Sistema de ecuaciones lineales con dos incognitas

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Introducción
Clasi�cación de los sistemas de ecuaciones lineales
Referencias
Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas
En la Lectura 1, habíamos planteado cómo sería la ecuación para la situación: comeremos carne y cereales
y queremos cumplimentar las 28 unidades de vitaminas requeridas. Escribimos entonces:
2x + 4y = 28
Dijimos que, como aparecen 2 variables, era una ecuación lineal con 2 incógnitas. Cualquier solución
particular se obtiene dando a x un valor arbitrario para luego despejar el valor de y que cumpla la condición de
la ecuación.
Si graficáramos estas soluciones, es decir, los pares (x; y) que verifican la ecuación, en un sistema de
coordenadas cartesianas estas se alinean formando una recta. Por ejemplo, en el caso anterior obtenemos
la siguiente solución gráfica. Todos los pares (x; y) de la recta son soluciones de la ecuación:
Figura 1: Relación 2x + 4y = 28
LECCIÓN 1 de 3
Introducción
Fuente: elaboración propia a base del software GeoGebra (Hohenwarter, 20 de diciembre de
2018).
Figura 1: Se muestra la relación 2x + 4y = 28, que representa todas las posibles formas de consumir 28
unidades de vitamina ingiriendo carne y cereales.
Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas
Podríamos ahora pensar que no solamente se quiere cumplimentar con las vitaminas consumiendo carnes y
cereales, sino también que la cantidad de proteínas ingeridas sea la de 24 unidades sugeridas por la
nutricionista. Tendríamos 2 ecuaciones, una para las vitaminas y otra para las proteínas:
Estas ecuaciones serían:
Como observamos, tenemos dos ecuaciones con 2 incógnitas.
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas tiene la siguiente estructura:
Donde a, b, c, d, e, f y g son constantes. La solución son los valores de x e y, que cumplen simultáneamente
las dos ecuaciones del sistema, es decir, el par (x, y) que satisface las dos ecuaciones.
Resolución de un sistema de dos ecuaciones con dos
incógnitas
Para resolver un sistema de ecuaciones, se han implementado numerosos métodos: por igualación, por
reducción, por sustitución, graficando, etcétera. Nos detendremos en algunos de ellos, que son los más
conocidos. 
Resolvamos el siguiente sistema:
Despejamos la misma variable de las dos ecuaciones; en este caso, elegimos despejar x.
Ecuación I):
Ecuación II):
Método de igualación
Por lo tanto, a la solución del sistema la expresamos como S = {(−2; 1)}.
Resolvamos el siguiente sistema:
Método de sustitución
Despejamos una de las variables de una de las ecuaciones; en este caso, elegimos despejar x de la
ecuación I).
Por lo tanto, a la solución del sistema la expresamos como S = {(−2; 1)}.
Resolvamos el siguiente sistema:
Cada una de las ecuaciones de un sistema de ecuaciones lineales puede asociarse a una función lineal,
cuya representación gráfica es una recta. Resolver un sistema de ecuaciones significa encontrar las
coordenadas del punto que tienen en común (intersección) ambas rectas.
Figura 2: 
Graficando
Fuente: elaboración propia a base del software GeoGebra (Hohenwarter, 20 de diciembre de
2018).
Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar por diversos motivos, es decir,
atendiendo a diversas propiedades. [Hemos visto ya que] se pueden clasificar según el
grado de las ecuaciones. Tendríamos, entonces:
Sistema lineal: si todas las ecuaciones son lineales.
Sistema no lineal: si no todas las ecuaciones son lineales (…)
Por otro lado, también se pueden clasificar los sistemas según el número de ecuaciones o
de incógnitas que tengan, es decir, podríamos hablar entonces de: 
Sistemas de dos ecuaciones.
Sistemas de tres ecuaciones con 2 incógnitas.
etc. (Duarte Garrido y Sánchez García, s. f., https://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-
0045-01/secciones/clasificacion.html).
 
 Otra forma de clasificarlos es si poseen o no términos independientes, es decir, términos que no tengan
variable. En este caso, cada ecuación se escribe de la forma ax + by = 0. Los llamaremos:
LECCIÓN 2 de 3
Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales
sistemas homogéneos, si no poseen término independiente;
sistemas no homogéneos, si poseen término independiente.
También podemos hacer referencia a los sistemas, según la existencia o no de solución y, en el caso de su
existencia, según el número de ellas. Esta es la más importante de la clasificación de los sistemas: 
 
Sistema compatible: es el que tiene solución. Dependiendo del número de soluciones,
puede ser:
Sistema compatible determinado si tiene una única solución.
Sistema compatible indeterminado si tiene múltiples soluciones.
Sistema incompatible: es el que no tiene solución (Duarte Garrido y Sánchez García, s.
f.,https://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0045-01/secciones/clasificacion.html).
Figura 3: Sistema compatible determinado
Fuente: elaboración propia a base del software GeoGebra (Hohenwarter, 20 de diciembre de
2018).
Las rectas que representan las ecuaciones se cortan en un punto. La solución es única y corresponde a las
coordenadas del punto de corte. Es, por lo tanto, un sistema compatible determinado (SCD).
Figura 4: Sistema compatible indeterminado
Fuente: elaboración propia a base del software GeoGebra (Hohenwarter, 20 de diciembre de
2018).
Las ecuaciones están asociadas a dos rectas que se superponen, por lo que tienen infinitos puntos en
común. Este sistema tiene infinitas soluciones, es un sistema compatible indeterminado (SCI).
Figura 5: Sistema incompatible
Fuente: elaboración propia a base del software GeoGebra (Hohenwarter, 20 de diciembre de
2018).
Las rectas, que representan cada una de las ecuaciones, son paralelas y, por lo tanto, no tienen ningún punto
en común. El sistema no tiene solución, es un sistema incompatible (SI).
Retornemos a nuestra situación: habíamos visto que las ecuaciones, con la condición de comer carne y
cereales, cumpliendo la dieta, era:
El sistema es compatible determinado –
¿Te animas a plantear el mismo problema (comer carnes y cereales), pero ahora considerando cumplir los
requisitos de proteínas y carbohidratos? Debes volver a ver la tabla.
ACTIVIDADES DE REPASO Y REFUERZO
Es correcto, ya que, al resolver el problema, se encuentra como solución: x = 10/3; y = 16/3. Al obtener una
solución al resolver el sistema, sabemos que esta es única. Por lo tanto, es un sistema lineal, no
homogéneo y compatible determinado. Gráficamente, hemos trazado rectas oblicuas que se intersecan en
un punto que representa la solución.
El sistema es compatible indeterminado –
Es incorrecto, para que sea compatible indeterminado, al resolver el sistema, deberíamos encontrar una
igualdad numérica, por lo que no nos permite conocer el valor de la incógnita, solamente podremos escribir
la relación entre las variables que representan las infinitas soluciones del problema. Gráficamente,
deberíamos haber trazado rectas superpuestas.
El sistema es incompatible –
Es incorrecto, para que sea incompatible, al resolver el sistema, deberíamos encontrar un absurdo
matemático (representado por dos números distintos mediados por un signo igual). Gráficamente,
deberíamos haber trazado rectas paralelas.
El sistema de ecuaciones sería:
SUBMIT
En este planteo, al resolver el sistema de ecuaciones, encontraremos que
ACTIVIDADES DE REPASO Y REFUERZO
Escriba su respuesta aquí
El sistema de ecuaciones lineales aquí presente,puede considerarse, de acuerdo
con la clasificación dada, como un sistema:
incompatible.
de dos ecuaciones con dos incógnitas.
SUBMIT
compatible determinado.
compatible indeterminado.
homogéneo.
Duarte Garrido, J. y Sánchez García, J. M.  (s. f.). Clasificación de sistemas. Recuperado de
https://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0045-01/secciones/clasificacion.html
Hohenwarter, M. (20 de diciembre de 2018). GeoGebra (Versión 6.0.518.0) [Software]. Linz, AT: Universidad
de Linz.
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Referencias