Formulas metodo Jacobi

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Método de Jacobi 
Matriz Diagonalmente Dominante 
Sistemas de diagonales dominantes: 
Consideremos un sistema de orden n de ecuaciones lineales, así: 
[
 
 
 
 
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
 
 𝑎13 … .
 𝑎23 … .
 
𝑎3𝑛
𝑎3𝑛
𝑎31 𝑎32
. .
 
𝑎33 … .
. .
 
𝑎3𝑛
.. .
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 
. .
𝑎𝑛3 … . 
.
𝑎3𝑛 ]
 
 
 
 
[
 
 
 
 
 
𝑥1
𝑥2
𝑥3
.
.
𝑥𝑛]
 
 
 
 
 
=
[
 
 
 
 
 
𝑏1
𝑏2
𝑏3
.
.
𝑏𝑛]
 
 
 
 
 
 
Se dice que el sistema es diagonalmente dominante si el valor absoluto de un 
elemento sobre la diagonal principal de la matriz del sistema es mayor que el valor 
absoluto de los demás elementos de la fila correspondiente. 
|𝑎𝑖𝑖| > |𝑎𝑖𝑗| 
EJEMPLO: 
El siguiente sistema, por ejemplo, es diagonalmente dominante: 
[
 
 
 
 
3 1
1 −4
 
−2 0
2 3
 
 1
−1
2 0
0 2
 
 3 1
 −2 5
 
−2
 1
1 2 3 4 5]
 
 
 
 
[
 
 
 
 
 
𝑥1
𝑥2
𝑥3
.
.
𝑥𝑛]
 
 
 
 
 
=
[
 
 
 
 
2
3
5
2
1]
 
 
 
 
 
Los sistemas diagonalmente dominantes se pueden resolver numéricamente por 
dos métodos diferentes, según veremos a continuación. 
El método consiste en escribir el sistema, por simplicidad lo tomamos de orden 
cuatro, en la siguiente forma: 
 
[
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
] =
[
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑏1 − 𝑎12𝑥2 − 𝑎13𝑥3 − 𝑎14𝑥4
𝑎11
𝑏2 − 𝑎21𝑥1 − 𝑎23𝑥3 − 𝑎24𝑥4
𝑎22
𝑏3 − 𝑎31𝑥1 − 𝑎32𝑥2 − 𝑎34𝑥4
𝑎44
𝑏4 − 𝑎41𝑥1 − 𝑎42𝑥2 − 𝑎43𝑥3
𝑎44 ]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Denotamos por 𝑥 al vector solución, así: 
𝑥 = [
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
] 
Con base en lo anterior resulta una ecuación matricial de la forma 𝑥 = 𝑔(𝑥). 
Puede notarse la similitud con el caso de la solución de una ecuación con una 
incógnita por el método de iteración de punto fijo 𝑥 = 𝑔(𝑥). Recordemos que para 
el caso de una variable se genera la sucesión: 𝑥𝑘 
 
Por analogía se puede pensar que se debe generar una sucesión de vectores 𝑥(𝑘), 
𝑥(𝑘+1) = 𝑔(𝑥(𝑘)) 
 
Se están usando superíndices para el caso vectorial. La convergencia de la 
sucesión vectorial está asociada al hecho de que el sistema es diagonalmente 
dominante. 
 
EJEMPLO 1: 
Encuentre la solución aproximada del siguiente sistema, por el método de Jacobi y 
compare con la solución exacta 
[
2 1 1
1 −3 2
−1 2 4
] [
𝑥
𝑦
𝑧
] = [
3
1
2
] 
 
Solución: 
Como puede verse, el sistema es diagonalmente dominante y se puede expresar 
en la forma: 
𝒙𝒌+𝟏 =
3−𝑦𝑘−𝑧𝑘
2
 𝒙 = 𝟏. 𝟓𝟎𝟎𝟎 
𝒚𝒌+𝟏 =
1−𝑥𝑘−2𝑧𝑘
−3
 𝒚 = −𝟎. 𝟑𝟑𝟑𝟑 
𝒛𝒌+𝟏 =
2+𝑥𝑘−2𝑦𝑘
4
 𝒛 = 𝟎. 𝟓𝟎𝟎𝟎 
 
𝑁𝑜. 𝐼𝑡𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑥 𝑦 𝑧 
0 1.5 −0.33333 0.5 
1 1.41667 0.5 1.04167 
2 0.72917 0.83333 0.60417 
3 0.78125 0.32150 0.26562 
4 1.21094 0.10417 0.53906 
 
𝒙𝟏 =
3 − (−0.33333) − 0.5
2
= 𝟏. 𝟒𝟏𝟔𝟔𝟕 
𝒚𝟏 =
1 − 1.5 − 2(0.5)
−3
= 𝟎. 𝟓 
𝒛𝟏 =
2 + 1.5 − 2(−0.33333)
4
= 𝟏. 𝟎𝟒𝟏𝟔𝟕 
 
Para calcular el valor de error porcentual, primero debemos de obtener el valor 
verdadero de cada una de las variables: 
[ 
𝑥
𝑦
𝑧
 ] = [ 
1.02564
0.38462 
0.56410
] → 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝑽𝒆𝒓𝒅𝒂𝒅𝒆𝒓𝒐𝒔 
Y ahora si podemos realizar nuestra sustitución en la formula que ya se había 
visto antes: 
 
𝑬𝒓𝒓𝒐𝒓 𝑷𝒐𝒓𝒄𝒆𝒏𝒕𝒖𝒂𝒍 = |
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜 − 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐴𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜
| × 100% 
Lo que nos da como resultados: 
𝑬𝒑𝒙 = 18.06677% 
𝑬𝒑𝒚 = 72.91612% 
𝐸𝑝𝑧 = 4.43890% 
 
EJEMPLO 2: 
5𝑥 − 10𝑦 + 3𝑧
𝑥 + 3𝑦 + 10𝑧
10𝑥 + 3𝑦 + 𝑧
= −5
= 14
= 14
 
 
10𝑥 + 3𝑦 + 𝑧
5𝑥 − 10𝑦 + 3𝑧
𝑥 + 3𝑦 + 10𝑧
= 14
= −5
= 14
 
 
Nuestro despeje de variables quedaría así: 
𝒙 =
14 − 3𝑦 − 𝑧
10
 
𝒚 =
−5 − 5𝑥 − 3𝑧
−10
 
𝒛 =
14 − 𝑥 − 3𝑦
10
 
Ahora podemos proceder con realizar cada iteración: 
Primera iteración 
𝒙 =
14 − 3(0) − 0
10
= 𝟏. 𝟒 
𝒚 =
−5 − 5(0) − 3(0)
−10
= 𝟎. 𝟓 
𝒛 =
14 − 0 − 3(0)
10
= 𝟏. 𝟒 
Segunda iteración 
 
𝒙 =
14 − 3(0.5) − 1.4
10
= 𝟏. 𝟏𝟏 
𝒚 =
−5 − 5(1.4) − 3(1.4)
−10
= 𝟏. 𝟔𝟐 
𝒛 =
14 − 1.4 − 3(0.5)
10
= 𝟏. 𝟏𝟏 
 
 
𝑥 𝑦 𝑍 
0 0 0 
1.4 0.5 1.4 
1.11 1.62 1.11 
0.803 1.388 0.803 
0.9033 1.1424 0.9033 
0.96695 1.22264 0.96695