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1 Límites Problema 1 Sea la función f de�nida por f(x) = jxj x : Calcule, si existe lim x!0 f(x): Solución. Sabemos que jxj = � x ; x � 0 �x ; x < 0 ;esto implica que debemos consid- erar los límites laterales alrededor de x0 = 0: lim x!0� �x x = lim x!0� �1 = �1 ; lim x!0+ x x = lim x!0� 1 = 1 : Como los límites laterales son distintos, en virtud del teorema de unicidad del límite, se tiene que no existe lim x!0 f(x): Problema 2. Calcule, si existe lim x!�1 5x2sgn (x� 1) + 3 2x+ 1 : Solución. Sabemos que sgn (x� 1) = 8<: 1 ; x > 10 ; x = 1�1 ; x < 1 En virtud del caracter local del límite, x ! �1 signi�ca que los valores de x se encuentran en un intervalo abierto con centro en x = �1; es decir x 2 h�1� �;�1 + �i dentro del cual todos los valores cumplen x < 1; por lo tanto sgn(x� 1) = �1: Luego el límite queda como lim x!�1 5x2sgn (x� 1) + 3 2x+ 1 = lim x!�1 �5x2 + 3 2x+ 1 = 2: Problema 3. Halle lim x!1 2x2 + x� 1 x3 � 5x+ 6 : Solución: lim x!2 2x2 + x� 1 x3 � 5x+ 6 = 2(4) + 2� 1 8� 5(2) + 6 = 9 4 2 Cálculo de límites de la forma 0/0. Problema 4. Calcule lim x!�1 �2x4 + 7x3 � 9x �x3 + 2x2 + 3x : Solución evaluando el límite tenemos lim x!�1 �2x4 + 7x3 � 9x �x3 + 2x2 + 3x = 0 0 1 para eliminar la indeterminación factorizamos numerador y denominador con el �n de eliminar los factores (x+ 1) lim x!�1 �2x4 + 7x3 � 9x �x3 + 2x2 + 3x = limx!�1 �x(x+ 1)(2x2 � 9x+ 9) �x(x+ 1)(x� 3) = limx!�1 (2x2 � 9x+ 9) (x� 3) = 5 Problema 5. Calcule lim x!4 3� p 5 + x 1� p 5� x : Solución. Evaluando el límite tenemos lim x!4 3� p 5 + x 1� p 5� x = lim x!0 x p 2x2 + 3x+ 1 + x 3 p 3x� 1p x2 + 1� 2 4 p x2 + 1 + 3 p x2 + 1 : Para eliminar la indeterminación, se multiplica al numerador y al denominador por la conjugada del numerador, así como por la conjugada del denomi- nador. lim x!4 3� p 5 + x 1� p 5� x = lim x!4 � 3� p 5 + x � � 3 + p 5 + x � � 1 + p 5� x �� 1� p 5� x � � 1 + p 5� x � � 3 + p 5 + x � = lim x!4 � 32 � (5 + x) � � 1 + p 5� x � (1� (5� x)) � 3 + p 5 + x � = lim x!4 (4� x) � 1 + p 5� x � (x� 4) � 3 + p 5 + x � = � lim x!4 1 + p 5� x 3 + p 5 + x = �1 3 : Problema 6. Calcule lim x!0 x p 2x2 + 3x+ 1 + x 3 p 3x� 1p x2 + 1� 2 4 p x2 + 1 + 3 p x2 + 1 : Solución. Evaluando el límite tenemos lim x!0 x p 2x2 + 3x+ 1 + x 3 p 3x� 1p x2 + 1� 2 4 p x2 + 1 + 3 p x2 + 1 = 0 0 Dividiendo numerador y denominador entre x2 L = lim x!0 p 2x2 + 3x+ 1� 1 x + 1 + 3 p 3x� 1 xp x2 + 1� 2 4 p x2 + 1 + 3 p x2 + 1 x2 donde lim x!0 �p 2x2 + 3x+ 1� 1 � �p 2x2 + 3x+ 1 + 1 � x �p 2x2 + 3x+ 1 + 1 � = 3 2 y lim x!0 � 1 + 3 p x2 + 1 � � 1� 3 p x2 + 1 + � 3 p x2 + 1 �2� x � 1� 3 p x2 + 1 + � 3 p x2 + 1 �2� = 1 2 haciendo el cambio de variable t12 = x2 + 1 se tiene lim x!0 x p 2x2 + 3x+ 1 + x 3 p 3x� 1p x2 + 1� 2 4 p x2 + 1 + 3 p x2 + 1 = lim x!0 t6 � 2t3 + t4 t12 � 1 = limx!0 t3 � t2 + t+ 2 � (t� 1) (t� 1) (t11 + t10 + ::::+ 1) Finalmente, L = 3 2 + 1 1 3 = 15 2 : Problema 7. Calcule lim x!1 p x+ 3� 3 p 6x+ 2 x2 � 1 : Solución. Evaluando el límite tenemos: lim x!1 p x+ 3� 3 p 6x+ 2 x2 � 1 = 2� 2 1� 1 = 0 0 : Para eliminar la indeterminación, agrupamos en el denominado L = lim x!1 p x+ 3� 2� 3 p 6x+ 2 + 2 x2 � 1 = limx!1 p x+ 3� 2 x2 � 1 � limx!1 3 p 6x+ 2� 2 x2 � 1 Resolvemos cada límite, lim x!1 ( p x+ 3� 2)( p x+ 3 + 2) (x+ 1)(x� 1)( p x+ 3 + 2) = lim x!1 x+ 3� 22 (x+ 1)(x� 1)( p x+ 3 + 2) = lim x!1 x� 1 (x+ 1)(x� 1)( p x+ 3 + 2) = 1 8 Por otro lado, lim x!1 3 p 6x+ 2� 2 x2 � 1 = limx!1 ( 3 p 6x+ 2� 2) FRz }| { (( 3 p 6x+ 2)2 + 2 3 p 6x+ 2 + 4) (x� 1)(x+ 1)(FR) = lim x!1 (6x+ 2� 23) (x� 1)(x+ 1)(FR) lim x!1 6(x� 1) (x� 1)(x+ 1)(FR) = limx!1 6 (x+ 1)(FR) = lim x!1 6 (x+ 1)(( 3 p 6x+ 2)2 + 2 3 p 6x+ 2 + 4) = 1 4 Finalmente se obtiene L = 1 8 � 1 4 = �1 8 : Problema 8. Calcule lim x!3 3 p 4x2 � 9 + p 2x� 5� 4 x2 � x� 6 : Solución. 3 Evaluando el límite tenemos: lim x!3 3 p 4x2 � 9 + p 2x� 5� 4 x2 � x� 6 = 0 0 lim x!3 3 p 4x2 � 9� 3 + p 2x� 5� 1 x2 � x� 6 = limx!3 3 p 4x2 � 9� 3 x2 � x� 6| {z } L1 + lim x!3 p 2x� 5� 1 x2 � x� 6| {z } L2 L1 = lim x!3 � 3 p 4x2 � 9� 3 � � 3 p 4x2 � 92 + 3 3 p 4x2 � 9 + 9 � (x� 3) (x+ 2) � 3 p 4x2 � 92 + 3 3 p 4x2 � 9 + 9 � = lim x!3 4 (x� 3) (x+ 3) (x� 3) (x+ 2) � 3 p 4x2 � 92 + 3 3 p 4x2 � 9 + 9 � = 8 45 L2 = lim x!3 �p 2x� 5� 1 � �p 2x� 5 + 1 � (x� 3) (x+ 2) �p 2x� 5 + 1 � = lim x!3 2 (x� 3) (x� 3) (x+ 2) �p 2x� 5 + 1 � = 1 5 entonces, L = L1 + L2 = 17 45 Problema 9. Calcule lim x!1 p x2 + 8 + 3 p 2� 3x2 � 2 x� 1 : Evaluando el límite tenemos: lim x!1 p x2 + 8 + 3 p 2� 3x2 � 2 x� 1 = 0 0 : Para eliminar la indeterminación, agrupamos en el numerador, para luego obtener una suma de límites. lim x!1 p x2 + 8� 3 + 3 p 2� 3x2 + 1 x� 1 = limx!1 p x2 + 8� 3 x� 1 +limx!1 3 p 2� 3x2 + 1 x� 1 : Resolvemos cada límite, lim x!1 �p x2 + 8� 3 � �p x2 + 8 + 3 � (x� 1) �p x2 + 8 + 3 � = lim x!1 x2 + 8� 32 (x� 1) �p x2 + 8 + 3 � = lim x!1 (x� 1) (x+ 1) (x� 1) �p x2 + 8 + 3 � = lim x!1 x+ 1p x2 + 8 + 3 = 1 3 : Por otro lado, = lim x!1 � 3 p 2� 3x2 + 1 � FRz }| {�� 3 p 2� 3x2 �2 � 3 p 2� 3x2 + 1 � (x� 1) (FR) = lim x!1 2� 3x2 + 1 (x� 1) (FR) = limx!1 �3 (x� 1) (x+ 1) (x� 1) (FR) = limx!1 �3 (x+ 1)� 3 p 2� 3x2 �2 � 3p2� 3x2 + 1 = �2: 4 Finalmente se obtiene 1 3 � 2 = �5 3 : Problema 10. Calcule lim x!1 p x+ p 4x+ 5� p 3x+ 13 x� 1 Solución. Nótese que este límite es de la forma 00 y además los términos subradicales son diferentes. En este caso evaluamos cada raíz y se resta dicha cantidad, luego agru- pando obtenemos: = lim x!1 p x+ p 4x+ 5� p 3x+ 13 x� 1 = limx!1 ( p x� 1) + ( p 4x+ 5� 3)� ( p 3x+ 13� 4) x� 1 = lim x!1 �p x� 1 x� 1 + p 4x+ 5� 3 x� 1 � p 3x+ 13� 4 x� 1 � = lim x!1 ( p x� 1) ( p x+ 1) (x� 1) ( p x+ 1) + lim x!1 �p 4x+ 5� 3 � �p 4x+ 5 + 3 � (x� 1) �p 4x+ 5 + 3 � � lim x!1 �p 3x+ 13� 4 � �p 3x+ 13 + 4 � (x� 1) �p 3x+ 13 + 4 � = lim x!1 � 1p x+ 1 + 4p 4x+ 5 + 3 � 3p 3x+ 13 + 4 � = lim x!1 1p x+ 1 + lim x!1 4p 4x+ 5 + 3 � lim x!1 3p 3x+ 13 + 4 = 1 2 + 2 3 � 3 8 = 19 24 3 Límites laterales. Problema 11. Dada la función: f(x) = 8>><>>: p 2a+ 2bx ; x � 1 1 + p x+ b x+ 2 ; x > 1 Si lim x!8� f(x) = 2 5 y lim x!1 f(x) existe, calcular los valores de a y b: Solución. Se tiene, lim x!8� 1 + p x+ b x+ 2 � = 2 5 =) 1 + p 8 + b 8 + 2 = 2 5 =) b = 1: además como existe lim x�!1 f(x) ; entonces calculamos los limites laterales que deben ser iguales. 5 �) lim x!1� f(x) = lim x!1� p 2a+ 2bx = p 2a+ 2 �) lim x!1+ f(x) = lim x!1+ = 1 + p x+ 1 x+ 2 = 1 + p 2 3 =) p 2a+ 2 = 1 + p 2 3 =) a = 2� 5 p 2 6 : Problema 12. Dada la función f(x) = 8<: (x+ 4) 2 + 3 ; x � �3 jx� 3j � 2 ; x 2 h�3; 4] jx� 4j ; x > 4 a) Gra�que f: b) Del grá�co calcule, si es que existen, lim x!�3 f (x) y lim x!4 f (x). Solución. -6 -4 -2 2 4 6 -5 5 10 X Y b) lim x!�3� f (x) = 4 ^ lim x!�3+ f (x) = 4 =) lim x!�3 f (x) = 4 lim x!�4� f (x) = �1 ^ lim x!�4+ f (x) = 0 =) @ lim x!�4 f (x) Problema 13. Sea la función f(x) = 8>>><>>>: 3� p 4 + x x� 5 ; x � 5 1 x2 � 7x+ 4 ; x > 5 6 Calcule si existe, lim x!5 f(x). Solución : Procedemos a calcular los límites laterales. lim x!5� 3� p 4 + x x� 5 = 0 0 ; luego lim x!5� � 3� p 4 + x � � 3 + p 4 + x � (x� 5) � 3 + p 4 + x � = lim x!5� 9� (4 + x) (x� 5) � 3 + p 4 + x � = lim x!5� � (x� 5) (x� 5) � 3 + p 4 + x � = lim x!5� �1 3 + p 4 + x = �1 6 : Por otro lado tenemos lim x!5+ 1 x2 � 7x+ 4 = � 1 6 : Como lim x!5� f(x) = lim x!5+ f(x) entonces existe lim x!5 f(x) = �1 6 : Problema 14. Calcule lim x!0+ jax� 1j � jax+ 1j x ; a > 1: Solución. Usando la de�nición de valor absoluto tenemos jax� 1j = � ax� 1 ; x � 1a 1� ax ; x < 1a ; jax+ 1j = � ax+ 1 ; x � � 1a �ax� 1 ; x < � 1a Por otro lado : si a > 1) 0 < 1a < 1: Calcular el límite cuando x ! 0+ signi�ca que analizamosla función en los valores más cercanos a la derecha de x = 0: A la vez, estos valores son aquellos que están a la izquierda de 1a , es decir, x < 1 a . Por lo tanto, jax� 1j = 1� ax y jax+ 1j = ax+ 1 así el límite queda lim x!0+ jax� 1j � jax+ 1j x = lim x!0+ 1� ax� ax� 1 x = lim x!0+ �2ax x = lim x!0+ �2a = �2a: 7 Problema 15. Sea la función de�nida por: f(x) = 8>>><>>>: p ax� b x2 � bx ; 0 < x < 1 x(2x2 � 3x+ b) x2 � 1 ; 1 < x � 2 Hallar el valor de a y b , si lim x!1 f(x) = 12 y además a > 0: Solución. Como lim x!1 f(x) = 12 ; esto implica calcular los límites laterales respectivos y además cada uno de ellos es igual a 12 : En efecto. lim x!1� p ax� b x2 � bx = b� p a b� 1 = 1 2 , b = 2 p a� 1: (1) lim x!1+ x(2x2 � 3x+ b) x2 � 1 = limx!1+ x x+ 1 : 2x2 � 3x+ b x� 1 = � lim x!1+ x x+ 1 �� lim x!1+ 2x2 � 3x+ b x� 1 � = 1 2 : Analizando los términos del segundo límite tenemos : 2x2 � 3x+ b x� 1 = 2x� 1 + b� 1 x� 1 : Para eliminar el CERO del denominador se debe cumplir que b � 1 = 0; entonces b = 1: Sustituimos en la ecuación (1) : 1 = 2 p a� 1) a = 1: Problema 16. Si f(x) = 8>>><>>>: x2 � x x2 + ax ; �1 < x < 0 x� p x x2 + p x ; x > 0 Halle el valor de a; de modo que lim x!0 f(x) exista. Solución. Es necesario tomar límites laterales. lim x!0� f(x) = lim x!0� x2 � x x2 + ax = lim x!0� x� 1 a+ x = �1 a 8 y lim x!0+ f(x) = lim x!0+ x� p x x2 + p x = lim x!0+ p x� 1 x3=2 + 1 = �1: Luego, en virtud de la unicidad del límite se tiene �1 a = �1) a = 1: Problema 17. Hallar los valores de las constantes a, b y c de modo que lim x!�2+ f (x) = +1 y lim x!4 f (x) = b+ c; si f(x) = 8>><>>: 8 jx+ 2j (2ax+ 2) 2 ; x < 4 bx2 � cx ; x > 4 Solución. De acuerdo con la de�nición del valor absoluto y para todo x < 4 tenemos jx+ 2j = � x+ 2 ; x � �2 � (x+ 2) ; x < �2 ^ x < 4) jx+ 2j = � x+ 2 , x 2 [�2; 4i �x� 2 ; x < �2 : Para el cálculo de lim x!4 f (x) ; consideramos un intervalo con centro en x = 4 tan pequeño como se quiera, de modo que los valores de x menores que 4 para todo x < 4 se tenga jx+ 2j = x+ 2; luego lim x!4� f (x) = lim x!4� 8 (x+ 2) (2ax+ 2) 2 = 48 (8a+ 2) 2 = 12 (4a+ 1) 2 (2) y lim x!4+ f (x) = lim x!4+ � bx2 � cx � = 16b� 4c (3) Del enunciado se tiene que lim x!4 f (x) = b+ c y usando (2) y (3), tenemos 12 (4a+ 1) 2 = 16b� 4c = b+ c (4) Por otro lado, lim x!�2+ f (x) implica que, para x > �2; se tiene jx+ 2j = x+ 2; así lim x!�2+ 8 (x+ 2) (2ax+ 2) 2 = lim x!�2+ 2 (x+ 2) (ax+ 1) 2 = +1; con el �n de que se tenga la igualdad de arriba, debemos eliminar el factor que se hace cero en el numerador, para ello x+ 2 = 0 ^ ax+ 1 = 0, x = �2 ^ x = �1 a , �2 = �1 a , a = 1 2 : (5) 9 Con esto se veri�ca que lim x!�2+ 8 (x+ 2) (2ax+ 2) 2 = lim x!�2+ 8 (x+ 2) (x+ 2) 2 = lim x!�2+ 8 x+ 2 = +1: Usando los resultados de (4) y (5), obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones : 4b� c = 1=3 b+ c = 4=3 cuya solución es b = 1 3 y c = 1: Problema 18. En la función f(x) = 8>><>>: ax2 � ax� 2a x3 � 2x2 ; x < 2 ; a 2 R log2 3 p x4 ; x > 2 determine el valor de a 2 R para que exista lim x!2 f(x): Solución. De la unicidad de límite sabemos que existe lim x!2 f(x) si lim x!2� f(x) = lim x!2+ f(x): (6) lim x!2� f(x) = lim x!2� ax2 � ax� 2a x3 � 2x2 = limx!2� a (x+ 1) (x� 2) x2 (x� 2) = limx!2� a (x+ 1) x2 = 3 4 a: lim x!2+ f(x) = lim x!2+ log2 3 p x4 = log2 3 p 16 = 4 3 : Entonces de acuerdo a (6) se tiene 3 4 a = 4 3 ) a = 16 9 : 10
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