problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (118)

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5.3 Producto directo de anillos
Solución. 1) Veamos que (A,+) es grupo abeliano.
Interna. Dado que la suma de dos elementos de cada anillo Ai es un elemento
de Ai, la suma de dos elementos de A pertenece a A.
Asociativa. Para todo (x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn), (z1, . . . , zn) ∈ A y usando
la propiedad asociativa de la suma de los elementos de cada anillo Ai :
(x1, . . . , xn) + [(y1, . . . , yn) + (z1, . . . , zn)]
= (x1, . . . , xn) + (y1 + z1, . . . , yn + zn)
= (x1 + (y1 + z1), . . . , xn + (yn + zn))
= ((x1 + y1) + z1, . . . , (xn + yn) + zn))
= (x1 + y1, . . . , xn + yn) + (z1, . . . , zn)
= [(x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn)] + (z1, . . . , zn).
Conmutativa. Para todo (x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn) ∈ A y usando la propie-
dad conmutativa de los elementos de los anillos Ai :
(x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn) = (x1 + y1, . . . , xn + yn)
= (y1 + x1, . . . , yn + xn) = (y1, . . . , yn) + (x1, . . . , xn).
Elemento neutro. Para todo x = (x1, . . . , xn) ∈ A el elemento de A, 0 =
(0, . . . , 0) satisface:
0 + x = x+ 0 = (x1, . . . , xn) + (0, . . . , 0)
= (x1 + 0, . . . , xn + 0) = (x1, . . . , xn) = x.
Elemento simétrico. Para todo x = (x1, . . . , xn) ∈ A, el elemento de A,
−x = (−x1, . . . ,−xn) satisface:
(−x) + x = x+ (−x) = (x1, . . . , xn) + (−x1, . . . ,−xn)
= (x1 + (−x1), . . . , xn + (−xn)) = (0, . . . , 0) = 0.
2) Veamos que (A, ·) es grupo semigrupo.
Interna. Dado que el producto de dos elementos de cada anillo Ai es un
elemento de Ai, el producto de dos elementos de A pertenece a A.
Asociativa. Para todo (x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn), (z1, . . . , zn) ∈ A y usando
la propiedad asociativa del producto de los elementos de cada anillo Ai :
(x1, . . . , xn) · [(y1, . . . , yn) · (z1, . . . , zn)] = (x1, . . . , xn) · (y1z1, . . . , ynzn)
= (x1(y1z1), . . . , xn(ynzn)) = ((x1y1)z1, . . . , (xnyn)zn)
= (x1y1, . . . , xnyn) · (z1, . . . , zn) = [(x1, . . . , xn) · (y1, . . . , yn)] · (z1, . . . , zn).
3) Veamos que la operación . es distributiva respecto de la operación +.
Para todo (x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn), (z1, . . . , zn) ∈ A y usando la propiedad