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Unidad II: Teoría de conjuntos Principios básicos 68 Una introducción a las matemáticas de la computación Unidad II: Teoría de conjuntos 2.1 Principios básicos. 2.1.1 Definiciones básicas. 2.1.2 Conjuntos finitos e infinitos. 2.1.3 Representación de un conjunto. 2.1.4 Conjunto Universo o Universo de discusión. 2.1.5 Conjunto Vacío. 2.1.6 Igualdad de conjuntos. 2.1.7 Subconjuntos. 2.1.8 Cardinalidad. 2.1.9 Conjunto potencia. 2.2 Operaciones entre conjuntos. 2.2.1 Unión. 2.2.2 Intersección. 2.2.3 Complemento. 2.2.4 Complemento relativo o diferencia. 2.2.5 Diferencia simétrica. 2.2.6 Producto Cartesiano. 2.3 Álgebra de conjuntos. 2.1 PRINCIPIOS BÁSICOS A fines del siglo XIX, el matemático ruso George Cantor (1854-1918) trató de unificar los distintos campos de las matemáticas por medio de la noción de conjuntos. 2.1.1 Definiciones básicas Definición2.1.1 (Conjunto) Un conjunto es cualquier colección de objetos bien definidos por medio de alguna o algunas propiedades en común, de dichos objetos. Por objeto entenderemos no sólo cosas físicas, como discos, computadores, etc., si no también abstractos, como son números, letras, etc. A los objetos se les llama elementos del conjunto. Representamos a los conjuntos por medio de letras mayúsculas, así A, B, C, etc. nos representan conjuntos. Ejemplo 2.1.1 a) A=Conjunto de los números dígitos. b) Z=Conjunto de los números enteros. c) C=Conjunto de las letras del alfabeto. d) D=Conjunto de las soluciones de la ecuación x2–6x+5=0. e) E=Conjunto de estudiantes de la Escuela Superior de Cómputo. Unidad II: Teoría de conjuntos Principios básicos 69 Una introducción a las matemáticas de la computación f) F=Conjunto de números 2,4,6,8,10,... g) G=Conjunto de vocales: a,e,i,o,u. En la definición hacemos uso del adjetivo bien definido, este se usa para indicar que dado un objeto es posible determinar si este se encuentra o no en un cierto conjunto. Así, si consideramos el número –3 y el conjunto N de los números naturales es posible determinar que –3 no está en ese conjunto, así como también es posible determinar que –3 está en el conjunto Z de los números enteros. Definición 2.1.2 (Elemento) Se llaman elementos o miembros a los objetos que componen un conjunto; y se denotan con letras minúsculas, como: a, b, x, y, etc. Para indicar que un objeto x pertenece o es miembro de un conjunto A, escribimos x ∈ A, que se lee “x elemento de A” y, si no pertenece al conjunto A, escribimos x ∉ A, que se lee “x no es elemento de A”. Ejemplo 2.1.2 Sea N=Conjunto de los números naturales, determinar si lo siguiente es falso o verdadero. a) 0∈N Falso. b) 1∈N Verdadero. c) 3∉N Falso. d) –1∈N Falso. e) –2∉N Verdadero. f) 8∈N Verdadero. g) –3∉N Verdadero. 2.1.2 Conjuntos finitos e infinitos Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. Los conjuntos finitos tienen un número fijo de elementos. Ejemplo 2.1.3 Conjuntos finitos: a) A=Conjunto de los números dígitos. b) B=Conjunto de las letras del alfabeto. c) C=Conjunto de las soluciones de la ecuación x2 – 6x + 5 = 0. d) D=Conjunto de los estudiantes de la ESCOM. e) E=Conjunto de las vocales. Etc. Los conjuntos infinitos, como su nombre lo dice tienen un número infinito de elementos, así no es posible contar cuantos elementos tiene el conjunto y decimos que es un conjunto no numerable. Unidad II: Teoría de conjuntos Principios básicos 70 Una introducción a las matemáticas de la computación Ejemplo 2.1.4 Conjuntos infinitos: a) Z=Conjunto de los números enteros. b) A=Conjunto de los números primos. c) N=Conjunto de los números naturales. d) B=Conjunto de estrellas. e) C=Conjunto de números mayores que dos. 2.1.3 Representación de un conjunto Los conjuntos se pueden representar de dos formas: 1) Conjuntos por extensión (en forma explícita, o de manera enumerativa). Los conjuntos están dados por extensión o en forma explícita cuando se enumeran sus elementos, agrupando estos entre llaves. Ejemplo 2.1.5 Si A denota el conjunto de las vocales, tenemos A={a,e,i,o,u}. Hay conjuntos que por tener un número infinito de elementos no quedan completamente determinados con esta representación. Ejemplo 2.1.6 Si P denota el conjunto de números enteros pares; usando la representación por extensión se tiene, P={2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...} en donde los punto suspensivos, ..., indican que la lista prosigue indefinidamente. 2) Conjuntos por comprensión (o en forma implícita) Un conjunto está dado por comprensión o en forma implícita cuando se representa por medio de la propiedad o las propiedades que caracterizan a los elementos que pertenecen a él. Ejemplo 2.1.7 a) Si A es el conjunto de las vocales, se representa por: A={x | x es una vocal}, Se lee “ A es el conjunto de las x tales que x es una vocal”. b) Si B es el conjunto de todos los enteros entre 1 y 5, se representa por: B={x | x es un entero y 1< x < 5}, “ B es el conjunto de las x tales que x es un entero mayor que 1 y menor que 5”. c) Si P es el conjunto de los enteros pares, se representa por: P={ Zx∈ | x es par} ó P = {x | x es un entero y x es par}. Observe que mediante esta notación es posible determinar completamente el conjunto de los números pares. Unidad II: Teoría de conjuntos Principios básicos 71 Una introducción a las matemáticas de la computación Ejemplo 2.1.8 Representar el conjunto A=conjunto de los números dígitos, por compresión y por extensión. Por comprensión: A={x | x es un números dígito}. Se lee “A es el conjunto formado por todas las x tales que x es un número dígito”. Por extensión: A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Se lee “ A es el conjunto formado por 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9”. Ejemplo 2.1.9 a) Representar los siguientes conjuntos por extensión. A={x | x es un número primo menor a 20}. A={2,3,5,7,11,13,17,19}. b) B={x | x es un número entero mayor a 20}. B={21,22,23,...}. c) C={x | x cumple x3+4x2+4x=0}. C={-2,0}. d) D={x | x es un número real menor a 7 y mayor a 2 }. D=(2,7). Ejemplo 2.1.10 Represente los siguientes conjuntos por comprensión. a) A={2,4,6,8}. A={x | x es un entero par mayor que cero y menor que 10}. b) B={a,o,e,z,p,t}. B={x | x es una letra de la palabra zapote}. c) C={2,3,5,7}. C={x | x es un número primo menor que 8}. d) D={2,3}. D={x | x es un entero mayor que 1 y menor que 4}. Observe que la representación que se da no es única, por ejemplo el conjunto D también se puede representar por D={x | x es un número primo menor que 4} o bien D={x|x es solución de la ecuación (x – 2)(x – 3) = 0} etc. Unidad II: Teoría de conjuntos Principios básicos 72 Una introducción a las matemáticas de la computación 2.1.4 Conjunto Universo o Universo de discusión Definición 2.1.3 (Conjunto universo) Llamamos conjunto universo y lo denotamos por U, al conjunto del cual se seleccionan los elementos para formar conjuntos. Ejemplo 2.1.11 Sea U el conjunto de los enteros positivos, esto es U=Z. Este conjunto es el universo para los conjuntos siguientes: B={x | x es un entero y 51 ≤≤ x }. P={x | x es un número entero y x es par}. En general identificamos al conjunto universo como un todo, pero no representamos de una manera única a este “todo”, así habrá ocasiones que un conjunto sea considerado conjunto universo y en otras no, por ejemplo: considerando el conjunto P de los número pares, se tiene que Z (conjunto enteros) es un conjunto universo para él; pero si consideramos el mismo conjunto Z, tenemos que Q (racionales) es un conjunto universo de él. Así Z es un conjunto universo en ocasiones y en otras no. Además puede haber varios conjuntos universos para un solo conjunto, por ejemplo el mismo conjunto P de números pares tiene por conjunto universo a Z (conjunto de los enteros) o a Q (conjunto se los racionales)o a R (conjunto de los reales) o incluso a C (conjunto de los complejos), en general podemos decir que para números el conjunto universo más grande es C (números complejos). Ejemplo 2.1.12 Sea A={2,4,6,8} y B={x | x es mayor que 1 y menor que 9}. ¿Podría B ser una representación del conjunto A? Solución No, B no es una descripción adecuada del conjunto A, amenos que hayamos considerado anteriormente que los elementos a considerar son enteros pares. Al adoptar esta convicción, decimos que estamos especificando el universo de discurso o simplemente universo, así sólo elegiremos elementos de U para formar nuestros conjuntos. De esta manera si U es el conjunto de los enteros pares entonces B es una descripción adecuada de A. Ejemplo 2.1.13 Describa el conjunto B={x | x es mayor que 1 y menor que 9}. a) Si U es conjunto de todos los reales. b) Si U es el conjunto de los enteros. Solución a) B=(1,9). b) B={2,3,4,5,6,7,8}. Unidad II: Teoría de conjuntos Principios básicos 73 Una introducción a las matemáticas de la computación Ejemplo 2.1.14 Si U=N, enumerar los elementos de los siguientes conjuntos. a) A={x | x2≤20}. b) B={x | x2 –x–6=0}. c) C={x | x+2=5}. d) D={x | x2>10 }. Solución a) A={1,2,3,4}. b) B={3}. c) C={3}. d) D={4,5,6,7,8,...}. Ejemplo 2.1.15 Si U=Z, enumere los elementos de los conjuntos del ejemplo 2.1.14. Solución a) A={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}. b) B={-2,3}. c) C={3}. d) D={...-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,4,5,6,7,8,9,10,...}. Observe que los conjuntos cambian dependiendo del universo de discurso que se utilice. 2.1.5 Conjunto Vacío Si identificamos un conjunto que se refiera a un todo, debe ser posible identificar un conjunto que se refiera a lo opuesto, esto es, a nada y este conjunto es precisamente el conjunto vacío. Definición 2.1.4 (Conjunto vacío) El conjunto vacío o nulo es un conjunto que no tiene elementos, el conjunto vacío se representa por: ∅, (FI) o bien por {}. Ejemplo 2.1.16 El conjunto A={x | x2 =4 y x es impar} nos representa al conjunto vacío ya que no hay un valor para x que cumpla la condición. No confundir el conjunto A=∅ con el conjunto A={∅}, ya que el primer conjunto indica que no tiene ningún elemento y el segundo conjunto indica que tiene un elemento y ese elemento es el conjunto vacío. Ejemplo 2.1.17 Conjuntos vacíos: a) A={x | x es un número real y es solución de la ecuación x2+1 =0}. b) B={x | x es un número entero mayor que 5 y menor que 2}. c) C={x | x es una persona que vive y tiene más de 200 años de edad}. Unidad II: Teoría de conjuntos Principios básicos 74 Una introducción a las matemáticas de la computación d) D={x | x es un número natural que satisface la ecuación x2+4x+4=-2}. e) E={x | x2 =4 y x es impar}. 2.1.6 Igualdad de conjuntos Definición 1.2.5 (Igualdad de conjuntos) Decimos que dos conjuntos A y B son iguales y denotamos A=B, si A y B constan de los mismos elementos, i.e. si cada elemento de A pertenece a B y si cada elemento de B pertenece a A. Ejemplo 2.1.18 Los siguientes conjuntos son iguales. a) A={g,u,a,d,a,l,a,j,a,r,a}=B={a,u,d,l,j,g,r}. b) A={x | x es un número primo par}=B={2}. c) A={a,e,i,o,u}={x | x es una vocal de la palabra murciélago}=B={ x| x es una vocal}. Ejemplo 2.1.19 Sean A={1,2} y B={x | x2∈U}, donde U={1,2,3,4,5}. ¿A y B son iguales?. Solución Si x=1, x2=1∈U; si x=2, x2=4∈U; si x=3, x2=9∉U. Así, B={1,2}, por lo tanto A=B. Ejemplo 2.1.20 Sean E={x | x2–3x+2=0}, F={2,1} y G={1,2,2,1,6/3}. ¿Cómo son los conjuntos E, F y G?. Solución Para determinar E de manera enumerativa, hay que encontrar las soluciones de la ecuación cuadrática x2 –3x +2 = 0, teniendo x2–3x+2=(x–2)(x–1)=0, así x=1 y x=2. Luego E={1,2}, F={2,1}={1,2}=E y, G={1,2,2,1,6/3}={1,2,2,1,2}={1,2} (ya que se repiten los 1’s y 2’s y debe presentarse al conjunto de forma “simplificada”) Por lo tanto E=F=G. Observe que si se tienen los conjuntos A = {p,a,p,a,l,o,a,p,a,n} y B = {n,o,p,a,l}, estos conjuntos son iguales ya que todo elemento de A es elemento de B y todo elemento de B es elemento de A, por lo tanto podemos considerar un conjunto sin repetir sus elementos, esto es, de forma simplificada. 2.1.7 Subconjuntos Definición 2.1.6 (Subconjunto) Si todos los elementos de un conjunto A son también elementos de un conjunto B, esto es, si cuando x∈A entonces x∈B (simbólicamente x∈A→x∈B), decimos que A es un subconjunto de B o que A está contenido en B y se escribe: BA⊆ (A está contenido en B) o AB ⊇ (B contiene a A) Unidad II: Teoría de conjuntos Principios básicos 75 Una introducción a las matemáticas de la computación Si A no es subconjunto de B se escribe BA⊄ . Si además existe un elemento de B que no este en A, decimos que A es un subconjunto propio de B y se denota BA⊂ o AB ⊃ . Ejemplo 2.1.21 a) Sean A={1,2,3,4,5,6}, B={2, 4,5} y C={1,2,3,4,5}, para estos conjuntos se cumple: AB ⊆ , CB ⊆ y AC ⊆ b) A={ x | x es un entero positivo }. B={ x | x es un entero } A es un subconjunto propio de B. c) C={x | x es solución de la ecuación x2 – 1 = 0}. D={-1,1}. C no es un subconjunto propio de D, ya que son iguales. Ejemplo 2.1.22 Clasificar los siguientes conjuntos, como iguales, subconjuntos o ninguno. a) A={ x | x es un número primo}. B={ x | x es un número natural}. b) C={x | x es una letra de la palabra papaloapan}. D={x | x es una letra de la palabra nopal}. c) E={0,1,2,3,..., 9}. F={x | x es un número natural}. d) G={x | x satisface la ecuación x(x–1)(x+3)(x–5)=0}. H={-3,0,1,5}. Solución a) A⊂B. b) C=D. c) E≠F. d) G=H. Propiedad 2.1.1 Si A es cualquier conjunto diferente del vacío, entonces AA⊆ . Esto es, cualquier conjunto diferente del vacío es subconjunto de si mismo. Propiedad 2.1.2 El conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto distinto del vacío, esto es ∅ A⊂ . Demostración La demostración de este teorema se hace por contradicción. Unidad II: Teoría de conjuntos Principios básicos 76 Una introducción a las matemáticas de la computación Supongamos que el conjunto vacío no es subconjunto de un conjunto A, ∅⊄A, esto significa que hay un elemento en el conjunto vacío que no es elemento del conjunto A, lo cual no puede ser ya que el conjunto ∅ no tiene elementos y por lo tanto el conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto. Teorema 2.1.1 Sean A y B dos conjuntos. Decimos que A=B si y sólo si BA⊆ y AB ⊆ . Demostración ⇒ ) Supongamos que A=B. Queremos demostrar que: BA⊆ y AB ⊆ . BA⊆ ) Para comprobar esta contención basta ver que si x∈A entonces x∈B. Sea x∈A→x∈B, ya que por hipótesis A=B. AB ⊆ ) Para comprobar esta contención basta ver que si x∈B entonces x∈A. Sea x∈B→x∈A, ya que por hipótesis A=B. ⇐ ) Supongamos ahora que BA⊆ y AB ⊆ . Queremos demostrar que A=B, esto es, que cada elemento de A pertenece a B y cada elemento de B pertenece a A. Como BA⊆ , entonces para todo x ∈ A se tiene que x∈B. Como AB ⊆ , entonces para todo x ∈ B se tiene que x∈A. Luego A = B. Por lo tanto lo expuesto en el teorema se cumple. Teorema 2.1.2 Si A⊂B y B⊂C, entonces A⊂C. Demostración Sea x∈A, como A ⊂ B, entonces x∈B, por otra parte, si x∈B, como B⊂C, entonces x∈C y, por lo tanto A⊂C. Teorema 2.1.3 Sean A, B y C conjuntos. Entonces: i) AA⊆ ii) Si BA⊆ y AB ⊆ entonces A=B. 2.1.8 Cardinalidad Definición 2.1.7 ( Cardinalidad) Sea A un conjunto, la cardinalidad de A es el número de elementos diferentes del conjunto A y se representa por |A|. Ejemplo 2.1.23 Sea U=Z. Unidad II: Teoría de conjuntos Principios básicos 77 Una introducción a las matemáticas de la computación a) A={x | x2+1=0} |A|=0. b) B={x | x2–1=0} |B|=1. c) C={x | x2–5x+6} |C|=2. d) D={x | x(x–1)(x–2)=0} |D|=3. e) E={p,a,p,a,l,o,a,p,a,n} |E|=5. 2.1.9 Conjunto potencia Definición 2.1.8 (ConjuntoPotencia) Sea A un conjunto finito, llamaremos conjunto potencia al conjunto formado por todos los subconjuntos de A. El conjunto potencia se denota como P(A) o bien 2A. Ejemplo 2.1.24 Consideremos los conjuntos A={1}, B={1,2}, C ={1,2,3} y D={1,2,3,4}. Los subconjuntos de A son: ∅,{1}. Así, el conjunto potencia de A, P(A) es P(A)={∅,{1}} Los subconjuntos de B son: ∅,{1},{2},{1,2}. Así, el conjunto potencia de B, P(B) es P(B)={∅,{1},{2},{1,2}}. Los subconjuntos de C son: ∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}. Así, el conjunto potencia de C, P(C) es P(C)={∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}. Los subconjuntos de D son: ∅,{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4}, {2,3,4},{1,2,3,4}. Así, el conjunto potencia de D, P(D) es P(D)={∅,{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},{1,2,3},{1,2,4},{1,3, 4},{2,3,4},{1,2,3,4}}. Observe que el conjunto potencia de cualquier conjunto A contiene al conjunto vacío y al mismo conjunto A. Observe que: • El conjunto A tiene un elemento y su conjunto potencia tiene 2 elementos. • El conjunto B tiene 2 elementos y su conjunto potencia tiene 4 elementos. • El conjunto C tiene 3 elementos y su conjunto potencia tiene 8 elementos. • El conjunto D tiene 4 elementos y su conjunto potencia tiene 16 elementos. Lo anterior sugiere una relación para el número de elementos del conjunto potencia a partir de los elementos del conjunto. Unidad II: Teoría de conjuntos Principios básicos 78 Una introducción a las matemáticas de la computación Propiedad 2.1.3 Si n>0 es el número de elementos de A entonces el número de elementos de P(A) es 2n. Ejemplos 2.1.25 Determine el conjunto potencia y la cardinalidad de los siguientes conjuntos. a) A={x | x2+1=0} |A|=0. P(A)={{}} |P(A)|=0. b) B={x | x2–1=0} |B|=1. P(B) = {{1},{}} |P(B)|=21=2. c) C={x | x2–5x+6} |C|=2. P(C)={{2},{3},{2,3},{}} |P(C)|=22 =4. d) D={x | x(x–1)(x–2)=0} |D|=3. P(D) = {{0},{1},{2},{0,1},{1,2},{1,2},{0,1,2},{}} |P(D)|=23=8. e) F={1,2,{2,3}} |F|=3. P(F)={{1},{2},{{2,3}},1,2},{1,{2,3}},{2,{2,3}},{1,2,{2,3}}, Ø} |P(F)|=8. f) G={a,e,i,o,u} |G|=5. P(G)={Ø,{a},{e},{i},{o},{u},{a,e},{a,i},{a,o},{a,u},{e,i},{e,o},{e,u},{i,o},{i,u}, {o,u},{a,e,i},{a,e,o},{a,e,u},{a,i,o},{a,i,u},{a,o,u},{e,i,o},{e,i,u},{e,o,u},{i,o,u}, {a,e,i,o},{a,e,i,u},{a,e,o,u},{a,i,o,u},{e,i,o,u},{a,e,i,o,u}} P(G)|=32. g) H={a,b,c} |H|=3. P(H)={{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c},Ø } |P(H)|=8. h) I={{Ø},{1}} |I|=2. P(I)={{{Ø}},{{1}},{{Ø},{1}},Ø} |P(I)|=4. i) J={Ø,5} |J|=2. P(J)={{Ø}, {5}, {Ø, 5}, Ø} |P(J)|=4. Ejemplo 2.1.3 Ejemplo 2.1.8 Ejemplo 2.1.9 Ejemplo 2.1.10 Solución Solución Solución Solución Ejemplo 2.1.22 Teorema 2.1.1 Demostración Teorema 2.1.3 Propiedad 2.1.3
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