problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (652)

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16.13 Cotas de las ráıces de un polinomio
16.13. Cotas de las ráıces de un polinomio
Sea f(z) = anz
n + . . . + a1z + a0 ∈ C[z] con an 6= 0 y c una ráız de f(z).
Demostrar que |c| ≤M siendo
M = máx
{(
n
∣∣∣∣ai−1an
∣∣∣∣)1/i : i = 1, . . . , n
}
.
Solución. Supongamos que |z| > M , entonces
|z| >
(
n
∣∣∣∣ai−1an
∣∣∣∣) 1i (∀i = 1, . . . , n)⇒ |z|i > n |ai−1||an| (∀i = 1, . . . , n)
⇒ |an−i| <
|an| |z|i
n
(∀i = 1, . . . , n)⇒
∣∣an−1zn−1 + . . .+ a1z + a0∣∣
≤ |an−1| |z|n−1 + . . .+ |a1| |z|+ |a0| <
|an| |z|n
n
+ . . .+
|an| |z|n
n
= |anzn| .
Es decir, si |z| > M tendŕıamos
∣∣an−1zn−1 + . . .+ a1z + a0∣∣ < |−anzn| y
por tanto z no puede ser ráız de f(z).
16.14. Ráıces de f(x) = x3 + βx2 − βx− 1
Sea f(x) ∈ C[x], f(x) = x3 + 1 +
√
7i
2
x2 − 1−
√
7i
2
x− 1.
1) Comprobar que f(x2) = −f(x)f(−x).
2) Demostrar que si a es un cero de f(x), entonces |a| = 1.
3) Demostrar que si 1, j, j2 son las ráıces cúbicas de la unidad, dichas ráıces
no son ceros de f(x)
4) Demostrar que si a es un cero de f(x) entonces, a7 = 1.
5) Determinar las ráıces de f(x).
(Propuesto en examen, Álgebra, ETS de Ing. Industriales, UPM).
Solución. 1) Podemos escribir
f(x) = x3 + βx2 − βx− 1 con β = 1 +
√
7i
2
.
Entonces,
−f(x)f(−x) = −
(
(x3 + βx2 − βx− 1
) (
−x3 + βx2 + βx− 1
)
= . . . = x6 −
(
β2 + 2β
)
x4 +
(
β
2
+ 2β
)
x2 − 1.
	Polinomios en una variable
	 Raíces de f(x)=x3+x2-x-1