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Caṕıtulo 1. Conjuntos 1.8. Propiedades del complementario En P(U) demostrar: 1. ∅c = U, U c = ∅. 2. (Ac)c = A. 3. (a) (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc, (b) (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc (Leyes de Morgan). 4. A ⊂ B ⇒ Bc ⊂ Ac. 5. (a) A ∪Ac = U. (b) A ∩Ac = ∅. Solución. 1. Tenemos ∅c = {x ∈ U : x 6∈ ∅}. Pero todo elemento x ∈ U no pertenece a ∅, en consecuencia ∅c = U . Tenemos U c = {x ∈ U : x 6∈ U}. Pero ningún elemento x puede a la vez pertenecer y no pertenecer a U , en consecuencia U c = ∅. 2. Por una parte, x ∈ (Ac)c ⇒ x 6∈ Ac = {y ∈ U : y /∈ A} ⇒ x ∈ A, es decir, (Ac)c ⊂ A. Por otra, x ∈ A⇒ x 6∈ Ac ⇒ x ∈ (Ac)c, es decir A ⊂ (Ac)c. 3. (a) Demostramos directamente la igualdad escribiendo equivalencias: x ∈ (A∪B)c ⇔ x 6∈ A∪B ⇔ x 6∈ A y x 6∈ B ⇔ x ∈ Ac y x ∈ Bc ⇔ x ∈ Ac∩Bc. (b) Análogamente: x ∈ (A∩B)c ⇔ x 6∈ A∩B ⇔ x 6∈ A o x 6∈ B ⇔ x ∈ Ac o x ∈ Bc ⇔ x ∈ Ac∪Bc. 4. Si x ∈ Bc, entonces x 6∈ B. Como por hipótesis A ⊂ B, se verifica x 6∈ A, es decir x ∈ Ac. 5. (a) Los conjuntos A y Ac están contenidos en U por las definiciones de conjunto universal y de complementario. Por tanto, si x ∈ A ∪ Ac, o bien x ∈ A o bien x ∈ Ac y en ambos casos x ∈ U. Es decir, A ∪ Ac ⊂ U . Si x ∈ U , o bien x ∈ A, o bien x 6∈ A. De forma equivalente, o bien x ∈ A o bien x ∈ Ac lo cual implica que x ∈ A ∪Ac . Es decir, U ⊂ A ∪Ac. (b) Tenemos las equivalencias x ∈ A ∩Ac ⇔ x ∈ A y x ∈ Ac ⇔ x ∈ A y x 6∈ A. No existe elemento alguno x tal que x ∈ A y x 6∈ A, lo cual implica que A ∩Ac = ∅. 1.9. Simplificaciones en las partes de un conjunto 1. Siendo A,B,C subconjuntos de un conjunto universal U, determinar el complementario del conjunto (A ∪Bc ∪ Cc) ∩ (A ∪B ∪ Cc). Conjuntos Simplificaciones en las partes de un conjunto
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