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PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES El producto vectorial de los vectores P y Q se define como el vector V V= (P x Q) También se conoce como el producto cruz de P y Q. Línea de acción: Es perpendicular al plano que contiene a P y Q. Magnitud: Es el producto de las magnitudes de P y Q por el seno del ángulo Ɵ. (V= PQ sen Ɵ). Sentido: Se obtiene a partir de la regla de la mano derecha. V = P x Q ; C = (AB sen Ɵ) uc El vector unitario uc define la dirección de C. PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES -Cuando dos vectores P y Q tienen la misma dirección, o direcciones opuestas, su producto vectorial es igual a cero. -Es igual al área del paralelogramo que tiene como lados a P y Q -El producto vectorial P x Q permanece inalterado si Q se reemplaza por un vector Q´ que sea coplanar a P y Q y tal que la línea que une a las partes terminales de Q y Q´ sea paralelo a P. V = P x Q = P x Q´ Los productos vectoriales no son comunitarios, es decir, Q x P no es igual a P x Q. Q x P = -(P x Q) Calcúlese el producto vectorial V=PxQ cuando el vector P tiene una magnitud de 6 y se encuentra en el plano zx que forma un ángulo de 30° con el eje x y el vector Q tiene una magnitud de 4 y se encuentra a lo largo del eje x. PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES Ejemplo . Calcúlese el producto vectorial V = P x Q cuando el vector P tiene una magnitud de 6 y se encuentra en el plano Zx que forma un ángulo de 30° con el eje X y el vector Q tiene una magnitud de 4 y se encuentra a lo largo del eje X. A partir de la definición del producto vectorial se concluye que el vector V debe estar a lo largo del eje Y, tener la magnitud. V=PQ sen Ɵ V= (6)(4) sen 30° V= 12 y debe estar dirigido hacia arriba. Ahora se puede preguntar si la propiedad distributiva se cumple, esto es, si la relación se cumple. P x (Q₁ + Q₂) = (P x Q₁) + (P x Q₂) La asociativa, la cual no es válida para los productos vectoriales; en general, se tiene que (P x Q) x S ≠ P x (Q x S) PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES PROPIEDAD DISTRIBUTIVA P x (Q1+Q2) = (PxQ1 )+( PxQ2) (1) P está dirigida a lo largo del eje y . Representando con Q la suma de Q1 y Q2 , se trazan perpendiculares a partir de los extremos terminales de Q, Q1 y Q2 hacia el plano ZX. El término del lado izquierdo de la ecuación (1) puede ser reemplazado por P y Q´ y que, en forma similar, los productos vectoriales PxQ₁ y PxQ₂ del lado derecho pueden ser reemplazados, respectivamente, por Px Q₁´ y Px Q₂´. De es a forma, la relación puede escribirse : P x Q´= P x Q₁´ + P x Q₂´ PRODUCTOS CRUZ EXPRESADOS EN TÉRMINOS DE COMPONENTES RECTANGULARES Ahora se puede expresar fácilmente el producto vectorial V de dos vectores dados P y Q en términos de las componentes rectangulares de dichos vectores. Al descomponer a P y Q en sus componentes rectangulares. i x j = k i x k = -j i x i = 0 j x k = i k x j = -i j x j = 0 k x i = j j x i = -k k x k= 0 PRODUCTOS CRUZ EXPRESADOS EN TÉRMINOS DE COMPONENTES RECTANGULARES las componentes rectangulares del producto vectorial V están dadas por: Se puede expresare el producto vectorial V de dos vectores dados P y Q en términos de las componentes rectangulares de dichos vectores. Al descomponer a P y Q en sus componentes rectangulares. V=PxQ =(Pxi+Pyj+Pzk)x(Qxi+Qyj+Qzk) V = +(PyQz - PzQ y)i + (PzQx - PxQz)j + (PxQy - PyQx)k Por tanto, las componentes rectangulares del producto vectorial V están dadas por: Vx = (PyQz – PzQy) Vy = (PzQx – PxQz) Vz = ( PxQy - PyQx) Así, para determinar el producto cruz de dos vectores cartesianos P y Q cualesquiera. Es necesario desarrollar un determinante cuya primera fila de elementos conste de los vectores unitarios i, j y k y cuyas segunda y tercera filas representen las componentes x, y, z de los dos vectores P y Q, respectivamente. PRODUCTO PUNTO Define un método para “multiplicar” dos vectores y se usa para localizar el ángulo entre dos líneas o las componentes de una fuerza paralela y perpendicular a una línea. El producto punto de los vectores A y B, que se escribe A · B, y se lee “A punto B”, se define como el producto de las magnitudes de A y B ; y el coseno del ángulo Ɵ entre sus colas. Expresado en forma de ecuación. A·B = AB cos Ɵ donde : 11 LEYES DE OPERACIÓN 1. Ley conmutativa: A∙B=B∙A 2. Multiplicación por un escalar: a(A∙B)=(aA)∙B a(A∙B)=A∙(aB) 3. Ley distributiva: A∙(B + D) = (A∙B) + (A∙D) las componentes rectangulares del producto vectorial V están dadas por: i · i = 1 i · j = 0 i · k = 0 j · i = 0 j · j = 1 j · k = 0 k · i = 0 k · j = 0 k · k = 1 PRODUCTOS PUNTO EXPRESADOS EN TÉRMINOS DE COMPONENTES RECTANGULARES FORMULACIÓN VECTORIAL CARTESIANA Si queremos encontrar el producto punto de dos vectores A y B que se expresan en forma vectorial cartesiana, tenemos: Al realizar las operaciones del producto punto, el resultado final se convierte en: Por tanto, para determinar el producto punto de dos vectores cartesianos, multiplique sus componentes correspondientes x, y, z, y sume sus productos algebraicamente. Observe que el resultado será un escalar positivo o negativo. PROYECCIÓN DE UN VECTOR SOBRE UN EJE DADO Un vector P que forma un ángulo Ɵ con un eje, o línea dirigida, OL (figura). La proyección de P sobre el eje OL se define como el escalar. POL= P cos Ɵ La proyección POL es igual en valor absoluto al valor de la longitud del segmento OA Un vector Q dirigido a lo largo de OL con el mismo sentido que OL. El producto escalar de P y Q se expresa: P·Q = PQ cos Ɵ = POL Q POL = POL = POL = Pxcos Ɵx +Pycos Ɵy +Pzcos Ɵz Cuando el vector seleccionado a lo largo de OL es el vector unitario. POL = P·λ La relación que existe entre la fuerza F y sus componentes ; Fx ,Fy y Fz se presenta en la figura (a). La fuerza F está representada por la diagonal OA. La figura (b), muestra el triángulo rectángulo OAB empleado para deducir la fórmula: Fy = F cos Ɵy En las figuras (a) y (c) se han trazado otros dos triángulos rectángulos: el OAD y OAE. los ángulos que forma F con los ejes X y Z, se pueden escribir dos fórmulas semejantes a Fy=Fcos Ɵy . Entonces se escribe: Fx=Fcos Ɵx ; Fy=Fcos Ɵy ; Fz=Fcos Ɵz (1) Los cosenos de Ɵx , Ɵy y Ɵz se conocen como cosenos directores. Con el uso de los vectores unitarios i, j y k, dirigidos a lo largo de los ejes x, y y z, respectivamente , se puede expresar F en la forma. F= FXi +FYj + Fzk (2) Si se sustituye (1) en (2) la ecuación se obtiene: F=F(cos Ɵxi +cos Ɵyj + cos Ɵzk) (3) La fuerza F puede expresarse como el producto del escalar F y del vector (cos Ɵxi +cos Ɵyj + cos Ɵzk) COMPONENTES RECTANGULARES DE UNA FUERZA EN EL ESPACIO PRODUCTO TRIPLE MIXTO DE TRES VECTORES Se define al producto triple escalar S, P y Q como la expresión escalar S·(P x Q) Formando el producto escalar de S con el producto vectorial de P y Q. Interpretación geométrica. El vector P x Q es perpendicular al plano que contiene a P y a Q y que su magnitud es igual al área del paralelogramo que tiene por la dos a P y a Q. El producto escalar de S y PxQ se obtiene multiplicando la magnitud de PxQ, por la proyección de S sobre el vector PxQ El producto triple escalar es igual en valor absoluto al volumen del paralelepípedo que tiene por lados a los vectores S, Py Q El signo del producto triple escalar será positivo si S, P y Q forman una tríada a mano derecha, y negativo si éstos forman una tríada a mano izquierda. Será igual a cero si S, P y Q son coplanares. Como el paralelepípedo definido es independiente del orden en que se tomen los tres vectores, los seis productos triples escalares que se pueden formar con S, P y Q tendrán el mismo valor absoluto, pero no el mismo signo. S · (P x Q)= P · (Q x S) = Q · (S x P) -S · (Q x P)=-P · (S x Q)=-Q · (P x S) PRODUCTO TRIPLE MIXTO DE TRES VECTORES Se puede definir también conS·(P x Q) como con (S x P)·Q El producto triple escalar de los vectores S, P y Q puede ser expresado en términos de las componentes rectangulares de estos vectores. Denotando a P x Q con V S · (P x Q) = +Sx(PyQz - PzQy) + Sy(PzQx - PxQz) + Sz(PxQy - PyQx) Esta expresión se puede escribir en forma más compacta si se observa que representa la expansión de un determinante: PRODUCTO TRIPLE MIXTO DE TRES VECTORES APLICACIONES El ángulo formado entre dos vectores o líneas que se intersecan. El ángulo Ɵ entre las colas de los vectores A y B que se muestran en la figura pueden escribirse como: A·B se calcula observe que si A·B=0, Ɵ=90°, por tanto A será perpendicular a B. Pag 90(R) Las componentes de un vector paralelo y perpendicular a una línea. La componente de un vector A paralelo , o colineal con, la línea aa1 se define por Aa , donde : Aa=A cos Ɵ. A esta componente se le llama la proyección de A sobre la línea. Si la dirección de la línea está especificada por el vector unitario Ua, entonces como Ua =1, podemos determinar Aa directamente con el producto punto. En ocasiones, a esta componente se le llama la proyección de A sobre la línea, puesto que se forma un ángulo recto en la construcción. Si la dirección de la línea está especificada por el vector unitario ua entonces como ua =1, podemos determinar Aa directamente con el producto punto. PRODUCTO CRUZ DE DOS VECTORES El producto vectorial de los vectores P y Q se define como el vector V que satisface las siguientes condiciones. 1. La línea de acción de V es perpendicular al plano que contiene a P y Q . 2. La magnitud de V es el producto de las magnitudes de P y Q por el seno del ángulo formado por P y Q (cuya medida siempre deberá ser menor o igual a 180°). V = PQ sen Ɵ Los tres vectores P, Q y V, tomados en ese orden, forman una tríada a mano derecha. 3. La dirección de V se obtiene a partir de la regla de la mano derecha. Su mano derecha manténgala de manera que sus de dos estén doblados en el sentido que la rotación a través del ángulo que ha ría al vector P colineales con el vector Q, entonces, su dedo pulgar indicará la dirección del vector V. Propiedad distributiva: P x (Q1 + Q2) = (P x Q1) + (P x Q2) EJEMPLO 2.17 La estructura que se muestra en la figura está sometida a una fuerza horizontal F {300j}. Determine la magnitud de las componentes de esta fuerza paralela y perpendicular al elemento AB. EJEMPLO 2.17 Ejercicio F.225 Encuentre la magnitud de la componente de la fuerza proyectada a lo largo del tubo. Ejercicio F 229 -Determine el ángulo Ɵ entre la fuerza y la línea OA. -Determine la componente de proyección de la fuerza a lo largo de la línea OA. Ejercicio F 227-8 Determine el ángulo Ɵ entre la fuerza y la línea AO. Ejercicio # 2.11 Determine el ángulo Ɵ entre la fuerza y la línea AB. Ejercicio # 2-30 Buffa Determine las componentes de la fuerza que actúan en forma paralela y perpendicular al eje del poste. DEBER Deber Estática 12ed Russelc. pag # 74 Ejerc. 25-30 116-130 pares MECÁNICA VECTORIAL PARA INGENIEROS PAG. 102 DEL 3.35 al 3.45 EXAMEN 2° PARCIAL #1 Determine el ángulo Ɵ entre la fuerza y la línea AO. # 2 Determine el ángulo Ɵ entre la fuerza y la línea AB. EJERCICIO # 116 Determine el ángulo α entre las dos fuerzas que actúan sobre el gancho. Asimismo, ¿cuáles son las proyecciones de F1 y F2 a lo largo del eje y? Aporte 8/7/17 (3.42 M.V.I.) Si se sabe que la tensión en el cable AD es de 405 N, determine a) el ángulo entre el cable AD y el aguilón AB, b) la proyección sobre AB de la fuerza ejercida por el cable AD en el punto A.
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