problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (122)

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5.6 Anillo de los enteros de Gauss
es precisamente u, es decir (u−1)−1 = u.
4) Efectivamente, (U, ·) es grupo.
Interna. Según 2), el producto de dos elementos de U, pertenece a U.
Asociativa. La operación · es acociativa en A, por tanto lo es en U.
Elemento neutro. Según 1), el elemento unidad 1 es una unidad, por tanto
es elemento neutro de (U, ·) al verificar u1 = 1u para todo u ∈ U.
Elemento simétrico. Si u ∈ U, y según 3) existe u−1 ∈ U tal que uu−1 =
u−1u = 1.
5.6. Anillo de los enteros de Gauss
Sea Z[i] = {a + bi : a ∈ Z, b ∈ Z} con las operaciones usuales de suma y
producto de complejos. Se pide:
A) Demostrar que Z[i] es anillo conmutativo y unitario (se llama anillo de
los enteros de Gauss).
B) Hallar todos los elementos invertibles de Z[i].
Solución. A) (a) Veamos que (Z[i],+) es grupo abeliano. Como Z[i] ⊂ C y
(C,+) es grupo abeliano, bastará demostrar que Z[i] es subgrupo de C.
(i) Claramente 0 + 0i ∈ Z[i], por tanto Z[i] 6= ∅.
(ii) Para cada par de elementos a+ bi y c+ di de Z[i] :
(a+ bi)− (c+ di) = (a− c) + (b− d)i,
y dado que a, b, c, d son enteros, también lo son a− c y b− d lo cual implica
que la diferencia anterior pertenece a Z[i]. Concluimos que (Z[i],+) es grupo
abeliano.
(b) Veamos que (Z[i], ·) es semigrupo.
(i) Interna. Para cada par de elementos a+ bi y c+ di de Z[i] :
(a+ bi)(c+ di) = (ac− bd) + (ad+ bc)i,
y como a, b, c, d son enteros, también lo son ac− bd y ad+ bc lo cual implica
que el producto anterior pertenece a Z[i].
(ii) Asociativa. La operación producto es asociativa en C, por tanto lo es en
Z[i]. Hemos demostrado que (Z[i], ·) es semigrupo. Es además conmutativo
pues el producto es conmutativo en C.
(c) La operación · es distributiva respecto la operación +. Efectivamente,
lo es en C, por tanto en Z[i]. Hemos demostrado que (Z[i],+, ·) es anillo
	Anillos y cuerpos
	Anillo de los enteros de Gauss