2 TRANSPORTE PARALELO

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TRANSPORTE PARALELO 
 
A continuación recordamos la definición de campo paralelo: 
 
Definición: Sea 𝑆 una superficie regular, un campo de vectores 𝑋 a lo largo de una curva 
parametrizada 𝛼: 𝐼 → 𝑆 es llamado de campo paralelo si 
𝐷 𝑋
𝛿 𝑡
(𝑡) = 0 para todo 𝑡 ∈ 𝐼 
Ejemplo: Los círculos máximos de una esfera parametrizados por longitud de arco tiene a sus 
vectores velocidad como campos paralelos, por ejemplo, en la esfera unitaria 𝑆2, la curva 
𝛼(𝑡) =(cos(t),sen(t),0) p.l.a parametriza a un circulo máximo, entonces, 
𝑋(𝑡) = 𝛼′(𝑡)(−(𝑠𝑒𝑛(𝑡), −cos(𝑡) , 0) 
es un campo paralelo a lo largo de 𝛼. ¿Por qué? 
 
 
 
La siguiente proposición es de fácil verificación usando propiedades básicas de derivación. 
Proposición: Sean 𝛼: 𝐼 → 𝑆 una curva parametrizada y 𝑋, 𝑌 dos campos paralelos a lo largo de 
𝛼, entonces 〈𝑋(𝑡), 𝑌(𝑡)〉 = 𝑐𝑡𝑒 
 
Demostración. 
Recuerde que 
𝐷
𝜕 𝑡
𝑋(𝑡) es la proyección ortogonal de 𝑋 ′(𝑡) sobre el plano tangente 𝑇𝛼(𝑡)𝑆. 
Entonces 
𝜕
𝜕 𝑡
〈𝑋(𝑡), 𝑌(𝑡)〉 = 〈𝑋′(𝑡), 𝑌(𝑡)〉 + 〈𝑋(𝑡), 𝑌′(𝑡)〉 
Luego 
𝜕
𝜕 𝑡
〈𝑋(𝑡), 𝑌(𝑡)〉 = 〈
𝐷
𝜕 𝑡
𝑋(𝑡) , 𝑌(𝑡)〉 + 〈𝑋(𝑡),
𝐷
𝜕 𝑡
𝑌(𝑡) 〉 = 0 
 
Como consecuencia de esta proposición tenemos que la norma de un campo paralelo a lo largo 
de una curva es constante. 
Transporte Paralelo 
¿Qué se puede entender por transporte paralelo?, por ejemplo si tenemos un curva plana 𝛼: 𝐼 →
ℝ2 y tenemos un vector 𝑣0, ¿cómo lo podemos llevar paralelamente a lo largo de esta curva? 
 
Simplemente lo trasladamos a lo largo de la curva y esto es equivalente a decir que este campo 
es constante, esto es su derivada es constante, lo que implica que en una superficie esto se 
tiene que hacer con campos paralelos y nos da una idea del significado de transporte paralelo. 
Proposición. Sean 𝛼: 𝐼 → 𝑆 una curva parametrizada y 𝑥0 ∈ 𝑇𝛼(𝑡0)𝑆. Entonces existe un 
único campo paralelo 𝑋(𝑡) a lo largo de 𝛼(𝑡) de modo que 𝑋(𝑡0) = 𝑥0. (𝑋(𝑡) es llamado el 
transporte paralelo de 𝑥0.a lo largo de 𝛼) 
Demostración. 
La unicidad es inmediata usando el hecho que la norma de campos paralelos es constante. 
Para probar la existencia debemos suponer primero que 𝛼(𝐼) es contenida en una vecindad 
coordenada ¿POR QUÉ? 
 
Supongamos que 𝛼(𝐼) ⊂ 𝑉 donde 𝜑: 𝑈 ⊂ ℝ2 → 𝑉 ⊂ 𝑆 es una parametrización. 
Sabemos que si 
𝑋(𝑡) = 𝑎(𝑡)𝜑𝑢 + 𝑏(𝑡)𝜑𝑣 
Entonces 
𝑋′(𝑡) = 𝑎(𝑢′ 𝜑𝑢𝑢 + 𝑣′ 𝜑𝑢𝑣) + 𝑏(𝑢′ 𝜑𝑣𝑢 + 𝑣′ 𝜑𝑣𝑣) + 𝑎′ 𝜑𝑢 + 𝑏′ 𝜑𝑣 
Por lo que 
0 =
𝐷 𝑋
𝜕 𝑡
(𝑡) = (𝑎′ + 𝑎 𝑢′Γ11
1 + 𝑎𝑣′ Γ12
1 + 𝑏𝑢′Γ12
1
+ 𝑏𝑣′Γ22
1 )𝜑𝑢
+ (𝑏′ + 𝑎 𝑢′Γ11
2 + 𝑎𝑣′ Γ12
2 + 𝑏𝑢′Γ12
2 + 𝑏𝑣′Γ22
2 )𝜑𝑢 
 
Esto implica que 
𝑎′ + 𝑎 𝑢′Γ11
1 + 𝑎𝑣′ Γ12
1 + 𝑏𝑢′Γ12
1 + 𝑏𝑣′Γ22
1 = 0 
𝑏′ + 𝑎 𝑢′Γ11
2 + 𝑎𝑣′ Γ12
2 + 𝑏𝑢′Γ12
2 + 𝑏𝑣′Γ22
2 = 0 
 
Por lo que tenemos un sistema de ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales, lo que 
prueba la existencia y unicidad ¿POR QUÉ? 
 En el siguiente grafico tenemos una curva de ℝ2 y un campo a lo largo de esta curva, ¿este 
campo es una campo paralelo de esta curva? 
 
¿Y con respecto al campo de la curva de 𝑆2 dada por el gráfico a seguir?