3-El producto escalar de los vectores

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766 Capítulo 11 Vectores y la geometría del espacio
 Usar las propiedades del producto escalar de dos vectores.
 Hallar el ángulo entre dos vectores usando el producto escalar.
 Hallar los cosenos directores de un vector en el espacio. 
 Hallar la proyección de un vector sobre otro vector.
 Usar los vectores para calcular el trabajo realizado por una fuerza constante. 
El producto escalar
Hasta ahora se han estudiado dos operaciones con vectores, la suma de vectores y el 
producto de un vector por un escalar, cada una de las cuales da como resultado otro vec-
tor. En esta sección se presenta una tercera operación con vectores llamada el producto 
escalar. Este producto da como resultado un escalar y no un vector.
Defi nición de producto escalar
El producto escalar de u = 〈u1, u2〉 y v = 〈v1, v2〉 es
u v u1v1 u2v2.
El producto escalar de u = 〈u1, u2, u3〉 y v = 〈v1, v2, v3〉 es
u v u1v1 u2v2 u3v3.
TEOREMA 11.4 Propiedades del producto escalar
Sean u, v y w vectores en el plano o en el espacio, y sea c un escalar.
1. Propiedad conmutativa
2. Propiedad distributiva
3.
4.
5. v v v 2
0 v 0
c u v cu v u cv
u v w u v u w
u v v u
Demostración Para demostrar la primera propiedad, sea u = 〈u1, u2, u3〉 y v = 〈v1, 
v2, v3〉. Entonces
v u.v1u1 v2u2 v3u3 u v u1v1 u2v2 u3v3
Para la quinta propiedad, sea v = 〈v1, v2, v3〉. Entonces
v 2.v12 v22 v32 2 v v v12 v22 v32
Se dejan las demostraciones de las otras propiedades al lector.
Consulte LarsonCalculus.com para ver el video de esta demostración de Bruce Edwards. 
EJEMPLO 1 Calcular productos escalares
Dados u = 〈2, –2〉, v = 〈5, 8〉 y w = 〈–4, 3〉.
a.
b.
c.
d. 254 4 3 34, 3 4, 3w 2 w w
u 2v 2 u v 2 6 12
u v w 6 4, 3 24, 18
u v 2, 2 5, 8 2 5 2 8 6
 
Observe que el resultado del inciso (b) es una cantidad vectorial, mientras que los resul-
tados de los otros tres incisos son cantidades escalares. 
11.3 El producto escalar de dos vectores
COMENTARIO El pro-
ducto escalar de dos vectores 
recibe este nombre debido a que 
da como resultado un escalar; 
también se le llama producto 
escalar o interno de los dos 
vectores.
Exploración
Interpretación de un producto 
escalar 
En la fi gura se muestran varios 
vectores en el círculo unitario. 
Halle los productos escalares 
de varios pares de vectores. 
Después encuentre el ángulo 
entre cada par usado. Haga 
una conjetura sobre la relación 
entre el producto escalar de dos 
vectores y el ángulo entre los 
vectores.
0°
30°
60°120°
150°
180°
210°
240°
270°
300°
330°
90°
 
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767 11.3 El producto escalar de dos vectores
Ángulo entre dos vectores
El ángulo entre dos vectores distintos de cero es el ángulo u, 0 ≤ u ≤ p, entre sus res-
pectivos vectores en posición canónica o estándar, como se muestra en la fi gura 11.24. 
El siguiente teorema muestra cómo encontrar este ángulo usando el producto escalar. 
(Observe que el ángulo entre el vector cero y otro vector no está defi nido aquí.)
El ángulo entre dos vectores.
Figura 11.24
Origen
u
v
θ
v − u
TEOREMA 11.5 Ángulo entre dos vectores
Si u es el ángulo entre dos vectores distintos de cero u y v, donde 0 ≤ u ≤ p, entonces
cos 
u v
u v
.
 
Demostración Considere el triángulo determinado por los vectores u, v y v – u, 
como se muestra en la fi gura 11.24. Por la ley de los cosenos se puede escribir
v u 2 u 2 v 2 2 u v cos .
Usando las propiedades del producto escalar, el lado izquierdo puede reescribirse como
 v 2 2u v u 2
 v v u v v u u u
 v u v v u u
 v u 2 v u v u
y sustituyendo en la ley de los cosenos se obtiene
 soc 
u v
u v
.
 2u v 2 u v cos 
 v 2 2u v u 2 u 2 v 2 2 u v cos 
Consulte LarsonCalculus.com para ver el video de esta demostración de Bruce Edwards. 
Observe en el teorema 11.5 que debido a que ��u�� y ��v�� son siempre positivas, 
u ⋅ v y cos u siempre tendrán el mismo signo. La fi gura 11.25 muestra las orientaciones 
posibles de los dos vectores.
Figura 11.25
cos 10 < cos < 1cos 01 < cos < 0cos 1
00 < < 222 < <
u
v
Misma
dirección
θ
u
v
u v > 0
θ
u
v
u v = 0
θu
v
u v < 0
θ
u v
Dirección
opuesta
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768 Capítulo 11 Vectores y la geometría del espacio
De acuerdo con el teorema 11.5, se puede ver que dos vectores distintos de cero 
forman un ángulo recto si y sólo si su producto escalar es cero, entonces se dice que los 
dos vectores son ortogonales.
Defi nición de vectores ortogonales
Los vectores u y v son ortogonales si u ⋅ v = 0.
COMENTARIO Los términos “perpendicular”, “ortogonal” y “normal” signifi can 
esencialmente lo mismo, formar ángulos rectos. Sin embargo, es común decir que dos 
vectores son ortogonales, dos rectas o planos son perpendiculares, y que un vector es 
normal a una recta o plano dado.
De esta defi nición se deduce que el vector cero es ortogonal a todo vector u, ya que 
0 ⋅ u = 0. Si 0 ≤ u ≤ p, entonces se sabe que cos u = 0 si y sólo si u = p�2. Por tanto, 
se puede usar el teorema 11.5 para concluir que dos vectores distintos de cero son orto-
gonales si y sólo si el ángulo entre ellos es p�2.
EJEMPLO 2 Hallar el ángulo entre dos vectores
Consulte LarsonCalculus.com para una versión interactiva de este tipo de ejemplo.
Si u = 〈3, –1, 2〉, v = 〈–4, 0, 2〉, w = 〈1, –1, –2〉 y z = 〈2, 0, –1〉, halle el ángulo entre 
cada uno de los siguientes pares de vectores.
a. u y v b. u y w c. v y z
Solución
a.
radianesComo
b.
son ortogonales. Así,
c. cos 
v z
v z
8 0 2
20 5
10
100
1
2.wuu w 0,
cos 
u w
u w
3 1 4
14 6
0
84
0
arcos 
4
70
2.069u v < 0,
cos 
u v
u v
12 0 4
14 20
8
2 14 5
4
70
Como y
Por consiguiente, u = p. Observe que v y z son paralelos, con v = –2z. 
Cuando se conoce el ángulo entre dos vectores, el teorema 11.5 se reescribe en la 
forma
Forma alternativa del producto escalar u v u v cos 
EJEMPLO 3 Forma alternativa del producto punto
Dado que ��u�� = 10, ��v�� = 7, y el ángulo entre u y v es p�4, halle u ⋅ v.
Solución Use la forma alternativa del producto escalar como se muestra
u v u v cos 10 7 cos 
4
35 2
 
COMENTARIO El ángulo 
entre u y v en el ejemplo 3(a) 
también se puede escribir 
aproximadamente como 
118.561°.
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769 11.3 El producto escalar de dos vectores
Cosenos directores
En el caso de un vector en el plano se ha visto que 
es conveniente medir su dirección en términos del 
ángulo, medido en sentido contrario a las manecillas 
del reloj, desde el eje x positivo hasta el vector. En 
el espacio es más conveniente medir la dirección en 
términos de los ángulos entre el vector v distinto de 
cero y los tres vectores unitarios i, j y k, como se 
muestra en la fi gura 11.26. Los ángulos a, b y son 
los ángulos de dirección de v, y cos a, cos b y 
cos son los cosenos directores de v. Como
y
v i v1, v2, v3 1, 0, 0 v1
v i v i cos v cos 
se deduce que cos a = v1���v��. Mediante un razonamiento similar con los vectores uni-
tarios j y k, se tiene
es el ángulo entre 
es el ángulo entre
es el ángulo entre k.vcos 
v3
v
.
j.vcos 
v2
v
i.vcos 
v1
v
e
y
y
Por consiguiente, cualquier vector v distinto de cero en el espacio tiene la forma normalizada
v
v
v1
v
i
v2
v
j
v3
v
k cos i cos j cos k
y como v���v�� es un vector unitario, se deduce que
cos2 cos2 cos2 1.
EJEMPLO 4 Calcular los ángulos de dirección
Encuentre los cosenos y los ángulos directores del vector v = 2i + 3j + 4k, y demuestre 
que cos2 a + cos2 b + cos2 = 1.
Solución Como v 22 32 42 29, puede escribir lo siguiente.
Ángulo entre 
Ángulo entre 
Ángulo entre kv42.0cos 
v3
v
4
29
jv56.1cos 
v2
v
3
29
iv68.2cos 
v1
v
2
29
y
y
e
Además, la suma de los cuadrados de los cosenos directores es
 1.
 
29
29
soc 2 cos2 cos2 
4
29
9
29
16
29
Vea la fi gura 11.27. 
COMENTARIO Recuer-
de que a, b y son las letras 
griegas alfa, beta y gamma, 
respectivamente.
x
y
v
j
k
i
γ
β
α
z
Ángulos de dirección.
Figura 11.26z
x y
4
3
2
1
4
3
1
2
4
3
2
1
γ
βα
γ
β = ángulo entre v y j
= ángulo entre v y k
v = 2i + 3j + 4k
α = ángulo entre v e i
Ángulos de dirección de
Figura 11.27
v.
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770 Capítulo 11 Vectores y la geometría del espacio
Proyecciones y componentes vectoriales
Ya ha visto aplicaciones en las que se suman dos vectores para obtener un vector resul-
tante. Muchas aplicaciones en la física o en la ingeniería plantean el problema inverso, 
descomponer un vector dado en la suma de dos componentes vectoriales. El ejemplo 
físico siguiente permitirá comprender la utilidad de este procedimiento.
Considere una lancha sobre una rampa inclinada, como se muestra en la fi gura 
11.28. La fuerza F debida a la gravedad empuja la lancha hacia abajo de la rampa y 
contra la rampa. Estas dos fuerzas, w1 y w2, son ortogonales y reciben el nombre de 
componentes vectoriales de F.
Componentes vectoriales de FF w1 w2
Las fuerzas w1 y w2 ayudan a analizar el efecto de la gravedad sobre la lancha. Por ejem-
plo, w1 representa la fuerza necesaria para impedir que la lancha se deslice hacia abajo 
por la rampa, mientras que w2 representa la fuerza que deben soportar los neumáticos.
Defi niciones de proyección y componentes vectoriales
Sean u y v vectores distintos de cero. Además, sea 
u w1 w2 
donde w1 es paralelo a v y w2 es ortogonal a v, como se muestra en la fi gura 11.29.
1. A w1 se le llama proyección de u en v o componente vectorial de u a lo largo 
de v, y se denota por w1 = proyv u. 
2. A w2 = u – w se le llama componente vectorial de u ortogonal a v.
componente vectorial de
Figura 11.29
vuw2
vuvuw1 proyvu
θ
w1
w2
u
v
es obtuso..θ
θ
w1
w2
u
v
es agudo.θ
la proyección de en componente vectorial de en dirección de
ortogonal a 
EJEMPLO 5 Hallar la componente vectorial de u ortogonal a v
Encuentre la componente del vector de u = 〈5, 10〉 que es ortogonal a v = 〈4, 3〉, dado que 
y
u 5, 10 w1 w2.
w1 proyvu 8, 6
Solución Como u = w1 + w2, donde w1 es paralelo a v, se deduce que w2 es la com-
ponente vectorial de u ortogonal a v. Por tanto, tiene
 3, 4 .
 5, 10 8, 6
w2 u w1
Verifi que que w2 es ortogonal a v, como se muestra en la fi gura 11.30. 
F
w2
w1
La fuerza debida a la gravedad empuja 
la lancha contra la rampa y hacia abajo 
por la rampa.
Figura 11.28
x
w1w2
u
v
(− 3, 4)
(8, 6)
(4, 3)
(5, 10)
− 2− 4 2 4 6 8
− 2
2
4
8
10
y
Figura 11.30
u w1 w .2
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771 11.3 El producto escalar de dos vectores
Del ejemplo 5, puede ver que es fácil encontrar la componente vectorial w2 una vez 
que ha hallado la proyección, w1, de u en v. Para encontrar esta proyección, use el pro-
ducto escalar como establece el teorema siguiente, el cual se demuestra en el ejercicio 78.
TEOREMA 11.6 Proyección usando el producto escalar
Si u y v son vectores distintos de cero, entonces la proyección de u sobre v está 
dada por
proyvu
u v
v 2
v.
La proyección de u sobre v puede expresarse como un múltiplo escalar de un vector 
unitario en la dirección de v. Es decir,
u v
v 2
v
u v
v
 
v
v
k
v
v
.
 
Al escalar k se le llama la componente de u en la dirección de v. Por tanto, 
k
u v
v
u cos .
EJEMPLO 6 Descomponer un vector en componentes 
vectoriales
Determine la proyección de u sobre v y la componente vectorial de u ortogonal a v de 
los vectores 
y v 7i j 2k.u 3i 5j 2k 
Solución La proyección de u sobre v es 
w1 proyv u
u v
v 2
v
12
54
7i j 2k
14
9
i
2
9
j
4
9
k.
La componente vectorial de u ortogonal a v es el vector
w2 u w1 3i 5j 2k
14
9
i
2
9
j
4
9
k
13
9
i
47
9
j
22
9
k.
Vea la fi gura 11.31.
EJEMPLO 7 Calcular una fuerza
Una lancha de 600 libras se encuentra sobre una rampa inclinada 30°, como se muestra 
en la fi gura 11.32. ¿Qué fuerza se requiere para impedir que la lancha resbale cuesta 
abajo por la rampa?
Solución Como la fuerza debida a la gravedad es vertical y hacia abajo, puede repre-
sentar la fuerza de la gravedad mediante el vector F = –600j. Para encontrar la fuerza 
requerida para impedir que la lancha resbale por la rampa, proyecte F sobre un vector 
unitario v en la dirección de la rampa, como sigue.
Vector unitario en la dirección de la rampav cos 30 i sen 30 j
3
2
i
1
2
j
Por tanto, la proyección de F sobre v está dada por
w1 proyvF
F v
v 2
v F v v 600
1
2
v 300
3
2
i
1
2
j .
La magnitud de esta fuerza es 300, y por consiguiente se requiere una fuerza de 300 libras 
para impedir que la lancha resbale por la rampa. 
8
6
2
4
2
− 2
− 4
y
x
w1
w2
u
v
u = 3i − 5j + 2k
v = 7i + j − 2k
z
Figura 11.31
u w1 w .2
F
w1 = proyv(F)
v
30°
w1
Figura 11.32
COMENTARIO Observe 
la diferencia entre los términos 
“componente” y “componente 
vectorial”. Por ejemplo, usando 
las vectores unitarios canónicos 
o estándar con u = u1i + u2j, 
u1 es la componente de u en la 
dirección de i y u1i es la compo-
nente vectorial en la dirección i.
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772 Capítulo 11 Vectores y la geometría del espacio
Trabajo
El trabajo W realizado por una fuerza constante F que actúa a lo largo de la recta de 
movimiento de un objeto está dado por
W magnitud de fuerza distancia F PQ
\
como se muestra en la fi gura 11.33(a). Si la fuerza constante F no está dirigida a lo largo 
de la recta de movimiento, se puede ver en la fi gura 11.33(b) que el trabajo realizado W 
por la fuerza es
F PQ
\
.cos F PQ
\
W proyPQ
\F PQ
\
(a) La fuerza actúa a lo largo de la recta 
de movimiento.
(b) La fuerza actúa formando un ángulo 
con la recta de movimiento. 
Figura 11.33
proyPQ F
F
P Q
θ
Trabajo = ⎜⎜proyPQF⎜⎜⎜⎜PQ⎜⎜
Trabajo = ⎜⎜F⎜⎜⎜⎜PQ⎜⎜
F
P Q
Esta noción de trabajo se resume en la defi nición siguiente. 
Defi nición de trabajo
El trabajo W realizado por una fuerza constante F a medida que su punto de apli-
cación se mueve a lo largo del vector PQ
\
 está dado por las siguientes expresiones.
1. En forma de proyección
2. En forma de producto escalarW F PQ
\
 W proyPQ\ F PQ
\
EJEMPLO 8 Calcular trabajo
Para cerrar una puerta corrediza, una persona tira de una cuerda con una fuerza constante 
de 50 libras y un ángulo constante de 60°, como se muestra en la fi gura 11.34. Encuentre 
el trabajo realizado al mover la puerta 12 pies hacia la posición en que queda cerrada.
Figura 11.34
P Q
12 pies
12 pies
F
60°
proyPQF
Solución Usando una proyección, se puede calcular el trabajo como sigue. 
300 pies-libras
1
2
50 12cos 60 F PQ
\
W proyPQ\ F PQ
\
 
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773 11.3 El producto escalar de dos vectores
Encontrar productos escalares En los ejercicios 1 a 8, en-
cuentre (a) u ∙ v, (b) u ∙ u, (c) ||u||2, (d) (u ∙ v)v, y (e) u ∙ (2v).
.2.1
.4.3
.6.5
.8.7
v i 3j 2kv i k
u 2i j 2ku 2i j k
v iu i,v 0, 6, 5u 2, 3, 4 ,
v 7, 5u 4, 8 ,v 3, 2u 6, 4 ,
v 2, 3u 4, 10 ,v 1, 5u 3, 4 ,
Hallar el ángulo entre dos vectores En los ejercicios 9 a 
16, calcule el ángulo U entre los vectores (a) en radianes y (b) en 
grados.
.01.9
11.
12.
.41.31
.61.51
v i 2j kv 2j 3k
u 2i 3j ku 3i 4j
v 2i 3jv 2, 1, 1
u 3i 2j ku 1, 1, 1
v cos
3
4
i sen
3
4
ju cos
6
i sen
6
j,
v 2i 4ju 3i j,
v 2, 1u 3, 1 ,v 2, 2u 1, 1 ,
Forma alternativa del producto punto En los ejercicios 17 
y 18, utilice la forma alternativa del producto escalar de u ∙ v. 
17. y el ángulo entre
18. y el ángulo entre 5 6.vuv 25,u 40,
3.vuv 5,u 8, y
y
es
es
Comparar vectores En los ejercicios 19 a 24, determine si u 
y v son ortogonales, paralelos o ninguna de las dos cosas.
.02.91
.22.12
.42.32
v sen , cos , 0v 1, 1, 1
u cos , sen , 1u 2, 3, 1
v 2i j kv i 2j k
u 2i 3j ku j 6k
v 2i 4ju 13 i 2j ,v
1
2, 
2
3u 4, 3 ,
Clasifi car un triángulo En los ejercicios 25 a 28 se dan los 
vértices de un triángulo. Determine si el triángulo es un trián-
gulo agudo, un triángulo obtuso o un triángulo recto. Explique 
su razonamiento.
25.
26.
27.
28. 2, 7, 3 ,1, 5, 8 , 4, 6, 1
2, 0, 1 , 0, 1, 2 , 0.5, 1.5, 0
3, 0, 0 , 0, 0, 0 , 1, 2, 3
1, 2, 0 , 0, 0, 0 , 2, 1, 0
Hallar ángulos de dirección En los ejercicios 29 a 34, en-
cuentre los cosenos directores de u y demuestre que la suma de 
los cuadrados de los cosenos directores es 1.
.03.92 u 5i 3j ku i 2j 2k
.23.13
.43.33 u 1, 5, 2u 0, 6, 4
u 4i 3j 5ku 3i 2j 2k
Hallar la proyección de u sobre v En los ejercicios 35 a 
42, (a) encuentre la proyección de u sobre v, y (b) encuentre la 
componente del vector de u ortogonal a v.
.63.53
37.
38.
39.
40.
41.
42. v 3i 2ku i 4k,
v 3j 4ku 2i j 2k,
v 2, 1, 1u 8, 2, 0 ,
v 1, 1, 1u 0, 3, 3 ,
v 3i 2ju 2i 3j,
v 5i ju 2i 3j,
v 1, 3u 9, 7 ,v 1, 4u 6, 7 ,
DESARROLLO DE CONCEPTOS
43. Producto escalar Defi na el producto escalar de los 
vectores u y v.
44. Vectores ortogonales Dé la defi nición de vectores 
ortogonales. Si los vectores no son paralelos ni ortogona-
les. ¿Cómo se encuentra el ángulo entre ellos? Explique.
45. Usar vectores Determine cuál de las siguientes expre-
siones están defi nidas para vectores distintos de cero u, v 
y w. Explique el razonamiento.
 
)b()a(
)d()c( u v wu v w
u v wu v w
46. Cosenos directores Describa los cosenos directores y 
los ángulos de dirección de un vector v.
47. Proyección Dé una descripción geométrica de la pro-
yección de u sobre v.
48. Proyección ¿Que puede decir acerca de los vectores u 
y v si (a) la proyección de u sobre v es igual a u y (b) la 
proyección de u sobre v es igual a 0?
49. Proyección ¿Si la proyección de u sobre v tiene la mis-
ma magnitud que la proyección de v sobre u, ¿se puede 
concluir que ��u�� = ��v��? Explique. 
¿CÓMO LO VE? ¿Qué se sabe acerca de u, el ángu-
lo entre dos vectores u y v distintos de cero, cuando 
(a) ? (b) ? (c) ?
vu
Origen
θ
u v < 0u v > 0u v 0
11.3 Ejercicios Consulte CalcChat.com para un tutorial de ayuda y soluciones trabajadas de los ejercicios con numeración impar.
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	11 Vectores y la geometría del espacio
	11.3 El producto escalar de dos vectores
	El producto escalar
	Ángulo entre dos vectores
	Cosenos directores
	Proyecciones y componentes vectoriales
	Trabajo
	11.3 Ejercicios