problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (501)

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Caṕıtulo 13. Formas bilineales y cuadráticas
Ahora descomponemos −2x22 + 4x2x3 + 3x23 :
−2x22 + 4x2x3 + 3x23 = −2x22 + x2(4x3) + 3x23
= −2(x2 − x3)2 −
(4x3)
2
−8
+ 3x23
= −2(x2 − x3)2 + 5x23.
La expresión de q en suma de cuadrados de formas lineales independientes
es:
q(x1, x2, x3) = (x1 + x2 + 2x3)
2 − 2(x2 − x3)2 + 5x23.
Denotando x′1 = x1 + x2 + 2x3 , x
′
2 = x2 − x3 , x′3 = x3 también podemos
expresar q en la forma :
q(x1, x2, x3) = x
′2
1 − 2x′22 + 5x′23 =
(
x′1 x
′
2 x
′
3
)1 0 00 −2 0
0 0 5
x′1x′2
x′3
 .
2. Estamos en el caso 2. Siguiendo el método general expuesto:
q(x, y, z, t) = xy + x(z + t) + y(2z + t) + 4zt
= (x+ 2z + t)(y + z + t) + 4zt− (z + t)(2z + t)
= (x+ 2z + t)(y + z + t)− 2z2 − t2 + zt
Usando la fórmula AB = (1/4)[(A+B)2 − (A−B)2] obtenemos
(x+ 2z + t)(y + z + t) =
1
4
(x+ y + 3z + 2t)2 − 1
4
(x− y + z)2
Ahora descomponemos −2z2 − t2 + zt :
−2z2 − t2 + zt = −t2 + t(z)− 2z2
= −
(
t− z
2
)2
− z
2
4
− 2z2 =
= −
(
t− z
2
)2
− 9
4
z2
La expresión de q en suma de cuadrados de formas lineales independientes
es:
q(x, y, z, t) =
1
4
(x+ y + 3z + 2t)2 − 1
4
(x− y + z)2 −
(
t− z
2
)2
− 9
4
z2
Denotando x′ = x + y + 3z + 2t , y′ = x − y + z , z′ = t − z/2 , t′ = z
también podemos expresar q en la forma :
q(x, y, z, t) =
1
4
x′ 2 − 1
4
y′ 2 − z′ 2 − 9
4
t′ 2