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1er Año Prof. Renato Rodriguez Velardes MATEMÁTICA TEMA: TEORÍA DE CONJUNTOS IDEAS SOBRE CONJUNTOS Palabras que se ofrecen como sinónimos de conjunto ✓Colección ✓Familia ✓Clase ✓Equipo ✓Grupo ❑ En matemáticas el concepto de conjuntos es considerado primitivo y no hay una definición de este, por tanto la palabra conjunto debe aceptarse lógicamente como un término no definido ❑ Un conjunto se puede entender como una colección o agrupación bien definida de objetos de cualquier clase. ELEMENTOS DE UN CONJUNTO Los objetos que forman un conjunto son llamados miembros o elementos del conjunto. Ejemplos ➢ La letra “e” es un elemento del conjunto “vocales del español” ➢ Todo tigre es un elemento del conjunto “felinos”. ➢ El número 9 es un elemento del conjunto “números naturales”. NOTACIÓN DE UN CONJUNTO En general los conjuntos se representan por letras mayúsculas: A,B,C…X,Y,Z y los elementos, por letras minúscula: a,b,c,…x,y,z. Se acostumbra a escribir los elementos de los conjuntos entre llaves { } y separados por comas o punto y coma. I. P = {a; b; c; d; e}; Este conjunto se lee: “Conjunto P cuyos elementos son: a, b, c, d y e” Ejemplos II. Q = {1; 2; 3; 4; 5; 6}; Este conjunto se lee: “Conjunto Q cuyos elementos son: 1, 2, 3, 4, 5 y 6. III. R = { } RELACIÓN DE PERTENENCIA OBSERVACIÓN: En teoría de conjuntos no se acostumbra repetir los elementos por ejemplo: El conjunto {x; x; x; y; y; z } simplemente será { x; y; z }. ❑ Para indicar que un elemento pertenece a un conjunto se usa el símbolo: ❑ Para indicar que un elemento No pertenece a un conjunto se usa el símbolo: Ejemplo I. 1 ∈ B ( ) II. 4 ∈ B ( ) III. 6 ∈ B ( ) Se tiene el siguiente conjunto B={1;{2;3};4;5;{6}}, señalar con V si la proposición es verdadera o con F si es falsa. IV. {2; 3} ∉ B ( ) V. 5 ∉ B ( ) VI. {6} ∈ B ( ) V VFF FV OBSERVACIÓN: La relación de pertenencia sólo se establece entre un elemento y un conjunto. NÚMERO CARDINAL Se denomina número cardinal o simplemente cardinal de un conjunto, al número de elementos de dicho conjunto. Se denota de la siguiente manera: Car(A) = n(A) = Nº de elementos de A Ejemplo: Determina el número cardinal del siguiente conjunto : A = {r, s, t, u, v, x, y, z} Veamos: Contemos los elementos del conjunto A A = {r , s, t, u, v, x, y, z} 1 87652 3 4 ( ) 8n A = DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO Un conjunto puede determinarse de dos formas: Por extensión y por comprensión. A. DETERMINACIÓN POR EXTENSIÓN: Consiste en la enumeración efectiva de cada uno de sus elementos, es decir se nombra uno a uno sus elementos: Ejemplos: ✓ D={Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes, Sábado, Domingo} ✓ R={Verano, Otoño, Invierno, Primavera} ✓ A = { 6;8;10;12;14;16;18 } ✓ B = {-9;-7;-5;-3;-1 } B. DETERMINACIÓN POR COMPRENSIÓN: Para expresar un conjunto de esta manera se señala una propiedad común a todos los elementos. A esta manera de nombrar un conjunto se denomina también: Forma abreviada o sintética de determinar un conjunto. Si un conjunto Q se ha determinado por comprensión, mediante el uso de la propiedad K, aplicado a sus elementos, dicho conjunto se menciona así: “Q es el conjunto de las X tal que (/) tiene la propiedad K” X : Es la variable que va a tener cualquier valor de algún elemento del conjunto. Tal que : Es una barra oblicua (/). Ejemplos: A = {El conjunto de los números naturales menores que 8} R = {El conjunto de los números naturales menores que 100} S = {x/x ∈ N; 𝒙𝟐 < 82} CLASIFICACIÓN DE CONJUNTOS CLASES DE CONJUNTOS A. CONJUNTO VACÍO O NULO: Es aquel que no tiene elementos, se denota por la letra griega “∅” (se lee fi), también se denota por: “{ }” Ejemplos: 1) A = {x/x es un virrey actual del Perú} A = ∅ A = { } El conjunto “A” es vacío porque no existe virrey en la actualidad en el Perú. 2) B = {y/y es un número entero comprendido entre 12 y 13} B = ∅ B = { } El conjunto “B” Es vacío porque no existe número entero entre 12 y 13. B. CONJUNTO UNITARIO: También llamado singletón, es aquel que tiene uno y solo un elemento. Ejemplos: 1) E = {x ∈ N / 5 < x < 7} Significa que “x” es mayor que 5, pero menor que 7, siendo: x = 6 E = {6} 2) F = {x/x = 8} F = {8} C. CONJUNTOS IGUALES: Un conjunto “A” es igual a un conjunto “B”, si es que ambos conjuntos tienen los mismos elementos. A = {3; 5; 8} B = {8; 5; 3} A = B Ejemplos: ¿El conjunto P = {x ∈ N/2 < x< 6} es igual al conjunto Q = {x∈ N/3 ≤ x≤ 5}? P = {3; 4; 5} Q = {3; 4; 5} P = Q D. CONJUNTO DISJUNTOS: Son aquellos conjuntos, que no tienen ningún elemento común. Ejemplo: Sean los conjuntos: A = {2; 4; 6; 8} , B = {1; 3; 5; 7; 9} “A” y “B” son disjuntos, pues no tienen ningún elemento en común. Usando los diagramas de Venn-Euler, se tiene: A 2. 4. 6. 8. B .1 .3 .5.7 .9 E. CONJUNTO UNIVERSAL (U): Es el conjunto que contiene, comprende o dentro del cual están todos los demás conjuntos; se le simboliza por la letra U y gráficamente se le representa mediante un rectángulo en cuyo vértice (uno cualquiera) se coloca la letra U. U F. CONJUNTOS EQUIPOTENTES: Cuando los conjuntos tienen igual número de elementos. A = {a, e, i, o, u} n(A) = 5 B = {1; 2; 3; 4; 5} n(B) = 5 “A” es equipotente con “B” Ejemplo: RELACIONES ENTRE CONJUNTOS: A. INCLUSIÓN DE CONJUNTOS: Se dice que el conjunto A es parte del conjunto B o que está incluido en B, si todos los elementos de A están en B. Se le denota como “A ⊂ B” que se lee: “A incluido en B”. Es decir: 𝐴 ⊂ 𝐵 ⇔ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐵 Sean los conjuntos: D = {3; 5; 7} y E = {2; 3; 4; 5; 6; 7}Ejemplo: Se observa que: “D” es subconjunto de “E” porque todos los elementos de “D” pertenecen también a “E”. Simbólicamente lo expresamos así: D ⊂ E. Representación usando diagrama de Venn-Euler. E D 3. 5. 7. 2. 4. 6. PROPIEDADES DE LA INCLUSIÓN: 1. Todo conjunto es subconjunto de sí mismo A ⊂ A 2. El conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto. ∅ ⊂ A 3. Si un conjunto está incluido en otro, y este en un tercero, entonces el primer conjunto está incluido en el tercer conjunto. Es decir, si A ⊂ B y B ⊂ C ⇒ A ⊂ C B. FAMILIA DE CONJUNTOS: Ocurre cuando todos los elementos de un conjunto son conjuntos. Ejemplo: A = {{2; 3}; {5; 2}; {7}; ∅} “A” es una familia de conjuntos, porque todos sus elementos son conjuntos. D. CONJUNTO DE CONJUNTOS: Ejemplo: Es aquel conjunto, donde al menos uno de sus elementos es un conjunto. B = {{3}; 5; 6} C. SUBCONJUNTO PROPIO: Si un conjunto “A” es un subconjunto de otro conjunto “B”, y este otro conjunto “B” tiene uno o más elementos que no pertenecen al subconjunto “A”, se dice que: “A” es parte propia o subconjunto propio de “B”. Ejemplo: Dados los conjuntos: A = {2; 7; 5; 3} , B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} “A” es un subconjunto propio de “B”, pues los elementos de “A” están en “B” y “B” tiene elementos que no están en “A” E. CONJUNTO POTENCIA: Es el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto dado, si el conjunto dado es “A”, el conjunto potencia de “A” se denota por P(A) y se lee: “P de A” Si el conjunto “A” tiene “n” elementos: P(A) = 2𝑛 subconjuntos. Si: C = {5; 2; 7} hallar su conjunto potencia.Ejemplo: El número de subconjuntos del conjunto “C” se obtiene aplicando la fórmula: 𝟐𝟑 = 8 subconjuntos. n(C) = 3 Los subconjuntos de “C” son: P(C) = {{5} , {2} , {7} , {5;2} , {5;7} , {2;7} , {5;2;7} , ∅} n(P(C)) = 8 UNIÓN DE CONJUNTOS Simbólicamente se denotaría así: A B = {x / x A ˅ x B} Y gráficamente así: La operación de reunión entre los conjuntos A y B, son todos los elementos que pertenecen al conjunto “A” o al conjunto “B”. La operación de Unión tiene como símbolo: INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS La intersección entrelos conjuntos A y B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen tanto al conjunto A como al conjunto B; es decir; formado por los elementos comunes. La operación de Intersección tiene como símbolo: Simbólicamente se denotaría así: A B = {x / x A x B} Y gráficamente así: DIFERENCIA DE CONJUNTOS La diferencia del conjunto A menos el conjunto B, es el conjunto formado por los elementos del conjunto A que no pertenecen al conjunto B; es decir, es el conjunto formado los elementos que sólo pertenecen al conjunto A. Simbólicamente se denota así: A – B = { x / x A x B} Y gráficamente así: DIFERENCIA SIMÉTRICA DE CONJUNTOS La diferencia simétrica entre los conjuntos A y B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B; pero no a ambos. Tiene como símbolo: Simbólicamente se representa así: A B = { x / x [(A B) – ( A B ) ] } También puede representarse así: A B = { x / x [(A – B) (B – A ) ] } Y gráficamente así: COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO RESPECTO A UN CONJUNTO UNIVERSAL O DE REFERENCIA El complemento de un conjunto A, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto universal; pero no pertenecen al conjunto A; es decir, los elementos sólo pertenecen al conjunto U. Su símbolo es: A‘ ; CA Simbólicamente sería así: A’ = {x / x U x A} Gráficamente es: 01. Halla la suma de los elementos de: A = {(3x + 2) ∈ N / 𝒙 ∈ 𝑵 ; 𝟐 ≤ 𝒙 ≤ 𝟓} a) 33 b) 36 c) 48 d) 108 e) 72 Resolución: • Para determinar los elementos del “ conjunto A ” usaremos el valor numérico x 3x+2 Clave: a) 33 2 3(2)+2 = 8 3 3(3)+2 = 11 4 3(4)+2 = 14 Luego: 𝐀 = {𝟖, 𝟏𝟏, 𝟏𝟒} Por tanto : 𝟖 + 𝟏𝟏 + 𝟏𝟒 = 33 02. Sea el conjunto: T ={a, x ∈ N / a =3 x /1< x ≤ 5 } Determinado por extensión es: a) T={6; 9; 12; 15} b) T={1; 2; 3; 4: 5} c) T={2; 3; 4, 6} d) T={2; 3; 4; 5} e) T = {3; 6; 9; 12; 15} Resolución: • Para determinar los elementos del “ conjunto T ” usaremos el valor numérico x 3x 2 3(2) = 6 3 3(3) = 9 4 3(4) = 12 5 3(5) = 15 Clave: a) 𝐓 = {𝟔; 𝟗; 𝟏𝟐; 𝟏𝟓} Luego: 𝐓 = {𝟔; 𝟗; 𝟏𝟐; 𝟏𝟓} 03. Hallar la suma de los elementos del conjunto: 𝐀 = 𝒙 + 𝟏 𝟐 ∈ ℕ ; 𝒙 ∈ ℕ ˄ 𝟑 ≤ 𝒙 ≤ 𝟏𝟏 a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20 Resolución: 𝑥 𝑥 + 1 2 3 4 5 6 7 3 + 1 2 = 4 2 = 2 ∈ ℕ 4 + 1 2 = 5 2 ∉ ℕ= 2,5 5 + 1 2 = 6 2 = 3 ∈ ℕ 6 + 1 2 = 7 2 ∉ ℕ= 3,5 7 + 1 2 = 8 2 = 4 ∈ ℕ 𝑥 𝑥 + 1 2 8 9 10 11 8 + 1 2 = 9 2 ∉ ℕ= 4,5 9 + 1 2 = 10 2 = 5 ∈ ℕ 10 + 1 2 = 11 2 ∉ ℕ= 5,5 11 + 1 2 = 12 2 = 6 ∈ ℕ Luego: A = 2; 3; 4; 5; 6 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐴 = 20 Clave: e) 𝟐𝟎 4. Calcula la suma de los elementos del conjunto: 𝐀 = 𝒙 + Τ𝟐 𝒙 ∈ ℕ ˄ 𝟏𝟏 ≤ 𝟑𝒙 + 𝟐 ≤ 𝟐𝟎 a) 25 b) 26 c) 24 d) 28 e) 27 Resolución: 11 ≤ 3𝑥 + 2 ≤ 20 11 − 2 ≤ 3𝑥 ≤ 20 − 2 9 ≤ 3𝑥 ≤ 18 3 ≤ 𝑥 ≤ 6 𝑥 = 3; 4; 5; 6 𝑥 + 2 = 5; 6; 7; 8 = 26 A = 5; 6; 7; 8 Clave: b) 𝟐𝟔 05. Dado el conjunto: A= {6; 9; 12; {5}; {12}}. ¿Cuál de las afirmaciones es correcta? 1. 6; 9; 12 ∈ A 2. A es conjunto de conjuntos 3. {{1; 2}} ⊂ A 4. 6 ∈ {5; 9; 12} 5. 6 ⊂ A Son ciertas: a) 3 y 4 b) 1 y 2 c) 4 y 5 d) 2 y 5 e) 1 y 3 Resolución: 1. 6; 9; 12 ∈ A ( ) 2. A es conjunto de conjuntos ( ) 3. {{1; 2}} ⊂ A ( ) 4. 6 ∈ {5; 9; 12} ( ) 5. 6 ⊂ A ( ) 𝐕 𝐕 𝐅 𝐅 𝐅 Clave: b) 1 y 2 06. Dados los conjuntos iguales: A = {𝑎2+𝟑 ; b + 1} , B = {13; 19}. Considere a y b enteros. Indique la suma de los valores que toma: a + b a) 16 b) 24 c) 30 d) 12 e) 27 Resolución: 𝑎2 + 3 = 19 ⇒ 𝑎2= 16 𝒂 = {−𝟒; 𝟒} 𝑏 + 1 = 13 𝒃 = 𝟏𝟐 Luego: a + b = - 4 + 12 = 8 a + b = 4 + 12 = 16 Clave: b) 24 07. Sean A, B y C tres conjuntos disjuntos, además: 4𝑛 𝐴 +𝑛 𝐵 +𝑛(𝐶)= 4096 Halla: n(A ∪ B ∪ C) a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 5 Resolución: Si los conjuntos “A, B y C” son disjuntos no tiene elementos en común 𝟒𝟎𝟗𝟔 Por lo tanto se cumple: n A⋃𝐵⋃𝐶 = 𝑛 𝐴 + 𝑛 𝐵 + 𝑛(𝐶) 𝟒 𝟏𝟎𝟐𝟒 𝟒 𝟐𝟓𝟔 𝟒 𝟔𝟒 𝟒 𝟏𝟔 𝟒 𝟒 𝟒 𝟏 𝟒𝟎𝟗𝟔 = 𝟒𝟔 4𝑛 𝐴 +𝑛 𝐵 +𝑛(𝐶)= 4096 4𝑛 𝐴 +𝑛 𝐵 +𝑛(𝐶) = 46 𝑛 𝐴 + 𝑛 𝐵 + 𝑛 𝐶 = 6 Como ∶ n A⋃𝐵⋃𝐶 = 𝑛 𝐴 + 𝑛 𝐵 + 𝑛(𝐶) 𝐧 𝐀⋃𝑩⋃𝑪 = 𝟔 Clave: a) 6 08. Determinar cuántos elementos tiene cada uno de los siguientes conjuntos: a) P(A) = 128 subconjuntos b) P(B) = 163 subconjuntos a) 7 y 7 b) 7 y 6 c) 6 y 5 d) 7 y 12 e) 4 y 6 Resolución: 𝟏𝟐𝟖 Conjunto potencia de un conjunto A es: P A = 2𝑛(𝐴) 𝟐 𝟔𝟒 𝟐 𝟑𝟐 𝟐 𝟏𝟔 𝟐 𝟖 𝟐 𝟒 𝟐 𝟐 128 = 27 𝟐 𝟏 𝑛(𝑃 𝐴 ) = 27 2𝑛(𝐴) = 27 𝒏 𝑨 = 𝟕 𝑛(𝑃 𝐵 ) = 163 2𝑛(𝐵) = (24)3 2𝑛(𝐵) = 212 𝒏 𝑩 = 𝟏𝟐 Clave: d) 7 y 12 09. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto A, sabiendo que tiene 480 subconjuntos más que el conjunto B, el cual posee 5 elementos? a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 Resolución: Conjunto “B”: 𝑛(B) = 5 ⇒ 𝑛[𝑃 𝐵 ] = 25 𝑛[𝑃(𝐵)] = 32 Del dato: 𝑛[𝑃(𝐴)] = 𝑛[𝑃(𝐵)] + 480 𝑛[𝑃(𝐴)] = 32 + 480 𝑛[𝑃(𝐴)] = 512 2𝑛(𝐴) = 29 ⇒ 𝒏 𝑨 = 𝟗 Clave: c) 9 10. Se tiene “n” pinturas de “n” colores básicos y se desea obtener 1013 nuevos tonos, combinando partes iguales de 2; 3; 4; 5; …; n colores. Hallar “n”. a) 5 b) 7 c) 8 d) 10 e) Más de 10 Resolución: Con “n” colores básicos la cantidad de nuevos tonos debe ser : 2𝑛 − 1 − 𝑛 = 1013 Conjuntos unitarios ∅ 2𝑛 − 𝑛 = 1014 25 = 32 322 = 1024 (25)2= 1024 210 = 1024Si: 𝑛 = 10 ⇒ 210 − 10 = 1014 Por lo tanto, 𝒏 = 𝟏𝟎 Clave: d) 10 11. Para dos conjuntos M y N se tiene que: M ∪ N = {x / x ∈ ℕ ˄ 2 ≤ x ≤ 8} M ∩ N = {5} M – N = {4; 6; 7} Hallar la suma de los elementos de N a) 31 b) 18 c) 12 d) 15 e) 20 Solución: M ∪ N = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} 𝐍 = 2; 3; 5; 8 𝟕. 𝐌 𝐍 𝟔. 𝟒. 𝟓. 𝟐. 𝟑. 𝟖. Σ(elementos de N) = 18 ∴ Clave: b) 18 12. Si: n[P(A – B)] = 32 ; n[P(B – A)] = 16 ; n[P(A ∪ B)] = 1024 Calcula: 2∙n[P(A ∩ B)] + 3∙n(A ∩ B) a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 12 Solución: Conjunto potencia: n P A = 2n(A) ✓ n[P(A – B)] = 32 2n(A−B) = 25 n A − B = 5 ✓ n[P(B – A)] = 16 2n(B−A) = 24 n B − A = 4 ✓ n[P(A ∪ B)] = 1024 2n(A∪B) = 210 n A ∪ B = 10 𝐀 𝐁 𝟓 𝟒𝟏 → 𝟓𝟔 ← n[P(A ∩ B)]= 2n(A∩B) = 21 n A ∩ B = 1 n[P(A ∩ B)] = 2 Luego: 2∙n[P(A ∩ B)] + 3∙n(A ∩ B) = 2∙2 + 3∙1 = 7 ∴ Clave: a) 7 13.- Si n(A) = 18 ; n(B) = 21 ; n(C) = 24 ; n(A ∩ B) = 10; n(B ∩ C) = 12; n(A ∩ C) = 11; n(A ∩ B ∩ C)=8 y además n(A U B U C)’ = 2, Hallar n(U). SOLUCIÓN 𝑨 𝑩 𝑪 18 = = 21 24 = 8 2 4 3 5 7 9 2 𝑼 n(U) = 5 + 2 + 7 + 3 + 8 + 4 + 9 + 2 = 40 ∴ Clave: e) 40 14. Dado los conjuntos A y B, subconjuntos del universo U, tal que: n(U) = 20 ; n(A ∩ B) = 3 ; n(A) = 12 ; n(B) = 11 . Hallar : n(A Δ B) a) 10 b) 17 c) 13 d) 15 e) 12 Resolución: 𝟗 𝑨 𝑩 𝟑 𝟖 𝑼 𝟏𝟐 = = 𝟏𝟏 = 𝟐𝟎 n(A △ B) = 9 + 8 = 17 Clave: b) 17 15. Si: A= { 1 ; 5 ; { 1 ; 7 } ; ∅ ; {8}} Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda: I. ∅ ∈ A II. ∅ ⊂ A III. 7 ⊂ A IV. { 1 ; 7 } ∈ A a) VVFF b) VFFV c) FVFF d) VVVV e) FFVF Resolución: I. ∅ ∈ A ( ) II. ∅ ⊂ A ( ) III. 7 ⊂ A ( ) IV. {1;7} ∈ A ( ) 𝐕 𝐕 𝐅 Clave: b) VVFV 𝐕 ¡ Gracias !
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