcular: corte con el eje Y, intervalos de crecimiento 
y decrecimiento, puntos de máximo y de mínimo, intervalos de concavidad y los puntos de 
inflexión. Con todos estos datos, graficar a mano, en un papel la función y luego verificar 
mediante un graficador. 
 
 
 
 
 
 
3.6 Problemas de aplicación 
 
 
 
Encontrará problemas de aplicación en el aula virtual. 
 
 
 
Soluciones de Actividades de Proceso Unidad 3 
 
3.1 Reglas de derivación 
 
1) a) y = x
500
 y´ = 500x
499
 b) f(x) = x 
– 6
 f´(x) = -6 x 
- 7
 
c) g(x) = 
20
1
x
 g´(x) = - 20x 
- 21
 d) h(x) = 
3x h´(x) = 
2
3
x
1/2 
e) p(x) = x x p(x) =
2
3
x
1/2 
 f) s(x) = x
5/4
 s´(x) = 4
1
4
5
x 
 
 
2) a) y = 
2
3 2x
 y´= 3x b) f(x) = 
2
3 x
 f´(x) = 
2
3
x
 - 4
 
c) y = - x
5/4
 y´= - 
4
5
x
1/4 
 
 
3) La derivada de la suma de dos funciones es la suma de las derivadas de dichas 
funciones. 
 
 
4) a) f(x) = 2x
3
 – 4x + 1 f´(x) = 6x
2
 - 4 
b) f(x) = 5x
9
 - 
3
2
 x
5
 + x f´(x) = 45x
8
 - 
3
10
x
4
 + 1 
 
 
5) (f(x) . g(x))´ = f´(x) . g(x) + f(x) . g´(x) 
 
 
6) a) f ´(x) = (1 + x
3
)´ (
3 2x - x) + (1 + x3) ( 3 2x - x)´ = 
 3x
2
 (
3 2x - x) + (1 + x3) (
3
2
 x 
- 1/3
 – 1) 
b) f(x) = (1 + x
3
) (
3 2x - x) = 3 2x - x + x3 . 3 2x - x4 
f ´(x) = 
3
2
 x 
- 1/3
 - 1 + 
3
11
x
8/3 
- 4 x
3
 
c) Trabajando algebraicamente en a) obtenemos el mismo resultado que en b) 
 
 
7) a) f ´(x) = 
2
3
. x 
- 1/2
 . x + 3 x .1 
 
b) g´(x) = 
4
3
 x 
- 7/4
 (x + 5x) + x
-3/4
 (2x + 5) 
 
 
8) a) a) (f.g)´(2) = 4 . 2 + (-3) . 5 = - 7 b) 
2
).(
xdx
fgd
 = - 7 
c) (f + g)´(2) = 9 d) (3f) (2) = 12 
 
 
9) a) La derivada de un cociente de funciones es igual a otro cociente en el cual: 
el numerador es la función del denominador por la derivada del numerador menos la 
función del numerador por la derivada del denominador. 
El denominador es el cuadrado de la función del denominador. 
 
 
b) 
 
 2min
min
min
adordeno
adordeno
delderivada
numerador
numerador
delderivada
adordeno
cocienteun
dederivada 












 
 
 
 
 
10) 
a) “la derivada de la función compuesta: f = g  h es el producto de la derivada de g 
valuada en h por la derivada de h” 
 
b) “Si una función es la composición de una función exterior con una función interior, su 
derivada es: la derivada de la función exterior valuada en la función interior por la 
derivada de la función interior.” 
 
11) a) f(x) = 
xx 32
4
2 
 f ´(x) = 
22 )32(
)34(4
xx
x


 
b) Respuesta personal. 
 
 
3.2 Derivadas de orden superior 
 
1) a) f´´´(x) = 60 x2 - 
27
32
x 
- 7/3
 - 
5
1512
 x
 – 10
 b) g´´´(x) = -
4)2(
36
x
 
 
2) i) f(x) = 
3
1
x
3
 + 2x
2
 – 12x – 3 
a) f ´(x) = x
2
 + 4x -12 
b) f ´(2) = 0 f ´(-6) = 0 
c) f ´´(x) = 2x + 4 
d) f ´´(2) = 8 f ´´(-6) = - 8 
 
 
ii) g(x) = x3 - 6x2 + 12x – 8 
a) g´(x) = 3x2 – 12x + 12 
b) g´(2) = 0 
c) g´´(x) = 6x – 12 
d) g´´(2) = 0 
 
 
 
3.3 Crecimiento y decrecimiento de funciones 
 
1) Sea f una función, I una parte de su dominio, 
x1 y x2 puntos arbitrarios de I con x1 < x2 
f es no creciente en I si y sólo si f(x1)  f(x2) 
 
 
2) No se puede asegurar nada. 
 
 
3) 
a) f(x) = x
3
 + 2 b) f(x) = x
2
 – 4x + 5 
 
 
 
 
 
 
 
Crece en todo su dominio 
 Decrece: (- , 2) Crece: (2, + ) 
 
4) 
a) La función crece. 
b) Las pendientes de las rectas tangentes a la función son negativas. 
c) f ´(x)< 0 para los x  (B, C) 
 
 
5) 
a) f(x) = x
2
 decrece: (- , 0) crece: (0, + ) 
b) f(x) = x
3
 crece: (- , + ) 
c) f(x) = 
3
1
x
3
 + 2 x
2
 – 5 x – 10 crece: (- , -5) decrece: (-5, 1) crece (1, + ) 
d) f(x) = -2x
2
 + 3x – 5 crece: (- , 
2
3
) decrece: (
2
3
, + ) 
 
3.4 Extremos absolutos y extremos relativos. 
 
    


























 
       















 
 
6) 
Sea f una función, A un subconjunto del dominio de f, ( A Df ) , a A 
a es un punto de mínimo absoluto de f en A 
Si y sólo si 
f(a)  f(x) para todo x  A 
El número f(a) se denomina el valor mínimo absoluto de f en A. 
 
 
 
7) a) Sea f una función, ADf x1  A 
x1 es un punto de mínimo (local o relativo) de f en A 
si y sólo si 
existe un intervalo I, con x1  I tal que f(x1) < f(x) para todo x  A I 
El número f(x1) se denomina el valor mínimo relativo de f en A. 
b) Un punto a  A es un punto de extremo local de f en A y f(a) es un valor extremo 
local de f en A si f(a) es un valor máximo local o un valor mínimo local. 
 
 
8). Punto de Máximo: x = -1 
 Valor de Máximo: f(-1) = 4 
 
Punto de Mínimo: x = 1 
 Valor de Mínimo: f(1) = - 4 
 
 
9) 
Punto de Máximo: x = -2 Valor de Máximo: f(-2) = 20 
 
Punto de Mínimo: x = 1 Valor de Mínimo: f(1) = - 7 
 
10) 
Sea f una función continua en a y derivable en algún entorno reducido de a. 
Si existe un entorno reducido de a donde la función es creciente a la izquierda de a y 
decreciente a la derecha de a entonces a es un punto de máximo. 
 
11) 
Sea f una función continua en a y derivable en algún entorno reducido de a. 
Si existe un entorno reducido de a donde f ´ es negativa a la izquierda de a y positiva a la 
derecha de a entonces a es un punto de mínimo. 
 
12) 
Sea f una función continua en a y derivable en algún entorno reducido de a. 
Si existe un entorno reducido de a donde la función es decreciente a la izquierda de a y 
creciente a la derecha de a entonces a es un punto de mínimo. 
 
    







 
 
13) 
Calcular los intervalos abiertos de crecimiento y decrecimiento y los puntos de máximo y 
de mínimo de las siguientes funciones: 
a) f(x) = - 2x
2
 + 4x + 3 
crece: (- , 1) decrece: (1, + ) 
El punto de máximo relativo es: (1, 5) 
 
b) f(x) = 2x
3
 + 3x
2
 – 12x 
crece: (- , -2) decrece: (-2, 1) crece (1, + ) 
El punto de máximo relativo es: (-2, 20) 
El punto de mínimo relativo es: (1,-7) 
 
c) f(x) = 3
2
x (x – 5) 
crece: (- , 0) decrece: (0, 2) crece (2, + ) 
El punto de máximo relativo es: (0, 0) 
El punto de mínimo relativo es: (2, - 4,76) 
 
 
 
3.5 Concavidad y punto de inflexión 
 
1) Si la gráfica de f está abajo de sus tangentes en un intervalo I, coincidiendo con la misma 
sólo en el punto de tangencia se dice que es cóncava hacia abajo en I. 
 
2) En b) o sea, para la función f que es cóncava hacia abajo, las pendientes de las líneas 
tangentes decrecen en valor al crecer x. 
 
3) Sea f derivable en el intervalo abierto I. 
Se dice que f es cóncava hacia abajo si y sólo si f ´ es decreciente en I. 
 
4) Sea f dos veces derivable en el intervalo abierto I. 
Si f ´´ < 0 para toda x en I entonces f es cóncava hacia abajo en I. 
 
5) f(x) = 2x
3
 – 9x
2
 + 12x 
Corte con el eje Y (0,0) 
Intervalos de crecimiento (- ,1)  (2, +  ) 
Intervalos de decrecimiento (1,2) 
Punto de máximo relativo (1,5) 
Punto de mínimo relativo (2,4) 
Intervalo de concavidad hacia abajo (- ,
2
3
) 
Intervalo de concavidad hacia arriba (
2
3
,+ ) 
Punto de inflexión. (
2
3
,
2
9
) 
     



x
y
 
 
Actividades de Autoevaluación 
 
1) Calcular f´(x) siendo: 
a) f (x) = 2
3
5x - ( 4
3 72 xx  ) (3x) 
b) f (x) = 
34
15 2


x
xx
 + ( 7x
3
 - 4x
2
 )
5
 
 
 
2) Dada la función: y = 3x
4
 – 4x
3
 + 1 
Calcular: corte con el eje Y, intervalos de crecimiento y decrecimiento, puntos de máximo 
y de mínimo, intervalos de concavidad y los puntos de inflexión. Con todos estos datos, 
graficar a mano, en un papel la función y luego verificar mediante un graficador.