problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (103)

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Caṕıtulo 4. Grupos
fAB◦fMN◦(fAB)−1 = fAM, AN+B◦fA−1, −A−1B = fAMA−1, −AMA−1B+AN+B.
Por hipótesis detA 6= 0 y detM = 1, por tanto
det(AMA−1) = (detA)(detM)(detA−1) = (detA)(detA)−1 = 1,
es decir fAB ◦ fMN ◦ (fAB)−1 ∈ F1 de lo que se concluye que F1 es subgrupo
normal de F.
4.20. Conjunto, grupo y aplicación
Se consideran los objetos matemáticos siguientes:
a) Un conjunto E.
b) Un grupo multiplicativo G con elemento unidad e.
c) Una aplicación ϕ : G× E → E que satisface
(i) ∀a, b ∈ G ∀x ∈ E ϕ(ab, x) = ϕ(a, ϕ(b, x)).
(ii) ∀x ∈ E ϕ(e, x) = x.
Se pide:
1. Demostrar que si F ⊂ E entonces GF = {a ∈ G : ϕ(a, x) = x ∀x ∈ F}
constituye un subgrupo de G.
2. Demostrar que GF1∪F2 = GF1 ∩GF2 .
3. Comprobar que la relación binaria en E
xRy ⇔ ∃a ∈ G : ϕ(a, x) = y
es de equivalencia.
(Propuesto en hojas de problemas, Álgebra, ETS de Arquitectura, UPM).
Solución. 1. Usamos la conocida caracterización de subgrupos. Por la con-
dición (ii), ϕ(e, x) = x para todo x ∈ F ⊂ E, es decir e ∈ GF y por tanto
GF 6= ∅. Sean ahora a, b ∈ GF y veamos que ab−1 ∈ GF . Como b ∈ GF , se
verifica ϕ(b, x) = x para todo x ∈ F , en consecuencia y usando (i):
x = ϕ(e, x) = ϕ(b−1b, x) = ϕ(b−1, ϕ(b, x)) = ϕ(b−1, x) ∀x ∈ F,
por tanto y teniendo en cuenta que a ∈ F se verifica para todo x ∈ F :
ϕ(ab−1, x) = ϕ(a, ϕ(b−1, x)) = ϕ(a, x) = x ∀x ∈ F,
lo cual implica que ab−1 ∈ GF . Concluimos que GF es subgrupo de G.
2. Tenemos
a ∈ GF1 ∪GF2 ⇔ ϕ(a, x) = x ∀x ∈ F1 ∪ F2
⇔ (ϕ(a, x) = x ∀x ∈ F1) ∧ (ϕ(a, x) = x ∀x ∈ F2)
⇔ (a ∈ GF1) ∧ (a ∈ GF2)⇔ a ∈ GF1 ∩GF2 ,
	Grupos
	Conjunto, grupo y aplicación