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Integral definida Dpto. Académico de Matemática Universidad Nacional Agraria La Molina Ciclo: 2020 - II Dpto. Académico de Matemática (UNALM) Integral definida Ciclo: 2020 -II 1 / 16 Contenido 1 2.5.1 Integral impropia de primera especie 2 2.5.2 Integral impropia de segunda especie 3 2.5.3 Integral impropia de tercera especie Dpto. Académico de Matemática (UNALM) Integral definida 2 / 16Ciclo: 2020 -II 2.5 Integral impropia Definición (Integral impropia) Se dice que la integral ∫ b a f (x)dx es una integral impropia si se cumple al menos una de las condiciones siguientes: i) a = −∞ ∨ b = ∞ ii) Si existe un c ∈ I tal que lim x→c f (x) = −∞ ∨ lim x→c f (x) = ∞, donde I es el intervalo de integración. Ejemplo 1. A continuación mencionaremos algunas integrales impropias: a) ∫ 0 −∞ ex sen xdx b) ∫ ∞ e 1 x dx c) ∫ ∞ −∞ 1 1 + x2 dx d) ∫ 4 0 1 x − 4dx e) ∫ 3 −1 1 x2 − 9dx f ) ∫ 5 −4 1 (1− x)2/3 dx g) ∫ ∞ 0 1 x dx h) ∫ 4 −∞ 2x x2 − 4dx i) ∫ ∞ −∞ 1 (1 + x)2 dx Dpto. Académico de Matemática (UNALM) Integral definida 3 / 16 Ciclo: 2020 -II Definición (Integral convergente) Se dice que la integral impropia ∫ b a f (x)dx es convergente si ∫ b a f (x)dx ∈ R. En el caso que ∫ b a f (x)dx = −∞ ∨ ∫ b a f (x)dx = ∞, se dirá que la integral ∫ b a f (x)dx es divergente. Dpto. Académico de Matemática (UNALM) Integral definida 4 / 16 2.5.1 Integral impropia de primera especie Es la integral con intervalo de integración no acotado y el integrando es continua en el intervalo de integración. Se presentan los casos siguientes: Caso 1. ∫ b −∞ f (x)dx def = lim a→−∞ ∫ b a f (x)dx ,donde f es una función continua en < −∞, b] Caso 2. ∫ ∞ a f (x)dx def = lim b→∞ ∫ b a f (x)dx ,donde f es una función continua en [a, ∞ > Caso 3. ∫ ∞ −∞ f (x)dx def = ∫ c −∞ f (x)dx + ∫ ∞ c f (x)dx ,donde f es continua en < −∞, ∞ > Dpto. Académico de Matemática (UNALM) Integral definida 5 / 16 Ejercicios resueltos de integrales impropias de 1era especie Ejemplo. Determine la convergencia o divergencia de: ∫ 0 −∞ 2x x2 + 1 dx Solución ∫ 0 −∞ 2x x2 + 1 dx = lim a→−∞ ∫ 0 a 2x x2 + 1 dx = lim a→−∞ ( ln(x2 + 1) ∣∣0 a ) = lim t→−∞ (ln (1)− ln ( a2 + 1 ) ) = − lim a→−∞ ln ( a2 + 1 ) = −∞ Por lo tanto, la integral diverge. Dpto. Académico de Matemática (UNALM) Integral definida 6 / 16 Ejemplo. Determine la convergencia o divergencia de: ∫ ∞ 0 xe−xdx Solución Por definición de integral impropia y luego por integración por partes con u = x , dv = e−xdx ,se tiene: ∫ ∞ 0 xe−xdx = lim b→∞ ∫ b 0 xe−xdx = lim b→∞ [ −xe−x − e−x ]b 0 = lim b→∞ [ −e−b − be−b + 1 ] = 1 Por lo tanto, la integral converge al valor de 1. Dpto. Académico de Matemática (UNALM) Integral definida 7 / 16 Ejercicios propuestos En cada uno de los siguientes integrales analice si la integral es convergente. En caso afirmativo, determine su valor: 1 . ∫ 0 −∞ 1 (x − 1)(x − 2)dx 2 . ∫ ∞ 1 ln x x2 dx 3 . ∫ ∞ −∞ x x4 + 15 dx Dpto. Académico de Matemática (UNALM) Integral definida 8 / 16 2.5.2 Integral impropia de segunda especie Es la integral con intervalo de integración acotado y el integrando no es acotado . Se presentan los casos siguientes: Caso 1. Si f es una función continua en el intervalo < a, b], y si lim x→a+ f (x) = +∞ ∨−∞, se define como: ∫ b a f (x)dx def = lim ε→0+ ∫ b a+ε f (x)dx Caso 2. Si f es una función continua en el intervalo [a, b >, y si lim x→b− f (x) = +∞ ∨−∞, se define como: ∫ b a f (x)dx = lim ε→0+ ∫ b−ε a f (x)dx Caso 3. Si f es una función continua en el intervalo [a, b] excepto en x = c ∈< a, b > y lim x→c f (x) = ∞, donde c ∈< a, b >: ∫ b a f (x)dx def = lim ε→0+ ∫ c−ε a f (x)dx + lim ε→0+ ∫ b c+ε f (x)dx Dpto. Académico de Matemática (UNALM) Integral definida 9 / 16 Ejercicios resueltos de integrales impropias de 2da especie Ejemplo. Determine la convergencia o divergencia de: ∫ 1 0 1 (x − 1)2/3 dx Solución Se observa que el integrando f (x) = 1 (x − 1)2/3 no es acotado en x = 1 ∈ [0, 1] pues lim x→1 f (x) = ∞. Luego, por definición de integral impropia de 2da especie se tiene: ∫ 1 0 1 (x − 1)2/3 dx = lim ε→0+ ∫ 1−ε 0 1 (x − 1)2/3 dx = lim ε→0+ [ 3(x − 1)1/3 ]1−ε 0 = 3 lim ε→0+ [ε1/3 + 1] = 3 Por lo tanto, la integral converge al valor de 3. Dpto. Académico de Matemática (UNALM) Integral definida 10 / 16 Ejemplo. Calcule: ∫ 9 −1 1 5 √ (x − 7)4 dx Solución Se observa que el integrando f (x) = 1 5 √ (x − 7)4 no es acotado en x = 7 ∈ [−1, 9] pues lim x→7 f (x) = ∞. Luego, por definición de integral impropia de 2da especie se tiene: ∫ 9 −1 1 5 √ (x − 7)4 dx = ∫ 7 −1 1 5 √ (x − 7)4 dx + ∫ 9 7 1 5 √ (x − 7)4 dx = lim ε→0+ ∫ 7−ε −1 1 5 √ (x − 7)4 + lim ε̂→0+ ∫ 9 7+ε̂ 1 5 √ (x − 7)4 = lim ε→0+ [ 5(x − 7)1/5 ]7−ε −1 + lim ε̂→0+ [ 5(x − 7)1/5 ]9 7+ε̂ = 5 lim ε→0+ [−ε1/5 + 81/5] + 5 lim ε̂→0+ [21/5 − ˆε1/5+] = 5( 5 √ 8 + 5 √ 2) Dpto. Académico de Matemática (UNALM) Integral definida 11 / 16 Ejemplo. Calcule: ∫ 0 −1 arcsen x√ 1− x2 dx Solución Se observa que el integrando f (x) = arcsen x√ 1− x2 no es acotado en x = −1 pues lim x→−1 f (x) = ∞. Luego, por definición de integral impropia de 2da especie se tiene: ∫ 0 −1 arcsen x√ 1− x2 dx = lim ε→0+ ∫ 0 −1+ε arcsen x√ 1− x2 dx = lim ε→0+ [ (arcsen x)2 2 ]0 −1+ε = lim ε→0+ [ (arcsen 0)2 2 − (arcsen(−1 + ε)) 2 2 ] = lim ε→0+ [ − (arcsen(−1 + ε)) 2 2 ] = −π 2 8 Dpto. Académico de Matemática (UNALM) Integral definida 12 / 16 Ejercicios propuestos En cada uno de los siguientes integrales analice si la integral es convergente. En caso afirmativo, determine su valor: 1 . ∫ 1 −1 1 3 √ x dx 2 . ∫ 1/4 0 1 x ln x2 dx Dpto. Académico de Matemática (UNALM) Integral definida 13 / 16 2.5.3 Integral impropia de tercera especie Es la integral cuyo intervalo de integración es no acotado y su integrando no es acotado . Para el estudio de su convergencia éstas integral se descomponen en tantas integrales de modo que cada una de los sumando sea una integral de primer o de segunta especie. En el caso que cada una de las integrales del lado derecho es convergente la integral estudiada será convergente, pero si una de la integrales del lado derecho es divergente la integral estudiada es divergente. Ejemplo. Para estudiar la convergencia de la integral ∫ ∞ −3 x − 18 (x − 1)(x + 2)dx , una forma de descomponer ésta integral será:∫ ∞ −3 f (x)dx = ∫ −2 −3 f (x)dx + ∫ 0 −2 f (x)dx + ∫ 1 0 f (x)dx + ∫ ∞ 1 f (x)dx , donde f (x) = x − 18 (x − 1)(x + 2) Dpto. Académico de Matemática (UNALM) Integral definida 14 / 16 Ejercicios resueltos de integrales de 3ra especie Ejemplo. Analice si ∫ ∞ 0 1 3 √ x dx es una integral convergente. Solución Es claro que ∫ ∞ 0 1 3 √ x dx es una integral de tercera especie. I = ∫ ∞ 0 1 3 √ x dx = ∫ 1 0 1 3 √ x dx + ∫ ∞ 1 1 3 √ x dx I1 = ∫ 1 0 1 3 √ x dx = lim ε→0+ ∫ 1 0+ε 1 3 √ x dx = lim ε→0+ [ 3 2 x2/3 ]1 ε = lim ε→0+ [ 3 2 − 3 2 ε2/3] = 1 I2 = ∫ ∞ 1 1 3 √ x dx = lim b→∞ ∫ b 1 1 3 √ x dx = lim b→∞ [ 3 2 x2/3 ]b 1 = lim b→∞ [ 3 2 b2/3 − 3 2 ] = ∞ Como I1 es divergente, entonces, I = ∫ ∞ 0 1 3 √ x dx es divergente. Dpto. Académico de Matemática (UNALM) Integral definida 15 / 16 Ejercicios propuestos En cada uno de los siguientes integrales analice si la integral es convergente. En caso afirmativo, determine su valor: 1 . ∫ ∞ 0 1 x2 + x dx 2 . ∫ ∞ 0 1√ x(x + 1) dx Dpto. Académico de Matemática (UNALM) Integral definida 16 / 16
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