Moises Lazaro - ecuaciones-diferenciales

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INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA Página 1 
 
 
 
 
 
 
CARRERA PROFESIONAL DE INGENIERÍA 
MECÁNICA Y ELÉCTRICA 
ECUACIONES DIFERENCIALES Y APLICACIONES 
“ecuaciones difrenciales lineales de primer orden, ecuaciones de 
Bernoulli, ecuaciones de Riccati y Aplicaciones” 
PRESENTADO POR: 
 CHILCON TENORIO, Evil 
VASQUEZ GOMES, Carlos 
VERA GONSALEZ, Nestor 
AREVALO REQUEJO, Alindor 
DOCENTE: 
Mgtr.ROMAN CASTILLO, Enny 
 
JAÉN- PERÚ 
2013 
UNIVERSIDAD 
NACIONAL DE JAEN 
 
 
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Ecuaciones diferenciales Lineales de Primer Orden 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Ecuaciones Diferenciales de Riccati 
① 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= −𝒙𝒚𝟐 + (𝟐𝒙 − 𝟏)𝒚 = 𝒙 − 𝟏, 𝒖𝒏𝒂 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒆𝒔 𝝋(𝑿) = 𝟏 
𝑺𝑶𝑳𝑼𝑪𝑰Ó𝑵: 
𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒍𝒂 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏: 𝒚 = 𝒛 + 𝝋(𝒙) = 𝒛 + 𝟏 ⟹ 𝒚′ = 𝒛′ 
𝑹𝒆𝒆𝒎𝒑𝒍𝒂𝒛𝒂𝒎𝒐𝒔: 
𝒅𝒛
𝒅𝒙
− 𝒙(𝒛 + 𝟏)𝟐 + (𝟐𝒙 − 𝟏)(𝒛 + 𝟏) = 𝒙 − 𝟏 
𝒅𝒛
𝒅𝒙
− 𝒙𝒛𝟐 − 𝟐𝒙𝒛 − 𝒙 + 𝟐𝒙𝒛 − 𝒛 + 𝟐𝒙 − 𝟏 = 𝒙 − 𝟏 
𝒅𝒛
𝒅𝒙
− 𝒙𝒛𝟐 − 𝒛 = 𝟎 ⇒
𝒅𝒛
𝒅𝒙
− 𝒛 = 𝒙𝒛𝟐 
𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝑩𝒆𝒓𝒏𝒐𝒖𝒍𝒍𝒊 𝒄𝒐𝒏 𝒏 = 𝟐 𝒕 = 𝒛𝟏−𝟐 = 𝒛−𝟏 ⇒ 𝒕′ = −𝒛−𝟐𝒛′ 𝒛′ = 𝒛𝟐𝒕′ 
−𝒛𝟐
𝒅𝒕
𝒅𝒙
− 𝒛 = 𝒙𝒛𝟐 ⇒ 
𝒅𝒕
𝒅𝒙
+ 𝒛−𝟏 = −𝒙 ⇒ 
𝒅𝒕
𝒅𝒙
+ 𝒕 = −𝒙 … … … 𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒍𝒊𝒏𝒆𝒂𝒍 
𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒍𝒊𝒏𝒆𝒂𝒍: 𝒕 = 𝒆− ∫ 𝑷(𝒙)𝒅𝒙 [∫ 𝒆∫ 𝑷(𝒙)𝒅𝒙𝑸(𝒙)𝒅𝒙 + 𝑪] 
𝒕 = 𝒆− ∫ 𝒅𝒙 [∫ 𝒆∫ 𝒅𝒙(−𝒙)𝒅𝒙 + 𝑪] ⇒ 𝒛−𝟏 = 𝒆−𝒙 [− ∫ 𝒆𝒙(𝒙)𝒅𝒙 + 𝑪] 
 
 
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𝑰𝒏𝒕𝒆𝒈𝒓𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒑𝒐𝒓 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒆𝒔: 𝒖 = 𝒙 ⇒ 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 ; 𝒗 = ∫ 𝒆𝒙𝒅𝒙 = 𝒆𝒙 
𝒛−𝟏𝒆−𝒙 [−𝒙𝒆𝒙 + ∫ 𝒆𝒙𝒅𝒙 + 𝑪] 
𝒛−𝟏 = 𝒆−𝒙[𝒆𝒙 − 𝒙𝒆𝒙 + 𝑪] 
𝒛 =
𝒆𝒙
𝒆𝒙 − 𝒙𝒆𝒙 + 𝑪
 
𝒚 = 𝟏 +
𝒆𝒙
𝒆𝒙 − 𝒙𝒆𝒙 + 𝑪
 
 
 
 
 
② 
𝒅𝒚
𝒅𝒛
−𝟖𝒙𝒚𝟐 + 𝟒𝒙(𝟒𝒙 + 𝟏)𝒚 − (𝟖𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟐 − 𝟏) ; 𝒖𝒏𝒂 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒆𝒔 𝝋(𝒙) = 𝒙 
𝑺𝑶𝑳𝑼𝑪𝑰Ó𝑵: 
𝑺𝒆𝒂 𝒚 = 𝒛 + 𝒙 𝒍𝒂 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏: 
𝒛′ + 𝟏 = −𝟖𝒙(𝒙 + 𝒛)𝟐 + 𝟒𝒙(𝟒𝒙 + 𝟏)(𝒛 + 𝒙) 
−𝟖𝒙𝟑 − 𝟒𝒙𝟐 + 𝟏 
𝒚 = 𝒛 + 𝒙 ⟹ 𝒚′ = 𝒛′ + 𝟏 
𝒛′ = −𝟖𝒙(𝒙𝟐𝟐𝒙𝒛 + 𝒛𝟐) + 𝟒𝒙(𝟒𝒙𝒛 + 𝒛 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝒙) 
𝒛′ = −𝟖𝒙𝒛𝟐 + 𝟒𝒙𝒛 = 𝟎 
𝒛′ = −𝟒𝒙𝒛 = −𝟖𝒙𝒛𝟐 ; 𝒏 = 𝟐 
 𝒕 = 𝒛𝟏−𝟐 = 𝒛−𝟏 ⇒ 𝒕′ = −𝒛−𝟐𝒛′ 
 𝒕′ = −𝒛−𝟐𝒛′ ⇒ 𝒛′ = −𝒛𝟐𝒕′ 
 ⇒ −𝒛𝟏𝒕′ − 𝟒𝒙𝒛 = −𝟖𝒙𝒛𝟐 ⇒ 𝒕′𝟒𝒙𝒛−𝟏 = 𝟖𝒙 
𝒕′ + 𝟒𝒙𝒕 = 𝟖𝒙 ⇒ 𝒕𝒚 = 𝒆−𝟒 ∫ 𝒙𝒅𝒙 [∫ 𝒆𝟒 ∫ 𝒙𝒅𝒙(𝟖𝒙)𝒅𝒙 + 𝑪] 
𝒛−𝟏 = 𝒆−𝟐𝒙
𝟐
(𝟖 ∫ 𝒆𝟐𝒙
𝟐
𝒙𝒅𝒙 + 𝑪) 
𝑦 = 1 +
1
1 − 𝑥 + 𝐶𝑒−𝑥
 
 
 
 
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𝒆−𝟐𝒙
𝟐
[𝟐𝒆𝟐𝒙
𝟐
+ 𝑪] = 𝟐 + 𝑪𝒆−𝟐𝒙
𝟐
 
 
 
 
 
③ 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
− 𝒚𝟐 𝐬𝐢𝐧(𝒙) =
𝟐 𝐬𝐢𝐧(𝒙)
𝒄𝒐𝒔𝟐(𝒙)
 ; 𝒖𝒏𝒂 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒆𝒔 𝝋 =
𝟏
𝐜𝐨𝐬(𝑿)
 
𝑺𝑶𝑳𝑼𝑪𝑰Ó𝑵: 
𝒚 = 𝒛 −
𝟏
𝐜𝐨𝐬 𝒙
⟹ 𝒚′ = 𝒛′ +
𝐬𝐢𝐧(𝒙)
𝒄𝒐𝒔𝟐(𝒙)
⇒ 𝒛′ + (𝒛 +
𝟏
𝐜𝐨𝐬 𝒙
)
𝟐
𝐬𝐢𝐧 𝒙 =
𝐬𝐢𝐧(𝒙)
𝒄𝒐𝒔𝟐(𝒙)
 
𝒛′ + (𝒛𝟐 +
𝟐𝒛
𝐜𝐨𝐬 𝒙
+
𝟏
𝒄𝒐𝒔𝒙
) 𝐬𝐢𝐧(𝒙) =
𝐬𝐢𝐧(𝒙)
𝒄𝒐𝒔𝟐(𝒙)
 
𝒛′ + 𝒛𝟐 𝐬𝐢𝐧(𝒙) +
𝟐𝒛 𝐬𝐢𝐧 𝒙
𝐜𝐬𝐜 𝒙
= 𝟎 
𝒛′ +
𝟐𝒛 𝐬𝐢𝐧 𝒙
𝐜𝐬𝐜 𝒙
= 𝒛𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒙 
𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒃𝒆𝒓𝒏𝒐𝒖𝒍𝒍𝒊 𝒄𝒐𝒏 𝒏 = 𝟐 
𝒕 = 𝒛𝟏−𝟐 = 𝒛−𝟏 ⇒ 𝒕′ = −𝒛−𝟐𝒛′ ⇒ 𝒛′ = −𝒛𝟐𝒕′ … 𝑬𝒏 𝒍𝒂 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂𝒍 
−𝒛𝟐𝒕′ +
𝟐𝒕 𝐬𝐢𝐧 𝒙
𝐜𝐨𝐬 𝒙
= 𝐬𝐢𝐧(𝒙) 
𝒕′ −
𝟐𝒕 𝐬𝐢𝐧 𝒙
𝐜𝐨𝐬 𝒙
𝐬𝐢𝐧(𝒙) ⇒ 𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒍𝒊𝒏𝒆𝒂𝒍 
𝒕 = 𝒆∫
𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒙𝒅𝒙
𝐜𝐨𝐬 𝒙 [∫ 𝒆∫
𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒙𝒅𝒙
𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐬𝐢𝐧(𝒙)𝒅𝒙 + 𝑪] 
𝒕 = 𝒆−𝟐𝒍𝒏[𝐜𝐨𝐬(𝒙)] [∫ 𝒆𝟐𝒍𝒏[𝐜𝐨𝐬 𝒙] 𝐬𝐢𝐧(𝒙)𝒅𝒙 + 𝑪] 
𝒕 = 𝒆𝒍𝒏[𝐜𝐨𝐬 𝒙]
−𝟐
[∫ 𝒆𝒍𝒏[𝐜𝐨𝐬 𝒙]
𝟐
𝐬𝐢𝐧(𝒙)𝒅𝒙 + 𝑪] 
𝒕 = [𝐜𝐨𝐬(𝒙)]−𝟐 [∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐(𝒙) 𝐬𝐢𝐧(𝒙)𝒅𝒙 + 𝑪] 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒕 = 𝒛−𝟏 
𝒛−𝟏 = 𝒔𝒆𝒄𝟐(𝒙) [−
𝒄𝒐𝒔𝟑(𝒙)
𝟑
+ 𝑪] 
⇒ 𝑦 = [2 + 𝐶𝑒−2𝑥
2
]
−1
+ 𝑥 
 
 
 
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④ 𝒙𝟑𝒚′ = 𝒙𝟐𝒚 + 𝒚𝟐 − 𝒙𝟐 ; 𝒖𝒏𝒂 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒆𝒔 𝝋(𝒙) = 𝒙 
𝑺𝑶𝑳𝑼𝑪𝑰Ó𝑵: 
𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒍𝒂 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏: 
𝒚 = 𝒛 + 𝝋(𝒙) = 𝒛 + 𝒙 
𝑫𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒏 𝒓𝒆𝒔𝒑𝒆𝒄𝒕𝒐 𝒂 𝑿: 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝒅𝒛
𝒅𝒙
+ 𝟏 
𝑳𝒖𝒆𝒈𝒐 𝒓𝒆𝒆𝒎𝒑𝒍𝒂𝒛𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂𝒍: 
𝒚′ =
𝒚𝟐
𝒙𝟑
+
𝒚
𝒙
−
𝟏
𝒙
 
 
𝒅𝒛
𝒅𝒙
+ 𝟏 =
(𝒛 + 𝒙)𝟐
𝒙𝟑
+
𝒛 + 𝒙
𝒙
+
𝟏
𝒙
 
𝒅𝒛
𝒅𝒙
=
𝒛𝟐 + 𝟐𝒙𝒛 + 𝒙𝟐
𝒙𝟑
+
𝒛
𝒙
−
𝟏
𝒙
 
𝒅𝒛
𝒅𝒙
=
𝒛𝟐 + 𝟑𝒙𝒛
𝒙𝟑
 
𝒅𝒛
𝒅𝒙
−
𝟑𝒛
𝒙𝟐
=
𝒛𝟐
𝒙𝟑
… . 𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒃𝒆𝒓𝒏𝒐𝒖𝒍𝒍𝒊 𝒄𝒐𝒏 𝒏 = 𝟐 
𝑾 = 𝒛𝟏−𝟐 = 𝒛𝟏 ⇒ 
𝒅𝒘
𝒅𝒙
= −𝒛−𝟐
𝒅𝒛
𝒅𝒙
 ⇒ −𝒛𝟐
𝒅𝒘
𝒅𝒙
 
𝑹𝒆𝒆𝒎𝒑𝒍𝒂𝒛𝒂𝒏𝒅𝒐: − 𝒛𝟐
𝒅𝒘
𝒅𝒙
−
𝟑𝒛
𝒙𝟐
= −
𝒛𝟐
𝒙𝟑
 
𝒅𝒘
𝒅𝒙
+
𝟑𝒛−𝟏
𝒙𝟐
= −
𝟐
𝒙𝟑
 
𝒅𝒘
𝒅𝒙
−
𝟑𝒘
𝒙𝟐
=
𝟐
𝒙𝟑
 
𝑦 = 𝑧 +
1
cos (x)
=
3𝑐𝑜𝑠2(𝑥)
𝐶 − 𝑐𝑜𝑠3(𝑥)
+ sec(𝑥) 
 
 
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𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó 𝒍𝒊𝒏𝒆𝒂𝒍: 𝒚 = 𝒆− ∫ 𝑷(𝒙)𝒅𝒙 [∫ 𝒆∫ 𝑷(𝒙)𝒅𝒙𝑸(𝒙)𝒅𝒙 + 𝑪] 
𝒘 = 𝒆− ∫
𝟑𝒅𝒙
𝒙 [∫ 𝒆
𝟑𝒅𝒙
𝒙 (
𝟐
𝒙𝟑
) 𝒅𝒙 + 𝑪] 
𝒛−𝟏 = 𝒆−𝟑𝐥𝐧 (𝒙) [∫ 𝒆𝟑𝐥𝐧 (𝒙) (
𝟐
𝒙𝟑
) 𝒅𝒙 + 𝑪] 
𝒛−𝟏 = 𝒆𝐥𝐧 (𝒙
−𝟑) [∫ 𝒆𝐥𝐧 (𝒙
𝟑) (
𝟐
𝒙𝟑
) 𝒅𝒙 + 𝑪] = 𝒙−𝟑 [∫ 𝒙𝟑 (
𝟐
𝒙𝟑
) 𝒅𝒙 + 𝑪] 
𝒛−𝟏 = 𝒙−𝟑 [𝟐 ∫ 𝒅𝒙 + 𝑪] 
𝒛−𝟏 = 𝒙−𝟑(𝟐𝒙 + 𝑪) ⇒ 𝒛 =
𝒙𝟑
𝟐𝒙 + 𝑪
 
𝒚 = 𝒙 +
𝒙𝟑
𝟐𝒙 + 𝑪
 
 
 
 
⑤ 𝒙(𝒙 − 𝟏)
𝒅𝒚
𝒅𝒙
− (𝟐𝒙 + 𝟏)𝒚 + 𝒚𝟐 + 𝟐𝒙 = 𝟎 ; 𝒖𝒏𝒂 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒆𝒔 𝝋(𝒙) = 𝒙 
𝑺𝑶𝑳𝑼𝑪𝑰Ó𝑵: 
𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒍𝒂 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏: 
𝒚 = 𝒛 + 𝝋(𝒙) = 𝒛 + 𝒙 
𝑫𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒏 𝒓𝒆𝒔𝒑𝒆𝒄𝒕𝒐 𝒂 𝑿: 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝒅𝒛
𝒅𝒙
+ 𝟏 
𝑳𝒖𝒆𝒈𝒐 𝒓𝒆𝒆𝒎𝒑𝒍𝒂𝒛𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂𝒍: 
𝒙(𝒙 − 𝟏)
𝒅𝒚
𝒅𝒙
− (𝟐𝒙 + 𝟏)𝒚 + 𝒚𝟐 + 𝟐𝒙 = 𝟎 
𝒙(𝒙 − 𝟏) (
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝟏) − (𝟐𝒙 + 𝟏)(𝒛 + 𝒙) + (𝒛 + 𝒙)𝟐 + 𝟐𝒙 = 𝟎 
𝒙(𝒙 − 𝟏)
𝒅𝒚
𝒅𝒙
𝒙(𝒙 + 𝟏) − (𝟐𝒙 + 𝟏)𝒛 − 𝒙(𝟐𝒙 + 𝟏) + 𝒛𝟐 + 𝟐𝒙𝒛 + 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 = 𝟎 
𝑦 = 𝑥 +
𝑥3
2𝑥 + 𝐶
 
 
 
 
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𝒙(𝒙 − 𝟏)
𝒅𝒚
𝒅𝒙
− 𝒛 + 𝒛𝟐 = 𝟎 … 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔 𝒔𝒆𝒑𝒂𝒓𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔 
∫
𝒅𝒛
𝒛𝟐 − 𝒛
+ ∫
𝒅𝒛
𝒙𝟐 − 𝒙
= 𝟎 
∫
𝒅𝒛
(𝒛 −𝟏
𝟐)
𝟐
−
𝟏
𝟒
+ ∫
𝒅𝒙
(𝒙 −
𝟏
𝟐)
𝟐
−
𝟏
𝟒
= 𝟎 
𝒍𝒏 (
𝒛 −
𝟏
𝟐 +
𝟏
𝟐
𝒛 −
𝟏
𝟐 −
𝟏
𝟐
) + 𝒍𝒏 (
𝒙 −
𝟏
𝟐 +
𝟏
𝟐
𝒙 −
𝟏
𝟐 −
𝟏
𝟐
) = 𝐥𝐧 (𝑪) 
𝒍𝒏 (
𝒛
𝒛 − 𝟏
) (
𝒙
𝒙 − 𝟏
) = 𝐥𝐧 (𝑪) 
 
 
 
 
 
⑥ 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒚𝟐 −
𝒚
𝒙
+ 𝟏 −
𝟏
𝟒𝒙𝟐
 ; 𝝋(𝒙) =
𝟏
𝟐𝒙
+ 𝐭𝐚𝐧 𝒙 
𝑺𝑶𝑳𝑼𝑪𝑰Ó𝑵: 
𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒍𝒂 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏: 
𝑫𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒏 𝒓𝒆𝒔𝒑𝒆𝒄𝒕𝒐 𝒂 𝑿: 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝒅𝒛
𝒅𝒙
−
𝟏
𝟐𝒙𝟐
+ 𝒔𝒆𝒄𝟐(𝒙) 
𝑳𝒖𝒆𝒈𝒐 𝒂𝒍 𝒓𝒆𝒆𝒎𝒑𝒍𝒂𝒛𝒂𝒓 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂𝒍: 
𝒅𝒛
𝒅𝒙
−
𝟏
𝟐𝒙𝟐
+ 𝒔𝒆𝒄𝟐(𝒙) = [𝒛 +
𝟏
𝟐𝒙
+ 𝐭𝐚𝐧(𝒙)]
𝟐
−
𝟏
𝒙
[𝒛 +
𝟏
𝟐𝒙
+ 𝐭𝐚𝐧(𝒙)] + 𝟏 −
𝟏
𝟒𝒙𝟐
 
𝒅𝒛
𝒅𝒙
+ 𝒔𝒆𝒄𝟐(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒛 [
𝟏
𝟐𝒙
+ 𝐭𝐚𝐧(𝒙)] + [
𝟏
𝟐𝒙
+ 𝐭𝐚𝐧(𝒙)]
𝟐
−
𝟏
𝒙
[𝒛 + 𝐭𝐚𝐧(𝒙)] + 𝟏 −
𝟏
𝟒𝒙𝟐
 
𝒅𝒛
𝒅𝒙
+ 𝒔𝒆𝒄𝟐(𝒙) = 𝒛𝟐 + 𝟐𝒛 𝐭𝐚𝐧(𝒙) +
𝟏
𝟒𝒙𝟐
+
𝐭𝐚𝐧(𝒙)
𝒙
+ 𝒕𝒂𝒏𝟐(𝒙) −
𝐭𝐚𝐧(𝒙)
𝒙
+ 𝟏 −
𝟏
𝟒𝒙𝟐
 
 
(
𝑧
𝑧 − 1
) (
𝑥
𝑥 − 1
) = 𝐶 ; 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑧 = 𝑦 − 𝑥 
 
 
 
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𝒅𝒛
𝒅𝒙
+ 𝒔𝒆𝒄𝟐(𝒙) = 𝒛𝟐 + 𝟐𝒛 𝐭𝐚𝐧(𝒙) + 𝒕𝒂𝒏𝟐(𝒙) + 𝟏 … … 𝑷𝒆𝒓𝒐 𝒔𝒆𝒄𝟐(𝒙) = 𝒕𝒂𝒏𝟐(𝒙) + 𝟏 
𝒅𝒛
𝒅𝒙
+ 𝒔𝒆𝒄𝟐(𝒙) = 𝒛𝟐 + 𝟐𝒛 𝐭𝐚𝐧(𝒙) + 𝒔𝒆𝒄𝟐(𝒙) 
𝒅𝒛
𝒅𝒙
− 𝟐𝒛 𝐭𝐚𝐧(𝒙) = 𝒛𝟐 … . . 𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒃𝒆𝒓𝒏𝒐𝒖𝒍𝒍𝒊 𝒄𝒐𝒏 𝒏 = 𝟐 
𝒕 = 𝒛𝟏−𝟐 = 𝒛−𝟏 ⇒ 𝒕′ = 𝒛−𝟐 = 𝒛′ ⇒ 𝒛′ = 𝒛𝟐𝒕′ 
−𝒛𝟐
𝒅𝒕
𝒅𝒙
− 𝟐𝒛 𝐭𝐚𝐧(𝒙) = 𝒛𝟐 
 
𝒅𝒕
𝒅𝒙
− 𝟐𝒛−𝟏 𝐭𝐚𝐧(𝒙) = −𝟏 
 
𝒅𝒕
𝒅𝒙
𝟐𝒕 𝐭𝐚𝐧(𝒙) = −𝟏 
𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒍𝒊𝒏𝒆𝒂𝒍 𝒆𝒏 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒕: 
 𝒕 = 𝒆−𝟐 ∫ 𝒕𝒂𝒏(𝒙)𝒅𝒙 [∫ 𝒆∫ 𝒕𝒂𝒏(𝒙)𝒅𝒙(−𝟏)𝒅𝒙 + 𝑪] 
 𝒕 = 𝒆𝟐𝒍𝒏[𝐜𝐨𝐬(𝒙)] [− ∫ 𝒆−𝟐𝒍𝒏[𝐜𝐨𝐬(𝒙)] 𝒅𝒙 + 𝑪] 
𝒕 = 𝒆𝒍𝒏[𝐜𝐨𝐬(𝒙)]
𝟐
[− ∫[𝐜𝐨𝐬(𝒙)]𝟐𝒅𝒙 + 𝑪] = 𝒄𝒐𝒔𝟐(𝒙) [𝑪 − ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐(𝒙)𝒅𝒙] 
𝒛−𝟏 = 𝒄𝒐𝒔𝟐(𝒙)[𝑪 − 𝐭𝐚𝐧(𝒙)] 
 𝑳𝒖𝒆𝒈𝒐: 𝒚 = 𝒛 + 𝝋(𝒙) 
 
 
 
 
 
⑦ 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝒚𝟐 − (𝟏 + 𝟐𝒆𝟐)𝒚 + 𝒆𝟐𝒙 = 𝟎 ; 𝒖𝒏𝒂 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒆𝒔 𝒚 = 𝒆𝒙 
𝑺𝑶𝑳𝑼𝑪𝑰Ó𝑵: 
𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒍𝒂 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏: 
𝒚 = 𝒛 + 𝝋(𝒙) = 𝒛 + 𝒆𝒙 ⇒ 𝒚′ = 𝒛′ + 𝒆𝒙 
𝑦 =
1
𝑐𝑜𝑠2(𝑥)[𝐶 − tan(𝑥)]
+
1
2𝑥
tan(𝑥) 
 
 
 
INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA Página 20 
 
 
𝑹𝒆𝒆𝒎𝒑𝒍𝒂𝒛𝒂𝒏𝒅𝒐: 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝒆𝒙 + 𝒛 + 𝒆𝒙 − (𝟏 + 𝟐𝒆𝒙) (𝒛 + 𝒆𝒙) + 𝒆𝟐𝒙 = 𝟎 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝒛 − 𝒛 − 𝒆𝒙 − 𝟐𝒛𝒆𝒙 − 𝟐𝒆𝟐𝒙 + 𝒆𝟐𝒙 = 𝟎 
 
 
 
 
⑧ 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
 𝒔𝒆𝒏𝟐(𝒙)𝒚𝟐 +
𝒚
𝐬𝐢𝐧(𝒙) 𝐜𝐨𝐬(𝒙)
+ 𝒄𝒐𝒔𝟐(𝒙) = 𝟎; 𝒖𝒏𝒂 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒆𝒔 𝝋(𝒙)
=
𝐜𝐨𝐬(𝒙)
𝐬𝐢𝐧(𝒙)
 
 𝑺𝑶𝑳𝑼𝑪𝑰Ó𝑵: 
𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒍𝒂 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏: 
𝒚 = 𝒛 + 𝝋(𝒙) = 𝒛 + 𝐜𝐨𝐭(𝒙) 
𝒚′ = 𝒛′ − 𝒄𝒔𝒄𝟐(𝒙) 
𝑹𝒆𝒆𝒎𝒑𝒍𝒂𝒛𝒂𝒏𝒅𝒐: 
 
𝒅𝒛
𝒅𝒙
− 𝒄𝒔𝒄𝟐(𝒙) − 𝒔𝒊𝒏𝟐(𝒙)[𝒛 + 𝐜𝐨𝐭(𝒙)]𝟐 +
𝒛 + 𝐜𝐨𝐭(𝒙)
𝐬𝐢𝐧(𝒙) 𝐜𝐨𝐬(𝒙)
+ 𝒄𝒐𝒔𝟐(𝒙) = 𝟎 
𝒅𝒛
𝒅𝒙
 − 𝒄𝒔𝒄𝟐(𝒙) − 𝒔𝒊𝒏𝟐(𝒙)[𝒛𝟐 + 𝟐𝒛 𝐜𝐨𝐭(𝒙) + 𝒄𝒐𝒕𝟐(𝒙)] +
𝒛
𝐬𝐢𝐧(𝒙) 𝐜𝐨𝐬(𝒙)
+ 𝒄𝒔𝒄𝟐(𝒙) = 𝟎 
𝒅𝒛
𝒅𝒙
− 𝒛𝟐𝒔𝒊𝒏𝟐(𝒙) − 𝟐𝒛𝒔𝒆𝒏(𝒙) 𝐜𝐨𝐬(𝒙) − 𝒄𝒐𝒔𝟐(𝒙) +
𝒛
𝐬𝐢𝐧(𝒙) 𝐜𝐨𝐬(𝒙)
+ 𝒄𝒐𝒔𝟐(𝒙) = 𝟎 
𝒅𝒛
𝒅𝒙
− 𝒛 𝐬𝐢𝐧(𝟐𝒙) +
𝟐𝒛
𝐬𝐢𝐧(𝟐𝒙)
= 𝒛𝟐𝒔𝒊𝒏𝟐(𝒙) … … 𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒃𝒆𝒓𝒏𝒐𝒖𝒍𝒍𝒊 𝒄𝒐𝒏 𝒏 = 𝟐 
𝒓 = 𝒛𝟏−𝟐 = 𝒛−𝟏 ⇒ 
𝒅𝒓
𝒅𝒙
= 𝒛𝟐
𝒅𝒛
𝒅𝒙
 ⇒ 
𝒅𝒛
𝒅𝒙
= −𝒛𝟐
𝒅𝒓
𝒅𝒙
 
−𝒛𝟐
𝒅𝒓
𝒅𝒙
− 𝒛𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙) +
𝟐𝒛
𝐬𝐢𝐧(𝟐𝒙)
= 𝒛𝟐𝒔𝒊𝒏𝟐(𝒙) 
𝒅𝒓
𝒅𝒙
+ 𝒛−𝟏𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙) −
𝟐𝒛−𝟏
𝐬𝐢𝐧(𝟐𝒙)
− 𝒔𝒊𝒏𝟐(𝒙) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 2𝑒𝑥 + 𝑧2 − 𝑧 = 0 
 
 
 
INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA Página 21 
 
 
𝒅𝒓
𝒅𝒙
+ [𝐬𝐢𝐧(𝟐𝒙) −
𝟐𝒛
𝐬𝐢𝐧(𝟐𝒙)
] 𝒓 = −𝒔𝒊𝒏𝟐(𝒙) … . . 𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒍𝒊𝒏𝒆𝒂𝒍: 
𝒓 = 𝒆
− ∫[𝐬𝐢𝐧(𝟐𝒙)−
𝟐𝒛
𝐬𝐢𝐧(𝟐𝒙)
]𝒅𝒙
[∫ 𝒆
∫[𝐬𝐢𝐧(𝟐𝒙)−
𝟐𝒛
𝐬𝐢𝐧(𝟐𝒙)
]𝒅𝒙
[−𝒔𝒊𝒏𝟐(𝒙)]𝒅𝒙 + 𝑪] 
𝒛−𝟏 = 𝒆
𝟏
𝟐
𝐜𝐨𝐬(𝟐𝒙)+𝒍𝒏[𝐭𝐚𝐧(𝒙)] [∫ 𝒆−
𝟏
𝟐
𝐜𝐨𝐬(𝟐𝒙)−𝒍𝒏[𝐭𝐚𝐧(𝒙)][−𝒔𝒊𝒏𝟐(𝒙)]𝒅𝒙 + 𝑪] 
𝟏
𝒛
= 𝒆
𝟏
𝟐
𝐜𝐨𝐬(𝟐𝒙)+𝒍𝒏[𝐭𝐚𝐧(𝒙)] [[∫ 𝒆−
𝟏
𝟐
𝐜𝐨𝐬(𝟐𝒙)−𝒆𝒍𝒏[𝐭𝐚𝐧(𝒙)]
−𝟏
[−𝒔𝒊𝒏𝟐(𝒙)]𝒅𝒙 + 𝑪]] 
𝟏
𝒛
= 𝒆
𝟏
𝟐
𝐜𝐨𝐬(𝟐𝒙) 𝐭𝐚𝐧(𝒙) [− ∫ 𝒆−
𝟏
𝟐
𝐜𝐨𝐬(𝟐𝒙) 𝐜𝐨𝐭(𝒙)𝒔𝒊𝒏𝟐(𝒙)𝒅𝒙 + 𝑪] 
𝟏
𝒚 − 𝐜𝐨𝐭(𝒙)
= 𝒆
𝟏
𝟐
𝐜𝐨𝐬(𝟐𝒙) 𝐭𝐚𝐧(𝒙) [− ∫ 𝒆−
𝟏
𝟐
𝐜𝐨𝐬(𝟐𝒙) 𝐬𝐢𝐧(𝒙) 𝐜𝐨𝐬(𝒙)𝒅𝒙 + 𝑪] 
 
 
 
 
⑨ 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐(𝒙) − 𝒔𝒊𝒏𝟐(𝒙) + 𝒚𝟕
𝟐 𝐜𝐨𝐬(𝒙)
 ; 𝒖𝒏𝒂 𝒔𝒐𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒆𝒔 𝝋(𝒙) = 𝐬𝐢𝐧(𝒙) 
𝑺𝑶𝑳𝑼𝑪𝑰Ó𝑵: 
𝑺𝒆𝒂: 
𝒚 = 𝐬𝐢𝐧(𝒙) + 𝒛 , 
 𝒍𝒂 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂𝒍 𝒅𝒂𝒅, 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒛 𝒆𝒔 𝒖𝒏𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝒑𝒐𝒓 𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒓. 
𝑫𝒆𝒓𝒊𝒗𝒆𝒎𝒐𝒔: 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝐜𝐨𝐬(𝒙) +
𝒅𝒛
𝒅𝒙
 
𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒊𝒎𝒐𝒔𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂𝒍 𝒅𝒂𝒅𝒂: 
𝐜𝐨𝐬(𝒙) +
𝒅𝒛
𝒅𝒙
=
𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐(𝒙) − 𝒔𝒊𝒏𝟐(𝒙) + 𝒚𝟕
𝟐 𝐜𝐨𝐬(𝒙)
 
𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐(𝒙) + 𝟐 𝐜𝐨𝐬(𝒙)
𝒅𝒛
𝒅𝒙
= 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐(𝒙) − 𝒔𝒊𝒏𝟐(𝒙) + [𝐬𝐢𝐧(𝒙) + 𝒛]𝟕 
1
𝑦 − cot(𝑥)
= 𝑒
1
2
cos(2𝑥) tan(𝑥) [𝐶 + 𝑒−
1
2
cos(2𝑥)] 
 
 
 
INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA Página 22 
 
 
𝟐 𝐜𝐨𝐬(𝒙)
𝒅𝒛
𝒅𝒙
− 𝒔𝒊𝒏𝟐(𝒙) + [𝐬𝐢𝐧(𝒙) + 𝒛]𝟐 
𝟐𝒄𝒐𝒔
𝒅𝒛
𝒅𝒙
= −𝒔𝒊𝒏𝟐(𝒙)+𝒔𝒊𝒏𝟐(𝒙) + 𝟐𝒛 𝐬𝐢𝐧(𝒙) + 𝒛𝟐 
𝟐 𝐜𝐨𝐬(𝒙)
𝒅𝒛
𝒅𝒙
= 𝟐𝒛 𝐬𝐢𝐧(𝒙) + 𝒛𝟐
𝒅𝒛
𝒅𝒙
− 𝐭𝐚𝐧(𝒙) 𝒛 =
𝟏
𝟐
𝐬𝐞𝐜(𝒙)𝒛𝟐 … … 𝒏 = 𝟐 
𝒖 = 𝒛𝟏−𝟐 = 𝒛−𝟏 ⇒ 𝒖′ = −𝒛−𝟐𝒛′ ⇒ 𝒛′ − 𝒛𝟐𝒖′ 
−𝒛𝟐𝒖′ − 𝐭𝐚𝐧(𝒙) 𝒛 =
𝟏
𝟐
𝐬𝐞𝐜(𝒙)𝒛𝟐 𝒖′ + 𝐭𝐚𝐧(𝒙) 𝒛−𝟏 = −
𝟏
𝟐
𝐬𝐞𝐜(𝒙) 
𝒖′ 𝐭𝐚𝐧(𝒙)𝒖 = −
𝟏
𝟐
𝐬𝐞𝐜(𝒙) 
𝒛−𝟏 = 𝒆− ∫ 𝐭𝐚𝐧(𝒙)𝒅𝒙 [∫ 𝒆∫ 𝐭𝐚𝐧(𝒙)𝒅𝒙 (−
𝟏
𝟐
) 𝐬𝐞𝐜(𝒙) 𝒅𝒙 + 𝑪] 
𝒖 = 𝒆𝒍𝒏[𝐜𝐨𝐬(𝒙)] [−
𝟏
𝟐
∫ 𝒆𝒆𝒍𝒏[𝐬𝐞𝐜(𝒙)] 𝐬𝐞𝐜(𝒙) 𝒅𝒙 + 𝑪] 
𝒖 = 𝐜𝐨𝐬(𝒙) [−
𝟏
𝟐
∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐(𝒙)𝒅𝒙 + 𝑪] 
𝒖 = 𝐜𝐨𝐬(𝒙) [−
𝟏
𝟐
𝐭𝐚𝐧(𝒙) + 𝑪] 
𝒖 = 𝑪 𝐜𝐨𝐬(𝒙) −
𝟏
𝟐
𝐬𝐢𝐧(𝒙) 𝒛 = [𝑪 𝐜𝐨𝐬(𝒙) −
𝟏
𝟐
𝐬𝐢𝐧(𝒙)] 
𝒚 − 𝐬𝐢𝐧(𝒙) = [𝑪 𝐜𝐨𝐬(𝒙) −
𝟏
𝟐
𝐬𝐢𝐧(𝒙)]
−𝟏
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑦 = sin(𝑥) + [𝐶 cos(𝑥) −
1
2
sin(𝑥)]
−1
 
 
 
 
INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA Página 23 
 
 
Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales 
1._ La razón del incremento de las ventas S, a medida que crece la gestión 
de propaganda x es igual a una constante menos las ventas divididas por 
una constante más la gestión de propagandas. Hallar la relación entre las 
ventas de gestión de propaganda si 𝑺 = 𝑺𝟎 , Cuando 𝑿 = 𝑿𝟎. Graficar la 
relación obtenida. 
 
SOLUCION 
La razón de incremento de las ventas S, a medida que crece la gestión de 
propaganda X: 
𝒅𝑺
𝒅𝒙
=
𝒂 − 𝑺
𝒃 + 𝒙
 
Separamos las variables: ∫
𝒅𝑺
𝒂−𝑺
= ∫
𝒅𝒙
𝒃+𝒙
 𝑳𝒏(𝒌) − 𝑳𝒏(𝒂 − 𝑺) = 𝑳𝒏(𝒃 +
𝒙) 
 𝑳𝒏 (
𝒌
𝒂−𝒔
) = 𝑳𝒏(𝒃 + 𝒙) 
𝒌
𝒂−𝒔
= 𝒙 + 𝒃 Si 𝑺 =
𝑺𝟎 𝒙 = 𝒙𝟎 
𝒌
𝒂−𝒔𝟎
= 𝒙𝟎 + 𝒃 𝒌 = (𝒂 − 𝒔𝟎)(𝒙𝟎 + 𝒃) Luego 
(𝒂−𝒔𝟎)(𝒙𝟎+𝒃)
𝒂−𝑺
= 𝒙 + 𝒃 
𝑺 = 𝒂
(𝒂 − 𝑺𝟎)(𝒙𝟎 + 𝒃)
𝒙 + 𝒃
 
2._ Se conecta en serie una inductancia de 1Henry y una resistencia de 2 Ω, 
con una batería de 6𝒆−𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟏𝒕 volts, inicialmente no fluye ninguna corriente. 
¿Cuánto llegara la corriente a 0.5 Amperios? 
SOLUCION 
La ecuación diferencial de un circuito de un circuito LR en serie es: 
𝑳
𝒅𝒍
𝒅𝒕
+ 𝑰𝑹 = 𝓔 
𝒅𝒍
𝒅𝒕
+ 𝟐𝒍 = 𝟔𝒆−𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟏𝒕 
La ecuación diferencial anterior es lineal o variables separables, si ℰ es 
constante: 
𝒍 = 𝒆−𝟐 ∫ 𝒅𝒕 [∫ 𝒆∫ 𝒅𝒕 (𝟔𝒆−𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟏𝒕)𝒅𝒕 + 𝒄] = 𝒆−𝟐𝒕(𝟔 ∫ 𝒆𝟐𝒕−𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟏𝒕 𝒅𝒕 + 𝒌) 
𝟏 = 𝒆−𝟐𝒕 (𝟔 ∫ 𝒆𝟏,𝟗𝟗𝟗𝒕 𝒅𝒕 + 𝒌) = 𝒆−𝟐𝒕(
𝟔𝒆𝟏,𝟗𝟗𝟗𝒕
𝟏, 𝟗𝟗𝟗
+ 𝒌) 
 
 
INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA Página 24 
 
 
𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒕 = 𝟎 𝒍 = 𝟎 → 𝒍 = 𝟑, 𝟎𝟏𝟓𝒆−𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟏𝒕 + 𝒌𝒆−𝟐𝒕→ 𝟎 = 𝟑, 𝟎𝟏𝟓 + 𝒌 
𝒌 = −𝟑, 𝟎𝟏𝟓 → 𝒍 = 𝟑, 𝟎𝟏𝟓(𝒆−𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟏𝒕 − 𝒆−𝟐𝒕) 
𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒍 = 𝟎, 𝟓 → 𝟎, 𝟓 = 𝟑, 𝟎𝟏𝟓 (𝒆𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟏𝒕 − 𝒆−𝟐𝒕) → 𝒕 = 𝟏𝟏, 𝟗𝟕𝟓, 𝟗𝟕 𝒔 
 
 
 
3._ Una resistencia variable 𝑹 =
𝟏
𝒕+𝟓
Ω y una capacitancia de 𝟔 𝒙 𝟏𝟎−𝟔 𝑭𝒂𝒓𝒂𝒅, 
se conecta en serie con una f.e.m. de 100 volts. ¿Cuál es la carga del 
condensador después de un minuto si 𝒒(𝟎) = 𝟎? 
SOLUCION 
La ecuación diferencial de un circuito RC en serie es: 
𝑹 =
𝒅𝒒
𝒅𝒕
+
𝒒
𝑪
= 𝓔 → 
𝟏
𝒕 + 𝟓
−
𝒅𝒒
𝒅𝒕
+
𝒒
𝟔𝒙𝟏𝟎−𝟔
= 𝟏𝟎𝟎 → 
𝒅𝒒
𝒅𝒕
+
𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎(𝒕 + 𝟓)𝒒
𝟑
= 𝟏𝟎𝟎(𝒕 + 𝟓) 
La ecuación diferencial anterior es lineal: 
𝒒 = 𝒆 − ∫
𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎(𝒕+𝟓)𝒅𝒕
𝟑
[∫ 𝒆 ∫
𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎+(𝟓+𝒕)
𝟑
(𝟏𝟎𝟎)(𝒕 + 𝟓)𝒅𝒕 + 𝑪]Q 
𝒒 = 𝒆
𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎(𝒕+𝟓)𝟐
𝟑 [𝟏𝟎𝟎 ∫ 𝒆
𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎(𝒕 + 𝟓)𝟐
𝟑
(𝒕 + 𝟓)𝒅𝒕 + 𝑪] 
𝒒 = 𝒆
𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎(𝒕+𝟓)𝟐
𝟑 [
𝟑(𝟏𝟎𝟎)
𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎
𝒆
𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎(𝒕+𝟓)𝟐
𝟑 + 𝑪] =
𝟑
𝟐𝟓𝟎
+ 𝑪𝒆
𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎(𝒕+𝟓)𝟐
𝟑 
𝑷𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐 𝒒 (𝟎) = 𝟎. 
4._ Un condensador de capacitancia 𝟒 𝒙 𝟏𝟎−𝟏 faradios descarga a través de 
una resistencia de 100Ω, si la corriente es 1 amp. Al final de 0.01 s. ¿Cuál era 
la carga inicial del condensador? ¿Cuánta resistencia debe sacarse del 
circuito para obtener la mita de la corriente en el mismo tiempo? 
SOLUCION 
a) La ecuación diferencial de un circuito RC en serie es : 
𝑹
𝒅𝒒
𝒅𝒕
+
𝒒
𝑪
= 𝓔(𝒕) → 𝟏𝟎𝟎
𝒅𝒒
𝒅𝒕
+
𝒒
𝟒𝒙𝟏𝟎−𝟒𝒒
= 𝟎 → ∫
𝒅𝒒
𝒒
+ 𝟐𝟓 ∫ 𝒅𝒕 = 𝟎 
𝑳𝒏 (
𝒒
𝒒𝟎
) + 𝟐𝟓𝒕 = 𝟎 → 𝒒 = 𝒒𝟎𝒆
−𝟐𝟓𝒕 ; 𝒍(𝟎, 𝟎𝟏) = 𝒍𝑨 
 
 
INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA Página 25 
 
 
La corriente: 𝒍 =
𝒅𝒒
𝒅𝒕
= −𝟐𝟓𝒒𝟎𝒆
−𝟐𝟓𝒕 → −𝟐𝟓𝒒𝟎𝒆
−𝟎,𝟎𝟏(𝟐𝟓𝒕) = 𝟏 𝟐𝟓⁄ → −𝒒𝟎 =
𝟎, 𝟎𝟓𝟏𝟑𝟔 
b) La corriente: 𝒍 = 𝟎, 𝟓 𝑨 ; 𝒆𝒏 𝒕 = 𝟎, 𝟎𝟏 𝒔egundos 
 
𝑹
𝒅𝒒
𝒅𝒕
+
𝒒
𝟒𝒙𝟏𝟎−𝟒
= 𝟎 → 𝑹 ∫
𝒅𝒒
𝒒
+ 𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎 ∫ 𝒅𝒕 = 𝟎 
𝑳𝒏 (
𝒒
𝒒𝟎
) +
𝟐𝟓𝟎𝟎𝒒
𝑹
= 𝟎 → 𝒒 = 𝒒𝟎𝒆
−𝟐𝟓𝟎𝟎𝟐𝒕/𝑹 → 𝒍 =
𝒅𝒒
𝒅𝒕
= −
𝟐𝟓𝟎𝟎𝒒𝟎
𝑹
𝒆𝟐𝟓𝟎𝟎𝒕/𝑹 
Luego: 𝟎, 𝟓 = 
𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎(𝟎.𝟎𝟓𝟏𝟑𝟔)
𝑹
𝒆−𝟎.𝟐𝟓/𝑹 → 𝟎, 𝟓𝑹 = 𝟏𝟐𝟖, 𝟑𝟕𝟓𝒆−𝟎.𝟐𝟓/𝑹 
 𝑹 = 𝟐𝟓𝟔, 𝟓Ω Debe sacarse: ∆𝑹 = 𝟐𝟓𝟔, 𝟓 − 𝟏𝟎𝟎 = 𝟏𝟓𝟔, 𝟓Ω 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA Página 26 
 
 
 
 
Bibliografia 
1.) Ecuaciones diferenciales y aplicaciones Eduardo Espinoza Ramos V y 
VI edición 
2.) Ecuciones deiferenciales Moises Lazaro Carrion 
 
Ezpinoza Ramos .E (V y VI edicion) Ecuaciones diferenciales y 
aplicaciones.