ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS (1)

Vista previa del material en texto

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS 
¿Qué es una estructura algebraica? 
Si pensamos en la suma de números reales, la igualdad: 
∗ 2 + 3 = 3 + 2 Podemos asociarla con un ejemplo de propiedad conmutativa de 
la suma de números reales. 
∗ 2 . 3 = 3 . 2 Puede entenderse como un ejemplo de la propiedad conmutativa de la 
multiplicación de números reales. 
Se puede pensar que estos ejemplos son triviales; sin embargo, durante la evolución 
de las matemáticas ha llevado tiempo entender los conceptos que estas igualdades 
encierran, hasta que se enunciaron de manera general como ser 
 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑎. 𝑏 = 𝑏. 𝑎 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎, 𝑏 𝑠𝑜𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑎 . 
O más general aún, llegar a establecer que una ley de composición interna “ * “ 
definido sobre un conjunto A distinto de vacío es conmutativa si, cualesquiera sean a y 
b que pertenecen a A se cumple que 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎 . 
Lo anterior tuvo como consecuencia la sistematización de las propiedades que cumple 
una operación, como ser una ley de composición interna, definida sobre los elementos 
de un conjunto. 
Esta sistematización es lo que da lugar a las llamadas ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. Es 
decir, lo que define a una estructura algebraica son las propiedades matemáticas que 
verifica una operación definida en un conjunto de elementos, según sean las 
propiedades que verifica una operación, se tendrán distintas estructuras algebraicas. 
Una de las estructuras más sencillas y más importantes es la estructura de GRUPO. 
Entre las variadas razones que podemos dar para justificar la importancia de las 
estructuras algebraicas, una es que sistematizan el estudio de las operaciones y sus 
propiedades sobre los elementos de un conjunto. 
Una situación concreta es que en el marco de estas estructuras se sustentan las reglas 
que aplicamos para resolver ecuaciones lineales. 
Por ejemplo, sabemos que el conjunto de los números reales, la ecuación lineal 
𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑎 ≠ 0 Tiene única solución 𝑥 = −
𝑏
𝑎
 , pero ¿Por qué? 
Así, en general una estructura algebraica constituye un marco teórico que justifica los 
procedimientos que se puede aplicar en la resolución de diversas situaciones, ya sean 
algebraicas, de otros campos de la ciencia matemática, o de otras ciencias. 
Un grupo matemático es un tipo importante de estructura algebraica abstracta. Como 
los grupos son abstractos, presentaremos algunos ejemplos antes de dar su definición. 
 
 EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS ENTEROS 
Consideremos primero el conjunto de los números enteros, los positivos, los negativos 
y el cero {… , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … }, y la operación suma. 
Fijémonos en algunas cosas que a primera vista pueden parecer triviales: 
 La suma de dos números enteros cualquiera es otro número entero; el sistema 
es cerrado( la suma es una ley de composición interna) 
 Vale la igualdad (3 + 9) + 11 = 3 + (9 + 11) y, en general, el resultado de 
varias sumas seguidas no depende de cómo asociemos; 
(𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑒𝑙𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑒𝑠 
 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 
 La suma de enteros tiene la propiedad asociativa. 
 Existe un número entero, el 0, tal que, para cualquier número entero 𝑥 , 𝑥 +
0 = 0 + 𝑥 = 𝑥 ; 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 𝑥 . 
El elemento identidad para la suma de enteros es 0. 
 Existe otro número entero que sumado a él da 0: 
 6 + (−6) = (−6) + 6 = 0 , (−118) + 118 = 118 + (−118) = 0 , etc. 
 Para cualquier entero 𝑥, su inverso aditivo ,−𝑥, también es entero, es decir 
 que 𝑥 + (−𝑥) = (−𝑥) + 𝑥 = 0.Este sistema cumple la propiedad del inverso. 
 Vale la igualdad 3 + 5 = 5 + 3 , (−4) + 7 = 7 + (−4) , etc. Y, en 
general 
𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑎 𝑦 𝑏 . 
 La suma de enteros cumple la propiedad conmutativa. 
 
 ARITMETICA DEL RELOJ 
Ahora consideremos el sistema del reloj de 12 horas, está basado en la caratula de un 
reloj ordinario, con la diferencia de que el 12 es reemplazado por el cero y se excluye 
el minutero. 
La caratula del reloj da lugar al conjunto finito {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}.Como 
operación para este sistema del reloj, defina la suma como sigue: sume desplazando la 
manecilla de las horas en el sentido de las manecillas del reloj. Por ejemplo, para 
sumar 5 y 2 en un reloj, primero mueva la manecilla 2 horas más en el sentido de las 
manecillas del reloj. La manecilla se detiene en el 7, por lo tanto, 
5 + 2 = 7 
Este resultado concuerda con la suma tradicional. Sin embargo, la suma de los 
números del sistema del reloj de 12 horas no siempre es lo que se esperaría, como 
muestran los ejemplos siguientes. 
 
EJEMPLO 
a. 8 + 9 
Mueva la manecilla de las horas al 8, luego avance las manecillas en sentido de 
las manecillas del reloj 9 horas más. Se detiene en el 5, por lo que 
8 + 9 = 5. 
b. 11 + 3 
Mueva la manecilla de las horas al 11, luego avance las manecillas en sentido 
de las manecillas del reloj 3 horas más. Se detiene en el 2, por lo que 
11 + 3 = 2. 
Dado que existe una infinidad de números enteros no negativos, no es posible una 
tabla completa de sumas para ese conjunto. Una tabla como esa, para mostrar la suma 
de cada posible par de números enteros no negativos, tendría un número infinito de 
renglones y columnas, lo que imposibilitaría su construcción. 
Por otra parte, el sistema del reloj solo 12 renglones y 12 columnas. La tabla de 
adición para el reloj de 12 horas se muestra en la tabla .Puesto que el sistema de 12 
horas está constituido por un conjunto finito, se llama sistema matemático finito. 
SUMA EN EL RELOJ DE 12 HORAS 
+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 
2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 
3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 
4 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 
5 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 4 
6 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 4 5 
7 7 8 9 10 11 0 1 2 3 4 5 6 
8 8 9 10 11 0 1 2 3 4 5 6 7 
9 9 10 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 
10 10 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
11 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
 
EJEMPLO 
 
Utilice la tabla de la adicción de 12 horas para determinar cada suma. 
a. 7 + 11 
Localice el número 7 en el lado izquierdo de la tabla y el 11 en la parte 
superior .La intersección del renglón encabezado por el 7 y la columna 
encabezada por el 11 da el número 6. De esta forma , 7 + 11 = 6. 
b. También de la tabla, 11 + 1 = 0. 
 
Hasta ahora, el sistema del reloj está compuesto por el 
conjunto{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11} , con la operación de adición del reloj. 
Ahora, veamos que propiedades cumple el sistema. 
 La tabla muestra que la suma de dos números de la carátula de un reloj 
siempre es un número de la carátula. Esto es, si a y b son dos números 
cualesquiera del reloj en el conjunto del sistema, entonces 𝑎 + 𝑏 esta 
también en el conjunto del sistema. Esta propiedad se llama de clausura 
para la suma en un reloj. (el conjunto del sistema es cerrado bajo la 
suma.)También, se dice que la suma es una ley de composición interna. 
 Observe también que, en el sistema, 5 + 9 = 9 + 5 = 2.Como también 
7 + 11 = 11 + 7 = 6.El orden de los sumados no parece ser de 
importancia .De hecho, puede ver en la tabla que la parte de la tabla por 
arriba de la línea diagonal es una imagen de espejo de la parte de abajo 
de la diagonal. Esto muestra que, para cualesquiera números del reloj 
𝑎 𝑦 𝑏, 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 .El sistema tiene la propiedad conmutativa. 
 
 La siguiente pregunta es: cuando 3 elementos se combinan en un orden 
dado, digamos 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 ,¿importa si primero se asocian el primero y el 
segundo elemento o si primero se asocian el segundo y el tercero? En 
otras palabras, ¿es cierto que, para cualesquiera𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐en el sistema 
(𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐)? 
 
EJEMPLO 
¿Es asociativa la adición en el reloj de 12 horas? 
Implicaría mucho trabajo demostrar que relación requerida siempre se 
cumple. Pero unos ejemplos deberán ya sea rechazarla (por medio de 
un contraejemplo: un caso donde la relación no se cumple), o hacerla 
aceptable, al menos. Al usar los números del reloj 4, 5 y 9, vemos que 
 
(4 + 5) + 9 = 9 + 9 4 + (5 + 9) = 4 + 2 
= 6 = 6 
 
De esta forma, (4 + 5) + 9 = 4 + (5 + 9).Intente otro ejemplo: 
(7 + 6) + 3 = 1 + 3 7 + (6 + 3) = 7 + 9 
= 4 = 4 
 
Así que, (7 + 6) + 3 = 7 + (6 + 3).Cualquier otro ejemplo que se 
intente también funcionará. La suma en el reloj de 12 horas tiene la 
propiedad asociativa. 
 
 La siguiente pregunta es si la carátula del reloj tiene algún elemento 
(número) que, cuando se combina con cualquier otro elemento, 
produce el mismo elemento. Tal elemento(llámele e) , debe satisfacer 
 
𝑎 + 𝑒 = 𝑎 𝑦 𝑒 + 𝑎 = 𝑎 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 
 
Observe en la tabla que 4 + 0 = 0 + 4 = 4 , 6 + 0 = 0 + 6 = 6, y así 
sucesivamente. El número 0 es el elemento identidad. El sistema tiene 
la propiedad de la identidad. 
Generalmente, si un sistema finito tiene un elemento identidad e, 
puede localizarse de forma fácil en la tabla de operaciones. Busque en 
el cuerpo de la tabla una columna que sea idéntica a la primera columna 
del lado izquierdo de la tabla. Como la columna bajo el 0 cumple con 
este requisito, 
𝑎 + 0 = 𝑎 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎. 
 De este modo, 0 posiblemente es la identidad. Ahora, localice el 0 al 
lado izquierdo de la tabla. Como el renglón correspondiente es idéntico 
al reglón de la parte superior de la tabla, 
0 + 𝑎 = 𝑎 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑎, Lo cual 
es el otro requisito de un elemento identidad. Por lo tanto, 0 es 
realmente la identidad. 
 
 La sustracción puede realizarse sobre un reloj de 12 horas. La 
sustracción puede interpretarse sobre la caratula del reloj mediante un 
movimiento que siga el sentido opuesto al del reloj. Por ejemplo, para 
realizar la sustracción 2 − 5 , comience en el 2 y muévase 5 horas en 
sentido opuesto a las manecillas del reloj, terminando en el 9. Por 
consiguiente, en este sistema, 
2 − 5 = 9. 
En nuestro sistema usual, la sustracción puede ser verificada mediante 
la suma, y éste es también el caso de la aritmética del reloj. Para 
verificar que 2 − 5 = 9 , simplemente sume 9 + 5. El resultado en la 
caratula del reloj es 2, lo cual verifica la precisión de esta sustracción. 
El inverso aditivo, −𝑎 , de un elemento 𝑎 en la aritmética del reloj, es 
aquel elemento que satisface la siguiente proposición : 
 𝑎 + (−𝑎) = 0 𝑦 (−𝑎) + 𝑎 = 0 
El siguiente ejemplo examina esta idea. 
 
EJEMPLO 
Determine el inverso aditivo de 5 en la aritmética del reloj. 
El inverso aditivo para el número 5 del reloj es un numero x tal que 
5 + 𝑥 = 0 
El ir del 5 al 0 en la caratula del reloj requiere de 7 horas más, entonces 
5 + 7 = 0 
Esto significa que el 7 es el inverso aditivo del 5. 
El método utilizado en el ejemplo puede servir para verificar que todo 
elemento del sistema tiene un inverso aditivo (también dentro del 
sistema).Así que el sistema tiene la propiedad del inverso. 
Otra forma más fácil para verificar la propiedad del inverso, una vez que 
se tiene la tabla, es asegurarse de que el elemento identidad aparezca 
una sola vez en cada renglón y que el par de elementos que lo produce 
también lo produzca en el orden opuesto.(Esta última condición es 
automáticamente cierta, si la propiedad conmutativa se cumple para el 
sistema.)Por ejemplo, observe que en la tabla el renglón 3 contiene un 
0, debajo del 9, por lo que 3 + 9 = 0 y que el renglón 9 contiene un 0, 
debajo del 3, por lo que también 9 + 3 = 0.Por consiguiente, 3 y 9 son 
inversos. 
 
La siguiente tabla lista los elementos y sus inversos aditivos. 
Valor a 
en le 
reloj 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 
Inverso 
aditivo 
-a 
0 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 
 
Utilizando el símbolo del inverso aditivo, podemos decir que en le 
aritmética del reloj, 
−5 = 7 , − 11 = 1, − 10 = 2 
 Y así sucesivamente. 
 Ahora hemos visto que el sistema del reloj de 12 horas, con la suma, 
 tiene las propiedades: de clausura (ley de composición interna), 
 conmutativa , asociativa, del idéntico (neutro) , del inverso aditivo. 
 
 Los sistemas se clasifican de acuerdo a las propiedades que satisfacen. 
 Una de las categorías más importantes estudiadas es el grupo 
 matemático , que definiremos aquí. 
 ESTRUCTURA DE GRUPO 
 Sea G un conjunto no vacío y * una operación .El par (G,*) es 
 grupo si * es ley de composición interna en G, asociativa, con 
 neutro y tal que todo elemento de G admite inverso respecto 
 de *. 
 Si además * es conmutativa, el grupo se dice Abeliano o 
 conmutativo. 
 
EJEMPLO 
 ¿El conjunto 𝐺 = {−1,1} bajo la operación de multiplicación usual 
 forma un grupo? 
 La tabla correspondiente es: 
 
. 1 -1 
1 1 -1 
-1 -1 1 
 
Verifiquemos las 4 propiedades necesarias: 
 Ley de composición interna. 
Todas las entradas de la tabla son -1 o 1; el sistema es cerrado 
 Asociativa. 
-1 y 1 son enteros, y la multiplicación de enteros es asociativa. 
 Neutro 
El elemento identidad (neutro) de la multiplicación es 1, un elemento del 
conjunto 𝐺 = {1, −1} 
 Inverso 
-1 y 1 son sus propios inversos para la multiplicación. 
 
Luego, ( 𝐺 ,∗ ) 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜. 
 
Continuemos nuestro estudio de sistemas matemáticos finitos considerando 
ejemplos construidos sobre conjuntos finitos. 
 
Introducimos un nuevo sistema matemático finito, formado por el conjunto de 
elementos 𝐺 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} y una operación escrita con el símbolo *. 
Damos significado a la operación * mostrando la tabla de la operación, que indica 
como esta * se utiliza para determinar la respuesta para cualesquiera dos elementos 
del conjunto 𝐺 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}. 
 
* a b c d 
a a b c d 
b b d a c 
c c a d b 
d d c b a 
 
 
Para usar la tabla para determinar, digamos, 𝑐 ∗ 𝑑 , primero localizamos c en el lado 
izquierdo, y d en la parte superior. Este renglón y columna da b, de modo que 
𝑐 ∗ 𝑑 = 𝑏 
Las propiedades importantes que buscamos en un sistema son las siguientes: clausura 
(ley de composición interna), conmutativa, asociativa, existencia de identidad 
(neutro) e inverso. Decidamos cuáles propiedades satisfacen el sistema conformado 
por 𝐺 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} y *. 
Propiedad de clausura (ley de composición interna) Para que sea cerrado bajo la 
operación *, la respuesta a cualquier combinación posible de elementos del sistema 
debe estar en el conjunto 𝐺 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}.un vistazo a la tabla muestra que todas las 
respuestas en la tabla son elementos de este conjunto. Esto significa que el sistema es 
cerrado. Si un elemento distinto de 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑜 𝑑 hubiese aparecido en la tabla, el sistema 
no hubiese sido cerrado. 
Propiedad conmutativa Para que el sistema tenga la propiedad conmutativa, debe ser 
cierto que 𝑥 ∗ 𝑦 = 𝑦 ∗ 𝑥 , 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥 𝑒 𝑦 representan cualesquiera elementos del 
conjunto 𝐺 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}.Por ejemplo, 
𝑐 ∗ 𝑑 = 𝑏 𝑦 𝑑 ∗ 𝑐 = 𝑏 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒𝑐 ∗ 𝑑 = 𝑑 ∗ 𝑐. 
Para ver que lo mismo ocurre para todas las elecciones de 𝑥 𝑒 𝑦 , observe que la 
tabla 
* a b c d 
a a b c d 
 ↘ 
b b d a c 
 ↘ 
c c a d b 
 ↘ 
d d c b a 
 
Es simétrica con respecto a la línea diagonal que se muestra. Esta “línea diagonal de 
prueba “establece que * es una operación conmutativa para este sistema. 
 
 
PROPIEDAD ASOCIATIVA 
El sistema es asociativo si (𝑥 ∗ 𝑦) ∗ 𝑧 = 𝑥 ∗ (𝑦 ∗ 𝑧) , 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥 , 𝑦, 𝑧 representan 
cualesquiera de los elementos del conjunto 𝐺 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}. No hay forma rápida para 
verificar la propiedad asociativa en la tabla, como lo hay para la propiedad 
conmutativa. Todo lo que podemos hacer es intentar algunos ejemplos. Utilizando la 
tabla que define la operación *: 
(𝑎 ∗ 𝑑) ∗ 𝑏 = 𝑑 ∗ 𝑏 = 𝑐 𝑦 𝑎 ∗ (𝑑 ∗ 𝑏) = 𝑎 ∗ 𝑐 = 𝑐, 
De modo que (𝑎 ∗ 𝑑) ∗ 𝑏 = 𝑎 ∗ (𝑑 ∗ 𝑏). 
De la misma manera 𝑏 ∗ (𝑐 ∗ 𝑑) = (𝑏 ∗ 𝑐) ∗ 𝑑. 
En ambos ejemplos, el cambio de posición de los paréntesis no alteró las respuestas. 
Como dos ejemplos han funcionado, sospechamos que el sistema es asociativo. Sin 
embargo, no podemos estar seguros, a menos que se verifiquen todas las posibles 
selecciones de tres letras de ese conjunto (aunque no lo hemos verificado por 
completo, este sistema, de hecho, satisface la propiedad asociativa). 
PROPIEDAD DE LA IDENTIDAD (NEUTRO) Para que se cumpla la propiedad de la 
identidad, debe existir un elemento e del conjunto del sistema tal que 
𝑒 ∗ 𝑥 = 𝑥 ∗ 𝑒 = 𝑥, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 
𝐺 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} 
Podemos ver que 𝑎 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜 como sigue. 
𝑎 ∗ 𝑎 = 𝑎 ∗ 𝑎 = 𝑎 
 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎 = 𝑏 
 𝑎 ∗ 𝑐 = 𝑐 ∗ 𝑎 = 𝑐 
 𝑎 ∗ 𝑑 = 𝑑 ∗ 𝑎 = 𝑑 
En la tabla, la columna bajo la a (de la parte superior) es idéntica a la columna a la 
izquierda, y el renglón que inicia con a (a la izquierda) es idéntico al renglón superior. 
Por lo tanto, a es el elemento identidad del sistema (se demuestra que si un sistema 
tiene un único elemento identidad.) 
PROPIEDAD DEL INVERSO Antes determinamos que a es el elemento identidad para el 
sistema que utiliza la operación *. ¿Existe en el sistema, un inverso para, digamos, el 
elemento b? Si 𝑏′ 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑏 en este sistema, entonces 
𝑏 ∗ 𝑏′ = 𝑎 𝑦 𝑏′ ∗ 𝑏 = 𝑎 (𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑎 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑). 
La inspección de la tabla para la operación * muestra que 𝑏′ se puede reemplazarse 
con 𝑐. 
𝑏 ∗ 𝑐 = 𝑎 𝑦 𝑐 ∗ 𝑏 = 𝑎. 
Podemos inspeccionar la tabla para ver si todo elemento de nuestro sistema tiene un 
inverso en el sistema. Vemos (en la tabla) que el elemento identidad 𝑎 aparece 
exactamente una vez en cada renglón, y que en cada caso, la pareja de elementos que 
producen a también la produce en orden inverso. Por lo tanto, concluimos que el 
sistema satisface la propiedad del inverso. 
elemento 
de G 
a b c d 
inverso a c b d 
 
En resumen, el sistema matemático formado por el conjunto 𝐺 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} y la 
operación * satisface las propiedades de clausura (ley de composición interna), 
conmutativa, asociativa, de la identidad (neutro) y del inverso. Por lo tanto, 
(𝐺 ,∗ ) 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜 𝑎𝑏𝑒𝑙𝑖𝑎𝑛𝑜 𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑚𝑢𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜. 
 
EJERCICIO 
Las tablas en los sistemas matemáticos finitos pueden obtenerse de diferentes 
maneras. Por ejemplo, empecemos con un cuadrado, como se muestra en la figura. 
Los símbolos 𝑄, 𝑀, 𝑁, 𝑃 pueden definirse como se muestra en la figura. 
 
 Sea 𝑄 la rotación cero deja al cuadrado como está. 
 
 
 
 
 Sea 𝑀 la rotación de 90º en sentido de las manecillas del reloj, 
 Con respecto a su posición original. 
 
se 
 Sea 𝑁 la rotación de 180º en sentido de las manecillas del reloj, 
 Con respecto a su posición original. 
 
 Sea 𝑃 la rotación de 270º en sentido de las manecillas del reloj, 
 Con respecto a su posición original. 
4 1 
 
3 2 
3333 
3 4 
 
2 1 
3333 
2 3 
 
1 4 
3333 
1 2 
 
4 3 
3333 
Se define la operación * como sigue. Por ejemplo para evaluar 𝑀 ∗ 𝑁, primero 
realizamos 𝑀 girando el cuadrado 90º. Luego, realizamos la operación girando el 
cuadrado 180º más. El resultado es el mismo que si solo hubiéramos realizado 𝑃. 
Así, 𝑀 ∗ 𝑁 = 𝑃 
 
Iniciar con 𝑄 Realizar 𝑀 Iniciar con 𝑀 y realizar 𝑁 
 
 
 
 
Utilice este método para determinar cada uno de los siguientes apartados 
a. 𝑀 ∗ 𝑃 = 
b. 𝑀 ∗ 𝑀 = 
c. 𝑃 ∗ 𝑀 = 
d. 𝑄 ∗ 𝑃 = 
Complete la tabla 
* M N P Q 
M 
N 
P 
Q 
 
¿Cuáles de las propiedades se satisfacen por este sistema? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 1 
 
3 2 
3333 
3 4 
 
2 1 
3333 
1 2 
 
4 3 
3333