Derivadas: Conceito, Cálculo e Aplicações

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Clase 17
Derivadas
La derivación, en el contexto de este curso, es una operación que se ejecuta sobre una función real.
Aunque en principio, se concibe la derivada de una función en un punto, (que tiene un resultado numérico) el concepto se extiende naturalmente llegándose así al concepto de la función derivada. 
La derivación en un punto x=a es posible solo si:
La función es continua en x=a
El gráfico en el punto es una curva “suave” cuya tangente no es paralela a Y
La derivada es una poderosa herramienta de las matemáticas. Fue desarrollada principalmente por Isaac Newton y Gottfried Leibniz en el siglo XVII, aunque hubo aproximaciones anteriores al concepto de derivada. 
Ejercicios: en cada caso, indique el punto donde la función no es derivable y porqué
x=0, no es curva suave
x=0, no es curva suave y tangente paralela a Y
x=0, no es curva suave
x=0, tangente paralela a Y
discontinua en los enteros
discontinua en x=1
La derivada de y= f(x) en el punto x=a, se denota de las siguientes formas:
La definición formal de la derivada de f(x) en el punto x=a se expresa mediante el siguiente límite:
Nota: En el contexto de la Econometría, se denota habitualmente la transpuesta de una matriz A usando A’ , lo que no debe confundirse con la derivada.
El límite señalado, tiene la forma y por tanto no siempre existe la derivada, como se vio antes
Definición
Como se señaló, el concepto de la derivada en un punto, puede extenderse al de una función derivada. Más concretamente:
Ejercicios: Usando la definición, encuentre la derivada en cada caso. Si no existe, indique porqué.
(1) 
(2) 
(3) 
(4) 
(5) 
(6) 
 
(1) 
(4) 
Ecuación de la recta tangente
Ejemplo
Hallar la recta tangente a en 
Desarrollo
Si entonces y 
La recta tangente es: 
La derivada en un punto, es igual a la pendiente de la recta tangente al gráfico en ese punto. Más concretamente, la ecuación de la recta tangente al gráfico de y=f(x) en el punto (a, b) es: 
Ejemplo:
La derivada de tiene valor 12 Encuentre la ecuación de la recta tangente al gráfico en x=2 
Ejercicios
Encuentre la ecuación de la recta tangente en cada caso
(1) 
(2) 
(3) 
(4) 
(5) 2
Variación de una función en el margen y derivadas (cambio marginal)
Una importante aplicación de la derivada es que permite aproximar la variación de una función cuando el argumento se incrementa en un monto pequeño o marginal.
En efecto: 
C
En particular, si 
Ejemplo: Si 
Ejercicios
(1) En una empresa, el costo de producción en función de la cantidad producida x, está dado por 
Estime cuanto aumenta el costo si la producción pasa de: 
(2) Una empresa constructora sabe que el tiempo que toman las terminaciones de una casa está dado por 
Estime cuanto varía el tiempo de terminación si x pasa de: 
Notar que al aumentar el número de trabajadores, disminuye el tiempo de terminación. Pero al pasar de 3 a 4 trabajadores, la disminución es mucho mayor que la que se tiene al pasar de 9 a 10 trabajadores.