problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (135)

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Caṕıtulo 5. Anillos y cuerpos
Solución. 1. Como ker f es un ideal de A, está definido el anillo cociente
A/ ker f. Para todo a, a′ elementos de A :
n(a+ a′) = (a+ a′) + ker f = (a+ ker f) + (a′ + ker f) = n(a) + n(a′)
n(aa′) = (aa′) + ker f = (a+ ker f)(a′ + ker f) = n(a)n(a′),
es decir n es homomorfismo de anillos. Por otra parte, todo elemento a+ker f
es a+ ker f = n(a), luego n es sobreyectiva. Concluimos que n es epimorfis-
mo de anillos.
2. (a) Veamos que la aplicación g está bien definida, es decir que g(a+ker f)
no depende del representante sino de la clase en śı. En efecto, supongamos
que a+ker f = a′+ker f, entonces a−a′ ∈ ker f, que equivale a f(a−a′) = 0.
Pero f(a−a′) = 0⇔ f(a)−f(a′) = 0⇔ f(a) = f(a′), es decir g(a+ker f) =
g(a′ + ker f).
(b) Veamos que g es homomorfismo de anillos. Para todo a+ker f, a′+ker f
elementos de A/ ker f :
g[(a+ ker f) + (a′ + ker f)] = g[(a+ a′) + ker f ] = f(a+ a′)
= f(a) + f(a′) = g(a+ ker f) + g(a′ + ker f).
g[(a+ ker f)(a′ + ker f)] = g[(aa′) + ker f ] = f(aa′)
= f(a)f(a′) = g(a+ ker f)g(a′ + ker f).
(c) Veamos que g es monomorfismo. El núcleo de g es:
ker g = {a+ ker f ∈ A/ ker f : g(a+ ker f) = f(a) = 0}
= {ker f} = {0 + ker f},
es decir el núcleo de g se reduce a elemento neutro de A/ ker f lo cual implica
que g es inyectiva.
(d) Veamos que g es epimorfismo. En efecto, si b ∈ Im f, entonces b = f(a)
para algún a ∈ A, luego b = g(a+ker f). Esto implica que g es sobreyectiva.
Concluimos que g es isomorfismo.
3. Para todo b, b′ elementos de Im f :
i(b+ b′) = b+ b′ = i(b) + i(b′), i(bb′) = bb′ = i(b)i(b′),
es decir i es homomorfismo de anillos. Ademas, i(b) = i(b′) implica b = b′,
luego i es inyectiva.
4. Para todo a ∈ A se verifica (i◦g◦n)(a) = (i◦g)(a+ker f) = i(f(a)) = f(a),
por tanto, i ◦ g ◦ n = f.
	Anillos y cuerpos
	Concepto de cuerpo