propiedades_exponencial_logaritmo

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Dr. Ariel Zandivarez CAPÍTULO 4
Habiendo introducido la función, vayamos a su gráfico y el de su inversa. Como
dijimos hace un rato, estas funciones cumplen con lo siguiente (con el mismo
procedimiento que en el inciso a)
f(x) = ex
f(G(x)) = eG(x)
f(G(x)) = x = eG(x)
ln(x) = ln(eG(x)) = G(x) = f−1(x)
Sus gráficas tiene que respetar ciertas caracteŕısticas básicas:
• ex: Dominio R, Imagen R > 0, e0 = 1
• ln(x): Dominio R > 0, Imagen R, ln(1) = 0
ex
ln(x)
y = x
x
y
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
−3
−2
−1
1
2
3
S3. Encuentre las soluciones a las siguientes encuaciones:
Antes de ir con el ejercicio es importante recordar las propiedades de las funciones
exponenciales y logaritmicas.
En primer lugar, recordemos que hemos visto el par de funciones exponencial, ex,
y logaritmo natural, ln(x), y que una es la inversa de la otra. Ahora vamos a
generalizar estas funciones para hablar de la familia de funciones exponenciales y
las funciones logaritmicas. Llamaremos funciones exponenciales a las funciones del
tipo
f(x) = ax con a ∈ R− {1} y a > 0
la función exponencial que vimos anteriormente es una más dentro de esta familia.
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CAPÍTULO 4 Dr. Ariel Zandivarez
En general las funciones exponenciales cumpliran con las siguientes propiedades:
a0 = 1
ax+y = ax.ay
a−x =
1
ax
ax−y = ax+(−y) = ax.a−y = ax.
1
ay
=
ax
ay
ax = ex. ln(a)
Esta última relación es muy importante ya que permite pasar de una función ex-
ponencial en una dada base a a otra en base e.
Algo análogo ocurre con los logaritmos, estos también vienen en distintas bases:
f(x) = loga(x) con a ∈ R− {1} y a > 0 y x > 0
El logaritmo natural pertenece también a esta familia y es conocido como el log-
artimo en base e (loge(x) = ln(x)). Esta manera de escribir los logaritmos nos
permite evidenciar una manera de entenderlos: podemos decir que el resultado, c,
que se obtiene al calcular un logaritmo es el ”exponente” al que hay que elevar la
”base” para obtener lo que hay en el ”argumento”, es decir
loga(b) = c ⇐⇒ ac = b
Ejemplo:
log10(1000) = 3 ⇐⇒ 103 = 1000
Los logartimos cumplen con las siguientes propiedades
loga(1) = 0
loga(a) = 1
loga(a
n) = n
loga(x.y) = loga(x) + loga(y)
loga(
x
y
) = loga(x)− loga(y)
loga(x
n) = n. loga(x)
loga(x) =
logb(x)
logb(a)
=
ln(x)
ln(a)
Nuevamente, esta última relación es la fundamental para transformar entre logar-
timos de distintas bases. En estas propiedades podemos notar las razones por las
que el antes mencionado John Naiper amaba los logartimos. Como puede verse, el
logaritmo de la multiplicación de dos números puede trasladarse a sumar dos loga-
ritmos, o el logaritmo de la división de dos números en la resta de dos logaritmos.
Por lo tanto, en vez de realizar operaciones complicadas como multiplicar un par de
números grandes, Naiper propońıa sumar el logaritmo de cada número (que eran
numeros más chicos y que aparećıan en sus tablas) y después buscar la suma en la
tabla de antilogaritmos y obtener el resultado que daŕıa la multiplicación. En esta
época de computadoras, esto no parece un gran avance, pero hace 400 años, esto
era un enorme ahorro de tiempo!.
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